halla el ce de una esfera hueca con carga q radio a. · 2010-04-08 · universidad nacional de...

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIRIA

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

Curso: FISICA II CB 302U 2010I

Profesor: JOAQUIN SALCEDO [email protected] Tema: Ley de Gauss

Tipler -Mosca, Serway-Beichner, Sears-Semansky , Benson, Ohanian-Markert, Maximo-Alvarenga

Halla el CE de una esfera hueca con carga Q radio a. Las componentes en el eje Y se anulan El CE resultante de la esfera hueca se encontrara sobre el eje X. El área de trabajo El diferencial de carga

22dq a sen d

De las relaciones observadas en el grafico tendremos:

2

2 2

2cos cosx

dq k a sen ddE k

r r

Las variables son: , ,r

Escogemos r

d

a

ad

a

asen

r

Ed

P

sena..2

ad

a r

asen

x






Del gráfico

2 2 2 2 cosr a x ax rdr ax sen d

2 2 2

2 2 2 2 cos cos2

a r xa r x rx

rx

2 2 2

2 2x

rdr a r xdE c

ax r rx

xE

Ley de gauss Introducción. Al calcular el CE de una esfera hueca conductora vemos que el cálculo es complicado. ¿Existe un método que nos facilitará el cálculo cuando tengamos simetría? ¡Así de fácil! Flujo eléctrico. Relaciona el CE y que atraviesa una superficie. Para una superficie perpendicular a E es el producto de la magnitud E y el área A

EA

Las unidades son 2 /Nm C

Como el CE es proporcional al # de líneas por unidad de área el es proporcional

al # de líneas que atraviesan el área Ejercicio. Imagina que tus dedos de la mano derecha son las líneas de CE y tu mano izquierda el área. Analiza y responde ¿cuando el flujo es máximo? ¿Cuando es mínimo? ¿Cómo lo puedes expresar con símbolos?

Si el área varía con la posición. El flujo es d EdA






Al área se le adjudica un vector con un vector unitario normal a su superficie

A An En consecuencia tenemos que hay dos entidades vectoriales que producen un a cantidad escalar. El flujo es: Máximo si el área es perpendicular a las líneas de CE. Nulo si es paralelo Varía conforme el área cambia. Luego una definición que involucre todas estas consideraciones es:

.d E d A

Si es el ángulo entre la normal al plano y las líneas de CE

cosd EdA

El flujo total es la suma infinitesimal en toda el área involucrada

.E d A

Un caso muy importante es cuando la superficie es cerrada, el flujo neto es

.E d A






Un cubo de lado a=2 m tiene un vértice en (1m, 0, 0) y sus lados son paralelos a los ejes coordenados. El cubo está en una región donde el CE siempre tiene la dirección +x y su magnitud varia sólo en función de x, y tiene valores de 5N/C en x=1 y 15N/C en x=3 ¿Cuál es el flujo que atraviesa el cubo?

1 2 3 4 5 6

1 6

2

.

0 0 0 0

5 .( 4 ) 15 .(4 ) 40 /

E d A E dA

i i i i Nm C

El flujo en la cara 1 es negativo esta entrando y el flujo en la cara 6 es positivo esta saliendo. Tarea:






Enunciado de la ley de Gauss * Halle el flujo de una carga puntual alrededor de una esfera con la carga en el centro. En todos los puntos de la superficie de la esfera

El vector normal de la superficie es paralelo a E






La magnitud del CE es la misma en todo punto de la superficie esférica ¿cierto o falso?

2

2

0

. (4 ) 4n

kq qd E d A EdA E dA r kq

r

Donde hemos sustituido k por su valor 0

1

4k

Resumiendo:

0 0

. n nq qE d A o E dA

El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta dentro de la superficie entre la permitividad eléctrica del espacio libre.

Es una herramienta muy potente para calcular E en casos de simetría

Receta.

Observe si existe simetría

Busque una superficie en donde todo todos los puntos tengan la misma magnitud de CE o el vector normal sea perpendicular al CE (superficie G)

ˆ/GS S E cte n E

* Halle el CE de un plano infinito con carga uniforme con Gauss Existe simetría.

La superficie gausiana es un cilindro pequeño perpendicular al plano. En la superficie lateral existe perpendicularidad






0 0

. . . . ( ).( ) 2

22

sl base tapa base tapa b

E d S E d S E d S E d S EdS E dS E dS

SE S E

Esta es una relación muy útil. Ya la conocemos y lo veremos a menudo ¿Cuándo un plano finito puede ser visto como finito?

Tarea. Halle el CE para dos planos paralelos infinitos con densidades de carga opuesta

Simetría esférica Entre las distribuciones de carga con simetría esférica están puntos, esferas, cascarones esféricos, y capas concéntricas de esos objetos * Halle el CE de una esfera hueca conductora

. La superficie G es un esfera concéntrica de radio r Para el exterior

22

2

0

2

0

4. (4 ) E

RE dS EdS E d E ES r

R

r

Exprese la relación en función de su carga Q.

2

2

0

2

0

(4 )4

Q QE r E

r

QE k

r

!Conclusión! Para puntos fuera de la espere el CE es como si la carga estuviera concentrada en el

origen.






Para el interior

2 0. (4 ) 0 IE dS EdS E dS EE r

* Halle el CE de una esfera sólida no conductora de carga uniforme La superficie G es un esfera concéntrica de radio r Para el exterior

2

0

2. ( ˆ4 ) E

QE dS EdS E dS E

QE kr r

r






Para el interior

Calculamos la carga encerrada.

3 3

33

4( )

4 3

3i

Q q Q Qq r r

V V RR

2 3

3 3

0

1. (4 ) ˆi

QE d S EdS E dS E r r

R

QE k r r

R

Tarea. Exprese El campo exterior en función de la carga ¿alguna conclusión? El campo interior en función de la densidad






Simetría cilíndrica Entre las distribuciones de carga con simetría cilíndrica están las líneas infinitamente largas, las barras (cilindros macizos), los tubos (cascarones cilíndricos), etc. Y las capas concéntricas de esos objetos *Halle el CE de un hilo infinito con carga uniforme Existe simetría.

La superficie G es un cilindro de radio r y longitud L paralelo al hilo Es necesario que consideremos las partes de la superficie: dos tapas y la superficie lateral. En las tapas existe perpendicularidad.






00

. . . . 0 0

(21

) ˆ2

b s t s

s

E r

E d S E d S E d S E d S EdS

lE dS E rl

r

Conclusiones: 1) Gauss permite un calcula rápido y fácil en distribuciones de carga con simetría. 2) Se puede aplicar en algunos casos (despreciando efectos de borde o como aproximación) a situaciones finitas 3) Gauss pertenece a las 4 leyes básicas del electromagnetismo. 4)… ¿Podría utilizar Gauss para calcular el CE de un dipolo, un disco cargado? ¿Por qué? Conductores en equilibrio electrostático 1. El CE es cero en el interior del conductor

2. Si el conductor aislado transporta carga esta reside en su superficie.

3. El CE afuera del conductor cargado es perpendicular a su superficie y 0/E

4. La densidad es mayor donde el radio de curvatura R es menor /cte R






Si existe equilibrio, el CE debe ser nulo, de no ser así habría movimiento de cargas… Antes de aplicar el CE externo los electrones libres se distribuyen por todo el conductor. Al aplicar el E los electrones libre se mueven hacia la izquierda y se produce una acumularon de carga negativa en la superficie de la izquierda. Lo anterior da como resultado un plano de carga positiva a la derecha. Estas cargas producen un CE interno que anula el CE externo dentro del conductor. Esto sucede casi instantáneamente.

¿Cómo expresar esta discontinuidad? ** Con Gauss: La superficie G puede estar tan cerca de la superficie y como

0iE luego el flujo neto es cero entonces no hay carga dentro del conductor luego

cualquier carga neta esta en la superficie.






*** El CE en la superficie debe ser perpendicular en caso contrario existiría una componente tangencia al cual originaria el movimiento de cargas

0 0 0

. n

s

q AE d A E dA E A E

*** Una esfera conductora sólida de radio a tiene una carga positiva neta 2Q. Un cascaron esférico conductor de radio interior b y radio exterior c es concéntrica y tiene carga neta –Q. Halle el CE y la distribución de cargas sobre el cascaron cuando el sistema esta en equilibrio.






0

0. , 0nn

qr a E d A q E

0

2

2

0

2. , 2 4 )

2(n

n

s

q Qa r b E d A q Q E d E kA E

Q

rr

Lo mas difícil es en el interior del cascaron Para una superficie G en esta región El CE es nulo. Luego la carga neta encerrada es nula En la parte interior r=b se induce una carga -2Q, para anular a la carga de la esfera interior En la parte exterior de r = b se induce una cara +Q en la superficie para cancelar la carga –Q

0

. , 2 02 0nn

qb r c E d A q Q Q Q EQ

2

0 0

2. , 2 (4 )n

n

s

q Qr c E d A q Q Q E

QE kdA E r

r

*** Un cubo con lados de longitud L = 0.3 m está colocado con un vértice en el origen, como se ilustra en la figura. El CE, está dado por

5 3E xi z k

a) Halle el flujo eléctrico en cada una de las seis caras del cubo b) Halle la carga eléctrica total en el interior del cubo

2

2 2

1

5 5

22

2 5

13

0

8.1 10

1.35 10

5.4 10

4.78 10

n k x

n j x

Nmx

C

q x C






Ejercicios.

1. Un CE vertical de 42 10 /x N C existe sobre la tierra un día que amenaza una

tormenta. Un auto (Sea un rectángulo de 6x3m) viaja a o largo del camino inclinado 10 hacia abajo Halle el flujo a través de la base inferior del auto

4 2cos 2 10 (6)cos10 /EA x kNm C

2. Una espira de 40cm de diámetro gira en un CE hasta que se encuentra en la

posición de flujo eléctrico máximo 5 25.2 10 /x Nm C . Halle la magnitud del CE 2 2 2

5 2

3.14(0.2) 0.126

cos 5.2 10 / (0.126)cos0 414 /

A r m

EA x Nm C E E MN C

3, Hallar el flujo en el hemisferio y en la tapa

2

2

0

1. ( 4 )

2 2c l h

Q QE dS E S k R

R

El flujo en la superficie cerrada es nula luego en la tapa es

02t

Q

4, Hallar el CE dentro de la cavidad Una esfera de radio 2a no conductora densidad p. (Suponga que el material no afecta el campo eléctrico.) Se separa una esfera de radio a. Muestre que el CE en

la cavidad es uniforme y está dado por Ex = O y 0/ 3yE a . (Sug: superposición

del CE debido a la esfera original, más el CE de la esfera de radio a y densidad






3

2

0 0 0

32

1 1 1

0 0 0

1 4ˆ4

3 3 3

1 4ˆ4 ( )

3 3 3

r rr E E r r

r rr E E r r

1 1

0 0

0

( )3 3

0,3

x y

r r a r r a

E r a E E E a

E E a

Una esfera tiene una densidad de carga variable a

r donde a es constante

Halle el CE

2 2

0

22

0 0

3 32

2

0 0

(4 ) 4 4 2

24

2

2 14

2

r

n

i i

e e

adq dV r dr ardr q a rdr ar

r

ar ar E E

a ar E E

r

Una carga puntual Q se localiza en el eje de un disco de radio R a una distancia b del plano del disco. Muestre que si un cuarto del flujo eléctrico de la carga

pasa por el disco, entonces 3R b






2 2 2

0 1 1

2 2 2 2 1/ 2 2 2 3/ 2

0

0

, , 2 ,4

2( ) 2 ( )

4

Q q q bE k k dS rdr cos

r b r r

q b bq rdrd EdScos k rdr

b r b r b r

Q

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