CAPITULO III

COORDENADAS CURVILINEAS

En física existe un gran número de problemas que se pueden resolver mas fácil­mente si se trabaja con coordenadas apropiadas al problema que de resolver se trata, es decir, las coordenadas cartesianas no son siempre las mas convenien­tes para todo tipo de problema; así por ejemplo si estudiamos el flujo de calor a través de una esfera, evidentemente lo más práctico es trabajar con coordena­das esféricas; si estamos calculando la longitud de un arco de circunferencia lo mas conveniente es trabajar con coordenadas polares ( es decir, cilíndricas en un plano) ya que en e ste caso SCI. \,:;. f8-7<. d. -e- ~ 7< (ti-b - e-A..) lo cual

, )-0;0.

es mas simple que si lo hacemos con coordenadas cartesianas:

con id. ~ -.x. (R."L_;;(... 'l.. ) - '/,

d.:t..

En vista de lo anterior surge la necesidad de estudiar las coordenadas curvilíneas . J

en un espacio dado instalemos un sistema coordenado cartesiano Yi ó sea cada punto del espacio queda determinado en este sistema por una terna de valores ( d', Jl, 13 ); definamos ahora tres funciones ( :x,. XL, ~J ) tales que:

3-1) X,::: XI l J',1 1.,13 )

Xt= :lo¿ (:h.J'L,Jl) l' }.= X") ('J, ,lt, J:1)

Esas funciones las vamos a suponer monovaluadas y derivables en todos los pun-tos del espacio tomado; si en 3-1) hacemos x,:: el' ::x.2. = (~ ,..:t.:. -::: C3 , las ecuaciones quedan:

3-2) :t, ( J., 1 t.. , ~"3) = el Xl. ( J, )1.. j ~ ) ":. (lo , , ::(.~ (J •. 'j ~ . ') ~ ') ::. ~"}

Vemos que en cada una de esas tres ecuaciones se puede despejar una de las ~ en función de las otras dos 1. t por ejemplo jI = f, ( c.. 1 I J .... , 'J, ) ó sea que cada una de las ecuaciones 3-2) representa una s1..~perficie porque la coordenada en una dirección ( ';fl por ejemplo) es función de los puntos del pla­no normal a esa dirección (plano Y2 Y3 por ejemplo); este es el caso por ejem­plo de la ecuación ~::: -t" V7P"_x1.._J·L. que nos represente. una semiesfera de ra­dio R y centrada. en el origen: a cada punto ( x , y) del plano X Y corresponde un punto de coordenadas ( X. , J I t ) perteneciente a esa semiesfera y el z. dado precisamente por V 1<.1.. -xl..- j'Z" .

r

,

8

Si en la ecuación 1\ ( 'f '. '11. J, ) ::. L, vamos cambiando el valor de la cons tan­te e, obtenemos una familia de superficies (por ejemplo si en 2::. V'RZ-_:;;Ll._'jL

hacemos variar R obtenemos una familia de superEicies esféricas concéntricas) y lo mismo se aplica a X z. ('1.)'1. '1~)-:'(l.y x~('f,lz.'J'!))=-ó; de este modo el espa­cio considerado se puede pensar como lleno completamente con tres familias de superficies y en cada punto ( ~ I j~. ~") ) de este espacio se cortan tres super­ficies, p:-ecisamente aquellas para las cuales se cumple:

'J =- '1, (y \, ::t 2. • Y ~ )"; ~,dado

Como vemos, para poder garantizar la intersección de tres superficies en cada punto del espacio es necesario que en las ecuaciones 3-2) se puedan despejar las j \' en función de las ::i.,.' de modo que para cada terna ( X" xt. J X ~ ) exis-ta una y solo una terna ( ~" :J't. ~ 3 ); la condición algebráica que nos ga-nntiza esto la obtenemos si en 3-1) expresamos las diferenciales totales de x.... en función de los diferenciales totales de J',', es decir:

3-3) ~, r7 (

d :I:, d j, 4- d .x, d)1. + aXI el J3 2J'h,. -~ 'J, d'$~

d-:i., =

.;;::ú d 'J I + ;) X1.. d 1-r + ;; Xl. d '13 •

dj¡ d 'f~ .;):13 d -::1.1... =

a :f.3_ do 'i ~ .:i 3. d..1 '1. + a x,. el J'3 ... ~ j, I é>:f-z. d J'}

Se demuestra en el análisis matemático avanzado que la condición necesaria y suficiente para que exista una correspondencia buinÍvoca entre los ::fJ y los

JL es la de que no se anule el determinante de los coeficientes del sistema de ecuaciones 3-3); este determinante se llama el jacobiano de la transformación que nos convierte a los JI' en los .:(' a partir de las ecuaciones 3-1) I es decir se debe cumplir:

•

.I. é)Xj. =1 O - (3 :ü. a,:t lo -- dj, -C> 'j '&. d '13

;;; -:L) .a X3 . 2> X-J, d '1, •

.;) '1 ~ d 13

• 9

Volveremos sobre el jacobiano en el capítulo XI sobre tensores relativos. Si en un punto del espacio tenemos tres superficies intersectadas: :::t:.,:: x, C1.1"l.J'});:, (1.)

.:x."I. := X1 ['1,,'r"L . J"3 ) =- C"I., X ~:: ;1C') ( 1., '1 ... , '13) ;:. e 3 sabemos que ellas se cortarán dos a dos según una curva; así: la intersección de X 1.. :;:. c.."lo y 1} L.., la obtenemos despejando d~' en-función de XI' -!'7

3-5) J 1 =- 1, (X" (2. J C:J Jl.; ~1. (X." (1., ("?»

J 3:: J 3 ( "j. \ J Ú, ("!J)

Recordando que los J l' se refieren a coordenadas cartesianas del espacio pode­mos observar en las anteriores ecua~iones que para el punto en cuestión ( o sea siendo L"" c.") constantes) los valores de J" '$'1., j., son funciones de un solo parámetro ( X, )} por lo tanto las ecuaciones 3-5 son las ecuaciones pará­métricas de la curva que resulta de la intersección de las superficies )( " ~ -x: 1. ( JI, 17. ) -) ~ '") -::.. L z. Y :x ~ ;: ::;( , t.. 'f" 'j '&., '1 3) =- C"3 ; e s ta curva

la llamamos la curva Xl; análogamente podemos decir que la intersección de las superficies Xl = el y X3 = e3 es una curva X2 y la intersección de Xl = el y X2 = e 2 es la curva X3 I en el gráfico siguiente podemos apreciar estas curvas

Xl' X2' X3 :

j,

• • • •

-rl t ,

-•

superficie

superflcie

superficie

• • • • • . ::.::::;::-•

•

r- (X,;:(,¡ :t2 =- ¿~),)(3 ~ h) -• - -( j' J J 11. J 1 J )

•

,

XI el : -:: - • - • - , - -

X<.:= (, • 1I111/ •

X3 .= (3 .. .. . ~

• •••••• •

•

10

llamemos ~ al radio vector que nos localiza el punto l' con respecto al origen de coordenadas del sistema cartesiano ( 'j" J 'Z., ~ 3 .); tenemos entonces:

ya que

hemos d_cho que de 3-1) se pueden despejar las rL' en función de las J::(.' . Ahora, si desplazamos a y una distancia infinitesimal a lo largo de la curva Xl se-f0s convierte en y+- el.::; (aquí se mant~nen x2 y x3 constantes) sien­do d y un vector tangente a Xl ; la derivada ay representa entonces un vector

é):;(1 _

tangente ~ Xl Y nos mide precisamente el cambio de Y a lo largo de Xl; este vector dY en general no tiene por qué ser unitario; lo llamaremos a, ;análoga-,

d:t.1 _ -mente a: :=- a y ~.:x'L

y a.3:::: son vectores tangentes a las curvas Xz y

X3 respectivamente.

Si tenemos una función escalar .")(, ::...;(, ( JI )1. '53) se llama ... d:X -e ___ t '. 7? la expresión: eX, L. + -' L'., + é) .),[, l.'.,. _ '\7", con t.,'

;aj, ;;) 'i'l. 40 ;;¡'13 ~ - V ... I )

gradiente de..:x::1 a vector unitario en

Si A ~ representa el parámetro longitud de· arco a lo largo de la curva Xz enton­ces ;;;7 no solo es un vector tangente a la curva coordenada X2 sino que tam-

dA~ . -bién es unitario ya que en el límite (cuando AY y 6 h""L son infinitesimales) la magnitud de 6,':; tiende a la de .6.-1

2,este vector unitario lo llamamos

--.

1:- - ay . ~ -

~A'1. -. _ Pero Y .= '1, i, + 1t -z: T J"">¡) L:J (con ':t,. '1 'L, j"3 representando puntos de la cur­va X2 I para lo cual se deben cumplir las ecuaciones del tipo 3-5, es decir va-riando sólo una de las tres variables ::L." X'Z. J::L, en este caso sole X'L)

-.. - ' - --t: l.. ::. é) '1..l • a 'jL ,

;) 'h. .. , Tenemos entonces: L, .¡. l..,. +- L.3 • vector unitario

d~2. d--1'1. d-1z •

tangente a la curva X2 .

, d :!z d .:L. ~ '"1 3 d X,

Ahora: - ;::; XI é) '11 5) .::L,_ .;.. -VXI .T?:= + , - . - Gl...02. d /n.. - , ..

:;)'j-;) d J' ,9/')2. a'f7. 8.,.6'1.

,

Hemos demostrado pues que para cualquier punto P el gradiente de la función X,; .:tI (J,,'!<.,13) multiplicado por el vec:tor unitario en la direcCión de la

curva X. (o s e a XI:;' c..r4_ J X3::' dL ) es igual a la derivada de esa fun-ción X'::..:X, ( '/, '$z. '13) con respecto al arco A 1.. ; por lo tanto si a la fun-ción X, ~ X, [1./ .; :., \ la tomamos constante ( :x I =- (, ) entonces

- JI, J L, J»

(

11

-...... -d ~ '. = O Y en este caso: 3-6) d~z.

\l :X. , • -t- A., =O es decir I que si .x, =- <:'1 en-

-tonces el vector gradiente de XI es normal a la tangente -t-~ de la curva X 2. •

Análogamente:

Q -:;t. 1 • -F; :: ?J:;Y a '11 aJ' .9...13

+ a xJ é} '1 3. .¡.. a.:x.J a 'b, = d.. XI. ~'j¡. éJ/5:) é)"j} ;>~') dA3

o sea el g radiente de XI multiplicado e sca larmen te por el vector unitario tan­gente a la curva X3 es igual a la derivada de XI con respecto a 'la longitud a lo largo de X3 ( /.)'3); si X, = e 1 entonces d ';;::"', =O Y por lo tanto para este

_ _ dA3 caso "'1:$.1. -t:-~ =0: 3-7; vemos así que el gradiente de XI es normal a r:.; cuando XI es constante.

•

De 3-6 Y '3-7 se concluye que cuardo XI =cte ( o sea para la superficie X ,:.)L,{t,'j:'h):'(,,)

el gradiente de XI es normal a la tangente R a la curva Xz y a la tangente ---- .~ ----n a la curva X3 y co~ Ll.. Y -t"~ están sobre la superficie ?<l = el en ton-ceue concluye que '\/XI es normal a la superficie Xl = el' Análogamente:

'1X1. es normal a la superficie.x2 = eZ y

-'V-:/.3 es normal a la superficie:i.3 = e 3

Podernos demostrar ahora que los vectores:

Q. , ;:. Q..' °3 ~-- CJ, - - - y ,

•

Tenemos:

y:

entonces:

forman dos bases recíprocas.

--. --. -=-- ----y;. '! I l I ~ '$1. L'l. ~ )3 ¿ ::::-'/ do::.

~'1"Z.. ax! +- a:j-~ d.::tl 8':h a~1

el XI =- 1 dx,

, análogamente:

--o --?

a~. (Jx.. ::. o)

3-7 a)

y

12

.t- ;;)'11, :2;;(,2 4- ~j:J ? X1 ~ ? ~I é> ~ 'l. e ~ ; é) ':Í3

Vemos pues que se cumple la ecuación 2-3) que nos define las bases recíprocas: -;:;. ~ V' .... ( .' ( = 1 para i = j , = O para i ~ j) . '-(. L. V A.J... a t J

-? --:> Si los Ch forman una triada ortogonal entonces como ya sabemos, los V Xt: . ~

coinciden con los a.l' o sea las dos bases coinciden ( esta coincidencia es por lo menos de sus direcciones y si los ar. son unitarios también coinciden en magnitud).

Para terminar es te capítulo apliquemos lo anterior a un tipo simple de coordena­das curvilíneas, las cilíndricas; en este caso se cumple:

'-j I ;:.. Y ~ 4¡;10..

~ 1.. ;::: Y .s,..t..v¡ e-\)3;:: ~

siendo ( '1" :f .... , ':J") ) coordenadas cartesianas y gún la nomenclatura con que hemos venido trabajando

...., ..r _ ;:,L I & =- X"¡, "\:;::: 1 - J 'J

; e s decir: 3- 8) ,

J'2,-::' .xl .5~ ::r. '2. ) '53 ~ ~3

--':> a..:J son: ----? -Los vectores 0-., C1l., - -'9 --'> -C} ~j~ • • •

d ':Í~ .f _d1 1, ,

(. 4- (, (3 - ~ ::t...."l (, 1- ,)-<,v, - '" -dX, C7 x.. eXI

I

se-

.":> Z2.. Lt

- - ---, Para encontrar '({x" -V Xl., í/ X3 necesitamos la transformación inversa de 3- 8) es decir:

13

Ahora: - --.. -.. a:L. - • ax, • a X, 'VX I •

l.:a l., +- (1 r • --- é) 1, é) 'jt dj~

-"J, • ::fa. -.. L, .... • - t 1 -- V J.~ +!: V J.1.. + ~h1.

-- -:)~. ~ X'l.. _ i, ..

V -:f.," Ca ~ '1. :t. ~ +:(~ St.-II"':4

Análogamente obtenemos: - -. - j ..(N).:x.l. • t!C 5 ..:z:k. • 'íj Xl. l.. +- L z • - -- ~, :x, - -... "Ix) - (3 .-

Como vemos, re sulta: -=-- -a. I :. 'íf ::(. J :.

-1 _ _

Q. 3 =- '({.1.,3::' ¿ 3

~ --. tIz. y 'V:x. L tienen igual dirección pero no igual módulo ya que como -entonces 'íj Xl.

,. \ ~1. \ j: 1 --- ---. ~-,. Las dos bases resultan así iguales en sus vectores ( a, CL3 ). Y ( Y:x... \i':b)

--.. --:"'1J' ~ ~

pero no en Ch y 'V x.. esto debido a que ( UI ct·U1...)) es triplemente ortogo-nal pero \ Q'l.. \:f. 1; como se ve: Qt'. 2ij ~ O (i:ir j) I es decir:

, •

14

- - -En el siguiente gráfico apreciamos los vectore s a f .1 al. I a.) para coordenadas

cilíndricas

\

• • •

r ..... r-__ .:.. __ .... ; • • ..-.. '""':'"'1J' • • •

• • •

• •

: a, :::.a. ... • • • , • • • • • • • •

• •

••• '. 1 .. .. : . .. ...: I .... ..

,,/- •• ....... w • ~'" .............. +------ t ' .,' e 't ~ •

•

En este caso las tres su­perficie s que se cortan en todo punto P son las siguiente s :

Y':. XI ~ '1'1,'1.+1-; : d:c.(cilindro)

'1 -e I! X"f. :::. o.vc7"aa;" :t.:ct~(Plano )

,

La s curvas coordenadas son:

Xl: Intersección de las superficies X '2. ~ ct:~ J 1-:, -=- m o sea la inter­sección de los dos planos; es pues, la recta que pasa por P yes sopor-- --- . te del vector a,::. Q.".

X2: Intersección de las superficies X J;:' ere. ) X3::. (t:.e... es decir del ci­lindro y el plano Z= cte; esta curva es la circunferencia mostrada en el dibujo.

15

X3: Intersección de Xl =cte¡ ~=cte~s d:.cir es la paralela al eje Y3 que pasa por P. (recta soporte de a, ~ a.i ) .

I