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, CALCULO ACTUARIAL:

CONTINGENCIAS DE VIDA INDIVIDUAL

Jaime Abel Huertas Campos

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas y Estadística

1 O 2 - ..

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L

368.3201 H887c Huertas Campos, JaimeAbel, 1965-

Cálculo actuaria! : contingencias de vida individual /Jaime Abel Huertas Campos. - Bogotá: Universidad Nacional de Co­lombia. Facultad de Ciencias. Departamento de Matemáticas y Estadística, 2001.

p.: 245 il.

ISBN : 958-701-042~6

l. Matemáticas en seguros 2. Matemáticas en seguros de vida I. Tít. II. Tít. : Contingencias de vida individual

AdC-Biblioteca Leopoldo Guerra Portocarrero U.N.

CÁLCULO ACTUARIAL: Contingencias de vida individual

© UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Facultad de Ciencias Profesor Jaime Abel Huertas Campos

Primera edición, 2001

ISBN: 958-701-042-6

Diseño de carátula y diagramación: Clara I. Bermúdez S. [email protected]

Diagramación en Jb.TEX

Impresión: Universidad Nacional de Colombia EDITORIAL UNIBIBLOS Director: Luis Eduardo Vásquez Salamanca Teléfono: 316 5290 - 316 5000 Ext. 19645 Fax: 316 5357 - 316 5000 Ext. 19646 E-mail: [email protected] Bogotá, D.C., Colombia

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Prefacio

Una visión no rigurosa de la ciencia actuaria! permite establecerla como una aplicación matemática que relaciona teoría del interés y probabilidad con el fin de ponerle un precio al riesgo. El resultado es una teoría con notaciones complejas y conceptos no fácilmente comprensibles.

Los conceptos presentados aquí se limitan al estudio de.las contingencias que afectan la vida humana o "contingencias de vida" . Son de "vida indivi­dual" cuando afectan a una sola persona, y lógicamente de "vida múltiple" cuando afectan a dos o más vidas. Todo el libro estará centrado a las contingencias de vida individual.

Siendo un tema tan importante, la gran mayoría de las fuentes biblio­gráficas conocidas en nuestro medio, generalmente son demasiado teóricas, con niveles de abstracción difíciles de asimilar y comprender por los lectores principiantes o sin mucha experiencia en el tema. Algunos otros presentan aspectos que llegan más a lo comercial que a lo teórico y por tanto, com­prensibles para un reducido núcleo de personas. Además, ciertos manejos matemáticos para la solución de ejercicios propuestos no están consignados en los principales libros que abordan esta teoría, lo cual implica un tropiezo para el estudiante cuando los conceptos no son bien entendidos en las aulas de clase ..

Si bien no es crucial el desarrollo de un texto que solucione las inquietudes que aquí se presentan, si es muy importante que el conocimiento matemático sea dirigido claramente en sus principios y presentado integralmente, no sólo en esta ciencia, sino en todas aquellas donde la matemática hace presencia.

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L

11

El presente texto dirigido a lectores principiantes de la matemática actua­rial, aportará los conocimientos de una ciencia poco difundida en nuestro país, con teoría básica explicada en todo su contexto y enfocada hacia algu­nas aplicaciones. En este se hace una integración del conocimiento citado en los libros actuariales y relacionados más importantes, con aporte didáctico y de aplicación del autor. Es una contribución a la enseñanza en nuestro territorio del desarrollo académico existente.

El contenido del texto permitirá a lectores no expertos, abordar fácilmente temas teóricos más profundos o iniciar muchas aplicaciones prácticas. Tam­bién servirá de consulta rápida a las personas que tengan trabajos constantes en el área.

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, Indice General

Prefacio

1 Teoría general del interés

1.1 La función de acumulación.

1.2 La tasa de interés efectivo .

1.3 El interés simple . .

1.4 El interés compuesto

1.5 Valor presente ....

1.6 Tasa efectiva de descuento .

l. 7 Tasas nominales de interés y descuento .

1.8 Tasa instantánea de interés

1.9 Anualidades básicas ....

1.9.1 Anualidad temporal vencida e inmediata.

1.9.2 Anualidad temporal anticipada

1.9.3 Anualidad temporal diferida .

1.9.4 Perpetuidades ....

lll

i

1

1

2

3

3

4

5

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10

13

13

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14

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lV

1.9.5 Anualidad pagadera con más frecuencia que la conver-sión de interés 16

1.9.6 Anualidades continuas 18

1.9.7 Anualidades variables 19

1.9.7.1 Anualidades con crecimiento en progresión arit-mética ........................ · . . . 19

1.9.7.2 Anualidad con pagos que varían en progresión geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9.7.3 Anualidad con pagos decrecientes . 32

2 Modelos de sobrevivencia 35

2.1 La función de sobrevivencia

2.2 Probabilidades condicionales.

2.2.1 La función de densidad de T

2.3 Esperanza de vida . . . . . . . . .

35

39

40

43

2.3.1 Tiempo futuro de vida en años enteros 44

2.4 La tabla de mortalidad . . . . 47

2.4.1 La fuerza de mortalidad 50

2.4.2 Otras funciones de la tabla de mortalidad 52

2.4.3 Probabilidades condicionales a edades fraccionadas 53

2.4;3.1 Forma lineal para lx+s . . . 54

2.4.3.2 Forma hiperbólica para lx+s 56

2.4.3.3 Forma exponencial para lx+s 57

2.5 Tablas selectas . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6 Modelos de sobrevivencia paramétricos . 60

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2.6.1 Distribución uniforme de X

2.6.2 Ley de Gompertz .

2.6.3 Ley de Makeham .

2.6.4 Distribución Exponencial de T

3 Seguros de vida

3.1 Apartes ...

3.1.1 Economía del riesgo

3.1.2 Ley de los grandes números

3.1.3 Clasificación de los seguros de vida .

3.1.4 Tarifa .....

3.2 Modelo matemático

3.2.1 Edad actuarial

3.3 El seguro dotal puro

3.4 Seguros pagaderos al final del año de muerte

3.4.1 Seguro entero de vida

3.4.2 Función de conmutación

3.4.3 Seguro temporal a n años

3.4.4 Seguro diferido ..... .

3.5 Seguros pagaderos más frecuentes que el año

3.6 Seguros pagaderos en el momento de muerte.

3.7 El seguro dotal .....

3.8 Aproximación por DUM

3.9 Seguros variables ....

V

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61

62

62

67

67 ·

67

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68

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74

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89

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vi

3.9.1 Seguros con crecimiento aritmético ..... 89

3.9.2 Seguros enteros con crecimiento geométrico 98

3.9.3 Beneficios acumulados ........ 101

3.9.4 Seguro discreto temporal decreciente 102

3.10 Aplicación . . . . . . 104

3.10.1 Bases técnicas 105

3.10.2 Prima neta. 105

3.10.3 Tarifa . . .. 109

3.11 Productos del seguro de vida 110

3.11.1 Plan vida universal 110

3.11.2 Seguro exequial .. 111

3.11.3 Seguros para el medio financiero . 112

3.11.3.1 Cobertura de hombre clave . 112

3.11.3.2 Protección entre Socios . . . 113

3.11.3.3 Seguro de amortización de créditos 113

3.11.4 Seguros complementarios y adicionales 114

! 4 Rentas de vida 119

1, 4.1 Rentas de vida anuales vencidas . 120

4.1.1 Renta vitalicia inmediata 120

4.1.2 Renta temporal inmediata . 125

4.1.3 Renta diferida . . . . . . . . 125

4.2 Rentas de vida anuales anticipadas 1'27

4.3 Fórmulas que relacionan rentas y seguros 129

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4.4 Rentas de vida pagaderas más frecuentes que el año

4.5 Rentas continuas

4.6 Rentas variables

4.6:l Rentas crecientes139

4.6.2 Rentas decrecientes .

vii

131

137

139

147

4.7 Rentas de vida completas vencidas y anticipadas distribuibles 148

4.8 Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5 Primas netas

5.1 Primas totalmente discretas

5.1.1 Las primas netas como factor de acumulación

5.2 Primas semicontinuas

5.3 Primas fraccionarias .

5.4 Primas totalmente continuas

5.5 Primas distribuibles

5.6 Primas comerciales .

6 Reservas de primas netas

6.1 Reserva de las primas totalmente discretas .

6.1.1 Reservas retrospectivas .

6.1.2 Relaciones especiales ..

6.2 Reserva de primas semicontinuas

· 6.3 Reserva de primas fraccionarias .

6.4 . Reserva de primas totalmente continuas

159

160

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169

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183

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192

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200

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viii

6.5 Reserva de duraciones fraccionales .....

6.6 Reserva de rentas contingentes inmediastas

6. 7 Valores de cesión . . . . . . .

6.8 Seguros saldado y prorrogado

6.9 Participación de utilidades . .

Anexos

Glosario de notaciones

Bibliografía

Respuestas a ejercicios propuestos

Índice

201

204

206

208

211

215

227

233

235

241

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Capítulo 1

Teoría general del interés

El interés puede ser definido como una compensación que se obtiene por el préstamo de un capital. La compensación y el capital pueden ser o no, montos de dinero; sin embargo esta modalidad es la más generalizada.

1.1 La función de acumulación

Al dinero inicial de una inversión en un período de tiempo se le denomina "principal" y a la cantidad recibida al final del período, "valor acumulado". De acuerdo con la definición de interés es claro que:

Interés Ganado = Valor Acumulado - Principal

La característica de todo capital es considerada en función del tiempo t de ser productivo y de los parámetros de interés fijados. Tal regla de productividad supone al tiempo como su principal característica de variación y también al interés pero como un parámetro constante para tiempos variables. Por tanto, para determinar los valores acumulados de una inversión, se define primariamente, una función con el tiempo como única variable y con un parámetro cuyo valor es un factor de interés.

l. a( t) : Función de acumulación para un capital de una unidad monetaria

2. t : Tiempo de la inversión

1

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2 Teoría general del interés

La función de acumulación tiene dos características principales:

a) a(O) 1

b) a(t) es creciente

La duración o término de una inversión es medida en períodos de tiempo. La frecuencia con la cual el interés es pagado y reinvertido se denomina período de conversión de interés, el cual puede ser de cualquier longitud aunque el más usual es el año, y dentro de él, los subperíodos más comunes el mes y el trimestre. En tanto no se haga referencia específica del período de tiempo, se asume que será anual. Otra forma usual en el desarrollo del tema financiero es la de considerar el principal y los flujos de capital si existen, como una unidad monetaria, para deducir después cualquier situación particular.

Para una inversión de capital k > O la función de acumulación es A(t) = k • a(t), y el interés ganado en el n-ésimo período (t = n) es:

In A(n) - A(n - 1) (1.1)

1.2 La tasa de interés efectivo

Si bien el interés es el capital obtenido por una inversión, la tasa de interés es el factor que lo genera. La tasa efectiva de interés notada por "i" es el monto de dinero que gana una inversión de una unidad monetaria en un período, el cual debe ser pagado al final del período.

i = a(l) - a(O) (1.2)

Siempre se supondrá. en el presente texto que el valor acumulado es mayor al principal invertido, lo cual conduce a que las tasas de interés sean positivas. La tasa efectiva de interés usualmente es expresada en porcentaje. Como a(O) = 1, la fórmula en (1.2) puede representarse de la forma:

. a(l) - a(O) A(l) - A(O) I1 '1, = _..;___.;__;_ = ----,--- = --

a(O) A(O) A(O) (1.3)

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Contingencias de vida individual 3

Por tanto, la tasa de interés efectiva también se puede definir matemá­ticamente como la razón entre el interés ganado en un año y el principal invertido.

1.3 El interés simple

La acumulación del principal invertido tiene dos formas principales de pre­sentarse. En la primera de ellas la inversión gana un interés igual cada período; los valores acumulados resultarían como:

valor acumulado al final del primer período: 1 + i valor acumulado al final del segundo período: 1 + 2 i, ...

Generalizando, la función de acumulación o valor acumulado al final del t-ésimo período, quedaría de la forma:

a(t) = 1 + i · t t>O

Ejemplo 1.1: $100 invertidos a una tasa del 30% anual de in­terés simple acumulan en 3 meses, y en 5 años, las siguientes cantidades respectivamente:

100 a(O, 25) 100 (1 + O, 3(0, 25)) = 107, 5 100 a(5) = 100 (1 + O, 3(5)) = 250 A

1.4 El interés compuesto

(1.4)

El interés ganado de un principal invertido es reinvertido automáticamente y también genera interés en el período siguiente, luego el interés ganado será diferente en cada período. La función de acumulación en éste modelo de canceÍación d!;l interés, se obtiene a partir del siguiente balance de una unidad monetaria.

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L

4 Teoría general del interés

Período Balance inicial Interés Balance al final del período 1 2 3

t

1 1, (1 + i) (1 + i) i(l + i) (1 + i) + i(l + i) = (1 + i)2

(1 + i)2 i(l + i)2 (1 + i)2 + i(l + i)2 = (1 + i)3

(1 + i)t-1 i(l + i)l-1 (1 + i)l-1 + i(l + i)l-1 = (1 + i)l

a(t) (1 + il

Ejemplo 1.2: Con los datos del ejemplo 1.1, pero suponiendo una tasa de interés compuesto se obtiene:

100 a(O, 25) = 100(1 + O, 3)º•25 = 106, 8 100 a(5) = 100(1 + 0, 3)5 = 371, 3 A

(1.5)

La fórmula en (L5) produce mayores valores acumulados que la fórmula en (1.4) si t > 1 y menores si O < t < l; cuando t = 1 los acumulados son iguales.

Una tasa constante de interés compuesto, implica una tasa constante de interés efectivo; la deducción de esta conclusión es como sigue:

a(n) - a(n -1) a(n -1)

En lo que resta del capítulo todos los resultados asumirán interés com­puesto, pues este es la base para el desarrollo actuaria! de los capítulos siguientes.

1.5 Valor presente

Es de mucho interés conocer cuánto se debe invertir en el momento para acumular un capital en el futuro. Si específicamente interesa saber cuánto invertir para obtener una unidad monetaria al final del período y se nota esta cantidad por la letra v, entonces:

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Contingencias de vida individual 5

v(l + i) = 1 1

v=--l+i

(1.6)

En interés compuesto a v se le conoce corno factor de descuento y a. (1 +i) corno factor de acumulación. La función de descuento es:

-l(t) 1 t ª. = (1 +i)C = V

Ejemplo 1.3: El dinero que se debe depositar inicialmente para obtener $100 al final de 5 años a una tasa de interés compuesto del 30% está dado por:

100 a-1(5) = 100v5 = 100(1, 03)-5 26, 93 A

1.6 Tasa efectiva de- descuento

El descuento D, es la deducción hecha o interés pagado sobre un principal invertido, el cual es devengado al inicio del período de vigencia del préstamo. La tasa efectiva de descuento se nota por "d" y por intermedio suyo, se acumula un capital inicial para generar un interés que debe ser pagado al comienzo del mismo.

La tasa de interés de descuento del n-ésirno período, es la relación entre el monto· de interés ganado durante el período de tiempo y la cantidad de dinero obtenido al final de este:

dn == A(n) - A(n -1) = ~ A(n) A(n)

Ejemplo 1.4: Por $100 prestados al 36% de interés vencido, se réciben los mismos $100 al comienzo del año y se pagan $136 al final, y a un interés anticipado, se reciben $64 y se deben devolver $100 al final.· En ambos casos el interés es de $36 pero varía el principal; en el caso del pago de interés anticipado, se dice que se han descontado $36 del capital en préstamo. .;.

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l

6 Teoría general. del interés

Las tasas de interés y descuento son equivalentes, si para un principal invertido durante la misma cantidad de tiempo, se obtiene el mismo valor acumulado.

Ejemplo 1.5: Continuando con el ejemplo 1.4, contando con un principal de $64 para obtener un valor acumulado de $100 al final del año, es necesario usar una tasa de interés efectivo del 56,25%.

64(1 + o, 5625) = 100

Con un principal de $64 es obtenido el mismo valor acumulado de $100 si la tasa de descuento es d 36% o si la tasa de interés es i = 56,25%. Asi pues, se dice que d =36% e i = 56,25% son equivalentes. A

Asumiendo que una persona toma prestada una unidad monetaria a una tasa efectiva de descuento d, entonces el principal es (1 - d) y el interés ganado es d, luego de (1.3):

. INTERES d 2 =PRINCIPAL= 1-d

d=-i­l+i

iv

(1.7)

(1.8)

La cantidad d es el capital necesarjo a invertir a comienzo de período para acumular un monto de capital i, a una tasa de rendimiento i. Similarmente se puede afirmar que un capital de tamaño i descontado con V(i) finaliza en un capital de tamaño d. La notación v(i) hace referencia al cálculo del factor de descuento con base en una tasa efectiva de interés i. Reemplazando (1.7) en (1.6):

v 1-d (1.9)

El resultado (1.9) es fácil de interpretar, pues ambos lados de la igualdad representan el valor presente de una unidad para ser pagada a fin de período. Otra fórmula importante es obtenida reemplazando (1.9) en (1.8):

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Contingencias de vida individual 7

d = i(l - d)

id= l -d (1.10)

Como la diferencia de principales entre 1 y 1 - d es d, entonces la dife­rencia de intereses que hay entre los dos métodos de acumulación es igual a tomar la diferencia de principales y sacarle el interés.

De las definiciones de a(t) y a-1(t), y de las relaciones entre las tasas i y d, se obtiene:

a(t) = (1- d)-t a-1(t) = (1- d)t

1. 7 Tasas nominales de interés y descuento

Las tasas de interés pueden también convertir el dinero con más frecuencia que una vez por período de medida y se denominan nominales. La notación para la tasa de interés pagadera m veces por período es i(m). Para una tasa nominal anual si el período de conversión es mensual entonces m = 12 y si es trimestral m = 4. Para cada m-ésima parte del año la tasa efectiva de interés es i(m) /m.

Ejemplo 1.6: Si por una inversión de $100 se reconoce el 36% de interés nominal anual capitalizable mensualmente, entonces en cada mes se deberá liquidar el interés con una tasa mensual efectiva de:

i{l2) - 36% - 3°" 12 - 12 - lO

En el primer mes el interés es de $3 y el valor acumulado de $103, el cual genera un interés para el segundo mes de $3,09 y un valor acumulado de $106,09. Continuando así se obtiene un _capital acumulado a fin de año de $142,57. Bajo una tasa de interés efectiva del 36% el valor acumulado es de $136, inferior al obtenido con la tasa nominal mensual. Ji.

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l

8 Teoría general del interés

La fórmula de equivalencia entre i e i(m) se obtiene del balance de una unidad a lo largo de los m subperíodos de un período.

Sub período Balance inicial Interés Balance fin de período

1/m 1 i(m) . ·(m)

1+-i -m m

2/m l+i<m> ·(m) ( ·(m)) ( ·(m)) 2 _i_ 1+-i- 1+-i -m m m m

m/m ( ·{m))m-1 1+-i -

m ·{m) ( •{m)) m-1 _i_ 1+-i-m m

( i(m)) m 1 + -:;:;¡:

Sabiendo que al invertir una unidad monetaria a una tasa de interés efectivo i, se llega a un balance a final de año de (1 + i), entonces:

i(m) = m [(1 + i)l/m - 1]

Por procedimiento similar:

d(m) m · [1 (1 - d) 1fm] = m • [1 - v1fm]

Según (1.9) y (1.14):

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.16)

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Contingencias de vida individual 9

De (1.11) y (1.16) es obtenida una fórmula para encontrar tasas nomi­nales de interés y descuento equivalentes:

( i(m)) _ ( d(m))-l

1+- - 1--m m

(1.17)

Fórmulas más generales para obtener tasas equivalentes son:

( iCm))m ( i(p))p

1+- = 1+-m p

(1.18)

( d(m))-m _ (. d(p))-p

1-- - 1--m p

(1.19)

( i(m)) m _ ( d(P.) )-p

1+- - 1--m p

(1.20)

Generalizando a(l) se llega a la función de acumulación con tasas nomi­nales:

( i(m)) m•t ( d(m) )-m•t

a(t) = 1 +--;;:; = 1--;:;:- (1.21)

Las equivalencias de tasas se mantienen para las efectivas de cada sub­período. Según (1.8) d = iv, entonces la equivalencia después de cancelar cada m de las efectivas queda como:

(1.22)

Así mismo, las equivalencias a (1.6), (1.7), (1.9) y (1.10) son:

vlfm = 1 1 + i(m)jm

(1.23)

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10 Teoría general del interés

v1fm = 1 - im) /m

~ i(m) d(m) = i(m) - d(m) m

Ejemplo 1. 7: $100 al 36% nominal anual convertible mensual­mente acumulan en dos años:

( . ) 12 (2) ( ) 24

100 a(2) = 100 1 + i~;> = 100 1 + ºi~6 = 203, 28

Usando la nominal de descuento:

(1.24)

(1.25)

(1.26)

100 a(2) = 100 ( 1 - di1;> )-12

(2

) = 100 ( 1- º•lt95)-

24 = 203, 28 A

Las tasas que convierten el dinero con menos frecuencia que una vez por período no son discutidas por no ser generalizadas dentro del cálculo actuarial.

1.8 Tasa instantánea de interés

También es conocida como la fuerza del interés y se nota como 8t, Bajo esta tasa el pago de intereses es hecho en intervalos infinitesimales de tiempo.

Para una inversión inicial de una unidad monetaria, la intensidad del interés lo da el caII!,bio instantáneo de a( t) en t, esto es a' ( t), pero si se quiere obtener una medida que no dependa del monto inicial de inversión, esta se obtiene por:

'

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Contingencias. de vida individual 11

a' (t) d 8t = - = -'--Ln[a(t)]

a(t) dt

Tomando la integral entre O y t y luego la exponencial:

(1.27)

La fuerza de interés puede variar en cada instante, pero por simplicidad de aplicación se supone constante, esto es 8t 8, así (1.27) se transforma en:

a(t)=e6 t (1.28)

Si t = 1 entonces de (1.5) y (1.28), e6 = 1 + i y la equivalencia entre 8 e i será:

8 = Ln(l +i) (1.29)

i = e6 -1 (1.30)

Fuerza de interés constante implica tasa efectiva de interés constanté, pero lo contrario no es cierto. Si 8 es constante entonces:

8= lim

m---+ oo lim

m---+ oo

Los límites expresan que 8 es una tasa nominal de interés convertible continuamente y también que es una tasa nominal de descuento convertible continuamente. La demostración parte de la expresión de i(m) y d(m) por expansión de la serie de Taylor para la función exponencial alrededor de O, en 8/m y se deja como ejercicio.

Un caso bastante utilizado es el reconocimiento diario de interés, en cuyo caso m tomaría el valor de 365. Cuando m toma valores tan grandes como 8. 760 se habla entonces de un reconocimiento de intereses cada hora; o si toma el valor de 525.600, el reconocimiento es cada minuto.

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1 1

1 ¡I ,1 ¡:

12 Teoría general del interés

Ejemplo 1.8: Anteriormente se mostró que las tasas i = 56, 25% y d = 36%, son equivalentes. Las nominales efectivas con pagos diarios, cada hora, cada minuto y la fuerza del interés equivalen­tes a éstas son:

i(365) = 365(1, 5525(1/ 355) - 1) = 44, 65600% iC8·760) = 8.760(1, 5625(1/ 8-760) - 1) = 44, 62984%

i(525·600) = 525.600(1, 5625(11525·600) - 1) = 44, 62873% 8 = Ln(l, 5625) = 44, 62871 %

Si el interés es convertible cada hora, el monto reconocido al final de la primera hora sobre una inversión de $1 '00.000 son casi $51:

(0,4462984 / 8.760) 1'00.000 = 50;9472

Las nominales mensuales equivalentes a las anteriores son:

i(12) = 12(1, 5525(1/ 12) - 1) = 45, 4689% d(12) = 12(1 - O, 54(l/l2)) = 43, 8090%

La acumulación de capital es la misma si el interés es reconocido con tasas efectivas mensuales del ( 43,81/12)% o ( 45,47 /12)% a comienzo y fin de mes respectivamente, o al (44, 62/m)% en frac­ciones infinitesimales de tiempo tamaño m, o con tasas anuales del 36% o 56,25% a comienzo o fin de año en su orden. A

Se puede demostrar que en tasas equivalentes numéricamente se tiene que:

Resumiendo la función de acumulación expresada con distintas tasas de interés co_mpuesto:

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Contingencias de vida individual 13

l. 9 Anualidades básicas

Una anualidad es una serie de pagos hechos en períodos iguales de tiempo. Se puede asemejar a ésta definición los pagos efectuados para la amortización de un crédito para compra de vivienda o compra de vehículo, entre otros casos. Puesto que las anualidades contempladas en matemática financiera no incluyen ningún elemento de riesgo para hacer efectivos los pagos, éstas comúnmente se conocen como anualidades ciertas.

Dado que una anualidad es un flujo de pagos en el tiempo, es muy importante saber cuánto acumulan en el presente y en el futuro. Estos puntos se discuten a continuación asumiendo interés compuesto.

1.9.1 Anualidad temporal vencida e inmediata: Los pagos se hacen al final de cada período en un plazo den períodos.

o

1 1

1

1 1 2

1 1 3

I I l 7

n

Sn¡

1 1 1 1

1 n

Cada . uno de los pagos se lleva a valor presente mediante el factor de descuento v, teniendo en cuenta el tiempo transcurrido entre el año inicio de la anualidad y la realización de los mismos. El valor presente de la anualidad ªni, será la suma de cada uno de los pagos llevados a valor presente.

n n l n+l ~ k '°' k -v ªni = L.,; v = L.,; v - l = -1---v-k=l k=O

l.-vn 1=-­

i (1.31)

El valor futuro Sn¡ representa la suma de cada pago de una unidad monetaria llevado al final del período n:

n-1 . k l - (l + i)(n-1)+1

¿(l+i) = 1 (l+i) k=O

(1.32)

Se puede hallar Sn¡ llevando el monto ªni al final del período n:

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14 Teoría general del interés

Ejemplo 1.9: $100 pagaderos al final de cada seis meses durante 4 años a una tasa de interés nominal semestral del 36% tienen como valor futuro y presente:

100 Ss¡ = 100 1·1~;81 = 1.532, 7100 ~ = 100 Ss¡ v8 = 407,8 A

1.9.2 Anualidad temporal anticipada: Los pagos se efectúan al co­mienzo de cada período por n períodos, el valor presente se nota por ªni y

el valor futuro por S ni.

ªni 1 1 o

1 1 1 1

I I r , 1 2

.. n-1 k l _ v<n-1)+1

ªni= ¿v = l-v k=O

Sn1 1 1

n-l n

(1.33)

(1.34)

Como cada pago en las anualidades anticipadas es hecho un período más temprano, entonces para obtener equivalencias los pagos de las vencidas deben actualizarse.

(1.35)

(1.36)

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Contingencias de vida individual 15

1.9.3 Anualidad temporal diferida: Los pagos comienzan después de m períodos y se prolongan por n períodos, y pueden ser anticipados o vencidos; el valor presente en ambos casos es:

n

m/ªnJ = L vk

k=m+l

n-1 .. "k m/ªnJ = L.,¡ V

k=m

(1.37)

(1.38)

Estos valores presentes pueden expresarse en términos de los valores presentes de las anualidades inmediatas como:

(1.39)

(1.40)

No hay notación especial para el valor acumulado de las anualidades diferidas porque dicho :valor es el resultado de (1.32) o (1.34) según sea el caso.

Ejemplo 1.10: Continuando con el ejemplo 1.9, si los pagos inician 2 años después, los valores presente ( VP) y futuro ( VF) de la anualidad son:

V P = 100 4¡~ = 100 ~ v4 = ( 407, 8) (1, 18)-4 = 210, 3

VF = 100 4¡a81 (1 + i)4+8 = 210, 3 (1, 18)12 = 1.532, 7

Otra forma de encontrar el VF es:

VF = 100 SS]= 100 (15,327) = 1.532, 7 A

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16 Teoría general del interés

1.9.4 Perpetuidades: Una perpetuidad es una anualidad con pagos infi­nitos, por tanto, únicamente puede ser obtenido su valor presente; en el caso anticipado se tiene:

00 .. '""'k ªooJ =~V

k=O

1 1-v

1 d

(1.41)

El valor presente de 1a perpetuidad vencida de una unidad monetaria:

.. 1 1 ªooJ = ªooJ - = -;-

1, (1.42)

Si el principal 1/i es invertido a la tasa·i, entonces el interés i(l/i) = 1 puede ser pagado al final de todo período por siempre dejando el principal intacto.

1.9.5 Anualidad pagadera con más frecuencia que la conversión de interés: Conocida también como anualidad fraccionaria, reconoce una tasa de interés para un período pero los pagos se hacen en m subperíodos. Si el plazo de la anualidad es de n perf odos habrá un total de m • n pagos.

Para obtener el valor presente de las anualidades, cada pago de 1/m se retrasa con el factor v y el lapso de subperíodos transcurridos. Debido a que los pagos anuales de una unidad monetaria son fraccionados en m pagos de 1/m, las fórmulas (1.26) a (1.29) tendrán un ligero cambio. En el caso de pagos vencidos:

(m) _ 1 [Ln·m k/m a-;:;, - V

n1 m k=O

1 ¡1-(vlfm)n·m-l -1] 1-vn m 1 - vl/m - i(m) ~-

(1.43)

(1.44)

De la misma forma son obtenidos el valor presente y futuro de las anua­lidades an~icipadas:

nm-1 ·-(m) 1 L k/m a-;:;,=- V

n1 m (1.45)

k=O

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Contingencias de vida individual 17

(1.46)

La relación entre anualidades de pago anual y fraccionario viene dada por:

(1.47)

s<m) = _i_s n] i(m) ni (1.48)

Esta relación entre el caso fraccionario y el discreto se verá frecuente­mente en las primas de los seguros. Similarmente al desarrollo de (1.47) y (1.48) se obtiene:

(1.49)

·•(m) d ·· Sn¡ = d(m) Sn1 (1.50)

Las anteriores igualdades se pueden hacer entre los casos vencido y an­ticipado:

(1.51)

El mismo criterio establecido para concluir (1.35) y (1.36) se usa para establecer una igualdad entre anualidades vencidas e inmediatas para el caso fraccionario.

·•(m) Sn¡ (1 + i)l/m 3(m)

ni

Para las anualidades diferidas, como en (1.39) y (1.40) se tiene:

u/~)= Vu at) .. (m) u .. (m)

u/°i] V ª'nJ

(1.52)

(1.53)

(1.54)

(1.55)

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18 Teoría general del interés

Ejemplo 1.11: $100 pagaderos al final de cada seis meses du­rante 4 años a una tasa de interés efectiva del 36% acumulan el siguiente monto de dinero:

VF - (2) 100 s<2) - 200 1•

364-l -- 4] - 0,33238 - 1.455, 78

Los pagos son multiplicados por dos para obtener el valor del pa­go total anual, pues la fórmula está concebida para pagos anuales fraccionados en dos cuotas semestrales. A

Análogamente a (1.41) y (1.42), una perpetuidad con pagos fraccionados anticipados tiene valor presente 1/ d(m), y si los pagos son vencidos 1/i(m).

1.9.6 Anualidades continuas: Son un caso especial de anualidad con pagos más frecuentes que la conversión del interés, en donde la frecuencia es continua, esto es, los pagos se hacen continuamente y son infinitos. Si el monto total de pago por cada período es de una unidad monetaria, el valor presente con término de n períodos es notado como ªnl. Una forma de obtener el valor presente toma el límite al infinito en (1.43) o (1,45).

lim (m) _ lim 1 - vn l - vn ªni = m---t oo ~ - m---t oo i(m) = --8-

'?\ Aplicando la definición básica:

¡n t vt ( vn - l 1 - vn vdt=-- =--=--

0 Ln(v) -8 8

Procedimiento similar permite llegar al valor futuro:

(1.56)

(1.57)

La relación entre anualidades continuas y discretas parte del resultado en (1.56) y (1.57).

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Contingencias de vida individual 19

Un caso particular de la anterior ecuación usada más adelante es:

(1.58)

Una relación de las anualidades continuas con las fraccionarias es:

(1.59)

(1.60)

...!

1.9. 7 Anualidades variables: Se consideran a continuación anualidades con pagos que siguen algún ritmo de variación a través del término de la anualidad. En principio se presentan las crecientes.

1.9.7.1 Anualidades con crecimiento en progresión aritmética: Se llama progresión aritmética a toda sucesión de términos, donde cada uno de ellos, a diferencia del primero, se obtiene sumando una cantidad fija al inmediatamente anterior.

Los pagos comienzan por P y aumentan cada período en Q, el cual puede ser positivo o negativo. En caso que Q < O se debe procurar que P+ (n-1) • Q > O para evitar pagos negativos. El análisis comienza por los pagos vencidos, y sólo se dará el valor presente (VPa), el valor futuro con base en este es fácilmente deducible.

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J

20 Teoría general del interés

p P+Q P+2Q P + ( n - 2Q) P + ( n - 1 )Q

o 1 2 3 n-1 n

VPa = P · v + (P + Q)v2 + (P + 2Q)v3 + ... +(P+(n-2)Q)vn-1+(P+(n-l)Q)vn

Multiplicando por (1 + i) el valor presente anterior y luego restándole al resultado el mismo V Pa, se obtiene:

VPa(l + i) - VPa = i( VPa)

P+ Qv + Qv2 + Qv3 + .. · + Qvn-l - Pvn - (n - l)Qvn

P( 1 - vn) + Q( v + J + .. · + v71' - n v71')

Despejando i de la ecuación anterior y reemplazando por el resultado de (1.31): .

(a - nvn)

V Pa = Pan] + Q . "ñJ . i (1.61)

Del caso general de valor presente se pueden obtener algunos especiales dando valores especificas a P y Q. En particular si P = 1 y Q 1, se llega a una anualidad que paga una unidad monetaria al final del primer año, 2 al final del segundo, y así hasta pagar n unidades al final del año n. El valor presente de la anualidad tiene una notación especial y quedaría como:

.. n ªnJ - nv

i (1.62)

Como la anualidad anterior se compone de una serie de anualidades diferidas de una unidad monetaria, su valor presente puede desarrollarse bajo el criterio de suma de valores presentes de tales anualidades diferidas.

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,--

Contingencias de vida individual 21

n-1/ªll 1

n-2/ª2] 1 1

21ª n-'-21 1 1 1

1/ª n-11 1 1 1 1

O/ªnJ 1 1 1 1 1

1 1 1 1 I I

T 1 o 1 2 3 n-1 n

n-1

(Ia)ñj = ¿ k/ªn-kj (1.63) k=O

Algunos procedimientos algebraicos permiten llegar al resultado ilustra­do en (1.63).

n-1 n-k n-1 k n ·· n '°" k 1 - v '°" v - v ªñl - nv (I a )nj = L.,¿ v --.-- = L.,¿--.- = ----''--.--i 'I, 'I,

- k=O k=O .

Al tomar el limite den al infinito en (1.62) se obtiene una perpetuidad cuyo valor presente es: ·

r (Ia)oo¡ = id (1.64) _

El valor presente de la perpetuidad es usado para deducir los valores presentes de anualidades que tienen patrones regulares de variación, median­te una técnica simple de visualización gráfica, para la cual es importante el siguiente gráfico:

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22 Teoría general del interés

pagos

1/id

n • (1/i)

1/id períodos

o n

El valor presente de la perpetuidad se representa por varias áreas: La pri­mera identifica una anualidad temporal creciente que va de O hasta n, pos­teriormente desde n hay dos áreas distinguibles, una representa el valor presente de una perpetuidad con pagos constantes de n unidades moneta­rias o n • (1/i), y la otra el de una perpetuidad creciente en una unidad o (1/id). Por tanto, el valor de (Ia)n¡ se obtiene restando a (1/id) los valores den• (1/i) y de (1/i) llevados a valor presente.

Esta forma recurrente de hallar valores presentes es usada bastante en el cálculo de primas de seguros. Otra forma usual muy práctica, es la aplicación de las diferencias finitas en los flujos de pago. La técnica puede resumirse como sigue.

Si una anualidad se compone de pagos vencidos R1, R2, ... , Rn su valor presente viene dado por:

Multiplicando y dividiendo por i en el lado derecho de la igualdad ante­rior, y como iv = (1- v), entonces:

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Contingencias de vida individual

VP R1 R2v Rn,vn-l

- -. (1- v) + -. (1- v) + • • • + . (1- v) 'I, 'I, 'I,

- ;. (R1 - R1v + R2v- R2v2 + • · • + Rnvn-l - Rn,vn) 'I,

23

= ~ [(R1-Ro)vº+(R2-R1)v+ · · · +(Rn-Rn-1)vn-1+(Rn+1-Rn)vn] 1,

con Ro = Rn+i = O

Se define la diferencia finita de primer orden como tlf(k) = f(k + 1) -f(k), con y= f(k) y k = O, 1, 2, .... Así, flf(k) corresponde al incremento que sufre y= f(k) cuando la variable K se incrementa en una unidad. De aquí su aplicación en las matemáticas financieras, ya que en ellas se estudia, fundamentalmente, la variación que sufre el dinero al variar el tiempo en un período.

El valor presente de los n pagos vencidos Rk con k = 1, 2,.,. , n, es entonces el valor presente de (n+l) diferencias finitas de primer orden de los pagos; divididos por la tasa i. Si los pagos son anticipados, un procedimiento similar al anterior, conduce a concluir que las diferencias de primer orden llevadas a valor presente divididas por la tasa de descuento d, resulta en el valor presente requerido.

Si la función f está determinada por el flujo de pagos Rk, entonces las diferencias de primer orden para la anualidad creciente temporal de pagos vencidos son:

D..Rn, = Rn - Rn-1 = n- (n-1) = 1

D..Rn+i = Rn+i - Rn = O - n = -n

El siguiente esquema muestra los pagos de la anualidad creciente temporal Rk y las diferencias finitas de primer orden D..Rk,

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24

1

1 1

o

1

2 1 1

1

3 1 2

1

4 1

3

I I l 7

Teoría general del interés

1 -n o n o o 1 1 1

n-1 n n+l

Aunque los pagos son vencidos el flujo .es representado al inicio del período, y el efecto de la forma de pago en la anualidad se da con la tasa que se ponga en el denominador. Si la• tasa fuera la de descuento d, enton­ces el valor presente obtenido sería el de una anualidad temporal creciente anticipada.

Una anualidad vencida que i~cia con un pago de 1 y se incrementa en una unidad cada año hasta llegar a n en el período n y en adelante mantiene el valor de estos pagos hasta el período n + m, tiene un valor presente que se nota como (lm¡a)n] y se halla con la ayuda del siguiente esquema:

pagos

o n

1/id

n(l/i)

Edad n+m

(I ). - 1 1 n n + . 1 - vn nvn+m ªnl - nvn+m mJª n] - -:- - -:-V - -vn m = -- - --- = . ,(1.65)

id id i id i i

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Contingencias de vida individual 25

El valor presente de la anualidad en cuestión puede hallarse como suma de valores presentes de anualidades · diferidas. Además se puede encontrar como suma de dos valores presentes: una creciente de una unidad monetaria hasta n y la otra con pago constante de n unidades desde n hasta n + m.

n-1 n-1 k n+m a - nvn+m (J=a}:;:;i = '°' ª-~ vk = '°' v - ~ = ni .

"'1 n¡ L.,¡ n+m-íq L.,¡ 1, 1, k=O k=O

Con base en las diferencias finitas:

LlRk 1 1 1 1 o o o -n o Rk 1 2 3 n n n n o 0

1 1 1 1 1 o 1 2 n-1 n n+l ... n+m-1 n+m n+m+l

Como ya se mencionó, los valores presentes de las anualidades crecientes anticipadas, pueden determinarse cambiando en los denominadores de los valores presentes de las vencidas la tasa i por la d. Así, las similares a (1.61), (1.62), (1.64) y (1.65) son en su orden:

P(l n) (ª -nvn) (ª -nvn) V Pa = ~ V + Q ni d = Pan¡ + Q ni d (1.66)

a -nvn (Ia)n¡ = ni d (1.67)

(1.68)

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26 Teoría general del interés

ii, -nvn+m (1 ") n] mlª ni = -~-d-- (1.69)

La profundización en esta sección obedece a que, como ya se mencionó anteriormente, estas metodologías de hallar valores presentes son aplicadas en la determinación de primas de seguros.

Al fraccionar cada pago en Rk/m de tal forma que en todo el período el pago total es Rk, entonces cada pago durante el primer período es 1/m, en el segundo de 2/m y así en adelante, entonces en una temporalidad den períodos se tiene el valor presente de la anualidad vencida como:

(1.70)

Considérese ahora la anualidad que tiene un pago vencido en la primera m-ésima de período de 1/m, en la segunda m-ésima 2/m y así en adelante por n períodos .. Como en cada período hay m pagos, al final del primero habrá un pago de una unidad, al final del segundo dos unidades, y así hasta tener al final del n-ésimo un pago de n. Con demostración análoga a la de (1.61) se llega a su valor presente, el cual no tiene notación especial y está dado por:

.. (m) n ¾] -nv VP= i(m) m (1.71)

Se contempla seguidamente la situación en que la tasa de pago cambia con cada período de pago, y que una anualidad creciente es pagable a la tasa de 1/m por período al final de la primera m-ésima de un período, 2/m por período al final de la segunda m-ésima de un período, y así en adelante. El primer pago en la primera m-ésima de período será 1/m2; ya que este pago cubre un período de 1/m y la tasa de pago durante el primer período es lim por período, entonces el segundo pago en la segunda m-ésima de período es 2/m2, y así en adelante. El valor presente de la anualidad resulta al dividir el resultado de (1.71) por m:

(1.72)

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r-

Contingencias de vida individual 27

1.9. 7.2 Anualidad con pagos que varían en progresión geométrica: Los pagos aumentan cada año en relación con el valor inmediatamente an­

terior, en un factor específico k. Si los pagos son inmediatos por un término de n años se llega al siguiente valor presente:

(Va)nJ = 1 + v(l + k) + v2(l + k) 2 + ... + vn-1(1 + k)n-1

n-1

- ¿ vi(l + k)Í j=O

= I: (l+~)j j=O 1 + i

La notación usada para el valor presente anterior no es estandarizada y forma parte de una gran gama de anualidades variables con incrementos en los distintos períodos de pago. El criterio del incremento de esta anualidad es base para la aplicación de planes de pensión.

Tanto en la teoría del interés como en la matemática actuaria!, la si­guiente definición de tasa de interés es de suma importancia.

l+i e= 1 +k -.1 (1.73)

En la anterior ecuación i es la tasa de. interés con la cual se hacen los descuentos de los pagos y k es el porcentaje de su crecimiento cada período, con i 2:: k.

En algunas aplicaciones i se asemeja al rendimiento que pueden dar los pagos de la anualidad, y k a un porcentaje de crecimiento de dichos pagos como medida para contrarrestar los efectos del ritmo inflacionario de una región. Por tanto, e refleja el exceso que hay del rendimiento que pueden generar los pagos _de la anualidacl sobre la inflación y se le conoce como tasa de interés real. El factor de descuento calculado sobre una tasa de interés real se nota como V(e) :

1 1 +i V - -

(e) - 1 + e - 1 + k (1.74)

Reemplazando (1.74) en (Va)n] :

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28 Teoría general del interés

n-1

(Va)nj = ¿ VÍe) = ªnJ(e) (1.75) j=O

El valor presente se registra como el de una anualidad anticipada, pero con una rE?ferencia que hace la salvedad de que el cálculo está basado en una tasa de interés real.

Ejemplo 1.12: $100 pagaderos anticipadamente por tres años, con un incremento anual en los pagos del 22% y con un rendi­miento del 36% efectivo acumulan:

VF = 100(1, 36)3 + 100(1, 22)(1, 36)2 + 100(1, 22)2(1, 36) = 679, 62

Para desarrollar el ejercicio de otra forma, inicialmente se calcu­lan e y d(e)·

e = i'~~ - 1 = O, 114754 '

d - e - º•114754 - O 1029411 (e) - l+e - 1,114754 - '

Se concluye cori el dato anterior que i está en exceso de k en 11,4754%; es erróneo y apresurado concluir que el exceso es del 14%. Así, los valores presente ( VP) y futuro ( VF) de la anuali­dad son:

V P = 100 a-,., = 100 l-v{e) = 100 l-l,ll4754-3 = 270 1772

.:>¡(e) d(e) 0,1029411 . . '

VF = 100 ¾ce) · (l+i)3 = (270,1772) (1,36)3 == 679,62 A

Sólo se puede trabajar en el sentido anterior con las tasas de interés real cuando los pagos y sus aumentos coinciden con el período de conversión de interés. Una anualidad bastante usada se obtiene con el fraccionamiento de cada pago del período en m subperíodos. El valor presente de la anualidad anticipada es:

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Contingencias de vida individual.

d n-l (l+k)i = d(m) ¡:: l+i

3=0

29

d .. = d(m) ªñl(e) (1.76)

Ejemplo 1.13: Un crédito debe ser pagado a 15 años con cuotas mensuales anticipadas las cuales son fijas al año y crecientes cada año en un 20%. Si la tasa de interés del préstamo es del 30% mensual anticipado, la cuota por cada millón de préstamo es:

R = 1'000.000

12 d(12) ¾(e)

Cada uno de los términos que intervienen en la anterior igualdad tienen los siguientes resultados:

d = 1 - 1 - - = 1 - 1- - = O 262 (

d(12))12 ( 0,3)12 .

12 12 '

i= _d_ =0 355 1..,..d '

= l + i - 1 = l, 355 - 1 = O 12918 e 1 + k 1, 2 '

d = _e_ = O, 12918 = O 1144 (e) 1 + e 1, 12918 '

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30 Teoría general del interés

.. 1- (1 + e)-15

~(e)= d(e) = 1 - 1, 12913-15

o 1144 = 7,3282 '

Al reemplazar los términos anteriores se obtienen que

R = 13.020,8

En el siguiente cuadro se presenta una evolución del crédito para algunos meses de vigencia. El préstamo se cancela el primer año con doce cuotas de $13.020,8, en el segundo con cuotas de R(l, 2) = 15.625, en el tercero las cuotas toman un valor de R(l, 2)2 = 18.750 y así en adelante.

(

Como las cuotas son anticipadas, el capital entregado en préstamo es de 986.979 y elinterés y abono a capital-son ambos de 13.021 para el primer mes. Del segundo mes en adelante los flujos de intereses, abonos y saldo, cambian el concepto del primer mes y se calculan como se explica a continuación.

Los intereses se obtienen multiplicando el saldo del mes anterior por la tasa de interes efectiva del mes, o también, como el acumu­lado del mes anterior por la tasa efectiva mensual de descuento, por ejemplo, para el segundo mes:

I = 986.979 · i(12) /12 = 986.979 · O, 30769/12 = 25.307

I 986.979(1 + ¡(12) ¡12) i 12) ¡12 = 986.979(1+0,30769 /12) o,3/12 = 25.307

El abono a capital equivale al valor de la cuota menos los inte­reses del mes respectivo, y el saldo del mes de pago, al valor del saldo del mes anterior menos el abono a capital del mes de pago; para el segundo se tiene:

Abono = Cuota -Intereses = 13.021 - 25.307 = -12.286

Saldot = Saldot-1 - Abono= 986.979 -(-12.286) = 999.265

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1 'i

Contingencias de vida individual

Mes Abono a capital Intereses Cuota Saldo 1'000.000

1 13.021 . 13.021 13.021 986.979 2 -12.286 25.307 13.021 999.265 3 -12.601 25.622 13.021 1.011.867 11 -15.431 28.451 13.021 1.125.033 12 -15.826 28.847 13.021 1.140.859 13 -13.628 29.253 15.625 1.154.487 25 -15.341 34.091 18.750 1.344.886 61 -19.784 52.184 32.400 2.054.953 120 -16.453 83.638 67.185 3.278.336 132 -4.542 85.164 80.622 3.325.941 133 11.465 85.281 96.746 3.314.475 134 11.759 84.987 96.746 3.302.716 180 162.998 4.179 ... 167.177 o

Como las cuotas pagadas hasta el mes 132 o año 11, son inferio­res al valor de los intereses del mes respectivo, el saldo hasta ese punto del tiempo de vigencia del crédito siempre es creciente. El saldo del mes 1 al mes 2 tiene una proporción de crecimiento de 999.265/986.979 - 1 = 1, 24%, proporción que va aumentando hasta llegar a ser del mes 11 al mes 12 de 1,41%. Del mes 12 al mes 13 la tendencia al crecimiento de la proporción se corta debido al aumento del 20% en la cuota, y se ubic·a en 1,19%. Después la proporción retorna al crecimiento y pasa a ser del mes 23 al mes 24 de 1,37%, y de nuevo, por efecto del aumento de cuota, del 24 al 25 disminuye a 1,15. En general el compor­tamiento de tales proporciones de crecimiento del saldo, es de decrecimiento en los aniversarios del crédito, lo cual se muestra con algunas cifras en el siguiente cuadro.

mes 2 13 25 37 49 132 133 179 180

% crecimiento saldo 1,24 1,19 1,15 1,10 1,05 0,14 -0,34 -49,4 -100

Desde el mes 133 el efecto de la proporción de crecimiento de las cuotas, es tal que conduce a que las cuotas sean mayores que los intereses mensuales, y en consecuencia exista abono a capital y el valor del saldo comienza a disminuir hasta cancelarse definitivamente en el último mes de vigencia del crédito.

31

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32 Teoría general del interés

Un caso particular para asignar el crecimiento, consiste en hacer crecer el valor de la cuota anual con la inflación del año anterior. Al mantener fija la tasa de interés del préstamo, este se pagará antes de los 15 años si el crecimiento promedio de la inflación es mayor al presupuestado, en caso contrario, el plazo se prolongará más allá de lo convenido.

Este comportamiento de los saldos en rentas crecientes geométri­camente, se presenta también en las reservas de las pensiones cuyas mesadas aumentan cada año en relación al año inmedia­tamente anterior con base en un índice particular, y se analizará en los capítulos 4 y 6. A

1.9.7.3 Anualidad con pagos decrecientes: Un tipo de anualidad vencida que inicia con un pago de n unidades y luego decrece en una unidad cada período, tiene un valor presente que se nota por (Da)n¡, el cual se halla tomando P = n y Q = -1 en la fórmula (1.61).

n-a-;;:;i (Da)nj == . n,

i (1.77)

El valor presente de la anualidad anticipada cambia en el denominador la i por la d.

Los temas tratados hasta aquí son esbozo general de la teoría del interés y pr:~tenden servir de guía básica al aprendizaje, pero el objetivo principal de su presentación es introducir al lector en la notación actuaria!. Para mayor profundización en el tema, una de las consultas que se sugiere es la del libro "The theory of interest'' de Kellison.

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Contingencias de vida individual 33

EJERCICIOS

Secciones 1.4 a l. 7

l. Demostrar que a(l) = 1- d;;: con base en flujos de acumula-( ( >)-m ción similar a la forma como se obtuvo (1.11):

a. Partiendo de una unidad monetaria que acumulará a(l) en m sub­períodos.

b. Asumiendo que el valor acumulado futuro de los m subperíodos es una unidad· monetaria.

2. 'Tres deudas de 150, 100, y 110 deben ser canceladas dentro de 2, 3 y 4 años respectivamente. Si son agrupadas en un pago simple de 365 dentro de 3 años, ¿ a qué tasa de interés se colocó el dinero en esta transacción?

3. En octubre 1 ° del año Z una deuda ascendía a 7 millones, en abril 1° del año Z + 1 se cancelaron 2,5 millones y en octubre !º·otro millón. ¿A cuanto asciende la deuda en noviembre 1 ° del año Z + 1, si la tasa de interés de la transacción es del 20% efectivo anual para el año Z, y del 25% y 20% para .el primero y segundo semestre del año Z + 1 respectivamente?

4. a. Si i~~;> = 1,008 hallar el valor de i.

b. Hallar iC4) si d(2) = 12%.

I Sección 1.8

5. Demostrar que 8 = lim m ---too

lim m---too

6. a. Realizar los ejemplos 1.2 y l. 7 usando la función de acumulación en función de la fuerza del interés.

b. Encontrar el valor acumulado de una inversión de una unidad mone­taria en 6 meses si 8t = 1/(t + 4) con O :S: t s; l.

l

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34 Teoría gen.eral del interés

Sección 1.9

7. En ocasiones las corporaciones financieras aplican el concepto de tasa real con base en tasas nominales. Bajo esta consideración, si una corporación ofrece créditos con una tasa de interés anticipadá convertible mensualmente y equivalente a 5 puntos reales por encima de la inflación, calcular la tasa de interés efectiva anual si la inflación es del 10%.

8. Una persona tiene que pagar una deuda con 36 cuotas mensuales anticipadas de 1.000 a una tasa del 10% efectivo anual. Si decide cancelar el crédito en 12 cuotas, ¿cuánto quedaría costando cada cuota?

9. a. ¿Cuánto se debe pagar por cada millón de préstamo en un crédito cuyas cuotas son mensuales anticipadas y tiene una tasa de interés del 12% efectivo anual? Realizar los cálculos suponiendo que el crédito es a 3, 5, 15, 20 y 30 años.

b. Realizar el. cálculo suponiendo que las cuotas son fij~ al año y cre­cientes en una inflación proyectada año por año del 10%.

10. Una persona debe cancelar una deuda de $1.000 en 36 cuotas iguales al final de cada mes, Encuentre el valor de estas cuotas si las tasas usadas son i(12) = 9% para el primer año e iC12) = 12% para los dos restantes.

11. Encontrar el valor presente de una anualidad vencida que inicia lós pagos en una unidad monetaria y se incrementa, en una unidad sucesivamente hasta llegar a n y luego decrece hasta llegar a un último pago final de una unidad monetaria.

12. a. Demostrar el resultado (1.66). b. ¿Cómo quedaría el resultado (1.76) asumiendo pagos vencidos?

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1

Capítulo 2

Modelos de sobrevivencia

2.1 La función de sobrevivencia

Función a partir de la cual se calculan probabilidades del tiempo de duración. Como el tema central del texto son las contingencias de vida, las probabili­dades analizadas seguidamente hacen alusión al tiempo de sobrevivencia en humanos.

Una de las inquietudes de quienes analizan la sobrevivencia en humanos es poder definir una función vital que describa tal comportamiento con buen grado de certeza. Algo notable al respecto es que el uso de algunas de las funciones definidas hace muchos años ha perdurado hasta nuestros días. Definir un modelo de sobrevivencia único para humanos no es fácil si se tiene en cuenta que el comportamiento varía mucho de una región a otra. Sin ir tan lejos, la mortalidad en Colombia es bastante disímil a la mortalidad de sus países vecinos, aun cuando posea caract~rísticas culturales y socio­económicas semejantes. De todas formas, cuando se piensa en el desarrollo de un modelo de sobrevivencia, hay patrones generales en la mortalidad que

\ deben tenerse en cuenta:

Se presenta bastante en la infancia. Disminuye durante la niñez y la adolescencia. Aumenta de nuevo en la juventud. Estabiliza en la madurez. Acelera al llegar a la vejez.

35

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36 Modelos de Sobrevivencia

Tasas d~ mortalidad por edad

Tasas

Antes de la presentación matemática de los modelos probabilísticos es necesario hacer algunas definiciones:

(x) Hace referencia a una persona con edad x.

X Variable aleatoria que representa el tiempo futuro de vida de un recién nacido .

w Edad mínima a la cual una persona no puede sobrevivir. (Edad final del modelo)

S(x) Función de sobrevivencia. Probabilidad que un recién nacido sobreviva a la edad x

S(x) 1

S(x) = P(X > x)

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Contingencias de vida individual

La función de sobrevivencia tiene tres características principales:

S(x) es una función d~creciente. S(O) == l. S(w) = O.

37

La función de distribución de X o F(x), define la probabilidad de morir antes de x años. Su derivada es la función de densidad no condicional de X.

F(x) = P(X:::; x) = 1- S(x) (2.2)

. d -d f (x) = dx F(x) = dx S(x) (2.3)

Otra definición importante es la correspondiente a la fuerza de mortali­dad, o densidad condicional de fallar. en x dado que se sobrevive a x.

µ(x) = densidad de fallar en x dado que se sobrevive ax Densidad no condicional de X ·

- P(sobrevivir ax)

Existen otras notaciones para:Ja fuerza de mortalidad, aunque la más común está dada por el símbolo µ; por simplicidad se acostumbra notar como µ:,,: en vez de µ(x). De la ecuación anterior se concluye que:

f(x) -Íx,S(x) d µ:,,: = S(x) = S(x) = - dx Ln[S(x)] (2.4)

(2.5)

La fuerza de mortalidad calculada en un valor particular x, define la pro­babilidad de morir entre las edades x y x + flt dado que se tiene edad x, es decir, morir entre un tiempo infinitesimal. Por esto también se le menciona como probabilidad instantánea de muerte.

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38 Modelos de Sobrevivencia

Ejemplo 2.1: Si 8(x) = 1- x/100 con O:;;; x:;,; 100, se evalúa lo siguiente:

a) 8 cumple las condiciones de ·una. función de sobrevivencia. -- + '

Según el criterio de la primera derivád.a 8 es decreciente en todo su recorrido.

8(0) = 1 '8(100) = O

La primera edad para la cual 8(x) = O es w = 100.

b) La probabilidad de que un recién nacido sobreviva más allá de la edad 20:

P(X > 20) = 8(20) = 1 - 20/100 = O, 8

c) La probabilidad de que un recién nacido muera más allá de los 20 y antes de los 55 años:

P(20 < X :;,; 55) = P(X > 20) - P(X > 55) = 8(20) - 8(55) = o, 35

d) La probabilidad de que una persona de edad 20 sobreviva a los 55:

P(X > 55/X > 20) - P(X>20 ,/\, X>55} - . P(X>20)

P(X>55}. S~55} .··o 5625 = P(X>20) = S 20) = '

e) La probabilidad de que una personá de edad 20 no sobreviva más allá de· los 55.

P(X :S 55/X > 20) = 1- P(X > 55/X > 20) = 0,4375

f) A partir de la función de densidad no condicional de X se verifican las probabilidades de los puntos b y c.

f(x) = -:f:x8(x) = 160

- 100 1 - :e 110º -P(X > 20) - J20 100dx - 100 - O, 8 20

. rs P(20 < X :;;; 55) = J2

5; 150 dx == · 1i0 bo = O, 35

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i

. Contingencias de vida individual

· g) La fuerza de mortalidad evaluada en la edad 20, µ(20):

_ M _ 1100 ....: 1 µx - S(xJ - 1-x 100 - 100-x

µ(20) = 1/80 = 0,0125. Este valor indica la probabilidad de morir entre los 20 años y los 20 más una pequeña fracción de tiempo, dado que se tiene edad 20, esto es, la probabilidad instap.­tánea de muerte a los 20 años.

h) La probabilidad de que un recién nacido muera a la edad 20: Primero se calcula la probabilidad de sobrevivir a los 20 para luego contemplar la probabilidad instantánea de muerte. Sean los eventos:

A : Sobrevivir a los 20 teniendo O años

B : Morir a los 20

De acuerdo con el concepto de probabilidad condicional:

P(AB) = P(A)P(B / A) == 8(20)µ(20) = (O, 8) (O, 0125) = 0,01 A

2.2 Probabilidades condicionales

39

La generalización de las probabilidades condicionales tratadas· en el ejemplo 2.1, comienza por la definición de la variable aleatoria:

T(x): Tiempo futuro de vida de una persona en edad x.

T=X-x

X expresa la edad alcanzada por un recién nacido y T ño es una edad sino un lapso adicional de tiempo vivido por (x). La probabilidad de sobrevivir t años más dada una edad x es tPx = P(T(x) > t); su fórmula de cálculo se deduce como sigue:

S(x + t) tPx = P(X > x + t / X> x) = S(x + t / X > x) = S(x) (2.6)

11

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1 f¡ ¡1

I'

1!

1

., '

40 Modelos de Sobrevivencia

La probabilidad de muerte antes de t años dada una edad x es:

tqx = P(T(x) ~ t) = P(X ~ :t+ t / X> x) = F(x + t / X> x) (2.7)

Según el concepto de probabilidad condicional y de acuerdo con (2.6):

P(x <X~ x+t) S(x)-S(x+t) tqx = P(X > x) = S(x) = 1-t Px (2.8)

tPx y tqx dadas por S(y/X > x) y F(y/X > x) respectivamente, son una modalidad de funciones truncadas inferiormente. En el caso de la función de densidad y fuerza de mortalidad:

f( IX ) = !}_F( /X ) = d S(x) - S(y) = f(y) Y > x dy Y > x dy S(x) S(x)

X> x _ f(y/X > x) _ f(y)/S(x) _ f(y) _ µ(y/ ) - S(y/X > x) - S(y)/S(x) - S(y) - µy

(2.9)

(2.10)

Es claro ver que xPO = S(x). Para expresar tPx en función de la fuerza de mortalidad se deduce de (2.4) que -µydy = dLn[S(y)] e integrando desde x hasta x +t:

1x+t [S(x + t)] - x µydy = Ln S(x) . = Ln[tPx]

Tomando la exponencial y luego haciendo el cambio de variable y = x+s:

(2.11)

La fuerza de mortálidad en términos de las probabilidades condicionales de sobrevivencia queda como:

(2.12)

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Contingencias de vida individual 41

2.2.1 La función de densidad de T: La fórmula tqx es la.función de distribución de T, por tanto, la derivada encuentra la función de densidad de To g(t).

() _ .!!_,_ . _ -S'(x + t) _ S(x + t) [-S'(x + t)] _

g t - dt tqx - S(x) - S(x) S(x + t) - tPx µx+t (2.13)

El resultado puede interpretarse como la probabilidad de morir en un instante de tiempo infinitesimal entre las edades x + t y x + t + !lt dado que se tiene edatl x. Otra forma de encontrar el resultado para g(t) es analizarla como una función de densidad truncada inferiormente.

g(t) = f(x + t /X> x) = S(x + t /X> :z:) µ(x + t /X> x) =t Px µx+t

: g define la probabilidad de muerte instantánea de ( x) en x + t y por me­dio suyo puede generalizarse el cálculo de probabilidades condicionales de muerte para una persona de edad X como:

(2.14)

Para el cálculo de probabilidades de muerte entre las edades x + t y x + t + u para una persona en edad x, o probabilidades de muerte diferidas usando la función 9,. se tiene:

(2.15)

De acuerdo con las probabilidades condicionales, las probabilidades di­feridas pueden set expresadas de la siguiente manera:

t/uqx = P(x+t <X< x+t+u/X > x)

= P(X > x + t /X> x) - P(X?:. x + t +u/ X> x)

=tPx-t+uPx

=t+u qx -t qx

De (2.16) surge otra expresión para t/uqx:

(2.16)

(2.17)

(2.18)

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42 Modelos de Sobrevivencia

Ejemplo 2.2: Con la información del ejemplo 2.1 se evalúa lo siguiente:

a) La función de densidad de T, g(t):

( ) _ _ S(:t)) J~x+t~ _ f (:it)) _ 1 g t -t Px µx+t - S x S x+t - S x - 100-:z:

b) La probabilidad de muerte instantánea de un recién nacido a los 20 años. Aquí x = O y t = 20, luego:

20P0 µ20 = 10J_0 = 0, 01

c) La probabilidad que una persona de edad 20 muera entre los 25 y 35 años:

-1-1==========1-(20) 25 35

Otra vía para calcular la probabilidad anterior primero mira la probabilidad de que la persona llegue viva a los 25, y una vez estando en esa edad, contempla la probabilidad que muera en el intervalo de edad de 25 a 35:

_ S(25) S(25)-S(35) _ S(25)-S(35} _ 0,75-0,65 _ 0 125 5P20 10q25 - S(20) S(25) ...,. · S(20) - 0,8 - ,

d) La probabilidad que un recién nacido muera antes de los 20 años:

r20 r20 1 20qo = Jo g(y)dy = Jo 100-ody = O, 2

e) La probabilidad que una persona de edad 20 muera antes de los 55 años:

_ r35 ( ) r35 1 35q20 - Jo g y dy = Jo 100_ 20 dy = O, 4375

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r

Contingencias de vida individual 43

2.3 Esperanza de vida

Es un valor usado para representar el promedio del tiempo futuro de vida de una persona. La esperanza de vida al nacer o tiemp·o esperado de vida de un recién nacido es:

e8 = E[X] = 100

x J(x)dx = 100

x xPo µx dx

La esperanza de vida para una persona en edad y se define como:

e~ = E[T] = E[X / X > y] - y

Presentar la esperanza de vida con una fórmula más simple requiere del uso del siguiente teorema, muy útil en el cálculo de valores esperados.

Teorema 2.1: Si Tes una variable aleatoria continua con función de distribución G(t) tal que G(O) = O, y z(t) es una función positiva, diferen­ciable y monótona tal que E[z(T)] existe, entonces:

E[z(T)] = roo z(t)g(t)dt = z(O) + roo z'(t)[l - G(t)]dt lo . lo

La demostración del teorema se deja como ejercicio.

Retomando la esperanza de vida para úna persona con edad y:

e~ = 100

x f(x /X> y)dx-y

- loo x J(x /X> y)dx -y 100

J(x /X> y)dx

- 100

(x -y) f(x /X> y)dx

Sea el cambio de variable t = x -y, entonces x = t + y y dx = dt.

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44. Modelos de Sobrevivencia

Del teorema 2.1 con z(t) = t y g(t) =t Py µy+t entonces z'(t) = 1 y por (2.13) G(t) =t qy:

(2.19)

El símbolo de infinito toma el valor w-y. El resultado puede ser obtenido fácilmente si en vez de aplicar el teorema 2.1, se integra por partes la función t. g(t). Tomando u= t entonces du = dt; y si v = g(t) =t Py · µy+t entonces de acuerdo con (2.12) dv = -tPy, así:

¡-y rX) {00

ei = (-t ·t Py)b + lo tPydt = lo tPydt

Ejemplo 2.3: Con la información del ejemplo 2.1:

o 100 100 100 - .X e0 = xPO dx = 100

dx = 50 o . o

Si una población sigue una ley de sobrevivencia S(x) = 1-100/x, entonces se espera que un recién nacido viva en promedio 50 años.

o = p, dt = S(x+t) dt = 100-x-t dt = 60-t dt _ 160 160 . 160 160

e40 t x S(x) 100-x 60 - 30 o o o o .

Se espera que una persona de edad 40 sobreviva en promedio30 años más, esto es, que llegue a los 70. El resultado está muy por encima de la esperanza de vida de un recién nacido puesto que el riesgo implicado de morir entre los cero y los cuarenta años, la persona ya lo ha superado, incrementando así su esperanza de vida. A

Si la esperanza se limita a valores de T inferiores de uno, se obtiene una función a(x), qúe determina el número promedio de años vividos entre x y x + 1 por el grupo que murió entre estas edades.

(2.20)

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Contingencias de vida individual 45

2.3.1 Tiempo futuro de vida en años enteros: Muchas aplicaciones en distintos campos consideran la edad en años enteros, por tanto, es necesario contar con la siguiente variable aleatoria:

K = [T] : Tiempo futuro de vida en años enteros.

De acuerdo con la definición de la función parte entera se encuentra la función de densidad de K; como g(k)-:- P(K = k) entonces:

g(k) = P(k ~ T < k + 1) = P(T ~ k) - P(T ~ k + 1)

Dado que Tes variable aleatoria continua, P(T = k) = P(T = k+ 1) = O, y por tanto:

g(k) = P(T > k) - P(T > k + 1) =k Px -k+l Px =k Px · qx+k = k/qx

(2.21)

Con base en (2.21) se encuentra la función de distribución de K:

k

G(k) = P(K ~ k) = ¿ h/qx = k+lqx con k = O, 1, 2, ... (2.22) h=O

Definiendo a S como una variable que representa la fracción del tiempo de vida en el año de muerte, entonces:

(2.23)

La función g(t) proporciona para (x), probabilidades instantáneas de muerte después de t años y g(k) probabilidades de muerte después de k años y antes de k + l. Similarmente, la probabilidad de que la muerte ocurra entre k y k + s donde s es una fracción de año, es:

El uso de K implica un sustancial .cambio. en la formulación y en la notación, por ejemplo, en la esperanza de vida la notación del caso continuo. e~ pasa a ser en el caso discreto ex, y la fórmula de cálculo se define por:

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1 1

46

00

. ex= ¿k kPxqx+k k=O

Modelos de Sobrevivencia

Para encontrar una expresión simplificada de ex es necesaria la aplicación del siguiente teorema, cuya demostración es similar a la del teorema 2.1 y también se deja como ejercicio.

Teorema 2.2: Si K es una variable aleatoria discreta con función de distribución G(k) y función de densidad g(k) = D.G(k - 1), y z(k) es una función positiva y monótona tal que E[z(K)] existe, entonces:

00 00

E[z(K)] = ¿ z(k)g(k) = z(O) + ¿ [1- G(k)] D.z(k) k=O k=O

Aplicando el teorema 2.2 en ex sean z(k) = k y g(k) = k/qx; entonces D.z(k) = 1 y por (2.22) G(k) = k+lqx,

00 00

ex = E[K] = O + ¿ [1 -k+I qx] = L kPx (2.25) . k=O k=l

Descomponiendo kPx se encuentra otra expresión para ex.

w-x w-x

ex= L kPx = LPx k-lPx+l k=l k=l

Si h = k- l:

(2.26)

Lá esperanza de vida de una persona en edad x si sobrevive un año más, será igual ala esperanza de vida que tenga en la edad x + l más un año, el que se ganó al sobrevivir a la edad x + l.

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Contingencias de vida individual 47

2.4 La tabla de mortalidad

La tabla de mortalidad tradicional es un modelo de sobrevivencia presentado en formato tabular. Su construcción fue diseñada por actuarios mucho antes del avance en la teoría estadística de los modelos de sobrevivencia vistos como distribuciones probabilísticas. La notación resultante tiene algunas diferencias con la vista hasta el momento.

El modelo tabular no presenta las probabilidades de sobrevivir S(x), a cambio ilustra el número de sobrevivientes de un grupo inicial lo desde una edad particular x (preferiblemente x = O) hasta w. Usualmente los modelos tabulares consideran las edades en años enteros.

Si S(x) es multiplicado por lo el resultado es un número estimado de sobrevivientes para la edad x. A lo se le conoce como la raíz de la tabla y generalmente es fijada en miles de unidades, como 10.000 o 100.000. Así pues, en el modelo tabular el número esperado de sobrevivientes a una edad x denotado por lx, toma el lµgar que tiene S(x) en el modelo d.e sobrevivencia probabilístico.

lx = lo S(x) (2.27)

La definición de lx como expansión de S ( x) por una constante lo, conduce a afirmar que la gráfica de lx tiene forma similar a la de S(x). La ecuación (2.27) puede deducirse más rigurosamente a partir de la definición de la variable aleatoria:

Cx: Número de sobrevivientes a la edad x de un grupo inicial lo

Ij es una variable indicadora que representa la sobrevivencia del recién nacido j:

si la vida j sobrevive la edad x en otro caso

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1

1\

48 Modelos de Sobrevivencia

Ij es variable aleatoria de tipo Bernoulli y por tanto Cx tiene distribución binomial con parámetros n = lo, o número inicial de sobrevivientes, y pro­babilidad de éxito (sobrevivir) p = S(x).

Cx ~ B(lo,S(x)) E[Cx] = lx = np = lo S(x)

Para obtener el valor esperado de muertes entre x y x + k o kdx, primero hay que definir. la variable aleatoria:

k'Dx: Número de muertes entre las edades x y x + k.

k'Dx ~ B(lo,F(x + k) """'. F(x))

k'Dx ~ B(lo, S(x) - S(x + k))

E[k'Dx] =k dx = lo (S(x) - S(x + k)) = lx - lx+k (2.28)

Otras funciones de la tabla son obtenidas a partir de (2.27) y (2.28).

S(x + k) . lx+k / lo lx+k kPx= = =--

S(x) lx / lo lx (2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32)

La esperanza en años continuos e~ puede aproximarse a partir de ex, usando para ello una forma particular de la fórmula de Euler-McClaurin hasta su tercer término para aproximar integrales definidas:

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Contingencias de vida individual 49

/n 1 1 Jo f(x)dx ~ [f(l) + f(2) + · · · + f(n)] + 2 [J(O) - f(n)] -

12 [f'(n) - !'(O)]

Sean f(t) = lx+t,n = w-x y dx = dt.

Dividiendo por lx:

En la _siguiente sección se mostrará que el tercer término del lado derecho de la aproximación sin tener en cuenta la constante 1/12 es -µx, En la práctica es ignorado y como w-xqx = l; entonces:

(2.33)

Ejemplo 2.4: El anexo 1 presenta la tabla colombiana de mor­talidad de los asegurados en el período de 1.984 a 1.988. La raíz de la tabla comienza a edad 20 y la edad máxima estimada que puede alcanzar la población de asegurados es de 99 años, por tanto, w = 100.

Por mencionar un caso particular, la probabilidad de muerte de una persona de 20 años de edad es ·de 0,00345 y su esperanza d~ vida usando (2.33) es de 52,2 años. Usando una raíz de lo = 100.000 personas para la tabla, se espera que mueran 345 con 20 años de edad.

La tabla del anexo contiene otros componentes que son propios del cálculo actuarial los cuales serán explicados en su momento. A

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50 Modelos de Sobrevivencia

En la cohorte inicial lo donde cada vida tiene una función específica de sobrevivencia S(x) se le denomina grupo aleatorio de sobrevivientes. La ta­bla del anexo 1 considera un grupo cerrado, no hay entradas después del inicio de lo vidas y el decremento ocurre únicamente por muerte; además, cada vida está sujeta a las probabilidad~s de muerte fijas determinadas por las qx de. la tabla. Este grupo así definido se denomina grupo determinístico. de sobrevivientes. Los fundamentos matemáticos de los dos grupos son di­ferentes, pero sus propiedades matemáticas son las mismas.

Una forma de estimar un modelo de sobrevivencia tabular, es observar un grupo de recién nacidos hasta que ocurra su deceso. No obstante el proceso resulta poco práctico puesto que la aplicación-requiere de mucho tiempo y de un grupo suficientemente numeroso como para que las estimaciones sean fiables. Además, para la fecha de obtención del modelo definitivo, la estructura de la mortalidad habrá tomado virajes importantes, ocasionados por los adelantos tecnológicos y los cambios en los estilos de vida y la cultura entre otros, lo cual desvirtúa totalmente la vigencia del modelo.

Si bien a partir de lx pueden obtenerse las demás componentes de la tabla, en la práctica la estimación de la misma parte de la estimación de los qx, La metodología consiste en observar un grupo de personas _de todas las edades en un período de tiempo moderadamente grande y mediante uno de los métodos de estimación existentes1 , se determinan las probabilidades de muerte.

Las estimaciones de qx no son otra cosa que frecuencias y no probabilida­des que presenten en su conjunto, el grado de regularidad que la naturaleza del fenómeno estudiado presupone. El proceso de regularizar los datos se conoce como ajuste de tablas2. Una vez ajustada la -tabla, con base en un grupo inicial supuesto lo, los demás componentes son obtenidos.

2.4.1 La fuerza de mortalidad: Uná expresión paraµ también es de­terminada a partir de lx. La deducción de su fórmula puede ilustrarse con base en el siguiente ejemplo.

1Una revisión extensa del tema se puede encontrar en el libro "Survival Models and Their Estimation" por Dick LoncÍon, capítulos 4 al 9.

2 Un buen compendio de métodos de-ajuste se encuentra en el libro "Graduation" por Dick London.

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Contingencias de vida individual

Ejemplo 2.5: SeaS(x) = O, 25(64 - O, 8x)113 con O~ x ~ 80. Si lo= 10.000 entonces, l:z: = 2.500 • (64 - O, 8x)113 •

.!!:_l = -2.000 (64 _ 0 8 )-2/3 dx x 3 ' x

La derivada indica la tasa de decremento de lx con respecto a x. Calculada en una edad de 20 años:

- Írclxl = -23°00 (64-(0,8) 20)-213 = -50,48

20 .

En la edad exacta de 20 años el número de sobrevivientes decrece aproximadamente a razón de 50 vidas. La medida no sirve como tasa de muerte puesto que depende del número de sobrevivientes que existían a la edad 20. Dividir la derivada por l20, conduce a una tasa de muerte independiente del número de sobrevivientes del grupo inicial supuesto lo. Como l20 = 9.085, 6 entonces la tasa de muerte a edad 20 es 50, 48/9.085, 6 = O, 00556 expresada en términos absolutos. ·

El cálculo de distintos valores para x entre los 20 y 21 años da:

X µa; 20,0 0,00556 20,2 0,00557 20,5 0,00560 20, 7 0,00562 21,0 0,00565

La probabilidad de muerte entre los 20 y 21 años es q20 = 0,00559.

Los qx expresan una probabilidad condicional de muerte anual y µx variaciones instantáneas de la mortalidad en el año. El con­cepto puede ser comparado con el concepto de velocidad media. Si un vehículo gasta una hora al pasar entre dos ciudades a 60 kilómetros de distancia, el vehículo habrá hecho el recorrido a una velocidad de 60km/h, pero esa velocidad no es más que un promedio de las distintas velocidades que ha llevado durante el trayecto. A

1 1

51

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52 Modelos de Sobrevivencia

Generalizando el resultado del ejemplo anterior o simplemente por de­ducción de (2.4), la fuerza de mortalidad también se define como:

(2.34)

2.4.2 Otras funciones de la tabla de mortalidad: Del grupo de so­

brevivientes a edad x, Lx define el total de años vividos entre x y x+ l. Los sobrevivientes en el intervalo aportan lx+l años vividos a Lx, y los muertos contribuirán con una fracción de año que en total suma J¿ s lx+s µx+s ds, así:

Al integrar por partes el segundo término del lado derecho de la ecuación anterior se llega a:

(2.35)

Esta medida expresada en unidades de años vividos, indica el tiempo total que estuvo expuesta la cohorte lx al riesgo de morir. La generalización al total de años vividos por el grupo lx más allá de la edad x es:

¡w-x Tx = lo lx+t dt (2.36)

La esperanza de vida puede ser calculada con base en Lx y Tx.

(2.37)

(2.38)

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Contingencias de vida individual 53

La esperanza e~:n] es el tiempo esperado de vida de una persona en edad x previo a x + n. La medida basada en la variable K es ex:n]; las dos dadas en término de las probabilidades de sobrevivencia son:

e~-n] = ¡n tPx dt · lo n

e:i::n] = ¿ kPx k=l

Como se mencionó anteriormente, la fuerza de mortalidad indica las variaciones instantáneas en la tasa de mortalidad a lo largo de todas las edades. La medida usada para representar el promedio ponderado_ de esas tasas µx, se denomina la tasa central de mortalidad, donde la función de ponderación es S ( x). Si se toma el promedio en el intervalo de edad de x a x +1 se nota por m:i;.

Jx+l S(y)µ(y) dy Ji S(x + s)µ(x + s) ds J01 lx+s µx+s ds

mx = x 1 = 1 = .;;..::...-1~· ---J:+ S(y) dy fo S(x + s) ds fo lx+s ds

1 11 , Pero por (2.34) fo lx+ti µx+s ds = -lx+sb = dx, ademas por (2.35):

(2.39)

La tasa de muerte mx es una relación de casos ocurridos frente a exposi­ción; algunos métodos la usan para la estimación de los q:i;. Suponiendo que l:z:+s es lineal en el intervalo [x, x + 1) se llega a la siguiente relación con q:i;:

(2.40)

2.4.3 Probabilidades condicionales a edades fraccionadas: Cuando existe un modelo matemático para µx es posible calcular las probabilidades de muerte y de scibrevivencia en edades no enteras. En el caso de los modelos tabulares no es posible suministrar tales probabilidades en forma minuciosa, pero el cálculo puede hacerse con aproximaciones basadas en los valores de la tabla.

l

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54 Modelos de Sobrevivencia

2.4.3.1 Forma lineal para lx+s: Una de las formas para calcular sPx o 8 qx cuando O ~ s ~ 1, es suponer que el comportamiento de lx es lineal entre x y x + l.

lx lx+s lx+l -1--1---1-

X x+s x+l

El esquema anterior sirve de guía para hallar lx+s por interpolación lineal.

(2.4Í)

La forma asume que la curva de lx está dividida en líneas rectas siendo cada una la representación de un año, pero no necesariamente forman en conjunto una sola línea recta. El número de muertes del año es proporcional al tiempo transcurrido de dicho año, por esto la aproximación se conoce co­mo supuesto de distribución uniforme de muertes, abreviadamente supuesto DUM. Los textos en inglés refieren la abreviatura como UDD. Dividiendo (2.41) en a ambos lados de la ecuación por lx:

Las fórmulas anteriores asumen linealidad exacta en el modelo de so­brevivencia, por eso se expresan con igualdades. Pero es muy difícil sino impósible que este supuesto, así como los que se citarán más adelante, se cumplan con exactitud en cualquier modelo particular, por esto varios textos citan las fórmulas para lx+s y sus derivaciones, como aproximaciones.

Es de mucho interés el cálculo de la probabilidad de muerte donde x es entero Y O ~ s ~ 1; y + s ~ 1 como se indica en el siguiente esquema:

--Cl---l=========l----1-X x+y x+y+s x + 1

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Contingencias de vida individual 55

La probabilidad de muerte entre x y x + y + s puede escribirse como:

Aplicando el supuesto D UM:

(2.42)

La aproximación implica la siguiente deducción para S(x).

S(x)-S(x+s) sS(x)-sS(x+l) sQx = S(x) = s Qx = . S(x)

S(x + s) = (1- s) S(x) + s S(x + 1)

El supuesto D UM también concluye que µx+s es una función creciente de x; por (2.12):

-fsS(x + s) - S(x) - S(x + 1) µx+s = S(x + s) = (1- s) S(x) + s S(x + 1)

Dividiendo numerador y denominador por S(x) en la última expresión del lado derecho, y según (2.8):

Otras dos aproximaciones importantes son:

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56 Modelos de Sobreviven.cia

Con base en el supuesto lineal para lx+s, (2.24) toma la forma:

P[(K = k) n (S::;; s)] =kPx s qx+k =k¡ qx s = P(K =k) P(S::;; s)

Lo cual concluye que K y S son independientes bajo el supuesto DUM. Como la variable S tiene distribución uniforme en el intervalo (0,1) entonces E(S) = 1/2, y así:

El resultado se había analizado más generalmente en la sección 2.4 y se concluyó en (2.33).

En resumen, asumir linealidad para lx en intervalos anuales, es asumir que la probabilidad de muerte es creciente con la edad y que el número de muertes es proporcional al tiempo de año transcurrido.

Ejemplo 2.6: Sean q20 = O, 06 y q21 = O, 08. Asumiendo distri­bución uniforme de muertes, la probabilidad de que una persona de 20 años muera entre los 20½ y los 21 ½ es:

2.4.3.2 Forma hiperbólica para lx+s= Esta hipótesis asume que el inverso de lx es una función lineal de s entre x y x + l, esto és lx+s = (a+ b · s)-1 . Para asegurar continuidad en s = O se hace lx = l/a, y en s = 1 se hace lx+I = 1/(a + b) luego:

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Contingencias de vida individual 57

Apoyados en (2.30), (2.29) y (2.8) las siguientes deducciones algebraicas concluyen en la aproximación final de 8 qx,

sqx qx --=s--lx+s lx+l

S qx S qx sqx = Px + s qx - 1 - (1 - S )qx (2.45)

Por deducciones algebraicas similares se llega a:

(2.46)

Por (2.46) es fácil ver que· 1-tqx+t = (1- t)qx, Para la fuerza de mortali­dad se tiene:

(2.47)

La fuerza de mortalidad resultante es una función decreciente de x. Aun­que la hipótesis no fue propuesta por el. actuario Balducci, se le conoce como el supuesto de Balducci y sirve para modelar situaciones donde la probabili­

. dad de muerte es decreciente; algo parecido a lo que sucede en la población de recién nacidos.

2.4.3.3 Forma exponencial para lx+s: Asume que el comporta­miento de lx+s entre x y x + 1 es de la forma lx+s = a · b8

• Para asegurar continuidad en s = O se hace lx = a, y en s = 1 se hace lx+l = a· b, entonces: lx+s = lx · (px) 8

, y dividiendo por lx:

sPx = (Px) 8 (2.48)

(2.49)

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58 Modelos de Sobrevivencia

De acuerdo con (2.12) la fuerza de mortalidad sería:

_ -fs(px)8 _ -(px)8 Ln[px] _ -L (p )

µx+s - (px)s - (Px)s - n x (2.50)

Al no depender µx+s de la fracción de tiempo s, la fuerza de mortalidad es constante entre x y x + 1 y se toma a µx+s = µ. La hipótesis. es conocida como supuesto de fuerza de mortalidad constante.

También:

-sµ sPx = e

-sµ sPx+y = e

(2.51)

(2.52)

(2.53)

(2.54)

El supuesto modela casos donde la probabilidad de muerte es constante, situación parecida a la ocurrida en adultos jóvenes.

2.5 Tablas selectas

Los asegurados constituyen una población especial y diferente en muchas características a la población general de un país, diferencias que son más acentuadas en países como el nuestro donde la cultura de compra del seguro de vida no es muy arraigada.

Además de las características especiales que tienen las personas que de­ciden tomar un seguro de vida, se suman a estas las incluidas dentro de un proceso de selección hecho por las compañías de seguros, cuando aceptan o rechazan a sus potenciales asegurados de acuerdo con algunas condiciones deseables para ella. El hombre ideal que_ querrían aceptar para el seguro, es probablemente el de un profesional sin defectos médicos o deformidades, con un peso inferior al promedio en comparación con la altura, que regular­mente pero no de forma excesiva hace ejercicios y que es sobrio en hábitos y distracciones. En la práctica resulta muy difícil verificar los hábitos de

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Contingencias de vida individual 59

los asegurados y relativamente pocos casos ideales llegan a las manos de los seleccionadores, no obstante la selección tiene un papel fundamental en los resultados financieros del seguro.

Esta selección determinada fundamentalmente por exámenes médicos y el análisis del ambiente laboral y pasatiempos especiales, influye sobre la mortalidad del grupo durante ~ierto tiempo. En general, es admit~do que los efectos duran de uno a diez años, y naturalmente, año por año, esos efectos van decreciendo. Este período de tiempo se conoce como período de selección, otros autores han fijado períodos de selección con efectos duraderos en 15 años,

Así, la población de asegurados se divide en dos grupos cada uno con su tabla de mortalidad. La que depende únicamente de la edad se llaman tabla de agregados, pero si adicionalmente tiene en cuenta el tiempo de ingreso en el seguro, se denomina tabla selecta. Para personas que están en el seguro por un tiempo superior al período de selección, la mortalidad depende exclusivamente de la edad, obteniéndose de este grupo una especie de tabla de agregado denominada tabla final.

La construcción de la tabla comienza en cada una de las.edades de entra­da con una raíz la cual representa una cohorte hipotética de vidas selectas a la edad x, l[::c]. La notación advierte un ligero cambio en los subíndices, los paréntesis cuadrados indican la edad de entrada al grupo.

l[::c]+k indica el número de sobrevivientes a la edad x + k de un grupo selecto de edad x. Si los valores de l[::c]+k son específicos para todo entero k, el resultado puede usarse para obtener otros valores, justo como se hace en las tablas agregadas.

d¡::c]+k = l[::c]+k - l¡x]+k+l representa el número de asegurados que mueren entre x + k y x + k + 1 de un grupo selecto a edad x. Análogamente a las definiciones de las probabilidades en los párrafos anteriores:

l¡x]+k+n nP[x)+k = l

[::c]+k (2.55)

(2.56)

l

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1 '.

l. i,

1.

60 Modelos de Sobrevivencia

(2.57)

Para construir la tabla selecta y la final primero se det~rmina lx+r sa­biendo que lx+r = l¡x)+r, donde r es la longitud del período de selección. Los segmentos selectos se completan usando la relación:

l¡x]+r-k l¡x]+r-k-1 = ~~-­

P[x]+r-k-1 k = O, 1, 2, ... , r - 1

Las tablas selecta y final del siguiente formato asumen la menor edad en 20 años y un período selecto r = 3. La columna lx+3 corresponde a los valores de la tabla final.

[x] l¡x¡ l¡x]+l l¡xJ+2 lx+a x+r

[20] l¡20J l¡20J+1 l¡20J+2 l23 23 [21] l¡21J l¡21J+1 l¡21J+2 l24 24 [22] l¡22J l¡22J+1 l¡22J+2 l25 25

Un indicador de análisis usado para definir cuando desaparece el efecto de la selección es:

I(x, k) = 1- q¡x)+k q:,;+k

(2.58)

I(x, k) se denomina índice de selección. De acuerdo con su fórmula, es lógico que su interpretación indique que la selección va desapareciendo, en la medida que el indicador se acerque a cero.

2.6 Modelos de sobrevivencia paramétricos

A continuación son presentadas· algunas leyes famosas de mortalidad que tienen por objetivo proponer funciones matemáticas para modelar la curva lx en todo su recorrido.

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r

Contingencias de vida individual 61

2.6.1 Distribución uniforme de X: También es conocida ~orno la ley de Moivre en reconocimiento al autor Abraham De-Moivre que la propuso en l. 725. La ley simplifica los cálculos asumiendo que el comportamiento de lz es lineal y decrece en progresión aritmética.

lz = k(w-x)

X S(x) = 1- -

w (2.59)

Una consecuencia inmediata de la definición, es que la fuerza de morta­lidad en todas las edades es igual a la probabilidad anual de muerte, esto es q:i;=µz.

La mención de distribución uniforme obedece a que lx es obtenido de la definición de f como una distribución uniforme, f(x) = 1/w = 1/(w - x).

2.6.2 Ley de Gompertz: En 1.825 Benjamin Gompertz afirmó que el hombre pierde todos los espacios de tiempo de la fuerza de vida en partes proporcionales. Ya que µ:i; mide la susceptibilidad a la muerte, Gompertz uso el recíproco 1/ µx para medir la resistencia a la muerte o fuerza de vida, luego su hipótesis concluye en:

Integrando y a su vez despejando µx:

Tomando B = e-BI y e= e-k entonces:

x ~ O, B > O y e > 1 (2.60)

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62 Modelos de Sobrevivencia

B (1 e"') S(x) = eLn(c) - (2.61)

A pesar de que Gompertz en sus memorias afirmaba que la muerte era consecuencia de factores relacionados con el azar y de un deterioro creciente relacionado con la edad, la hipótesis sólo tiene a µx afectada por esta última.

2.6.3 Ley de Makeham: En 1.860 Guillermo Mateo Makeham observó de la ley de Gompertz, que Ln(tPx) decrece en progresión geométrica al ir creciendo x en progresión aritmética, así:

con g = e-b

Pero Makeham analizando algunas tablas de mortalidad específicas, pensó que Ln (tPx) quedaba mejor definida de la si~iente manera:

Derivancio y eligiendo apropiadamente las constantes:

µx =A+ Bcx ; x ~ O, B > O, e> 1 y A> -B (2.62)

S( ). ~(1-c"'}-A•x X = eLn\CJ (2.63)

La ley afirma que la mortalidad no sólo está afectada por la edad, por eso incluye otro parámetro dentro del modelo de Gompertz. El pará~etro A fue definido en su momento como un factor de accidentalidad y homicidio, aunque la introducción de la constante buscaba representar el azar, ese azar que el mismo Gompertz había referido.

Las leyes de Gompertz y Makeham son usadas para simplificar el cálculo de probabilidades donde interfiere la sobrevivencia de más de una vida.

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1 1

Contingencias de vida individual 63

2.6.4 Distribución Exponencial de T: Dormoy en 1.878 definió lx = k · ax con a< 1; de esta forma qx = 1- a es una constante. La conclusión de que la fuerza de mortalidad es constante, .también es obtenida definiendo la función de densidad de T por medio de la distribución exponencial.

· t, µ ~ O; µ = cte. (2.64)

(2.65)

(2.66)

Modelar la sobrevivencia en humanos únicamente con la distribución exponencial no es apropiado, sólo es válido para aproximar la mortalidad en intervalos pequeños y en edades específicas. Además de los modelos anteriores- que son los más conocidos, también se ha intentado· aplicar otras distribuciones como son el supuesto para f de la distribución Gamma, la Chi­cuadrado, la Normal, la Lognormal y la Pareto entre otras. Estos modelos son apropiados en algunos tiempos de fallo distintos, al de la ;,ida humana, el cual es el tema centra,l del presente texto.

EJERCICIOS

Secciones 2.1 a 2.3

l. Repetir los ejemplos 2.1 y 2.2 con S(x) = O, 1(100 - x) 112 y 0 ~X~ 100.

2. a. Si w = 5 ¿cuánto vale p4?

b. ¿ Cuál es la expresión final de n...:1Px+1 · Px+n ·2 Px+n+l?

c. Si Px = O, 9, Px+l = O; 8 y ex = 40 calcular ex+2·

l

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64 Modelos de Sobrevivencia

3. Calcular eg0 y e0 con base en las funciones: 20:30]

a. S(x) = 1- ifo con O~ x ~ 90.

b. S(x) = e-0,05x

4. Demostrar los teoremas 2.1 y 2.2.

Sección 2.4

5. Con base en el anexo 1 y los tres supuestos de la sección 2.4.3, calcular la probabilidad que una persona de 30 años viva 6 años y tres meses más.

6. Demostrar:

a. La fórmula (2.40).

b. e~:nl ~ ex:nl + ½(1-nPx)

7. Calcular q20, y m20 con base en las funciones:

a. S(x) = 1 - ifo con O~ x ~ 90.

b. S(x) = e-0,05x

8. a. Si 1.qx = 0,35 y ª-qx+l/4 = 0,4 ¿cuánto vale qx? 4 4 .

b. Si q40 = O, 02, q41 = O, 04 y iJ.42 = O, 05, asumir DUM para calcular la probabilidad que una persona de 40 años muera entre los 40¼ y 42¾.

9. a. Con base en una fuerza de mortalidad constante de 0,025, determi­nar el número de personas que morirá antes de llegar a los 30 de u.n: grupo de 1.000 con 25 años.

b. Para una cierta edad x, sPx = 1 - s/5 con O < s ~ 3, encontrar µx+l·

10. Construir las componentes básicas de las tablas de los anexos 1, 2 y 3 a partir de los qx, esto es, construir los lx, dx, Px y e~. Asumir una raiz lo = 100.000. -

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Contingencias de vida individual 65

Secciones 2.5 y 2.6

11. Para un período selecto de 4 años:

-. l"fi P[:i:]+2 -3 P[:i:] a. srmp 1 car 2q(:i:]

Expresar en términos del:

_ b. La probabilidad que una persona de 30 años recién asegurada, muera entre los 32 y 36.

c. La probabilidad que una persona de 30 años y un año de antigüedad en el seguro, muera entre los 32 y 36.

d. La probabilidad que una persona de 30 años recién asegurada, muera antes de los 36.

e. La probabilidad que una persona de 30 años y un año de antigüedad . en el seguro, muera antes de los 36.

12. a. Demostrar el resultado (2.62).

b. Comprobar que las S(x) definidas para las leyes de Gompertz, Make­ham y exponencial, si cumplen los requisitos de funciones de sobrevivencia.

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r

! !

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Capítulo 3

Seguros de vida

Una de las más comprensivas definiciones de seguro de vida la dio el actuario P. Dupuich: "Es un contrato (póliza) mediante el cual una persona llamada asegurador promete a otra, llamada tomador, en cambio de una prestación designada con el nombre de prima, dar a una tercera persona, que recibe el nombre de beneficiario, una indemnización con una condición que depende de la vida de otra persona o asegurado". En la mayoría de los casos el tomador es el mismo asegurado, por esto en adelante los dos términos serán usados indistintamente. La razón de ser del seguro de vida es la necesidad del beneficiario de disponer de dinero a causa de la muerte del asegurado.

3.1 Apartes

La palabra riesgo como sustantivo expresa la posibilidad de pérdida o daño; como verbo denota la exposición de una persona o propiedad a pérdida o daño. En Actuaría la pérdida es expresada usualmente en términos mone­tarios.

3.1.1 Economía del riesgo: La disminución de la probabilidad de que un evento adverso ocurra ó la disminución del daño cuando este ocurre es el primer orden en la defensa contra cualquier pérdida. Sin embargo, existen muchas formas de pérdida económica que no pueden ser prevenidas o el grado de daño no puede ser reducido aún ante mecanismos de defensa exitosos de

67

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f

1 68 Seguros de vida

primer orden. La sociedad moderna ha desarrollado métodos de enfrentar las consecuencias financieras del riesgo económico aunque el riesgo mismo no pueda ser evitado. Estos métodos son los sistemas de seguridad financiera.

Los sistemas de seguridad financiera hacen uso del principio que las per­sonas con aversión al riesgo preferirán a menudo tomar una pequeña pero cierta pérdida a cambio de un riesgo incierto y cuantioso. Aunque la pérdida económica no puede ser evitada, a menudo puede ser disminuida.

El conjunto de riesgos económicos es el resultado de pequeñas pérdidas par-a muchos en vez de grandes pérdidas para unos pocos. Entonces, un sis­tema de seguridad financiera es un sistema económico diseñado inicialmente para transferir riesgos económicos de cada individuo a un grupo de· indivi­duos, o de· un grupo a otro ( es un mecanismo de distribución de pérdidas).

3.1.2 Ley de los grandes números: Establece que a mayor número de exposiciones similares (vidas aseguradas) a un riesgo (muerte), la experien­cia observáda de pérdidas se desviará menos con respecto a la experiencia esperada de pérdidas. El riesgo y la incertidumbre disminuyen a medida que el número de unidades expuestas aumenta.

Un seguro aislado concertado entre particulares, no es más que una sim­ple apuesta de juego de la que resultará, irremediablemente, ganancia para uno y pérdida para el otro. Pero si se presume la existencia de muchas ope­raciones simultáneas, no son ya de prever para el asegurador) ni la pérdida ni· la ganancia, salvo dentro de límites reducidos.

La ley de los grandes números no sugiere que las pérdidas individuales puedan ser más predecibles; más bien, establece que a mayor grupo de ase­gurados más predeciblés serán las experiencias de pérdidas del grupo como un todo.

3.1.3 Clasificación de los seguros de vida: Sin tener en cuenta los seguros de sálud, los seguros de personas tienen tres grandes clasificaciones de acuerdo con la clase de evento asegurado: la muerte, la sobrevivencia y la invalidez ( este último riesgo no será tratado en el texto).

El pago de un beneficio por sobrevivencia es el seguro de vida propia­mente dicho, pero se denomina dotal puro. En la práctica "seguro de vida"

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1 Contingencias de vida individual 69

es el contrato que paga un capital por muerte, debiendo tomar nombre dis­tinto, algo como "seguro de muerte" . Por razones comerciales se hace este intercambio de denominaciones.

El seguro de vida tiene varias subdivisiones. La primera obedece al tiempo estipulado para el pago de beneficios; se prevén seguros que paguen en el instante de ocurrencia del siniestro, o al final del año, o al final de un subperíodo anual de tiempo. El concepto cambia substancialmente las formas de cálculó.

El tiempo de cobertura del seguro plantea una segunda subdivisión. Los "seguros temporales" dan protección por un determinado tiempo, por ejem­plo años o quinquenios, y los "seguros de vida entera" por toda la vida del asegurado. Los "seguros diferidos" protegen un período después a la cele­bración del contrato de seguro, ya sea temporalmente o por toda la vida.

El comportamiento del valor asegurado a lo largo de la vigencia de la póliza establece otra subdivisión del seguro de vida; los montos del seguro pueden ser constantes en el tiempo, o pueden crecer o decrecer con algún ritmo definido.

La forma de pago del producto al asegurador no es propiamente l_lna subdivisión que genere coberturas especiales, pero proporciona diferentes denominaciones en el seguro. Los cancelables con un único pago se llaman seguros a prima única, y en cuotas anuales, seguros de prima anual. Se­guros con período de p·ago fraccionado inferior al tiempo de cobertura, se denominan seguros de pago limitado o limitados.

La tarifa de un seguro para grupos de personas relacionadas por un interés común difiere un poco a la individual. En la tarifa del seguro co­lectivo influye básicamente el rol competitivo y los tamaños de los grupos que permitan hacer una mayor o menor evaluación exhaustiva de los riesgos individuales. Su cobertura generalmente es anualmente renovable.

3.1.4 Tarifa: Son tres las características que deben tener las tarifas del se­guro: deben ser adecuadas, equitativas y no excesivas. Una tarifa adecuada significa que, para un conjunto de pólizas dado, los pagos totales inmediatos y en el futuro por el asegurado más los rendimientos por inversión, deberán ser al menos suficientes para amortizar los beneficios corrientes y futuros prometidos y cubrir los gastos relacionados.

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70 Seguros de vida

Equidad significa cargar a cada asegurado individual con una cantidad medible, equivalente al riesgo que él trae al proceso del seguro. Esto es, no deben existir injustos subsidios de unos asegurados a otros.

Si el criterio de la tarifa adecuada puede ser considerado conceptualmente como un piso mínimo para el cobro, el criterio de la tarifa no excesiva puede ser considerado como un techo.

3.2 Modelo matemático

Teoría del interés y de los modelos probabilísticos de sobrevivencia, se uni­fican para tarifar el riesgo de vida. Los factores que intervienen en la tarifa son:

- Las probabilidades de muerte y de sobrevivencia - La tasa de interés técnico - Los recargos por ádminist!ación y utilidad.

Inicialmente sólo serán considerados los primeros dos puntos para buscar el equilibrio financiero entre el recaudo y el pago de obligaciones adquiridas. Las fórmulas de las primas presentadas en este capítulo son de pago único y se llaman primas netas únicas; el fraccionamiento en varios pagos es anali~a­do en capítulo posterior. Las primas netas únicas se conocen también como primas simples netas; simples porque son de pago único, y netas porque están diseñadas para que no arrojen ni perdidas ni ganancias. En el diseño de las fórmulas es fundamental la variable aleatoria:

La variable aleatoria bT es una función de beneficio y la variable VT una función de descuento. bt puede tomar 1os valores O y l; O en caso que la compañía de seguros no adquiera la obligación del pago de un beneficio y 1 (una unidad monetaria), en caso contrario. ½ retrasa financieramente con base en una tasa de interés técnico i, el monto de la obligación por ocurrencia de un siniestro, del tiempo t en que suceda al presente donde se hizo el contrato de seguro. La tasa i es considerada constante en el tiempo y asume descuento compuesto.

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Contingencias de vida individual 71

Z indica el pago en el presente para obtener una indemnización futu­ra por un siniestro que sucederá en un tiempo t incierto. Debido al des­conocimiento del tie!JlpO que tarde en ocurrir la muerte, el cobro se hace con base en el promedio de los posibles pagos.

Prima Simple Neta= E[Z]

Vale la pena recordar que un valor esperado muestra! converge al pará­metro o valor esperado de la población a estimar, cuando las muestras son grandes. Si el valor estimado de la prima es un valor aproximado a E[Z], existe buena garantía para obtener el equilibrio del seguro. Balances anuales de las compañías pueden verse como repeticiones de un fenómeno modelado, el cual entra en equilibrio cuando los supuestos probabilísticos y financieros sustentados en una gran cantidad de pólizas, se cumplen.

Las primas netas son aplicadas a cada un8:, de las vidas que entren a formar parte del grupo de asegurados de la compañía. Pero cada una de ellas lleva consigo un riesgo individual que representaría una pérdida para la compañía en caso de siniestro. La variable aleatoria que denota la pérdida del conjunto den riesgos es notada por S:

Donde Xi (la misma Z referida) es una variable aleatoria indicadora de la pérdida en la unidad asegurada i, considerándose entre ellas la indepen­dencia. Las pérdidas potenciales son analizadas desde dos puntos de vista, el modelo individual y el colectivo. El modelo de riesgo individual consi­dera los siniestros producidos por pólizas individuales y el modelo de riesgo colectivo los considera dentro de un portafolio de pólizas como un todo.

En el modelo individual se presuponen contratos para períodos largos de tiempo, y por tanto la consideración del interés en ellos es esencial. En el modelo colectivo, los períodos son cortos y consecuentemente el interés puede ser ignorado sin incurrir en mayores riesgos.

Las primas presentadas seguidamente se desarrollan desde el punto de vista del modelo i:Qdividual. Tanto pfira este como para el colectivo, la función de probabilidad de S servirá de guía para el cálculo de dichas primas. La distribución de S puede aproximarse con base en una consecuencia del

l ! ,,

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72 Seguros de vida

teorema del límite central, la cual afirma que la distribución de la suma de n variables aleatorias independientemente distribuidas con media µ y varianza a2, es aproximadamente normal con media nµ y varianza na2, si n es grande. Evaluar la media y varianza de S, depende entonces de la media y varianza de las pérdidas aleatorias individuales.

La esperanza de S, indicaría el valor de 16 que tendría que reco_ger en primas una compañía para cumplir con el pago de un conjunto de siniestros. Pero.según la estadística matemática sin es grande, entonces P(X > µ) = O, 5; así pues, una prima determinada por una esperanza no da bastante confiánza de que sea suficiente para cubrir con los compromisos asumidos.

Si efectivamente después del ejercicio de un negocio con un conjunto de pólizas, los siniestros pagados son un valor inferior a S, la compañía habrá registrado una ganancia y en caso contrario una pérdida. Es por esto que las primas deben ser definidas de tal forma que la probabilidad de que la compañía incurra en una pérdida técnica sea muy pequeña, esto es, P(S > h) = a; siendo a un valor pequeño, por ejemplo 5%, y h un valor ajustádo de E( S) fijado en h.= E( S) + c. ( el valor de e según el concepto de los intervalos de confianza será Za· ds). La prima individual ajustada será entonces h/n.

En la determinación de la variabilidad de los probables valores presentes de cada siniestro es muy útil la aplicación del siguiente teorema.

Teorema 3.1: Si b[ = bt para todo t, entonces E[Zi] calculada a la fuerza de interés Ót es igual a la E[Z] calculada a la fuerza de 'interés j • Ót

para todo j >0.

La demostración se deja al lector como ejercicio.

3.2.1 Edad actuaria!: La mayoría de las personas no compran los seguros en sus fechas de cumpleaños y tampoco las compañías calculan las primas de los seguros en edades fraccionarias. Así, una edad entera es substituida para la edad actual del asegurado. En las pólizas de seguros de vida lo usual es asignar al asegurado la edad que tenga en lá fecha de cumpleaños más cercana a la fecha de emisión. Menos común es asignar la edad que tenga el asegurado en la fecha de cumpleaños precedente a la fecha de emisión de la póliza. Para las pólizas de rentas con riesgo existen otras consideraciones que serán discutidas en el siguiente capítulo.

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Contingencias de vida individual 73

3.3 El seguro dotal puro

Existe un beneficio bt al final del año n de vigencia del seguro para un asegurado de edad x, si y sólo si, éste sobrevive a la edad x + n. Si el beneficio a pagar es de una unidad monetaria entonces:

La variable , representa a bt como una variable indicadora, con los valo­res O si la persona muere antes de n años y 1 (una unidad monetaria) si

. sobrevive n años. La notación de las primas únicas de los seguros están dadas por una "A" y ciertos subíndices, superíndices y prefijos propios de cada seguro. Para el dotal puro la notación y cálculo es como sigue.

Siendo , una variable aleatoria Bernoulli, su valor esperado será la proba­bilidad de éxito, que para el caso es sobrevivir a la edad x + n, luego:

A I n x:nj = V ·nPx (3.1)

El equivalente a v o factor de descuento en matemática financiera para el interés compuesto, es en matemática actuaria! vn •nPx o factor de descuento con riesgo, el cual es notado por nEx. El equivalente a 1/v = (1 + i) o factor de acumulación en matemática financiera, es en matemática actuaria! 1/ nEx, o factor de acumulación con riesgo.

Ejemplo 3.1: La prin:.ia neta única de un seguro que paga $1.000 a una persona de 35 años si sobrevive 20 años más, contando con una tasa de interés técnico i 3% y sabiendo que l35 = 9'373.807 y l55 = 8'331.317, es:

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ij 1

L

74 Seguros de vida

1.000 ·20 Eas = l.000v20 ·20 p35 = 1.000 · 1, 03-2º ( g;:~U5~) = 492,099765

La cantidad $429,1 es el pago único que debe hacer el asegurado de 35 años para que la aseguradora se comprometa a pagarle $1.000 si sobrevive a la edad de 55:

Si los supuestos de mortalidad e interés se cumplen y todos los sobrevivientes a la edad de 35 años compran el seguro entonces se obtiene el siguiente balance:

Recaudo por concepto de primas: 9'373.807( 429,1)=4.612'848.223

Rendimiento del recaudo: 4.612'848.22_3(1,03)2º=8.331 '317.000

Pago de beneficios a los sobrevivientes: l.O00(8'331.317)=8.331 '317.000 A

3.4 Seguros pagaderos al final del año de muerte

La obligación adquirida en la póliza es pagada al final del año de ocurrencia de la muerte. El diseño de las primas está hecho con base en la variable aleatoria K, y con la función de beneficio y de descuento que definen el valor presente como Zk+l = bk+l Vk+l con k = O, 1, 2, . . . . El hecho de que se use una variable · discreta para definir el valor de las primas, hace que estos tipos de seguros sean llamados seguros discretos.

Generalmente la práctica actuaria! dispone de modelos tabulares de so­brevivencia. Como las tablas de mortalidad dan estimaciones de las proba­bilidades de muerte en períodos anuales, los descuentos de posibles pagos deben hacerse desde el final de cada año una vez ha transcurrido el riesgo de muerte del período. Por tal motivo el pago de siniestros es hecho al final del año de muerte.

3.4.1 Seguro entero de vida: El pago de beneficios se hace al final del año de muerte en cualquier momento que ella ocurra. Las funciones de beneficio, de descuento y de valor presente están dadas por:

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Contingencias de vida individual 75

El valor de la prima es el promedio de las obligaciones futuras traídas a valor presente, esto es, el promedio de vk+l para el tiempo de cobertura. La función ponderadora representa la probabilidad de muerte del asegurado de edad x, en un tiempo que está entre las edades x + k y x + k + 1 y viene dada por (2.21). La prima neta única del seguro entero por el cual se paga una unidad monetaria al final de la muerte del asegurado se nota por Ax y según el concepto de valor esperado es:

00 00

A - E[Z] - """" k+l - """" k+l x - - L.,¿ V kPx qx+k - L.,¿ V k/qx k=O • k=O

La notación es más precisamente + oo = w - x - l.

Ejemplo 3.2: Asumiendo una tasa de interés técnico del 10%, se calcula la prima neta única de un seguro. entero que paga una unidad monetaria al final del año de muerte a los beneficiarios de un asegurado de 97 años. Las probabilidades de muerte y de sobrevivencia se toman de la tabla del anexo l.

A91 = v ·o p97 · q97 + v 2 • P91 •.qgs + v 3 ·2p97 · qgg

v• q97 + v 2 · p97 · qgs + v 3 · p97 · pgg

(3.2)

=/1 (0,735849) +"ft2" (0,264151)(0,857143) +I13" (0,264151)(0,142857) ' ' '

= 0,8844

La indicación de la fórmula es muy sencilla: se analiza la pro­babilidad de muerte del asegurado en cada año posterior a la celebración del contrato y con ello la probabilidad de pagar el beneficio. Por tanto, se trae a valor presente cada beneficio en cada año de contrato, después de analizar la probabilidad de que. este deba hacerse efectivo en el año respectivo. Si el seguro se compra por mil unidades monetarias, el valor de la prima única es:

1.000 · A91 = 884, 4

El tomador tiene que hacer un d(:)sembolso de $884,4 para que le den a los beneficiarios que él designe, una suma de $1.000 al final del año de muerte del asegurado de 97 años. Obsérvese

7

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76 Seguros de vida

que el precio del seguro es muy costoso porque la probabilidad de muerte del asegurado es muy alta, es más, si el asegurado alcanza los 100 años de edad la compañía está en la obligación de pagar el valor del seguro, porque el cálculo de las primas supone que ninguna persona alcanza la edad final de la tabla de mortalidad. &

3.4.2 Función de conmutación: Para facilitar los cálculos, las primas netas únicas son expresadas en función de algunos términos denominados funciones de conmutación. Las principales de ellas son:

e -D - x+ld X - X V q:i; -V X

00

Mx=¿Cx+k k=O'

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Reemplazando (2.29) en (3.2) y luego multiplicando y dividiendo por vx:

Aplicando apropiadamente (3.3), (3.4) y (3.5) se obtiene:

00

¿ Cx+k Ax = ___ k=___:_0 x-z-- - Mx

V x Dx (3.6)

Si en un plan de seguros todos los sobrevivientes a la edad x contribuye­ran con una unidad monetaria, entonces el denominador expresa el' descuento en x años de las contribuciones y el numerador el descuento de todos los posibles pagos por mortalidad de cada año. El resultado es una relación de casos ocurridos sobre exposición. A los valores obtenidos de prima única

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Contingencias de vida individual 77

por unidad de valor asegurado se les denomina por tanto, tasa del seguro por unidad de valor asegurado.

Las funciones de conmutación obtenidas. sobre los valores de la tabla colombiana de mortalidad de asegurados 84-88 del anexo 1, fueron calculadas con una tasa de interés técnico bruto para los descuentos del 10% y con un interés real del 4%. Las conmutaciones a usar en cálculos posteriores serán las obtenidas con base en la tasa del 10%, a menos que se especifique lo contrario.

De acuerdo con el ejemplo 3.2, A97 = M97/ D97, aunque por efectos de redondeo en la presentación de las conmutaciones en la tabla, el lector podrá comprobar que el cociente da 0,8824; si más decimales fueran incluidos, el resultado coincidiría con el valor redondeado a cuatro decimales, el cual es 0,8844.

Ejemplo 3.3: Usando la tabla de mortalidad del anexo 1, se calculará la prima neta única necesaria para asegurar una perso­na de 35 años por un monto de 1.000. El beneficio será pagado a los beneficiarios al final del año de muerte del asegurado en cualquier momento que ella ocurra.

E[Z] = E[l.000vK+l] = 1.000 · A35 = 1.000 · M35/D35 = 60,4

El tomador tiene que hacer un desembolso de $60,4 para que le den a los beneficiarios que él designe, una suma de $1.000 al final del año de muerte del asegurado de 35. años.

Si se quiere reajustar la prima simple neta en una cantidad que haga que los fondos recaudados por la compañía con base en la tarifa ajustada, sean suficientes para cumplir con los compro­misos adquiridos con una probabilidad del 95% en 500 pólizas, ento~ces, se debe encontrar un valor h tal que P(S > h) = O, 05; equivalente a P(S ~ h) = O, 95, donde:

Zi es el valor presente del pago por muerte de la vida i. Asu­miendo vidas independientes, la esperanza y varianza de la pérdida del conjunto de riesgos vienen dadas por:

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~ 1 il I'

1

78

La varianza de Z:

E[S] = 500 · E[Z]

V[S] = 500 · V[Z]

Seguros de vida

La esperanza de Z2 para una valor asegurado de una unidad monetaria es notada por 2 Ax, y según el teorema 3.1, se calcula con base en un interés técnico j = e26 - 1 = (1, 1)2 - I = O, 21. Así:

V[Z] = 1.0002 (0,0203) - (60,4)2 = 16.651,84

E[S] = 500(60, 4) = 30.200

V[S] = 500(16.687, 88) = 8'325.920

..

El valor h repartido entre 18:5 500 vidas independientes será el valor del ajuste de la prima simple neta. Con base en el teorema central del límite:

( h-E[S]) -

P(S~h)=P Z~ us =0,95

No debe confundirse la notación de Zi con la notación Z de la normal estándar. El valor de la variable Z que cumple con la probabilidad anterior es 1.645 luego:

h = E[S] + 1, 645us = 30.175 + 1, 645(2.888, 59) = 34.946,59

h/500 = 69, 89

La prima según este criterio será ajustada a 69,89, esto es, la prima neta se aumenta en 15, 7%. Si se contara con mil vidas, la prima ajustada con el margen de seguridad será 67,12. El resultado es lógico pues al mantener constante los factores que intervienen en la determinación de un intervalo de confianza y al

· hacer crecer la muestra, su amplitud disminuye. La conclusión no podría ser otra pues de lo cóntrario iría en contra de la ley de los grandes números.

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Contingencias de vida individual

Cuando el modelo de mortalidad está sobrevalorado, esto es, contempla probabilidades de muerte muy por encima de la mor­talidad real, no es necesario hacer ajustes a las primas simples netas. La conclusión es la misma si las tasas de interés están subvaloradas con cifras muy por debajo del interés del mercado. Si se da alguna de las dos situaciones o las dos simultáneamente, el resultado es un valor de prima que ya contempla márgenes de seguridad, por tanto es innecesario hacer ajustes, lo cual sería por demás que injusto y poco comercial. .6.

79

Para expresar el dotal puro en términos de las conmutaciones es necesario hacer la siguiente deducción:

l x vx+n l D E n n x+n V x+n x+n n x = V nPx = V _l_x_Vx = vx lx = --¡y;;- (3.7)

3.4.3 Seguro temporal a n años: ~l pago de beneficios se hace si la muerte del asegurado ocurre antes den años a la celebración del contrato. La prima simple neta del seguro con valor asegurado de una: unidad monetaria tiene el siguiente desar:ollo:

k = O, 1, ... , n - 1 en otra parte

n-1

K = O, 1, ... , n - 1 en otra parte

A;:n] = E[Z] = ¿ vk+l k/qx

k=O

(3.8)

Las primas de los seguros de vida con valor asegurado constante expresa­das en términos de las conmutaciones, siempre finalizan en una forma M /D. El denominador será una cantidad constante para cada tipo de seguro ya que expresa la exposición, y el numerador dará la variación por mortalidad

7

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80 Seguros de vida

indicando 1a cobertura del seguro. La mención puede que sea inapropiada, pero la idea es indicar que en el numerador están los descuentos de todos los posibles pagos por mortalidad de la cobertura.

Para el seguro temporal la variación esperada por mortalidad en el nu­merador es (Mx - Mx+n)• A los descuentos totales esperados por pagos de mortalidad se le debe restar los correspondientes a los ocurridos del año n en adelante.

.-------Mx+n .-------------Mx

x x+n

A 1 _ Mx - Mx+n (3.9) x:n] - Dx

3.4.4 Seguro diferido: La cobertura del seguro comienza m años después del contrato del seguro. Si la cobertura es entera después del diferimiento se tiene que:

00

K~m K<m

m¡Ax = E[Z] = L vk+l k/qx

k=m

(3.10)

La formulación para los seguros de vida según la modalidad del tiempo de cobertura difiere en los límites de la sumatoria. Así pues, sin necesidad de definir Z, se puede encontrar la prima neta única de un seguro de vida

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Contingencias de vida individual 81

que prevé el pago de una unidad monetaria, si la muerte ocurre después de m años y antes de m + n años a la celebración del contrato del seguro. El seguro puede llamarse diferido temporal.

(3.11)

Similar a la deducción ·hecha para el seguro temporal en la definición del seguro en función de las conmutaciones, se tiene para los seguros diferidos que:

(3.12)

(3.13)

La prima de un seguro entero puede ser expresada por la suma de uno temporal más uno diferido.

(3.14)

El seguro cancelado a la aseguradora con una prima única, cuyo valor asegurado constante en el tiempo es pagado al final del año de muerte y da cobertura por toda la vida, se conoce como Seguro Ordinario de Vida.

3.5 Seguros pagaderos más frecuentes que el año

Si el -añó es dividido en m fracciones de tiempo, las indemnizaciones son pagadas al final de la m-ésima fracción de año donde ocurra la muerte del asegurado; por ello también se conocen como seguros fraccionarios. La fun­ción g toma la forrp.a:

En particular para el seguro entero de vida:

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82 Seguros de vida

bk+l = l, Vi+1 = vk+(j+l)/m y Z = vK+(J+l)/m con K = O, l, 2, ... ; J = O, l, ... m - 1

(3.15)

Sabiendo que la formulación de los seguros según el tiempo de cobertura varía en los limites de la sumatoria, se definen los seguros temporal y diferido entero como:

(=) n-1 m.-1 _

1 "" k+.z±!. Ax:n] = L.,¡ L.,¡ V = . k+i..j..!.. qx ,n ,n

k=O j=O .

(3.16)

(3.17)

En el cálculo de las primas netas únicas necesariamente hay que hacer aproximaciones puesto que las tablas de mortalidad vienen dadas en años. La más comúnmente hecha es la aproximación por distribución uniforme de muertes, la cual se analizará en la sección 3.8.

3.6 Seguros pagaderos en el momento de muerte

Llamados también seguros continuos, prevén el pago de una indemnización convenida en la póliza a los beneficiarios, en el mismo instante del deceso del asegurado.

Para la definición de la prima simple neta del seguro entero de vida con · valor asegurado de una unidad monetaria, se tiene que bt = l y.·½ = vt, entonces Z = vT. El valor de la prima es el promedio de las obligaciones futuras traídas a valor presente, esto es, el promedio de vT para el tiempo de cobertura, en donde la función ponderadora representa la probabilidad de muerte del asegurado de edad x en un tiempo t y viene dada por (2.13). La prima neta única del seguro entero por el cual se paga una unidad monetaria

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Contingencias de vida individual 83

en el momento de muerte del asegurado se nota por Ax y según el concepto de valor esperado es:

(3.18)

La barra encima de la A éaracterística de los seguros continuos, diferencia su notación frente a la de los seguros pagaderos al final del año de muerte.

Ejemplo 3.4: Asumiendo que T sigue la ley de Moivre con w = 100 y que la tasa de interés técnico es del 10%, entonces la prima neta única de un seguro entero que paga $1.000 en el instante de muerte a un asegurado con 35 años de edad es:

E[Z] = E[l.000 · vT] = 1.000 · Á35

El cálculo de la prima única se ha hecho con base en la va­riable aleatoria del valor presente de indemnizaciones futuras Z=l.000-vT. De acuerdo con (1.24), 8 = Ln[l,1] = 0,0953, entónces:

¡65 e-ót 1 _ e-65ó E[Z] = 1.000 lo 65dt = 1.000

658 161,0871

La varianza de Z vendría dada por:

La esperanza de Z 2 según el teorema 3.1, se calcula como la · prima del seguro pero con base en una tasa de interés 28, así:

2 l - e-65(2ó) 2 V[Z] = 1.000

65(28

) - 161, 0871 = 54.758, 7543

Para 500 vidas independientes la pérdida del conjunto de riesgos es:

En apoyo del teorema central del límite la esperanza y varianza de Sson:

71 1

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!l !

84 Seguros de vida

E[S] = 500(161, 0871) = 80.543, 55

V[S] = 500(54.758, 7543) = 27'379.377, 15

Si la compañía recauda fondos suficientes para cumplir con los compromisos adquiridos con una probabilidad del 95%, el monto h según procedimiento del ejemplo 3.3 será:

h = E[S]+ 1, 6450-s = 80.543, 55+ 1, 645(5.232, 503) = 89.151, 02

La prima según este criterio será ajustada a 178,3 esto es, la prima neta se aumenta en 10, 7%. Si se contara con mil vidas, la prima ajustada con el margen de seguridad será 173,3. JJ..

Cuando el asegurador cancela la indemnización de una unidad monetaria si la muerte del asegurado de edad x ocurre.dentro de los n años de vigencia del seguro, se tiene que:

bt = { 1 t::; n o t>n

½ =vt

{ VT t::; n Z=bt½= O t>n

Así, la prima neta única del seguro temporal a n años por ~l cual se paga una unidad monetaria en el momento de muerte del asegurado es:

Ejemplo 3.5: Asumiendo que T sigue la ley de Moivre con 'UJ = 100 y que la tasa de interés técnico es del 10%, entonces la prima neta única de un seguro temporal a un año que paga $1.000 en el instante de muerte a un asegurado con 35 años de edad es:

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Contingencias de vida individual

En el caso del seguro entero diferido m años:

t?: m t<m

T?:m T<m

85

(3.20)

La formulación para los seguros de vida según la modalidad del tiempo de cobertura difiere en los límites de la integral. Así pues, sin necesidad de definir Z, · se obtiene que la prima simple neta para el seguro diferido temporal viene dada por:

(3.21)

Una expresión similar para el seguro entero discreto dado por (3.14), es para el continuo:

(3.22)

Asi como se tomó la ecuación (3.14) para el caso del seguro contínuo anterior, también se puede tomar para el caso de seguros fraccionarios.

Una conclusión obvia pero importante de resaltar, es la del refinamiento en las sumas cada vez que el período de referencia para el pago del seguro es menor: La prima de un seguro pagadero al final del año de muerte está explícita por una sola sumatoria; en los seguros que pagan al final del mes de muerte, el símbolo sumatorio es reemplazado por una doble sumatoria, y en los pagaderos en el instante de muerte por el símbolo de una integral definida, la cual es una suma infinitesimal. Pero en general las fórmulas más compÍeJas, no son las de mayor o menor refinamiento, son precisamente las de seguros fraccionarios, que son el punto medio en este aspecto.

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1

íl

l

86 Seguros de vida

3. 7 El seguro dotal

Contempla el pago a los beneficiarios con la muerte del asegurado si ella ocurre antes de n años a la celebración del contrato, y también el mismo pago al asegurado si este sobrevive n años. El beneficio es cierto pero no se sabe por cual de los dos eventos, morir o sobrevivir. Como estos eventos son mutuamente excluyentes, la prima del seguro será la prima del seguro de muerte más la del seguro de sobrevivencia.

El pago del beneficio puede considerarse en cualquiera de las tres alterna­tivas pres~ntadas: al final del año de muerte, al final de una fracción m-ésima de año o en el instante del deceso. Si el beneficio es de una unidad monetaria la prima del dotal será en cada uno de los tres casos respectivamente:

(3.23)

{m)

A(m) -Al +A 1 x:nj - x:nj x:nj (3.24)

(3.25)

En la notación de la prima del seguro de vida, el 1 arriba de la "x", indica que el riesgo del pago está dirigido hacia la muerte del asegurado en cualquier edad x que figure dentro del contrato, y en el dotal puro, el 1 arriba de la "n", indica que el pago está dirigido a la temporalidad de sobrevivencia n.

Una fórmula alternativa de Ax se obtiene reemplazando (3.23) en (3J4).

(3.26)

Las bondades de los beneficios convierten al seguro dotal en un producto muy atractivo, pero lo costoso de la tarifa resulta en un inconveniente para su comercialización.

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Contingencias de vida individual 87

3.8 Aproximación por DUM

Ante la imposibilidad de contar con modelos de sobrevivencia con probabi­lidades más refinadas que las diseñadas bajo unidades de tiempo anuales, es necesario hacer aproximaciones para calcular las primas fraccionarias y_ continuas. Dado que las tasas de mortalidad en la mayoría de las edades son crecientes con la edad, la aproximación más usada en el cálculo de primas, es la aproximación por D UM. En el caso de los seguros fraccionarios, se tiene la siguiente deducción para el seguro entero de vida.

oo m-1

A(m) '°""' '°""' k+ill . x - ~~V m k+j__Px .1..qx+k+j/m m m

k=O j=O

oo m-1

'"""' k+l '"""' ill-1 = ~ V ~ V m kPx .LPx+k iqx+k+j/m m m

k=O j=O

oo m-1

'"""' k+l '"""' ill-1 - ~ V kPx ~ V m 1-/.l. qx+k m m

k=O j=O

por (2.18)

Según (2.44) ¾/¾5:z:+k = ~qx+k· Como ya se planteó en el capítui() _ anterior, en los modelos probabilísticos usados en la práctica, difícilmente se cumple estrictamente el supuesto D UM, luego la igualdad anterior se plantea como una aproximación y por tanto si se reemplaza en A~m) se obtiene:

Pero de acuerdo con (1.45):

m-1 1'°""' 1- 1-v d m ~ vm = d(m) = d(m)

j=O

. Llfego con base en lo anterior y de la generalización de (1.8) a tasas nominales:

7

'

l 1

1! ¡I

11

l ~ 1

i

1

i¡ Ir !! ji

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88 Seguros de vida

vl/m-1 m-1 .i.. d(l + i) i m ¡: vm = d(m)(l + i)l/m = i(m) (3.27)

3=0

Por tanto:

A (m) i A :i; ~ i(m) :i;

(3.28)

Para la misma cobertura pero continua, se tiene la siguiente deducción:

Si t = k + s, entonces, s = t - k y ds = dt y,

Según (2.43) sP:i:+k·µ:i:+k+s ~ q:i:+k, y posteriormente apoyados en (1.58):

(3.29)

Si el vaior asegurado es de una unidad monetaria, la aproximación se puede generalizar a las otras coberturas del seguro de vida.

- i A~-A ó

(3.30)

(3.31)

Una vez hechas las aproximaciones, las conmutj:l.ciones deducidas para los seguros pagaderos al final del año de muerte pueden ser aplicadas.

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Contingencias de vida individual 89

3.9 Seguros variables

Son los seguros cuyo valor asegurado varía con el tiempo en forma creciente o decreciente. Apenas serán analizados algunos pagaderos al final del año de muerte y fraccionarios. Los seguros continuos serán tocados tangencial­mente, y-los fraccionarios se analizarán nuevamente en la sección 3.10.

3.9.1 Seguros con crecimiento aritmético: El crecimiento de los valo­res asegurados se define en períodos sucef?ivos en referencia al valor asegurado inicial con un factor específico r. Con un valor asegurado inicial V A, el valor asegurado del siguiente período será V A + r V A, en el tercer período V A+ 2r V A, y así sucesivamente. El siguiente esquema ilustra una sucesión de valores asegurados en períodos anuales.

VA VA(1+r) VA(1+2r) VA(1+3r) 1--1---1--·-1---

(x) x+l x+2 x+3

Si VA= r = 1, se cuenta con un plan de seguro enteró de vida discreto que paga un beneficio de una unidad monetaria si el asegurado muere en el primer año, dos si muere en el segundo, y así sucesivamente hasta el final de la tabla, y su prima se nota por (IA)x, La siguiente figura ilustra el flujo de valores asegurados.

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 (x) x+l x+2 x+n

bk+l = k+l, vk+l = vk+l y Z = (K+l)vK+l con K = o, 1, 2, ...

00

(IA)x = E[Z] = ¿(k + l)vk+l k/qx (3.32) k=O

l

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90 Seguros de vida

La figura anterior muestra claramente como la prima del seguro entero creciente puede ser obtenida como la suma de primas de seguros diferidos, lo cual puede ser demostrado haciendo un arreglo simple en la sumatoria_ dada en (3.32):

(3.33)

La prima neta en función de las conmutaciones implica la siguiente de­finición:

(3.34)

Aplicando (3.~2) y la definición de (3.34) en (3.33):

(3.35)

Si se mantiene el mismo patrón de crecimiento, pero el seguro es pagadero al final de la m-ésima fracción de año donde ocurre la muerte, entonces:

bk+I = k + 1, vk+l = vk+(i+l)/m y Z = (K + l)vK+(J+l)/m

con K = O, 1, 2, ... ; J = O, 1, ... m - 1

oo m-1

(JA(m))x = ¿ ¿ (k + l)vk+~ · k+-fñ/ ¾ qx k=O j=O

(3.36)

Si el seguro anterior es pagadero en el instante de muerte, la prima es:

(3.36b)

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Contingencias de vida individual 91

En la fórmula anterior las llaves representan la función parte entera.

Para un crecimiento en los beneficios en cada m-ésima de año propor­cional al tiempo transcurrido, se tiene un pago de 1/m al final de la primera m-ésima de año si la muerte sucede en ese tiempo, 2/m si ocurre en la segunda, 3/m si ocurre en la tercera y así sucesivamente:

bk+l = [km+ (j + l)]/m, Vk+l = vk+(Hl)/m

y Z =(Km+ (J + 1))/m • vK+(J+l)/m

con K = O, 1, 2, ... ; J = O, 1, ... m - 1

oo m-1 . (I(m)A(m)) _ ~ ~ km+ J + 1 k+.i±! .

x - L._¿ L._¿ V m • k+.2-/.1. qx m mm k=O j=O

(3.37)

Cuando el seguro es pagadero en el instante de ocurrencia de la muerte y se tiene el mismo patrón de crecimiento en los beneficios., entonces:

bt = [tm-+ 1]/m, ½ = vt y Z == [Tm + 1]/m • vT

(I(m)A) - ¡oo [tm + 1] t dt x - V tPx µx+t

o m . (3.38)

Si los crecimientos en los beneficios son continuos, esto es m - oo en el patrón de crecimiento anterior, y son pagados en el instante de muerte, entonces:

T~O

(3.39)

Cuando el plan 1e beneficios es igual al del seguro entero discreto tratado anteriormente, pero la cobertura es por n años, la prima neta única del seguro es:

ll

1 !

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92 Seguros de vida

n-1

(IA)~:nj = ¿(k + l)vk+1 k/qx (3.40) k=O

La figura siguiente ayuda visualmente a deducir sin demostración rigu­rosa otra forma para la prima neta del seguro. La prima (IA)x compuesta de varias áreas barre un área triangular desde x: La primera es la prima del seguro temporal creciente y va desde x hasta x + n, posteriormente desde x + n hay dos áreas distinguibles, una representa el valor de la prima de un segm;o con valor asegurado constante de n unidades monetarias nAx+n, y fa otra la prima de un seguro entero creciente con valor asegurado inicial de una unidad o (IA)x+n· Por tanto, ei valor de (IA)~:nj se obtiene restando a

(IA)x los valores de nAx+n y de (IA)x+n llevados a valor presente.

VA

(IA)x+n

x x+n

(3.41)

La figura que- sigue a continuación, esquematiza las conmutaciones del numerador de las primas (IA)x, (IA)x+n y nAx+n· Con base en ellas la deducción de la fórmula en conmutaciones utilizando el mismo concepto gráfico es aún más fácil, pues únicamente se hacen las adiciones respectivas de las conmutaciones para luego dividir por Dx.

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Contingencias de vida individual

VA

n·M:.c+n

Rx .._ __ __. ______ ~'.dad x x+n

Ejemplo 3~6: Con base en la tabla de mortalidad del anexo 1, determinar Ía prima única de un seguro que paga $1.000 al final del año de muerte de un asegurado de 35 años si esta ocurre en el primer año, $2.000 si sucede en el segundo, y así hasta por 5 años.

1.000(JA)3~:5] = 1.000R35

- ~~5-

5M4o = 40,81

La prima única por un valor asegurado constante de 1.000 es:

1 M3s -M40 1.000 A35:5] = 1.000 D

35 = 14, 46 .Á

93

Como ya se había mencionado en el capítulo uno, una herramienta útil para calcular primas· de seguros con beneficios variables se halla en las diferencias finitas. La explicación del método resulta eficaz con un ejemplo, y el seguro temporal creciente es apropiado. El siguiente esquema muestra las edades de un asegurado debajo• de la línea de tiempo, en segundo plano los beneficios del seguro bx+k ( k = O, 1, . . . , n - 1), las diferencias de pri_mer orden de los beneficios .6.bx+k y las diferencias de segundo orden .6.2bx+k·

bx+k = k + 1: beneficio tamaño k + 1 a edad x + k con k = O, 1, ... , n - 1

Rx .6.2bx+k 1 o o o 0-(n+l)n

M:.c .6.bx+k 1 1 1 1 1 -n o C.x bx+k 1 2 3 4 n o o

- 1 1 1 1 1 (x) x+l x+2 x+3 ... x+n-1 :.c+n x+n+l

l

' ~ ::¡ ,1 '.if

it 1

!1 ¡; ;¡

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94 Seguros de vida

Siendo la primera diferencia A/= f(x + h) - f(x), con f determinada por la función de beneficio bx+k y el intervalo de diferencia por h = 1, entonces el resultado dé la diferencia de primer orden desde x es:

Abx+I = bx+I - bx = 2 - 1 = 1

Abx+2 = bx+2 - bx+l = 3 - 2 = 1

Abx+n-1 = bx+n-1 - bx+n-2 = n - (n -1) ~ 1

Las diferencias de segundo orden:

A 2 bx = bx - bx-1 = 1 - O = 1

A 2bx+l = bx+l -:- bx = 1 - 1 = o

A 2bx+2 = bx+2 - bx+l = 1 - 1 = o

A 2bx+n-1 = bx+n-l - bx+n-2 = 1- -1 = O

A 2bx+n = bx+n - bx+n-l = -n -1 = -(n + 1)

í::!,,.2bx+n+l = bx+n+l - bx+n = Ü--' (-n) = n

Los valores encima de la línea de tiempo se toman como coeficientes de las conmutaciones; los de bx+k son coeficientes de Cx, los de Abx+k de Mx y los de A 2bx+k de R:z;. El valor de la prima será la suma de las conmutaciones con sus respectivos coeficientes dividida por Dx, Con base en las conmutaciones Rx y de sus coeficientes:

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Contingencias de vida individual

Rx - (n + l)Rx+n + nRx+n+l Dx

= Rx -Rx+n -n(Rx+n -Rx+n+1) Dx

= Rx - Rx+n + n Mx+n Dx

Con base en las conmutaciones Mx y sus coeficientes:

Mx + Mx+l + Mx+2 + · · · + Mx+n-1 - nMx+n (IA)::nJ = Dx

=

=

n-1 L Mx+k-nMx+n

k=O

95

La técnica de las diferencias finitas es más apropiada cuando los patrones de variación en los valores asegurados son irregulares.

Un seguro discreto que prevé un pago para el primer añ_o de una unidad monetaria si el asegurado muere en este periodo, dos si muere en el segundo y así sucesivamente durante n años, y paga siempre n unidades a partir de allí hasta el final de la tabla, tiene una prima neta única dada por:

(In¡A)x = (IA)::n] +n Ex(nAx+n) (3.43)

La figura seguida ilustra la masa de valor asegurado demarcada por la línea gruesa. Restando Rx+n a Rx se obtiene el numerador del seguro y al dividir por Dx el valor de la prima.

VA

& ----~------Edad

X x+n.

¡¡ i il l

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96 Seguros de vida

(I A) = ~-~+n n]_ x Dx (3.44)

La igualdad puede ser verificada reemplazando las conmutaciones en la siguiente expresión de la prima del seguro:

(3.45)

Si para el seguro anterior se fija un crecimiento hasta x + m y luego el valor asegurado alcanzado permanece constante en una temporalidad n - m, esto es hasta x + n, la prima simple neta será:

(3.46)

(I A) 1 = ~ - ~+m - mMx+n mj x:n] Dx (3.47)

Una fórmula general de la prima simple neta de un seguro entero de vida con valor asegurado inicial de una unidad monetaria, pagadera al final del año donde ocurra la muerte y creciente cada año en un factor aritn;iético r, viene dada por:

(X) (X) (X)

¿(1 + kr)vk+l kjqx = ¿ vk+l kjqx +r ¿kvk+l k/qx k=0 k=0 k=0

= Ax +r [t (k + l)vk+l k/qx - t vk+l k/qx] k=0 k=0

=Ax+ r [(IA)x -Ax] (3.48)

Ejemplo 3. 7: Calcular con base en el resultado en (3.48) y la tabla del anexo 1, la prima neta única por peso de valor asegu­rado inicial para un asegurado de 35 años. Asumir que la tasa de interés técnico bruto del 10% está en exceso de la tasá de crecimiento aritmético en un 4% y que el seguro es pagadero al final del año de muerte.

Como e = O, 04 e i = O, 1 entonces r = 1, 1/1, 04 - 1 = O, 0577. Así la prima única será:

Mas+r(Ras-Mas) = 203,4729+0,0577(3.677,2651-203,4729) _ O 1198

A

Das . 3.371,4158 - , •

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Contingencias de vida individual. 97

La prima simple neta de un seguro entero de vida con valor asegurado inicial de una unidad monetaria, p~gadera al final de la m-ésima fracción de año donde ocurra la muerte y creciente cada año en un factor aritmético r, es:

(3.49)

El valor del seguro fraccionario puede aproximarse según el supuesto DUM, luego con base en (3.30):

).m) i 1 i k+l k/ A 11 =k Ex -() A- ,1 = 1,·(m) V k/qx x: 11 i m x+k: 11

Reemplazando en (3.49) el anterior resultado y luego el obtenido en (3.48) se obtiene:

00 (m) • 00 '°' 1 iX" k+l .L.,,(1 + kr)k¡Ax:T] = i(m) .L.,,(1 + kr)v k/qx k=0 · k=0

i = i(m) {Ax+ r [(IA)x -Ax]}

Ejemplo 3.8: Calcular con base en el resultado en (3.50) y la tabla del anexo 1, la prima neta única por peso de valor asegu­rado inicial para un asegurado de 35 años. Asumir que la tasa de interés técnico bruto del 10% está en exceso de la tasa de crecimiento aritmético en un 4% y que el seguro es pagadero al final del mes de muerte.

_i_ Mas+r(Ras-Mas) _ -º-1.LQ 1198 - 0 1252 i(12) D35 - 0,0957 ' - '

Por el efecto del pago de beneficios al final del mes de muerte y no al final del año, la prima neta obtenida aumenta en un 4,5% en relación con la obtenida en el ejemplo 3.7. A

(3.50)

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1'

98 Seguros de vida

La prima simple neta de un seguro entero con valor asegurado inicial de una unidad monetaria, pagadera al final de la m-ésima fracción de año donde ocurra la muerte y creciente en cada fracción en un factor aritmético r, es:

ex:, m-1 '°' '°' k+ill L.,_¿ L.,_¿ v m • k+fñ./¾. q:i; • [1 + r (km+ j)] k=O j=O

(3.51)

3.9.2 Seguros .enteros con crecimiento geométrico: Definen el creci­miento del valor asegurado en relación con el valor inmediatamente anterior con un factor específico r. Con un valor asegurado inicial V A, el valor asegurado del siguiente será V A+ rV A= V A(l + r), en el tercer período V A(l + r) + rV A(l + r) = V A(l + r)2 , y así sucesivamente. El siguiente esquema ilustra la sucesión de valores asegurados en períodos anuales.

VA. VA(l+r) VA(l+r) 2 VA(l+r) 3 • • •

1--1--1--1---w x+l x+2 x+3

La prima simple neta de un seguro con valor asegurado inicial de una unidad monetaria, pagadera al final del año de muerte y· creciente cada año en un factor geométrico r, con cobertura inmediata y vitalicia para un asegurado de edad x es:

(3.52)

La prima simple neta no tiene ninguna notación particular. En ella, el valor V(r) = (1 + r)-1 y V(e) = (1 + e)-1 , donde e= (1 + i)/(1 + r) -1; con i siendo la tasa de interés técnico bruta para los descuentos.

Ejemplo 3.9: Calcular con base en el resultado en (3.52) y la tabla del anexo 1, la prima neta única por peso de valor asegu­rado inicial para un asegurado de 35 años. Asumir que la tasa de interés técnico bruto del 10% está en exceso de la inflación en un 4%, que se toma como el factor de crecimiento geométrico. Así la prima única es:

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Contingencias de vida individual

_1_M35(e) = _l_ 5.797,0300 = Ü 2283 l+r D35(e) 1,0577 24.009,8488 '

El valor asegurado se hará crecer siempre en el valor que tome la inflación después de cada año calendario de vigencia del seguro, no importando que valor tome ella. Si la inflaci6n toma rumbos inesperados, así mismo se espera que sea el de las· tasas brutas de interés que maneje el mercado financiero donde se inviertan las primas recogidas por parte de la compañía. Esto es, la tasa i, debe estar siempre, mínimo cuatro puntos reales por encima de la inflación cualquiera que ella sea, para que la compañía pueda aumentar los valores asegurados al ritmo inflacionario y poder cumplir con las obligaciones con las que se ha comprometido. A

99

Si el seguro anterior se modifica de tal forma que sea pagadero al final de la m-ésima fracción de año de ocurrencia de la muerte, con el mismo patrón de crecimiento, su prima simple neta será:

00 (m)

PN = ¿ k/A::l](l +rl k=0 oo m-1 ~ ~ k+i±.! ( )k = L..,¡ L..,¡ V m • k+l../.1... q:c · 1 + r

m m (3.53)

k=0 j;=0 oo m-1

= ¿vk+l(l +rl 'kP:c ¿ v~-l · 1..¡.1.. q:c+k m m

k=0 j=0

Como ya se mencionó anteriormente, bajo el concepto de la aproximación por DUM, según (2.44) 1..¡.1..q:c+k ~ ~q:c+k, y además según (3.27):

m m

(3.54)

Como se ve, el resultado es similar al hallado en (3.52), la diferencia radica en el factor i/i(m), el cual indica el efecto del pago del •beneficio en fracciones de año.

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100 Seguros de vida

Ejemplo 3.10: Asumiendo que el pago de beneficios es al final del año de muerte, calcular con base en el resultado en (3.54) y la tabla del anexo 1, la prima neta única por peso de valor asegurado inicial para un asegurado de 35 años. Asumir que la tasa de interés técnico bruto del 10% está en exceso de la inflación en un 4%. La inflación se toma como el factor de crecimiento geométrico.

i 1 Mas(e) - _Qd_O 2283 - 0 2386 i{l2) l+r Das(e) - 0,0957 ' - '

La misma conclusión sacada en el ejemplo 3.8 en referencia al aumento del costo de prima en un 4,5% por el efecto del pago de beneficios al final del mes de muerte y no al final del año, puede ser aplicada en este ejemplo, pues la diferencia entre los seguros radica en el factor i/iC12l. 11,,.

Si además de contemplar los pagos de beneficios en fracciones m-ésimas, también se asumen crecimientos geométricos en un factor r para cada frac­ción m-ésima de año, entonces la prima simple neta para un asegurado de edad x con valor asegurado inicial de una unidad monetaria es:

oo m-1 '°'.'"' k+i±! mk+ · L.,¡ L.,¡ V m • k+L/.1. q:z; • (1 + r) J m m

k=0 j=0

(3.55)

Llevar esta fórmula en términos más simplificados, es un ejercicio alge­braico dispendioso que el lector puede proponerse como ejercicio.

Comparando los resultados de los ejemplos 3.7 a 3.10, se observa que el costo del seguro geométrico discreto es mayor en un 90,6% frente al arit­mético. discreto; igual comparación se da entre seguros fraccionarios. Como se ve, la disminución en costo es notoria. De la tabla del anexo 1, se ob­serva que el costo del seguro entero discreto para una persona de 35 años con valor asegurado constante de una unidad monetaria es de 0,0604. El costo del aritmético discreto resulta ser un 98,3% más grande que el cos­to del discreto constante, y el discreto geométrico un 278%. Por otro lado (IA)as = 1, 0907, dan un costo que excede al valor asegurado inicial, pero los crecimientos sucesivos son mucho mayores a los obtenidos por el ritmo aritmético o geométrico establecidos.

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Contingencias de vida individual 101

Los seguros crecientes pretenden contrarrestar la devaluación natural de los valores. asegurados, algo que sucede rápidamente en economías inflacio­narias. Las primas de los seguros de este tipo presentadas en las fórmulas que van de (3.32) a (3.47) no son comerciales por el costo tan elevado de sus primas. Descartando estas para contrarrestar los efectos inflacionarios, quedan como ideales los seguros con crecimiento geométrico del valor asegu­rado, pero sus primas también son onerosas. En los ejemplos 3.9 y 3.10 se ve como el valor de la prima es más del 22% del valor asegurado. Sin incluir aún los gastos de comisión por venta, utilidad y administración del seguro, resulta claro que el precio de la prima es costosa.

Si de contrarrestar los efectos de la inflación sobre el poder adquisitivo del valor asegurado se trata, los seguros con crecimiento geométrico resultan ser muy costosos, y los seguros con crecimiento aritmético no tanto, pero sus valores asegurados pierden rápidamente el poder adquisitivo en economías inflacionarias. Así pues, una alternativa aceptable a la solución intermedia del problema del crecimiento de los valores asegurados, son los seguros con crecimiento semigeométriéo en los beneficios. La deducción matemática de estos seguros con pagos de beneficios en fracciones m-ésimas de año, no se da en el presente texto pero el contenido es suficientes para obtenerla.

3.9.3 Beneficios acumulados: El seguro discreto paga un beneficio de S k+l l j' si la muerte ocurre en el año de póliza k + l. La prima del seguro está determinada por la esperanza de la variable aleatoria:

La tasa j de acumulación por lo general es menor a la tasa de descuento i. En la variable W, se usa el mismo concepto de tasa real visto en la sección 1.9.7.2, por tanto, V(e) = (1 + j)/(1 + i) con e= (1 + i)/(1 + j) -1. El valor de la prima simple neta es entonces:

Al -Al E[W] = x:n!(e) x:n!

d(j) (3.56)

1

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:, lL

102 Seguros de vida

3.9.4 Seguro discreto temporal decreciente: El plan de beneficios del seguro es de n unidades monetarias por muerte en el final del primer año, n - 1 en el segundo y así sucesivamente hasta pagar en el año n una unidad monetaria.

bk+1=n-k;Vk+1=vk+1 y Z=(n-K)vK+l con K=0,1, ... ,n-1

n-1

(DA)::n] = ¿(n + k)vk+l k/qx

De (3.8) y (3.40):

k=O n-1

= ¿ [(n + 1) - (k + 1)] vk+l-,k/qx k=O

Otras expresiones fácilmente deducibles son:

n-1 n-1

(DA);:n¡ = ¿(n-k)k¡A;:T] = ¿A;: n-kl k=O . k=O

(3.57)

(3.58)

(3.59)

. La prima del seguro en términos de las conmutaciones analiza el numera­dor a partir de la figura que sigue a continuación. Al área de valor asegurado constante de n unidades monetarias representada en la conmutación nMx, se le resta la de un seguro entero creciente que va desde x + r la cual está representada en Rx+1• Así el valor asegurado den unidades en x va disminu­yendo en una unidad hasta ser cero en x+n+ l. Pero a partir de aquí el valor asegurado empieza a tomar valores negativos y crecientes en una unidad cada año, lo cual es contradictorio, por eso se deben sumar estos valores que están representados en el área que barre Rx+n+l.

(DA) 1 = nMx - Rx+i + Rx+n+l x:n] Dx (3.60)

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Contingencias de vida individual 103

n·Mx

VA Rx+i ~~--------

La deducción de la prima con base en las diferencias finitas de segundo orden tiene el siguiente desarrollo:

Rx .6.2bx+k n -(n + 1) O O o -1

1

o 1

Mx .6.bx+k n -1 -1 -1 -1 o Cx bx+k n n - 1 n - 2 n - 3 o o

1 (x)

1 1 ··· x+n-1 x+n x+n+l

n.Rx - (n + l)Rx+1 + Rx+n+l

Dx n(Rx - Rx+1) - Rx+i + Rx+n+l

Dx nMx - Rx+i + Rx+n+l

~

i < ,~~~!¡ 12~·~/ 1~301 qO~ -u 'l U) w ¡,,,...¡

~a a:) > ~

Dx 1~ al¡ Sobre los seguros decrecientes es importante mencionar que uno de los j -' ,,,

;:1rgumentos de su venta, se justifica sobre la base de que las obligaciones económicas de las cabezas de familia disminuyen con el tiempo. Los casos más visibles están en la disminución de los valores presentes de las deudas por compra de bienes raíces y de vehículos de transporte, así como de las responsabilidades educativas con los hijos.

Si además del decremento en los valores asegurados se suma la disminu­ción del poder adquisitivo del dinero por efecto de la inflación, la venta de seguros decrecientes es poco atractiva si no hay una necesidad específica a satisfacer. En este orden de ideas los productos típicos comercializados de seguros decrecientes son los planes educativos y de deudores hlpotecarios.

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L

104 Seguros de vida

3.10 Aplicación

En este aparte se plantea el desarrollo de la nota técnica de un seguro de vida. El objetivo perseguido es el de ilustrar al lector la forma de enfrentar los problemas en la práctica para el desarrollo de productos en el mercado de los seguros.

La implantación dentro de una compañía de todo el contexto relevante para la venta de un producto de seguro, hoy día no reviste mayores compli­caciones por el avance de la tecnología informática. No obstante las fórmulas originales muchas veces son complicadas y resulta difícil comprender varias de sus implicaciones. De aquí la necesidad de hacer deducciones matem_áticas para llegar a planteamientos más sencillos y con~cer a P.rofundidad ·el pro­ducto a ofrecer en venta.

El producto que seguidamente se ilustra podría ser o no comercializable, su desarrollo tampoco es una única solución, es simplemente un modelo ilus­trativo; otros actuarios plantearían el problema con una visión totalmente distinta, de forma más simplificada o complicada, pero en últim.as con efectos similares.

El producto es un seguro diferido con prestaciones crecientes. El diseño presenta un plan de beneficio pagadero al final del mes de muerte del ase­gurado, si ella ocurre entre las edades x + m y x + m + l. En el lapso de diferimiento el valor asegurádo varía con un ritmo de crecimiento geométrico k1; entre las edades x + m y x + m + n el valor asegurado crece a un ritmo de crecimiento aritmético, para luego nivelarse o permanecer constante entre x + m + n y x + m + n + l. El siguiente esquema muestra el comportamiento del valor asegurado en la cobertura descrita.

VA

...._ __ __,_ ___ ____._ __ ___.__ __ Edad (x) x+m x+m+nx+m+n+l

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Contingencias de vida individual 105

3.10.1 Bases técnicas: Las probabilidades de muerte están basadas en la tabla de mortalidad de la experiencia de las aseguradoras colombianas entre 1.984 y 1.988. El interés técnico usado es un interés bruto del 10%.

3.10.2 Prima neta: La prima neta única (PNU) se define como:

PNU = PNUA + PNUN

PNUA: Prima neta única de un seguro diferido que paga al final del mes -de muerte del asegurado, un beneficio inicial en x + m de V A= (V AI)(l + k1)m el cual crece anualmente con un factor de crecimiento aritmético k2.

P NUN: Prima neta única de un seguro diferido por el cual se paga al final del mes de muerte del asegurado, un valor asegurado inicial en x+m+n de (1 + (n - l)k2)V A y permanece constante hasta x + m + n + l.

VAI: Valor asegurado inicial en x.

VA: Valor asegurado inicial en x + m. V A= V AI(l + k1)m.

k1: Factor de crecimiento geométrico anual del valor asegurado inicial en x.

k2: Factor de crecimiento aritmético anual del valor asegurado en el período de cobertura.

EI;J. primer lugar se define PNUA:

{12} (12}

PNUA = VA 'm/ Ax~1] + (VA+ k2 VA) · m+l;A;:1] + (VA+ 2k2 VA) · {12} {12}

m+2;A;:1] + · · · + (VA+ (n - l)k2 VA)· m+n-1;A;:1]

n-1 (12}

PNUA = ¿(VA+ jk2VA) · m+j/A;:1] j=O

n-1 (12}

V A ¿(1 + jk2) · m+jEx · Ax+~+i:11 j=O

71

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lL

106 Seguros de vida

Con una aproximación para el seguro temporal la expresión anterior puede ser resumida. Bajo el supuesto DUM según (3.30):

(12) Í Al ~ Al

x:nj ~ i(12) x:nj

Aplicando (3.61) y luego (3.9) a PNUA:

VA•i (n-l PNUA:::::: D . ·(l2) ¿(Mx+m+i-Mx+m+i+i)+

X 'l, • Q 3=

Cada término de PNUA será analizado por separado. Por (3.34):

n-1 oo oo

L Mx+k == L Mx+k - L Mx+k = R,x - R-x+n k=O k=O k=n

Sabiendo además que R,x = R-x+1 + Mx , entonces:

n-1

(3.61)

¿(Mx+m+j - Mx+m+j+l) = R-x+m - R-x+m+n - (R-x+m+l - R-x+m+n+l) j=O

= R-x+m - R-x+m+l - (R-x+m+n - R-x+m+n+l)

(3.62a)

De otro lado,

n-1 n-1 n-1

¿j(Mx+m+j-Mx+m+j+l) = ¿jMx+m+j- ¿jMx+m+j+l j=O j=O j=O

n-1 n-ln-1

¿jMx+j = LLMx+k j=O j=lk=j

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Contingencias de vida individual 107

Pero,

n-1 oo oo

L Mx+k = L Mx+k - L Mx+k = Rx+m - Rx+n k=m k=m k=n

Entonces,

n-1 n-ln-1 n-1

¿jMx+j = L L Mx+k = ¿(Rx+j - Rx+n) j=O j=l k=j j=l

n-1 Por simplisidad de presentación se toma A= ¿ j(Mx+m+i-Mx+m+i+1),

j=O así:

n-1 n-1

A= L jMx+m+j - L jMx+m+j+l j=O j=O n-1 n-1

= ¿(Rx+m+j -Rx+m+n)- ¿(Rx+m+n+j+l -Rx+m+n+1) _j=l j=l

n-1

= L {(Rx+m+j - Rx+m+n+j+1)- (Rx+m+n - Rx+m+n+l)} j=l

n-1

= L { Mx+m+j - Mx+m+n} j=l

= Rx+m+l -Rx+m+n - (n- l)Mx+m+n

Reemplazando los resultados de (3.62a) y (3.62b) en PNUA:

(3.62b)

Los cálculos de tasas para la prima se harían mediante la forma anterior. No obstante la fórmula se puede presentar como sigue:

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L

108 Seguros de vida

La primera parte de la expresión ubicada entre corchetes representa la prima de un seguro con valor asegurado constante de una unidad- monetaria entre x + m y x + m + n. Se adiciona a ésta, un porcentaje k2 de la prima de un seguro cuya cobertura va desde x+m+ 1 a x+m+n, y su valor asegurado inicial de una unidad monetaria crece en un 100% cada año con respecto a .dicho valor inicial. El efecto de pago mensual y de un valor asegurado diferente a una unidad monetaria, se da por la expresión que está por fuera del corchete.

Con respecto al seguro nivelado a partir de x+m+n, se define PNUN:

(12}

PNUN - (VA+(n-l)k2VA)·m+n¡A;:1¡

VA i ~ D ·(l2) (1 + (n - l)k2)(Mx+m+n - Mx+m+n+l)

X Z .

Sumando PNUA y PNUN:

. VA-i PNU ~ Dx •i(I2)[Mx+m-Mx+m+n+l+

/oi( Rx+m+l -Rx+m+n -( n-1) M x+m+n+l)}

(3.63)

Sumando y restándo en (3.63) la cantidad (n - l)Mx+m+n dentro de la expresión para la cual k2 es un factor: ·

La primera parte entre corchetes de (3.64) representa la prima de un seguro con valor asegurado constante de una unidad monetaria entre x + m y x + m + n + l. Se adiciona a ésta, un porcentaje k2 de la prima de un seguro cuya cobertura desde x + m + 1 a x + m + n tiene un valor asegurado inicial de una unidad monetaria creciente cada año en un 100% con respecto a dicho valor asegurado inicial. Se suma, además, la prima simple neta de un seguro con valor asegurado de (n - 1) y cobertura de x + m + n hasta x + m + n + l. El efecto de pago mensual y de un valor asegurado diferente a una unidad monetaria, se da por la expresión fuera del corchete. Como se puede ver los resultados son muy lógicos.

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Contingencias de vida individual 109

3.10.3 Tarifa: Con base en (3.63) son obtenidas las tasas para un seguro cuyo período de diferimiento siempre llega a los 34 y la cobertura va de los 35 a los 70. De los 35 a 59 años el valor asegurado crece aritméticamente, para finalmente mantenerse constante de los 60 a los 70. El exceso que hay del rendimiento bruto a la tasa de crecimiento aritmético es de 4 puntos reales, que según (1.73) resulta en k2=5,77%. Este factor puede moverse a criterio del ·actuario.

Las tasas del seguro están calculadas partiendo de un valor asegurado inicial en la fecha de expedición ( VAI), de una unidad monetaria y sin con­templar crecimiento geométrico en el período de diferimiento. Los asegura­dos tienen la alternativa de escoger el porcentaje de crecimiento geométrico del valor asegurado a su predilección.

En el cuadro 3.1 se dan a manera de ejemplo algunas tasas por edad del seguroredondeadas al tercer decimal. La edad actuaria! puede ser cualquiera de las alternativas citadas en la sección 3.2.1, teniendo siempre en cuenta según el caso, la fecha de celebración del contrato para hacer en ella los cambios de valor asegurado año por año.

A un asegurado de 23 años el seguro le costará 2, 7 centavos por cada peso de valor asegurado. Si compra un millón de valor asegurado el seguro le costará $1'000.000*0,027 = $27.000. Si el asegurado desea comprar el seguro de tal forma que obtenga un crecimiento en el período de diferimiento con un factor geométrico del 10%, la prima le costará 27.000*(1+0.1)12 = 84.738.

Cuadro 3.1: Primas netas según (3.63) con k2 =5,77% ;

m = l = 10 y cobertura desde los 35 años.

Edad Prima Neta 21 0,022 23 0,027 25 0,033 27 0,040 29 0,049 31 0,060 33 0,073 34 (*)

(*) se deja como ejercicio

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110 Seguros de vida

Si la persona de 23 años no quiso hacer crecer el valor asegurado en el período de diferimiento, este será de un millón a los 35 años y de 2'384.800 a los 59. Si escoge un crecimiento de valor asegurado con factor geométrico, del 10% en el período de diferimiento, este será de 3'138.428 a los 35 y de 7'484.524. a los 59, como para citar algunos casos.

A partir de los 70 años acaba la cobertura, pero si el asegurado aún permanece vivo a esa edad, la compañía le permitirá comprar un Seguro Ordinario de Vida.

3.11 Productos del seguro de vida

Los casos citados no agotan todas las posibles modalidades del seguro, son muchas las variaciones posibles por deducir de los productos básicos y que pueden ser etiquetadas al antojo de quien las diseñe. Ahora, no siempre los nombres de los seguros implican cambios en la formulación, existen nomina'." ciones de muchos planes que dependen del nicho de mercado atendido. Un seguro . de hombre clave equivale a uno cualquiera de la gama básica, pero dirig1do a una población particular, más específicamente a las empresas que desean protección ante la falta por muerte de sus administradores claves.

Hay seguros que tienen destinación específica para el pago de valor ase­gurado y por tanto reciben nombres especiales, como es el caso del seguro educativo o del seguro exequial. En el seguro educativo, el pago de valor asegurado sólo se hace para sufragar gastos relacionados con la educación de un beneficiario ante la muerte de un asegurado. Es el caso típico de los padres que quieren asegurar la educación a sus hijos en caso de su ausen­cia por.muerte, no dejando que el valor asegurado sea de libre-destinación, sino únicamente desembolsable con documentos que acrediten la situación estudiantil del beneficiario.

Se describen a continuación los detalles más importantes de algunos se­guros ~speciales. Aunque muchos se ajustan a las formas básicas de tarifa, siempre existe la posibilidad de variaciones en las formulación debido a im­posiciones específicas de ley o de mercado.

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Contingencias de vida individual 111

3.11.1 Plan vida universal: De su nombre original en inglés, el "Univer­sal Life" es uno de los productos más populares del seguro de vida individual y familiar. La póliza está basada en la división del producto convencional del seguro de vida en tres componentes dados a conocer ampliamente al asegurado:

cobertura de riesgo ahorro gastos.

En la póliza Universal Life se combina un seguro temporal de vida con un depósito de ahorro. La compañía de seguros abre para cada asegurado una cuenta de la cual se deducen las contribuciones para gastos de administración y las primas para un seguro temporal mensualmente renovable.

El depósito de ahorro aumenta regularmente en los intereses que la com­pañía de seguros ha obtenido del depósito. Los intereses son abonados men­sualmente y ia compañía de seguros fija por adelantado el tipo de interés para un plazo de tiempo determinado. Plazos cortos de fijación permiten promesas de intereses aptos para el mercado pero a la vez variables.

Debido a la conjunción del seguro temporal de vida acoplado al proceso ahorrativo, el asegurado tiene a su disposición una serie de opciones qu~ le permiten combinar dicho proceso ahorrativo y la protección del riesgo según sus necesidades individuales. El asegurado puede variar el pago de la prima dentro de un cierto margen o suspenderlo por completo, y en todo momento, puede retirar partes de su depósito de ahorro.

El ahorro dará un mayor margen de dinero a los beneficiarios en caso de muerte del asegurado, y si no ocurre el deceso, la suma ahorrada le permi­tirá al asegurado ampliar la pensión cuando llegue el momento de su retiro laboral, bien sea por la compra de una renta cierta o de una contingente.

La protección del seguro termina o con la muerte del asegurado ( con pago del depósito y de la suma asegurada), o en la fecha de vencimiento del seguro, o si los fondos del depósito son insuficientes para cubrir las contribuciones a los gastos de administración y las primas para el seguro temporal.

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112 Seguros de vida

3.11.2 Seguro exequial: Tiene como finalidad amparar los gastos fune­rarios a los beneficiarios de .un asegurado que ha fallecido. No es más que un seguro de vida donde el pago de valor asegurado tiene una destinación. específica: sufragar gastos funerarios.·

El valor asegurado es limitado, el monto máximo lo fijan las compañías dependiendo de los costos promedio de la situación actual relevante. Por éostosos que sean los gastos funerarios, por lo regular los valores aségurados máximos son muy inferiores al mínimo establecido en los planes tradicionales de seguro de vida.

Aunque generalmente se venden como seguros temporales, las modifica­ciones gubernamentales de ley en muchos países, los han implantado en los regímenes de seguridad social como garantía de las prestaciones sociales del trabajador y por ello han tomado auge como seguros de vida entera.

3.11.3 Seguros para el medio financiero: Las clases principales de seguro para este ámbito son los seguros temporales. Hay casos de seguros decrecientes com~ el seguro hipotecario, en donde la suma asegurada por muerte está basada directamente en la cantidad adeudada. En este tipo de seguro, hay que tener en cuenta que la característica totalmente decreciente de los saldos hipotecarios no siempre sucede, en particular para nuestro medio, en los préstamos para compra de vivienda la deuda crece hasta un determinado tiempo, para luego decrecer hasta agotarse.

3.11.3.1 Cobert_ura de hombre clave: La pérdida de un empleado clave para un negocio bien sea por muerte o incapacidad, es probable de ocu­rrir y _puede ser catastrófica. Los aspectos principales que deben evaluarse son los considerados en el costo directo de reemplazarlo; éste probablemente involucrará el empleo de una agencia o "head hunter", cuyos honorarios pue­den ser car~s. En segundo lugar una vez que la persona nueva ha arribado, el tiempo que le tomará aprender y adaptarse a las costumbres corporativas. Es decir, pasará algún tiempo hasta que este reemplazo empiece a producir al iguat que el anterior.

El mercado para el seguro de hombre clave radica substancialmente en las pequeñas y medianas empresas. Grandes organizaciones a menudo tienen sus recursos de personal en reserva que permiten con facilidad el reemplazo de ejecutivos, incluso en los niveles clave.

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Contingencias de vida individual 113

Un seguro temporal a corto plazo es el arreglo típico. Un seguro a término de larga duración incrementa el campo de la antiselección, ya que ningún empleado continúa siendo· tan valioso o difícil de reemplazar a largo plazo.

El salario del ejecutivo es normalmente el punto de partida para definir el valor asegurado, siendo de entre 5 y 10 veces este. Las aseguradoras tienden a ser muy cuidadosas en no exceder el múltiplo de 10 veces, una de las razones es que el ejecutivo no valga más muerto que vivo . para su compañía.

3.11.3.2 Protección entre Socios: Los copropietarios de empresas son quienes solicitan este seguro. A la muerte de un socio, la sociedad normalmente se disuelve y las acciones del fallecido pasan a manos de los restantes socios. La cobertura debe ser la cantidad apropiada para que los socios sobrevivientes puedan comprarle a la familia las _acciones del fallecido, con la liquidez inmediata que amerita el caso. La firma de un acuerdo entre los socios garantiza que los sobrevivientes tengan opción de compra de la parte del negocio del socio fallecido.

La suma asegurada deberá basarse en el valor de las acciones indivi­duales del socio a cubrir. Debe incluir las inversiones de capital, utilidades retenidas, algo de "goodwill" y un margen de valorización. Otro factor importante cuando se determina el valor de las acciones de una compañía, es que una porción de acciones determinantes para el control mayoritario de una empresa, usualmente tendrá valor superior a las acciones individuales de la minoría.

3.11.3.3 Seguro de amortización de créditos: Su propósito .es el de proteger a los prestatarios individuales ante la incapacidad de reembolsar s_us deudas ya sea por fallecimiento, enfermedad o desempleo. Obviamente ocupa al texto el primer caso.

Si la destinación del préstamo es la libre inversión, esta podrá ser el pago .de unas vacaciones, sufragar gastos de estudio o efectuar mejoras en el hogar, en cuyos casos las entidades financieras tienen un riesgo mayor de perder el dinero por fallecimiento del deudor ante la imposibilidad de confiscar la inversión del préstamo. En este caso además de las prendas de garantía usuales de recaudo, es importante que la entidad financiera desembolse el

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~

114 Seguros de vida

préstamo, con la condición de que el prestatario tome un seguro de vida tem­poral al tiempo que dure el préstamo y con un valor asegurado equivalente al saldo pendiente, en donde el beneficiario es la compañía financiera.

En los préstamos para compra de vivienda o créditos hipotecarios, la mejor prenda de garantía es el predio mismo, aunque por lo general los estados protegen las viviendas contra el embargo cuando es un bien de 'pa­trimonio familiar. Esto hace imprescindible la venta del seguro de vida para el prestatario como condición primordial para el desembolso del préstamo.

El aumento espectacular del uso de las tarjetas de crédito en el ámbito mundial también ha hecho que el seguro de vida entre en este campo, aunque los saldos de las tarjetas son tan bajos, que los seguros de amortización son suscritos por una proporción muy baja de usuarios. Aun así, las entidades emisoras de tarjetas de crédito necesitarán estudiar a fondo la posibilidad de asegurar obligatoriamente el reembolso de los saldos pendientes, que se conviertan en riesgos potenciales.

3.11.4 Seguros complementarios y adicionales: En la venta del se­guro de vida se acostumbra ofrecer otros seguros con protección distinta al de la vida del asegurado.

Están dentro de esta modalidad los seguros de accidentes, de invalidez, de dependencia y de enfermedades graves, siendo todos en la mayoría de los casos, de libre elección. Los de accidentes están diseñados para sufragar los gastos que un accidente ocasiona en una persona, con valores asegurados generalmente pequeños en relación con los del seguro de vida. El de inva­lidez es de carácter indemnizatorio y por tanto sus valores asegurados son similares a los del seguro de vida. ·

El seguro de atención permanente o de dependencia ofrece atención sani­taria a domicilio por personal especializado, para así procurar una serie de cuidados básicos de carácter personal y social. Los períodos máximos de prestaciones suelen ser ilimitados y los valores asegurados están. destinados sólo a la atención. Las reclamaciones son por causa de invalidez por acci­dentes o enfermedades, en estas últimas las reclamaciones son comun:es por personas de la tercera edad.

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Contingenciás de vida individual 115

El seguro de enfermedades graves garantiza el pago de un capital único o en forma de renta a una persona a partir del diagnóstico de una enferme­dad grave. El capital pagado le ayudará al asegurado a superar los traumas físicos, emocionales y económicos que acompañan el diagnóstico de la enfer­medad. Después del diagnóstico, existe la probabilidad de que el asegurado sobreviva sólo durante un corto período de tiempo, y puede traer consigo, un impacto significativo sobre el estilo de vida que. implicaría grandes gastos, tales como la instalación de equipos especiales. La mayor justificación del seguro, la da el hecho de que las enfermedades graves disminuyen parcial o totalmente, la capacidad productiva de las personas.

Los seguros adicionales implican aumento de la suma en el riesgo de vida. Es típico de este, el seguro de cobertura adicional por muerte accidental. Es un hecho aceptado que la muerte por accidente, de efecto invariablemente inesperado, origina gastos adicionales que la cobertura básica de vida no necesariamente contempla. El doble beneficio adicional o doble indemniza­ción no presenta problema en el nivel del seguro de vida efectuado por el individuo promedio.

La sección 3.11 apenas es descripción generaLde los productos del seguro de vida, su presentación tiene por objetivo no más que dár al lector una idea general y advertir en él, la idea de hacer un estudio más profundo en otras bibliografías especializadas en el tema.

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L

116 Seguros de vida

EJERCICIOS

Secciones 3.3 a 3.6

l. Construir las conmutaciones Dx, Mx y Rx de las tablas de los anexos 1, ·2 y 3, las cuales se iniciaron en el ejercicio 10 del capítulo 2 con la parte básica.

2. Calcular Ass suponiendo i = O, 1 y asumiendo para la fuerza de mortalidad:

a.µ:,;= 10J-x 0~ X< 100

b. µx= 0,0249 (un promedio de las qx del anexo 1 desde x = 35 ponde­rado por las lx).

3. Repetir el ejemplo 3.3 para una persona de 50 años, un valor asegurado de 1.000 y un portafolio de 500 pólizas. ·

4. a. Si As = O, 74, i = O, 1, ls = 50, l4 ~ 32 y ls=27, calcular As.

b. Si vt =t Px y 15¡A20 = O, 15 calcular el valor de ó.

5. Sean Z1 es la variable aleatoria del valor presente de un seguro dotal puro y Z2 la de un temporal discreto. Mirar que:

Sección 3.7 y 3.8

6. Con base en el anexo 1 y asumiendo D UM, calcular:

A (12) a. 35

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Contingencias de vida individual 117

b. Ass

Comparar los resultados, en conjunto con los obtenidos en el ejercicio tres, los obtenidos en los ejemplos 3.6 a 3.9, y del valor de As5 presentado en la tabla del anexo l.

7. Si µx=0,03, 8=0,07 calcular A2s:1o]·

8. Si Zs está definida como la suma de Z1 y Z2, siendo estas las variables aleatorias del ejercicio 6, mirar que:

Sección 3.9

9. Encontrar la prima simple neta de un seguro pagadero al final del año de muerte, que a edad 20 tiene el siguiente plan de beneficios: el primer año de vigencia paga una unidad monetaria, el segundo dos, y así hasta pagar diez para luego descender cada año en una unidad, hasta ser cero.

10. Obtener el resultado equivalente a (3.52) incluyendo un diferimiento en la cobertura del seguro de maños.

11. Desarrollar una prima simple neta de un seguro temporal a n años, cuyo valor asegurado pagadero al final de la m-ésima fracción de año don­de ocurra la muerte, tiene un valor _inicial de n unidades monetarias y m decrecimientos de 1/m cada m-ésima de año hasta agotarse al final del año n.

Sección 3.10

12. a. De acuerdo con la aplicación dada en 3.10, encontrar el valor faltante del cuadro 3.1: prima neta a edad 34.

b. Desarrollar la aplicación dada en 3.10 sin tener en cuenta el diferi­miento.

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Seguros de vida

c. Calcular con base en el resultado en "a" y la tabla del anexo 1, la prima neta única por peso de valor asegurado inicial para una persona de _35 años, con crecimiento aritmético del 5, 77% y nivelando el valor asegurado alcanzado desde los 60 hasta los 70.

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Capítulo 4

Rentas de vida

Una renta de vida es una serie de pagos hechos en períodos iguales de tiempo por una persona o para una persona, mientras ella esté viva. Como está implícito el riesgo de vida en los pagos, la renta se constituye en un seguro, nombrándose por tanto como seguro de renta. También se les llama rentas o anualidades con riesgo o rentas contingentes. En el transcurso del texto será usado preferiblemente el término dé renta para diferenciarlo un poco del usado con preferencia en teoría del interés como anualidad cierta.

Este concepto se aplica al sistema privado de pensiones en donde unas personas mes a mes hacen pagos o contribuciones a una entidad, para que después de un tiempo determinado y habiéndose acumulado una gran suma de dinero, dicha entidad les remita también a ellos a través de una empresa de seguros, una serie de pagos mes a mes mientras vivan.

En las pólizas de renta usualmente los pagos varían cada primero de enero y por eso para facilitar los cálculos de los valores acumulados, es necesario que la edad varíe también en esa fecha. Así pues, la edad actuaria! asigna edades enteras en los primeros de enero. En la sección 4.8 es analizado este aspecto con la aplicación desarrollada.

Al igual que en las anualidades ciertas, el interés está centrado en conocer el valor acumulado de una renta en el presente y en el futuro. Una vez más se reitera la claridad que se debe tener en lo relacionado con los acumulados de las rentas, eq. los términos inmediato y anticipado que se mencionó en la sección 1.9.

119

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1

120 Rentas de Vida

4.1 Rentas de vida anuales vencidas

, Los pagos son hechos al final de cada año mientras (x) viva, ya sea por toda la vida, en un tiempo determinado, o que inicien después de una fecha fijada con antelación.

4.1.1 Renta vitalicia inmediata: La serie de pagos inicia desde el mo­mento de celebración del contrato y se realiza hasta que (x) muera. Como en tE:)oría del interés las rentas se notan con una "a" pero indicando, además del término, la edad del asegurado. En el caso de la renta vitalicia vencida e inmediata con riesgo no hay referencia al término de la renta, únicamente figura la edad; si los pagos son de una unidad monetaria el valor presente se nota como ªx· El siguiente esquema ilustra la definición.

1 1 1 1--1--1--1--

(x) x+l x+2 x+3

Existen dos técnicas para encontrar el valor presente de una• renta con­tingente. La primera se denomina técnica actual de pago y consiste en hacer los descuentos con riesgo de cada pago y sumarlos todos, así, para el primer caso en cuestión:

00

E E E . I+ 2 3 ~ k ax = x +2 x +3 x + · · · = Px V 2 Px V +3 Px V + · · · = L.,¡ V kPx

k=l (4.1)

La segunda técnica se denomina técnica agregada de pago. Consideran­do el tiempo futuro de vida en años enteros, la muerte ocurrirá en un lapso de tiempo K incierto, luego la técnica inicia por calcular una renta cierta temporal a K años, multiplicada por la respectiva probabilidad de que efec­tivamente la muerte suceda en ese tiempo, para posteriormente sumar todos los resultados basados en los probables valores de K. Con esta definición se concluye que la fórmula definida para el valor presente de la renta analizada, es la esperanza matemática de la variable aleatoria ªRI, K = l, 2, . . . . Con base en (2.21):

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Contingencias de vida individual 121

00 00

Gix = E[a1q] = L ªkl k/qx = L ªk] kjqx k=l k=O

Aplicando el teorema 2.2, con z(k) = ~ y g(k) =k¡ qx, entonces,

.6.akj = vk+I, y por (2.22) G(k) = k+Iqx, luego:

00 00 00

ax= z(O) + ¿(1-k+I t_zx)vk+l = L k+IPxVk+l = ¿ Vk kPx k=O k=O k=I

Reemplazando la notación de (3.7) en (4.1):

(4.2)

El límite de la sumatoria es más específicamente w - x. La diferencia de _la fórmula de una anualidad cierta y una contingente es el término kPx. La probabilidad es indicación promedio de que cada pago debe hacerse efectivo y descontado para hallar el valor presente, si la persona aún' está viva. Esta conclusión pues no es rigurosa, una interpretación más precisa del papel que juega la probabilidad de sobrevivencia en la fórmula del valor presente, parte de reemplazar (2.29) en (4.1):

(4.3)

Según ( 4.3), ax representa la suma aportada por cada sobreviviente de un grupo lx a un fondo que genera interés, el cual retribuirá una unidad mone­taria al final de cada año al grupo de sobrevivientes lx+k, k = 1, 2, 3, ....

La varianza de la variable. aleatoria ª"Rl es:

Como se ilustró en el ejemplo 3.3 V[vK+l] = 2 Ax - A; y por (1.8):

1 ¡,1 ·¡ !}! ,, il

il 11

ill !1

II r

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j'

122 Rentas de Vida

(4.4)

Expresar las rentas en términos de las conmutaciones hace necesario la definición-de una nueva función:

(4.5)

_ ~ E _ ~ Dx+k _ Nx+l ªx - L.,¿ k x - L.,¿ -

k=l k=l Dx Dx (4.6)

El cálculo de las rentas toma como base técnica una tabla de mortalidad diferente a la tabla de asegurados, básicamente porque la longevidad de los rentistas es mayor que la de los asegurados en el riesgo de vida. Los anexos 2 y 3 son el resultado de la experiencia del !.S.S. en Colombia entre los años 80 y 89 y reflejan la mortalidad de rentistas del sexo masculino y femenino respectivamente. La desagregación por sexo muestra mayores probabilidades de muerte en hombres que en mujeres, esta conclusión se podría decir sin temor a mayor equívoco, es un estándar mundial. Las conmutaciones usadas en cálculos seguidos son las basadas en el interés técnico bruto del 10%, a menos que se especifique lo contrario.

Ejemplo 4.1: Con la tabla del anexo 2 cuyas conmutaciones son trabajadas al 10%, calcular la prima única (PU) que debe pagar un hombre de 62 años a una compañía de seguros, para recibir en contraprestación un pago de 1.000 dólares al final de cada año mientras esté con vida.

El cálculo para una mujer de 62 años hecho con base en la tabla del anexo 3 arroja un valor de $7.549,3 y la prima usando la tabla del anexo 1 es $7.347,1 válida para hombres y mujeres.

Siempre es de esperarse que el valor presente de una renta con base en una tabla de rentistas sea mayor al basado en una de asegurados de vida, contrariamente en este caso la prima para

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Contingencias de vida individual

hombres es menor con la desagregada por sexo de rentistas que con la agregada de asegurados de vida.

El hecho de no separar la mortalidad de hombres y mujeres en la tabla de asegurados de vida causa este ruido, una vez hecha la desagregación, la tabla de asegurados de vida para hombres tendría mayores probabilidades de muerte que la agregada, y el valor presente de la renta sería menor que el valor calculado con base en la tabla de rentistas.

La inversión de la prima única en una entidad financiera que ofrece un rendimiento de interés del 10% efectivo anual, finali­za en una anualidad vencida de pago cierto por un período de aproximadamente 14 años:

l.000an¡ = 7.303, 2

= Ln(l-7,3i) = l3 7 n Ln(v) '

· En la renta con riesgo la expectativa de pago es igual a la espe­ranza de vida de la persona de 62 años, que de acuerdo con el anexo 2 es de 18 años. Es probable que los pagos se extiendan por más de 18 años e incluso por más de 48 si el asegurado rebasa los 110 años o final de la tabla.

Con lo anterior se quiere afirmar que el incumplimiento de los supuestos en los cálculos no es causal del no pago de la renta. El caso contrario sucede cuando el asegurado muere al año siguiente de firmado el contrato, recibiendo un sólo pago de 1.000 habiendo cancelado previamente poco más de 7.000.

En las rentas con riesgo el principio de mutualidad del seguro juega un papel muy importante, las primas aportadas por perso­nas con deceso temprano contribuyen para cumplir con los pagos a personas que prolongan su existen<;ia por largos períodos. Por esto, el término de una renta con riesgo tiene la posibilidad de ser mucho mayor al de una renta cierta cuando ambos casos son trabajados con la misma tasa de interés. Por la desigualdad de Jensen:

123

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124

1.

Rentas de Vida

La desigualdad es estricta excepto cuando K es constante.

Similar a los ejemplos 3.3 y 3.5, si se quiere ajustar la prima neta de la renta en una cantidad que haga que los fondos recaudados por la compañía sean suficientes para cumplir con los compro­misos adquiridos con una probabilidad del 95% en 500 pólizas, entonces, se debe encontrar un valor h tal que P(S ~ h) = O, 95, donde:

500

s = í: 1'i i=l

La variable 1'i es el valor presente de la serie de pagos de 1.000 ba­jo la sobrevivencia de la vida i. Asumiendo que las 500 vidas son independientes, entonces se tiene que E(S) = 500E(l.000aKI) y

además V(S) = 500V(l.000aKI).

E(S) = 500(7.303, 2) = 3'651.600, O

V(S) = 500(1.0002 • 5, 3938) = 2.696'900.000, O

El valor h repartido entre las 500 vidas independientes será el valor del ajuste de la prima simple neta. · Con base en el teorema central del límite:

h = E(S) + 1, 6450-s = 3'651.600 + 1, 645(51.931, 7) = 3'737.027, 6

h/500 = 7.474, 1

La prima ajustada es entonces de 7.474,1 para un aumento del 2,3% en tal ajuste. A ·

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Contingencias de vida individual 125

· 4.1.2 Renta temporal inmediata: La serie de pagos inicia en el período de emisión de la póliza y es suministrada durante n años siempre que (x) sobreviva. Si los pagos son de una unidad monetaria, se deduce mediante la técnica de pago actual que el valor presente es:

n

ªx:n] = ¿kEx k=l

(4.7)

Al igual que en el seguro de vida, en la relación N / D, la variación de los pagos por sobrevivencia está descrito en el numerador y el denominador será una cantidad constante para cada tipo de renta. La cantidad Nx+l - Nx+n+l

determina que a los descuentos totales esperados de los. pagos, se le debe restar los correspondientes a los esperados del año n en adelante.

------------Nx+l

-1 ------1-(x) x+l x+n x+n+l

(4.8)

La notación del valor futuro de una renta con riesgo es Sx:n] y se obtiene llevando el monto ªx:n] al final del período n con el factor de acumulación con riesgo 1/ nEx:

(4.9)

4. 1.3 Renta diferida: Los pagos de la renta con riesgo comienzan después de m períodos y pueden ser vitalicios o temporales. La siguiente ilustración muestra el flujo de pagos de una unidad monetaria de una renta vencida, diferida y vitalicia.

1 1 1----1-//-1-. --1--1-

(x) x+l x+2 x+m x+m+l x+m+2 ...

'

1 1

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i'

¡,,

,1

126 Rentas de Vida

En general las deducciones de los valores presentes · de las rentas con­tingentes son poco complicadas si se hacen a través de la técnica actual de pago. Con base en tal técnica y apoyados en el esquema anterior, se llega,a que el valor presente de la renta vencida, diferida y vitalicia es:

00

m/ªx = L kEx k=m+I

(4.10a)

(4.10b)

(4.10c)

Es fácil ver que una renta vitalicia puede ser expresada como la suma de una temporal más una diferida.

m oo

ax = L kEx + L kEx = ªx:mj +m¡ ax (4.11) k=l k=m+l

Otras fórmulas fácilmente deducibles son los valores presente y futuro de las rentas diferidas temporales: m/nªx = m/ªx:nj y m/nSx =m¡ Bx:nj respectivamente.

n+m

m/nªx = L kEx k=m+I

=a -a:;;:;, x:m+nl x:.,~

_ Nx+m+l - Nx+n+m+I - Dx

(4.12a)

(4.12b)

(4.12c)

(4.13)

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.Contingencias de vida individual

Ejemplo 4.2: Para costear los estudios de especialización en el exterior un padre compra a su hijo de 20 años, una renta que comienza a pagar cinco años más tarde y por cuatro años más, un monto de $U S2.000 al final de cada año. Con base en el anexo 2:

N25 -Nao 2.000 5¡4a20 = 2.000 D = 3.916, 8

20

La cantidad que debe pagar entonces por dicha renta es de $US3.916, 8. A

4.2 Rentas de vida anuales anticipadas

127

La serie de pagos se efectúa a comienzo de cada período. El valor presente de la anualidad cierta iiK+~i K = O, 1, 2, ... , determina el valor presente de la renta vitalicia con riesgo de una unidad monetaria. El símbolo de la diéresis en la "a" o "S" diferencia los valores presente y futuro con los valores de las rentas vencidas. Con base en la técnica agregada de pago:

00

iix = E [aK+~] = Lªk+lik/qx k=O

Si z(k) = ii k+l! y g(k) = k/qx, entonces según el teorema 2.2:

00 00 00

·· ·· ~(1 ) k+l 1 + ~ k+l ~ k ax = ª11 + L.,¡ - k+l qx V = L.,¡ k+lPx V = L.,¡ V kPx k=O k=O k=O

El símbolo oo es más precisamente w - x -1. De acuerdo con la notación (3,7) del seguro dotal puro:

(4.14a)

(4.14b)

Page 142: 7 - unal.edu.co

1 '

lL....

128 Rentas de Vida

Se puede demostrar fácilmente que la varianza de ªx+~ viene dada por

(4.4).

Según la técnica actual de pago, el valor presente de la renta temporal inmediata y de las diferidas es:

(4.15)

00

.. '"""' E N:x+m m/a:x=L--ik x=n;-k=m

(4.16)

(4.17)

La diferencia. en las fórmulas no son radicales pues las deducciones y conceptos aplicados en las rentas vencidas son igualmente aplicables a las anticipadas. En este orden de ideas se pueden dar otras relaciones para las rentas anticipadas.

(4.18)

(4.19)

El valor futuro de la renta temporal inmediata y de la diferida temporal es:

(4.20)

(4.21)

Las relaciones más importantes entre rentas vencidas y anticipadas son:

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Contingencias de vida individual 129

(4.22a)

(4.22b)

n-1 n

ªx:n¡· = L kEx = L kEx + (oEx -n Ex) = ªx:nj + l ..:_n Ex ( 4.23) k=O k=l

4.3 Fórmulas que relacionan rentas y seguros

Es posible ligar los conceptos de rentas y seguros en una sola ecuación. Con base en la técnica agregada de pago:

l-Ax d

(4.24)

(4.25)

Para una inversión de una unidad monetaria, Ax permite devolver la inversión al momento de la muerte y diix representa el pago de intereses de la inversión mientras la persona esté viva.

Con base en la misma técnica, se obtiene una relación para la renta temporal anticipada, para ello se define primeramente la variable aleatoria:

,

Tratándose de encontrar un valor presente para la renta temporal antici­pada, la definición de , es obvia, pues las rentas ciertas tomarán distintos valores en la temporalidad de los n años dependiendo si la persona vive o no, y en adelante de este período si la persona a sobrevivido n años más, el valor presente será constante e igual a una renta temporal a n años. La variable aleatoria, se puede escribir como,= (1- Z)/d, y por (1.33) Z = vK+l si O ~ K < n, y Z = vn si K > n, luego:

l

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130 Rentas de Vida

.. 1 - E[Z] 1 - Ax:nJ ªx:nJ = d = d

(4.26)

La interpretación de ( 4.26) es similar a la de ( 4.25) que también puede ser obtenida reemplazando (3.26) y (4.19) en (4.25):

Dividiendo por d ambos lados de la ecuación (4.25) y usando (1.41):

(4.27)

El valor presente de pagos anticipados ciertos anuales y a perpetuidad, es igual al valor presente de pagos anticipados hasta que ( x) muera, más la prima del seguro que paga un valor asegurado equivalente al valor presente de una perpetuidad de una unidad monetaria. La prima del seguro preverá los pagos a perpetuidad después de que ( x) muera.

Una expresión para las rentas diferidas es obtenida reemplazando en (4.26) el valor de ªx:n] deducido de (4.19).

(4.28)

Despejando la renta diferida en (4.28) y con base en (4.25) y (1.41) se obtiene finalmente que:

{4.29)

Una renta contingente y diferida n años con pagos anticipados equivale a una renta cierta anticipada y a perpetuidad de un monto (Ax:n]-Ax). Tam­bién se puede considerar la equivalencia esperando a que se hagan efectivos los pagos de los beneficios de las primas de los seguros, de tal forma que la diferencia de primás proporcionará el pago de una unidad monetaria bajo ciertas condiciones: si la persona muere antes de n años el dotal asegura el

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Contingencias de vida individual 131

pago de una unidad y el entero otra, en consecuencia la diferencia sería cero; pero si la persona sobrevive a la edad x + n, como no hay efecto del interés en la diferencia, esta será uno antes de que ocurra la muerte y cero cuando ocurra.

Son muchas las equivalencias e interpretaciones posibles a obtener con razonamientos similares. Se citan adicionalmente los casos de las rentas vencidas:

( 4.30)

(4.31)

(4.32)

4.4 Rentas de._yida pagaderas más frecuentes que el año· ·---.,,,,. __

Si cada pago de unidad monetaria de la anualidad se efectúa con m pagos de 1/m durante el año, los valores presentes de las rentas vitalicias, vencidas y anticipadas son, de acuerdo con la técnica actual de pagó:

00

··(m) - 1 ~ E ªx - - L._,; E.. X m m h=O

(4.33)

(4.34b)

Las rentas temporales anticipadas y vencidas cambian el límite superior de la ·sumatoria por nm - l y nm respectivamente. Las dos se relacionan mediante la ecuación:

a(m) = a(m) - _!_(1 - E ) x:n] x:n] m n x

(4.35)

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L

132 Rentas de Vida

Para las rentas diferidas vencidas se tiene:

(4.36)

(4.37)

Los valores presentes de rentas anticipadas son similares a los valores de las vencidas.

Entre rentas y seguros fraccionarios se obtiene una relación con la si­guiente deducción:

·•(m} E .. m • E ---,-....,....--- x [

( ) ] [

1- vK+(J+I)/m] 1-A(m) ªx = ªK+(J+I)/mj = d(m) . = d(m)

donde K = O, 1, 2, ... y J = O, 1, 2, ... , m - l. De la anterior ecuación se obtiene:

(4.38)

(4.39)

El cálculo de las rentas usa probabilidades de sobrevivencia a edades fraccionadas, y por tanto, hay que hacer aproximaciones para efectuar di­cho cálculo. Una de las más comunes es la aproximación de Woolhouse o aproximación tradicional, cuya deducción es como sigue:

De la fórmula de Euler-McClaurin para aproximar integrales definidas, . cada segmento del recorrido de f se divide en m partes, entonces:

fonf(t)dt ~ ! [f (!) + f (!) + · · · + f(l) + · · · + f(n)] + 2!n [f(O) - f(n)]

- 12!n2 [f'(n) - f'(O)]

Al tomar m = 1 y luego igualar las dos aproximaciones se obtiene:

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Contingencias de viaa individual 133

1n J(t)dt ~ t J(t) + ½ [J(O) - J(n)] - /2 [J'(n) - J'(O)] O t=l .

n

¿f(t)+~~l [/(0)-J(n)] -7;,;;:J [f'(n)-J'(O)] t=l

Con f(t) = vt ·t Px y n = w - x, y analizando cada término de la aproximación por separado:

n n

L f ( t) = L Vt tPx = ax t=l t=l

f(O) = v 0 ·oPx = 1

f(n) = Vn ·nPx = Vw-x ·w-x Px = Vw-x ·O= O

Para determinar f'(n) - f'(O) primero se calcula f'(t).

Según (2.13) y (1.29):

J'(n) - J'(O) = -J'(O) = J(0)(8 + Mx) = 8 + µx

Reuniendo términos:

71 1

I' !

1

1

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~ 1

i ¡

1 1

! \L

134 Rentas de Vida

La aproximación para las rentas vitalicias anticipadas se obtiene reem­plazando (4.22a) y (4.34b) en (4.40).

u(m) ~ .. - m -1 - m2 -1( i:)

ªx ~ ªx 2m 12m2 µ:r; + u (4.41)

En la práctica la tercera expresión del lado derecho de las dos aproxi­maciones anteriores es ignorada, por eso no se tendrá en cuenta para lo que resta del texto. Una vez obtenida una aproximación para las vitalicias, las concernientes a las. temporales son fácilmente deducibles; de la generaliza­ción de (4.19) al caso fraccionario y según (4.41): ·

(4.42)

Similarmente se obtiene:

( 4.43)

(4.44)

( 4.45)

Otra aproximación se halla con base en el supuesto de distribución uni­forme de muertes. Igualando (4.25) y (4.38):

Despejando a1m) y por (3.28) asumiendo DUM:

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Contingencias de vida individual

donde,

a<m) ~ _!!_a _._l_A - ~-i-A x d(m) x + d(m) x d(m) i(m) x

di .. i - i<m) = d(m)i(m) ax - -d(_m_)-i(_m_)

= a(m)ax - f3(m)

d-i a(m) - --,--.,........,.......,... :- d(m)i(m)

135

por (4.25)

(4.46)

(4.47)

( 4.48)

La aproximación por D UM es más sencilla en su deducción que la tradi­cional, pero no en su cálculo, pues la fórmula resultante es más compleja, y más complicado resultan las aplicaciones en el desarrollo de productos que de ella se deriven. Aunque el cálculo de las dos recoge distintos resultados, la distancia no reviste mayores_ diferencias, eso si, se debe tener en cuenta que esas diferencias comienzan a ser nada despreciables; cuando las rentas son de montos grandes de dinero y cuando las compañías tienen numerosos negocios al respecto. El desarrollo de los otros tipos de rentas toma como base el resultado (4.46).

a~m) = a~m) - ~ ~ a(m)ax - f3(m) - ~ = a(m)ax + ,(m) (4.49)

,(m) = a(m) - f3(m) - ~ (4.50)

Otros resultados importantes cuya deducci<Sn es sencilla y se proponen como ejercicio, son:

(4.51)

¡ u

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L

136 Rentas de Vida

Ejemplo 4.3: Con la tabla del anexo 2 calcular el monto ne­cesario (PU), que tiene que dar un hombre · de 62 años a una compañía de seguros, para que esta le retribuya pagos de $1.000 al final de cada mes mientras esté con vida.

ai;2) : valor presente de 1/12 cada mes (una unidad al año).

12 a~;2) : valor presente de 1 cada mes (doce al año).

{1.000)12 ai;2) : valor presente de 1.000 cada mes.

Us.ando DUM:

PU= (1.000)12a~;2> ~ 12.000 I a(12) ~:: + ,(12)]

a(l2) _ di _ O, 0909(0, 1) _ - d(12)i(12) - O, 0949(0, 0957) - l, 000752

i ,- i<12) o 1 - o 0957 ,B(l2) = d(12)i(12) = o, b949(¿, 0957) = o, 474491

,(12) = a(12) - ,8(12) - 1/12 = O, 442927

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Contingencias de vida individual

N53 = 1.690, 9410 y D52 = 231, 5356

Al reunir todos los resultados, resulta que PU = $93.018,9. Usando la aproximación tradicional:

137

PU =·(L0OO)l2a~;2) ~ 12.000 [~:: + 1

2~¡;n = 93.137, 9 A.

La aproximación tradicional da como resultado primas netas mayores que las obtenidas con la aproximación por D UM. L"a empresa que adopte esta última busca ser más competitiva ofreciendo menores precios y la que adopte la tradicional, más simplicidad de cómputo y menor riesgo que desequilibre el seguro. Debido al avanc_e informático las fórmulas complejas no dan mayor dificultad al manejo administrativo de un producto, y lo que antes era una ventaja de la aproximación tradicional ya no lo es tanto. De todas formas para los actuarios resulta más cómodo el desarrollo de un producto usando la aproximación tradicional.

4.5 Rentas continuas

Se puede considerar el cáso de las rentas pagaderas más frecuentemente que el año haciendo que m -+ oo, para tener entonces rentas con pagos continuos o rentas totalmente continuas; un concepto difícil de aplicar, pero útil a la hora de aproximar rentas con pagos semanales o diarios. El valor presente de las rentas vitalicias continuas cqn. pagos totales anuales de una unidad monetaria se obtiene mediante el límite:

ax= lim a··(m) __ . lim a(m) m--:-+ qo _x . m--+ oo_ x

El valor presente según la técnica agregada de pago se deduce de la siguiente manera:

J '! l

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138 Rentas de Vida

Con base en el teorema 2.1, sean z(t) = (1- vT)/6 y g(t) = tPx · µx+t, entonces de acuerdo con (1.29) z'(t) = -vt Ln(v)/6 = vt y por (2.13) G(t) = tqx, así:

(4.57)

La varianza de ªTJ es :

donde 2a::,; está basado en la fuerza de interés 26. La obtención del valor de la última igualdad se fundamenta en la ecuación que se presenta seguidamente E)n (4.61).

Otros valores presentes-se obtienen variando los límites de la integral; para las temporales y diferidas respectivamente se tiene:

(4.58)

(4.59)

(4.60)

Según la técnica ag~egada de pago para encontrar valores presentes de rentas contingentes, se deducen las siguientes relaciones entre rentas y segu­ros:

(4.61)

L

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Contingencias de vida individual 139

Otras ecuaciones importantes son:

(4.62)

(4.63)

(4.64)

4.6 Rentas variables

Son muchas las variaciones posibles Eºr hacer a los pagos de las anualidades. Seguidamente se analizarán algunas rentas anticipadas, la deducción para las vencidas son similares.

Una forma globalizada de algunos tipos de renta vitalicia anticipada está dada por el siguiente valor presente actuarial ( VPA):

(4.65)

El VPA es la suma de varios valores presentes cada uno representado por m pagos que suman bk desde x + k hasta x + k + l.

Una forma gen.eral para el valor presente de las rentas variables antici­padas con una temporalidad den años con pagos bx, b:i:+1, •.. , bx+n-1, pa­gaderos en fracciones m-ésimas de año para las edadesrespectivas, está dada por la fórmula:

x+n-1

(VPA) ~ b .,(m) E X= L.,¡ y' ªy:lj 'y-X X (4.66)

y=x

4.6.1 Rentas crecientes: Algunos casos particulares de interés son obte­nidos de ( 4.65) con. m = 1 y bk tomando ciertos valores; Cuando bk = k + 1 el VPA es:

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140 Rentas de Vida

00 00 00 00

(Iii):c = ¿(k + l)kE:c = L L nE:c = L k/ªx (4.67) k=O k=O n=k k=O

Esta renta paga anticipadamente una unidad monetaria y se incrementa en una unidad por cada año transcurrido. El siguiente esquema ilustra el resultado de la prima neta como una suma de valores presentes de rentas diferidas de una unidad monetaria.

~----1 ~-------1

~----------1

-l--1---l-(x) x+l x+2 x+3 •··

La definición de la conmutación B:c se usa para expresar (Iii):c en términos de las conmutaciones.

(4.68)

(4.69)

Si bk en (4.65) toma el valor (1 + r)k con k = O, 1, 2, ... , se obtiene una anualidad que inicia con un pago de una unidad monetaria, el segundo año de (1 + r), el tercero de (1 + r)2 y así sucesivamente hasta obtener una anualidad eón crecimiento geométrico.

00 00

(Vii):c = ¿ kE:c(l + r)k = ¿ kE:c(e) = ªx(e) (4.70) k=O k~O

El resultado es el valor presente de una renta vitalicia con riesgo de pagos constantes de una unidad monetaria, pero con base técnica de una tasa de interés real para los descuentos. El incremento del valor de la renta en un r% y los descuentos basados en un interés técnico bruto i, arrojan finalmente un factor de descuento real e.

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Contingencias de vida individual

Ejemplo 4.4: Calcular el valor de la prima única (PU) que tiene. que dar un hombre de 62 años a una compañía de seguros, para recibir en contraprestación un pago de $1.000 al inicio de cada año mientras esté con vida. Los pagos incrementan cada año su valor en 20% con respecto al anterior, y sus descuentos son hechos con un rendimiento bruto supuesto del 24,8% efectivo anual.

El exceso de tasas según (1.73) arroja una tasa de interés real del 4%.

e = 1 + i _ 1 = 1, 248 _ 1 = 4% 1 +r 1, 2

Con base en la tabla del anexo 2:

PU= 1.000 • a52 = l.OOODN62(e) = 12.602

62(e)

Según el ejemplo 4.1 si no hay incremento en los pagos, el valor presente es de 8.302,2. El concepto es aplicado al manejo de pensiones donde se requiere que las mensualidades sean ajusta., das cada año y sigan el ritmo inflacionario de un país. A

Tomando en (4.66) m = 1 y by= y - x + 1 se tiene que:

x+n-1

(VPA)x= ¿ (y-x+l)·y-xEx y=x

Mediante la transformación k = y - x:

n-1 n-ln-1

(VPA)x == ¿(k + l)kEx = L LiEx k=O k=Oj=k

141

La sumatoria desde j = k hasta n - .1 tiene n - k términos, luego la segunda sumatoria de la expresión anterior según ( 4.17) · es una anualidad

. .

1

j

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j ..

¡' 1 ~\ ! ¡--

L

142 Rentas de Vida

diferida j años y temporal a n - k años. El valor presente actuaria! corres­ponde al valor presente de una anualidad creciente en una unidad monetaria cada año, y por un período temporal n; su notación y fórmula son:

n-1

(Iii)x:n] = L kfiix:n-kj k=O

(4.71)

El seguro de renta temporal en ( 4. 71) escrito en términos de seguros de renta vitalicios y de las conmutaciones es:

(I") (I") E (I") E .. Sx - Bx+n - nNx+n a x:n] = a x - n x a x+n - n x · n · ªx+n = Dx

(4.72)

Al igual que en los seguros de_ vida, las diferencias finitas son aplicables para el cálculo de valores presentes de las rentas contingentes a través de las funciones de conmutación. La figura seguida muestra beneficios y diferencias para un seguro temporal creciente. En la primera línea de los flujos de pagos de la renta quedan los coeficientes de la conmutación Dx, la segunda que representa los valores de las diferencias de primer orden contiene los coeficientes de Nx, y en la tercera están los coeficientes de Sx, o valores de diferencias de segundo orden.

Sx Nx Dx

..6.2bx+k 1 o o o o -(n+l)

..6.bx+k 1 1 1 1 1 -n bx+k 1 2 3 4 n o

-1 1-1 1 1 (x) x+l x+2 x+3 x+n-1 x+n

Ejemplo 4.5.: Una persona de 35 años tiene una anualidad temporal con pagos anticipados de 10, 8, 6, 4, 2, 4, 6, 8 y 10 unidades monetarias. Hallar el valor presente actuaria!.

n o o 1-

x+n+l

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Contingencias de vida individual

(35) 36 37 38 39 · 40 41 42 43 4~dad

VA

10 10

La suma 10(N35 - N44)/D35 es el valor presente de pagos an­ticipados con riesgo de 10 unidades entre las edades 35 y 43. Como el valor presente de una serie de pagos de 2, 4, 6 y 8 uni­dades entre las edades 36 y 39, y de 8 unidades desde los 40, es · 2(835 - 840)/D35, entonces {10(N35 -N«) - 2(835 -840)}/D35

· da el valor presente de los pagos 10, 8, 6, 4 y 2 de los 35 a 39 años; de 2, 2, 2 y 2 de los 40 a 43, y de -8 a partir de los 44. Por otro lado, siendo 2(840 - 844)/ D35 el valor presente de los pagos 2, 4, 6 y 8 unidades entrelos 40 y 43 años y de 8 desde los 44, entonces el valor presente requerido es:

VD _ 10(N35 - N44) - 2(835..,.. 840) + 2(840 - 844) .r35 - . D35 . .

Otra forma de obtener el resultado se basa en la siguiente figura:

35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A 10(N35 - N44)/D35 que es el valor presente de una serie de pagos con riesgo de 10 unidades entre las edades 35 y 43, se le van restando sucesivamente los. valores presentes de los bloques de pagos de 2 unidades entre las edades 36 y 42. En primer lugar se resta 2(N36 -N43)/ D35 (valor presente de pagos de 2 unidades entre los 36 y 42), por tanto {l0(N35 - N44) - 2(N35 - N43)} genera el valor presente de los pagos 10, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8 y 10 entre los 35 y 43.

143

1 1

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il

11

1

144 Rentas de Vida

Repetidamente se llega a:

= 10(Nas-N«}-2(Sas-S40}+2(S40-S44} Das

Aplicando el método de diferencias finitas:

8:c D.2bx+k 10 -12 o o o 4 o o o -12 10 Nx D.b~+k• -10 -2 -2 -2 -2 2 2 2 2 -10 o Dx b:c+k 10 8 6 4 2 4. 6 8 10 o o

35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Con las diferencias de primero y segundo orden respectivamente:

10(N35-N44) - 2(835-840)+2(840-844) D35

V F _ 10835 - 12835 + 4840 - 12844 + 10845 35 - . · D35

La última no es expresión idéntica a las demás respuestas finales anteriores, p~ro es igual; algunos pasos algebraicos lo demues­tran,

= 10 [N35 - N44] - 2(835.,... 840) + 2(840 :-- 844) D35

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Contingencias de vida individual 145

El lector escogerá el método al que mejor se acomode para hacer los cálculos. A

Restringiendo a n - 1 el límite superior de la sumatoria en ( 4.67) se obtiene una renta vitalicia que prevé el pago de una unidad inicial y creciente en una unidad por n años, para luego mantener constantes los pagos hasta la muerte de (x).

n-1

(In¡a)x = L k/ªx (4.73) k=O

Aplicando (4.14b)-y (4.68) en la expresión anterio:r, se obtiene el valor presente de la. renta en función de las conmutaciones. La deducción en torno a los demás métodos vistos como el gráfico y de diferencias finitas, es propuesta en la sección de ejercicios.

(4.74)

La renta anticipada que tiene el crecimiento de los pagos en una unidad por m años y los mantiene constantes por· n años más, tieii'e valor presente:

(4.75)

Cuando las rentas variables son pagables más frecuentemente que una vez al año, se tienen dos casos diferentes que dependen de si la tasa de pago es constante o variable en cada año de edad. Si la tasa es constante el pago total anual es hecho en m pagos iguales. Por ejemplo si en ( 4.67) los pagos se fraccionan, en el primer año se tendrán m pagos de 1/m, en el segundo año m de 2/m, en el tercero m de 3/m y así en adelante, y su valor presente es entonces:

00 00 00

(I .. )(m) = L .. (m) = 1.. '°'"' E a x k/ªx m L..,; L..,; l!. x m

(4.76) k=O k=Oh=k

l

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146 Rentas de Vida

La anualidad anterior limitada a n períodos adquiere el valor presente:

(4.77)

El segundo tipo de renta variable resulta en una con m pagos por año cuya tasa de pago se incrementa m veces al año. Supóngase que una anua­lidad creciente es pagable a la tasa de 1/m por año al final de la primera m-ésima de año, 2/m por año al final dela segunda m-ésima de año y así en adelante. El primer pago en x + 1/m será 1/m2 ya que este pago cubre un período de 1/m y la tasa de pago durante el primer período es 1/m por año, entonces el segundo pago a edad x + 2/m será-2/m2 y así en adelante. Su valor presente es:

00

(J(m)ii)~m) = ,h ¿(k + l)~Ex k=O "'

(4.78)

Cuando la frecuencia de los pagos es continua y la tasa de pago es cons­tante durante c:ada año de edad, el valor presente de la anualidad creciente en (4.76) se convierte en una con notación (Ia)x, la cual proporciona pagos continuos a la tasa de 1 por año durante el primer año, a la tasa de 2'por año en el segundo año y así én adelante.

00

(Jii)~m) = L k/ªx (Ia)x = lim m--+oo

(4.79) k=O

Si la tasa de pago crece durante cada año de edad, se obtiene una renta creciente con valor presente (la)x, la cual provee pagos continuos a la tasa de t por año en la edad x + t.

(la)x = (4.80)

Si los pagos son hechos temporalmente durante n períodos y continua­mente a la tasa de t por año al tiempo t, el valor presente resultante cambia el límite infinito de la ecuación (4.80) por n. En este último caso variable, continuo y vitalicio, "las rentas y seguros se relacionan mediante la ecuación:

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Contingencias de vida individual 147

(4.81)

Fórmulas análogas a ( 4.65) y ( 4.66) para las rentas vencidas simplemente cambian la ii por una a, y algunos casos particulares de ellas dan:

00 00

(Ja)x = L k · kEx = L k/ªx k=l k=O

n-1

(Ja)x:nj = L k/ªx:n-hj k=O

n-1

(In¡a)x = L k/ªx k=O

(4.82)

(4.83)

(4.84)

4.6.2 Rentas decrecientes: Si en (4.66) se asume by= n+x-y y m = 1, para luego hacer la transformación k = y-x, se llega a una anualidad con un pago inicial de n unidades monetarias decreciente cada año en una unidad hasta el fin -del periodo:

x+n-1 (Da)x:nj = L (n + X -y)y-xEx

n-1

= ¿(n-k)kEx k=O n k-1

= LL·jEx k=l j=O

n

-"°'a - L._¿_ ·:c:k} k=l

(4.85a)

(4.85b)

(4.85c)

La expresión de la renta en función de las conmutaciones queda de la forma:

(4.86)

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148 Rentas de Vida

Cuando los pagos en cada edad se fraccionan en m pagos al año, el valor presente de la renta queda como:

(4.87)

Una renta con pago inicial de n unidades que decrecen continuamente hasta que ningún pago es hecho, tiene valor presente:

(4.88)

4: 7 Rentas de vida completas vencidas y anticipa­das distribuibles

En rentas discretas vencidas si el asegurado muere poco antes de vencerse la fecha de pago este no es efectuado. Incluir la fracción de tiempo entre la fecha del último pago y la de muerte implica una nueva definición.

Si una anualidad es hecha a una tasa de una unidad por año, se obtendrá un valor presente determinado por ax, pero si se quiere obtener una anua­lidad cuyo valor presente sea el de pagos que acumulan 1/m por fracción m-ésima de año, más un pago adicional representado en el período que va desde la fecha del último pago y la fecha de muerte, se requerirá de una anualidad de pago continuo cuya tasa no sea de uno por año, sino de r por año. Dado un pago de 1/m hecho continuamente a la tasa de r por año, entonces 1/m = rS 1/ml y la tása anual r será:

1 1 r=-=--

mSl/ml

Si la muerte ocurre en una fracción de tiempo t más allá del último pago de la renta O< t < 1/m, el pago ajustado tendrá el valor:

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Contingencias de vida individual 149

Con esa definición de r y del pago acumulado de ajuste, el valor presente de una anualidad de una unidad monetaria por año, pagadera. en cuotas de 1/m al final de cada fracción m-ésima de año mientras (x) viva, más un pago de ajuste entre la fecha del último pago y la fecha de muerte es:

a•(m) - t-a - 1 -a X - x- X

mSI/ml

Pero según (1.60), (1.44) y (1.13):

(4.89)

Al valor presente en ( 4.89) se. le denomina renta completa vencida, el cual es un resultado con ecuación similar a (1.59). Ahora si la ,anualidad es anticipada, se debe contemplar una devolución al pagador de la renta · equivalente a un monto representado en la fecha de muerte y la fecha del siguiente pago. El valor presente se llama renta anticipada distribuible y su deducción se deja como ejercicio. La notación y fórmula de la renta es:

··{m} Ó -ªx = d(m) ax (4.90)

4.8 Aplicación

A continuación es presentado el desarrollo formal de un seguro de renta vitalicia, · cómo para reforzar la teoría con una aplicación muy utilizada en la práctica.

Los sistemas de seguridad social toman las rentas vitalicias como una de las modalidades de pensión para cubrir los riesgos de vejez, invalidez y muerte. Si el afiliado a un sistema de seguridad social se invalida. para trabajar ·o llega a una edad avanzada, se pensionará él y su familia con un monto de mesada que determine el sistema. En caso de muerte del afiliado su familia adquirirá el derecho a pensión desde la ocurrencia de su muerte.

' [ l 1

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,!

¡ 11 .l lt

150 Rentas de Vida

La renta vitalicia es pues, un seguro a prima única mediante el cual el tomador contrata con un asegurador, el pago de un número determinado de mesadas anuales hasta el fallecimiento o cesación del derecho del último sobreviviente.

Cada páís tiene legislaciones propias que estipulan cuales de los familiares de un afiliado al sistema gozarán de la pensión y hasta cuando se les garantiza el pago de la misma. El problema del diseño de un seguro de pensión de este tipo se enfrenta con una teoría que encierra la sobrevivencia de vidas múltiples, un tópico que no se analizó en el presente texto. Por tal razón, el seguro presentado seguidamente, sólo tiene en cuenta la pensión para una persona sin ningún beneficiario de esta. ·

La formulación del seguro determinará el valor de la prima única nece­saria para comprar una pensión vitalicia. El valor de los pagos periódicos para reunir la prima única es objeto de otro estudio.

La renta considera doce pagos mes vencido. Para mantener el poder adquisitivo constante de las mesadas, estas se ajustan cada año con el índice de inflación del año inmediatamente anterior. · ·

4.8.1 Bases técnicas: Las probabilidades de sobrevivencia están basadas en las tablas de mortalidad de la experiencia del Seguro Social entre 1.980 y 1.989.

El interés técnico para el cálculo de las primas es un interés real anual e

del 4%, el cual es equivalente al exceso que hay del interés técnico bruto i, sobre una inflación anual tamaño k.

4.8.2 Edad actuaria!: La edad usada para el cálculo de la renta es la que tenga el asegurado en la fecha de cumpleaños llevada al enero más cercano. También se notará como x, teniendo claramente en cuenta que no es la edad exacta del asegurado.

4.8.3 Prima neta: El cálculo de la prima neta única de la renta ( VP), parte del cálculo de tina renta vitalicia inmediata de pagos mes vencido por valor intcial de un peso creciente cada año en la inflación. La determinación del VP se hace en dos fases, primero se calcula el valor presente de la renta

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Contingencias de vida individual 151

correspondiente a la fracción de año que va desde el mes de vigencia de la póliza hasta el 31 de diciembre de dicho año ( VP1), y posteriormente se calcula el valor de la renta que va desde el mes de enero del segundo año calendario de vigencia de la póliza hasta el final de la tabla ( VP2), de tal forma que:

12-t Cálculo del VP1: VP¡ = ¿ vi/12 iPx+t/12

j=l 12

En VP1, t es el número de meses transcurridos que hay en el año de expedición de la póliza, entre el primero de enero y el mes de expedición. Asumiendo DUM y de acuerdo con (2.42):

(4.91)

Asumiendo DUM según (2.42), se tiene para el factor de descuento de la anterior .fórmula que:

E 1-t/12 (1-t/12) x+t/12 = V '(1-t/12) Px+t/12

~ Vl-t/12 (1- (l -1) qx) 1- 1~qx

_ 1-t/12 ( 1 - qx ) -V t

. 1- 12qx

De otro lado por (4.37) n-l/ª(12.)..,, =n-1 Ex+l ,a(12) ..,,. Bajo el supuesto x+l: 11 x+n: 11

de DUM según (4.52):

n-1/ª(l2)..,, ~n-1 Ex+l [a(12)a + ·T1 + 1 (12)(1- Ex+n)] x+l: 11 x n. ~,

=n-1 Ex+l [a(12)Ex+n- + 1'(12) - ,(12)Ex+n]

=n-1 Ex+l [a(12) - 1 (12)] Ex+n + ,(12) ·n-1 Ex+l

1

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iL

152 Rentas de Vida

Pero,

Entonces,

(12) [ )] n-1/ª -,, ~ a(12) - ,(12 nEx+l + ,(12) 'n-1 Ex+l x+l: 11

[

(a(12) - ,_ (:2)) f1 nEx+1(l. _+ k)n .]

+,(12) ¿ n-1Ex+1(l + kr n=l .

Ahora,

00 00

¿ nEx+1(l + k)n = ¿ Vn nPx+1(l + kt n=l n=l

00

= ¿vfe)nPx+l n=l

También,

00 00

L n-1Ex+1(l + kY7' = ¿(vn-l n-lPx+1)(l + k)n n=l n=l

00

· = ¿(v(e/ n-lP:z:+1)(1 + k) n=l 00

'= L n-lE:z:+l(e)(l + k) n=l

00

= ¿nEx+l(e)(l + k) n=O

= ªx+i(e)(l + k)

= (1 + ªx+i(e))(l + k)

por (1.74)

por (1.74)

por (4.14a)

por (4.22a)

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Contingencias de vida individual 153

Luego,

(4.92)

Para ilustrar el resultado,· supóngase que un hombre ha acumulado en toda su vida laboral un monto de 100.000 dólares para su pensión. La póliza es emitida en septiembre primero y la persona cumplirá los 62 años en mayo. La edad actuaria! queda ubicada en enero primero del año de expedición y será x = 62. La determinación de la renta mensual que puede comprar se determina como:

100.000= Renta mes• VP

Renta mes = 100.000 / VP

Con base en un interés técnico real del 4 % y una inflación proyectada del 15%, el interés técnico bruto resultante es de 0,196%. Dado que t = 8, entonces usando la tabla de rentistas sexo masculino del anexo 2, se tiene que:

VP2 = 12v4112 ( l - 8q62 ) [(a(12) + O, 15,(12)) a63{e)+,(12)(1, 15)]

1- 12@2

= 12 (-1 )t,¡ ( 1-0,015967) 1•96 1--ª-o 015967 12 '

[( 1,0027 +(0,15) ·0,43) 11,2618+(0,43) · 1, 15]

= 140,6996

VP = VP1 + VP2 = 144,5382

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1. í·

i. I· '

\L

.. .. ,;.

154 Rentas de Vida

Renta mes= 100.000 / VP = 691,9

La primer mesada al final de septiembre tendrá un valor de 691,9 dólares. En cada año siguiente no importando que nivel de inflación exista, el valor de la mesada será ajustado con base en dicha tasa. Si efectivamente la inflación es del 15%, para el segundo año de vigencia y a partir de enero las mesadas tendrán un valor de 795,7 dólares.

El uso de tasas de interés real en el cálculo de las primas garantiza el equilibrio del seguro, no importando que virajes bruscos o moderados pueda tomar la inflación en el tiempo. Es 1de suponerse que si la inflación se sube abruptamente, los intereses manejados por el mercado financiero subirán en medida proporcional a tal aumento y por tanto las reservas del seguro ten­drán los rendimientos apropiados que le permitan cumplir con los aumentos respectivos de las mesadas pensionales. La conclusión es similar cuando la inflación se mantiene dentro de los límites proyectados o si disminuye considerablemente respecto a ellos.

El cálculo de_ la prima comercial se deja a consideración del lector, una vez sean revisados los conceptos de la sección 5.5.

\ ..

EJERCICIOS

:· ~--·-.'•( .:: ~ > . Secciones 4.1 y 4.2

. t ..

l. Demostrar:

d. n/°'x =n-l/ ax

00

e. iix - ¿ ªk+ll "k/ qx = qx k=l

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Contingencias de vida individual 155

entonces:

2. Si i:i3:2] = 1, 5 cuanto vale a2:2] si p2 = O, 90 e i = O, 06.

3. Una mujer de 55 años tiene una renta vitalicia con riesgo de 1.000 anuales anticipados. Si desea cambiar esta por una renta temporal a 30 años también con riesgo, ¿ cuánto valor de renta anual quedará recibiendo?. Usar la tabla del anexo 3 la cual asume que i = 10%.

4. Un hombre de 24 años inicia su vida laboral haciendo aportes de una unidad monetaria al comienzo de cada año hasta los 61 años, y desde los 62 años comienza a recibir pagos anuales vencidos de una unidad hasta que muera. Si efectivamente vive a los 62, ¿ cuánto recibirá de renta anual?

Sección 4.3 a 4.q

5. Demostrar:

b .. (m) d •· 1 [A(m) A ] . ax = d(m) ax - d(=) X - X

6. Si Ax= i = O, 1 calcular ªx•

7. Si S(x) = 1- x/100 y 8 = O, 1 calcular 0:20, a2o:W] y s/ª20·

8. Deducir las fórmulas que van de (4.30) a (4.32).

9. Deducir las fórmulas presentadas en la sección 4.4 que van de ( 4.43) a (4.45) y de (4.51) a (4.56).

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íl

¡

l t 1,

I· ' :

156 Rentas de Vida

Sección 4.6

10. El valor presente de una anualidad anticipada que paga una unidad monetaria creciente en una unidad cada año hasta el año n y que desde ahí mantiene constantes los pagos en forma vitalicia es:

n-1

(In¡ii)x = L k/Üx k=O

Expresar el valor presente en funciones de conmutación usando los dis­tintos métodos explicados en el capítulo.

11. Una anualidad variable temporal para {x) proporciona uh pago de h a la edad y (y > x), y pagos anuales sucesivos crecientes en k cada año hasta que n. pagos han sido hechos. Encontrar el valor presente de la anualidad en la edad x.

12. Calcular el valor presente de. una anualidad con pagos anticipados desde edad 30 con un valor inicial de una unidad, incrementándose cada año en una unidad hasta llegar a un pago de diez unidades, para luego decrecer en una unidad cada año hasta que ningún pago es hecho.

13. Calcular el mismo valor presente del ejercicio anterior pero supo­niendo que los pagos desde edad 45 permanecen constantes y se hacen hasta el final de la tabla.

Sección 4.7

14. Demostrar que:

a. 1 = iCm) · a1m) + Ax

b. 1 = d(m) · aJm} + Ax

.(m) _ ó -C. ªx:n] - i(m) ªx:n]

d .. {m} ó -, ax = d(m) ax

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Contingencias de vida individual 157

f ·-{m} _ (1 + •)1/m o(m) • a-:;;, - i • a x:n1 x:n]

15. a. Si µ=0,04 y 8=0,06 calcular á112) y aP2

}.

b. Suponiendo que S(x) = 1- x/100 y 8 = O, 1 calcular á~~2) y a!~2

}_

Sección 4.8

En los puntos seguidos usar los resultados (4.91) y (4.92). Asumir una tasa de interés real e= 4% y una inflación constante k = 15%, también que las mesadas se hacen mes vencido con un total de 12 al año y que su monto aumenta cada. 1 ° de enero con la inflación. Usar los anexos 2 y 3 según convengá. Para los ejercicios que impliquen el cálculo de valores presentes o acumulados ciertos, usar el resultado del ejercicio 12 del capítulo l.

16. Calcular:

a. El valor de la renta ménsual vencida que recibirá un hombre que cumple 40 años en abril del año de expedición de la póliza· a cambio · de 100.000 dólares de prima única. El mes de expedición es juHo y las mesadas pensionales crecen cada año el 1 ° de enero'.

b. La prima única que necesita la persona descrita en el punto "a" para pensionarse con una renta mensual de 500.

c. El tiempo que dura en agotarse una renta cierta con la prima única del punto "b". Compare este período de tiempo con la esperanza de vida a edad 40; ¿qué comentario le merece el resultado?.

17. El 1° de noviembre del año Z una mujer cumple 50 años y comen­zará a recibir su pensión 5 .años después cuando tenga 55, equivalente al 75% del salario que estuviere devengando en el momento de ·pensionarse. Este porcentaje de pensión la mujer lo tiene garantizado por los aportes tra­dicionales para optar por el derecho, pero además está interesada en hacer aportes adicionales para que su mesada pensiona! sea del 100% y no del 75% del salario devengado.

Suponiendo que efectivamente la persona sobrevivirá a los 55 años, ¿ qué porcentaje· de su sueldo debe ahorrar desde noviembre del año Z para com­pensar la prima única de la renta vitalicia y su salario no sea disminuido?.

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158 · Rentas de Vida

Los ahorros y pagos de mesadas pensionales se asumen mes vencido y los salarios aumentan cada 1 ° de enero con la inflación.

18. Un hombre de 24 años de edad para poderse pensionar a los 62, comienza a hacer pagos del 11 % de su salario al final de cada mes crecientes en la inflación cada 1 ° de enero. Si efectivamente sobrevive a los . 62 años, en esa edad tendrá dos opciones de pensión: '

a. El acumulado cierto le es repartido mensualmente en forma de anua­lidad con riesgo.

b. El valor de la mesada pensiona! pagada en forma .de renta con riesgo, equivaldrá al 75% del salario que estuviere devengad.o en el .momento d~. adquirir el derecho a la pensión. ·

Suponiendo que los salarios aumentan cada 1 ° de enero en la inflación, ¿ cuál de las dos alternativas le proporcionará mayor mesada pensiona!?. Suponer además que la fecha de cumpleaños, la de inicio de cotizaciones y de expedición de la póliza son a 1 ° de enero del año respectivo ..

19. Un 1° de julio una mujer cumple 40 años y ese mismo día deja de trabajar devengando un salario de 1.000 mensuales. Por la finalización del contrato, la empresa le ofrece una suma única en el momento de retiro ó una pensión mensual con pagos vencidos a partir de los 55 años. La mesada pensiona! será equivalente a la últim~ mesada aumentada cada 1 ° de enero con la inflación proyectada. Determinar el monto único entregado a edad 40 de tal forma que las dos propuestas sean equivalentes.

20. Un hombre quedó impedido para trabajar a causa de un accidente. Calcular el costo de la indemnización suponiendo que la persona iniciaría su vida laboral exactamente 5 años después del accidente, y que ganaría desde esa fecha un salario de 1.000 al final de cada mes crecientes anualmente en la inflación. El accidente ocurrió el 1 ° de agosto y la persona cumple los 20 años el 1° de octubre del mismo año del accidente.

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Capítulo 5

Primas netas

Es usual que los seguros sean pagados como una renta con riesgo de primas cuya periodicidad frecuentemente es mensual y por tiempo limitado, aunque todos los seguros pueden ser considerados con distintas formas de pago. El nombre de este capítulo produce confusión pues en el capítulo de seguros, también se analizaron primas netas, únicas pero netas. El.título apropiado tendría que estar referenciado hacia primas netas no únicas, pero como la bibliografía existente las menciona en este sentido, _aquí se les denominará de la misma forma. Aunque mayormente el capítulo analiza estas primas rietas, en la sección 5.6 se tratará algo de las primas comerciales.

El monto de la prima requerida para cualquier tipo de seguro se deter­mina con base en el siguiente principio de equilibrio:

Valor presente de la serie de pagos= Valor presente de la prima simple neta

Si P es el monto de los pagos periódicos anticipados entonces la equiva­lencia general queda como:

P•a=A

·A P=--::­

a (5.1)

Cualquier prima puede obtenerse reemplazando en (5.1) los tópicos re­levantes a cada tipo de seguro, como cobertura, edad del asegurado, tem­poralidad y frecuencia de las primas y tiempo de cancelación de beneficios.

159

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.l

160 Primas Netas

Es simple la indicación de la fórmula (5.1): la prima de un seguro en cuotas con riesgo equivale a la prima única dividida por una renta que expresa su forma de pago.

5.1 Primas totalmente discretas

En esta sección se tratan las primas de los seguros cuyo valor asegurado es pagado al final del año de muerte y las primas son anualizadas. También se analizan 1013 dotales, dotales puros y las rentas diferidas de pago anual.

La prima anual anticipada pagadera mientras el asegurado esté con vida para un seguro entero de vida con valor asegurado constante según (5.1) es:

Ejemplo 5'.l: Con base en el anexo 1 se determina que la prima . única por unidad de valor asegurado constante de un seguro con pago de beneficios al final del año de muerte, le cuesta a una persona de 75 años $0,4668. El valor de la prima anual pagadera mientras viva el asegurado es:

p75

= A1s = M1s = 20, 5036 = $O 0796 ii1s N1s 257, 5745 '

Las conmutaciones Nx usadas para el cálculo de la rent~, deben obtenerse de la tabla de mortalidad de asegurados para ser con­secuentes con los supuestos de mortalidad usados en el diseño de las primas. Como se mencionó en capítulos anteriores, las conmutaciones usadas serán las calculadas con el interés técnico bruto del 10%, a menos que se especifique lo contrario.

Si K es ·el tiempo entero de vida, entonces vk+l es el valor pre­sente del beneficio por muerte y Px • ªm es el valor presente de las primas pagadas hasta el momento de muerte. Después de siete años de firmado el contrato cuando el asegurado tenga 82 años, el valor presente de los beneficios comienza a ser me­nor que el valor presente de las primas. Si el asegurado muere

(5.2)

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Contingencias de vida individual

cuando tenga 81 años o menos, la compañía tendrá en su caso específico una pérdida, y si muere después, una ganancia. Te­niendo muchos negocios de éste tipo, unos casos de pérdidas y otros de ganancias se compensan para que la compañía ni gane ni pierda.

Cuadro 5.1: Seguro entero de una unidad pagadera al final del año de muerte para una persona de 75 añqs: valor

presente de beneficios y de primas anuales.

Edad 75 76 77 78 79 80

161

La diferencia entre el valor presente de beneficio~ y el de primas da paso a la definición de una nueva variable aleatoria que determina la pérdida para el asegurador. En el seguro entero de vida con valor asegurado constante es:

L K+l P, .. =V - x•aK+li K = 0,1,2, ... (5.3)

En general, para cada negocio existirá un punto en el tiempo· durante la vigencia del contrato, para el cual la compañía tendrá pérdida si la muerte ocurre antes de ese punto y ganancia en el tiempo complementario de la vigencia del seguro.

La variable aleatoria L definida para cualquier seguro es un medio más riguroso para obtener las fórmulas de las primas. El equilibrio entre recaudo de primas . y pago de beneficios lo da un valor de P el cual requiere que E[L] = O; según (5.3):

Algunos casos particulares de primas anuales aplicando el concepto de pérdida también conocido como principio de equivalencia, o por simple de­ducción desde la fórmula (5.1) son:

l fl

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,L

162

Seguro dotal puro a n años:

Seguro temporal a n años:

Seguro dotal a n años:

. A i p 1 = x:ñj

x:ñj a·· -;;::i x:n1

Al' p1 = x:n]

x:n] a·· -;;:;i x:n1

Anualidad anticipada, vitalicia y diferida n años:

Primas Netas

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

La compra de una renta inmediata tiene sentido bajo el esquema de prima única, pero las rentas diferidas se pueden comprar con pagos anuales en el período de diferimiento como lo indica la fórmula (5.7) ..

Puede demostrarse trivialmente que la prima del dotal es la suma de primas de un dotal puro y uno temporal:

p -P 1 +Pl x:n] - x:n] x:ñj (5.8)

No necesariamente la temporalidad del pago debe coincidir con el período de cobertura. Un seguro temporal a n años puede ser pagado en un período inferior h y se le conoce como seguro con pago limitado. Un seguro con cobertura temporal a n años y limitado en h pagos anuales tiene una prima anual neta:

(5.9)

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Contingencias de vida individual 163

La siguiente es la prima pagadera en h pagos anuales para el seguro de vida entera ( su notación no debe confundirse con una probabilidad de sobrevivencia). ·

(5.10)

Para los otros seguros las fórmulas se obtienen con deducción similar.

Ejemplo 5.2: a. Con base en la tabla de mortalidad del anexo 1, se determina que la prima neta anual que . debe pagar una persona de 35 años de edad mientras viva, por un seguro con valor asegurado de $1.000 pagadero al final del año de muerte a los beneficiarios en cualquier mómento que ella ocurra, es:

Á35 . 1.000 · P35 = 1.000-.. - = 5, 84

a35

El tomador debe hacer pagos anuales anticipados de $5,84 hasta cuando suceda la muerte del asegurado, para que los beneficiarios reciban 1.000 de indemnización. Si la persona desea efectuar el pago en un período de 5_ años· entonces las -primas anticipadas anuales tienen el siguiente valor:

Á35 1.000 ·5 P35 = LOOO-.. - = 14, 57

ªs5:5]

Recuérdese del ejemplo 3.3 que la prima neta única del seguro es de $60,4. ·

b. Para el mismo valor asegurado, aproximar la prima neta anual más baja pagadera hasta que ocurra .la muerte de (35), tal que la probabilidad de una pérdida positiva sea menor a 0,5.

La prima P' por unidad de valor asegurado se deduce a partir de:

P(L >O)< 0,5

P(vK+l - P~5 • i:i K+li >O)< 0,5

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164

l

Primas Netas

De acuerdo con (1.33):

( [1 vK+l] ) p vK+l - Pss . - d > O < O, 5

p (K < Ln[Pás/(Pás + d)] -1) > O 5 - Ln[v] '

De la tabla del anexo 1 las probabilidades de muerte indican que 43q35 = O, 4999 y 44q35 = O, 5327, luego el menor valor que cumple estrictamente la condición es 44q35. Según (2.22) G(k) =k+l qx, entonces como caso particular de esta igualdad se presenta que P(K ::;; 43) =44 q35, así:

Ln(Pás/(Pás + d)) -1 = 43 Ln(v) ·

Despejando la prima neta anual por unidad de valor asegurado:

, d 0,0909 · P35 = (1 + i)44 - 1 = 1, 144 - 1 = O, 0014

Finalmente se concluye que la prima bajo la condición propuesta por cada 1.000 de valor asegurado será 1,4. Se puede concluir en general, que si a es la menor edad entera de K, que cumple este tipo de condición sobre L, entonces la prima neta anual por unidad de valor asegurado será:

P:.= d X (1 + i)ª -1

c. Determinar la prima necesaria tal que la probabilidad de una pérdida positiva en 500 pólizas independientes sea 0,05. Aproxi­mar la distribución de la suma de pérdidas mediante la distribu­ción normal estándar.

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Contingencias de vida individual

La prima P* por mil de valor asegurado determina que según el principio de equivalencia dado en (5.3):

La esperanza y varianza de L son:

E(L) = ( 1.000 + pi5 ) A35 - pi5

V(L) = ( 1.000 + pi5 )

2 · (2 A35 - [Aa5]2)

Si se define la pérdida para la póliza i como Li, entonces la pérdida agregada de las 500 pólizas es:

Dado que las pólizas son independientes, entonces la esperanza y · varianza de S está dada por la suma de parámetros individuales.

E(S) = 500 · E(L)

V(S) = 500 · V(L)

Con los resultados obtenidos y con la aproximación de la dis­tribución de S a la normal estándar, entonces la prima neta anual por mil de valor asegurado P* que cumple la condición P(S >O)= O, 05 se determina como:

Como el percentil 95 de la normal estándar es 1,645 entonces:

-E(S) = 1,.645 as

165

¡

1

1

Page 180: 7 - unal.edu.co

¡·

r t

iL

166 Primas Netas

-500 [ ( 1.000 + ~) A35 + ~] _

( p,• ) . - 1, 645

v'5oo · 1.000 + ~ J2As5 - (As5)2

Despejando la prima neta anual por mil de valor asegurado P*:

* 1.000 • d [ v'565As5 + 1, 645J2 A35 - (As5)2] .Pg5=-==--=-==---------;:;:====~

v'5oo - v'565As5 -_ 1, 645J2 A35 - (As5)2

Como ya fue mostrado en el ejemplo 3.4, el valor de 2 A35 es 0,0203. Reemplazando este valor y los demás extraídos del anexo 1 en la ecuación anterior:

(1.000) · O, 0909 [v'5oo(O, 0604) + 1, 645JO, 0203 - (O, 0604)2] p.* = . = 6 83 35

v'5oo - v'5oo(O, 0604) - 1, 645JO, 0203 - (O, 0604)2 '

Si la prima simple neta obtenida en el ejemplo 3.4, se divide por a.35, el valor resultante de prima anual es 69, 89/10, 3361 = 6, 76. El resultado era el esperado pues los procedimientos de obtención de la prirn.a neta anual son similares. &.

Las primas vistas hasta el momento son iguales durante la vigencia del seguro y por esto se les conoce como primas niveladas. No todos los cálculos de primas tienen este concepto, por ejemplo, la prima anual de una póliza de vida entera con una unidad asegurada, cuyo valor los 5 primeros años tiene un valor P para luego triplicarse se calcula como:

P · ªx:5] + 3 · P '5/ Ü,5 = Ax

5.1.1 Las primas netas como factor de acumulación: La prima anual de un seguro puede ser expresada en términos de la prima simple neta. En ( 4.25) despejando Ax y dividiendo ambos lados de la igualdad por iix:

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Contingencias de vida individual 167

(5.11)

La interpretación se puede hacer -en varias vías, la primera supone que un asegurado toma prestado un capital Ax para comprar un seguro entero con un valor asegurado constante de una unidad monetaria. El asegurado se compromete a pagar intereses anuales anticipados por un monto de d • Ax y a pagar la totalidad del préstamo con el pago del beneficio al final del año de muerte. Así, el asegurado estará pagando primas anuales por valor de d • Ax para que los beneficiarios reciban un valor asegurado al final del año de muerte de 1- Ax. Aplicando regla de tres simple, se deduce que si por esa prima se recibe tal valor asegurado, para recibir un valor asegurado de una unidad monetaria deberá pagar entonces la cantidad dada por (5.11).

Otra vía de interpretación tiene similitud con la interpretación de la fórmula de equivalencia entre tasas de interés y descuento i = d/(1- d). El numerador es el interés anticipado o descuent?, y el denominador la dife­rencia entre valor acumulado a final de período de inversión y el descuento hecho al comienzo. Otra forma de analizar el resultado es ver que i o su equivalente d, es el factor por intermedio del cual se acumula una unidad monetaria en un año a partir de un capital de tamaño 1 - d.

La semejanza radica en que el numerador de (5.11) también es el interés del capital en juego, y el denominador es la diferencia del capital a final de inversión y el descuento retenido al inicio. Ahora, Px es el factor que permite acumular una unidad monetaria en un tiempo t incierto a partir de una inversión inicial Ax. La conclusión general final es que el seguro es un sistema de acumulación con riesgo; en el capítulo siguiente es retomado nuevamente este concepto.

Una fórmula similar a (5.11) es obtenida dividiendo ambos lados de la igualdad en (4.26) por ªx:'"ñ]:

1 d · Ax:n] Px:n] = -.. - -d= A

ªx:'"ñ] 1 - x:'"ñ] (5.12)

Todo el análisis anterior puede ser aplicado a los tipos de seguros no . mencionados, como son los diferidos, crecientes y decrecientes, con forma de pago nivelada o no nivelada.

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IL

168 Primas Netas

5.2 Primas semicontirmas

En esta sección se presentará. la forma de pago anual para seguros frac­cionarios o continuos. Las primas anualizadás para seguros que pagan sus beneficios al final de una fracción m-ésima de año· no reciben nombre espe­cial, pero si los seguros pagan los beneficios e!!-01-momento de muerte, las primas netas se llaman semicontinua.s.-

En el caso de beneficios pagaderos al final de la fracción m-ésima de año, la notación y fórmula de los seguros más importantes son· como sigue:

Seguro entero de vida:

(5.13)

Seguro temporal a n años:

(5.14)

Seguro dotal a n años:

(5.15)

Anualidad anticipada, vitalicia y diferida n años:

(5.16)

Por su parte, las primas netas semicontinuas de los seguros analizados son:

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Contingencias de vida individual 169

Seguro entero de vida:

(5.17)

Seguro temporal a n años:

(5.18)

Seguro dotal a n años:

(5.19)

Anualidad anticipada, vitalicia y diferida n años:

(5.20)

Si para el cálculo de las primas anteriores se cuenta únicamente con mo­delos tabulares como los del anexo 1, este debe ser hecho con base en el uso de aproximaciones. Usando el supuesto DUM, las primas pueden ser aproximadas con base en las primas totalmente discretas; en el caso del se­guro entero de vida con valor asegurado constante de una unidad monetaria se tiene que:

(5.21)

5.3 Primas fraccionarias ·

Las primas son frecuentemente pagaderas en periodos m-ésimos de año. Al­gunas primas obtenidas aplicando el principio de equivalencia, o el concepto de pérdida para seguros con beneficios pagaderos al final del año de muerte y para la renta diferida anual son:

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lL

170

Seguro entero de vida:

p(m) = Ax X •• (m)

ax

Seguro dotal puro a n años:

A i p(m) 1 = x:n]

x:"ñ] .. (m) a x:n]

Seguro temporal a n años:

Seguro dotal· a n años: .

Al p 1 (m) = x:n]

x:"ñ] .. (m) a x:n]

p(m) = Ax:"ñ] x:n] .. (m) a x:"ñ]

Renta vitalicia, anticipada y diferida:

Primas Netas

(5.22)

(5.23)

(5.24)

(5.25)

(5.26)

Es importante tener en cuenta que p(m) /mes la prima pagadera en cada m-ésima de año. La prima fraccionaria puede aproximarse en función de la prima anual usando el supuesto D UM; en el caso particular de un seguro de vida entera reemplazando (4.46) en (5.22):

Dividiendo numerador y denominador por iix y con base en (5.2) y (4.25) se expresa la prima fraccionaria en término de la prima anual:

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Contingencias de vida individual 171

p(m) ~ Px x a(m) - {3(m) · (Px + d)

(5.27)

Se puede tener otra forma de relacionar, la . prima fraccionaria con la anual despejando Ax de (5.22) y de (5.2), para luego igualar las ecuaciones y despejar la prima fraccionaria:

p(m) . a,(m) _ A X X - X

p(m) = p . °'x X X .. (m)

ax

Para el seguro dotal es fácil demostrar que:

hp(m) =

x:n]

(5.28)

(5.29)

Ejemplo 5.3: Con la información de ejemplo 5.2 y con base en el supuesto de D UM calcular la prima neta mensuaL

(12) 1.000 · M3s 1.000 . P35 ~ a(12)N35 - D3s . {3(12) = 6, 1151

La prima mensual del seguro es $6,1151/12 = $0,51. .t.

Si los beneficios son pagaderos en fracciones m-ésimas de año, se. tiene la siguiente notación y fórmula para los seguros tratados más importantes:

Seguro entero de vida:

A(m) p(m) (A(m)) = _x_.

X .. (m) ax

Seguro dotal puro a n años:

A(m) 1

p(m) (. A(m) 1) == x:n] x:nj .. (m)

ªx:nj

(5.30)

(5.31)

i

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iL

172

Seguro temporal a n años:

Seguro dotal a n años:

A(m) p(m) (A (m)) = x:nj

x:nj .. (m) a x:nj

Renta vitalicia, anticipada y diferida:

. ..(m) p(m) (n a<m)) = n/ªx

/ X •• (m) ªx:nj

Si el seguro es entero continuo la prima fraccionaria es:

p(m) fAx) = Ax \.n. .. (m)

ax

Primas Netas

(5.32)

(5.33)

(5.34)

Las primas para otros tipos de seguros presentan fórmulas similares a la anterior.

5.4 Primas totalmente continuas

En esta sección se trata el caso en que se refina tanto el pago de beneficios, como el pago de primas netas. Al ser ambos casos continuos, las primas reciben el nombre de primas totalmente continuas.

Las primas requieren que la esperanza de la variable aleatoria determi­nante de la pérdida para el asegurador sea cero. Continuando las ilustra­ciones con base en el seguro entero de vida con valor asegurado constante:

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Contingencias de vida individual

T - -L=v -Px·ªTI

173

(5.35).

Si to es el tiempo tal que L = O, la muerte antes de to resulta en pérdida para el asegurador y si sucede después produce pérdida negativa o ganancia. Despejando y· tomando la esperanza:

(5.36)

Con base en el mismo criterio se obtienen las primas de otros seguros.

Seguro dotal puro a n años:

A i

p (A 1 ) = x:ñ] x:nj -a -;;,

x:n1

(5.37)

Seguro temporal a n años:

(5.38)

Seguro dotal a n años:

(5.39)

Anualidad vitalicia y diferida n años:

(5.40)

Si en (5,36) los pagos se limitan a h períodos, se obtiene un valor de prima:

-n) Ax hP\Ax = ::-­a x:7il

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\L

174 Primas Netas

5.5 Primas distribuibles

El cobro de una prima distribuible permite a la aseguradora devolver la porción de prima correspondiente al lapso existente entre la muerte del ase­gurado y la fecha del siguiente pago.

La prima distribuible pagadera m-ésimamente en h años del seguro en­tero de vida con valor asegurado pagadero en el momento de muerte es:

P{m}(A ). _ Ax h x - .. {m}

a x:h]

Si las primas son consideradas anuales entonces m = 1 y h --+ oo:

(5.41)

(5.42)

(5.17) y (5.42) son primas anuales para seguros continuos, la diferencia entre ellas radica en el desembolso provisto en el momento de muerte por la prima distribuible. Por tanto, la diferencia entre las primas dará la prima neta anual para el reembolso cüya prima simple neta se nota por A; R.

(5.43)

Reemplazando en (5.43) los resultados de (5.17) y (5.42):

El valor de la prima neta única para el reembolso en el seguro entero de vida cuya prima neta es pagadera anualmente será entonces:

(5.44)

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Contingencias de vida individual 175

Generalizando el concepto:

(5.45)

El análisis anterior puede extenderse a otros tipos de seguros, en el ejer~ cicio 9 se propone el desarrollo de la prima neta del reembolso para el seguro dotal.

5.6 Primas comerciales

En la práctica las primas deben servir para cubrir los beneficios del seguro de vida y los gastos, y además para dejar un margen de utilidad. Los gastos principales son las comisionés de venta y los gastos de administración, estos últimos son vistos como gastos de expedición y de mantenimiento del seguro.

Por facilidad del cálculo de la prima comercial, todos los gastos pueden incluirse dentro de la prima neta como un solo factor, el cual se conoce como factor de gastos y se nota por G. También es común que el margen de utilidad sea incluido dentro de dicho factor. Si el" factor de gastos está cargado sobre la prima neta entonces la prima comercial será:

PC= PN +PN ·G=PN · (l+G)

PC : Prima Comercial

PN: Prima Neta

G : Factor de Gastos

(5.46)

Corrientemente los gastos son recargados sobre la misma prima comer­cial, así:

PC=PN+PC·G

PC= PN 1-G

(5.47)

Los factores de gastos pueden ir dentro de la prima comercial por sepa- ~ rado figurando como porcentajes de la prima o como porcentajes del valor 1

a.segurOOo. 1

1

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,L

176 Primas Netas

Dentro de los relacionados con el valor asegurado pueden citarse los gastos de emisión de la póliza o gastos a.

Los factores relacionados con la prima son los pagos por comisiones de venta y renovación de las pólizas o gastos 6, y los de cobranza o gastos (3. Si la venta del seguro es a prima única no existe el recargo por cobranza. Así pues, las comisiones pueden ser pagadas a los .intermediarios al comienzo del vigor de la póliza en una única suma, o como pagos anuales con porcentajes constantes o variables de la prima anual.

Los gastos de administración pueden ser expresados como porcentaje de la prima comercial (gastos tipo -y), o como porcentaje del valor asegurado pagado en toda la vigencia del seguro, excepto el primer año, para este se establecen cargos fijos por póliza relacionados con la emisión.

Los cargos fijos de emisión más importantes son los relacionados con la selección de asegurados originados una sola vez en cada póliza, como son los gastos por exámenes médicos. A medida que el valor asegurado crece es necesario ser más exhaustivos en·los análisis médicos; los análisis esenciales son los de tensión arterial, el ECG y el chequeo médico general. Si el valor asegurado es muy grande, son incluidos otros análisis como el de prueba de esfuerzo y Rx. Hasta cierto monto de valor asegurado considerado bajo no hay exámenes, sólo se requiere de una declaración de asegurabilidad por parte del asegurado donde él constata su estado de salud. Otros gastos de emisión como los de papelería y publicidad por no depender mayormente del valor asegurado, son incluidos como montos fijos dentro de la prima comercial.

Es claro que los gastos no son los mismos en cada uno de los años, para el caso del primer año de vigencia generalmente se tiene que los gastos son muy superiores que los de años subsiguientes. Es por eso que algunos de los generados allí son diferidos en períodos más largos al año o en toda la vigencia del seguro.

El cobro de los gastos no es rígido, cada compañía puede variar los criterios según su conveniencia. Teóricamente se puede ser más explícito con los factores de gastos, pero en la práctica generalmente son usados los factores globales como se ilustró en principio.

En los seguros de renta la caiga obedece básicamente a gastos de adminis­tración, por razones obvias no hay exámenes médicos de ingreso al seguro.

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Contingencias de vida individual

Ejemplo 5.4: Si en la aplicación de la sección 3.10 se fija un factor de gastos- del g% para gastos de administración y pago de comisiones, y del e% pai;a gastos de emisión, cargados ambos sobre la prima comercial, entonces:

PC = PNU + g% · PC +e%• PC

PC= PNU 1-(g+C)%

El porcentaje g se compone del 10% para comisión de intermedia­ción y 5,5% para gastos de administración; los gastos de emisión serán del 0,5%. Como el seguro es a prima única, es claro que no se ten!?;a en cuenta la _concentración del cobro de una porción de gastos en los primeros años de vigencia del séguro. Aplican­do los porcentajes establecidos a los valores de prima neta única dados en el cuadro 3.1, se presentan algúnas primas comei:ciales del seguro:

Cuadro 5.2: Primas comerciales de la aplicación 3.10

Edad Prima Comercial

20 0,024 21 0,027 22 0,029 23 0,032 24 0,036 25 0,040 26 0,044 27 0,048

A un asegurado de 23 años el seguro le costará 3,2 centavos por cada peso de valor asegurado. Si compra un millón de valor asegurado el seguro le costará $1'000.000*0, 032 = $32.000, pero si compra el seguro de tal forma que obtenga un crecimiento en el período de diferimiento con un factor geométrico del 10%, la prima le costará 32.000*(1 + 0.1)12 = 100.430. Jt.

177

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178

ll

Primas Netas

Ejemplo 5.5: Para un seguro temporal a cinco años pagadero anualmente se fijan los siguientes gastos en rubros globales:

Administración: 4% de la prima comercial anual. Comisión: 30% de la prima comercial anual. Emisión: 5 unidades por cada mil de valor asegurado.

P · ii ·si = 1.000 ·Al "El + o, 3 · P + o, 04 · P + 5 x .... , x:51

1.000 · A1 ,5' +5 P= X,v¡

ªx:5] - 0,34

P es el valor de la prima por cada mil de valor asegurado en el primer quinquenio. Dado que la administración es menos onerosa en años posteriores al inicio del contrato, la renovación del seguro para tomadores que . deseen continuar con la protección, tiene primas más_ económicas._ Los rubros de gastos pueden fijarse en este ejemplo como sigue:

Administración: 3% de la prima comercial anual. Comisión: 20% de la prima comercial anual.

P' · ªx:5] = 1000 · A~:5] + 0.2 · P + O, 03 · P'

1000 · A1

P' = x:5] iix:5] - O, 23

P' sería la prima por 1.000 de valor asegurado en renovaciones posteriores.

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Contingencias de vida individual 179

L.

EJERCICIOS

Sección 5.1 a 5.2

l. Demostrar e interpretar el resultado Px:n] = nPx + P;:n¡(l - Ax+n)-

2. Desarrollar las fórmulas (5.4) a (5.6) con base en la variable aleatoria

3. Calcular la prima anual de un seguro con cobertura vitalicia después de m años y pagadero al final del año de muerte. La prima se cancela en el período de diferimiento, en donde los primeros h años es la mitad a la de los restantes m - h pagos ( h < m).

4. Calcular el valor que debe pagar un hombre de 55 años anual y anticipadamente durante 5 años, para recibir una renta vitalicia desde los 60 por 1.000 dólares anuales anticipados. Usar la tabla del anexo 2.

5. a. Si a3:2] = 1, 75 , 2P3 = O, ~2 e i = O, 2 calcular PI:2],

b. Si Ax= i = O, 1 calcular Px.

c. Si Px:nJ = O, 2 , . d = O, 1 y A!:nJ = O, 05, calcular P;:n¡.

Sección 5.3

6. Demostrar (5.29)

7. Con base en el resultado de la aplicación de la sección 3.10:

a. Desarrollar la prima neta pagadera mensualmente en el período de diferimiento.

b. Calcular para una persona de 25 años, la prima neta fraccional mensual por peso de valor asegurado y pagadera en el período de diferimiento limitada en 5 años. Usar la tabla del anexo l.

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/. l!i r

\L

180 Primas Netas

Secciones 5.4 y 5.5

8. Demostrar:

asumiendo D UM demostrar:

a. P(Ax) = *Px

b. P(~:n¡) = *p::nJ P(A ) _ i pl + p 1

C. x:n] - ó x:n] :i::n]

9. Mirar que la prima simple neta para el reembolso del seguro dotal cuya prima neta es pagadera anualmente tiene el resultado:

APR = P(A ) (Ax:n] - Ax:n]) x:n] x:n] Ó

10. Si P(Ax) = O, 12 y ó = O, 05 calcular Px con base en el supuesto de DUM.

11. Dado que i = 0,06 y Ax = 0,524 calcular p{l}(Ax) suponiendo DUM.

Sección 5.6

12. Con base en la aplicación de la sección 3.10, calcular la prima co­mercial anual limitada.en cinco años que debe pagar una persona de 25 años por un valor asegurado inicial de una unidad monetaria. Tomar como base técnica el anexo 1 y la información de gastos del ejemplo 5.5.

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Capítulo 6

Reservas de primas netas

En el momento de emisión de una póliza se tiene previsto el e_quilibrio entre el valor presente de los beneficios que debe hacer la aseguradora y el valor presente de las primas que debe pagar el asegurado. Transcurrido un tiem­po del contrato dicho equilibrio no permanece; en los contratos de seguros de vida, el valor presente aumenta para los beneficios asumidos por la ase­guradora y decrece para los pagos del asegurado. Para la mayoría de los contratos de rentas ambos valores presentes disminuyen. A esta diferencia de valores presentes después de un tiempo transcurrido es a lo que se le conoce como reserva:

Reserva = Valor presente de beneficios futuros - Valor presente de pagos futuros

Tal diferencia se ocasiona porque las primas netas iniciales son superiores a las necesarias para cubrir el riesgo del período de_pago correspondiente. El exceso de dinero es usado para pagar el riesgo de períodos finales de la póliza, pues ahí las primas son insuficientes. El gráfico siguiente sirve para ilustrar este comentario en el caso de las primas niveladas.

181

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tL

182 Reservas de primas netas

Primas anuales necesarias

faltante Prima nivelada

--"""""------------Edad (x)

Transcurrido un tiempo sin ocurrir la muerte de un asegurado, la ase­guradora podrá disponer del dinero que sirvió para pagar la protección del período. El excedente de prima lo deberá reservar para el riesgo que aún no ha corrido y poder cumplir con el pago de beneficios comprometidos, eso si, asumiendo que las primas futuras serán canceladas por el asegurado. La reserva es pues, úna porción de primas que aún no han sido devengadas des­pués de un tiempo específico. En caso de cancelación del contrato por parte del asegurado, la compañía está en la obligación de devolver este capital, una vez descontados los respectivos gastos de cancelación y demás gastos que se hayan diferido a lo largo del contrato.

Ejemplo 6.1: Con la información del ejemplo 5.1, asumiendo que el asegurado de 75 años aún está vivo 23 años después de celebrado el contrato, se calcula la diferencia entre el valor pre­sente actuarial de beneficios futuros menos el valor presente de primas "futuras.

En el cuadro 5.1 se pueden ver varias de las cantidades necesarias para los cálculos, las cuales son extraídas de la tabla del anexo l.

Los valores presentes de la obligación del asegurador y asegurado son en su orden de mención:

v ·q93 +v2 ·p93 ·q99 = o,9091 · ( 0,857143) +o,8264· (0,142857) · (1) = o,89728

P1s+P1s•v•pg3 = O, 0796+0, 0796·(0, 9091) ·0, 142857 = O, 08994

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Contingencias de vida individual

El valor de reserva o diferencia de valores presentes entre las obli­gaciones de asegurador y asegurado es 0,80734. Esta diferencia de valores presentes puede arreglarse de la siguiente forma:

El arreglo muestra para cada año, la diferencia entre beneficios a cargo del asegurador y el valor presente de primas futuras, ponderada por la probabilidad de que se haga efectiva tal dife­rencia. Como cada diferencia es un valor particular de la variable aleatoria que define la pérdida del asegurador, entonces el valor de reserva está definido por el valor esperado de la pérdida del asegurador en el punto x + k, donde k es el número de años posterior a la fecha de celebración del contrato. El cálculo del valor esperado es entonces:

(O, 9091 - O, 0796) · O, 857143+

(O, 8264- O, 1520) · O, 142857 · (1) = O, 80734 A

183

6.1 Reserva de las primas totalmente discretas

De acuerdo con la conclusión del ejercicio 6.1, la determinación de estas reservas parte de la definición de la variable:

J: Tiempo futuro de vida en años enteros de (x + k)

La variable J puede expresarse como J = K - k; su función de densidad g(j) = P(J ~ j) con j = O, 1, 2, ... , es:

(6.1)

Generalizando (2.22), se obtiene la función de distribución de J:

(6.2)

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184 Reservas de primas netas

El ejemplo 6.1 conlleva a la conclusión de que la reserva k años después de la celebración del contrato, es la esperanza· matemática de la variable aleatoria que indica la pérdida del asegurador cuando el asegurado esté en edad x + k. La generalización de la pérdida prospectiva en el. tiempo k se presenta con la siguiente fórmula:

J

L b J+I ~ h k = k+J+l · V - L...J 'lfk+h · V (6.3)

h=O

donde bh es el beneficio a pagar al final del año de muerte si ella ocurre en el año de póliza h, y 'lfh-1 es la prima anual neta pagadera al comienzo del año de póliza h, con h = 1, 2, ....

Un valor particular de J indica en L, la diferencia entre el valor presente en x + k, del beneficio por muerte si ella ocurre en un lapso de tiempo que va de j a j + 1, y el valor presente de las primas hasta ese tiempo. La compañía debe aportar esta diferencia a las primas futuras para cumplir con una indemnización futura. Siendo J una variable aleatoria, el promedio de L se toma como reserva para cada uno de los asegurados a edad x + k y se nota k V. Así pues, la perdida prospectiva esperada es lo que debe tener en reserva una aseguradora para que, junto con las primas fütu.ras y apoyados en el principio de mutualidad del seguro, pueda cumplir con las obligaciones adquiridas en las pólizas.

Al separar los términos de la anterior igualdad, la segunda expresión queda en términos· de una doble sumatoria, la cual se simplifica aplicando en ella el resultado del teorema 2.2. Así se define:

entonces z(O) = 'lfk y,

j

z(j) = ¿ 7rk+h · vh

h=O

j+l j

b.z(j) = z(j + 1) - z(j) = L ?Tk+h. vh - L 'lfk+h. vh = ?Tk+j+l. vi+l

h=O h=O

Page 199: 7 - unal.edu.co

Contingencias de vida individual.

00

E [z(j)] = z(O) + ¿[1 - G(j))b.z(j) j=O

00

= 1ík + L [1 -j+l qx+k] • 1ík+j+l · vi+l j=O 00

= 1ík + L [hPx+k] · 1ík+h • Vh

h=I 00

= L [hPx+k] · 1ík+h · Vh h=O

00 00

185

k V = L bk+j+l · vi+l · jPx+k · qx+k+j - L 1ík+h · Vh · hPx+k (6.4) j=O h=O

La fórmula (6.4) muestra claramente la definición de reserva como valor presente actuaria! de beneficios futuros a cargo del asegurador menos el valor presente actuaria! de pagos futuros a cargo del asegurado.

Para un número inicial de pólizas lx+k, el valor de reserva k V es el balance al final del año de ejercicio del año k, después de acumular las primas con interés y sobrevivencia, esto es, después de poner a rentar financieramente las primas y descontar todos los pagos de beneficios por muerte. Por tal motivo a k V y k+l V se les conoce como las reservas terminales de los años de póliza k y k + l respectivamente, y a k V + 1ík como la reserva inicial del año de póliza k + l. El siguiente esquema ilustra primas, beneficios y valores terminales de reserva a partir del año de póliza k:

reserva kV k+lV k+2V beneficio bk+l bk+2

prima 7fk 1ík+I 7fk+2

edad x+k x+k+l x+k+2 año de póliza k+l k+2 k+3

Si el beneficio a pagar al final del año de muerte es bj = l y la prima anual neta pagadera al comienzo del año j es 1fj-l = Px con j = 1, 2, ... , en­tonces se obtiene la reserva para el seguro entero de vida con valor asegurado constante de una unidad monetaria, cuya notación es k Vx.

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iL

186 Reservas de primas netas

00 00

k Vx = L v,i+I · jPx+k · qx+k+j - Px L Vh · hPx+k

j=O h=O

La fórmula anterior obtenida directamente desde la definición de la pérdida prospectiva en el tiempo k adquiere el desarrollo:

L J+I p .. k =V - x·ªJ+ll

Ejemplo 6.2: Continuando con el ejemplo 6.1, la reserva a edad 98 del asegur~do de edad 75 es:

23 Vis = Ags - P1s · iig~ = O, 89728- O, 0796 · (1, 12987) = O, 80734

Para mayor precisión, los datos fueron trabajados con más deci­males que los presentados en el anexo l. .Á

(6.5)

(6.6)

Análisis separados similares a los anteriores, conllevan a las fórmulas de reserva para los seguros más comunes, y se describen como sigue:

Dotal puro a n años:

kv i -x:ri] -

{

A i - p i . ii x+k: n-k I x:ri] x+k: n-kl

1

Seguro temporal a n años :

{

A i _pi -ii _ x+k: n-kl x:ri] x+k: n-kl

vi -k x:ri] - .

o

k<n

(6.7)

k=n

k<n

(6.8)

k=n

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Contingencias de vida individual 187

Seguro temporal a n años limitado en h pagos:

A 1 _ pi •ii x+k: n-kl h x:nj x+k: h-kj k<h

(6.9)

o k=n

Seguro entero de vida limitado en h pagos:"

h {Ax+k -h Px. ªx+k: h-kl kVx =

Ax+k

k<h

(6.10)

k ?. h

Seguro dotal a n años limitado en h pagos:

A - P ·a x+k: n-kl h x:nj x+k: h-kl k<h

A . x+k:n-kl h-5:_k<n (6.11)

1 k=n

Renta vitalicia y diferida n años:

.. {n-kEx+k · iix+n - P(n¡iix)iix+k: n-kj kV(n¡ax) = '

iix+k

k<n (6.12)

La definición de las fórmulas anteriores se conoce como definición pros­pectiva ya que están dadas en términos de beneficios y primas futuras; las fórmulas por tanto, reciben el nombre de reservas prospectivas.

'

!

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1; !··' .1. F..

!'· ~-1 ;·.•

188 Reservas de primas netas

Ejemplo 6.3: Analizar la evolución de la reserva de un seguro temporal a 5 años con valor asegurado de $1.000 y pagadero al final del año de muerte. Se supone que toda la cohorte del grupo de 40 años según el modelo tabular de sobrevida del anexo 1 compra el seguro.

La prima anual es: 1 · M40-M4s

1.000-P40:5] = 1.000· N40

_ N45

= 3, 790657

Las columnas (1) a (10) del siguiente cuadro especifican la pro-yección del total de primas, de su rendimiento bajo la tasa de interés supuesta, de los respectivos pagos de beneficios y de la reserva.

Cuadro 6.1: Proyección de la reserva de un seguro temporal a 5 años:

(1) (2) (3) (4) (5) (6) Año Edad Sobrevivientes Muertes esperadas Primas esperadas a Fondo esperado a

esperados a en el año comienzo de año comienzo de año

k comienzo de año p · (3)k (5)k + (9)k-1

1 40 92.936 371 352.288,567 352.288,567 2 41 92.565 376 350.882,233 367.399,658 3 42 92.189 383 349.456,946 377.596,570 4 43 91.806 394 348.005,124 380.361,351 5 44 91.412 408 346.511,605 370.909,091

(1) (2) (7) (8) (9) (10) Año Edad Interés esperado Pagos esperados Fondo esperado a Reserva

a fin de año a fin de año fin de año 1.000 'k ~~:5] k 0, 1 · (6)k 1.000 · (4)k (6)k + (7)k - (8)k (9)k/{(3)k - (4)k}

1 40 35.228,857 371.000 16.517,424 0,17844 2 41 36.739,967 376.000 28.139,623 0,30524 3 42 37.759,657 383.000 32.356,226 0,35244 4 43 38.036,135 394.000 24.397,486 0,26689 5 44 37.090,909 408.000 0,000 0,00000

La columna (9) o fondo esperado a fin de año es la reserva total en poder de la compañía, la cual es especificada póliza a póliza por un valor fijado en la columna (10).

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Contingencias de vida individual

El valor de reserva al comienzo de la edad 40 vale cero y al final 0,17844. Así mismo, la reserva terminal del año 44 (e inicial en 45 pues no hay pago de prima), también vale cero, lo cual es lógico, pues siendo la reserva un tipo de provisión guardado para prever el pago de beneficios futuros, entonces no se debe guardar nada, ya que al comienzo de la edad 45 la cobertura ha cesado. &

189

Del ejemplo anterior se puede ver como la reserva crece hasta la mitad del período y de ahí en adelante comienza a descender hasta agotarse. El comportamiento general para las reservas de seguros temporales es de cre­cimiento hasta un determinado punto, para luego decrecer hasta llegar a ser cero al final del tiempo de cobertura. La figura seguida esquematiza el comportamiento de la reserva para seguros temporales.

(x) x+n

A diferencia de los seguros temporales, las reservas de los seguros de vida entera, los dotales y dotales puros siempre son crecientes, así como se ilustra en la siguiente figura.

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IL

190 Reservas de primas netas

Para los tres tipos de seguros mencionados anteriormente, si los pagos son limitados, la reserva crece rápidamente hasta el período de realización de los pagos, en adelante y hasta el final de la tabla, crece más lentamente y sólo por causa del rendimiento de la reserva hasta alcanzar el monto de valor asegurado inicial. La figura seguida muestra este comportamiento donde h representa la temporalidad de los pagos.

1-==------'---'---L-Edad ~) x+h w

En el capítulo anterior se concluyó que el seguro de vida es un sistema de acumulación con riesgo. El dinero acumulado será entregado en un momento t el cual marca la ocurrencia de un suceso: "la muerte del asegurado". Del capital invertido P y de sus rendimientos financieros se destina una parte a un fondo y la otra queda en reserva a nombre del asegurado. La reserva genera interés y se acumula junto con las otras partes de las primas futuras, de tal forma que el pago del beneficio por muerte sale de esta reserva, y lo que haga falta lo aporta el fondo.

El fondo es en realidad un sentido figurado, ninguna empresa de seguros crea uno para dar cumplimiento a sus obligaciones, lo que efectivamente hace es calcular con base en unos supuestos de mortalidad y de rendimiento financiero, la reserva que debe tener cada asegurado vivo, pues es un dinero que le pertenece y que debe ser devuelto en caso de cancelación de la póliza. Como la reserva hace unos descuentos por una mortalidad supuesta, el con­junto de descuentos de pólizas formará una provisión destinada para el pago de beneficios si los hay, en caso contrario la compañía podrá disponer de ta­l<is sumas. De todas formas como se verá en la sección 6.9, bajo condiciones especiales, parte de ese fondo se retribuirá a los asegurados.

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Contingencias de vida individual 191

En los seguros enteros si la muerte no ocurre antes de w o final de la tabla de mortalidad, la reserva acumulada será igual al capital contratado como beneficio y tendrá que ser entregada como pago del seguro. En los seguros temporales si la muerte no ocurre antes del período de cobertura, todo el dinero se va al fondo común y el asegurado terminará sin dinero acumulado propio.

6.1.1 Reservas retrospectivas: La reserva también puede determinarse encontrando la porción de prima que aún le pertenece a cada asegurado, después de descontada la parte destinada a la protección del riesgo. La deducción matemática se hace para el seguro de vida entera, las demás son semejantes. Reemplazando (3.6) y (4.14b) en (6.6):

Ahora reemplazando (3.6) y (4.14b) en (5.2) y despejando Mx, se ob­tiene que Px · Nx = Mx, entonces sumando y restando esta cantidad en el numerador de la expresión anterior de k Vx:

(6.13)

El primer término del lado derecho de la igualdad es el valor acumulado de las primas pagadas hasta un tiempo k, y el segundo es la prima simple neta necesaria para dar protección en los primeros k años y acumulada al final de ellos. La cantidad k!Cx recibe el nombre de costo acumulado del se­guro y sería el aporte que hace cada asegurado al fondo figurado mencionado anteriormente.

El cálculo de reservas así definido, está dado en términos de primas pasadas y beneficios pasados, por tal· motivo se conocen como reservas retrospectivas. Otras fórmulas por la definición retrospectiva:

1

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L

192 Reservas de primas netas

(6.14)

k<h (6.15)

Cuando el tiempo de cálculo de reserva es superior al término del pago de las primas, la definición prospectiva es más conveniente, pues sólo es necesario calcular el valor presente de los beneficios futuros, por ejemplo, si k > h entonces tVx = Ax+k· Por su parte, la definición retrospectiva es más conv:eniente calcular en períodos diferidos pues no hay costo acumulado del seguro; un ejemplo se puede ver en la fórmula (6.15).

6.1.2 Relaciones especiales: Es posible expresar las reservas sólo en función de rentas con riesgo, o de primas simples · netas de un seguro de vida, o de las primas anualizadas. Reemplazando (4.25) en (6.6):

k Vx = 1 - ( Px + d) · iix+k

Según (5.11) Px + d = 1/iix, entonces,

(6.16)

Ahora bien, reemplazando (4.24) en (6.16):

(6.17)

Por otro lado factorizando Ax+k en (6.6):

Despejando iix de (5.11) y reemplazando en la anterior ecuación:

(6.18)

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Contingencias de vida individual 193

Ahora se desarrollarán unas fórmulas que conectan reservas terminales sucesivas. Tratando de nuevo el seguro entero de vida, si sobre (3.14) se toma n = l, y se evalúa en edad x + k entonces:

Ahora reemplazando en (6.6) el resultado anterior y las expresiones de (4.22a) y (4.22b) se obtiene:

k Vx = V • qx+k + Ax+k+l • Ex+k - }!x · ªx+k+l · Ex+k - Px

= V • q:z;+k + Ex+k · (Ax+k+l - Px · Ü.x+k+l) - Px

= A x~k: TI + Ex+k 'k+l Vx - Px

Despejando la prima anual de la expresión final anterior:

(6.19)

(6.20)

La prima es suficiente para dar protección por un año de x + k a x + k + 1 y queda un excedente equivalente al término entre paréntesis de (6.20). En el excedente el valor Ex+k • k+l Vx es _la reserva terminal en k + 1 llevada al inicio del año, luego si al excedente se le suma la reserva terminal en k, toda la suma acumulará bajo interés y sobrevivencia, la reserva terminal en k + l. Esto indica, como es obvio, que la reserva final en k por si sola no acumulará la reserva final en k + l.

Ejemplo 6.4: Con base en el resultado (6.20) y la tabla del anexo 1, se presenta para un seguro de vida entera de una unidad monetaria tomado por un asegurado de 30 años, las primas de un seguro temporal a un año, el excedente comparado frente a la prima nivelada y la evolución de la reserva.

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lL

194 Reservas de primas netas

Edad Prima necesaria. Exceso Reserva Seguro temporal

a un año 30 0,00332 0,00154 0,00000 35 0,00344 0,00142 0,01014 40 0,00363 0,00123 0,02594 45 0,00427 0,00059 0,04993 50 0,00636 -0,00150 0,08243 55 0,00893 -0,00408 0,12118 60 0,01073 -0,00587 0,17365 65 0,01705 -0,01219 0,24588 70 0,02683 -0,02198 0,33164 75 0,04290 -0,03804 0,43836 80 0,07808 -0,07322 0,56304 85 0,16998 -0,16513 0,68826 90 0,29895 -0,29409 0,77963 95 0,52632 -0,52146 0,85280

La prima nivelada para (30) es de 0,00486. En la tabla se ve claramente el comportamiento ilustrado en la figura 6.1 entre las primas anuales necesarias y las niveladas. También se confirma

- el comportamiento de la reserva ilustrado en la última figura presentada en la página 148. .&

Si en (6.19) se reúnen los valores de la reserva terminal en k y el valor de la prima neta anual y luego multiplicando por 1 + i ambos lados de la ecuación:

(kVx + Px)(l + i) = qx+k + Px+k 'k+l Vx

= qx+k + (1 - qx+k)k+1 Vx

=k+l Vx + qx+k(l-k+l Vx) (6.21)

La cantidad ( 1 - k+l Vx) es el morito neto en riesgo para el año k + 1 y la cantidad (1-k+l Vx)qx+k es el costo del seguro basado en el monto neto en riesgo para el año k + 1, o esperanza de tener que pagar el monto en riesgo. La reserva inicial en k + 1 o (k Vx + Px), acumulada con interés al final del año k + 1, es suficiente para prever el monto de reserva terminal en k + 1

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Contingencias de vida individual 195

más el monto neto en riesgo de los siniestros del año k + l. Esto sugiere que la reserva puede ser expresada como Ía acumulación de las primas netas con interés, menos el costo del seguro basado en el monto en riesgo.

La prima neta anual de acuerdo con (6.21) también puede ser expresada por:

Px qx+k · V • ,(\1 - k+l Vx) + V • k+I Vx - k Vx

= Ax~k:T] · (1- k+l Vx) + (v · k+IVx - kVx) (6.22)

Este arreglo significa que la prima es suficiente para proveer un seguro de x + k a x + k + 1 por un valor asegurado equivalente al monto en riesgo más un excedente, al cual si se le adiciona la reserva que se trae del año anterior, acumulará con interés la reserva terminal del presente año.

Las fórmulas de (6.20) a (6.22) pueden generalizarse a todo tipo de seguro a partir de (6.4). Si h = 1, 2, 3, ... es el año de póliza, 7íh la prima pagadera en el inicio del año de póliza h + 1, bh+l el beneficio por muerte a pagar al final del año de póliza h + 1, h V la reserva terminal del año h y h+l V la reserva terminal del año h + 1, entonces:

1íh = (bh+l - h+l V) · V • qx+h + ( V • h+l V - h V)

6.2 Reserva de primas semicontinuas

(6.23)

(6.24)

(6.25)

Así como en el capítulo anterior se trataron las primas anualizadas para seguros fraccionarios en la sección de primas semicontinuas, seguidamente se presentan las reservas de estas primas, cuya denominación no tiene referencia especial. A continuación se presentan algunas reservas de planes especiales:

Seguro entero de vida:

(6.26)

l

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!-1

IL

196 Reservas de primas netas

Seguro temporal a n años limitado en h pagos:

(m) Al

x+k: n-kl

o

Seguro dotal a n años limitado en h pagos:

hy (A(m)) = k x:n!

1

Renta vitalicia y diferida n años:

h ~ k < n (6.27)

k=n

h ~ k < n (6.28)

h=n

k<n (6.29)

k?:.n

Si los seguros continuos son pagados sobre una base anual, las primas, como ya se dijo, se denominan semicontinuas. Las más importantes de los seguros analizados se presentan a continuación:

Seguro entero de vida:

(6.30)

Seguro temporal a n años limitado en h pagos:

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Contingencias de vida individual

A _1_ -;;:;---¡;¡ x+k: n-k 1

o

Seguro dotal a n años limitado en h pagos:

A x+k:n-kl

1

Renta vitalicia diferida n años:

k=n

k=n

_ {n-kEx+k · ªx+n - P( n/ax) · ªx+k:n-kl kV ( n/ax) =

ªx+k

k<n

197

(6.31)

(6.32)

(6.33)

Si el supuesto DU M es usado p~ra determinar las reservas semicontinuas, al igual que en el cálculo de primas de seguros, estas pueden ser evaluadas fácilmente con base en el caso totalmente discreto.

(6.34)

6.3 Reserva de primas fraccionarias

. Si las pólizas pagan los beneficios al final del año de muerte, y las primas son canceladas en fracciones m-ésimas de año, entonces la denomina.ción de prima neta fraccionaria cabe en esta clasificación de primas de seguros. La notación k v(m) sirve para definir la reserva al final de k años de dichas pólizas con primas fraccionarias p(m).

\ 1

1

1

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1

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l J ¡:

1 1

1 Í;

lL

! ~ .. ~ ;._

_..;:'.

198 Reservas de primas netas

Seguro entero de vida:

v:(m) _ A _ p(m) ... (m) k x - x+k x ªx+k

Dotal puro limitado en h pagos:

hy(m)i - A _1_

k x:nj - x+k: n-kl

o

Seguro temporal a n años limitado en h pagos: ·

Al x+k:n-kl

o

Seguro dotal a n años limitado en h pagos:

1

Renta vitalicia y diferida a n años:

(6.35)

h 5:_ k < n (6.36)

k=n

h5:_ k <n (6.37)

k=n

k<h

h5:_k<n (6.38)

k=n

k<n

(6.39)

k?:. n

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Contingencias de vida individual 199

Si las primas se pagan en fracciones m-ésimas y también los seguros pagan sus beneficios en estos espacios de tiempo, se tienen las siguientes notaciones y fórmulas de reserva:

Seguro entero de vida:

y(m) (A(m)) = A(m) _ p(m) (A(m)) . a,<m) k x x+k x x+k

Seguro temporal a n años limitado en h pagos:

hy(m) (Al (m)) = k x:nj

(m) A i

x+k: n-kl

o

Seguro dotal a n años limitado en h pagos:

A(m) - hp(m) (A(m)) . a(m) x+k: n-kl x:nj x+k: h-kl

hy(m) (A(m)) = k x:nj

1

Renta vitalicia y diferida n años:

(6.40)

k<n

k ?. n (6.43)

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rl IJ

200 Reservas de primas netas

6.4 Reserva de primas totalmente continuas

Retomando el concepto de la pérdida del asegurador, para el desarrollo de la reserva es necesario definir la variable aleatoria:

U : Tiempo futuro de vida de ( x + t)

A partir de U se define otra variable aleatoria conocida como la pérdida prospectiva en el tiempo t. Para el seguro entero de vida con valor asegurado constante es:

u --tL = V - P(Ax) · ª17] (6.44)

Un valor particular de U indica en L, la diferencia entre el valor presente en x + t del beneficio por muerte si ella ocurre en un tiempo u y el valor presente de las primas hasta ese tiempo. Esta diferencia la compañía la debe aportar a las primas futuras para cumplir con una indemnización futura.

(6.45)

Otras reservas de seguros totalmente continuos se presentan a conti­nuación:

Seguro temporal a n años:

Seguro temporal a n años limitado en h pagos:

A-1-::---,i x+t:n-'i

o

t<n (6.46)

t=n

(6.47)

t=n

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Contingencias de vida individual 201

Seguro de vida entera limitado en h pagos:

t < h

(6.48)

Seguro dotal a n años limitado en h pagos:

t < h

tv "Ax:w) = A :;;---;i \-'

1 ••1 x+t:n-'1 h -5:: t < n (6.49)

1 t=n

Anualidad vitalicia diferida:

_ _ {n-tEx+t · lix+n - P( n/ax) · ªx+t:n-ij tV( n/ªx) =

lix+t

t< n

(6.50)

Las reservas para seguros con pago de prima proporcional, pueden ser calculadas con base en las reservas de seguros continuos, la demostración se plantea con un caso particular en la sección de ejercicios.

6.5 Reserva de duraciones fraccionales

El balance es el propósito fundamental del cálculo de las reservas matemáticas de las compañías. En la mayoría de los casos la finalización de un año de seguro de un contrato vigente no coincide con la fecha de balance, por tanto en ese día, con la necesidad de determinar la reserva, los cálculos tendrán en cuenta apenas la parte del año transcurrido del seguro.

Las fórmulas para k V suponen valores enteros de k; la notación k+hV con k entero y O< h < 1, se da a las reservas con duraciones fraccionales.

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202 Reservas de primas netas

Como la motivación que conlleva su cálculo es el balance, también se les llama reservas de balance.

Una expresión exacta para la reserva prospectiva de un seguro de vida entera de duración fraccional viene dada por:

k+hVx = [vl-h '1-h qx+k+h + Ax+k+l '1-h Ex+k+h] - Pxiix+k+l '1-h Ex+k+h (6.51)

Como el cálculo no es simple, k+h V es obtenido por interpolación lineal tomando a k ¼ basado en k primas anuales y a k+h Vx y k+l Vx en k + l. El siguiente esquema ilustra la reserva inicial y terminal en el año de póliza k + 1 y sirve de guía para la interpolación:

k k+h k+l

Por interpolación lineal,

k+hVx ~ h• [ k+lVx - ( kVx +Px)] + [ kVx +Px]

= (1 - h) ( k Vx + Px) + h · k+l Vx (6.52)

La ecuación (6.52) también puede hallarse aplicando la siguiente regla general: Interpolar entre reservas terminales y adicionar el monto de la prima neta pagada en cualquier período superior a la fecha de valoración:

k k+h k+l

Interpolando entre reservas terminales:

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Contingencias de vida individual 203

Adicionando al resultado de interpolación el monto de la prima pagada proporcional a la fecha de valoración:

k+hVx::::::: h · ( kHVx - kVx) + kVx + (1- h)Px

=(1-h)(kVx+Px)+h• k+1Vx

Cuando las primas fraccionales son pagadas m veces al año se presentan dos casos a considerar:

a) h es un múltiplo de 1/m, esto es, h = j /m, y siendo k un entero positivo:

L. v(m) :::::: (1 _ i) .- k v(m) + (i) · k+l v(m) k+m m m (6.53)

b) h no es múltiplo de 1/m, esto es, h = j/m + r con r < 1/m. Interpo­lando entre kv(m) y kH v(m) y adicionando (1/m - r)P(m):

k+i..+r v(m) ~ (1 - i - r) V(m) + (_!_ - r) p(m) + (i + r) v(m) m m k m m k+l

(6.54)

La elaboración de productos de seguros de vida con coberturas especia­les muchas veces finaliza en formulaciones complicadas, como por ejemplo la aplicación dada en la sección 3.10. La aplicación de estos productos en­cuentra principal dificultad en el manejo de reservas y no en el diseño de las primas.

Hacer el desarrollo de la reserva de duración fracciona! de la aplicación 3.10 cuando se cobra una prima mensual nivelada, es tarea dispendiosa con resultados finales de fórmulas un poco complejas. Así, una solución bastante aceptable es la aplicación de los resultados anteriores obtenidos por interpolación. Apoyados en el desarrollo informático y en el cálculo de reservas terminales, sólo habría que variar. la edad y el tiempo de cobertura en la formulación de la prima única definida en (3.63), la cual se asume, estaría ya implantada como algoritmo.

71 1

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204 Reservas de primas netas

6.6 Reserva de rentas contingentes inmediastas

Como la compra de rentas se hace a prima única, el valor de reserva que debe hacer la compañía para poder cumplir con sus obligaciones futuras, corres­ponde al valor presente de la renta para el mismo asegurado, pero cambiando los parámetros inherentes a su cálculo que varían con el tiempo. Siendo así el caso, la misma formulación del valor presente sirve expresamente para el cálculo de reserva, sólo toca ir recalculando los valores presentes con sus correspondientes parámetros.

Transcurrido un tiempo del contrato el valor presente de los beneficios asumidos por -la aseguradora disminuyen si los pagos son constantes y anua­les, no ocurre lo mismo cuando se trata de algunas anualidades con pagos fraccionarios y con crecimiento geométrico. Para ilustrar lo anterior con­sidérese la aplicación de la sección 4.8 en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.5: En la sección 4.8 se determinó que el valor pre­sente actuai;ial de una renta inicial en septiembre de una unidad monetaria pagadera mes vencido, creciente en la inflación cada primero de enero, es de 144,5 para una persona que cumple 62 años en mayo. La inflación proyectada es del 15% y la tasa de interés técnico bruto del 19,6% está en exceso de la inflación en 4%.

Fecha 1 Edad actuaria! VP Reserva= VP*l.000*(1, 15r Sep./ Z 62 144,5 144.500 Oct./ Z 62 145,9 145.900 Nov./ Z 62 147,3 147.300 Dic./ Z 62 148,7 148.700 Ene./Z + 1 63 130,6 150.190 Feb./ Z + 1 63 131,7 151.455 Abr./ Z+l 63 134,1 154.215 Jun,f Z + 1 63 136,5 156.975 Ago./ Z +1 63 139,1 159.965 Oct./ Z + 1 63 141,7 162.955 Dic./ Z + 1 63 144,4 166.060 Ene./ Z +2 64 126,8 167.693 Sep./ Z +2 64 136,2 180.125

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Contingencias de vida individual

En la tabla seguida se muestran los valores presentes de las rentas con valor inicial de una unidad monetaria (V P), en distintas fechas de cálculo de acuerdo con las fórmulas dadas en (4.91) y ( 4.92). También se presenta la reserva para una renta con pago inicial de 1.000 la cual crece cada 1 ° de enero en una inflación proyectada del 15%. La fecha de expedición ocurre en el año Z y n = O, 1, 2, ... , es el número de cambios de año. Dentro de cada año el V P aumenta porque el descuento por cada pago mensual, es inferior al aumento mensual de la reserva por concepto de un interés anual del 19,6%. El V P de diciembre a enero disminuye porque aumenta la edad actuarial, pero el valor de reserva para una renta inicial de 1.000 sigue aumentando, porque el pago mensual ha aumentado en un 15%. La siguiente tabla continua mostrando la evolución de las cifras pero en períodos anuales.

205

Fecha Edad actuarial VP Reserva= VP*l.000*(1, 15)n Sep./ Z Sep./ Z +3 Sep./ Z +8 Sep./ Z + 13 Sep./ Z + 18 Sep./ Z + 23 Sep./ Z +28 Sep./ Z + 33 Sep./ Z + 38 Sep./ Z +41 Sep./ Z +42 Sep./ Z +43 Sep./ Z +44 Sep./ Z +45 Sep./ Z +46 Sep./ Z +47 Sep./ Z + 48 Ene./ Z + 49

62 65 70 75 80 85 90 95 100 103 104 105 106 107 108 109 110 111

144,5 132,0 111,3 91,3 72,6 56,0 41,8 30,3 21,4 17,6 16,6 15,4

· 13,9 12,0 9,7 6,3 2,9 0,0

144.500 200.756 340.469 561.750 898.458

1.393.922 2.092.743 3.051.205 4.334.427 5.421.558 5.880.542 6.273.759 6.512.081 6_.465.231 6.009.971 4.488.891 2.376.262

o

Sólo después de 44 años de vigencia de la póliza, comienza a descender la reserva hasta agotarse, debido a que el crecimiento en los pagos comienza a ser más fuerte· que el crecimiento de la reserva. A

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206 Reservas de primas netas

6. 7 Valores de cesión

Al rescindirse una póliza de seguro de vida inmediatamente cesan las obli­gaciones del asegurador y éste debe devolver al aseguradolas primas corres-pondientes al. riesgo no devengado. ·

La devolución de primas no corresponde a la totalidad de la reserva, en primer lugar porque la aseguradora descuenta los gastos de adquisición que se esperaba recaudar en primas futuras. En segundo lugar, se retiene una parte de la reserva a manera de indemnización por los perjuicios causados con la rescisión prematura del contrato.

El resultado financiero exitoso de una compañía de seguros, depende básicamente del cumplimiento de los principios de riesgo asumidos en los cálculos de las primas y de las colocaciones estables y lucrativas de los re­caudos. Si las cancelaciones son numerosas, se ye seriamente afectada Ja ley de los grandes números la cual es imprescindible para·el equilibrio del se­guro, además se desestabilizan los proyectos de inversión, produciendo muy probablemente pérdÍdas por descolocaciones financieras.

El proceso de selección que rechaza o declina contratos considerados como malos riesgos y que recarga primas ante la presencia de riesgos adicio­nales de muerte en los asegurados, se deteriora por las salidas tempranas, pues las rescisiones no son precisamente de quienes se consideran con al­to riesgo de muerte. Estas salidas dan lugar a un proceso conocido como antiselección; tal contexto de inpersistencia de lós riesgos buenos para la aseguradora afecta la estabilidad del seguro.

El valor de reserva disminuido por el valor presente de los gastos diferi­dos y de una cantidad indemnizatoria, es a lo que se llama valor de cesión (VC), también conocido como rescate. Los principios básicos de cálculo son iguales a los de reservas puras, pero la prima neta es reemplazada por la prima pura cargada con la porción de gastos de adquisición. El resultado es un valor de reserva menor al de reserva pura.

VCk = A(k) - Pz '. a(k)

= { kV +P · a(k)} - Pz · a(k)

= kV - (Pz - P) · a(k) (6.55)

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Contingencias de vida individual 207

A( k), a( k), k V y V Ck son en su orden los símbolos de una prima simple neta del seguro, de una anualidad, de la reserva y del valor de cesión apropia­dos para el seguro analizado en el tiempo k = 1, 2, 3, ... ; P es la prima pura del seguro y Pz es la prima pura cargada o prima ajustada. A Pz también se le llama prima de Zillmer en honor al matemático alemán Augusto Zillmer, quien fue el primero en tratar el tema con rigor matemático. Su propuesta en 1.863 ha evolucionado con el transcurso de los años.

Zillmer calculó Pz asumiendo que la primera prima del seguro, es inferior a las restantes en una cantidad E 1, valor de los gastos de adquisición. Según el principio de equivalencia:

"a" es el símbolo apropiado de una renta vencida, pues en la fórmula representa el valor actual de los pagos de las primas a partir del segundo período. Despejando Pz de la anterior ecuación y luego reemplazando en (6.55) se obtiene:

(6.56)

La fórmula en (6.56) se conoce como reserva de Zillmer y a E1 se le llama la cuota de Zillmer, generalmente limitada por los entes fiscalizadores de cada país. Sobre E1 puede ser tenida en cuenta la penalización por rescisión temprana, en consecuencia a VCk algunos autores lo notan como:

(6.57)

En 1.975 .la Sociedad Americana de Actuarios obtiene la prima de Zillmer separando los gastos en dos tipos E y E1 para expresar la prima comercial.

E_ es _un md onto podr 1unidad de vEalor aseguradt~dpadagaadd:r~ cad

1 a perio

1do :n el !

termmo e pago e seguro y 1 es una can 1 1c10na para e primer ! a año, pretendiendo definir la porción de carga de gastos de adquisición; se fil

supone que este valor está incluido en P.. - - _ J

1

"

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208 Reservas de primas netas

Multiplicando por a en ambos lados de la ecuación:

PC · a = (Pz + E) · a = Pz ·a+ E· a = { P · a+ e· a} +E· a

e sería la cuota anual cuyo valor presente con riesgo es el monto total E1, así:

(Pz + E) · a = A+ E1 + E · a Pz = A~ E1 = p + ~1

a a

De la anterior fórmula tomando a = a+ 1 se llega al supuesto de Zillmer.

Es posible que VCk presente valores negativos en los primeros años de vigencia del seguro. En el primer año el valor de cesión es:

VC1 = A(l) - Pz · a(l) = P(l) · ii(l) - Pz · a(l) = {P(l) - Pz} • ii(l)

Para evitar el contratiempo de rescates negativos se supone que VCk no puede ser ·menor a cero, luego de la anterior expresión P(l) = Pz, esto es, la ·prima de Zillmer no puede ser superior a la prima pura que corresponde a la edad superior inmediata.

6.8 Seguros saldado y prorrogado

En ocasiones el asegurado no continúa pagando las primas pero no quiere o no necesita cancelar la póliza, entonces el valor de cesión que le pertenece lo puede usar para la compra de un seguro con dos opciones. La reserva pu!3de ser invertida en un seguro entero de vida, denominándose la figura de inversión como seguro saldado. En este caso interesa encontrar el valor asegurado que puede comprar el cliente de la compañía con su valor de rescate.

El asegurado de edad x al saldar el seguro después de un tiempo t, tendrá edad x + t y un valor de cesión VCx+t• Por regla de tres simple se deduce

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Contingencias de vida individual 209

que si una prima única de monto Ax+t asegura una unidad monetaria, una prima de V Cx+t asegurará un capital V Ax+t reducido proporcionalmente, luego:

(6.58)

Si el asegurado prefiere mantener el mismo valor asegurado que tenía antes de la conversión al nuevo seguro, la figura concluye en un seguro denominado seguro prorrogado. En este caso, interesa hallar el tiempo o prórroga de vigencia de la póliza con el dinero de reserva disponible.

La reserva necesaria para asegurar una unidad monetaria en un tiempo de prórroga s desde el tiempo x + k se notará como A-1

- -:::i • Siendo poco x+k: s1

probable que s sea entero, s estará entre n y n + l, así la póliza culminará la vigencia cuando el asegurado tenga una edad entre x +k + n y x + k + n + l. Por interpolación lineal se halla el tiempo dé prórroga s.

n s

A_l __ A_l_ x+k: ni x+k: s]

n+l

A_l_ -­x+k:n+ll

A_l_ -A_l_ . _ + x+k: s] x+k: n] s-n A_1 ___ ~A_1_

x+k:n+lj x+k: n]

= n + Mx+t+n - Mx+t+s Mx+t+n - Mx+t+n+l

(6.59)

(6.60)

El tiempo de prórroga vale entonces n años enteros, más una fracción de año equivalente a la segunda parte de la expresión del lado derecho de (6.60).

Los valores de cesión generalmente son la reserva pura del seguro original puesto que las primas, aunque pertenecerán con la conversión a otro fondo de reserva, continúan dentro de la compañía. Por otro lado no hay evaluación del riesgo, a menos que el asegurado manifieste el deseo de aumentar el valor asegurado adicionando capital a la reserva; en este caso obviamente habrá que hacer el análisis de riesgo respectivo al aumento de valor asegurado.

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t,_

210 Reservas de primas netas

Cuando el seguro original es un vida universal, las compañías permiten el traslado de la cuenta de ahorros adicionándola al rescate. En algunos casos puede suceder que el valor de reserva sea mayor al requerido para generar en la conversión, obteniéndose seguros saldados con valor asegurado igual al .del seguro original, o prórrogas que llegan al final de la tabla, esto es, la conversión a seguros saldado o prorrogado daría iguales resultados.

Ejemplo 6.6: a. Una persona de 50 años tiene mi valor de cesión de 40 como resultado de una conversión a seguro saldado. Con base en la tabla del anexo 1, calcular el valor asegurado que puede comprar en la conversión.

VCso 40 V Aso = Aso = 0.1290 = 310, 1

Si la conversión es a seguro prorrogado y la persona tiene un valor asegurado alcanzado en la conversión de 550, ¿cuánto es el tiempo de prórroga del seguro?.

Con s = n + j el tiempo de prórroga, donde n son años enteros y j una fracción de año, y tomando el valor de cesión como prima única del seguro, entonces ésta en términos de las conmutaciones sería:

40 = 550,Ai = 550 · (Mso - Mso+s) = 550 · (97, 2837 - Mso+s) so:sl D50 754, 2751

Mso+s = 42, 4273

La conmutación que hace que la prima de un seguro temporal a s años cueste 40, es aproximadamente 42,4. Al observar la tabla del anexo 1, este valor se encuentra entre las conmutaciones de las edades 65 y 66, que son 43,5036 y 40,8933 respectivamente. La prórroga está determinada por una cantidad de tiempo de n = 65-50 = 15 años, más una fracción de año según (6.60) de:

. _ M5s - M65+i 43, 5036 - 42, 4273 J - M5s - M55 = 43, 5036 - 40, 8933 = O 4123

Asumiendo años de 365 días, la prórroga de la fracción de año es de aproximadamente 150 días.

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Contingencias de vida individual

El asegurado ahora de edad 50, tiene la opción de tomar un seguro entero con valor asegurado constante de 310,1, o un seguro temporal a 15 años más 150 días con un valor asegurado de 550. Á

6.9 Participación de utilidades

211

Como ya se mencionó, el seguro es un contrato jurídico que debe pagarse en todos los casos de reclamación no fraudulenta, y donde normalmente la pri­ma permanece constante sin poder ser adaptada. Siendo las obligaciones de las compañías prolongadas durante largos períodos, las primas se calculan cuidadosamente con ciertos márgenes de seguridad en los factores básicos supuestos que inciden en ella: mortalidad, interés técnico y carga adminis­trativa. Son realizadas así más probablemente, ganancias y no pérdidas.

Cuando hay ganancias desbordadas, las compañías, en aras de cumplir los principios de equilibrio del seguro, deben distribuir sus dividendos. Se devuelve parte de.la prima no usada en el pago de beneficios o no usada para administrar el negocio, además se entrega parte de los intereses ganados en exceso a la supuesta tasa de interés técnico.

Los márgenes hacen que la prima parezca alta en comparación con los beneficios convenidos. Por esto se creó una figura de corrección a posteriori en favor del asegurado que mejora las condiciones de pago del seguro o de los beneficios. La participación de utilidades es pues, "un instrumento que garantiza a los asegurados un amparo máximo tan barato como sea posible.

Las tablas de mortalidad son tales que normalmente la mortalidad real es menor a la prevista. De otro lado, el interés técnico supuesto en la acu­mulación de la reserva, debe ser lo suficientemente bajo, para que con gran seguridad a largo plazo, los intereses efectivamente devengados no lleguen a quedar por debajo de él. Normalmente ciertos rublos de gastos previstos en la prima comercial subestiman los realmente efectuados, pero ellos se compensan con ganancias provenientes de los otros.

Por lo común el interés técnico y los factores de carga administrativa evolucionan con la dinámica del mercado y las compañías los fijan según su criterio. En algunos casos debido a la competencia, se fijan factores de carga insuficientes y tasas de interés técnico muy optimistas, de modo que

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212 Reservas de primas netas

la acumulación de reservas según los intereses del mercado no alcanza los ni­veles que deberían tener con las tasas supuestas, dejando a las compañías en serías dificultades :financieras. Los patrones de mortalidad son generalmente establecidos por la entidad :fiscalizadora, tan conservadores sin ser excesivos, de tal forma que aseguren estabilidad en el mercado del seguro.

Los sistemas del reparto de dividendos varían de una compañía a otra y a menudo son complicados. Se comparan la mortalidad técnica y la real, el rendimiento efectivo de las inversiones con los intereses técnicos, y los gastos de administración previstos con los costos reales correspondientes a las pólizas emitidas. Estas analizan nllITlerosos flujos de ingresos y egresos en cada aspecto.

La forma inás usual de distribuir las utilidades es en forma de aumento de la suma asegurada, aunque también existe el pago en efectivo y la reducción de la prima. Por lo regular el reparto se da al final del ejercicio anual de las compañías y conviene iniciarlo después de un periodo de carencia en un lapso que va de dos a cinco años.

En épocas inflacionarias la participación de los beneficios cobra aún ma­yor importancia. Variaciones elevadas de los índices de inflación implican tasas de interés elevadas, pero las primas no deben ser calculadas con dichos niv:eles de tasas. Si así fuere, en algún momento los índices inflacionarios pueden caer arrastrando consigo las tasas de interés, y difícilmente las com­pañías podrían hacer crecer las reservas al tope que les permita cumplir con sus obligaciones. Usando tasas de interés técnico pequeñas los beneficios a prestar no son llamativos y van disminuyendo a causa de la inflación en el curso de vigencia del seguro; la participación en beneficios contrarresta este efecto aunque no totalmente. Algunas compañías que usan tasas bajas de interés técnico en tiempos inflacionarios, para hacer atractivos sus planes de seguros, ofrecen la participación en beneficios por adelantado asumiendo tasas atractivas sobre la inversión de sus reservas a corto plazo.

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Contingencias de vida individual

EJERCICIOS

Sección 6.1

l. Desarrollar a partir de kL las fórmulas (6.8) a (6.11).

2. Verificar si las siguientes ecuaciones son ciertas:

a. m+n+kVx = 1- (1- mVx)(l- nVx+m)(l- kVx+n+m).

213

b. m+s+kVx:nj = 1-(1- mVx:nj) ( 1- sVx+m:n-mJ) ( 1- kVx+s+m:n-m-s¡)·

3. Demostrar que kvx:m+nj = kv::ml +k vx:~ · mVx:m+ñj si O< k::; m.

4. Repetir el ejemplo 6.3 pero con una temporalidad de 10 años y edad 50.

Sección 6.2 a 6.3

5 Mostrar que 15V:(~) - (R(m) · 40 - 55 P(m)) .. (m) 40 · a55 ·

6. Con base en el ejercicio "7. b" del Capítulo 5.

a. Calcular la reserva después de tres años de vigencia del seguro.

b. Calcular la reserva después de tres años y nueve meses de vigencia del seguro. Usar el concepto de reserva retrospectiva.

Sección 6.4

7. Desarrollar a partir de tL las fórmulas (6.46) y (6.49).

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214 Reservas de primas netas

8. Demostrar:

9. Demostrar que la reserva totalmente continua puede ser usada para la prima distribuible, con base en el siguiente caso:

1 --10. Si µx = lOO-x e i = O, 06 calcular 10V(A35).

Secciones 6.7 a 6.8

11. Una persona de 40 años tiene un valor de cesión de 100 como resul­tado de una conversión a seguro saldado. Con base en la tabla del anexo 1, calcular el valor asegurado que puede comprar en la conversión.

12. Continuando con el ejercicio 11, si la conversión es a seguro prorro­gado y la persona tiene un valor asegurado alcanzado en la conversión de 2.000, ¿cuánto es el tiempo de prórroga del seguro?

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Anexos

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216 Anexos

Anexo l. Tabla colombiana de mortalidad de asegurados 84-89

X lx dx qx px ex Dx(iJ Cx(iJ Mx(i) R:x(i)

20 100.000 345 0,003450 0,996550 52,2 14.864,3628 46,6200 597,8363 9.221,9564 21 99.655 345 0,003462 0,996538 51,4 13.466,4370 42,3819 551,2163 8.624,1200 22 99.310 346 0,003484 0,996516 50,5 12.199,8336 38,6406 508,8344 8.072,9038 23 98.964 347 0,003506 0,996494 49,7 11.052,1172 35,2294 470,1938 7.564,0694 24 98.617 348 0,003529 0,996471 48,9 10.012,1499 32,1190 434,9644 7.093,8756 25 98.269 348 0,003541 0,996459 48,1 9.069,8354 29,1991 402,8454 6.658,9112 26 97.921 349 0,003564 0,996436 47,2 8.216,1059 26,6209 373,6463 6.256,0658 27 97.572 350 0,003587 0,996413 46,4 7.442,5662 24,2702 347,0254 5.882,4195 28 97.222 350 0,003600 0,996400 45,6 6.741,6991 22,0638 322,7552 5.535,3942 29 96.872 351 0,003623 0,996377 44,7 6.106,7536 20,1153 300,6914 5.212,6390 30 96.521 352 0,003647 0,996353 43,9 5.531,4789 18,3387 280,5761 4.911,9476 31 96.169 354 0,003681 0,996319 43,0 5.010,2784 16,7663 262,2374 4.631,3715 32 95.815 355 0,003705 0,996295 42,2 4.538,0323 15,2852 245,4711 4.369,1341 33 95.460 357 0,003740 0,996260 41,4 4.110,1987 13,9739 230,1859 4.123,6630 34 95.103 358 0,003764 0,996236 40,5 3.722,5704 12,7391 216,2120 3.893,4771 35 94.745 358 0,003779 0,996221 39,7 -3.371,4158 11,5810 203,4729 3.677,2651 36 94.387 359 0,003803 0,996197 38,8 3.053,3425 10,5576 191,8919 3.473,7922 j

37 94.028 361 0,003839 0,996161 38,0 2.765,2083 9,6513 181,3343 3.281,9003 38 93.667 364 0,003886 0,996114 37,1 2.504,1744 8,8468 171,6830 3.100,5659 39 93.303 367 0,003933 0,996067 36,2 2.267,6754 8,1088 162,8362 2.928,8829 40 92.936 371 0,003992 0,996008 35,4 2.053,4142 7,4520 154,7274 2.766,0467 41 92.565 376 0,004062 0,995938 34,5 1.859,2882 6,8659 147,2754 2.611,3193 42 92.189 383 0,004155 0,995845 33,7 1.683,3961 6,3579 140,4095 2.464,0439 43 91.806 394 0,004292 0,995708 32,8 1.524,0022 5,9459 134,0516 2.323,6344 44 91.412 408 0,004463 0,995537 31,9 1.379,5107 5,5974 128,1057 2.189,5828 45 91.004 427 0,004692 0,995308 31,1 1.248,5032 5,3255 122,5083 2.061,4771 46 90.577 452 0,004990 0,995010 30,2 1.129,6773 5,1249 117,1827 1.938,9688 47 90.1-25 485 0,005381 0,994619 29,4 1.021,8545 4,9991 112,0579 1.821,7861 48 89.640 525 0,005857 0,994143 28,5 923,9596 4,9195 107,0587 1.709,7283 49 89.115 570 0,006396 0,993604 27,7 835,0438 4,8556 102,1393 1.602,6695 50 88.545 619 0,006991 0,993009 26,9 754,2751 4,7936 97,2837 1.500,5302 51 87.926 669 0,007609 0,992391 26,1 680,9110 4,7098 92,4901 1.403,2465 52 87.257 718 0,008229 0,991771 25,3 614,3002 4,5953 87,7802 1.310,7564 53 86.539 763 0,008817 0,991183 24,5 553,8594 4,4394 83,1850 1.222,9762 54 85.776 803. 0,009362 0,990638 23,7 499,0692 4,2473 78,7456 1.139,7912 55 84.973 835 0,009827 0,990173 22,9 449,4519 4,0151 74,4983 1.061,0456 56 84.138 858 0,010198 0,989802 22,1 404,5776 3,7506 70,4832 986,5474 57 83.280 873 0,010483 0,989517 21,3 364,0472 3,4693 66,7325 916,0642 58 82.407 887 0,010764 0,989236 20,6 327,4827 3,2045 63,2633 849,3317 59 81.520 910 0,011163 0,988837 19,8 294,5071 2,9887 60,0588 786,0684 60 80.610 951 0,011798 0,988202 19,0 264,7450 2,8394 57,0701 726,0096 61 79.659 1.012 0,012704 0,987296 18,2 237,8379 2,7468 54,2307 668,9395 62 78.647 1.090 0,013859 0,986141 17,4 213,4694 2,6896 51,4839 614,7088 63 77.557 1.184 0,015266 0,984734 16,7 191,3735 2,6559 48,7943 563,2249 64 76.373 1.292 0,016917 0,983083 15,9 171,3200 2,6347 46,1383 514,4307 65 75.081 1.408 0,018753 0,981247 15,2 153,1107 2,6103 43,5036 468,2923 66 73.673 1.532 0,020795 0,979205 14,5 136,5813 2,5820 40,8933 424,7888 67 72.141 1.655 0,022941 0,977059 13,8 121,5828 2,5357 38,3114 383,8955 68 70.486 1.769 0,025097 0,974903 13,1 107,9942 2,4640 35,7757 345,5841 69 68.717 1.874 0,027271 0,972729 12,4 95,7126 2,3729 33,3117 309,8084 70 66.843 1.973 0,029517 0,970483 11,7 84,6385 2,2712 30,9388 276,4967 71 64.870 2.076 0,032002 0,967998 11,1 74,6729 2,1725 28,6676 245,5579 72 62.794 2.182 0,034749 0,965251 10,4 65,7120 2,0758 26,4952 216,8903 73 60.612 2.294 0,037847 0,962153 9,8 57,6624 1,9840 24,4194 190,3951 74 58.318 2.457 0,042131 0,957869 9,2 50,4364 1,9318 22,4354 165,9758 75 55.861 2.636 0,047189 0,952811 8,5 43,9195 1,8841 20,5036 143,5404 76 53.225 2.888 0,054260 0,945740 7,9 38,0427 1,8766 18,6195 123,0367 77 50.337 2.951 0,058625 0,941375 7,4 32,7077 1,7432 16,7430 104,4172 78 47.386 3.107 0,065568 0,934432 6,8 27,9911 1,6685 14,9998 87,6742 79 44.279 3.365 0,075995 0,924005 6,2 23,7780 1,6427 13,3313 72,6744 80 40.914 3.514 0,085887 0,914113 5,7 19,9736 1,5595 11,6886 59,3430 81 37.400 3.685 0,098529 0,901471 5,2 16,5983 1,4867 10,1291 47,6544 82 33.715 3.878 0,115023 0,884977 4,7 13,6026 1,4224 8,6423 37,5254 83 29.837 4.054 0,135872 0,864128 4,3 10,9437 1,3518 7,2199 28,8831 84 25.783 4.075 0,158050 0,841950 3,8 8,5970 1,2352 5,8682 21,6631 85 21.708 4.059 0,186982 0,813018 3,5 6,5802 1,1185 4,6330 15,7949 86 17.649 3.692 0,209190 0,790810 3,2 4,8635 0,9249 3,5144 11,1620 87 13.957 3.268 0,234148 0,765852 2,9 3,4965 0,7443 2,5895 7,6475 88 10.689 2.803 0,262232 0,737768 2,6 2,4343 0,5803 1,8453 5,0580 89 7.886 2.315 0,293558 0,706442 2,3 1,6327 0,4357 1,2649 3,2128 90 5.571 1.832 0,328846 0,671154 2,1 1,0486 0,3135 0,8292 1,9479 91 3.739 1.377 0,368280 0,631720 1,9 0,6398 0,2142 0,5157 '1,.1187 92 2.362 974 0,412362 0,587638 1,7 0,3674 0,1377 0,3015 0,6029 93 1.388 641 0,461816 0,538184 1,5 0,1963 0,0824 0,1638 0,3014 94 747 386 0,516734 0,483266 1,3 0,0960 0,0451 0,0814 0,1376 95 361 209 0,578947 0,421053 1,1 0,0422 0,0222 0,0363 0,0562 96 152 99 0,651316 0,348684 1,0 0,0161 0,0096 0,0141 0,0199 97 53 39 0,735849 0,264151 0,8 0,0051 0,0034 0,0045 0,0058 98 14 12 0,857143 0,142857 0,6 0,0012 0,0010 0,0011 0,0012 99 2 2 1,000000 0,000000 0,5 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001

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Contingencias de vida individual 217

Conmutaciones para una vida (i=10% ; e=4%)

Nx(i) Ax(i) ~Ax(i) Dx(e) Mx(e) Rx(e) Ax(e) 156931,7913 0,0402 0,0167 45.638,6946 7.571,3989 284.237,9927 0,165898674 142067,4285 0,0409 0,0168 43. 731,9626 7.420,0013 276.666,5937 0,169669983 128600,9915 0,0417 0,0170 41.904,3894 7.274,4267 269.246,5924 0,173595817 116401,1578 0,0425 0,0171 40.152,3009 7.134,0454 261.972,1657 0,177674636 105349,0406 0,0434 0,0172 38.472,6094 6.998,6733 254.838,1202 0,181913142

95336,8907 0,0444 0,0174 36.862,3530 6.868,1326 247.839,4470 0,186318345 86267,0553 0,0455 0,0176 35.319,0504 6.742,6128 240.971,3143 0,190905834 78050,9494 0,0466 0,0177 33.839,5864 6.621,5738 234.228, 7015 0,195675376 70608,3832 0,0479 0,0179 32.421,3467 6.504,8567 227.607,1278 0,200634993 63866,6841 0,0492 0,0182 31.062,1438 6.392,6287 221.102,2711 0,205801271 57759,9305 0,0507 0,0184 29. 759,2262 6.284,4088 214.709,6424 0,211175143 52228,4516 0,0523 0,0187 28.510,2865 6.180,0548 208.425,2336 0,216765791 47218,1732 0,0541 0,0191 27.312,8265 6.079,1443 202.245,1787 0,222574705 42680,1409 0,0560 0,0194 26.165,0298 5.981,8409 196.166,0344 0,228619686 38569,9422 0,0581 0,0199 25.064,5944 5.887,7528 190.184,1936 0,234903174 34847,3718 0,0604 0,0203 24.009,8488 5.797,0300 184.296,4408 0,241443838 31475,9560 0,0628 0,0209 22.999,1596 5.709,7966 178.499,4107 0,248261099 28422,6135 0,0656 0,0216 22.030,4640 5.625,6841 172.789,6141 0,255359309 25657,4052 0,0686 0,0223 21.101,8104 5.544,3560 167.163,9300 0,262743145 23153,2308 0,0718 0,0232 20.211,3524 5.465,5061 161.619,5740 0,270417635 20885,5554 0,0754 0,0243 19.357,5507 5.389,0641 156.154,0678 0,278395968 18832,1412 0,0792 0,0255 18.538, 7264 5.314,7609 150. 765,0038 0,286684254 16972,8530 0,0834 0,0269 17.753,2903 5.242,3528 145.450,2429 0,295289081 15289,4568 0,0880 0,0285 16.999,5520 5.171,4333 140.207,8901 0,304209979 13765,4546 0,0929 0,0303 16.275,5728 5.101,2831 135.036,4567 0,313431862 12385,9439 0,0981 0,0324 15.579,7403 5.031,4341 129.935,1737 0,322947241 11137,4408 0,1037 0,0347 14.910,2294 4.961,i440 124.903,7395 0,332734252 10007,7634 0,1097 0,0371 14.265,2153 4.889,6003 119.942,5955 0,342763863 8985,9089 0,1159 0,0398 13.642, 7387 4.815,7858 115.052,9952 0,352992602 8061,9494 0,1223 0,0425 13.J)41,1889 4.738,9568 110.237,2094 o,36.3383798 7226,9056 0,1290 0,0453 12.459,3985 4.658,7506 105.498,2526 0,373914563 6472,6305 0,1358 0,0482 11.896,4398 4.574,9995 100.839,5021 0,384568792 5791,7194 0,1429 0,0511 11.351,8497 4.487,9648 96.264,5026 0,395350968 5177,4192 0,1502 0,0541 10.825,4234 4.398,1480 91. 776,5378 0,406279539 4623,5598 0,1578 0,0571 10.317,2860 4.306,3730 87.378,3898 0,41739398 4124,4906 0,1658 0,0603 9.827,5959 4.213,5017 83.072,0167 0,428741853 3675,0386 0,1742 0,0638 9.356,7534 4.120,6436 78.858,5150 0,440392459 3270,4610 0,1833 0,0677 8.905,1323 4.028,8977 74.737,8714 0,452424236 2906,4139 0,1932 0,0721 8.472,8677 3.939,1382 70.708,9737 0,464912034 2578,9312 0,2039 0,0773 8.059,2968 3.851,4468 66.769,8356 0,477888693 2284,4241 0,2156 0,0834 7.662,8189 3.764,9419 62.918,3887 0,49132596 2• ~ 'l791 0,2280 0,0901 7.281,1697 3.678,0164 59.153,4469 0,505140877 17c 2 0,2412 0,0976 6.912,1814 3.589,0731 55.475,4304 0,519238849 1568,3717 0,2550 0,1057 6.554,2141 3.496,9590 51.886,3573 0,533543599 1376,9982 0,2693 0,1144 6.205,9195 3.400,7495 48.389,3983 0,547984792 1205,6782 0,2841 0,1236 5.866,2828 3.299,8020 44:988,6489 0,56250306 1052,5676 0,2994 0,1333 5.534,8768 3.194,0223 41.688,8468 0,577071979

915,9863 0,3151 0,1434 5.211,3282 3.083,3536 38.494,8245 0,591663671 794,4035 0,3313 0,1541 4.895,9367 2.968,3978 35.411,4 709 0,606298233 686,4093 0,3480 0,1656 4.589,4831 2.850,2495 32.443,0732 0,621039316 590,6967 0,3655 0,1779 4.292,6174 2.729,9023 29.592,8237 0,635952861 506,0582 0,3839 0,1914 4.005,6851 2.608,0707 26.862,9214 0,651092291 431,3853 0,4032 0,2062 3.728,3590 2.484,8094 24.254,8507 0,666461942 365,6733 0,4235 0,2225 3.460,3884 2.360,2372 21.770,0413 0,682072917 308,0109 0,4448 0,2405 3.201,3674 2.234,3080 19.409,8041 0,697923039 257,5745 0,4668 0,2598 2.948,5484 2.104,6186 17.175,4961 o, 713781258 213,6550 0,4894 0,2804 2.701,3564 1.970,8323 15.070,8775 o, 729571371 175,6123 0,5119 0,3013 2.456,5194 1.829,8936 13.100,0452 0,744913159 142,9045 0,5359 0,3250 2.223,5637 1.691,4195 11.270,1516 0,760679556 114,9134 0,5607 0,3507 1.997,8552 1.551,2326 9.578,7321 0,776448969

91,1354 0,5852 0,3770 1.775,0263 1.405,2443 8.027,4995 O, 791675203 71,1618 0,6102 0,4051 1.560,1671 1.258,6554 6.622,2552 0,806743936 54,5634 0,6353 0,4345 1.352,3507 1.110,8454 5.363,5998 0,821418127 40,9608 0,6597 0,4641 1.150,7686 961,2767 4.252,7544 0,835334539 30,0171 0,6826 0,4926 956,1652 810,9337 3.291,4777 0,848110449 21,4201 0,7041 0,5202 774,0802 665,6243 2.480,5440 0,859890592 14,8399 0,7226 0,5442 605,1359 526,4523 1.814,9197 0,869973662 9,9764 0,7406 0,5681 460,1417 404,7325 1.288,4674 0,879582415 6,4799 0,7580 0,5919 338,8467 301,1353 883,7349 0,888706618 4,0456 0,7747 0,6153 240,3752 215,6963 582,5996 0,897332036 2,4129 0,7908 0,6383 163,2799 147,8462 366,9033 0,905477447 1,3643 0,8061 0,6607 105,3711 96,2175 219,0570 0,913129567 0,7246 0,8207 0,6826 64,0048 58,9039, 122,8395 0,920304449 0,3572 0,8346 0,7038 36,1650 33,5259 63,9356 0,927024116 0,1609 0,8477 0,7244 18,7149 17,4667 30,4098 0,933303684 0,0648 0,8603 0,7444 8,6964 8,1680 12,9431 0,939238133 0,0227 0,8725 0,7642 3,5208 3,3269 4,7751 0,944918189 0,0065 0,8844 0,7841 1,1804 1,1219 1,4482 0,950427684 0,0014 0,8973 0,8060 0,2998 0,2867 0,3263 0,956255283 0,0002 0,9091 0,8264 0,0412 0,0396 0,0396 0,961538462

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218 Anexos

Anexo 2, Tabla colombiana de mortalidad de rentistas sexo masculino 80-89,

X lx dx -qx px e-:z: Dx{iJ Nx{iJ Sx\i/ 15 100.000 30 0,000300 0,999700 60,8 23.939,2049 260.298,8959 2. 777.894,2219 16 99.970 35 0,000350 0,999650 59,8 21.756,3847 236.359,6909 2.517.595,3261 17 99.935 40· 0,000400 0,999600 58,8 19. 771,6070 214.603,3062 2.281.235,6352 18 99.895 45 0,000450 0,999550 57,8 17.966,9938 194.831,6992 2.066.632,3289 19 99.850 50 0,000501 0,999499 56,8 16.326,2729 176,864, 7054 1.871.800,6297 20 99.800 54 0,000541 0,999459 55,9 14.834,6341 160.538,4325 1.694.935,9243 21 99.746 58 .0,000581 0,999419 64,9 13.478,7339 145. 703, 7985 1.534.397,4917 22 99.688 62 0,000622 0,999378 53,9 12.246,2694 132.225,0645 · 1.388.693,6933 23 99.626 67 0,000673 0,999327 53,0 11.126,0481 119,978,7951 1.256.468,6288 24 99.559 71 0,000713 0,999287 52,0 10.107,7870 108.852, 7470 1.136.489,8336 25 99.488 74 0,000744 0,999256 51,0 9.182,3443 98. 744,9600 1.027.637,0867 26 99.414 79 0,000795 0,999205 50,1 8.341,3767 89.562,6157 928.892,1267 27 99.335 82 0,000825 0,999175 49,1 7.577,0438 81.221,2390 839.329,5110 28 99.253 87 0,000877 0,999123 48,2 6.882,5355 73.644,1952 758.108,2720 29 99.166 89 0,000897 0,999103 47,2 6.251,3660 66. 761,6597 684.464,0768 30 99.077 93 0,000939 0,999061 46,2 5.677,9595 60.510,2937 617.702,4171 31 98.984 98 0,000990 0,999010 45,3 5.156,9362 54.832,3342 557.192,1233 32 98.886 103 0,001042 0,998958 44,3 4.683,4823 49.675,3980 502.359,7891 33 98.783 110 0,001114 0,998886 43,4 4.253,2763 44.991,9157 452.684,3911 34 98.673 116 0,001176 0,998824 42,4 3.862,3092 40. 738,6393 407.692,4754 35 98.557 125 0,001268 0,998732 41,5 3.507,0624 36.876,3301 366.953,8361 36 98.432 135 0,001372 0,998628 40,5 3.184,1949 33.369,2677 330.077,5060 37 98.297 147 0,001495 0,998505 39,6 2.890,7525 30.185,0728 296. 708,2382 38 98.150 158 0,001610 0,998390 38,6 2.624,0268 27.294,3203 266.523,1654 39 97.992 171 0,001745 0,998255 37,7 2.381,6388 24.670,2935 239.228,8451 40 97.821 187 0,001912 0,998088 36,8 2.161,3480 22.288,654 7 214.558,5516 41 97.634 203 0,002079 0,997921 35,8 1.961,1057 20.127,3067 192.269,8969 42 97.431 222 0,002279 0,997721 34,9 1.779,1165 18.166,2011 172.142,5902 43 97.209 242 0,002489 0,997511 34,0 1.613,6934 16.387,0846 153.976,3892 44 96.967 265 0,002733 0,997267 33,l 1.463,3419 14.773,3912 137.589,3046 45 96.702 288 0,002978 .0,997022 32,2 1.326,6752 13.310,0493 122.815,9134 46 96.414 315, 0,003267 0,996733 31,3 1.202,4765 11.983,3741 109.505,8641 47 96.099 346 0,003600 0,996400 30,4 1.089,5889 10. 780,8976 97.522,4901 48 95.753 379 0,003958 0,996042 29,5 986,9690 9.691,3087 86. 741,5925 49 95.374 416 0,004362 0,995638 28,6 893,6931 8.704,3397 77.050,2838 50 94.958 456 0,004802 0,995198 27,7 808,9046 7.810,6466 68.345,9440 51 94.502 501 0,005301 0,994699 26,8 731,8365 7.001,7420 60.535,2975 52 94.001 551 0,005862 0,994138 26,0 661,7788 6.269,9055 53.533,5555 53 93.450 606 0,006485 0,993515 25,l 598,0906 5.608,1267 47.263,6500 54 92.844 668 0,007195 0,992805 24,3 540,1929 5.010,0361 41.655,5233 55 92.176 734 0,007963 0,992037 23,5 487,5511 4.469,8432 36.645,4872 56 91.442 808 0,008836 0,991164 22,6 439,6989 3.982,2921 32.175,6439 57 90.634 885 0,009765 0,990235 21,8 396,1942 3.542,5932 28.193,3518 58 89.749 971 0,010819 0,989181 21,0 356,6596 3.146,3990 24.650, 7586 59 88.778 l.060 0,011940 0,988060 20,3 320,7280 2.789,7395 21.504,3596 60 87.718 l.157 0,013190 0,986810 19,5 288,0896 2.469,0114 18. 714,6201 61 86.561 l.258 0,014533 0,985467 18,8 258,4452 2.180,9218 16.245,6087 62 85.303 l.362 0,015967 0,984033 18,0 231,5356 l.922,4766 14.064,6869 63 83.941 l.471 0,017524 0,982476 17,3 207,1262 1.690,9410 12.142,2103 64 82.470 l.584 0,019207 0,980793 16,6 184,9968 1.483,8148 10.451,2693 65 80.886 l.699 0,021005 0,978995 15,9 164,9487 l.298,8180 8.967,4545 66 79.187 l.817 0,022946 0,977054 15,3 146,8036 1.133,8694 7.668,6364 67 77.370 l.937 0,025036 0,974964 14,6 130,3955 987,0658 6.534,7671 68 75.433 2.057 0,027269 0,972731 14,0 115,5736 856,6703 5.547,7013 69 73.376 2.179 0,029696 0,970304 13,4 102,2018 741,0966 4.691,0310 70 71.197 2.303 0,032347 0,967653 12,7 90,1517 638,8948 3.949,9344 71 68.894 2.424 0,035184 0,964816 12,2 79,3050 548,7431 3.311,0396 72 66.470 2.547 0,038318 0,961682 11,6 69,5588 469,4381 2.762,2965 73 63.923 2.666 0,041706 0,958294 11,0 60,8123 399,8792 2.292,8585 74 61.257 2.786 0,045481 0,954519 10,5 52,9782 339,0670 l.892,9792 75 58.471 2.892 0,049460 0,950540 10,0 45,9715 286,0888 1.553,9123 76 55.579 2.990 0,053797 0,946203 9,4 39,7253 240,1172 1.267,8235 77 52.589 3.079 0,058548 0,941452 9,0 34,1710 200,3920 l.027,7062 78 49.510 3.153 0,063684 0,936316 8,5 29,2458 166,2210 827,3142 79 46.357 3.210 · 0,069245 0,930755 8,0 24,8939 136,9752 661,0933 80 43.147 3.248 0,075278 0,924722 7,6 21,0638 112,0812 524,1181 81 39.899 3.265 0,081832 0,918168 7,2 17,7074 91,0175 412,0369 82 36.634 3.256 0,088879 0,911121 6,8 14,7803 73,3101 321,0194 83 33.378 3.223 0,096.561 0,903439 6,4 12,2424 58,5298 247,7093 84 30.155 3.162 0,104858 0,895142 6,0 10,0548 46,2873 189,1795 85 26.993 3.071 0,113770 0,886230 5,6 8,1823 36,2325 142,8922 86 23.922 2.953 0,123443 0,876557 5,3 6,5921 28,0503 106,6597 87 20.969 2.806 0,133817 0,866183 5,0 5,2531 21,4581 78,6094 88 18.163 2.635 0,145075 0,854925 4,7 4,1365 16,2051 57,1512 89 15.528 2.439 0,157071 0,842929 4,4 3,2149 12,0686 40,9462 90 13.089 2.226 0,170066 0,829934 4,1 2,4636 8,8537 28,8776

iL

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Contingencias de vida individual 219

Conmutaciones para una vida. (1=10% ; e=4% )

Ax(i) 2Ax(i) ax(i) Dx(e) Nx(e) Sx(e) ax(e) 0,0115 0,0025 10,8733 55.526,4503 1.287.183,4449 25.468.567,3474 23,1814 0,0124 0,0028 10,8639 53.374,8003 1.231.656,9947 24.181.383,9025 23,0756 0,0133 0,0030 10,8541 51.303,9553 1.178.282,1943 22.949. 726,9078 22,9667 0,0142 0,0033 10,8439 49.310,9811 1.126.978,2390 21.771.444,7135 22,8545 0,0152 0,0035 10,8331 47.393,0460 1.077.667,2579 20.644.466,4744 22,7389 0,0162 0,0037 10,8219 45.547,4172 1.030.274,2118 19.566. 799,2166 22,6198 0,0173 0,0040 10,8099 43. 771,8965 984. 726, 7946 18.536.525,0047 22,4968 0,0184 0,0042 10,7972 42.063,8886 940.954,8981 l 7.551. 798,2101 22,3697 0,0197 0,0045 10,7836 40.420,8917 898.891,0095 16.610.843,3120 22,2383 0,0210 0,0048 10,7692 38.840,1039 858.470,1179 15. 711.952,3025 22,1027 0,0224 0,0051 10,7538 37.319,6204 819.630,0140 14.853.482,1846 21,9624 0,0239 0,0054 10,7372 35.857,5594 782.310,3936 14.033.852,1706 21,8172 0,0255 0,0057 10,7194 34.451,0240 746.452,8342 13.251.541, 7771 21,6671 0,0273 0,0061 10,7002 33.098,6395 712.001 ,8102 12.505.088,9429 21,5115 0,0291 0,0065 10,6795 31.797,7182 678.903,1707 11. 793.087,1327 21,3507 0,0312 0,0070 10,6570 30.547,2887 647.105,4525 11.114.183,9620 21,1837 0,0334 0,0075 10,6327 29.344,8221 616.558,1639 10.467.078,5095 21,0108 0,0358 0,0081 10,6065 28.188,2395 587.213,3417 9.850.520,3456 20,8319 0,0383 0,0088 10,5782 27.075,8447 559.025,1023 9.263.307,0039 20,6466 0,0411 0,0095 10,5477 26.005,4753 531.949,2575 8.704.281,9016 20,4553 0,0441 0,0104 10,5149 24.975,8685 505.943, 7822 8.172.332,6441 20,2573 0,0473 0,0113 10,4797 23.984, 7996 480.967,9137 7.666.388,8619 20,0530 0,0507 0,0123 10,4419 23.030,6773 456.983,1140 7.185.420,9482 19,8424 0,0544 0,0134 10,4017 22.111,7650 433.952,4368 6. 728.437,8342 19,6254 0,0583 0,0147 10,3585 21.227,0865 411.840,6718 6.294.485,3974 19,4017 0,0625 0,0160 10,3124 20.375,0426 390.613,5853 5.882.644, 7256 19,1712 0,0670 0,0175 10,2632 19.553,9352 370.238,5426 5.492.031,1403 18,9342 0,0717 0,0191 10,2108 18.762,7680 350.684,6075 9.121. 792,5977 18,6905 0,0768 0,0209 10,1550 18.000,0158 331.921,8394 4.771.107,9902 18,4401 0,0822 0,0229 10,0957 17 .264,6203 313.921,8237 4.439.186,1508 18,1830 0,0879 0,0250 10,0326 16.555,2288 296.657,2034 4.125.264,3271 17,9192 0,0940 0,0274 9,9656 15.871,0805 280.101,9746 3.828.607,1237 17,6486 0,1005 0,0300 9,8945 15.210, 7953 264.230,8941 3.548.505, 1492 17,3713 0,1073 0,0328 9,8193 14.573,1053 249.020,0988 3.284.27 4,2550 17,0876 0,1146 0,0358 9,7397 13.957,1380 234.446,9935 3.035.254,1562 16,7976 0,1222 0,0392 9,6558 13.361,7885 220.489,8555 2.800.807,1627 16,5015 0,1302 0,0428 9,5674 12.786,1765 207.128,0670 2.580.317,3071 16,1994 0,1387 0,0467 9,4743 12.229,2220 194.341,8905 2.373.189,2401 15,8916 0,1476 0,0510 9,3767 11.689,9411 182.112,6685 2.178.847,3496 15,5786 0,1569 0,0555 9,2745 11.167,4372 170.422,7274 1.996. 734,6811 15,2607 0,1666 0,0604 9,1679 10.660,6625 159.255,2901 1.826.311,9538 14,9386 0,1766 0,0657 9,0569 10.169,0110 148.594,6276 1.667.056,6636 14,6125 0,1871 0,0713 8,9416 9.691,4957 138.425,6166 1.518.462,0361 14,2832 0,1980 0,0772 8,8219 9.227,7525 128.734,1209 1.380.036,4195 13,9508 0,2093 0,0835 8,6981 8.776,8432 119.506,3684 1.251.302,2985 13,6161 0,2209 0,0902 8,5703 8.338,5083 110. 729,5252 1.131.795,9302 13,2793 0,2329 0,0973 8,4386 7.912,0417 102.391,0170 1.021.066,4049 12,9412 0,2452 0,1047 8,3032 7.497,1684 94.478,9753 918.675,3880 12,6020 0,2578 0,1125 8,1638 7.093,7154 86.981,8068 824.196,4127 12,2618 0,2708 0,1207 8,0208 6.701,3497 79.888,0914 737.214,6059 11,9212 0,2842 0,1293 7,8741 6.319,8432 73.186,7417 657.326,5145 11,5805 0,2978 0,1384 7,7237 5.949,1305 66.866,8985 584.139,7728 11,2398 0,3118 0,1479 7,5698 5.589,0612 60.917,7680 517.272,8744 10,8995 0,3262 0,1578 7,4123 5.239,5538 55.328, 7068 456.355,1064 10,5598 0,3408 0,1683 7,2513 4.900,6493 50.089,1529 4Q_l.026,3996 10,2209 0,3557 0,1793 7,0869 4.572,2287 45.188,5037 350.937,2466 9,8833 0,3710 0,1907 6,9194 4.254,1648 40.616,2750 305. 748, 7430 9,5474 0,3865 0,2027 6,7488 3.946,6194 36.362,1102 265.132,4680 9,2135 0,4022 0,2152 6,5756 3.649,4161 32.415,4908 228. 770,3578 8,8824 0,4182 0,2282 6,4001 3.362,7038 28.766,0747 196.354,8670 8,5544 0,4343 0,2417 6,2232 3.086,3138 25.403,3709 167.588,7923 8,2310 0,4505 0,2556 6,0444 2.820,8302 22.317,0571 142.185,4214 7,9115 0,4669 0,2700 5,8644 2.566,4203 19.496,2270 119.868,3642 7,5967 0,4833 0,2848 5,6836 2.323,2314 16.929,8066 100.372,1373 7,2872 0,4998 0,3001 5,5024 2.091,6139 14.606,5753 83.442,3307 6,9834 0,5163 0,3157 5,3210 1.871,9035 12.514,9614 68.835, 7554 6,6857 0,5327 0,3317 5,1401 1.664,4146 10.643,0579 56.320, 7940 6,3945 0,5491 0,3480 4,9600 1.469,4355 8.978,6432 45.677,7361 6,1103 0,5654 0,3646 4,7809 1.287,3397 7.509,2077 36.699,0929 5,8331 0,5815 0,3815 4,6035 1.118,3013 6.221,8681 29.189,8852 5,5637 0,5974 0,3985 4,4282 962,5367 5.103,5668 22.968,0171 5,3022 0,6132 0,4157 4,2551 820,2199 4.141,0300 17 .864,4503 5,0487 0,6286 0,4330 4,0849 691,3169 3.320,8101 13. 723,4203 4,8036 0,6439 0,4504 3,9176 575,7762 2.629,4932 10.402,6101 4,5669 0,6587 0,4678 3,7540 473,3129 2.053,7170 7.773,1169 4,3390 0,6733 0,4852 3,5938 383,6241 1.580,4041 5.719,3999 4,1197

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220

X lx dx qx 91 10.863 1.999 0,184019 92 8.864 1.763 0,198894 93 7.101 1.525 0,214758 94 5.576 1.293 0,231887 95 4.283 1.071 0,250058 96 3.212 865 0,269303 97 2.347 680 0,289732 98 1.667 519 0,311338 99 1.148 384 0,334495

100 764 274 0,358639 101 490 188 0,383673 102 302 124 0,410596 103 178 78 0,438202 104 100 45 0,450000 105 55 26 0,472727 106 29 14 0,482759 107 15 8 0,533333 108 7 4 0,571429 109 3 2 0,666667 110 1 1 1,000000

px e-:i: Dx(i) 0,815981 3,8 l,8587 0,801106 3,6 l,3788 0,785242 3,3 1,0042 0,768113 3,1 0,7168 0,749942 2,9 0,5005 0,730697 2,7 0,3413 0,710268 2,5 0,2267 0,688662 2,4 0,1464 0,665505 2,2 0,0916 0,641361 2,0 0,0554 0,616327 1,9 0,0323 0,589404 1,8 0,0181 0,561798 1,7 0,0097 0,550000 1,6 0,0050 0,527273 1,5 0,0025 0,517241 1,4 0,0012 0,466667 1,2 0,0006 0,428571 1,1 0,0002 0,333333 0,8 0,0001 0,000000 0,5 0,0000

Nx!i) 6,3901 4,5314 3,1526 2,1484 1,4316 0,9311 0,5898 0,3631 0,2168 0,1251 0,0697 0,0374 0,0192 0,0095 0,0046 0,0021 0,0009 0,0004 0,0001

º·ºººº

Anexos

Sx/i) 20,0239 13,6338

9,1024 5,9498 3,8014 2,3698 1,4387 0,8489 0,4858 0,2690 0,1439 0,0742 0,0369 0,0176 0,0081 0,0035 0,0014 0,0005 0,0001 0,0000

1

_j

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Contingencias de vida individual 221

Ax(i) 2Ax(i) ax(i) Dx(e) Nx(e) Sx(e) iix(e) 0,6875 0,5025 3,4379 306,1371 1.196,7800 4.138,9958 3,9093 0,7012 0,5196 3,2865 240,1942 890,6429 2.942,2159 3,7080 0,7146 0,5366 3,1395 185,0201 650,4487 2.051,5730 3,5156 0,7275 0,5533 2,9972 139,6976 465,4286 1.401,1243 3,3317 0,7400 0,5697 2,8601 193,1765 325,7310 935,6958 3,1570 0,7520 0,5858 2,7284 74,4003 222,5545 609,9648 2,9913 0,7635 0,6015 2,6019 52,2732 148,1541 387,4103 2,8342 0,7745 0,6168 2,4809 35,7000 _ 95,8809 239,2562 2,6857 0,7850 0,6317 2,3654 23,6397 60,1809 143,3752 2,5458 0,7948 0,6459 2,2568 15,1272 36,5412 83,1943 2,4156 0,8040 0,6593 2,1556 9,3289 21,4140 46,6531 2,2955 0,8125 0,6719 2,0625 5,5285 12,0851 25,2391 2,1860 0,8197 0,6826 1,9829 3,1332 6,5567 13,1539 2,0927 0,8251 0,6903 1,9244 1,6925 3,4235 6,5973 2,0227 0,8319 0,7004 1,8489 0,8951 1,7310 3,1738 1,9339 0,8390 0,7107 1,7710 0,4538 0,8359 1,4428 1,8420 0,8509 0,7293 1,6396 0,2257 0,3821 0,6069 1,6929 0,8629 0,7480 1,5077 0,1013 0,1564 0,2249 1,5442 0,8815 0,7786 1,3030 0,0417 0,0551 0,0685 1,3205 0,9091 0,8264 1,0000 0,0134 0,0134 0,0134 1,0000

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222 Anexos

Anexo 3, Tabla colombiana de mortalidad de rentistas sexo femenino 80-89,

X lx dx qx px ex Dx(i) NxliJ Sx(iJ 15 100.000 30 0,000300 0,999700 62,3 23.939,2049 260.520,0150 2. 787.294,9465 16 99.970 34 0,000340 0,999660 61,3 21. 756,3847 236.580,8101 2.526. 77 4,9314 17 99.936 39 0,000390 0,999610 60,3 19. 771,8048 214.824,4254 2.290.194,1213 18 99.897 43 0,000430 0,999570 59,4 17.967,3535 195.052,6206 2.075.369,6960 19 99.854 46 0,000461 0,999539 58,4 16.326,9269 177.085,2670 1.880.317,0754 20 99.808 50 0,000501 0,999499 57,4 14.835,8232 160. 758,3401 l. 703.231,8084 21 99.758 54 0,000541 0,999459 56,4 13.480,3555 145.922,5169 1.542.473,4682 22 99.704 57 0,000572 0,999428 55,5 12.248,2349 132.442,1614 1.396.550,9514 23 99.647 61 0,000612 0,999388 54,5 11.128,3934 120.193,9264 1.264.108,7900 24 99.586 65 0,000653 0,999347 53,5 10.110,5282 109.065,5331 l.143.914,8635 25 99.521 69 0,000693 0,999307 52,6 9.185,3900 98.955,0049 1.034.849,3305 26 99.452 72 0,000724 0,999276 51,6 8.344,5651 89. 769,6148 935.894,3256 27 99.380 77 0,000775 0,999225 50,6 7.580,4763 81.425,0497 846.124, 7108 28 99.303 81 0,000816 0,999184 49,7 6.886,0026 73.844,5734 764.699,6611 29 99.222 86 0,000867 0,999133 48,7 6.254,8962 66.958,5708 690.855,0877 30 99.136 90 0,000908 0,999092 47,8 5.681,3407 60. 703,6746 623.896,5169 31 99.046 95 0,000959 0,999041 46,8 5.160,1663 55.022,3339 563.192,8423 32 98.951 101 0,001021 0,998979 45,8 4.686,5609 49.862, 1675 508.170,5084 33 98.850 107 0,001082 0,998918 44,9 4.256,1612 45.175,6066 458.308,3409 34 98.743 116 0,001175 0,998825 43,9 3.865,0492 40.919,4455 413.132, 7342 35 98.627 124 0,001257 0,998743 43,0 3.509,5533 37.054,3963 372.213,2887 36 98.503 134 0,001360 0,998640 42,0 3.186,4917 33.544,8430 335.158,8924 37 98.369 145 0,001474 0,998526 41,1 2.892,8699 30.358,3513 301.614,0494 38 98.224 156 0,001588 0,998412 40,2 2.626,0052 27.465,4814 271.255,6980 39 98.068 169 0,001723 0,998277 39,2 2.383,4860 24.839,4762 243. 790,2166 40 97.899 183 0,001869 0,998131 38,3 2.163,0714 22.455,9903 218.950,7404 41 97.716 198 0,002026 0,997974 37,4 1.962,7527 20.292,9189 196.494, 7501 42 97.518 215 0,002205 0,997795 36,4 1.780,7051 18.330,1662 176.201,8313 43 97.303 233 0,002395 0,997605 35,5 1.615,2538 16.549,4610 157.871,6651 44 97.070 254 0,002617 0,997383 34,6 1.464,8963 14.934,2073 141.322,2040 45 96.816 275 '0,002840 0,997160 33,7 1.328,2392 13.469,3109 126.387,9968 46 96.541 297 0,003076 0,996924 32,8 1.204,0604 12.141,0717 112.918,6858 47 96.244 321 0,003335 0,996665 31,9 1.091,2329 10.937,0113 100. 777,6141 48 95.923 346 0,003607 0,996393 31,0 988,7212 9.845,7784 89.840,6028 49 95.577 370 0,003871 0,996129 30,1 895,5953 8.8-?7,0571 79.994,8244 50 95.207 397 0,004170 0,995830 29,2 811,0257 7.961,4618 71.137,7673 51 94.810 427 0,004504 0,995496 28,3 734,2217 7.150,4361 63.176,3055 52 94.383 465 0,004927 0,995073 27,5 664,4681 6.416,2144 56.025,8694 53 93.918 505 0,005377 0,994623 26,6 601,0859 5.751,7463 49.609,6550 54 93.413 552 0,005909 0,994091 25,7 543,5035 5.150,6604 43.857,9087 55 92.861 603 0,006494 0,993506 24,9 491,1743 4.607,1570 38. 707,2483 56 92.258 658 0,007132 0,992868 24,0 443,6226 4.115,9826 34.100,0913 57 91.600 714 0,007795 0,992205 23,2 400,4169 3.672,3600 29.984,1087 58 90.886 772 0,008494 0,991506 22,4 361,1780 3.271,9431 26.311, 7487 59 90.114 835 0,009266 0,990734 21,6 325,5546 2.910,7651 23.039,8056 60 89.279 900 0,010081 0,989919 20,8 293,2164 2.585,2105 20.129,0405 61 88.379 979 0,011077 0,988923 20,0 263,8732 2.291,9941 17.543,8300 62 87.400 1.073 0,012277 0,987723 19,2 237,2275 2;028,1209 15.251,8358 63 86.327 1.184 0,013715 0,986285 18,4 213,0137 1.790,8935 13.223, 7149 64 85.143 1.308 0,015362 0,984638 17,7 190,9928 1.577,8798 11.432,8214 65 83.835 1.447 0,017260 0,982740 17,0 170,9625 1.386,8870 9.854,9416 66 82.388 1.586 0,019250 0,980750 16,2 152,7379 1.215,9245 8.468,0546 67 80.802 1.723 0,021324 0,978676 15,6 136,1796 1.063,1866 7.252,1301 68 79.079 1.860 0,023521 0,976479 14,9 121,1598 927,0070 6.188,9435 69 77.219 1.995 0,025836 0,974164 14,2 107,5546 805,8471 5.261,9366 70 75.224 2.126 0,028262 0,971738 13,6 95,2508 698,2926 4.456,0894 71 73.098 2.250 0,030781 0,969219 13,0 84,1443 603,0418 3.757,7969 72 70.848 2.364 0,033367 0,966633 12,4 74,1403 518,8975 3.154,7551 73 68.484 2.466 0,036008 0,963992. 11,8 65,1513 444,7572 2.635,8576 74 66.018 2.560 0,038777 0,961223 11,2 57,0957 379,6059 2.191,1004 75 63.458 2.745 0,043257 0,956743 10,6 49,8925 322,5102 1.811,4945 76 60.713 2.869 0,04725!; 0,952745 10,1 43,3948 272,6177 1.488,9843 77 57.844 2.984 0,051587 0,948413 9,6 37,5856 229,2229 1.216,3666 78 54.860 3.090 0,056325 0,943675 9,1 32,4061 191,6373 987,1438 79 51.770 3.182 0,061464 0,938536 8,6 27,8007 159,2312 795,5065 80 48.588 3.258 0,067054 0,932946 8,1 23,7200 131,4305 636,2752 81 45.330 3.316 0,073152 0,926848 7,6 20,1177 107,7105 504,8447 82 42.014 3.351 0,079759 0,920241 7,2 16,9509 87,5928 397,1342 83 38.663 3.362 0,086957 0,913043 6,8 14,1809 70,6419 309,5414 84 35.301 3.346 0,094785 0,905215 6,4 11,7707 56,4610 238,8995 85 31.955 3.299 0,103239 0,896761 6,0 9,6864 44,6903 182,4385 86 28.656 3.221 0,112402 0,887598 5,6 7,8967 35,0040 137, 7481 87 25.435 3.111 0,122312 0,877688 5,3 6,3719 27,1073 102,7442 88 22.324 2.971 0,133085 0,866915 5,0 5,0841 20,7354 75,6368 89 19.353 2.800 0,144680 0,855320 4,6 4,0068 15,6513 54,9014 90 16.553 2.602 0,157192 0,842808 4,3 3,1156 11,6445 39,2501

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Contingencias de vida individual 223

Conmutaciones para una vida; (1=10%; e=4%)

Ax{i) 2Ax(i) iix{i) Dx{e) Nx(e) Sx{e) iix\eJ 0,0107 0,0024 10,8826 55.526,4503 1.295.496,9441 25.944.182,6450 23,3312 0,0114 0,0026 10,8741 53.374,8003 1.239.970,4938 24.648.685, 7009 23,2314 0,0123 0,0028 10,8652 51.304,4687 1.186.595,6935 23.408.715,2071 23,1285 0,0131 0,0030 10,8559 49.311,9684 1.135.291,2248 22.222.119,5137 23,0226 0,0140 0,0033 10,8462 47.394,9446 1.085.979,2564 21.086.828,2889 22,9134 0,0149 0,0035 10,8358 45.551,0683 1.038.584,3118 20.000.849,0325 22,8004 0,0159 0,0037 10,8248 43.777,1625 993.033,2434 18.962.264, 7208 22,6838 0,0170 0,0040 10,8132 42.070,6399 949.256,0810 17.969.231,4773 22,5634 0,0181 0,0042 10,8007 40.429,4119 907.185,4411 17.019.975,3964 22,4387 0,0193 0,0045 10,7873 38.850,6371 866.756,0292 16.112. 789,9553 22,3100 0,0206 0,0048 10,7731 37.331,9993 827.905,3920 15.246.033,9261 22,1768 0,0220 0,0051 10,7579 35.871,2656 790.573,3927 14.418.128,5341 22,0392 0,0235 0,0055 10,7414 34.466,6307 754.702,1271 13.627.555,1414 21,8966 0,0251 0,0058 10,7239 33.115,3133 720.235,4964 12.872.853,0142 21,7493 0,0268 0,0062 10,7050 31.815,6747 687.120,1831 12.152.617,5179 21,5969 0,0287 0,0067 10,6847 30.565,4795 655.304,5084 11.465.497,3348 21,4394 0,0306 0,0072 10,6629 29.363,2027 624.739,0289 10.810.192,8264 21,2763 0,0328 0,0078 10,6394 28.206,7682 595.375,8262 10.185.453, 7975 21,1076 0,0351 0,0084 10,6142 27 .094,2090 567.169,0580 9.590.077,9712 20,9332 0,0375 0,0091 10,5870 26.023, 9240 540.074,8490 9.022.908,9132 20,7530 0,0402 0,0098 10,5582 24.993,6076 514.050,9250 8.482.834,0642 20,5673 0,0430 0,0106 10,5272 24.002,1001 489.057,3174 7.968. 783,1392 20,3756 0,0460 0,0115 10,4942 23.047,5466 465.055,2173 7.479.725,8218 20,1781 0,0492 0,0124 10,4590 22.128,4361 442.007,6707 7.014.670,6045 19,9746 0,0526 0,0135 10,4215 21.243,5496 419.879,2345 6.572.662,9338 19,7650 0,0562 0,0146 10,3815 20.391,2892 398.635,6849 6.152. 783,6993 19,5493 0,0601 0,0159 10,3390 19.570,3580 378.244,3957 5.754.148,0145 19,3274 0,0642 0,0172 10,2938 18.779,5221 358.674,0377 5.375.903,6188 19,0992 0,0686 0,0186 10,2457 18.017,4216 339.894,5157 5.0J.7.229,5810 18,8648 0,0732 0,0202 10,1947 17.282,9590 321.877,0941 4.677.335,0654 18,6240 0,0781 0,0219 10,1407 16.574,7454 304.594,1350 4.355.457,9713 18,3770 0,0833 0,0237 10,0834 15.891,9864 288.019,3896 4.050.863,8363 18,1236 0,0889 0,0257 10,0226 15.233, 7 463 272.127,4032 3. 762.844,4467 17,8635 0,0947 0,0278 9,9581 14.598,9784 256.893,6569 3.490. 717,0435 17,5967 0,1009 0,0302 9,8896 13.986,8452 242.294,6785 3.233.823,3865 17,3230 0,1076 0,0328 9,8165 13.396,8260 228.307,8333 2.991.528,7080 17,0419 0,1147 0,0356 9,7388 12.827,8491 214.911,0073 2.763.220,8747 16,7535 0,1222 0,0388 9,6562 12.278,9190 202.083,1582 2.548.309,8674 16,4577 0,1301 0,0422 9,5689 11. 7 48 ,4846 189.804,2392 2.346.226, 7092 16,1556 0,1385 0,0460 9,4768 11.235,8776 178.055,7546 2.156.422,4700 15,8471 0,1473 0,0500 9,3799 10.739,8866 166.819,8771 1.978.366,7153 15,5327 0,1565 0,0544 9,2781 10.259,7561 156.079,9905 1.811.546,8383 15,2128 0,1662 0,0591 9,1713 9.794,7901 145.820,2344 1.655.466,8478 14,8875 0,1764 0,0642 9,0591 9.344,6558 136.025,4443 1.509.646,6134 14,5565 0,1872 0,0698 8,9409 8.908,9239 126.680,7885 1.373.621,1690 14,2195 0,1985 0,0759 8,8167 8.486,8975 117. 771,8646 1.246.940,3805 13,8769 0,2104 0,0826 8,6860 8.078,2146 109.284,9671 1.129.168,5159 13,5284 0,2228 0,0898 8,5493 7.681,4710 101.206, 7525 1.019.883,5489 13,1754 0,2357 0,0976 8,4074 7.295,3524 93.525,2814 918.676, 7964 12,8198 0,2490 0,1059 8,2615 6.918,5524 86.229,9291 825.151,5150 12,4636 0,2625 0,1145 8,1122 6.550,2566 79.311,3767 738.921,5859 12,1081 0,2763 0,1234 7,9609 6.189,6140 72.761,1201 659.610,2092 11,7554 0,2903 0,1326 7,8072 5.836,9823 66.571,5061 586.849,0891 11,4051 0,3044 0,1422 7,6511 5.492,8039 60.734,5238 520.277,5830 11,0571 0,3189 0,1521 7,4924 5.157,3162 55.241,7198 459.543,0592 10,7113 0,3335 0,1624 7,3311 4.830,8402 50.084,4036 404.301,3394 10,3676 0,3485 0,1731 7,1668 4.513,7594 45.253,5634 354.216,9358 10,0257 0,3637 0,1843 6,9989 4.206,5608 40.739,8040 308.963,3724 9,6848 0,3794 0,1962 6,8265 3.909,8073 36.533,2433 268.223,5683 9,3440 0,3956 0,2089 6,6486 3.624,0590 32.623,4360 231.690,3251 9,0019 0,4124 0,2226 6,4641 3.349,5459 28.999,3770 199.066,8890 8,6577 0,4289 0,2364 6,2823 3.081,3988 25.649,8311 170.067,5120 8,3241 0,4456 0,2506 6,0987 2.822,8720 22.568,4324 144.417,6809 7,9948 0,4624 0,2653 5,9136 2.574,2774 19.745,5603 121.849,2485 7,6703 0,4793 0,2805 5,7276 2.335,8468 17.171,2830 102.103,6882 7,3512 0,4963 0,2961 5,5409 2.107,9576 14.835,4361 84.932,4052 7,0378 0,5133 0,3122 5,3540 1.890,9726 12. 727 ,4 785 70.096,9691 6,7307 0,5302 0,3287 5,1674 1.685,2340 10.836,5059 57.369,4906 6,4303 0,5471 0,3455 4,9815 1.491,1742 9.151,2719 46.532,984 7 6,1370 0,5639 0,3626 4,7968 1.309,1412 7.660,0977 37.381, 7127 5,8512 0,5806 0,3800 4,6137 1.139,4755 6.350,9564 29. 721,6150 5,5736 0,5970 0,3976 4,4327 982,5358 5.211,4810 23.370,6586 5,3041 0,6133 0,4154 4,2542 838,5544 4.228,9452 18.159,1776 5,0431 0,6292 0,4333 4,0785 707,6820 3.390,3908 13.930,2325 4,7908 0,6449 0,4513 3,9062 589,9037 2.682,7088 10.539,8417 4,5477

. 1

0,6602 0,4693 3,7375 485,1502 2.092,8051 7.857,1329 4,3137

Page 238: 7 - unal.edu.co

224

X lx dx qx 91 13.951- 2.381 0,170669 92 11.570 2.143 0,185220 93 9.427 1.893 0,200806 94 7.534 1.638 0,217414 95 5.896 1.388 0,235414 96 4.508 1.148 0,254658 97 3.360 924 0,275000 98 2.436 722 0,296388 99 1.714 548 0,319720

100 1.166 401 0,343911 101 765 282 0,368627 102 483 183 0,378882 103 300 128 0,426667 104 172 74 0,430233 105 98 45 0,459184 106 53 25 0,471698 107 28 14 0,500000 108 14 8 0,571429 109 6 4 0,666667 110 2 2 1,000000

px ex Dx(i) 0,829331 4,1 2,3871 0,814780 3,8 1,7997 0,799194 3,5 1,3331 0,782586 3,3 0,9685 0,764586 3,1 0,6891 0,745342 2,9 0,4789 0,725000 2,7 0,3245 0,703612 2,5 0,2139 0,680280 2,3 0,1368 0,656089 2,1 0,0846 0,631373 2,0 0,0505 0,621118 1,9 0,0290 0,573333 1,7 0,0164 0,569767 1,7 0,0085 0,540816 1,6 0,0044 0,528302 1,4 0,0022 0,500000 1,3 0,0010 0,428571 1,1 0,0005 0,333333 0,8 0,0002 0,000000 0,5 0,0001

Nx(il 8,5289 6,1418 4,3421 3,0090 2,0405 1,3514 0,8725 0,5480 0,~341 0,1973 0,1127 0,0622 0,0332 0,0169 0,0083 0,0039 0,0018 0,0007 0,0002 0,0001

Anexos

Sx(i) 27,6056 19,0767' 12,9349 8,5928 5,5838 3,5433 2,1918 1,3193 0,7713 0,4373 0,2400 0,1273 0,0651 0,0319 0,0150 0,0067 0,0028 0,0010 0,0003 0,0001

¡ i

J

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ContingenciBB de vida individual 225

Ax(i) 2Ax(i) ax(il Dx(e) Nx(e) Sx(e) iix(e) 0,6752 0,4872 3,5729 393,1619 1.607,6550 5.764,3278 4,0890 0,6898 0,5051 3,4126 313,5206 1.214,4930 4.156,6728 3,8737 0,7039 0,5228 3,2572 245,6252 900,9724 2.942,1798 3,6681 0,7176 0,5402 3,1068 188,7521 655,3472 2.041,2074 3,4720 0,7308 0,5575 2,9613 142,0333 466,5951 1.385,8603 3,2851 0,7435 0,5743 2,8217 104,4199 324,5618 919,2652 3,1082 0,7556 0,5907 2,6885 74,8351 220,1419 594,7034 2,9417 0,7671 0,6066 2,5619 52,1687 145,3068 374,5615 2,7853 0,7780 0,6219 2,4419 35,2948 93,1380 229,2548 2,6389 0,7880 0,6362 2,3315 23,0868 57,8433 136,1167 2,5055 0,7971 0,6491 2,2323 14,5645 34,7564 78,2735 2,3864 0,8048 0,6602 2,1470 8,8419 20,1920 43,5170 2,2837 0,8153 0,6761 2,0314 5,2806 11,3501 23,3250 2,1494 0,8201 0,6827 1,9788 2,9111 6,0694 11,9749 2,0849 0,8282 0,6947 1,8896 1,5949 3,1583 5,9055 1,9803 0,8355 0,7052 1,8094 0,8294 1,5634 2,7472 1,8851 0,8468 0,7223 1,6853 0,4213 0,7341 1,1838 1,7424 0,8629 0,7480 1,5077 0,2025 0,3128 0,4497 1,5442 0,8815 0,7786 1,3030 0,0835 0,1102 0,1370 1,3205 0,9091 0,8264 1,0000 0,0268 0,0268 0,0268 1,0000

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IL

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r

Glosario de notaciones

En las siguientes notaciones la nominación discreto implica una forma de pago al final del año; continuo; una forma de pago continua, y fraccionario una forma de pago al final de subperíodos anuales.

Símbolo Sección Descripción

Ax:il 3.3 prima simple neta de un seguro dotal puro

Ax:nl 3.3 prima simple neta de un seguro dotal continuo

Ax:nl 3.5 prima simple neta de un seguro dotal discreto

..

prima simple neta de·un seguro de vida a edad x:

A;:nl 3.4.1 continuo con cobertura temporal

Ax 3.4.2 continuo con cobertura vitalicia

m/Ax 3.4.3 Continuo y cobertura vitalicia diferida m años

m/nAx 3.4.3 continuo con cobertura temporal a n años y diferida m años

A~:nl 3.5 discreto con cobertura temporal

Ax 3.5 discreto con cobertura vitalicia

m/Ax 3.5 discreto con cobertura vitalicia diferida m años

m/nAx 3.5 discreto con cobertura temporal a n años y diferida maños

A~mJ 3.6 entero fraccionario

A(t) 1.1 función de acumulación cierta de un capital k > O

a(t) 1.1 función de acumulación cierta de un capital de una unidad monetaria

a-1(t) 1.5 función de descuento cierta de un capital de una unidad monetaria

227

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228 Glosario de notaciones

Símbolo .Sección Descripción valor presente de una anualidad cierta temporal a n años:

.ªni 1.9.1 vencida

ªni 1.9.2 anticipada

m/ªnl 1.9.3 diferida m años y vencida

ml°'nl 1.9.3 diferida m años y anticipada

~) 1.9.5 con pagos vencidos fraccionados en m subperíodos ·;lmJ ~ 1.9.5 con pagos anticipados fraccionados en m subperíodos

ªni 1.9.6 con pagos continuos

ªoo 1.9.4 perpetuidad vencida

aoo 1.9.4 perpetuidad anticipada

bt 3.2 función de beneficio definida para el cálculo de pri-mas de seguros

Cx 3.5.1 función de conmutación D 1.6 interés anticipado de una inversión Dx 3.5.1 función de conmutación

kDx 2.4 variable aleatoria del número de muertes entre x y x+k

d 1.6 tasa efectiva de descuento

dn 1.6 tasa de interés de descuento del n-ésimo período dlm) 1.7 tasa nominal de descuento

kdx 2.4 número esperado de muertes entre las edades x y x+k número esperado de muertes entre las edades x y

nd[x)+k 2.5 x + k + n de un grupo selecto con k años de an-tigüedad en el grupo

nEx 3.3 factor de descuento con riego; prima del seguro do-·tal puro

e 1.9.7 tasa de interés real

esperanza de vida: eu

X 2.3 en años continuos ex 2.3.1 en años enteros

o 2.4.2 en años continuos de una persona en edad x previo ex:nJ ax+n

ex:nJ 2.4.2 en años enteros de una persona en edad x previo a x+n

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Contingencias de vida individual 229

Símbolo Sección Descripción F(x) 2.1 función de distribución de X f(x) 2.1 función de densidad no condicional de X g(t) 2.2.1 función de densidad de T In 1.1 interés ganado en el n-ésimo período

(1A)x . 3.7.1 prima simple neta de un seguro entero creciente a edad x y discreto

(IA);:nl 3.7.2 prima simple neta de un seguro temporal creciente a edad x y discreto

(In1A)x 3.7.3 prima simple neta de un seguro entero a edad x, discreto, creciente y nivelado desde x + n

tasa de interés: i 1.2 efectiva

1.3 simple 1.4 compuesto

ilmJ 1.7 nominal

J 6.2 tiempo futuro de vida en años enteros de ( x + k)

Lx 2.4 variable aleatoria del número de sobrevivientes a la edad x de un grupo inicial lo

lo 2.4 raíz de la tabla de mortalidad lx 2.4 número esperado de sobrevivientes a edad x

l¡x] 2.5 número esperado de sobrevivientes a edad x de un grupo selecto

l¡x]+k 2.5 número esperado de sobrevivientes a edad x+k de un grupo selecto con k años de antigüedad en el grupo

Lx 2.4.2 total de años vividos entre x y x + 1 por el grupo lx kL. 5.1 perdida del asegurador mx 2.4.2 tasa central de mortalidad de x a x + 1 Mx 3.5.1 función de conmutación Px 5.1 prima anual de un seguro entero de vida discreto pi

x:nl 5.1 prima anual de un seguro dotal puro pi

x:n! 5.1 prima anual de un seguro temporal discreto

Px:n! 5.1 prima anual de un seguro dotal discreto .•

P( n/iix) 5.1 prima anual de una reltta diferida anticipada

pi 5.1 prima anual limitada de un seguro temporal discreto

h x:nJ

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230 Glosario de notaciones

Símbolo Sección Descripción

hPx 5.1 prima anual limitada de un seguro entero de vida discreto

plmJ 1 x:nl 5.2 prima fraccionaria de un seguro dotal puro

pl {m) 5.2 prima fraccionaria de un seguro temporal discreto

x:nJ

pJm) 5.2 prima fraccionaria de un seguro entero de vida discreto

,(mJ Px:nl 5.2 prima fraccionaria de un seguro dotal discreto

p(m)( .. ) 5.2 prima fraccionaria de una renta diferida anticipa-

n/ªx da P(Ax) 5.3 prima continua de un seguro entero continuo

P(Ax:iiJ) 5.3 prima continua de un seguro dotal puro

P(A~:n1) 5.3 prima continua de un seguro temporal continuo

P(Ax:nl) 5.3 prima continua de un seguro dotal continuo

P( n/cix) 5.3 prima continua de una renta diferida continua

P(Ax) 5.3 prima anual de un seguro entero continuo (prima semicontinua)

hp{m}(Ax) 5.4 prima distribuible de un seguro entero continuo limitado

PC 5.5 prima comercial

tPx 2.2 probabilidad de sobrevivir a x+t dado que se tiene edad x

tP[x] 2.5 probabilidad de sobrevivir a x + t por un grupo selecto de edad x probabilidad de sobrevivir a x+k+t por un grupo

tP[x]+k 2.5 selecto de edad x + k y k años de antigüedad en el grupo

Pz 6.5 prima de Zillmer

tq:r; 2.2 probabilidad de mórir antes de t años dada una edad x

t/uqx 2.5 probabilidad dé morir entre x + t y x + t + u para una persona de· edad x

tq[x] 2.5 probabilidad de morir antes de t años por un gru-.. po selecto de edad x

probabilidad de morir entre x+k+t y x+k+t+u t/uq[x]+k 2.5 por un grupo selecto de edad x + k y k años de

antigüedad en el grupo

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Contingencias de vida individual 231

Símbolo Sección Descripción

probabilidad de morir antes de t años por un grupo tq[x]+k 2.5 selecto de edad x + k y k años de antigüedad en el

grupo

valor futuro de una anualidad cierta temporal a n años: SnJ 1.9.1 vencida

Sn1 1.9.2 anticipada

s(m) 1.9.5 con pagos vencidos fraccionados en m subperíodos

ni .. (m) Sn¡ 1.9.5

con pagos anticipados fraccionados en m subperíodos

Sn1 1.9.6 con pagos continuos

S(x) 2.1 función de sobrevivencia T(x) = T 2.12 tiempo futuro de vida de una persona e:n edad x

Tx 2.4.2 total de años vividos por el grupo lx más halla de la edad x

u 6.1 tiempo futuro de vida de (x+t) en años continuos V 1.5 factor de descuento sin riesgo

½ 3.2 función de descuento

tV(Ax) 6.1 reserva de prima continua de un seguro entero eón-tinuo

tV(A~:n¡) 6.1 reserva de prima continua de un seguro temporal continuo

h- Al 6.1 reserva de prima continua de un seguro temporal

t V(Ax:n¡) continuo limitado h--

6.1 reserva de prima continua de un seguro entero con-

kV(Ax) tinuo limitado h--

6.1 reserva de prima continua de un seguro dotal con-

k V(Ax:n¡) tinuo limitado

iV( n/éix) 6.1 reserva de prima continua de una renta diferida continua

kVx 6.2 reserva de prima discreta de un seguro entero dis-ecreto

kVx:-m 6.2 reserva de prima discreta de un seguro dotal puro

hV1 6.2 reserva de prima discreta de un seguro temporal

k x:n\ discreto limitado

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232 Glosario de notaciones

Símbolo Sección Descripción

ÍVx:"ñJ 6.2 reserva de prima discreta de un seguro dotal <lis-creto

kV( n¡<ix) 6.2 reserva de prima discreta de úna anualidad discreta, diferida y anticipada

v,;(m) 6.3 reserva de prima fraccionaria de un seguro discreto

k X

hV(m) 6.3 reserva de prima fraccionaria de un seguro dotal

k x:nJ discreto limitado ve 6.5 valor de cesión

w 2.1 edad mínima a la cualyna persona no puede sobre-vivir

X 2.1 tiempo futuro de vida de un recién nacido (x) 2.1 persona con edad x

Zt '3.2 valor presente de una indemnización futura por un siniestro de muerte en un tiempo t incierto

Ót 1.7 fuerza de interés µ(x) = µ:i; 2.1 fuerza de mortalidad kK,x 6.2 costo acumulado del seguro

_j

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í

Respuestas a ejercicios propuestos

Capítulo 1

2. 10%

3. 4,88 .

4. a. 10% b. 0,1257

6. b. 1,125

7. 16,88%

8. 2.735,54

9. a. 32.612,62; 21.729,51; 11.500,75; 10.486,73; 9.724,17

b. 29.771,68; 18.183,85; 6.614,81; 5.177,44; 3.571,66

10. 32,41

235

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236

Capítulo 2

l. Ejemplo 2.1.

b. 8(20) = 0,8944 c. 20/35@ = o, 2236 d. ssP20 = O, 75 e. 35q20 = O, 25 f. f (x) = O, 05(100 - x)-1!2

g. µ(20) = o, 0063 h. 8(20)µ(20) = O, 0056

Ejemplo 2.2.

a. g(t) = ✓100-x~~v'I()o-x b. 20Po · µ20 = O, 0056 c. s¡10q20 = O, 0669 d. 20@ = O, 1056 e. 35q20 = O, 25

2. a. O

b. n+2Px+l

c. 53,3

3. a. 35,0; 23,57

b. 19,4; 15,54

5. a. DU M: 0,976961

b. Balducci: 0,976958

c. Exponencial: 0,976960

Respuestas a ejercicios propuestos

7. a. q20 = µ20 = O, 0143; m20 = O, 0144

b. q20 = 0,0488; µ20 = m20 = O, 05

8. a. 0,61

b. 0,08948

9. a. 117,5 b. 0,25

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r

Contingencias de vida individual

11. a. P[x]+2

6 l¡aoJ+2-las · l¡aoJ

l¡29J+a-las c. l [29]+1

l¡ao¡-las l¡29¡+i-las d. 1 e. -'-;-'1~-¡aoJ [29]+1

Capítulo 3

2. a. 0,1611

6. 0,2071

237

3. E(Z) = 128, 9764; V(Z) = 28.708, 6082; h = 70.720, 62 y un ajuste de prima a 141, 44 para un aumento del 9,66 % ·

4. a. 0,7396

6. 0,0401

6. a. 0,0631 ; 6. 0,0633

7. 0,5575

10. (1 +r)-(m+l) "m/ Ax(e)

11 (DA.)1(m) = ~~ m~l vk+~. [ k ·¡ ] · x:nj L.J L.J k+.i.Px · i.qx+k+j/m · n - - J m

k=O j=O m m

12. a. 0,0809

6. PNU A~ V A -c12) {A1 -n + k2. (rn·-11A) _1

-} i x:n+,1 x+l: lj

c. 0,0893

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238

Capítulo 4

2. 1,2736

3. 1.009,8

4. 8!81 a52

6. 8,9

7. a. 8,7504;

10.

12.

13 830-2840+845 · Dao

15. a. 9,9750;

b. 8,7104;

Respuestas a ejercicios propuestos

b. 5,9909; c. 4,9285

10,0250

8,7869

16. a. x = 40; t = 6; V Pi = 5, 6935; V P2 = 215, 2221; V P = 220, 9156; Mesada = 452, 7

b. 110.457,8

c. 38,5

Si la expedición de la póliza fuera el primero de enero y la persona cumpliera los 40 años también en esa fecha, se requeriría un valor presente para compara la renta de 103. 753, el cual terminaría por agotarse de forma cierta en 33,6 años.

17. 68% ( redondeado al entero más cercano)

18. La mesada pensiona! generada por la opción "a" será 1,06 veces la generada por la opción "b", esto es, será un 6% más grande.

19. 95,2 salarios mensuales

20. 105.665

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Contingencias de vida individual

Capítulo 5

rn/Ax 3. ªx:hj+2•ii.x+h:rñ=Jil· hEx

4. 1.234

5. a. 0,1190

b. 0,0101

c. 0,0150

~{Mx+rn-Mx+rn+n+1+k2(Rx+rn+i-Rx+rn+n-(n-l)M:z:+rn+n+1)}

7. a. a(l2) Nx-;;+= ,6(12) ( 1- D1~=)

b. 0,0007

10. 0,1170

11. 0,0663

12. primer quinquenio

segundo quinquenio

Capítulo 6

6. a. 0,0291 b. 0,04

10. 0,0243

11. 1.326,3

12. 21 años y 288,9 días

0,0100

0,0084

239

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_J

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, Indice

Anualidad cierta .................... 13, 91, 95

temporal anticipada .................. 14 con pagos decrecientes ...... 32 con pagos que varían en progresión aritmética ....... 19 con pagos que varían en progresión geométrica ....... 27 diferida ..................... 15 pagadera con más frecuencia que la conversión dé interés .16 continua .................... 18 vencida. e inmediata .. , ..... 13

con riesgo ...................... 119 . Aproximación de Woolhouse ...... 132

Aproximación por DU M en rentas con riesgo ............ 134 en primas de seguros de vida .... 87

Edad actuarial ... , . 72, 109, 119, 150 Esperanza de vida ...... 43, 45, 49, 52

Factor de acumulación cierto ............................ 5 con riesgo ....................... 73

Factor de descuento cierto ............................ 5 con riego ........................ 73

241

Fuerza de mortalidad .......... 37, 50 truncada inferiormente .......... 40 constante ....................... 58

Función de acumulación ...................... 1 conmutación ....... 76, 90, 122, 140 descuento ........................ 5 sobrevivencia .................... 36

truncada inferiormente ........ 40

Interés ............................. 1 compuesto ....................... 3 simple ............................ 3

Ley de los grandes números ....... 68

Modelo de sobrevivencia .......... 35 edad final ....................... 36 paramétrico

distribución exponencial ...... 62 distribución uniforme ......... 60 ley de Gompertz .............. 61 ley de Makeham .............. 62

probabilístico ................ 36, 47 tabular .......................... 47

Número de muertes .............. .48 Número de sobrevivientes ......... .47

Participación de utilidades ...... 211 Pérdida prospectiva del asegurador .................... 184

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242 Índice

Perpetuidad .................•..... 16 Póliza ............................. 67

semicontinua ................... 195 terminal ....................... 185

Prima totalmente continua .... , ....... 200

comercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 75 totalmente discreta ............. 183

de Zillmer ...................... 207 Reserva de renta contingente ..... 204

neta ........................... 159 Reseva de Zillmer ................ 207

distribuible .................. 17 4 Riesgo ............................. 67

fraccionaria .................. 169 nivelada ................ 166, 182 Seguro de vida .................... 67 totalmente continua .......... 172 a prima anual ................... 69 totalmente discreta .......... 160 a prima única ................... 69 semicontinua ................. 168 amortización de créditos ....... 113

simple neta ..................... 70 colectivo ........................ 69 Principal ............................ 1 exequial ........................ 112 Probabilidad condicional .......... 39 hombre clave ................... 112

de muerte ....................... 40 ordinario ........................ 81 de muerte diferida .............. .41 pagadero ai final del de sobrevivir ..........•.......... 39 año de muerte ................... 7 4 edades fraccionadas ............. 53 diferido ...................... 69, 80 supuesto de Balducci ............ 57 pagadero en el momento supuesto de dis.tribución . de muerte ....................... 82 uniforme de muertes DU M ...... 54 diferido ....................... 85

entero ,, ....................... 82 Renta de vida ................... 119 temporal ...................... 84

anticipada distribuible ......... 148 pagadero más frecuente anual anticipada ............... 127 que el año ....................... 81 anual vencida .................. 120 pago limitado ................... 69 diferida ........................ 125 prorrogado ..................... 208 temporal inmediata .... : ....... 125 protección entre socios ......... 113 vitalicia ......... 120, 127, 131, 137 saldado ........................ 208 completa vencida ............... 148 universal ....................... 111 continua ....................... 137 variable ......................... 89 pagadera más frecuente beneficios acumulados ........ 101 que el año ...................... 131 crecimiento aritmétrico ....... 89 variables crecimiento geométrico ........ 98

crecientes .................... 139 crecimiento semigeométrico .. 101 decrecientes .................. 147 decreciente .................. 102

Rescate .......................... 206 Seguro dotal . : ..................... 86 Reserva de balance ............... 202 puro ............................ 73 Reserva de prima neta ............ 181 Seguros complementarios ......... 114

de duración fracciona! .......... 201 fraccionaria .................... 197 Tabla de mortalidad ............. .47 inicial .......................... 185 agregada ........................ 59 prospectiva ..... · ............... 187 de rentistas .................... 120 retrospectiva ............... · .... 191 edad final ...................... •. 49

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Contingencias de vida individual 243

final ............................. 59 de un recién nacido .............. 36 raíz de la ....................... .4 7 función de densidad selecta .......................... 58 no condicional ................ 37

Tasa función de distribución ..•..... 37

central de mortalidad ........... 53 de una persona con edad x ...... 39

de interés real ................... 27 función de densidad ........... 40

de interés técnico ................ 70 función de distribución

efectiva de descuento ............. 5 truncada inferiormente ........ 40

efectiva de interés ................ 2 de una persona con edad x + t . 200

equivalente ....................... 6 instantánea de interés ........... 10 Valor nominal de descuento ............. 7 acumulado ....................... 1 nominal de interés ................ 7 de cesión ....................... 206

tiempo futuro de vida presente .......................... 4 años enteros ..................... 45 años enteros de una persona con

edad x + k ................... 183

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Este libro se terminó de imprimir en el mes de abril de 2001

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