MÉTODO DE CROSS O DE DISTRIBUCIÓN

DE MOMENTOS

Método ideado por el Ingeniero Civil estadounidense Hardy Cross(1889-1957)

Fue desarrollado en la década de 1920 en la Universidad de Illinois.

A partir de esa fecha y hasta cerca de 1960 fue el método mas usado en el diseño estructural.

GENERALIDADES E HIPOTESIS

•Miembros de sección transversal constante a lo largo de su longitud, es decir secciones prismáticas.• Los nudos en donde se unen dos o

más miembros , no se trasladan.• La deformación axial de los miembros

se desprecia.

RELACIONES PREVIAS• Transmisión de Momentos

“Un momento aplicado en un extremo de una viga prismática empotrada en el otro extremo transmitirá a este último un momento de magnitud igual a la mitad del valor del primero y en el mismo sentido” Este enunciado es base para la aplicación propia del método.

• Factores de DistribuciónDel anterior enunciado se concluye también:

Así se puede decir que al aplicar un momento en un punto, su giro depende de la rigidez k :

Entonces, el momento que toma cada uno de los miembros que concurren en un nudo depende del factor de distribución DF, definido como la división entre la rigidez propia y la suma de las rigideces de los miembros unidos:

• Momentos de Empotramiento PerfectoPara iniciar el proceso iterativo que pide el método, es necesario tener unos datos base de momento, que se calculan suponiendo cada miembro empotrado individualmente; valores que ya han sido definidos y se encuentran fácilmente en tablas.

PROCEDIMIENTO RESUMIDO• Calcular los factores de Rigidez de cada tramo.• Hallar los factores de Distribución en toda la estructura.• Calcular los momentos de empotramiento perfecto.• Se escriben primero los DF en cada nodo, y arriba de ellos los valores de

los momentos de empotramiento.• Primer Equilibrio: Calcular el desequilibrio de momentos que existe en el

nodo, y equilibrarlo con un momento de igual magnitud pero de signo contrario, tal valor será repartido proporcionalmente al DF de cada tramo.

• Primer Traspaso: Al introducir los anteriores momentos, se transmiten unos momentos al otro extremo del elemento, cuyo valor es la mitad del momento inicial transmitido.

• Efectuar nuevamente otro equilibrio y otro traspaso, hasta observar que los momentos generados son despreciables.

• El momento en el nodo, será la suma de todas las iteraciones que se hayan hecho, igualmente se verificará tal valor por ambos lados del nodo.

EJEMPLO

Calcular los momentos en los nodos de la siguiente viga:

E=200 GPaSección Rectangular 30cmx30cm

• FACTORES DE RIGIDEZNombrando de izquierda a derecha los miembros, además se pondrá simbólicamente EI, dado que es la misma sección y el mismo material:

• FACTORES DE DISTRIBUCIÓN

Esta suposición se hace basado en el hecho de “rigidez infinita” que posee el empotramiento.

Y así sucesivamente;

• MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTOPara el miembro 2

Para el Miembro 3

Ahora si se puede iniciar el proceso en sí; dibujando primero un esquema de lo que se tiene hasta ahora:

• Primer EquilibrioNodo A: Mo=0, Equilibrio M_AB= -Mo*DF_AB=0*0=0Nodo B: Mo= -240+0=-240, Aquí se equilibra poniendo un M=+240 así: M_BA=+240*DF_BA=240*0.5=120M_BC=+240*DF_BC=240*0.5=120Nodo C: Mo= 240-250=-10, M_CB=-10*DF_CB=-10*0.4= -4M_CD= -10*DF_CD=-10*0.6=6Nodo D: Mo=250, Momento para equilibrar M= -250M_DC=-250*DF_DC=-250*0=0Y así termina el primer equilibrio:

• Primer TraspasoAhora se hallaran los momentos transmitidos del extremo de un miembro al otro:De A a B: M=0, Mtrans=0/2=0De B a A: M=120, Mtrans=120/2=60De B a C: M=120, Mtrans=120/2=60De C a B: M=4, Mtrans=4/2=2De C a D: M=6, Mtrans=6/2=3De D a C: M=0, Mtrans=0/2=0

Así termina el primer traspaso, y la primer iteración, ahora solo resta repetir los dos pasos anteriores hasta lograr un resultado satisfactorio.

El momento en el nodo es la suma de cada columna de iteraciones, aquí se muestran en rojo los valores finales, se aprecia una buena exactitud en los momentos por lados distintos del nodo.