i. teorÍa del consumidor€¦ · teorÍa del consumidor solución: la demostración es por...

13

APUNTES DE ESTUDIO

I. TEORÍA DEl CONSUMIDOREste capítulo presenta ejercicios relacionados con las decisiones de consumo de una canasta de bienes y servicios que realizan individuos, en su búsqueda por maximizar su nivel de satisfacción o utilidad. Luego de examinar ejercicios sobre la obtención de funciones de demanda, que resultan de distintos tipos de preferencias, se desarrollan ejercicios que utilizan las propiedades de las distintas funciones de demanda halladas, a través de distintas relaciones entre las elasticidades de demanda, para, finalmente, evaluar tres medidas de bienestar del consumidor, que son relevantes en materia de política cuando se analizan los efectos de intervenciones que afectan la utilidad inicial de los consumidores: la variación compensatoria, la variación equivalente y el cambio en el excedente del consumidor. Como nota relacionada, en general, se asume que las soluciones de los problemas de optimización examinados a lo largo de este capítulo son interiores, de modo que las condiciones de desigualdad de Karush-Kuhn-Tucker se convierten en condiciones de igualdad de Lagrange, herramienta comúnmente usada en microeconomía intermedia1.

DEMOSTRACIONES

1. (*) Demuestre que las curvas de indiferencia típicas no pueden ser “gruesas”.

1. Los interesados en las matemáticas de la optimización con restricciones de desigualdad pueden consultar Chiang yWainwright (2006), cap. 13, o Simon y Blume (1994), cap. 19.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

14

TEORÍA DEL CONSUMIDOR

SoLUCIóN: La demostración es por reducción al absurdo. Si las curvas de indiferencia fueran gruesas, uno podría escoger dos puntos dentro de estas, uno de los cuales tendría estrictamente más cantidad de todos los bienes consumidos, de modo que se incumpliría el axioma de no saciedad local.

2. (*) Demuestre que cuando se aplica una transformación monótona creciente a una función deutilidad, las funciones de demanda marshallianas no cambian.

SoLUCIóN:

Sea f(U(x)) una transformación monotónica creciente sobre U(x):

Esta condición es la misma que la anterior, por lo que las demandas obtenidas de ella serán las mismas que las demandas obtenidas anteriormente.

En este caso, también se puede decir que las preferencias no cambian, puesto que la tasa marginal de sustitución no se ve alterada.

3. (**) Demuestre que si la función de utilidad es homotética2, la utilidad marginal del ingresosolo depende de los precios (adaptado de Iehle y Reny (2001), ejercicio 1.63).

SoLUCIóN:Asumiendo, sin pérdida de generalidad, que U(x) = f(x) es una función homogénea de grado1. Al duplicar el consumo de la canasta óptima, se duplicarán la utilidad y también el gasto.Entonces, si e(p, U) = px*, e(p, tU) = t(px*) = t e(p, U).

Eligiendo el nivel de utilidad inicial en U = 1:

2. Una función f(.) es homotética si es una transformación monótona de una función homogénea; es decir, se trata de unaf(g(x)), tal que f’(.) > 0, donde g(.) es una función homogénea (de grado no necesariamente igual a 1).

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

15

APUNTES DE ESTUDIO

e(p, t) = t e(p, 1), de lo cual:e(p, U) = U e(p, 1)

De acá, es fácil ver que , que es suficiente para completar la demostración.

4. (**) Demuestre los resultados del cuadro mostrado debajo, y grafique las curvas de indiferencia respectivas en un solo gráfico, para distintos valores del parámetro, r, de la siguiente funciónde elasticidad de sustitución constante (CES, por sus siglas en inglés) de Arrow, Chénery,Minhas y Solow (1961):

, con a Î (0,1), g > 0 (1.1)

asumiremos g = 1, por simplicidad.

CUADRO1.1. lA FUNCIóN CES Y SUS hIJAS

Función Tipo: U(x) TMgSx2,x1

Cualquierr

CES

r = –1Lineal, de bienes

perfectamente sustitutos

r → 0 Cobb-Douglas

r → +∞

Leontief, de proporciones fijas o de bienes perfectamente

complementarios

0 sobre el tramo horizontal, + ∞ sobre el tramo vertical y no

existe en el vértice

r → –∞ Máximo0 sobre el tramo horizontal, + ∞ sobre el tramo vertical y no

existe en el vértice

SoLUCIóN:Sea , con

Se tiene que:

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

16


Considere los siguientes casos:

1.

Recuerde que

Tomando límite cuando :

y

Entonces:

Luego,

2.

3.

4.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

17

APUNTES DE ESTUDIO

El gráfico de las cuatro “hijas” de las funciones CES se muestra a continuación.

5. (**) Demuestre la relación de homogeneidad de la demanda ordinaria.

SoLUCIóN:Usando el teorema de Euler (xj(p, m) es homogénea de grado 0 en p y m), se sabe que:

Dividiendo ambos lados por xj, se tiene la forma de elasticidades, y la expresión final:

6. (**) Demuestre la condición de agregación de Engel.

SoLUCIóN:De la recta de presupuesto, derivando ambos lados con respecto a m:

Dividiendo y multiplicando ambos lados por m, y cada sumando por la cantidad demandada respectiva, se tiene la forma de elasticidades:

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

18


7. (**) Demuestre la condición de agregación de Cournot.

SoLUCIóN:Usando la expresión de la recta de presupuesto, se la deriva con respecto al precio del bien xj:

Siguiendo el siguiente procedimiento: (i) multiplique y divida cada sumando por su respectiva cantidad x(p, m); (ii) multiplique cada sumando por pj; y (iii) divida ambos lados de la igualdadpor m:

8. (**) Demuestre la relación de homogeneidad de la demanda compensada.

SoLUCIóNUsando el teorema de Euler (xj(p, U) es homogénea de grado 0 en precios):

Dividiendo ambos lados por xj, se tiene la forma de elasticidades, y la expresión final:

9. (**) Demuestre la condición de restricción del mínimo gasto.

SoLUCIóNPor las identidades de dualidad, se sabe que: U(x(p, U0)) ≡ U0. Derivando con respecto a pi:

Reemplazando la condición de primer orden del problema de minimización del gasto: ,

multiplicando todos los términos por , y multiplicando y dividiendo cada término por su correspondiente xi (p, U), se tiene:

.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

19

APUNTES DE ESTUDIO

Multiplicando ambos lados por m, se llega a 0:

10. (**) Demuestre la ecuación de Slutsky en su versión de derivadas parciales y de elasticidades.

SoLUCIóN:Por las identidades de dualidad, se sabe que: xj(p, U) ≡ xj(p, e(p, U)). Derivando ambasexpresiones con respecto a pi, se tiene:

Luego:

Note que el término de la izquierda es el cambio en la cantidad demandada marshalliana cuando cambia un precio (mide el efecto total), mientras que el primer término de la derecha es el cambio en la cantidad medido sobre la demanda hicksiana (mide el efecto sustitución según Hicks), y el segundo término mide el efecto ingreso.

Para transformar la ecuación previa en su versión de elasticidades, se multiplican por pi ydividen por xj ambos lados de la igualdad; y, además, se multiplica y divide el último términopor m:

11. (**) Suponga que x1(p, m) y x2(p, m) tienen igual elasticidad ingreso, evaluada en (p0, m0).

Demuestre que en (p0, m0).

SoLUCIóN:Usando la ecuación de Slutsky:

Dado que: , el lado derecho de ambas ecuaciones

es el mismo. Recordando, además, que, por la simetría de efectos cruzados de las funciones

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

20


de demanda compensadas, el primer sumando de ambas ecuaciones es el mismo, se completa la demostración.

12. (**) Demuestre que en una función de utilidad de dos bienes perfectamente complementarios (x e y), la proporción gastada en x es igual al cociente de la elasticidad precio de la demandaordinaria sobre la elasticidad ingreso.

SoLUCIóN:Usando la ecuación de Slutsky y sabiendo que, en este caso, el efecto sustitución es nulo,

el efecto total es puro efecto ingreso: .

De la ecuación anterior, ambos términos se multiplican por px y se dividen entre x. Porúltimo, se multiplica y divide el segundo término por m y se obtiene:

Reordenando, . Por lo tanto: , de donde .

13. (*) Demuestre que la ecuación de Slutsky implica que la demanda ordinaria de un biennormal debe tener pendiente negativa. ¿Bajo qué circunstancias la demanda ordinariatendría pendiente positiva?

SoLUCIóN:La ecuación de Slutsky nos dice: .

El término será siempre negativo3, en la medida en que refleja el cambio en la cantidad

demandada ante un cambio en el precio, y suponiendo que el ingreso real es constante.

El término será siempre positivo en el caso de un bien normal. La cantidad demandada

de x será siempre positiva o cero; lo que implica que el término siempre será negativo

o cero. La suma de ambos términos será negativa, por lo que (la pendiente de la demanda

ordinaria) será siempre negativa para el caso de un bien normal.

Esta pendiente será positiva solo en el caso de un bien Giffen, porque allí el término

será positivo y de mayor valor absoluto que (efecto sustitución puro), de manera que

será positivo.

3. La única excepción a la regla se da cuando los bienes son perfectamente complementarios.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

21

APUNTES DE ESTUDIO

14. (*) Demuestre que todo bien Giffen tiene que ser inferior.

SoLUCIóN:Se usa la ecuación de Slutsky para dicho bien: . Parasituarnos mejor, suponga que px aumenta, por lo que la capacidad de compra cae. ¿Qué pasacon el consumo de x solo por efecto de la caída en la capacidad de compra (EI)?:

EI (¿x?) = ET (aumenta x) – ES (cae x) = aumenta x. Por tanto, EI < 0.

15. (**) Demuestre que la utilidad máxima debe disminuir cuando aumenta el precio de un bienconsumido.

SoLUCIóN:Se pide demostrar que .

Si se tiene una canasta de consumo de “n” bienes, derivando la utilidad respecto del preciodel bien “j”:

donde la última igualdad se obtiene de derivar la recta presupuestaria con respecto a pj: , mientras que la penúltima igualdad hace uso de las condiciones de

primer orden de la maximización de la utilidad.

16. (**) Demuestre que en el caso de un individuo cuya función de utilidad cuasilineal esU(x, y)= lnx + y, en el caso del bien x la demanda ordinaria es igual a la demanda compensada.

SoLUCIóN:En el óptimo, siempre que se consuman ambos bienes, se cumplirá que . Por

lo tanto: . Dado que x no depende del ingreso, no existirá el efecto ingreso.

Por lo tanto, no habrá diferencia entre la demanda ordinaria (que incorpora efecto ingreso yel efecto sustitución) y la demanda compensada (que incorpora solo efecto sustitución).

17. (*) Demuestre que l, el multiplicador de Lagrange del problema primal del consumidor, esigual a la utilidad marginal de ingreso.

SoLUCIóN:

max U (x)s.a. px = m

L = U (x) + l (m – px)

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

22


La última igualdad usa la condición de primer orden para cada bien . Este es el mismo procedimiento usado para mostrar que el lagrangeano del problema dual del consumidor, m, es igual al gasto marginal de la utilidad .

18. (**) Demuestre el lema de Shephard.

SoLUCIóN:Tomando el caso de dos bienes (se puede generalizar a “n” bienes fácilmente):

Derivando el lagrangeano:

Y resolviendo las CPo, se halla la función de gasto mínimo:

Luego, derivando esta función respecto a p1:

(1)

De la CPo se tiene:

y (2)

Reemplazando los precios, p1 y p2, de la ecuación (2) en la ecuación (1):

(3)

El componente faltante es:

Derivando la expresión anterior con respecto a p1:

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

23

APUNTES DE ESTUDIO

(4)

Ahora, solo queda reemplazar la ecuación (4) en la ecuación (3), de lo cual se tiene:

19. (**) Demuestre la identidad de Roy.

SoLUCIóN:La forma corta es como sigue. (El lector puede encontrar la forma más larga, que usa lacondición del primer orden del primal y deriva la recta presupuestaria con respecto al preciodel bien en cuestión).

Suponga que x* da la máxima utilidad dados p* y m*. Por las identidades de McFadden, sesabe que xi(p*, m*) ≡ hi (p*, u*) y u* ≡ v (p*, e (p*, u*)). Diferenciando la última identidad conrespecto a p1:

Combinando lo anterior, y usando identidades y el lema de Shephard, se encuentra que:

20. (**) Demuestre que el efecto sustitución según Slutsky y el efecto sustitución según Hicksson iguales entre sí, e iguales al efecto total, para la siguiente función de utilidad:

SoLUCIóN:

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

24


En este caso, se tiene la demanda de un bien normal límite, donde (el efecto ingreso es cero), por lo que se cumple que los efectos sustitución según Hicks y Slutsky son iguales entre sí y, a su vez, iguales al efecto total.

21. (*) Demuestre la homogeneidad de grado cero en precios de la función de demandacompensada.

SoLUCIóN:Es fácil ver que las canastas elegidas, x(p, U), no cambian cuando el problema pasa deminimizar px a minimizar t(px):

Lo cual demuestra lo pedido.

22. (*) Demuestre la simetría de efectos cruzados en las demandas compensadas .

SoLUCIóN:Usando el lema de Shephard, . Diferenciando con respecto al precio del

bien j, se tiene ; y, análogamente, . Por el teorema de

Young, se sabe que ; lo cual concluye la demostración.

23. (**) Demuestre que cuando el efecto ingreso es nulo, ante un cambio en el precio de unbien, el cambio en el excedente del consumidor es igual a la variación equivalente y a lavariación compensatoria, en valor absoluto.

SoLUCIóN:Cuando el efecto ingreso es nulo, estamos hablando de un bien normal límite. En estecaso, se tiene que ante una variación del precio solo habrá efecto sustitución, porlo que la demanda ordinaria será igual a la demanda compensada. Así, se tendrá:

, por lo que las expresiones que denotan el DEC,la VC y la VE serán todas equivalentes:

Por lo que queda demostrado que DEC = VC = VE.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

25

APUNTES DE ESTUDIO

24. (*) Juan siempre se ha mostrado seguro de sus conocimientos de microeconomía. Un buendía, Víctor, su amigo del colegio, encontró un ejercicio que creyó que podría desafiar a Juan:

“La proporción gastada en un bien puede ser medida por la siguiente expresión ,donde ”. Ayude a Juan a mantener su fama de sabelotodo.

SoLUCIóN:

Sea .

Resolviendo la expresión pedida: .

Note que se usó el lema de Shephard para obtener la última igualdad.

El uso de la identidad concluye la demostración.

PREgUNTAS CONCEPTUAlES

1. (*) Si las preferencias son completas y transitivas, pero cada una de sus curvas de indiferencia representativas se corta a sí misma, entonces no satisfacen el axioma de monotonicidad.

SoLUCIóN:El enunciado es verdadero. Si hay dos curvas de indiferencia que se cortan, podría haberdos canastas que no estén en la misma curva pero que sean indiferentes entre ellas, lo quecontradice el axioma de monotonicidad.

2. (*) Dados dos automóviles, una persona siempre prefiere aquel que es más rápido y máseconómico. Dado esto, las preferencias de esa persona son transitivas y completas.

SoLUCIóN:El enunciado es falso. Se cumple la transitividad, pero las preferencias no son completas (nose pueden “rankear” preferencias de dos autos, donde uno es más rápido y el otro es máseconómico).

3. (*) Pepper se encuentra analizando la función de utilidad de Tony: . Elladice “[...] conozco muy bien a Tony, y sabiendo que dispone de US$ 480 millones paracomprar paladio (x) y uranio (y), y aprovechando que cualquiera de los bienes costaráUS$ 60,000 el kilogramo en la próxima Tecnoferia, él definitivamente comprará 2,000kilogramos de cada uno de ellos [...]”. ¿Está ella en lo correcto?

SoLUCIóN:El enunciado es falso. Pepper está equivocada. Claramente, el uranio es un desbién (o mal)para Tony, por lo cual su cantidad consumida óptima es 0. Dado que todos sus recursos losgastará en paladio (bien x), comprará 8,000 kilogramos de esta fuente de energía.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

26


4. (**) Un consumidor maximizador de su bienestar, cuyas preferencias están representadaspor la función , consume cantidades iguales de ambos bienes (asuma que

). Justifique su respuesta.

SoLUCIóN: El enunciado es falso. Dada la concavidad de la función de utilidad, la condición de primer orden, en realidad, conduce a un mínimo (no un máximo); por lo que no es la canasta que se consume. Para mostrarlo, se puede graficar (se nota que no hay solución interior) o trabajar las matemáticas.

Este último es el camino largo:

; de donde se concluye que la especialización en el consumo conduce a una

mayor utilidad (y este resultado es independiente de que los precios sean iguales).

5. (*) En un bien normal límite, los puntos sobre la curva de demanda ordinaria coincidencon los de la curva de demanda compensada a lo Hicks, mas no así con los de la curva dedemanda compensada a lo Slutsky, que será más elástica para un aumento del precio ymenos elástica para la reducción del precio.

SoLUCIóN:El enunciado es falso. El bien normal límite se caracteriza porque no tiene efecto ingreso.Eso hará que la CDo y las dos CDC coincidan. Por lo tanto, el enunciado es cierto respecto ala CDC Hicks, pero está errado en lo relativo a la CDC Slutsky, pues las tres curvas coinciden.

6. (*) En el caso de bienes sustitutos perfectos, solo existirá efecto sustitución. Por lo tanto, suscurvas de demanda compensada a la Hicks o a la Slutsky siempre serán iguales a su curvade demanda ordinaria.

SoLUCIóN:El enunciado es falso, porque el hecho de que sean sustitutos perfectos no quiere decir queno exista efecto ingreso. Por ejemplo, cuando solo se consume un bien y baja el precio deeste bien, se incrementará su consumo por efecto ingreso, mientras que el efecto sustituciónserá nulo. En ese caso, el cambio en la cantidad, medida en la CDo o en la CDC, serádiferente.

7. (*) En bienes perfectamente complementarios, no hay diferencia entre el efecto sustituciónsegún Hicks y aquel según Slutsky.

SoLUCIóN:El enunciado es verdadero, porque no existe efecto sustitución. Tome como ejemplo lafunción: U(x) = min {x1, x2}, cuya demanda compensada hicksiana del bien 1 resulta ser

x1(p, U) = x2(p, U) = U, de donde . La última igualdad demuestra que el efecto

sustitución es nulo.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

27

APUNTES DE ESTUDIO

8. (*) En el caso de bienes perfectamente complementarios, si ante la subida en el precio deuno de ellos (por ejemplo, x1) aumentara el ingreso nominal en un monto igual a la variacióncompensatoria, la cantidad demandada de x1 no variaría.

SoLUCIóN:El enunciado es verdadero. Dada la misma función de utilidad del ejercicio anterior y usandouna identidad, , la pregunta planteada es si

.

Se sabe que , de manera que . La última igualdad usa el

resultado demostrado en el ejercicio anterior.

9. (*) Si la curva de demanda ordinaria es perfectamente inelástica, necesariamente se trata deun bien normal.

SoLUCIóN:El enunciado es falso. Se trata de un bien inferior límite, donde el efecto ingreso y el efectosustitución se mueven en direcciones opuestas y tienen la misma magnitud, de forma tal queel efecto total es cero.

10. (**) La curva de demanda compensada hicksiana de un bien inferior siempre es más elásticaque la curva de demanda compensada slutskiana; a diferencia de lo que sucede con un biennormal. Sustente su respuesta.

SoLUCIóN:El enunciado es falso.

Si x es un bien normal:• Para ↓px: |ES(Slutsky)|>|ES(Hicks)| ↓px: |ES(Slutsky)|>|ES(Hicks)|• Para ↑px: |ES(Slutsky)|<|ES(Hicks)| ↑px: |ES(Slutsky)|<|ES(Hicks)|

Si x es un bien inferior:• Para ↑px: |ES(Slutsky)|>|ES(Hicks)| ↑px: |ES(Slutsky)|>|ES(Hicks)|• Para ↓px: |ES(Slutsky)|<|ES(Hicks)| ↓px: |ES(Slutsky)|<|ES(Hicks)|

El gráfico de las demandas compensadas y la demanda ordinaria es como sigue cuando ↑px.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

28


Se debe notar que las curvas de demanda compensadas no pueden graficarse como rectas, ya que siempre una envuelve a la otra.

11. (***) Cuando el ratio de bienes consumidos, , es independiente del nivel de ingreso para

todos los bienes i y j, entonces todas las elasticidades ingreso son iguales a 1 (tomado deIehle y Reny [2001], ejercicio 1.64a).

SoLUCIóN:El enunciado es falso. Eso significa que cada demanda, por separado, era una función delingreso del mismo grado, lo cual implica que sus elasticidades ingreso son las mismas. Portanto, usando la condición de agregación de Engel, no necesariamente esas elasticidadesdeben ser iguales a 1 (cualquier valor satisface tal condición).

12. (*) Cuando todas las elasticidades ingreso son constantes e iguales, estas deben ser igualesa 1 (tomado de Iehle y Reny, ejercicio 1.64b).

SoLUCIóN:El enunciado es verdadero. Se sabe que la suma de elasticidades ingreso, ponderadas porla proporción gastada en cada bien, es igual a 1. Si todas las elasticidades ingreso son

iguales, . Entonces, . Entonces, dado

que .

13. (*) Un amigo que trabaja en una empresa de consumo necesita conocer con desesperaciónla elasticidad precio del bien que vende su empresa, por lo que pide ayuda a sus colegas.Santiago le contesta que con las elasticidades ingreso y cruzada de ese bien es suficiente,mientras que Bruno considera que solo con la elasticidad ingreso y la elasticidad precio de lademanda, que mantiene la utilidad constante, de ese bien es suficiente. ¿Usted qué opina?

Para bien normal Para bien inferior

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

29

APUNTES DE ESTUDIO

SoLUCIóN: Santiago está en lo correcto, ya que con los datos de su respuesta se puede hallar la elasticidad precio aplicando el teorema de Euler a la propiedad de homogeneidad de las demandas ordinarias. Bruno está equivocado porque faltaría el dato de la proporción del gasto en ese bien para obtener la elasticidad precio por la identidad de Slutsky.

14. (*) Claudio y Patty estudiaron juntos para la calificada de Microeconomía I, y justo antesde rendir el examen se encontraron con el siguiente enunciado: “En una economía de dosbienes, si el bien “x” es un bien normal límite, entonces este debe ser complementario tantosi se analiza la demanda ordinaria como la demanda compensada (complementario brutoy complementario neto) del otro bien”. Analice la veracidad de ese enunciado usando unademostración matemática.

SoLUCIóN:El enunciado es falso. Suponiendo que son los únicos bienes, deben ser sustitutos brutosy netos. Usando la condición de homogeneidad de la función de demanda ordinaria,

. Dado que x es normal límite , de la ecuación previa,( ).

De otro lado, de la ecuación de Slutsky , de modo que (sustitutosbrutos). Un nuevo uso de la ecuación de Slutsky, , permite concluirque (sustitutos netos).

15. (*) Si se tienen dos bienes x1 y x2, y la demanda marshalliana por el bien 1 es de la forma:

x , entonces el bien x2 no puede ser inferior.

SoLUCIóN:El enunciado es verdadero. Se sabe que , de lo cual . Dado que (x2 debe ser un bien normal).

16. (**) Para el caso de dos bienes, siempre que dichos bienes sean sustitutos netos, tambiénserán sustitutos brutos.

SoLUCIóN:El enunciado es falso. Eso sucede solo cuando x es un bien inferior o un bien normallímite, como se comprueba usando la ecuación de Slutsky: . Por elcontrario, si x es un bien normal, los sumandos del lado derecho, (+) + (-), no necesariamentetienen un signo positivo.

17. (**) Las elasticidades precio directa y cruzada, tomadas sobre la curva de demanda ordinariao compensada, son siempre constantes en el caso de una función de utilidad Cobb-Douglas.Además, la elasticidad precio directa sobre la demanda ordinaria siempre es igual al gradode homogeneidad de dicha función.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

30


SoLUCIóN: El enunciado es falso. Si bien es cierto que todas las elasticidades (precio e ingreso), sobre las CDo y CDC, son constantes, la elasticidad precio directa sobre la demanda ordinaria es siempre igual a 1, sin importar el grado de homogeneidad de la función de utilidad. Cabe señalar, además, que la elasticidad precio directa, tomada sobre la demanda compensada hicksiana, tampoco es igual al grado de homogeneidad de la función de utilidad (el lector puede comprobar, por ejemplo, que cuando la función de utilidad es linealmente homogénea, dicha elasticidad es igual al negativo del coeficiente del bien en cuestión dentro de la función de utilidad).

18. (*) Si hay “n” bienes consumidos, todos ellos pueden ser normales, pero puede haber, comomáximo, “n–1” bienes inferiores.

SoLUCIóN:El enunciado es verdadero. Usando la condición de agregación de Engel:

Note que tal igualdad permite el caso de para todos los bienes, pero si todos los , tal igualdad no podría mantenerse (por tanto, como máximo pueden haber "n–1"

bienes inferiores).

19. (*) Si se tienen dos bienes, donde , entonces ninguno de ellos puede ser inferior.

SoLUCIóN: El enunciado es verdadero. La función de gasto es e(p,U) = U(p1 + p2), de donde V(p,m) =

y usando la identidad de Roy, x1(p,m) = x2(p,m) = , los dos bienes son normales .

20. (**) En el Starbucks de Stanford, todas las mañanas Alejandro desayuna un vaso de jugode naranja con un pan con queso, única relación que le brinda utilidad. Una mañana, se dacon la sorpresa de que el vaso de jugo ha aumentado de precio, a lo que Eliana le comenta:“Dadas las características que tienen tus preferencias, la pérdida de bienestar expresada entérminos de ingreso será similar si se calcula con el precio original del jugo de naranja o conel nuevo precio”. Demuestre gráficamente la verdad o falsedad de lo mencionado por Eliana.

SoLUCIóN:El enunciado de Eliana es falso. El vaso de jugo de naranja y el pan con queso son complementarios perfectos para Alejandro, por lo que sus curvas de indiferencia son rectangulares. La variacióncompensatoria (equivalente) mide la pérdida de bienestar expresada en términos de ingreso,calculada con el precio final (inicial), como se muestra debajo.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

31

APUNTES DE ESTUDIO

Dado que solo existe efecto ingreso, las curvas de demanda compensadas en el caso de la variación compensatoria (VC) y la variación equivalente (VE) son verticales, pero no iguales: la VC es mayor que la VE, como lo indican las áreas sombreadas arriba.

21. (*) Siempre que , las tres medidas de bienestar del consumidor estudiadas son

iguales (en valor absoluto) solo cuando el precio de un bien aumenta.

SoLUCIóN: El enunciado es falso: esto se cumple para cualquier cambio en precios. Dado que el efecto total es igual al efecto sustitución, el área a la izquierda de la curva de demanda ordinaria (cambio en el excedente del consumidor) es igual a la variación compensatoria y a la variación equivalente (área a la izquierda de la curva de demanda compensada).

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

32


22. (**) Ante un aumento en el precio de un bien inferior (x), dado que la curva de demandacompensada hicksiana de x tiene (en valor absoluto) mayor pendiente que su curva dedemanda marshalliana, la variación compensatoria generada por el aumento en el precio esmayor (en valor absoluto) que el cambio en el excedente del consumidor. Grafique.

SoLUCIóN:La primera parte del enunciado es verdadera (“curva de demanda marshalliana – CDO esmás empinada que la curva de demanda hicksiana – CDC”), pero la segunda parte es falsa(“DEC > VC”, en valor absoluto).

Como se puede apreciar en el gráfico, .

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

33

APUNTES DE ESTUDIO

23. (*) Ante un incremento en el precio de un bien, la variación en el excedente del consumidorbajo una curva de demanda ordinaria es siempre mayor que la variación en el excedente delconsumidor bajo una curva de demanda compensada.

SoLUCIóN:El enunciado es incierto. Si lo que se tiene en cuenta es el nivel de utilidad inicial antes de lavariación en el precio, la variación del excedente del consumidor es mayor bajo la demandacompensada (que mantiene constante dicha utilidad). Por el contrario, si se tiene en cuentael nivel de utilidad después de la variación en el precio, la variación del excedente delconsumidor es mayor bajo la curva de demanda ordinaria que bajo la demanda compensada(que mantiene constante el nuevo nivel de utilidad).

24. (*) En valor absoluto, la variación compensatoria (VC) es mayor que la variación equivalente(VE) de un bien inferior límite, y ambas son menores que el cambio en el excedente delconsumidor. Grafique el bien en cuestión en el eje vertical y asuma un aumento del preciode ese bien (x2).

SoLUCIóN:El enunciado es falso. La VE > DEC > VC.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

34


EJERCICIOS

1. (**) Muestre que las preferencias lexicográficas, definidas como: dadas dos canastas, tales que no pueden ser

representadas por una función de utilidad (indique qué axiomas se cumplen y cuáles no secumplen). Grafique el mapa de indiferencia respectivo.

SoLUCIóN:No puede serlo porque falla continuidad, pese a que sí son completas y transitivas. La zonasombreada refleja esas preferencias, dada una canasta como .

2. (*) En la cumbre del ASPA, se escuchó al rey de Jordania decir que estaba considerandoofrecer incentivos para los trabajadores más eficientes de sus empresas, como una manerade premiarlos. En Jordania se consumen petróleo (X) y otros bienes (Y), en donde el px es2 dinares el galón y el py es 1 dinar, y el promedio de ingresos de los trabajadores es de 24dinares. Sus asesores le habían planteado tres alternativas:

(a) Entregar un bono a cada trabajador que le permita adquirir 6 galones de petróleo gratis;(b) entregar un bono que permita obtener un descuento del 50% por cada galón de petróleo

consumido; y(c) entregar una gratificación de 12 dinares en dinero a cada trabajador.

obtenga las ecuaciones y grafique (en un solo gráfico) las rectas de presupuesto en cada caso.

SoLUCIóN:(a) El bono de gasolina gratis hace que la RP tenga dos tramos:

(b) El bono de descuento cambia la pendiente de la RP:

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

35

APUNTES DE ESTUDIO

Antes: la pendiente de la RP era px|py.Ahora: la pendiente es (spx)/py.

Luego: (0.5 * 2)x + y = 24 → y = 24 – x.

(c) El incremento del ingreso es 12 dinares. Luego, px x + py y = m + 12. Por tanto: y = 36 – 2x.

3. (*) Un consumidor con preferencias monotónicas y convexas consume cantidades no negativas de x1 y x2 (tomado de Iehle y Reny (2001), ejercicio 1.25).

a) Si representa esas preferencias, ¿qué restricciones deben imponerse sobre el valor de a?

b) Dadas esas restricciones, halle las demandas marshallianas.

SoLUCIóN PARTE a):Para que sea monotónica, 0 < a < 0.5.

SoLUCIóN PARTE b):Planteando el lagrangeano y resolviendo la CPo, y .

4. (*) Si la función de gasto es , ¿qué restricciones debe cumplir para que esta sea una función de gasto legítima? (tomado de Iehle y Reny (2001), ejercicio 1.59).

SoLUCIóN: Para la homogeneidad de grado 1 en precios, debe ser homogénea de grado (1 – m), con 1 > m > 0.

5. (**) Dada la siguiente función de utilidad: :

a) Halle la función de demanda ordinaria o marshalliana y la función indirecta de utilidad (FIU).

b) Si el ingreso nominal es 50 u.m. y el precio de x es 5 u.m., halle las canastas de consumoque maximizan la utilidad y el valor de la utilidad máxima, e indique si se justifica que larestricción presupuestaria se escriba como px = m. Explique.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

36


c) Si el ingreso nominal es ahora 500 (el precio de x no cambia), halle las canastas deconsumo máximo y el valor de la utilidad máxima, e indique si se justifica que la restricciónpresupuestaria se escriba como px = m. Explique.

d) Indique qué propiedad(es) de la función de utilidad no se cumple(n) en este caso.

SoLUCIóN PARTE a)Como se muestra en el gráfico debajo, U(x) es creciente para 0 < x < 50. Valores del ingreso que le permitan comprar hasta x = 50 le permitirán gastar todo el ingreso en el bien x (en este tramo, más es preferido a menos). Entonces, se puede asumir que se gasta todo el ingreso: p.x = m.

Pero U(x) es decreciente para x > 50. Valores del ingreso que le permitan comprar x > 50 resultarán en un menor nivel de utilidad que cuando x = 50; por lo que se puede asumir que no se gastará todo el ingreso en el bien x (en este tramo, menos es preferido a más) px < m:

SoLUCIóN PARTE b):En este caso, x = 10 con px > 50. La RP es 50 – 5x = 0.

SoLUCIóN PARTE c):En este caso, x = 50 (el x máximo que se puede comprar es 100; pero con ese nivel de consumo no se maximiza utilidad), con px < 500. La RP es 500 – 5x > 0, como se muestra debajo.

SoLUCIóN PARTE d):El supuesto de que la función de utilidad es estrictamente creciente (basado en el axioma de no saciedad local o el de monotonicidad estricta) falla aquí. El tramo decreciente hace que más no sea preferido a menos.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

37

APUNTES DE ESTUDIO

6. (**) Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad:

, con

Grafique las curvas de indiferencia y derive las funciones de demanda marshalliana (tomado de Iehle y Reny (2001), ejercicio 1.27).

SoLUCIóN:Vea los casos posibles de la relación entre x1 y x2:

(i) Si , típica maximización con bienes perfectamente sustitutos:

• y , si ,

• y , si , y

• cualquier combinación de x1 e x2 que cumpla p1x1 + p2x2 = m0, si a p2 = p1.

(ii) Si , típica maximización con bienes perfectamente sustitutos:

• y , si :

• y , si , y

• cualquier combinación de x1 e x2 que cumpla , si .

(iii) Si .

El gráfico de las curvas de indiferencia está formado por rayos que forman un ángulo obtuso, con vértice en x1 = x2.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

38


7. (***) Para la función de utilidad:

Considere los siguientes datos: . Halle la canasta de consumo que maximiza la utilidad. Grafique.

SoLUCIóN:Para el caso de soluciones interiores, se tiene la condición necesaria y suficiente de primer orden (CPo): . Entonces, .

La demanda por x2(p,m) resuelve esa expresión; y la demanda x1(p,m) se obtiene usando larelación antes indicada.

Para hallar la canasta que asume solución interior, se sabe que resuelve: . La

canasta resultante es A(x1, x2) = (1.0685, 0.8759), que proporciona una utilidad de 2.4426. Lacurva de indiferencia respectiva está dada por la curva formada por guiones.

Por otro lado, la utilidad obtenida especializándose en el consumo del bien 1, canasta B, es (curva formada por puntos).

Y la utilidad obtenida especializándose en el consumo del bien 2, canasta C, es (curva formada por puntos y guiones). Esta última es la que maximiza utilidad.

8. (**) Complete el cuadro 1.2 con las columnas donde se comparan las pendientes de lascurvas de demanda ordinaria (CDO) con las compensadas (CDC) slutskiana y hicksiana.Grafique cada uno de los casos.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

39

APUNTES DE ESTUDIO

CUADRO 1.2. Tipos de bienes según los efecTos susTiTución e ingreso

Tipo de bien

ES(↑ px)

EI (↑ px,↓ cap.

compra)ET

(↑ px)Pendiente

de laCDO

Pendiente de la CDC hicksiana

Pendiente de la CDC

slutsksiana

Normal < 0 (↓x)

> 0 (↓x)

< 0 (↓x)

Normal límite

< 0 (↓x)

= 0 (x)

< 0 (↓x)

(= ES)

Inferior < 0 (↓x)

< 0 (↑x)

(< ES)< 0 (↓x)

Inferior límite

< 0 (↓x)

< 0 (↑x)

(= ES)= 0 (x)

Giffen < 0 (↓x)

< 0 (↑x)

(> ES)> 0 (↑x)

SoLUCIóN:

Tipo de bien

ES(↑ px)

EI (↑ px,↓ cap.

compra)ET

(↑ px)Pendiente

de laCDO

Pendiente de la CDC hicksiana

Pendiente de la CDC

slutsksiana

Normal < 0 (↓x)

> 0 (↓x)

< 0 (↓x)

< 0 (más echada que CDC Hicks)

< 0

< 0 (más echada que CDC Hicks,

pero menos echada que

CDO)

Normal límite

< 0 (↓x)

= 0 (x)

< 0 (↓x)

(= ES)

< 0 (= CDC Hicks = CDC

Slutsky)< 0 < 0 (= CDC

Hicks)

Inferior < 0 (↓x)

< 0 (↑x)

(< ES)

< 0 (↓x)

< 0 (menos echada que CDC Hicks)

< 0

< 0 (menos echada que CDC Hicks, pero más

echada que CDO)

Inferior límite

< 0 (↓x)

< 0 (↑x)

(= ES)

= 0 (x) Infinito < 0

< 0 (menos echada que CDC Hicks, pero más

echada que CDO)

Giffen < 0 (↓x)

< 0 (↑x)

(> ES)

> 0 (↑x) > 0 < 0

< 0 (menos echada que CDC Hicks)

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

40


CURVAS DE DEMANDA COMPENSADAS Y ORDINARIAS SEgúN TIPO DE BIENES

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

41

APUNTES DE ESTUDIO

9. (**) Víctor es un padre altruista respecto a su único hijo, David, por eso su función de utilidadse representa por UV = U(x1, x2), donde x1 es el consumo de Víctor y x2 es el consumo de David.David, en cambio, es egoísta, ya que solo le importa su consumo, por lo que su función deutilidad es UD = U(x2). Víctor tiene un ingreso I1 que destina a su propio consumo (x1) y a unapropina que le da a David (g). David tiene un ingreso I2 y le suma el monto de la propina (g) para llegar a su consumo (x2).

a) Suponga que el padre maximiza su utilidad. Grafique la restricción presupuestaria deVíctor considerando x1 e x2 en los ejes (puede suponer que p1 = p2 = 1) y la intersección conuna curva de indiferencia típica. No olvide identificar en el gráfico I1, I2 y g.

b) Demuestre que si sube el ingreso del hijo, en la medida en que x1 y x2 sean bienesnormales para Víctor, el resultado será que tanto el padre como el hijo incrementarán suconsumo.

SoLUCIóN PARTE a):

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

42


SoLUCIóN PARTE b):Se puede observar que el consumo aumenta de la canasta A a la canasta B, con el nuevo ingreso I'2.

10. (*) Juan consume dos bienes y busca maximizar su utilidad, que está dada por la función:

Si se sabe que ha elegido la siguiente canasta de consumo: x1 = 4, x2 = 13, ¿es posible afirmarque Juan ha adquirido el bien x1 a la mitad del precio del bien x2? Explique.

SoLUCIóN: No es posible tal afirmación.

Se halla la . Reemplazando la canasta (4,13), se obtiene .

En equilibrio (“ha elegido”), tiene que igualarse la con los precios relativos; por lo

tanto, los precios deben ser iguales.

11. (**) La función de gasto mínimo de un consumidor está dada por: . Halle la

función de utilidad directa que racionaliza este comportamiento (tomado de Iehle y Reny (2001),

ejercicio 2.6).

SoLUCIóN:Usando las identidades de McFadden, se puede despejar la FIU:C

opyr

ight

© 2

015.

Uni

vers

idad

del

Pac

ífico

. All

right

s re

serv

ed.

43

APUNTES DE ESTUDIO

Usando la identidad de Roy:

De la misma manera: .

Comparando con las demandas marshallianas, se puede ver que la , una función CES (necesitará practicar mucho para darse cuenta de esta relación).

12. (***) Considere la siguiente función CES, .

a) Halle las demandas marshallianas, la función indirecta de utilidad y la función de gastomínimo.

b) Compute la ecuación de Slutsky para los efectos de cambios en p2 sobre x1. ¿Son ambosbienes sustitutos o complementos brutos?

SoLUCIóN PARTE a):

Formando el lagrangeano, .

La CPo sería: , ⇒ , de lo cual .

Reemplazando en la restricción de presupuesto: , de lo cual y .

Luego, la función indirecta de utilidad (FIU) es:

.

La función de gasto mínimo, usando las identidades, y , es:

. Note el parecido de esta función con la del ejercicio anterior.

SoLUCIóN PARTE b):

Calculando el efecto total:

(sustitutos brutos)

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

44


Hallando ahora la demanda hicksiana del bien x1, usando las identidades de McFadden, paraluego calcular el efecto sustitución:

.

También se calcula un componente del efecto ingreso:

Finalmente, se tiene la ecuación de Slutsky:

Efecto sustitución:

Efecto ingreso:

Sumando ambos efectos, se tiene el efecto total:

que es, efectivamente, igual a la expresión antes hallada.

13. (**) Dada la siguiente función de utilidad, que refleja preferencias estrictamente convexas:

Con y . Grafique los equilibrios inicial y final, así como las canastas relevantes en el análisis, y halle el ES, EI, y ET sobre el bien x1.

SoLUCIóN:Las demandas ordinarias son: y , con . El punto

inicial está indicado en el gráfico por la canasta A, (50,50), con ; y el punto final, por la canasta C, (25,50), con . El efecto total es, entonces, .

• Para hallar el ES según Hicks, se halla la canasta en BH, donde.

Luego, .

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

45

APUNTES DE ESTUDIO

Por tanto, el efecto sustitución según Hicks es igual a – 14.65.Y el efecto ingreso es igual a .

• Para hallar el ES según Slutsky, se halla la canasta en el punto BS (ver gráfico mostradodebajo), donde . Dado que en A y BS en se compra la misma canasta, sepuede hallar .

Luego, .

Por tanto, el efecto sustitución según Slutsky es igual a .Y el efecto ingreso es igual a .

14. (**) Dada la siguiente función de utilidad cuasilineal, que refleja las preferencias sobre unbien normal límite (x1) y un bien normal (x2):

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

46


Si los vectores de precios inicial y final son p0 = (2,1) y p1 = (2,2) y el ingreso nominal es m0 = 10, halle los efectos sustitución, ingreso y total que ese cambio en el precio produce sobre ambos bienes.

SoLUCIóN:Las funciones de demanda (el procedimiento es omitido) son: y , con la .

La canasta inicial es (reemplazando precios e ingreso iniciales): . Y la . Esta canasta es la indicada por el punto A del gráfico.

La canasta final es (reemplazando precios finales e ingreso inicial): . Y la . Esta canasta es la indicada por el punto b del gráfico.

EFECTOS SUSTITUCIóN, INgRESO Y TOTAl SOBRE UN BIEN NORMAl (x2) Y NORMAl lÍMITE (x1)

• Para hallar el ES sobre x1, note que la demanda de este bien no depende del ingresonominal, por lo que el EI será 0 (x1 es un bien normal límite) y el ET será igual alES = 2 - 1 = 1.

• Para hallar el ES sobre x2, cuya demanda sí depende del ingreso nominal, calculamosel ingreso nominal que permite, a los nuevos precios, alcanzar la curva de indiferenciainicial. Se sabe que la canasta en el punto c del gráfico satisface la siguiente igualdad:

. Por tanto, y . Luego, el ES sobre , el ,

y el .

15. (***) Homero está convencido de que su función de utilidad entre donuts (x1) y cerveza (x2)tiene la forma de una función Stone-Geary:

x1C

opyr

ight

© 2

015.

Uni

vers

idad

del

Pac

ífico

. All

right

s re

serv

ed.

47

APUNTES DE ESTUDIO

Si los vectores de precios inicial y final son p0 = (2,1) y p1 = (2,2) y el ingreso nominal es m0

= 10, halle los efectos sustitución, ingreso y total que ese cambio en el precio produce sobre ambos bienes.

SoLUCIóN:Las funciones de demanda (el procedimiento es omitido) son: y , con la .

La canasta inicial es (reemplazando precios e ingreso iniciales): . Y la . Esta canasta es la indicada por el punto A del gráfico.

La canasta final es (reemplazando precios finales e ingreso inicial): . Y la . Esta canasta es la indicada por el punto b del gráfico.

EFECTOS SUSTITUCIóN, INgRESO Y TOTAl SOBRE UN BIEN NORMAl (x2) Y NORMAl lÍMITE (x1)

• Para hallar el ES sobre x1, note que la demanda de este bien no depende del ingreso nominal, por lo que el EI será 0 (x1 es un bien normal límite) y el ET será igual al ES = 2 - 1 = 1.

• Para hallar el ES sobre x2, cuya demanda sí depende del ingreso nominal, calculamos el ingreso nominal que permite, a los nuevos precios, alcanzar la curva de indiferencia inicial. Se sabe que la canasta en el punto c del gráfico satisface la siguiente igualdad:

. Por tanto, y . Luego, el ES sobre , el ,

y el .

15. (***) Homero está convencido de que su función de utilidad entre donuts (x1) y cerveza (x2) tiene la forma de una función Stone-Geary:

x1

U(x1, x2) = (x1 – a)(x2 – b), donde

a) Conociendo sus habilidades como economista, un amigo le preguntó: ¿Cuánto tendría queaumentar el ingreso de Homero para que su utilidad se incremente en un util?

b) Lisa analiza la función de Homero y descubre que, en su caso, a = 8 y b = 4. Suponga que elingreso es igual a 100 y que el precio de las donuts es igual a 1. Calcule el efecto ingreso yel efecto sustitución cuando el precio de la cerveza pasa de 1 a 2 (utilice el método de Hicksy el método de Slutsky).

SoLUCIóN PARTE a):Hay dos formas de resolverlo: el dual (min p. x) y el primal (max U):

(i) Se plantea el problema de minimización delgasto:

Lagrangeano:

Las condiciones de primer orden:

Despejando μ en y :

Reemplazando x en :

(ii) Se plantea el problema de maximización deutilidad:

Lagrangeano:

Las condiciones de primer orden:

Despejando l en y :

Reemplazando x en :

La inversa será la expresión pedida:

Luego:

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

48


SoLUCIóN PARTE b):Con las demandas compensadas de la parte anterior, se obtiene la función de gasto mínimo:

, de donde

Hallando la demanda ordinaria de x2 para determinar el efecto total del cambio de precio:

Por lo tanto, el efecto total será 48 - 25 = 23 unidades.

Para el efecto sustitución a lo Hicks requerimos calcular la utilidad original:

Reemplazando en la CDC:

El efecto sustitución a lo Hicks será: 48 – 35.11 = 12.89.

El efecto ingreso a lo Hicks será 35.11 – 25 = 10.11.

Para el efecto sustitución a lo slutsky, se requiere calcular la canasta original: , . Con los nuevos precios, el gasto necesario para adquirirla sería 52 + 48 . 2 =

148.

Si el ingreso fuera 148, consumiría:

El efecto sustitución a lo Slutsky será: 48 – 37 = 11.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

49

APUNTES DE ESTUDIO

El efecto ingreso a lo Slutsky será: 37 – 25 = 12.

16. (**) Phineas tiene una función de utilidad que depende de dos bienes y adopta la siguienteforma:

a) Calcule la demanda compensada de ambos bienes.

b) Describa una función de utilidad directa que refleje estas preferencias. Comente cuálsería la relación entre x1 y x2.

SoLUCIóN PARTE a):Hallando la función de gasto: .

Para obtener las demandas compensadas es importante diferenciar tres casos:

SoLUCIóN PARTE b):Son bienes perfectamente sustitutos, donde se tiene una tasa marginal de sustitución = 1/3. Las funciones de utilidad serán del tipo .

17. (***) Carlos tiene ciertas dudas microeconómicas, pues no sabe cómo estimar las demandasordinarias ni los efectos sustitución e ingreso. Para ello, le brinda su función indirecta deutilidad:

El valor de mercado del bien x1 es 2 y el del bien x2 es 6.

a) Halle las funciones de demanda ordinaria de x1 y x2.

b) Si el ingreso promedio de Carlos es 200 u.m. y el precio del bien x1 se duplica, emplee elmétodo de Hicks para hallar el efecto precio, el efecto ingreso y el efecto total de dichocambio en el precio. Grafique e interprete.

c) Calcule los efectos usando el método de Slutsky y compare con el resultado por el métodode Hicks encontrado antes (no necesita graficar, solo comparar las magnitudes de losrespectivos efectos).

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

50


SoLUCIóN PARTE a):

Sea y aplicando la identidad de Roy:

SoLUCIóN PARTE b): Hicks:

P10 = 2, P1

1 = 4, P2 = 6, M = 200.

Por McFadden: V = U0 y M = e

Usando el lema de Shephard:

El gráfico muestra esos efectos.

x1C

opyr

ight

© 2

015.

Uni

vers

idad

del

Pac

ífico

. All

right

s re

serv

ed.

51

APUNTES DE ESTUDIO

SoLUCIóN PARTE a):

Sea y aplicando la identidad de Roy:

SoLUCIóN PARTE b):Hicks:

P10 = 2, P1

1 = 4, P2 = 6, M = 200.

Por McFadden: V = U0 y M = e

Usando el lema de Shephard:

El gráfico muestra esos efectos.

x1

SoLUCIóN PARTE c):. Luego

. El ES según Slutsky es menor, en valor absoluto, que el ES según Hicks.

18. (***) El siguiente ejercicio ilustra la utilidad de la ecuación de Slutsky para el cálculo de losefectos sustitución, ingreso y total. Dada la siguiente función de utilidad:

Si m0 = 1,100 y el precio del bien 1 aumenta: p0 = (10,10), p1 = (11,10), halle el efecto sustitución, el efecto ingreso y el efecto total sobre el bien 1. Use el método de Hicks y la ecuación de Slutsky.

SoLUCIóN:• UsandoelmétododeHicks:

Las funciones de demanda ordinaria y la FIU son: , , . La función de demanda compensada del bien 1 es: .

Canastas óptimas: inicial y final, . FIU inicial, .

El ingreso nominal que permite, a los precios p1, alcanzar la FIU inicial, es: . Luego, .

La canasta que se alcanza a los precios p1 con el ingreso es .

Por tanto, ; ; y .

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

52


• UsandoahoralaecuacióndeSlutsky(notequelasecuacionesdebenserevaluadasenlosvalores iniciales de precios, ingreso nominal y utilidad):

Dado que el cambio en el precio del bien 1 fue relativamente pequeño (10%), la ecuación de Slutsky aproxima relativamente bien los efectos antes hallados. El lector puede comprobar que si el aumento en dicho precio del bien fuera del 1% (de 10 a 10.1), los resultados por ambos métodos serían bastante parecidos.

19. (*) El profesor Pérez se encontró con su colega Sánchez luego de tomar la PC2 a sus alumnosde la Universidad del Atlántico. Pérez le mostró el siguiente enunciado:

“Dado un consumidor que maximiza su utilidad y compra libros y hamburguesas con todo suingreso, ante un aumento en el precio de libros, la curva de demanda compensada de librossegún Slutsky será más inelástica que su demanda compensada según Hicks; la misma que,a su vez, será más elástica que la curva de demanda ordinaria”.

Resuelva ese ejercicio y sustente su respuesta gráficamente (asuma que los libros son bienesnormales).

SoLUCIóN:La primera parte del enunciado es verdadera: la CDCSlutsky es más inelástica que laCDCHicks. La segunda parte del enunciado es falsa: las CDC serán menos elásticas que laCDo, como se aprecia en el gráfico.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

53

APUNTES DE ESTUDIO

20. (**) Juan ha decidido incursionar en el negocio de los talcos, lo que le permitirá obtener 50soles mensuales de ingresos, que destinaría a consumir 2 bienes: papas fritas (P) y coliflor(C). Juan ha podido estimar mediante un programa econométrico su función de utilidad:

U1 = 7P0.6C0.3

Además, se sabe que el precio de las papas fritas es 5 y el precio de la coliflor es 7.

Halle las soluciones de demanda de papas fritas y coliflor que mantienen el ingreso real constante a lo Hicks.

x1x1

CDO

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

54


SoLUCIóN:Lo que se pide es hallar las CDC. Se puede maximizar utilidad, hallar la FIU, despejar el gasto por dualidad y aplicar el lema de Shephard, o minimizar el gasto y hallar las CDC.

Se despeja C y luego se obtiene P:

21. (**) Un día, al recibir el Publimax en el semáforo de su casa, Juan Escritorio descubre un cupónpor 50 soles válido para el consumo de otros dos bienes (sal – S y mondadientes – M). Juanutilizó el potente programa Paint para encontrar su función de utilidad que proviene del consumode S y M, y se dio con la sorpresa de que esta está condicionada al comportamiento del consumodel bien coliflor en su otra función de utilidad (U1 en la pregunta anterior). En particular:

, si la coliflor es un bien inferior o Giffen , de otro modo

Además, sabe que el precio de la sal es 3 y el precio de los mondadientes es 2. Halle la canasta óptima de consumo de sal y mondadientes para Juan.

SoLUCIóN: Basta hallar la CDO de la coliflor en la pregunta anterior, C(P,M)=M/3Pc, para notar que C es un bien normal. Entonces:

U2 = 4S + 3M

Dado que PS = 3 & Pm = 2, PS / Pm > UMgS/UMgM, solo se consume M. Luego, M* = 25, S* = 0.

22. (***) Graciela se encontraba preocupada por su nota en el curso de MicroeconomíaIntermedia. Luego de volver a leer el sílabo, se enteró de lo siguiente: la nota final delcurso se obtiene como el mínimo de las notas del examen parcial (EP) y el examen final(EF). Adicionalmente, sus profesores le comentaron que un estudiante promedio requiere 12minutos de estudio para obtener un punto adicional en cada examen.

Nota: La función de utilidad de Graciela depende de la nota en el EP y en el EF.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

55

APUNTES DE ESTUDIO

a) Si un estudiante promedio dispone de 20 horas para estudiar para ambos exámenes (EPy EF), ¿cuánto tiempo empleará en cada examen? Halle la nota que obtendrá Graciela encada examen y su nota final en el curso de Microeconomía Intermedia. Grafique.

b) ¿Cuánto tiempo de estudio adicional requiere Graciela para incrementar su nota final en10 puntos? Grafique.

c) Si se necesitasen 13 minutos por cada punto en el examen final. ¿Cómo cambiaría elcosto total (en minutos) necesario para obtener una nota final de 50 puntos en el cursode Microeconomía Intermedia? Grafique.

d) Si las notas no fueran calculadas como un mínimo del EP y del EF, sino como un promediosimple de ambas notas, ¿cómo sería la forma funcional de la utilidad de Graciela? ¿Cuálsería la combinación de puntos óptimos para Graciela?

SoLUCIóN PARTE a): Sea X1 = puntos en el EP; y X2 = puntos en el EF.

20 horas = 20 * 60 = 1,200 minutos, este es su ingreso. El “precio” de cada punto es 12 minutos. Por lo que su RP es: Minutos Totales (1,200) = 12X1 + 12X2

Entonces, dedica 12*50 = 600 minutos = 10 horas, a cada examen. (Esto se obtiene reemplazando en la RP).

SoLUCIóN PARTE b):10 puntos más en cada examen, a un costo de 12 minutos por punto. Entonces se tiene: 10 ptos. * 2 exámenes * 12 minutos = 240 minutos adicionales = 4 horas más.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

56


SoLUCIóN PARTE c):P2' = 13 y P2 = 12.

El precio del EF se ha incrementado en 1, por lo que hay un cambio en la RP. Dado que el precio se ha incrementado en 1, los alumnos necesitan 50 minutos más; para ello, solo hay que reemplazar los precios nuevos con las cantidades X1 = X2 = 50 en la RP y hallar el tiempo total, que saldrá 1,250, en comparación con 1,200 minutos que se tenían antes. Por lo que la RP se contrae en X2, dado que el precio se incrementó, pero se expande en X1 porque el ingreso total se debe incrementar en 50 minutos.

SoLUCIóN PARTE d):Se tendría una forma funcional lineal, por ejemplo: , por lo que serían bienes sustitutos perfectos. Dado que el ratio de precios es 1, y es igual al ratio de utilidades marginales, la canasta de consumo óptima se da a lo largo de cualquier punto sobre la RP.

23. (**) Pepe se encontraba leyendo un journal importante en la investigación económica. Dentrodel documento, se encontraba la siguiente función de gasto mínimo:

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

57

APUNTES DE ESTUDIO

SoLUCIóN PARTE c):P2' = 13 y P2 = 12.

El precio del EF se ha incrementado en 1, por lo que hay un cambio en la RP. Dado que el precio se ha incrementado en 1, los alumnos necesitan 50 minutos más; para ello, solo hay que reemplazar los precios nuevos con las cantidades X1 = X2 = 50 en la RP y hallar el tiempo total, que saldrá 1,250, en comparación con 1,200 minutos que se tenían antes. Por lo que la RP se contrae en X2, dado que el precio se incrementó, pero se expande en X1 porque el ingreso total se debe incrementar en 50 minutos.

SoLUCIóN PARTE d):Se tendría una forma funcional lineal, por ejemplo: , por lo que serían bienes sustitutos perfectos. Dado que el ratio de precios es 1, y es igual al ratio de utilidades marginales, la canasta de consumo óptima se da a lo largo de cualquier punto sobre la RP.

23. (**) Pepe se encontraba leyendo un journal importante en la investigación económica. Dentro del documento, se encontraba la siguiente función de gasto mínimo:

Pepe le pide a usted que lo ayude con las siguientes preguntas:

a) Halle las funciones de demanda ordinarias de ambos bienes.

b) Demuestre que se cumple la simetría de efectos cruzados: .

c) Demuestre matemáticamente que la demanda compensada hallada es homogénea degrado cero respecto a los precios.

d) Halle la función de utilidad directa.

SoLUCIóN PARTE a):Las funciones de demanda ordinaria (usando identidades para hallar la FIU y, luego de aplicar la identidad de Roy):

SoLUCIóN PARTE b):Usando el lema de Shephard, se hallan las funciones de demanda compensadas:

De donde se verifica que:

SoLUCIóN PARTE c):Tomando el caso de (sale de la parte b)).

SoLUCIóN PARTE d):Comparando la FIU con las demandas ordinarias, se infiere que , que es una función de la familia CES.

24. (**) Dada la FIU, , halle las funciones de demanda marshalliana, hicksiana,

de gasto mínimo y de utilidad directa.

SoLUCIóNUsando las identidades de McFadden, se tiene:

.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

58


Se usa la identidad de Roy para hallar la demanda marshalliana del bien 1, , y de manera análoga se obtiene . Note que ambas

demandas son iguales a la FIU.

Se usa el lema de Shephard para hallar las demandas compensadas: , y .

obviamente, también se pudo haber usado una identidad de McFadden para obtener las FDC a partir de las FDO antes halladas.

De lo anterior, se sabe que, en el punto óptimo, las cantidades demandadas son iguales entre sí e iguales a la FIU, de manera que la función de utilidad directa es .4

25. (***) El Perú ha planteado a los países árabes la posibilidad de desarrollar la “dieta andina”,que consiste en el consumo de dos bienes: Quinua (Q) y Kiwicha (K). Se ha estimado que elconsumidor promedio de Abu Dabi tiene una función de utilidad igual a:

U(Q, K) = QK + K

Además, se sabe que el consumidor promedio tiene un ingreso de 38 dirhams (moneda local) y que el precio del kilogramo de quinua es 2 dirhams y el de la kiwicha, 1 dirham.

a) Los economistas de la delegación árabe están preocupados porque creen que ambosbienes serán inferiores para los consumidores. Ulises, economista de la delegaciónperuana, les ha dicho lo siguiente: “Uno de los bienes puede ser inferior, debido a quela elasticidad ingreso ponderada de un bien, en donde la ponderación es la participacióndel gasto de ese bien en el gasto total, tiene que ser igual a 1 menos la elasticidad ingresoponderada del otro bien”. El Canciller, al escuchar este argumento, refutó diciendo: “Meparece que ninguno de los dos bienes puede ser inferior”. Explique los argumentos yverifique si, para los datos suministrados, lo dicho por Ulises se cumple.

b) En una sesión cerrada para ver el tema de la dieta andina, un asesor de la delegaciónárabe preguntó a sus colegas peruanos si es que la elasticidad cruzada entre la kiwichay el precio de la quinua, cuando se mantiene el ingreso real constante, es mayor de launidad. Dado que habían algunos egresados de la UP en la reunión, muchos se ofrecierona responder. Usted fue elegido. ¿Qué respondería?

c) Se prevé que el precio de la quinua podría disminuir en 5% en los próximos meses,debido a los acuerdos comerciales entre el Perú y los países árabes. ¿Podría calcular elimpacto de dicha reducción del precio en la cantidad demandada de quinua? Especifiquelos efectos precio e ingreso de dicho cambio.

4. En un sentido estricto, esta FIU también proviene de una función máximo.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

59

APUNTES DE ESTUDIO

SoLUCIóN PARTE a): Maximizando U sujeto a la RP sale: .

Basta con hallar la derivada de Q y K con respecto a M para saber que son bienes normales.

otra forma es utilizar la identidad siguiente: "la sumatoria ponderada de las elasticidades ingreso es igual a 1"

Sabemos que y . Al ser ambas elasticidades ingreso positivas, ambos son bienes normales.

SoLUCIóN PARTE b):Se pide la eh

K,PQ de la demanda compensada.

Por homogeneidad de grado cero, respecto de precios e ingreso, de la demanda ordinaria de K, se tiene que: eK,PK

+ eK,PQ + eK,M = 0. De la parte a), se sabe que eK,PK = –1 y eK,M = 0.95. Luego,

se halla eK,PQ = 0.05.

Usando la ecuación de Slutsky para K respecto de PQ, se tiene: (positiva, pero menor a 1).

SoLUCIóN PARTE c):Utilizamos la descomposición de Slutsky para la quinua en elasticidades.

porque . Luego, porque .

Se sabe que .

El efecto total es, entonces, 9*(1 + 0.0525) = 9.4725.

El efecto precio (sustitución se evalúa sobre la elasticidad de la demanda compensada): . Para un ∆%PQ = –5% → ∆%Qh =

2.75%. Luego, el efecto precio = 9*(1 + 0.0275) = 9.2475.

El efecto ingreso sale por diferencia del efecto total menos el efecto precio = 9.4725 - 9.2475 = 0.2250.

26. (*) La economía de KKT se sustenta en solo dos bienes: minerales y gas. Se sabe que laelasticidad precio de la demanda compensada del gas es -0.15 y que la elasticidad preciodel gas es -0.75. Además, se sabe que la elasticidad de demanda del mineral ante cambiosen el precio del gas es 0.35 y que la elasticidad precio del mineral es -0.85. Halle lasproporciones gastadas en cada bien en la economía KKT.

SoLUCIóN:Sea Mineral = X1 y Gas = X2.

Por Slutsky (gas): . Luego, . Luego = 0.6.

Por Euler (mineral): . Luego, .

Por Engel: , se concluye que , de lo cual .

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

60


27. (***) Se sabe que el presupuesto familiar del poblador promedio en la costa se divide entre elconsumo de pescado (P) y todos los demás bienes (D). Asimismo, un estudio socioeconómicoha revelado que la función de utilidad del poblador costeño típico está expresada por:

U(P, D) = P2D

Si el kilogramo de pescado cuesta 3 soles, el índice de precios de todos los demás bienes es 2 soles y el nivel de utilidad inicial es 20 utiles, responda lo siguiente:

a) Los gobiernos regionales de la costa desean que sus pobladores sean más felices y elloimplica que la utilidad de cada poblador promedio deber crecer en 10%. Le piden queestime en cuánto tendría que aumentar el gasto de cada poblador para alcanzar el nivelde felicidad propuesto.

b) Recientemente, se ha producido la muerte masiva de mamíferos y aves marinas, lo queha ocasionado que los pobladores costeños estén temerosos de comer pescado. Comoconsecuencia, el precio del pescado ha disminuido a S/. 1 por kilogramo. Estime cuálserá el efecto total del cambio en el consumo debido a esta reducción de precios y encuánto cambiará la proporción del gasto en pescado. Interprete sus resultados.

SoLUCIóN PARTE a):Se está preguntando por el multiplicador lagrangeano de la minimización de gasto, pero cuando U cambia en 2 unidades (multiplicar lambda del dual por 2):

(2), que es una aproximación de 2 veces la VE: e(p0,U1) - e(p0,U0)

Usando el dual para hallar las CDC: y , que evaluado en

los datos indicados es (Ph, Dh) = (2.99, 2.24) y encontrar el valor de la expresión:

El valor pedido es 2 * 0.22 = 0.44 u.m.

otro camino sería usar el primal: hallar la CDO, luego la FIU, luego la e(p,U), usando identidades de McFadden, y derivar con respecto a U.

SoLUCIóN PARTE b):Se está preguntando por la elasticidad precio de la demanda ordinaria de pescado, para lo cual deberá tener la CDO. Dado que , se sabe que la

(esto tiene que derivarlo para comprobarlo). Se tiene como dato que ( ).

Entonces, se sabe que . Por tanto,

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

61

APUNTES DE ESTUDIO

De otro lado, como la elasticidad es unitaria, la proporción gastada No cambia ante cambios en precios. (Esto último podía comprobarlo hallando las demandas con los nuevos precios, y vería que la proporción gastada seguiría siendo 2/3).

28. (***) Los pobladores de la comunidad de Ñahuinpuquio tienen la siguiente función deutilidad, donde el bien 2 representa los alimentos consumidos:

Es decir, si un poblador consume al menos 1 unidad del bien 1, entonces su utilidad está dada por x1x2; mientras que si consume menos de 1 unidad del bien 1, su utilidad es simplemente x2.

a) Halle la función de demanda marshalliana del bien 2 y grafíquela como función delingreso, m (con m en el eje horizontal) e indique si es posible (y razonable) que aumentosen el ingreso nominal conduzcan a que los pobladores de Ñahuinpuquio estén menosalimentados. Asuma que el vector de precios es (1,1).

b) Halle la función indirecta de utilidad y grafíquela como función de m (ponga m en el ejehorizontal). (Siga asumiendo que los precios son (1,1)).

SoLUCIóN PARTE a):Para hallar la CDo de x2, conviene distinguir dos casos:

(1) Si la persona compra solo el bien 2, el consumo óptimo es .

(2) Si la persona compra los dos bienes, se usa la función Cobb-Douglas, que resulta en, .

El resultado de que, para algunos niveles de ingreso, los alimentos no son un bien normal (como uno esperaría) parece contraintuitivo (por ejemplo, eso pasaría entre los niveles de ingresos 3.5 u.m. y 6 u.m., x2 (1,1,3.5) y x2 (1,1,6) = 3). No obstante, se puede concebiruna situación en la que, luego de que el ingreso ha alcanzado cierto nivel de subsistencia, aumentos en el ingreso nominal conducen a un trade-off entre alimentos y mejoras en vivienda, por ejemplo. En ese contexto, más ingresos pueden conducir a aumentar el consumo de una mejor vivienda, y una reducción en el gasto en alimentos. Para entender mejor la CDO de x2, revise la parte b).

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

62


SoLUCIóN PARTE b):(1) Si la persona compra solo el bien 2, .

(2) Si la persona compra los dos bienes, .

Entonces, graficando ambos casos, se tiene que:

Para m > 4, es óptimo consumir ambos bienes, donde .

Para m < 4, es óptimo consumir solo el bien 2, .

29. (***) Dada la siguiente función de gasto mínimo de una persona:

Los precios iniciales son (1,1) y su ingreso nominal es 800 soles. Si el gobierno ofreciera a esta persona un pago en efectivo de 1,700 soles, con la condición de que se abstenga de consumir el bien 1, ¿aceptaría esta persona este pago?

SoLUCIóN:Una forma de resolver es encontrar los precios, p1, que hacen óptimo obtener la utilidad inicial (U0), consumiendo 0 unidades del bien 1 y cierto nivel, aún desconocido, delbien 2 .

Hallando la FIU, de la función de gasto mínimo: .

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

63

APUNTES DE ESTUDIO

Usando el lema de Shephard, y .

La .

Luego, .

.

El costo de estas 2,025 unidades del bien 2 es 2,025 soles, cifra menor que el ingreso total de la persona, incluyendo el pago del gobierno (1,700 + 800 = 2,500 soles). Por tanto, la persona sí aceptaría ese pago por sacrificar el consumo del bien 1.

Una solución alternativa sería hallar las demandas marshallianas, usando la identidad de Roy, e inferir la función de utilidad directa, que resulta ser (¡demuéstrelo!). Entonces, (conviene aceptar el pago de 1,700 soles).

30. (**) Adriana está estudiando para su examen de Microeconomía I y, súbitamente, una tazade café arruina la sección de su cuaderno en la cual estaba resolviendo un ejercicio sobreelasticidades, para un individuo que consume solo dos bienes. Afortunadamente, se hasalvado la información de las demandas de los bienes:

y

a) ¿Cuál es la relación entre la elasticidad precio y la elasticidad ingreso del bien 1?Compruebe su respuesta utilizando la relación entre elasticidades que corresponda.

b) Además, se pudo salvar la siguiente información: la participación en el gasto del bien 1es 47.5%, el ingreso del individuo es 100 soles y los precios del bien 1 y del bien 2, son5 y 15 soles, respectivamente. Si el precio del bien 2 baja en 5 soles, ¿cuál es el cambioporcentual en el consumo de dicho bien?

SoLUCIóN PARTE a):Tiene que calcular las respectivas elasticidades y se dará cuenta de que: y

, es decir, uno es el opuesto del otro.

Esto se comprueba con la condición de homogeneidad, ya que:

Entonces, dado que el consumo del bien 1 no depende del precio del bien 2, e12 = 0 y, por tanto, se cumple que:C

opyr

ight

© 2

015.

Uni

vers

idad

del

Pac

ífico

. All

right

s re

serv

ed.

64


SoLUCIóN PARTE b):En este caso hay que hacer uso de la ecuación de Slutsky para el bien 2: (esto es lo que se tiene que calcular). Para ello, se necesita y .

Hallando : usando la condición de aditividad de Engel: . Reemplazando los

datos en la expresión de , hallada en la parte a), se tiene y 0.952. Hallando de la función de demanda compensada, .

Reemplazando en la ecuación de Slutsky, . Esto es, la cantidad deberá cambiar en el mismo porcentaje del cambio en el precio, que es 33.3%.

31. (**) Para el caso de una función de utilidad Cobb-Douglas linealmente homogénea:

Con y , m = 10. Halle el Cambio en el Excedente del Consumidor (AEC) resultante.

SoLUCIóN: Se sabe que y

, , .

Usando la ecuación .

Usando la ecuación que aproxima el .

El lector puede comprobar que para cambios más pequeños en precios, los dos resultados se parecen más. Para p1 = (1.5,1), por ejemplo, el DEC usando la FIU es igual a -1.83, mientras que el DEC usando la integral es igual a -2.03.

32. (**) El ingeniero Bam Bam, actualmente retirado, utiliza el ingreso que le brinda su pensiónen comprar menús y entradas al cine. La función de utilidad indirecta del ingeniero BamBam viene dada por la siguiente fórmula:

Donde P1 es el precio de los menús, P2 es el precio de las entradas al cine y M es la pensiónque recibe de la oNP.

a) Actualmente, el precio de los menús es 8 soles y el del cine, 12 soles, y con la pensiónque recibe el ingeniero Bam Bam, él puede alcanzar una utilidad de 32. Durante su visitamatutina al club, el ingeniero Bam Bam escuchó rumores sobre una duplicación delprecio de los menús, lo cual lo dejó muy preocupado. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagarpara que el precio de los menús permaneciera en 8 soles?

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

65

APUNTES DE ESTUDIO

b) El precio acaba de subir, y el ingeniero Bam Bam va a hacer un reclamo a la oNP paraque le aumenten su pensión. ¿En cuánto debería aumentar la pensión del ingenieroBam Bam para que su nivel de utilidad no se vea afectado por el aumento en el precio?Compare el resultado de esta pregunta con el obtenido en la parte (a). ¿Qué medida debienestar le conviene usar al ingeniero Bam Bam para su reclamo ante la oNP?

SoLUCIóN PARTE a):En esta pregunta se está pidiendo la variación equivalente.

Primero, se halla la función de gasto:

Reemplazando los valores, se halla la pensión semanal = 120. Segundo, se halla el nivel de utilidad luego de que cambian los precios usando la FIU, que resulta 31. Luego, se reemplaza el nuevo nivel de utilidad en la función de gasto, para hallar la variación equivalente (VE):

El Ing. Bam Bam estaría dispuesto a pagar 4 soles para que no cambien los precios

SoLUCIóN PARTE b):En este caso, se tiene que hallar la variación compensatoria (VC).

Ambas medidas dan el mismo cambio en el bienestar, el Ing. Bam Bam es indiferente a usar cualquiera de las dos.

33. (**) Pablo tiene la siguiente función de utilidad:

a) Halle las funciones de demanda ordinarias, la FIU y los valores óptimos de consumocuando el ingreso es 10, el P1 pasa de 1 a 0.5 y el P2 es 1.

b) Estime el monto de ingreso adicional que se le debería brindar a Pablo para que seaindiferente entre la reducción del P1 de 1 a 0.5 y este aumento de su ingreso.

SoLUCIóN PARTE a):

(procedimiento omitido).

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

66


t = 0

t=1

SoLUCIóN PARTE b):Nivel de Utilidad t=1:

Hallando la función de gasto, vía el uso de las identidades de McFadden: ,

se tiene ; de lo cual .

34. (***) El Presidente de la República y el ministro de Economía de un país pequeño seencuentran analizando las consecuencias de la crisis mundial sobre el mercado de leche. Lacrisis ha originado que el precio al que puede importarse la leche caiga, y que los ganaderoslocales, productores de leche, protesten y exijan que se restrinjan dichas importaciones.

El presidente y el ministro comentan:

Ministro de Economía: “Si restringimos las importaciones de leche (se aumenta el impuesto),su precio subirá en todo el país”.

Presidente: “De acuerdo. Entonces, si aceptamos la exigencia de los ganaderos, tendríamosque indemnizar especialmente a los grupos más pobres de la población”.

a) Si se implementa la restricción a las importaciones, el ministro calcula que el gobiernopodría gastar como máximo S/. 200 millones para indemnizar a los más pobres. Paraello, ha utilizado ciertos supuestos. La función de utilidad del individuo promedio esU(x,y) = x0.5y0.5, donde x es la leche e y es el resto de alimentos, el ingreso promedio de lagente pobre es 1,000 soles y la población afectada es de 2 millones de ciudadanos. Losprecios de la leche y del resto de alimentos son 3 y 5 soles, respectivamente. ¿Cuál seríael incremento máximo en el precio de la leche que se podría cubrir con el presupuestoestablecido?

b) Suponga que la restricción a las importaciones de leche no se da, y ello origina unareducción de 1 sol en el precio de la leche en todo el país, lo que beneficiaría a toda lapoblación. Más aún, se ha determinado que esta caída de precios sería como afectar elingreso de cada ciudadano. Dado que la población es de 8 millones de habitantes, quela función de utilidad del individuo es la de la parte a) y que el ingreso promedio de toda

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

67

APUNTES DE ESTUDIO

la población es de 5,000 soles, ¿a cuánto ascendería el cambio en el ingreso de toda la población?

SoLUCIóN PARTE a):Para responder la pregunta (a), necesitamos utilizar la fórmula de variación compensatoria, ya que lo se quiere es compensar a los pobres por el daño que les causa el incremento del precio de la leche. Es decir, se desea que regresen a su nivel de utilidad original, U0. Además, se sabe que el gobierno solo quiere gastar 200 millones de soles. Eso significa que, por individuo, va a gastar 100 soles: la compensación por persona será de 100 soles. Se tiene que hallar el precio máximo de la leche que este presupuesto permite compensar.

De la FIU, se obtienen las utilidades con cada nivel de precios:

Utilizando la función de gasto, se obtiene:

Entonces, .

SoLUCIóN PARTE b):Ahora, se indica que el gobierno no implementa la medida y quiere calcular qué tan bueno es dejar caer el precio de la leche. Es decir, se debe calcular la variación equivalente de la caída del precio. Esto afecta a toda la población. Entonces, primero se analiza por individuo, y luego se multiplica ese monto por toda la población.

U0 sigue siendo el mismo valor (precios 3 y 5) pero ahora U1 se puede calcular, usando los precios 2 y 5.

Entonces, el cambio en el precio sería equivalente a darle a cada individuo 1,123.7 soles, que implica un cambio en el ingreso de toda la población de 8,989.8 millones de soles.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

68


35. (**) Si una persona tiene la siguiente FIU: , cuenta con un ingreso de 800 soles y el precio inicial de ambos bienes es 2 soles.

a) Indique de qué tipos de bienes se trata.

b) El Estado está planeando ofrecerle un pago en efectivo de 200 soles, en lugar de generaruna reducción de 1 sol en el precio del bien 1. ¿Aceptará esa persona la transferencia enefectivo del Estado?

c) Y si fuera el bien 2 el que se abaratara a 1 sol, ¿aceptaría esta transferencia en efectivo del Estado, en lugar de la reducción del precio? Discuta su hallazgo respecto al encontradoen (b).

SoLUCIóN PARTE a):Se hallan las demandas ordinarias por la identidad de Roy. Son bienes normal

y normal límite .

SoLUCIóN PARTE b):.

Se pregunta por la VE en X1. Aceptará la transferencia si la VE es, en valor absoluto, menoro igual que 200 soles.

Con los datos, y usando dualidad: ; entonces:

e(p0,U1) = (U1 – 0.25) × 2 = 1599.75.

Para hallar U1, se sabe que esa es la FIU que se alcanza a los precios finales y el ingresonominal inicial: .

Por tanto:

La persona No aceptaría esta transferencia.

Procedimiento alternativo:También podría resolverse reemplazando en la FIU un escenario con p1 = 2, p2 = 2 y m = 800.En este caso, V1 = 500.25, lo cual, al ser menor que 800.125 (FIU con p1 = 1 p1 = 1), haríapreferir la opción de la reducción en precios.

SoLUCIóN PARTE c):

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

69

APUNTES DE ESTUDIO

Llamando U2 a la nueva utilidad alcanzada a los precios .

Entonces:

La persona SÍ aceptaría esta transferencia.

procedimiento alternativo:También podría resolverse reemplazando en la FIU un escenario con . En este caso, se sabe que la utilidad con la transferencia sería 500.25, que, al ser mayor que 400.5 (FIU con p2 = 1), sería la opción preferida.

Este resultado se produce porque X2 es un bien que no da mucha utilidad (y, por tanto, soloes consumido en una mínima cantidad), de manera que su ganancia de utilidad por una reducción en p2 es mucho menor que aquella que proviene de una reducción en p1. Por lo tanto, cuando la opción es abaratar X2, se prefiere el ingreso.

36. (***) Alan se encuentra estudiando su doctorado en la universidad de oxford. Dado que lacomida en Inglaterra deja mucho que desear, en su próxima visita a Lima, Alan quiere comersu plato favorito, ají de gallina, y su postre favorito, suspiro de limeña. Su función de utilidades , donde X1 representa el suspiro de limeña (vasos) y x25 el ají de gallina(platos). El precio del suspiro es S/. 10, el del ají de gallina es S/. 30, y su presupuesto paracomidas es S/. 1,800.

Usted ha sido contratado para ayudar al Estado a estudiar el comportamiento de Alan,porque es un consumidor representativo y ello le puede ayudar a tomar decisiones de políticanacional.

a) Encuentre el nivel máximo de utilidad que alcanza Alan cuando asigna eficientementesus recursos. Explique el resultado.

b) Para motivar el consumo de platos típicos peruanos, el gremio asociado a estos productosestá evaluando reducir el precio del ají de gallina en 15% (4.5 soles). Para analizarel impacto de esta decisión, el gremio le ha pedido que calcule el efecto de dichamedida en la cantidad consumida de ají de gallina, considerando el supuesto de utilidadconstante. Analice.

c) De otro lado, el suspiro de limeña se ha vuelto un “producto bandera” en el país y elgobierno ha reducido el precio en 50% para incentivar su consumo. El gobierno sabe queesta política ha mejorado el bienestar de los consumidores, pero no sabe exactamente encuánto, por lo que le pide ayuda para que le diga cuál sería el monto de compensaciónque debería otorgar a cada consumidor por dicho cambio.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

70


SoLUCIóN PARTE a):Para obtener la FIU, se requieren las funciones de demanda marshallianas.

Maximizando directamente la función:

De las 2 primeras ecuaciones:

Reemplazando en la restricción presupuestaria:

Entonces, las demandas marshallianas son y .

La canasta óptima es: y .

La FIU es la función de utilidad máxima que se puede obtener dados el ingreso y los precios:

Entonces, reemplazando los valores:

.

SoLUCIóN PARTE b):En este caso, hay que hacer uso de la dualidad. A partir de la FIU, sacar la función de gasto y luego, por Shephard, calcular la función de demanda compensada de ají de gallina y luego calcular la elasticidad de esta función.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

71

APUNTES DE ESTUDIO

Por dualidad:

Aplicando el lema de Shephard:

Se encuentra que la elasticidad precio sobre la curva de demanda compensada:

Entonces, dada la reducción de 15% en el precio del ají de gallina, la cantidad demandada subirá en 10%, es decir, en 2 platos.

SoLUCIóN PARTE c):Lo que se está pidiendo es la variación compensatoria del cambio de S/. 5.00 en el precio del suspiro de limeña.

Por el camino de la función de gasto:

El Estado le debería “quitar” S/. 666.07 de su ingreso a cada consumidor, porque ese es el valor al que equivale su cambio en el bienestar. En este caso, el Estado no le va a dar nada, ya que la VC es negativa.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

72


También se puede hallar la VC a través de la integral de la demanda compensada por suspiros de limeña:

37. (***) Un individuo representativo de la comunidad pesquera de Puerto Arturo solo consumedos bienes: pescado (P) y vestimenta (V). La función de utilidad de este individuo es:

Inicialmente, los precios de ambos bienes eran iguales a 1 u.m. No obstante, un derrame de petróleo ocurrido en las cercanías ha causado un incremento de 1 u.m. en el precio del pescado. El ingreso promedio es de 100 u.m.

a) Halle las funciones de demanda marshalliana de ambos bienes.

b) Halle la función indirecta de utilidad y la función de gasto mínimo.

c) Calcule el cambio en la utilidad del consumidor causado por el incremento en el preciodel pescado.

d) El gobierno puede limpiar las aguas para que los precios sean los iniciales, pero necesitaobtener fondos de los ciudadanos. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar el individuorepresentativo por el proyecto de limpieza de aguas?

e) El gobierno desea analizar la posibilidad de compensar a cada individuo de Puerto Arturopor el derrame de petróleo. Si se busca que el individuo tenga el nivel de utilidad inicial,¿cuál es el mínimo monto que el gobierno debería distribuir a cada comunero de PuertoArturo?

SoLUCIóN PARTE a):

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

73

APUNTES DE ESTUDIO

De las dos primeras condiciones, .

Remplazando en la RP:

, de donde: y

SoLUCIóN PARTE b):

Entonces, , y la función de gasto,

(usando las identidades y .

SoLUCIóN PARTE c):Reemplazando los valores en la FIU, se obtiene:

Utilidad inicial = U0 = 51.02 utiles

Utilidad final = U1 = 38.66 utiles

Cambio = -12.36

SoLUCIóN PARTE d):

SoLUCIóN PARTE e):

.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

74


38. (**) En la República de Latveria, el dictador Dr. Doom ha logrado estatizar todas las empresas, excepto las de los fabricantes de tallarines. Su Centro de Investigación ha concluido que laFIU de los habitantes de Latveria es la siguiente:

Donde m es el ingreso, p1 es el precio de los productos de las empresas estatizadas y p2 es elprecio de los tallarines.

a) Derive la demanda compensada hicksiana de productos de empresas estatizadas y lademanda ordinaria de tallarines de un habitante de Latveria.

b) Para afrontar sus compras de armamento de última tecnología, el Dr. Doom necesitaaumentar los ingresos fiscales. Para ello, tiene dos alternativas:

• Subirlospreciosdelosproductosdelasempresasestatizadasde1a2.

• Ponerunimpuestoalosingresosquereduzcaelingresodeunlatverianode60 a 30.

Si Doom toma como medida de bienestar la variación compensatoria y quiere tener el menor impacto sobre la población, ¿cuál de las dos medidas será la elegida? ¿Cambiaría su decisión si la medida fuera la variación equivalente? (Suponga en todos los casos que p2 = 1).

SoLUCIóN PARTE a):Dada la FIU, aplicando la Identidad de Roy, se obtendrá la demanda ordinaria de tallarines:

Dada la FIU, se puede obtener la función gasto.

Con la función gasto, y aplicando el lema de Shephard, se obtiene la demanda compensada de productos de empresas estatizadas:

SoLUCIóN PARTE b):Antes de las medidas, la utilidad de un latveriano es 4(60)3/27 = 32,000.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

75

APUNTES DE ESTUDIO

El gasto requerido para acceder a esa utilidad después del cambio de precios será:

Por lo tanto, la VC será 95.244 – 60 = 35.244

Para hallar la VE, se necesita calcular la utilidad después del cambio de precios, que será 8,000.

El gasto requerido para acceder a esa utilidad antes del cambio de precios sería:

Con lo cual la VE será 37.798 – 60 = –22.202.

En conclusión, si Doom elige como indicador la variación compensatoria, preferirá el impuesto a los ingresos, porque el efecto en el bienestar será menor. En cambio, si utiliza la variación equivalente, entonces preferirá el alza de precios, que tendría un menor impacto en el bienestar.

39. (***) Zohan es feliz viviendo en Nueva York dirigiendo su salón de belleza. Él es un hombresencillo, así que solo obtiene utilidad del consumo de dos bienes: refresco amarillo del Mediooriente (X1) y catálogos de Paul Mitchell (X2). Su función de utilidad considerando ambosbienes es:

a) Se le pide que calcule la función indirecta de utilidad, la función de gasto, las demandasordinarias y las demandas compensadas. Dado su conocimiento de la dualidad en lateoría del consumidor, puede hallarlas en el orden que crea conveniente.

b) observando la demanda ordinaria de x2 hallada en la parte a), ¿concluiría usted queambos bienes son sustitutos o complementarios brutos para Zohan?

c) Zohan se entera por su amigo Abraham de que los catálogos de Paul Mitchell subirán deprecio a partir del próximo mes, de US$ 100 a US$ 150. Si usted conoce las funcioneshalladas en la parte a), que el ingreso de Zohan es US$ 280 mensual y el precio delrefresco amarillo del Medio oriente es US$ 2, ¿cuánto debería aumentar sus ingresos enel salón de belleza para que su nivel de utilidad no se viera afectado por la subida enprecios? ¿Este cálculo sería una variación compensatoria o una variación equivalente?Justifique su respuesta.

SoLUCIóN PARTE a):Se puede resolver mediante el problema primal o el problema dual.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

76


Alternativa 1: Resolviendo el problema primal:

Reemplazando en la restricción presupuestaria:

Hallando la FIU:

Hallando la función gasto:

Aplicando el lema de Shephard para hallar las demandas compensadas:

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

77

APUNTES DE ESTUDIO

Alternativa 2: Resolviendo el problema dual:

Reemplazando en la función de utilidad (X1 + X2)X2 = U0:

Hallando la función de gasto:

Hallando la FIU, usando identidades de MacFadden:

Aplicando la Identidad de Roy para hallar las demandas ordinarias:

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

78


SoLUCIóN PARTE b):

La derivada anterior siempre será positiva, de manera que la elasticidad cruzada también lo será. En ese caso, se trata de bienes sustitutos brutos.

SoLUCIóN PARTE c):El nivel de utilidad original puede hallarse reemplazando en la FIU:

El ingreso necesario para alcanzar ese nivel de utilidad con los nuevos precios será:

Por lo tanto, deberá incrementar su ingreso en 344.093 – 280 = 64.093, lo cual es una variación compensatoria.

40. (***) El alcalde del distrito de Cabanosi está muy contento porque sus vecinos destinan suingreso de 38 u.m. entre dos actividades: deportivas (bien X1) y culturales (bien X2), siendo elprecio de cada una de estas actividades de 2 y 1 u.m., respectivamente. Si las preferenciasde los vecinos entre deporte y cultura pueden ser representadas por la siguiente función deutilidad:

a) Halle las funciones de demanda, así como el número de actividades deportivas yculturales, si se desea maximizar la utilidad de los vecinos.

b) Suponga que el alcalde ha diseñado un Plan de Fomento del Deporte, de modo quesubvenciona (paga) el 50% del precio de las actividades deportivas. Calcule y grafiqueel impacto sobre el consumo de los individuos que ha tenido la política distrital,diferenciando los efectos precio e ingreso vía Slutsky y Hicks.

c) Suponga ahora que, debido a problemas financieros derivados de la implantación delPlan de Fomento del Deporte, el alcalde decide desviar parte del aporte de los vecinospara deporte y cultura a otras actividades. Utilizando los resultados obtenidos en losapartados anteriores, responda las siguientes preguntas:C

opyr

ight

© 2

015.

Uni

vers

idad

del

Pac

ífico

. All

right

s re

serv

ed.

79

APUNTES DE ESTUDIO

i. ¿Cuál sería el máximo cambio en el presupuesto que los vecinos estarían dispuestosa aceptar para mantener el Plan?

ii. ¿Cuál sería el máximo cambio en el ingreso que permitiría a los vecinos consumir losniveles de actividades deportivas y culturales previos a la implantación del Plan?

iii. ¿Cuál de las dos alternativas anteriormente calculadas preferiría usted si fuera vecinode este distrito? Sustente su respuesta.

SoLUCIóN PARTE a):Planteando el lagrangeano del primal:

Reemplazando las condiciones de primer orden en la RP se obtiene:

, de manera que reemplazando los datos: e .

SoLUCIóN PARTE b):Ahora el P1 = 1.

X1 = 18.5

Entonces, , que sería el ET.

ES según Slutsky:

Por lo tanto, el ES es 14 – 9 = 5 y el EI es 4.5.

ES según Hicks:

Entonces, la utilidad máxima debe ser 200 con los nuevos precios, por

lo tanto, el nuevo MH = 27.284. Luego, .

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

80


Por lo tanto, el ES = 13.142 - 9 = 4.142, y el EI = 5.358.

SoLUCIóN PARTE c):i) Para mantener el Plan (ya estamos con los precios finales) se debe aportar el ingreso

dado, considerando que estamos con un nivel inicial de utilidad. Entonces, se necesita hallar la VC = 27.284 – 38 = –10.716.

ii) El cambio en el ingreso que pasa por el punto de consumo inicial sería el cambio delingreso a lo Slutsky, por lo que sería 9.

iii) Debería preferir aquel que brinde más utilidad, que es la utilidad de Slutsky, dondeX1

S = 14 y X2S = 15 y, por lo tanto, la Umax = 225 utiles.

41. (***) Juan consume llamadas telefónicas (X1) y todos los demás bienes, que se expresan endinero (X2). Además, su función de utilidad es del tipo Stone-Geary:

U(X) = (X1 – 5)0.5(X2 – 10)0.5

a) Si se sabe que la demanda de X1 es: , explique las características de dicha función.

b) osiptel, el organismo regulador de las telecomunicaciones, ha comunicado que el preciode las llamadas telefónicas subirá de S/. 0.80 a S/. 1.25, debido al aumento de loscostos de producción. Si el ingreso de Juan es S/. 70, ¿cuánto sería lo máximo que Juan estaría dispuesto a pagar para que dicho aumento no se produjera?

c) Un compañero de Juan le dice que su cálculo no es correcto y que la compensación quedebería recibir debería ser mucho mayor. Como usted sabe que existen otros métodospara calcular el cambio en el bienestar, se le pide que halle uno de ellos y lo comparecon el hallado en la parte b).

SoLUCIóN PARTE a):

En esta función se puede observar que existe un elemento autónomo, el cual está representado por 5. Esto significa que el individuo consumirá esta cantidad del bien X1, sin importar elnivel de ingreso que tenga el individuo.

Además, se puede observar una relación positiva de M y X1, lo que significa que es un biennormal.C

opyr

ight

© 2

015.

Uni

vers

idad

del

Pac

ífico

. All

right

s re

serv

ed.

81

APUNTES DE ESTUDIO

SoLUCIóN PARTE b):Se pide la variación equivalente (VE):

.

Para hallar la demanda que falta:

(1)

(2)

(3)

(1)/(2):

En (3):

Hallando la función indirecta de utilidad (FIU):

Para VE: nivel de utilidad final.

Luego,

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

82


SoLUCIóN PARTE c): Para hallar la variación compensatoria (VC) o el cambio en el excedente del consumidor (ΔEC):

VC:

ΔEC:

Si hubiera usado la expresión ΔEC: –1 [FIU1 – FIU°], hallaría ΔEC: –32.61.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

83

APUNTES DE ESTUDIO

REFERENCIAS

ARRoW, Kenneth J.; Hollis B. CHENERY, Bagicha S. MINHAS y Robert M. SoLoW1961 “Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency”. En: Review of Economics and

Statistics, vol. 43, N.º 3, pp. 225-250.

CHIANG, Alpha y Kevin WAINWRIGHT2006 Métodos fundamentales de Economía Matemática. 4.ª ed. McGraw-Hill, capítulo 13.

FERNáNDEZ-BACA, Jorge2010 Microeconomía, teoría y aplicaciones. 2.ª ed. Serie Biblioteca Universitaria. Lima:

Centro de Investigación de la Universidad del Pacífico, capítulos, 1, 2, 3, 4 y 5.

GRAVELLE, Hugh y Ray REES2006 Microeconomía. 3.ª ed. Pearson, capítulos 2 y 3.

IEHLE, Geoffrey y Philip RENY2001 Advanced Microeconomic Theory. 2.a ed. Pearson Addison Wesley.

NICHoLSoN, Walter2008 Teoría microeconómica. Principios básicos y ampliaciones. 9.ª ed. México, D. F.:

Cengage Learning, capítulos 2, 3, 4, 5 y 6.

PINDYCK, Robert y Daniel RUBINFELD2013 Microeconomía. 9.ª ed. Prentice Hall, capítulos 2, 3 y 4.

SIMoN, Carl y Lawrence BLUME1994 Mathematics for Economists. W. W. Norton & Company, capítulo 19.

VARIAN, Hal2011 Microeconomía intermedia. Un enfoque actual. 8.ª ed. Barcelona: Antoni Bosch,

capítulos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 14 y 15.

Cop

yrig

ht ©

201

5. U

nive

rsid

ad d

el P

acífi

co. A

ll rig

hts

rese

rved

.

i. teorÍa del consumidor€¦ · teorÍa del consumidor solución: la demostración es por...

Documents