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UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL

Cátedra: ESTRUCTURAS

Tema: Método de Cross.-

Responsable de Cátedra: Ing. Fernando Rubén DETKE Profesor Titular (E).-

Responsable Practica: Ing. José Luis GOLEMBA J.T.P. (S).-

Julio Cesar ANSIN ANTILLE Profesor Adjunto (SE).-

Departamento de Ingeniería Civil

Estructuras Método de Cross: Pág. 1/21

ESTRUCTURAS

TEMA V: MÉTODO DE CROSS

1) - INTRODUCCIÓN

El desarrollo de algunos métodos de iteración para la resolución de estructuras de un alto

grado de hiperestaticidad, son métodos son simples y conducen rápidamente a la solución del

problema sin la necesidad del planteo de sistemas lineales de ecuaciones.

Uno de estos métodos fue desarrollado por el Ingeniero Norteamericano Hardy Cross y es

conocido como “Método de Cross”.

En síntesis, el método se basa en el método de las deformaciones, resuelto en forma

iterativa, pero en el cual se han cambiado las incógnitas deformaciones por solicitaciones a las

cuales esta más habituado el ingeniero calculista. Precisamente, una de las principales virtudes

que tiene el método es que no pierde en ningún momento la visión física del comportamiento de

la estructura.

2) - CONSTANTES Y ECUACIONES FUNDAMENTALES

Definiremos en principio algunas constantes características que utilizaremos a partir de un

sistema fundamental en el cual todas las barras están empotradas-empotradas o empotradas-

articuladas.

2-a) - Rigidez angular “ik”:

Es el momento necesario a aplicar en la sección extrema de una barra para que en la

misma se produzca una rotación unitaria.

Barra empotrada-empotrada

Cuando:

i i k i k

i k i k i k i k i k i k

i k i k i k

i k

i k

M

M M a b c

M aEJ

l

1

4

Barra empotrada-articulada

M a bi k i k i k

Por ser nulo el momento en el otro

extremo.

M a b

b

a

k i k i k i

k

k i

i

0

reemplazando:

M ab

ai k i i k

k i

2

Cuando: i i k i k i k

k i

M ab

a 1

2


Para la barra con momento de inercia constante será:

MEJ

l

MEJ

l

MEJ

l

i k

i k

i k

i k

k i

i k

i k

k i k

i

i k

i k

i k

i

2 2

2 2 02

3

( )

( )

Para: i i k i k

i k

i k

MEJ

l 1 3

Barra empotrada-libre

En este caso:

00 kiM

2-b) - Coeficiente de transmisión :

Es el valor del momento que se produce en el extremo de una barra cuando en el otro

extremo actúa un momento igual a la unidad. En otras palabras, es un coeficiente que permite

calcular que porcentaje de un momento aplicado en un extremo se transmite al otro.

Barra empotrada-empotrada

Será:

M aa

M bb

a

i k i k i i

i k

k i i

i k

11

Para barras con momentos de inercia

constante:

MEJ

l

l

EJ

EJ

l

EJ

l

l

EJ

i k

i k

i k

i i

i k

i k

i k

i k

i

i k

i k

i k

i k

4 14

2 24

0 5

,


Barra empotrada-articulada o empotrada-libre

En ambos casos al aplicar un momento unitario

en un extremo, en el otro no aparece ningún

momento.

=0.

2-c) - Coeficiente de distribución ik:

Supongamos una serie de barras que

concurren a un nudo y que el nudo es rígido, o

sea que al rotar el nudo rotan todas las barras

que concurren al mismo.

Cada una de las barras tiene una

determinada sección, longitud y forma de

vinculación al otro extremo, con lo cual queda

definida su rigidez angular (ik).

Supongamos también que exteriormente

aplicamos al nudo un momento MI. El nudo

comenzará a rotar al igual que las barras. En

estas últimas irán apareciendo momentos que

tratarán de equilibrar al momento exterior,

llegará un instante en que la rotación

producirá momentos tales que el nudo se

equilibrará con los momentos Mik de reacción

en las barras:

M MI i kk

n

01

Queremos averiguar ahora que parte del momento exterior MI absorberá la barra i-k (Mik).

Por la hipótesis de rigidez de nudo, todas las barras y el nudo rotarán un ángulo i,

siendo:

M

MM

M M

i k i k i

I i k ik

n

i

I

i kk

n

i k

i k

i kk

n I

01

1

1

Denominamos coeficiente de distribución:

i k

i k

i kk

n i k i k IM M

1

Esta expresión nos dice que para hallar el momento en una barra, se debe cambiar el signo

del momento que estaba actuando sobre el nudo y multiplicarlo por el coeficiente de

distribución.


Este coeficiente es el valor absoluto del momento que aparece en el extremo de una barra

cuando al nudo que ésta concurre se le aplica un momento unitario.

Es inmediato verificar que la suma de todos los ik de un nudo es igual a la unidad.

i k

k

ni k

i kk

n

i kk

n

i kk

nk

n

1

1

1

1

1

1

3) - MÉTODO DE CROSS PARA ESTRUCTURAS INDESPLAZABLES

Utilizaremos la misma nomenclatura y convención de signos del método de las

deformaciones y prácticamente las mismas hipótesis.

Supongamos una estructura cualquiera, en la cual los nudos pueden rotar pero no

desplazarse en el espacio. Con el fin de aclarar ideas desarrollaremos la teoría a través de un

ejemplo numérico.

3-1) Rigideces angulares :

12

12

12

0 2 3

2 3

2 3

0 34

34

34

0

16

16

16

0 2 5

2 5

2 5

0

43

43

42 4

31 5

4

EJ

lEJ

EJ

lEJ

EJ

lEJ

EJ

lEJ

EJ

lEJ

,

,

3-2) Coeficientes de distribución :

1 2

1 2

1 2 1 6

2 1

1 2

1 2 2 3 2 5

3 2

2 3

2 3 3 4

1 6

1 6

1 2 1 6

2 3

2 3

1 2 2 3 2 5

3 4

3 4

2 3 3 4

2 5

2 5

1 2 2 3 2 5

3

4 50 67

3

70 43

3

5 40 56

1 5

4 50 33

3

70 43

2 4

5 40 44

1 1

1

70 14

1

,, ,

,,

,

,, ,

,

,,

,


3-3) Coeficientes de transmisión :

Los coeficientes de transmisión valen =0,5 para todas las barras, excepto la 1-6 donde

=0.

3-4) Momentos de empotramiento perfecto:

Mql

tm Mql

tm

MPl

tm MPl

tm

Mql

tm Mql

tm

12

2

2 1

2

2 3 3 2

3 4

2

4 3

2

125 33

125 33

83

83

124 17

124 17

, ,

, ,

3-5) Desarrollo del método:

Supongamos ahora que tomamos como fundamental una estructura en la cual están

rígidamente empotrados todos los nudos. En nuestro caso, excepto el nudo 6, ya que la barra 1-

6 hemos considerado como empotrada articulada. Este empotramiento se realiza mediante

chapas de fijación ideales aplicadas en los nudos 1, 2 y 3. Bajo esta condición y con las cargas

exteriores actuarán, sobre las chapas de cada nudo, los siguientes momentos de desequilibrio.

Sobre chapa nudo 1:

M M tm1 12 5 33 ,

Sobre chapa nudo 2:

M M M tm2 21 2 3 5 33 3 2 33 , , .

Sobre chapa nudo 3:

M M M tm3 32 34 3 4 17 117 , , .

Todos los Moik indicamos sobre un dibujo de

la estructura.

Supongamos ahora tomar el nudo 1, sobre el

cual actúa un momento M1=5,33 tm; si liberamos

el nudo el momento actuante lo obligará a rotar

hasta encontrar su posición de equilibrio,

apareciendo sobre las barras los siguientes

momentos:

M M tm tm

M M tm tm

12 12 1

16 16 1

0 67 5 33 3 57

0 33 5 33 1 76

( , ).( , ) , .

( , ). ( , ) ,

Anotamos estos valores sobre la estructura.


Al aparecer en la barra 1-2 un momento de (-3,57 tm) parte del mismo se transmite al

nudo 2:

M tm tm12 0 5 3 57 1 79, ( , ) , Anotamos sobre la estructura.

El nudo 1 ahora está en equilibrio ya que actúan los momentos barra sobre nudo: (-

1,76+5,33-3,57)=0.

Colocamos nuevamente la chapa de fijación en la estructura, para indicar que se equilibran

los momentos colocamos rayas sobre las barras 1-6 y 1-2.

Pasamos al nudo 2, donde existe un

momento de desequilibrio:

M tm2 5 33 3 1 79 4 12 , , , .

Liberamos el nudo y aparecerán:

M M tm tm

M M tm tm

M M tm tm

21 21 2

2 3 2 3 2

2 5 2 5 2

0 43 4 12 1 77

0 43 4 12 1 77

0 14 4 12 0 58

( , )( , ) , .

( , )( , ) , .

( , )( , ) , .

Valores que anotamos sobre la estructura.

Estos momentos se transmiten a los extremos 1, 3 y 5 mediante el coeficiente =0,5 como

0,89; 0,89 y 0,29 respectivamente, valores que indicamos sobre la estructura.

El nudo 2 está equilibrado. Colocamos la chapa en la estructura y cerramos el nudo

mediante una raya.

Pasamos al nudo 3, donde tendremos:

M tm3 3 0 89 4 17 2 06 ( , , ) , .

Al liberar el nudo aparecerán:

M M tm tm

M M tm tm

32 32 3

34 34 3

0 56 2 06 115

0 44 2 06 0 91

( , )( , ) , .

( , )( , ) , .


Estos momentos a su vez se transmiten como (-0,58 tm) y (-0,46 tm) a los nudos 2 y 4

respectivamente. El nudo 3 está en equilibrio, podemos volver a empotrarlo y cerrar el nudo.

Volvemos al nudo 1, como hasta el cierre anterior estaba en equilibrio, solo hay en este

instante un momento de desequilibrio que se ha transmitido del nudo 2:

M tm1 0 89 , .

Liberamos el nudo, distribuimos y transmitimos a los nudos vecinos de la siguiente

manera.

Distribución:

M tm

M tm

16

12

0 33 0 89 0 29

0 67 0 89 0 60

( , )( , ) , .

( , )( , ) , .

Transmisión al nudo 3: ( , )( , ) , .0 5 0 6 0 3 tm

Cerramos el nudo.

Pasamos al nudo 2:

M tm2 0 30 0 58 0 88 , , , .

Distribución:

M tm

M tm

M tm

21

2 3

2 5

0 43 0 88 0 38

0 43 0 88 0 38

0 14 0 88 0 12

( , )( , ) , .

( , )( , ) , .

( , )( , ) , .

Transmisión:

a nudo tm

a nudo tm

a nudo tm

1 0 5 0 38 0 19

3 0 5 0 38 0 19

5 0 5 0 12 0 06

( , )( , ) , .

( , )( , ) , .

( , )( , ) , .

Volvemos a cerrar el nudo y así sucesivamente.

Nudo 3: distribuimos M3=0,19 tm en (-0,11 tm) y (-0,08 tm), transmitiendo (-0,06 tm) y

(-0,04 tm).

Nudo 1: distribución: M1=0,19 tm en (-0,13 tm) y (-0,06 tm), transmisión (-0,07 tm).

Nudo 2: distribución: M2=(-0,07-0,06)=-0,13 tm en (0,06 tm) y (0,06 tm) y (0,01 tm),

transmisión (0,03 tm), (0,03 tm) y (0,00).

Nudo 3: distribución: M3=0,03 tm en (-0,02 tm) y (-0,01 tm), transmisión (-0,01 tm)y

(0,00).

Nudo 1: distribución: M1=0,03 tm en (-0,02 tm) y (-0,01 tm), transmisión (-0,01 tm).

Nudo 2: distribución: M2=-0,02 tm en (0,01 tm) y (0,01 tm) y no transmitimos nada a los

nudos adyacentes.

Hacemos notar que en cada iteración van apareciendo incrementos de momentos en los

extremos de barras.

En este instante todos los nudos están en equilibrio, podemos eliminar todas las chapas de

fijación que la estructura no se moverá. En el otro extremo de cada barra estará actuando el

momento inicial más todos los incrementos que han aparecido en cada iteración.


3-6) Momentos finales:

.35,0.67,4.17,3

.17,3.71,0.57,4

.28,5.12,2.12,2

253443

235232

122161

tmMtmMtmM

tmMtmMtmM

tmMtmMtmM

MMM kikiki

Donde se verifica que todos los nudos están en equilibrio.

Con los momentos en los extremos de cada barra y las cargas podemos hacer los

diagramas M, Q, N.

3-7) – Resumen:

1º) - Cálculo de las rigideces angulares .

2º) - Cálculo de los coeficientes de distribución .

3°) - Transmisión .

4º) - Cálculo de los momentos de empotramiento perfecto Mo.

5º) - Organización del esquema de distribución y realización de las iteraciones.

6º) - Cálculo de los momentos finales y elaboración de los diagramas de solicitaciones.

Aclaramos que no es necesario un orden cíclico en las iteraciones, pero en algunos casos

suele ser conveniente. En general, conviene ir realizando iteraciones en los nudos con mayor

desequilibrio para obtener mayor convergencia.

4) - ESTRUCTURAS DESPLAZABLES

En general ocurre que los nudos, además de tener libertad para rotar, pueden desplazarse

en el espacio. En estos casos, el planteo realizado no es suficiente para hallar las solicitaciones.

Sea la estructura de la figura sobre la que

actúan las cargas (P, H1 y H2) y tratemos de

resolverla.

4-1) Estado de carga cero “0”,

indesplazable:

En primer lugar convertimos la estructura

en un sistema indesplazable introduciendo dos

retenes o apoyos en los nudos 4 y 5.


La nueva estructura es indesplazable y

puede ser calculada basándose en el proceso

iterativo visto anteriormente, mediante la

sucesiva distribución de los momentos de

desequilibrio que aparecen en los nudos.

Terminado este cálculo tendremos en la

estructura un determinado diagrama de

momentos flectores que denominamos Mo, a

partir de los cuales podemos obtener los

esfuerzos de corte y normales.

Recordemos que en esta estructura

existen todavía dos apoyos o retenes ideales,

que la han convertido en indesplazable, que

tendrán valores de reacciones Ho1 y Ho2,

valores que podemos calcular mediante las

ecuaciones de piso:

56215423202

5432101

QQQQHH

QQHH

4-2) Estado de carga uno “I”, desplazamiento

del piso superior:

Vamos ahora a dar un desplazamiento 1 al

primer piso (superior), pero con las chapas que

evitan la rotación de los nudos.

Aparecerán los momentos

M M M M32 23 45 54, , , que si el momento de inercia es

cte, valdrán:

M MEJ

li k i k

i k

i k

i k i k

2

2 3( )

donde: 0;0;0 kikiM

MOMENTOS EN LOS EXTREMOS DE UNA BARRA CON DESPLAZAMIENTO

TRANSVERSAL

Barra Empotrada-Empotrada

Además: i k

i kl 1

M MEJ

l l

EJ

li k k i

i k

i k i k

i k

i k

6 61 1

2

M'3-2

2-3M'

M'4-5

M'5-4

H11

H12

Estado I


En nuestro ejemplo:

M MEJ

l

M MEJ

l

2 3 32

23

23

2 1

45 54

45

45

2 1

6

6

M

M

J

J

l

l

23

45

23

45

45

2

23

2

Barra Empotrada-Articulada

MEJ

l l

MEJ

l l

MEJ

l l l

EJ

l

i k

i k

i k

k i k i k

i k

k i

i k

i k

k i k k i k

i k

i k

i k

i k i k i k

i k

i k

22

22 3 0

3

2

3

2

2 3

23

3

1

1

1 1

2 1

Volviendo a la estructura, distribuimos los momentos de desequilibrio que han aparecido

hasta que el sistema se equilibre en la posición desplazada.

Tendremos entonces un diagrama de

momentos M1 con sus correspondientes esfuerzos

de corte y normales y sus reacciones H11 y H12,

valores que podemos calcular mediante las

ecuaciones de piso:

H Q Q

H Q Q Q Q

11 32 45

12 23 45 21 56

4-3) Estado de carga dos “II”, desplazamiento

del piso inferior:

Damos ahora un nuevo desplazamiento,

como el de la figura, al primer nivel (Inferior),

apareciendo momentos de desequilibrio en las

barras inferiores que pasamos a resolver por un

nuevo proceso iterativo obteniendo un diagrama

de momentos M2 y las reacciones H21 y H22

mediante el planteo de las ecuaciones de piso

correspondientes.

4-4) Ecuaciones de compatibilidad:

Como en el sistema original no existían retenes, la deformación de la estructura se

obtendrá mediante la combinación lineal de los tres estados de deformaciones y solicitaciones,

de manera tal que las reacciones sean nulas:

H k H k H

H k H k H

01 1 11 2 21

02 1 12 2 22

0

0


De estas ecuaciones es posible obtener las incógnitas k1 y k2 que son los factores por los

que hay que multiplicar los estados I y II de desplazamientos.

4-5) Momentos finales:

Se obtendrán por superposición de efectos, sumando los momentos de los tres estados de

cargas considerados anteriormente; sin olvidarnos de afectar por los coeficientes k1 y k2 a los

valores de los estados I y II correspondientemente ya que los mismos representen el

comportamiento real de la estructura.

Las solicitaciones finales serán entonces:

M M k M k Mi k i k i k i k 1

1

2

2

5) - ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS

Existe una gran cantidad de estructuras cuya forma es simétrica, situación que permite

hacer algunas simplificaciones en los cálculos.

5-1) Cargas:

Además, cualquier estado de cargas puede ser transformado en la suma de un estado de

cargas simétricas más otro asimétrico, mediante la aplicación del principio de superposición de

efectos.

Veamos algunos ejemplos sencillos:

Carga general = Carga simétrica + Carga asimétrica.

El procedimiento no tiene reglas fijas, pero en general es sencillo descomponer un estado

de cargas general en un estado simétrico más otro antisimétrico, bastando para ello respetar el

siguiente análisis:


Llamando s a un sector de la estructura y s` a la parte simétrica; si sobre los sectores

actúan las cargas:

Sector s P q

Sector s P q

;

;

El estado simétrico será:

Sector sq q P P

Sector sq q P P

2 2

2 2

;

;

El estado asimétrico será:

Sector sq q P P

Sector sq q P P

2 2

2 2

;

;

La superposición de los dos estados nos dará:

Sector sq q q q

qP P P P

P q P

Sector sq q q q

qP P P P

P q P

2 2 2 2

2 2 2 2

;

;

Observamos que lo obtenido es el estado original de cargas.

5-2) Elástica y Solicitaciones:

Veamos ahora que pasa con los diagramas de solicitaciones M, Q, N para estos casos de

cargas y para las estructuras ya vistas:

ASIMETRICA

SIMETRICA

ASIMETRICA

ASIMETRICA

P/2

H/2

q/2

P/2

H/2

M

Q

N

ELASTICA

q/2P/2 P/2

H/2 H/2

SIMETRICA

SIMETRICA

ASIMETRICA

SIMETRICA


En conclusión, en estructuras simétricas con cargas simétricas y cargas asimétricas se

cumple que:

Carga Elástica Mf Q N

Simétrica Simétrica Simétrica Asimétrica Simétrica

Asimétrica Asimétrica Asimétrica Simétrica Asimétrica

Basándose en esto se pueden hacer importantes simplificaciones en los procedimientos de

cálculo, ya que por simetría puede eliminarse algunas incógnitas en función de otras iguales, o

bien que tienen el mismo valor absoluto. Veamos esto en su aplicación al Método de Cross:


5-3) Estructuras simétricas con cargas simétricas:

5-3-1) El eje de simetría corta a un apoyo:

Dada la simetría, el nudo del eje no

tendrá rotación, luego se está comportando

como un empotramiento y puede ser resuelta la

mitad de la estructura a la cual se la considera

como empotrada en el apoyo de referencia.

Del otro lado del eje se dibujan los

diagramas teniendo en cuenta las conclusiones

anteriores.

5-3-2) El eje de simetría corta a una columna:

El nudo A no puede tener rotación ni

desplazamiento, luego, se lo considera como

empotrado y se resuelve la mitad de la

estructura.

Se debe, sin embargo, tener en cuenta

que en la columna actúa un esfuerzo normal

que es el doble del esfuerzo de corte que actúa

en el empotramiento.

5-3-3) El eje de simetría corta a una barra:

Si consideramos la barra AA`, como el

momento flector es simétrico, podemos suponer

que en un determinado instante sobre la barra

actúan dos momentos como los indicados en la

figura.

Consideramos que soltamos dos nudos a la

vez y analicemos que ocurre con el coeficiente de

rigidez angular de la barra, si EJ = cte.

MEJ

lsi

MEJ

l

AA

AA

AA

22 1 1

2

` `

`


Se deberá entonces resolver una estructura que sea la mitad de la estructura original. Con

los momentos de los nudos y las cargas podemos dibujar los diagramas y por condiciones de

simetría extender a toda la estructura.

5-4) Estructuras simétricas con cargas asimétricas:

5-4-1) El eje de simetría corta a un apoyo:

Por condición de carga, en el apoyo A

es nulo el momento flector; por lo tanto

podemos considerar que existe una

articulación y calcular con esta condición la

mitad de la viga solamente.

5-4-2) El eje de simetría corta a una columna:

Sobre el nudo A actúan dos momentos de

desequilibrio MA.

Denominando V y C a los coeficientes de rigidez de viga y columna respectivamente,

tendremos:

M M M

M M M

V

V

V C

A

V

V

CA

C

C

V C

A

C

V

CA

22

2

22 2

2

2

Podremos entonces resolver una

estructura que sea la mitad de la original, en

la cual el coeficiente de rigidez de la

columna que pasa por el eje de simetría

tiene un momento de inercia que vale la

mitad del original y por lo tanto su

coeficiente de rigidez valdrá la mitad del

original.


5-4-3) El eje de simetría corta a una barra:

Por condición de simetría el punto A no

puede descender y además en ese punto el

momento flector es nulo.

Bajo estas condiciones se puede considerar

que hay un apoyo con una articulación y se

resuelve la mitad de la estructura solamente.

MEJ

lsi

MEJ

l

como l lEJ

l

B

B B

B BB

B B

BB BA BA

B A

22 1

6

23

( )

6) - ESTRUCTURAS CON BARRAS DE MOMENTO DE INERCIA VARIABLE

Normalmente las variaciones de momentos de inercia que podemos encontrar en las

estructuras son las siguientes:

a) un acartelamiento:

b) dos acartelamientos:

Si el diseño estructural se realiza en forma conveniente, el empleo de cartelas conduce a

un considerable ahorro económico. Los elevados momentos de inercia de las secciones en las

zonas acarteladas dan como resultado mayores momentos en los nudos y menores momentos en

los tramos, en comparación con los correspondientes a una estructura formada por barras de

momento de inercia constante. En consecuencia, las secciones en los tramos pueden elegirse

menores, lo que a su vez influye de manera favorable sobre la carga debida al peso propio.


El presente estudio consistirá en enunciar las expresiones y determinar la mecánica de

trabajo para la resolución de estructuras acarteladas, utilizando la nomenclatura correspondiente

a las tablas del libro “Cálculos de Estructuras” de C. Prenzlow.

6-1) Ecuaciones fundamentales:

Al estudiar el método de las deformaciones habíamos encontrado que:

M M a b a b

M M a b a b

12 12 12 1 2 12 12

21 21 21 2 1 21 12

( )

( )

Siendo a12; a21 y b coeficientes que dependen del tipo y dimensiones de la cartela. Estos

valores se obtienen de tablas, donde aparecen los valores de a y b reducidos en 1/Ejc para una

barra de longitud unitaria.

A estos valores los llamamos a y b, resultando:

l

EJb

l

EJa

l

EJa ccc baa

21 2112

Reemplazando en las expresiones anteriores resulta:

M MEJ

la b a b

M MEJ

la b a b

c

c

12 12 1 1 2 1 12

21 21 2 2 1 2 12

A fin de utilizar las tablas de Prenzlow

vamos a transformar estas ecuaciones en función

de la nomenclatura y coeficientes dados por este

libro:

aV

li

J

J

c

v

Con los valores de a e i vamos a las tablas de doble entrada y obtenemos los coeficientes

k1, k2, m12, m21 los cuales presentan las siguientes relaciones con los vistos anteriormente:

a k a k

b

am b k m

b

am b k m

1 1 2 2

1

12 1 12

2

21 2 21

4 4

4

4

Las expresiones de los momentos en los extremos de las barras serán entonces:

M MEJ

lk k m k m

M MEJ

lk k m k m

c

c

12 12 1 1 1 12 2 1 12 12

21 21 2 2 2 21 1 2 21 12

41

41


6-2) Aplicación del método de Cross:

Como sabemos, para aplicar este método debemos conocer:

a) Momentos de empotramiento perfecto.

b) Rigideces angulares.

c) Coeficientes de transmisión.

d) Coeficientes de distribución.

6-2-1) Momentos de empotramiento perfecto:

De acuerdo con la barra, si tiene uno o dos acartelamientos, con los valores de a e i, tipos

de apoyos, si la carga es distribuida o concentrada (en el caso de esta última en función de la

posición de la misma) se entra en la tabla correspondiente y se obtienen los coeficientes que nos

permitirán calcular los momentos de empotramiento perfecto.

Para cargas uniformemente distribuidas:

M r ql

M r ql

ik i

ki k

2

2

r: coeficiente de tabla.

q: carga por metro lineal.

l: longitud de la barra.

Para cargas concentradas:

Un acartelamiento:

M Pl

M Pl

ik i

ki k

: coeficiente de tabla.

P: carga concentrada.


Dos acartelamientos:

M Pl

M Pl

ik i

ki k

: coeficiente de tabla.

P: carga concentrada.


6-2-2) Rigidez angular:

Recordando que se define como rigidez angular al momento necesario a aplicar en el

extremo de una barra para que en el mismo se produzca una rotación unitaria.

Barra Empotrada-Empotrada:

MEJ

lk

cuando MEJ

lk

ik

c i k

i k

i i

i ik i k

c i k

i k

i

04

0 0

14

( )

Barra Empotrada-Articulada:

MEJ

lk K mik

ci k

i k

i ik k 04

00 0( )

siendo mik = 0 porque no puede transmitir

momento el apoyo articulado:


MEJ

lkik i k

ci k

i k

4

0

6-2-3) Coeficiente de transmisión:

Recordando que el coeficiente de transmisión es el valor del momento que se produce en

el extremo de una barra cuando en el otro extremo actúa un momento igual a la unidad:

Barra Empotrada - Empotrada:

M MM

Mk i ik ik ik

ki

ik

Para el caso que i = 1

ik

ki

ik

ki

cik

ik

k ki i

M

MEJ

lk m

04

0 0( )

Siendo:

k m k m

MEJ

lk m

k ki i ik

ki

cik

ik

i ik

4

( )

Reemplazando en la expresión de ik los valores de Mki y ik:

ik

icik

ikiki

ik

cikik m

kEJ

lmk

l

EJ

4)(

4 => ikik m


Como no es posible transmitir momentos al apoyo articulado resulta:

ik ikm 0

6-2-4) Coeficiente de distribución:

Tal como se ha establecido para el caso de barras con momento de inercia constante, los

coeficientes de distribución se calculan mediante la expresión:

ik

ik

ik

para todas las barras que concurren al mismo nudo.


6-3) Momentos en los extremos de una barra con desplazamiento transversal:

Barra Empotrada-Empotrada:

Cuando provocamos un desplazamiento

en los tramos o pisos desplazables:

MEJ

lk k m

l

MEJ

lk k m

MEJ

lk k m

M

M

k m

k m

ik

cik

ik

i i ik

ik

ik

cik

ik

i i ik

ki

cik

ik

k k ki

ik

ki

i ik

k ki

04

0 0

4

4

1

1

2

2

( )

( )

( )

( )

( )


M

EJ

lk

M

ik

cik

ik

ki

4

0

2

6-4) Forma de considerar los acartelamientos en vigas y columnas:

Vigas:


Columnas:

universidad nacional de misiones · 2020. 9. 28. · estructuras método de cross: pág. 1/21...

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