FISICA RELATIVISTAFISICA 2º BACHILLERATO

01/07/2014 Física relativista 2

Paralelamente, en 1900 , Max Planck,formuló los principios básicos que daríanorigen a la mecánica cuántica.

En 1905, Albert Einstein, a la edad de 26años, publica su Teoría Especial de laRelatividad, a cerca del movimiento ensistemas inerciales. En 1916 amplió suteoría a sistemas no inerciales y a lagravitación, con el nombre de TeoríaGeneral de la Relatividad.

01/07/2014 Física relativista 3

Índice

1. INTRODUCCIÓN

A. RELATIVIDAD CLASICA

B. EL PROBLEMA DEL ELECTROMAGNETISMO

C. TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

MASA RELATIVISTA

2. LA RELATIVIDAD GENERAL

01/07/2014 Física relativista 4

1. Introducción

La teoría de la relatividad es una teoría clásica,

solamente pretende deducir las leyes de la física bajos

diferentes sistemas: sistemas inerciales y no

inerciales.

El problema surge cuando, a partir del experimento

de Michelson-Morley, la velocidad de la luz es la

misma para cualquier observador, entonces algo

ocurre con el espacio y el tiempo, algo que en

principio no era ni predecible ni imaginable.

01/07/2014 Física relativista 5

A. Relatividad clásica

La relatividad de la mecánica Newtoniana

Las trayectorias y las velocidades son relativas.

El tiempo es absoluto, igual para todos los

observadores.

Principio de relatividad de Galileo

“Es imposible poner de manifiesto, por procedimientos

mecánicos, si un sistema de referencia está en reposo o

en MRU”.

01/07/2014 Física relativista 6

Transformación en sistemas inerciales

Sistema inercial.

Son las ecuaciones que permiten relacionar las

observaciones realizadas en sistemas de referencia

distintos O y O’.

Transformación de Galileo

- Distancia y aceleración son invariantes.

- La velocidad es relativa al observador.

tt

zz

yy

vtxx

'

'

'

'

01/07/2014 Física relativista 7

x

vt

x’

z

y

z’

y’

P

O

O’

r’

r

' ' '

La velocidad:

' '

'

La aceleración:

' '

'

r r OO r v t

d r v tdr d ru v

dt dt dt

u u v

d u vdu d ua

dt dt dt

a a

01/07/2014 Física relativista 8

Principio de relatividad de Galileo

“Las leyes físicas, de la mecánica, tienen la

misma expresión matemática y son las mismas

en todos los sistemas de referencia

inerciales”.

01/07/2014 Física relativista 9

E1.: Una trainera emplea 10 min en recorrer 4 km cuando

navega a favor de la corriente. Estos mismos km los recorre en

24 min cuando navega en contra de la corriente ¿Cuál es la

velocidad de la trainera y de la corriente con respecto a un

observador que se ha

17 y 7 km/h

E2.: La posición de una partícula según el sistema de referencia

O es: m, mientras que con respecto a otro

sistema O’ es: m.

¿Cuál es la velocidad relativa entre ambos sistemas?

2 3(4 2 ) 2r t t i t j k

2 3' (4 3 ) 4r t t i t j k

v = -5i

01/07/2014 Física relativista 10

B. El problema del electromagnetismo

Anécdota del joven Einstein

De las ec. de Maxwell se deduce el carácter ondulatoriode la luz y el valor constante de la velocidad de la luz.c= ( 0 0)

-1/2

Y esto en cualquier sistema de referencia.

Esto está en contradicción con la transformada de Galileoy va a implicar la revisión de la transformada de Galileo.

Las ec. de Maxwell predicen la existencia de ondaselectromagnéticas que se propagan a la velocidad de la luzsin necesidad de medio material.

Esto supuso en principio la existencia del Éter: extrañomedio que permanecería en reposo absoluto.

01/07/2014 Física relativista 11

Experimento de Michelson Morley

Trató de medir la velocidad de la Tierra respecto

del éter y así medir el “viento del éter”

El experimento fue un total fracaso que solo podía

tener tres explicaciones:

- El éter es arrastrado por la Tierra. No es un sistema de

referencia absoluto.

- La luz se mueve siempre con la misma velocidad.

- La distancia recorrida en la dirección del éter se acorta.

01/07/2014 Física relativista 12

C. Teoría especial de la relatividad

Einstein interpretó el experimento de Michelson

indicando que la velocidad de la luz es igual para

todos los sistemas inerciales.

También las ec. de M. se cumple para todos los

sistemas inerciales.

Se rechaza la transformada de Galileo y la

existencia del éter y se busca una transformada

correcta.

01/07/2014 Física relativista 13

Postulados de la teoría especial de la

relatividad

1º. Las leyes de la física son válidas y tienen la

misma expresión para todos los sistemas

inerciales (Galileo solo Mecánicas)

2º. La velocidad de la luz es constante para todos

los sistemas inerciales: La distancia y el

tiempo ya no son absolutos. Se impone la

Transformada de Lorentz.

01/07/2014 Física relativista 14

Consecuencias de la Transformada de

Lorentz-Fitzgerald

Coinciden con la transformada de Galileo para v

pequeñas.

Dilatación del tiempo t = t’ donde

Contracción del espacio l’ = l/

Masa relativista m = m0

Equivalencia masa-energía

2

2

11

1v

c

01/07/2014 Física relativista 15

E3.: Una barra de longitud l viaja en un cohete que se mueve a

1,000·103 km·s-1 respecto de un sistema inercial S. Si se

encuentra orientado en la dirección del movimiento, calcula su

longitud en el sistema S.

el 99,999 % del original

E4.: Un pasajero de un vehículo espacial tarda 15,00 minutos en

escribir una carta medidos en el sistema de referencia de la

nave. Si esta se mueve a 2,000·103 km·s-1 respecto de un sistema

inercial S. Calcula el tiempo que tarda en escribir la carta para

un observador situado en S.

15,0003 min

01/07/2014 Física relativista 16

Transformada de Galileo

ty

zz

yy

vtxx

'

'

'

'

01/07/2014 Física relativista 17

Transformada de Lorentz

2 2

2

'

' donde:

'

1' 1

1

x x vt

y y

z z

vxt t

c v

c

01/07/2014 Física relativista 18

Masa relativista

0mm

2 4 6 2

2 4 6 22 2

2 2

1 1 3 5 1 11 ... 1

2 8 10 21 1

v v v v

c c c cv v

c c

)1(2

12

2

00

c

vmmm

La energía cinética relativista de un objeto en movimiento es:

2

0

2

0 )(2

1cmmvmEc

La ecuación (1) se puede poner: )2(2

1 2

0

2

0

2 vmcmmc

Donde el primer término representa la energía total de un cuerpo, el

segundo la energía del cuerpo en reposo y el tercero representa la

energía cinética relativista.

01/07/2014 Física relativista 19

E5.: Un muón tiene una energía en reposo de 105,7 MeV y se

mueve con una velocidad igual a 0,7c. Calcula su energía total,

su energía cinética y su momento lineal.

148 MeV; 42,3 MeV; 5,52·10-20 kg·m·s-1

E6.: La energía total de un electrón es cinco veces más que su

energía en reposo ¿Cuál es su velocidad?

0,979·c

E7.: ¿A qué velocidad será la masa de un cuerpo el doble de la

que tiene en reposo?

0,866·c

01/07/2014 Física relativista 20

2. La relatividad general Einstein había concebido la teoría especial de la relatividad

como una teoría aplicable sólo a sistemas de referenciainerciales.

El paso siguiente sería buscar una teoría que proporcionaradescripciones físicas adecuadas para un sistema de referenciatotalmente general.

Esta búsqueda era necesaria:

- Según la Relatividad Especial ninguna información puedeviajar a mayor velocidad que la luz, y por lo tanto no puedeexistir relación de causalidad entre dos eventos unidos por unintervalo espacial.

- Sin embargo, uno de los pilares fundamentales de lagravedad newtoniana, el principio de acción a distancia,supone que las alteraciones producidas en el campogravitatorio se transmiten instantáneamente a través delespacio

01/07/2014 Física relativista 21

La contradicción entre ambas teorías es evidente

Einstein resolvió este problema interpretando los

fenómenos gravitatorios como simples alteraciones de la

curvatura del espacio-tiempo producidas por la

presencia de masas.

Reflexión sobre un cajón en el espacio.

Einstein enuncia en el año 1912 el principio de

equivalencia. No hay forma física de diferenciar un

sistema acelerado de un campo gravitatorio.

01/07/2014 Física relativista 22

La relatividad general describe el universo en

términos de cuatro dimensiones, tres en el espacio y

una en el tiempo, con la gravedad considerada como

una propiedad geométrica de este espacio-tiempo

tetradimensional no euclídeo.

Pruebas de la relatividad general:

Einstein dedujo que el espacio se curva alrededor de una masa de tal forma que

un rayo de luz que pasara rozando esa masa se desviaría.

Logra explicar completamente el

misterio de la órbita de Mercurio,

en cuanto a la precesión o adelanto

de su perihelio de 43º de arco cada

cien años, señalando que ello es

producto del espacio intensamente

curvado en las inmediaciones del

Sol.

01/07/2014 Física relativista 23

Transformada de Lorentz

Experimento de

Michelson-MorleyInterpretación de Einstein

1905

Velocidad luz constante

Leyes físicas también

Transformada de Lorentz

Dos sistemas S y S’. S’ se aleja de S en dirección OX a la velocidad de la luz, v.

x’x

z

y y’

z’

Tiempo t Tiempo t’

Movimiento con velocidad

v con respecto al sistema S

S S’

01/07/2014 Física relativista 24

(2)

(1)

'tc'x

tcx

y esto porque la velocidad de la luz es igual para ambos observadores.

(3))(' vtxx

(4))''( vtxx

si =1 tenemos la trasformada de Galileo, e igualmente

- Sustituyendo en (4) la x’ de (3) y despejando t’

2

2

( 1)( ) ' (5)

xx x vt vt t' t

v

Un rayo de luz en S’ tiene por coordenadas en ambos sistemas.

01/07/2014 Física relativista 25

- La velocidad de la luz es la misma en ambos sistemas. Entonces se sustituye (1)

y (2) en las expresiones (3) y (5), y dividiendo ambas expresiones despejamos .

- Finalmente a partir de la ecuación (3) y sustituyendo el valor de expresado en

(8) en (5) se tiene la transformada de Lorenz

2'

'

'

)('

c

xvtt

zz

yy

tvxx (3)

)9(

2

2

1

1

c

v

(6))(' vcttc

(8)2

2

( 1)1 (7)

ct' t

v

01/07/2014 Física relativista 26

Dilatación del tiempo

2'

ht

c

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

22 2

2 21

2 ''

1 1

t tc v h c t v t h

v h v ht t t

c c c c

h tt t t t

v vc

c c

01/07/2014 Física relativista 27

Contracción de la longitud

2 1l x x v t2 1' ' ' '

' ' '

l x x v t

l ll t l

t