1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA UNIDAD DE CIENCIAS BSICAS ADRIANA MORALES ROBAYO 100402 - PROBABILIDAD ADRIANA MORALES ROBAYO (Director Nacional) DANNYS BRITO ROSSADOAcreditador BOGOT D.C. JULIO DE 2010 2 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO Elpresenteprotocoloacadmicofuediseadoenelao2007porla EstadsticaADRIANAMORALESROBAYO,TutoradelaUNAD,ubicadaenel CEADJosAcevedoyGmezenBogotD.C.LaTutoraMoralesesEstadstica delaUniversidadNacionaldeColombiayEspecialistaenEducacinsuperiora Distancia de la UNAD. Se ha desempeado como tutora de la UNAD desde el ao 2005yactualmenteesladirectoradelcursodeProbabilidadanivelnacional, tambin ha sido catedrtica de otras Universidades de Bogot. En el ao (2009) el Estadstico DANNYS BRITO ROSADO, tutor del CEAD LaGuajira,apoyelprocesoderevisindeestilodelprotocoloacadmicodel cursodandoaportesdisciplinares,didcticosypedaggicosenelprocesode acreditacin de material didctico desarrollado en el ao 2009. Estedocumentosepuedecopiar,distribuirycomunicarpblicamentebajo las condiciones siguientes: Reconocimiento.Debereconocerloscrditosdelaobradelamanera especificadaporelautoroellicenciador(peronodeunamaneraque sugiera que tiene su apoyo o apoyan el uso que hace de su obra). No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales. Sinobrasderivadas.Nosepuedealterar,transformarogenerarunaobra derivada a partir de esta obra. Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los trminos de la licencia de esta obra. Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los derechos de autor Nada en esta menoscaba o restringe los derechos morales del autor. 3 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD INTRODUCCIN La Estadstica se ha convertido en un efectivo mtodo para describir, relacionar y analizarlosvaloresdedatoseconmicos,polticos,sociales,biolgicos,fsicos, entreotros.Peroestaciencianosloconsisteenreunirytabularlosdatos,sino en dar la posibilidad de tomar decisiones acertadas y a tiempo, as como realizar proyecciones del comportamiento de algn evento. Es as como el desarrollo de la teoradelaProbabilidadhaaumentadoelalcancedelasaplicacionesdela Estadstica. Muchosdeloseventosqueocurrenenlavidadelserhumanonosepueden predecirconexactitud,pueslamayoradeloshechosestninfluenciadosporel azar, es decir, por procesos inciertos, en los que no se est seguro de lo que va a ocurrir. Sera un error afirmar que vivimos en un mundo determinista, en donde no hayinfluenciadelazarylaincertidumbre.LaProbabilidadpermiteun acercamientoaestossucesos,ponderandolasposibilidadesdesuocurrenciay proporcionandomtodosparatalesponderaciones,creandoasmodelos Probabilsticos.Precisamente,algunosdeesosmtodosproporcionadosporla teora de la Probabilidad llevan a descubrir que ciertos eventos tienen una mayor o menorprobabilidaddeocurrirquelaapreciacinhechaatravsdelsentido comn. Deestamanera,laProbabilidadpermiteestudiarloseventosdeunamanera sistemtica y ms cercana a la realidad, entregando una informacin ms precisa y confiable y, por tanto, ms til para las distintas disciplinas del ser humano. De ahquesevealaimportanciadeconoceraprofundidadlascaractersticasde ciertosfenmenoscotidianosqueelserhumanovive,comprenderlosmtodos Probabilsticos ms comnmente usados y con ellos llegar a tomar las decisiones ms apropiadas. Elconocimiento dela Probabilidadconstituyela basequepermitecomprenderla forma en que se desarrollan las tcnicas de la Inferencia Estadstica y la toma de decisiones,enotraspalabras,es ellenguajeylafundamentacinmatemticade la Inferencia Estadstica. ElcursodeProbabilidad,programadocomocursoacadmicobsicobusca fomentarenelestudiantelacapacidaddereconoceryestablecermodelos apropiadosparadescribirfenmenosaleatoriosquesurgenensusreasde especialidad,yapuntaaquestereconozcaquelaEstadsticaproporcionalas herramientas necesarias para hacer inferencias sobre un todo (poblacin) en base alosdatosrecopiladosenslounoscuantoselementosobservadosdela 4 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD poblacin(muestra)yquelaProbabilidadaportaloselementosdevalidacinde los mtodos estadsticos. Elpresentemdulobuscadotaralestudiantedelasherramientasprobabilsticas bsicas para el estudio de fenmenos propios de su disciplina de formacin y del entornosocial,econmicoypolticoenquesedesenvuelve,cuyaevolucin temporaloespacialdependedelazar,yapuntaaqueelestudiantetome decisionesmsobjetivasfrenteadichosfenmenos.Enlseintroducenlos conceptosbsicosdelaProbabilidadysemanejanlasdistribucionesde probabilidad ms conocidas. Este texto contiene dos unidades didcticas1, correlacionadas directamente con el nmerodecrditosacadmicosasignados.Laprimeradeellasconsideralos PrincipiosdeProbabilidad,necesariosparaelcumplimientodelospropsitosy objetivosdelcurso.Enestaunidadserecuerdanalgunosconceptosbsicosde las tcnicas de conteo: permutaciones, variaciones y combinaciones; se identifican conceptossobreespaciosmuestralesyeventos,laspropiedadesbsicasdela probabilidadcomolasreglasdeadicinymultiplicacin,laprobabilidad condicional y el teorema de Bayes. En la segunda unidad didctica, se establece ladiferenciaentrevariablesaleatoriasdiscretasycontinuas,entrminosdesu funcindeprobabilidad,valoresperado,varianzaydesviacinestndarse reconocenalgunasdelasdistribucionesdeprobabilidadmscomunes,tantolas discretascomolascontinuas.Entrelasprimerassecontemplanlauniforme discreta, binomial, geomtrica, binomial negativa, hipergeomtrica y la distribucin dePoissony,comodistribucionesdeprobabilidadcontinua,setrabajan principalmenteladistribucinuniformecontinua,normal,exponencialychi cuadrado. Elmduloestdirigidoaunapoblacinestudiantilqueseinteresaenla estadsticaporsuvalorcomoinstructivoparaapoyarprocesosdeinvestigacin, msquecomoobjetodelconocimiento,queseraelcasosisetratarade estudiantesdeestadsticaomatemtica.Esporestoqueseevitarnlos desarrollosmatemticosdelasfrmulas,aunquesepresentanalgunos razonamientos y procedimientos en que ellas se fundamentan. Se enfatiza ms en la forma adecuada de interpretar, seleccionar y utilizar dichos planteamientos, que en las demostraciones, deducciones y desarrollos matemticos. Elcursoestescritopartiendodelapremisadequeelestudianteposeelos conocimientos bsicos de la Estadstica Descriptiva, requisitos mnimos para llevar 1 Conjunto de conocimientos seleccionados, organizados y desarrollados a partir de palabras clave tomadoscomoconceptosquelostipifican,enarticulacinconlasintencionalidadesformativas, destinadasapotenciaryhacerefectivoelaprendizajemedianteeldesarrollodeoperaciones, modificacionesyactualizacionescognitivasynuevasactuacionesocompetenciasporpartedel estudiante. EL MATERIAL DIDCTICO. Roberto J. Salazar Ramos. UNAD, Bogot D.C. 2004. 5 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD conxitolasintencionalidadesformativastrazadasparaelcurso.Tambines deseableteneralgunosconocimientosbsicosdelateoradeconjuntosydel clculo integral debido a que estos permiten obtener una perspectiva ms amplia de la Probabilidad. Este texto no pretende reemplazar las diferentes referencias bibliogrficas clsicas de la Probabilidad, es el resultado de la consulta de diferentes fuentes que tratan cada tema en forma ms amplia. Lo que se pretende es entregar los conceptos de un modo ms didctico, enfocado en el autoaprendizaje y en relacin directa con la Gua de Actividades referenciada en el protocolo del presente curso. Al final de cadaunidad,elestudianteencontrarlasreferenciasbibliogrficasbsicas,pero nonicas,paraqueconellasrefuerceenconceptosydefiniciones.Adems, encontrarunaseriedepginaswebrecomendadasqueamplanlostemas tratados.Setratapuesdeunmaterialdidcticodeapoyoparaelcursode ProbabilidaddelaUNAD,comopartedelasdiferentesydiversasherramientas didcticas en las que se apoya el aprendizaje autnomo. 6 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD INDICE DE CONTENIDO UNIDAD UNO:PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD CAPITULO1:EXPERIMENTOALEATORIO,ESPACIOSMUESTRALESY EVENTOS Leccin 1Definicin de experimento aleatorio Leccin 2 Definicin de espacio muestral Leccin 3Sucesos o eventos.Leccin 4Operaciones con eventos Leccin 5Diagramas de Venn y diagramas de rbol Ejercicios CAPITULO 2: TCNICAS DE CONTEO Leccin 6Principio fundamental del conteo Leccin 7Factorial de un nmero Leccin 8Permutaciones y variaciones Leccin 9Combinaciones Leccin 10Regla del exponente Ejercicios CAPTULO 3: PROPIEDADES BSICAS DE LA PROBABILIDAD Leccin 11: Interpretaciones de la probabilidad Leccin 12:Axiomas de probabilidad: regla de la adicin Leccin 13Axiomas de probabilidad: regla de la multiplicacin Leccin 14Probabilidad condicional Leccin 15Probabilidad total y teorema de bayes Ejercicios Autoevaluacin Unidad 1 Laboratorio Unidad 1 UNIDADDOS:VARIABLESALEATORIASYDISTRIBUCIONESDE PROBABILIDAD CAPITULO 4:VARIABLES ALEATORIAS Leccin 16Concepto de variable aleatoria Leccin 17Distribucin discreta de probabilidad Leccin 18Distribucin continua de probabilidadLeccin 19Esperanza matemtica y varianza de variables aleatorias Leccin 20Teorema de chbyshev Ejercicios 7 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD CAPITULO 5: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA Leccin 21Distribucin uniforme discreta Leccin 22Distribucin binomial Leccin 23Distribucin binomial negativa y geomtrica Leccin 24Distribucin hipergeomtrica Leccin 25Distribucin de Poisson Ejercicios CAPITULO 6: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA Leccin 26Distribucin uniforme continua Leccin 27Distribucin normal y uso de la Distribucin normal estndar Leccin 28Aplicaciones de la distribucin normal Leccin 29Distribucin exponencial y chi-cuadrado Leccin 30Otras distribuciones continuas utilizadas Ejercicios Autoevaluacin Unidad Dos Laboratorio Unidad Dos Anexo 1: Resea Histrica de la Probabilidad Anexo 2: Tablas Estadsticas Bibliografa 8 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD UnidadUno PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD 9 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD INTRODUCCIN UNIDAD UNO Paraindicarelgradodeincertidumbredeunevento,stadebeexpresarseen trminosnumricos;paraelloserequiereconocerlasreglasyoperaciones dela probabilidad.Esascomo,enestaprimeraunidaddidctica,setratarnlos principios bsicos de Probabilidad. Estaunidadsedivideencuatrocaptulos.Losdosprimeroscaptulossecentran en nociones bsicas para el desarrollo completo del concepto de probabilidad. El primerodeellosintroducelostrminosbsicosqueseencuentranligadosal lenguaje estadstico y los fundamentos necesarios para el estudio de la teora de laprobabilidad.Elsegundocaptulodesarrollalateoradelconteoylastcnicas para determinar el nmero de veces de ocurrencia de un evento. En el captulo 3 sedesarrollaelconceptodeprobabilidadyseexaminanlasdiferentes interpretacionesquesetienendeella,tambinsetrataaqulosaxiomasque satisfacenlasprobabilidadesdecualquierexperimentoaleatorio,lasreglasde adicinydemultiplicacinparaprobabilidades,laprobabilidadcondicional,la independencia de eventos y el Teorema de Bayes. 10 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD OBJETIVOGENERAL AnalizareinteriorizarlosprincipiosdeProbabilidad,identificandosus propiedades, leyes y los campos de aplicacin que tiene esta ciencia propia de la estadstica. OBJETIVOS ESPECFICOS Introducirlosfundamentosnecesariosparaelestudiodelateoradela probabilidad. Reconocer las caractersticas de un experimento aleatorio. Identificarelespaciomuestralydistintoseventosdeexperimentos aleatorios. Adquirirlasherramientasyhabilidadesnecesariasdelastcnicasde conteo. Calcularlasmedidasdeespaciosmuestralesyeventosaplicandoreglas bsicas de conteo, permutaciones y combinaciones. Estableceryaplicarlastcnicasdeconteoatravsdepermutacionesy combinaciones. Enunciaryaplicarelprincipiofundamentaldeconteooprincipio multiplicativo y utilizar diagramas de rbol para ejemplificarlo Definir y estudiar diversos tipos de espacios de probabilidad. Reconocer la importancia de la teora de las probabilidades en el anlisis e interpretacin de informacin estadstica. Aplicar las propiedades matemticas bsicas de las probabilidades para el clculodelaprobabilidaddediferenteseventosqueocurrenen experimentos aleatorios. Calcular la probabilidad de un evento, dado que otro ha sucedido. 11 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Demostrar la independencia o no de dos o ms eventos. Enunciar y aplicar la ley de la probabilidad total. Obtenerlaprobabilidaddeeventosqueinvolucrenelusodelprincipio multiplicativo, diagramas de rbol y las tcnicas de conteo. Calcular la probabilidad de causas aplicando el teorema de Bayes. 12 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD CAPITULO 1 Leccin 1: EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y ESPACIO MUESTRAL. En la teora de probabilidades se habla a menudo de experimentos aleatorios y de fenmenos aleatorios. La palabra aleatorio proviene del vocablo latino alea, el cual significa suerte o azar. Un fenmeno aleatorio, es por tanto, aqul cuyo resultado est fuera de control y que depende del azar. Experimentosofenmenosaleatoriossonlosquepuedendarlugaravarios resultados,sinquepuedaserprevisibleenunciarconcertezaculdestosvaa ser observado en la realizacin del experimento. Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales dealtura,velocidad,etc.,sabremosconseguridaddndecaer,cuntotiempo tardar,etc.Esunaexperienciadeterminista.Siechamosundadosobreuna mesa, ignoramos qu cara quedar arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria. S Su uc ce es so o a al le ea at to or ri io o e es s u un n a ac co on nt te ec ci im mi ie en nt to o q qu ue e o oc cu ur rr ri ir r o o n no o, , d de ep pe en nd di ie en nd do o d de el l a az za ar r. . Lavidacotidianaestplagadadesucesosaleatorios.Muchosdeellos,detipo sociolgico(viajes,accidentes,nmerodepersonasqueacudirnaungran almacnoquesematricularnenunacarrera...)aunquesonsumademuchas decisionesindividuales,puedenserestudiados,muyventajosamente,como aleatorios. Leccin 2: ESPACIO MUESTRAL Espacio muestraleselconjunto formadoportodoslosposiblesresultadosdeun experimentoaleatorio.EnadelantelodesignaremosporS.Alacoleccinde resultadosqueseobtieneenlosexperimentosaleatoriosselellamaespacio muestral. EJEMPLO 1:En un dado, S={1,2,3,4,5,6} En una moneda, S={C,+} Un experimento aleatorio cumple con las siguientes caractersticas: 13 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD El experimento puede realizarse bajo idnticas condiciones cuantas veces sea necesario. Los posibles resultados son todos conocidos. El resultado del experimento es incierto, depende del azar. Seobservaciertopatrnderegularidadamedidaqueaumentanlas repeticiones. EJEMPLO 2 : En una empresa de lcteos hacen control de calidad al llenado de bolsas de leche de 1000 cc de volumen. Cada 20 minutos se verifica el volumen de llenado de la mquina.Laevaluacincontinahastaencontrarunabolsaquenocumplelas especificaciones. Seaselhechodequelabolsadelechecumpleconlasespecificacionesde volumen,ynlasquenocumpleconellas.Culeselespaciomuestraldeeste experimento? Elespacio muestralserepresentacomo unasecuencia delasletrassyn.Dado queelexperimentoterminacuandounabolsadelechenocumpleconlas especificacionesdevolumen,elespaciomuestralestarformadoporuna secuencia de s seguida por una n. ,...} , , , , , { sssssn ssssn sssn ssn sn n S= Leccin 3: SUCESOS O EVENTOS. OPERACIONES CON SUCESOS. Sucesoso Eventos. El espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es: S = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18} Podemos considerar algunos subconjuntos de S, por ejemplo: Salir mltiplo de 5:A = {5,10,15}Salir nmero primo:C = {2,3,5,7,11,13,17}Salir mayor o igual que 12:D = {12,13,14,15,16,17,18} 14 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD TodosestossubconjuntosdelespaciomuestralSlosllamamossucesoso eventos. S Su uc ce es so oo oE Ev ve en nt to od de eu un nf fe en n m me en no oo oe ex xp pe er ri im me en nt to oa al le ea at to or ri io oe es sc ca ad da au un no od de el lo os s s su ub bc co on nj ju un nt to os sd de el le es sp pa ac ci io om mu ue es st tr ra al lS S. .L Lo os se el le em me en nt to os sd de eS Ss se el ll la am ma an ns su uc ce es so os s i in nd di iv vi id du ua al le es so os su uc ce es so os se el le em me en nt ta al le es s. .T Ta am mb bi i n ns so on ns su uc ce es so os se el ls su uc ce es so ov va ac c o oo o s su uc ce es so o i im mp po os si ib bl le e , , , , y y e el l p pr ro op pi io o S S, , s su uc ce es so o s se eg gu ur ro o. .Si S tiene un nmero finito, n, de elementos, el nmero de sucesos de E es 2n. EJEMPLO 3: {1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales.En un dado hay 26 = 64 sucesos.En una moneda hay 22 = 4 sucesos, que son: , {C},{+}, {C,+} Es decir, S={,{C},{+},{C,+}} Leccin 4: OPERACIONES CON SUCESOS O EVENTO Yaqueloseventososucesossonsubconjuntos,entoncesesposibleusarlas operacionesbsicasdeconjuntos2,talescomouniones,interseccionesy complementos,paraformarotroseventosdeinters,denominadoseventoso sucesos compuestos. Dados dos sucesos, A y B, se llaman: Unin es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B. 2Eneldesarrollodelpresentemdulosepartedelapremisadequeelestudiantemanejalosdiferentes conceptosdelaTeoradeConjuntos.SerecomiendaalestudiantequeconsulteelmdulodeLgica Matemtica o cualquier otro texto que contenga dichos conceptos. 15 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Interseccin es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B.Diferencia es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.Suceso complementario El sucesoA =E - A se llama suceso complementario de A.DossucesosAyB,sellamanincompatiblescuandonotienenningnelemento comn.Esdecir,cuando=(AyBsonmutuamenteexcluyenteso disjuntos)Decimosqueunsucesosehaverificado,sialrealizarelexperimentoaleatorio correspondiente, el resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5, se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5} o S. De manera anloga, decimos que:El sucesose verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos.El sucesose verifica cuando se verifican simultneamente A y B.El suceso A, contrario de A, se verifica cuando no se verifica A.Dossucesosincompatiblesomutuamenteexcluyentesnoseverifican simultneamente. EJEMPLO 4: En el experimento S = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos: 16 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD A = "sacar un nmero par".B = {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 5".C = {4,6} = "obtener un 4 un 6".D = {2,4,6} = "obtener un 2, 4 6".F = {1,3} = "obtener un 1 un 3".G = "obtener un mltiplo de 3".AyDsonsucesosigualesalestarformadosporlosmismossucesos elementales.CestcontenidoenA.Luego=C,puestoquesiempreque ocurreelsucesoC(sacar46)ocurreelsucesoA,puestoquese obtiene un nmero par.ByCsonincompatibles,yaqueB C=ycomplementarios,al cumplirse B C = E.= "sacar un nmero par"{1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E.A G={2,4,6} {3,6}={6},esdecir,elsucesointerseccindelos sucesos "sacar un nmero par" y "obtener un mltiplo de tres" es "sacar un 6".B-D = B= {1,2,3,5}{1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un nmero impar" = .C y F son incompatibles puesto que CF = . Lasoperacionesunin,interseccinycomplementacin(contrario)verificanlas propiedades: Unin Interseccin1. Conmutativa 2. Asociativa 3. Idempotente 4. Simplificacin 5. Distributiva 6. Elemento neutro 7. Absorcin 17 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Leccin 5: DIAGRAMAS DE VENN Y DIAGRAMAS DE RBOL Para describir las relaciones entre eventos se usan con frecuencia los diagramas. EstosbienpuedenserlosdenominadosdiagramasdeVennolosdiagramasde rbol. A continuacin se describen ambos tratamientos grficos de los eventos de un espacio muestral determinado. Los diagramas de Venn suelen emplearse para representar un espacio muestral ysuseventos.EnlafigurasiguientesecontemplaunespaciomuestralS(los puntos dentro del rectngulo) y los eventos A, B y C como subconjuntos de este. SerepresentandiferentesdiagramasdeVenn,ilustrandovarioseventos combinados. Figura 1 Diagramas de Venn (a) Espacio muestral S con los eventos A y B mutuamente excluyentes,= B A. (b) Interseccin de los eventos A y B del espacio muestral S,B A .(c) Complemento del evento A (A ) en el espacio muestral S.(d) EventoC B A ) ( .(e) Evento) ( C A EJEMPLO 1.5: Las orqudeas de un vivero, presentan las siguientes caractersticas: (a)(b)(c) (d)(e) 18 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Tamao de ptalo GrandePequeo Color Lila404 Blanca23 Sean los eventos: A: la orqudea es de ptalo grande. B: la orqudea es de color lila. DetermineelnmerodemuestrasenB A ,` A yB A .Representecon diagramas de Venn este espacio muestral y los eventos A y B. Indique el nmero de resultados en cada regin del diagrama. Observequesiempreesnecesariodescribireleventoquesevaaconsiderar dentro del espacio muestral. Deacuerdoalascaractersticasdescritas,eleventoB A estformadopor40 orqudeasparalascualeseltamaodeptalosesgrandeysondecolorlilaal mismotiempo.Elevento` A contiene7orqudeasparalasquesusptalosson pequeos,independientedesucolor.EleventoB A estconformadopor46 orqudeasenlasquesusptalossongrandesosucoloreslila(oambas caractersticas a la vez). ElsiguientediagramadeVennrepresentadichoespaciomuestralylosdos eventos A y B. Los nmeros indican la cantidad de resultados en cada regin del diagrama. Figura 1.2 Diagrama de Venn, ejemplo 1.5 Cuando un espacio muestral puede construirse en varios pasos o etapas suele ser mstilhacerusodelosdiagramasderbol.Cadaunadelasn1manerasde completar el primer paso puede representarse como una rama del rbol, cada una de las maneras de completar el segundo paso puede representarse con n2 ramas que comienzan donde terminan las ramas originales, y as sucesivamente. 19 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Undiagramaderbolesunaespeciedemapadeacontecimientosendondese describenloseventosbsicosqueocurrenenunexperimentoaleatorio.Este grfico est formado por segmentos de rectas y puntos. Los eventos que ocurren se denotan por puntos. Este diagrama puede ser dibujado de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo, no hay restricciones para ello (Ver figura 3). Este tipo de diagramas es muy usual no slo para describir un espacio muestral, sino en situaciones de probabilidad, caso en el cual la probabilidad del evento se indicasobreelsegmentoderecta,tambinencombinatoriayenmuchasotras ramas de la matemtica. Figura 1.3 Diagramas de rbol (a) Vertical, (b) Horizontal EJEMPLO 1.6: SofayCamilaIntervienenenuntorneodetenis.Laprimerapersonaquegane dosjuegosseguidosoquecompletetres,ganaeltorneo.Useundiagramade rbol para determinar los posibles resultados del torneo. Figura 1.4 Diagrama de rbol del ejemplo 1.6 S A B C S A B C (a)(b) S S S S S S S S S C C C C C C C C C 20 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Elrecorridodesdeelprincipiodelrbolhastalospuntosterminales,indicaquin gancadajuegoeneltorneoindividualdetenis.Observequehay10puntos terminales que corresponden a los 10 resultados posibles del torneo, ellos son: { SS, SCSS, SCSCS, SCSCC, SCC, CSS, CSCSS, CSCSC, CSCC, CC. } 21 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD E EJ JE ER RC CI IC CI IO OS S C CA AP P T TU UL LO O 1 1 1.-Proporcioneunadescripcinrazonabledelespaciomuestraldecadaunode los siguientes experimentos aleatorios. Utilice un diagrama de rbol. a.-Lanzartresvecesunamonedayobservarlaseriedesellosocarasque aparecen. b.-Tirarundado,sielresultadoesunnumeroparlanzarunamoneda,siel resultado es un numero impar lanzar una moneda dos veces. 2.-Sedeseaobservarunafamiliaqueposeedosautomvilesyparacadauno observamos si fue fabricado en Colombia, si es Americano o si es Europeo. a.- Cuales son los posibles resultados de este experimento?b.- Defina el evento A: Los dos automoviles no son fabricados en Colombia, Liste el evento B: Un automovil es colombiano y el otro no.c.- Defina los eventos AB y BA. 3-Labibliotecadeunauniversidadtienecincoejemplaresdeunciertotextoen reserva, Dos ejemplares (1 y 2) son primera edicin y los otros tres (3, 4 y 5) son segundasediciones.Unestudianteexaminaestoslibrosenordenaleatorio,yse detiene cuando selecciona una segunda impresin. Ejemplos de resultados son: 5, 213. a.- haga una lista de los elementos de S b.-ListeloseventosA:ellibro5esseleccionado,B:exactamenteunlibrodebe ser examinado, C: el libro 1 no es examinado c.- Encuentre: AB, BA.,AC y BC. 4.- Dos estaciones de gasolina se encuentran en un cierto cruce de la ciudad, en cada una hay 4 bombas para despacho de gasolina. Considere el experimento en que el numero de bombas en uso en un da particular se determina para cada una de las estaciones. Un resultado experimental especifica cuantas bombas estn en uso en la primera estacin y cuantas estn en uso en la segunda. a.- Cuales son los posibles resultados del experimento b.-DefinaeleventoA:elnumerodebombasenusoeselmismoenambas estaciones,eleventoB:elnumerodebombasenusoesmximodosencada estacin, el evento C: el numero total de bombas en uso en ambas estaciones es cuatro. c.- Defina AB, BC 5.-ElsiguientediagramadeVenncontienetreseventos.Reproduzcalafiguray sombree la regin que corresponde a cada uno de los siguientes eventos: 22 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD a. Ab.B A c.C B A ) (d.) ( C Be.C B A ) ( 6.-Unamujeresportadoradehemofiliaclsica.Estosignificaque,aunquela mujernotengahemofilia,puedetransmitirlaenfermedadasushijos.Ellatiene tres hijos. Describa el espacio muestral de este experimento. 7.-Enunaencuestarealizadaentre200inversionistasactivos,sehallque120 utilizancorredoresporcomisin,126usancorredoresdetiempocompletoy64 emplean ambos tipos de corredores. Determine el nmero de inversionistas tales que: a. Utilizan al menos un tipo de corredor. b. Utilizan exactamente un tipo de corredor. c. Utilizan slo corredores por comisin. d. No utilizan corredores. RepresenteconundiagramadeVennesteespaciomuestralyloseventos relacionados. Indique el nmero de resultados en cada regin del diagrama. 8.-Latablasiguientepresentaunresumendelascaractersticassolicitadasen 100 rdenes de compra de computadores. Memoria adicional NoSi Procesador opcional de alta velocidad No757 Si108 Sean: A:eventodondelaordendecompraessolicitadasinmemoriaadicionalysin procesador opcional de alta velocidad. B: evento donde la orden de compra es solicitada sin memoria adicional. Determine el nmero de muestras enB A ,ByB A . Dibuje un diagrama de Venn que represente estos datos. 9.- Se le pidi a 110 comerciantes que dijeran que tipo de programa de televisin preferan. La tabla muestralasrespuestasclasificadasalavezsegnelnivelde estudios de los comerciantes y segn el tipo de programa preferido. 23 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Tipo de Programa Nivel de estudios Colegio (A) Universidad (B) Postgrado ( C ) Total Deportes (D)158730 Noticias (N)3271040 Drama (M) 551525 Comedia ( W)103215 Total 334334110 Especifiqueelnumerodeelementosencadaunodelossiguienteseventosy defnalos con palabras: a) D, b) A Mc) W ` d) C N e) D B f) ( M A) 24 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD CAPITULO 2 TCNICAS DE CONTEO En el clculo de las probabilidades se debe poder determinar el nmero de veces queocurreuneventoosucesodeterminado.Esmuchassituacionesde importancia prctica es imposible contar fsicamente el numero de ocurrencias de un evento o enumrelos uno a uno se vuelve un procedimiento engorroso. Cuando seesta frentea esta situacin es muytildisponerdeunmtodocorto,rpidoy eficaz para contar. A continuacin se presentan algunas de estas tcnicas, denominadas tcnicas de conteooanlisiscombinatorio,entrelascualessetienen:elprincipio fundamentaldelconteo,permutaciones,variaciones,combinaciones,laregladel exponente y el diagrama de rbol. Leccin 6: PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO Enlateorafundamentaldelconteosetienendosprincipiosbsicos,quesonla base para desarrollar otrosconceptoscomopermutacionesycombinacionesque se vern ms adelante. Principio de multiplicacin o multiplicativo Algunosproblemasdeprobabilidadpuedenresolverseaplicandoesteprincipio. Supongaqueunapersonadeseaprepararunalmuerzoparasusamigosytiene dosrecetasparalasopa,tresparaelplatoprincipalydosparaelpostre.De cuntasmaneraspuedeelanfitrinhacersumen?Enlafigura5sesealan todas las maneras posibles para preparar el almuerzo. Figura 2.5 Diagrama de las posibles opciones para preparar un men Las alternativas que tendr son: {1,3,6}{1,3,7}{1,4,6}{1,4,7}{1,5,6}{1,5,7} Sopa Plato principal Postre 1 2 3 4 5 6 7 25 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD {2,3,6}{2,3,7}{2,4,6}{2,4,7}{2,5,6}{2,5,7} Entotalsetienen12manerasdiferentesdeprepararundeliciosoalmuerzo. Aplicando el principio de multiplicacin se tiene: 2 x 3 x 2 = 12 Generalizando,siuneventodeterminadopuederealizarseden1maneras diferentes, y si un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y si, adems,untercereventopuederealizarseden3manerasdiferentesyas sucesivamente,ysialmismotiempocadaeventoesindependientedelotro, entonces el nmero de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto: ...3 2 1 n n n Principio aditivo Esteprincipiotienelasmismaspremisasdelprincipiomultiplicativo,peroconla condicinnodequeloseventosseanindependientessinodequesean mutuamenteexcluyentes,esdecirquecadaunoocurrasinlanecesidaddeque otro lo haga. El nmero total de maneras en las que pueden realizarse los eventos es la adicin: ...3 2 1+ + + n n n Suponga, ahora, que la persona que prepara el men para sus amigos preparar pescadocomoplatoprincipal.Paraprepararelpescado,lencuentracinco manerasdiferentesdehacerloalhorno,dosparahacerlofritoytrespara prepararlo cocido. De cuntas maneras diferentes puede cocinar su pescado? Cada una de las maneras de preparar el pescado es excluyente de las otras dos. Es decir, si el cocinero decide preparar el pescado cocido, ya no podr prepararlo nifrito nialhorno;de igualmanerasucede sidecidehacerloalhornoo frito.As queentotal,ydeacuerdoconelprincipioaditivo,slohay5+2+3=10maneras diferentes de cocinar el pescado. Figura 2.6 Esquema de interpretacin de los principios multiplicativo y aditivo n1n2n3. . . Principio multiplicativo n1 n2 n3 . . . Principio aditivo 26 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Elesquemadelafigura1.6ilustraunainterpretacinsencilladeambos principios3. Ms adelante se desarrollan los conceptos de eventos independientes y eventos mutuamente excluyentes, pero ya inicia un primer acercamiento a ellos. Leccin 7: FACTORIAL DE UN NMERO Enelanlisiscombinatoriointervieneconmuchafrecuenciaelconceptode factorial de un entero no negativo n. Este se denota por el smbolo n! y se define como el producto de n por todos los enteros que le preceden hasta llegar al uno. Simblicamente queda expresado como: ( )( ) 1 1 2 1 = n n- n- n n! La excepcin es el caso de 0! El cual conviene definirlo como igual a 1 con objeto depreservarlavalidezdelasfrmulasencasosextremos.Muchascalculadoras traen una tecla factorial, verifique que la suya la tenga y practique. EJEMPLO 2.7 Calcule: a.720 1 2 3 4 5 6 ! 6 = =b.000 . 368 . 674 . 307 ' 1 1 2 3 ... 13 14 15 ! 15 = =c.121 ) 1 2 3 4 5 ( ) 1 ( ! 5 ! 0 = + = +d.156 12 13! 11! 11 12 13! 11! 13156 12 131 2 3 ... 9 10 111 2 3 ... 11 12 13! 11! 13= = = = = =e. 72018 9 101! 7 8 9 10! 7! 10! 71 2 3 ... 9 101 2 3 4 5 6 7! 10! 7= = = = Leccin 8: PERMUTACIONES Y VARIACIONES Considereunconjuntodeelementos{ } c b a S , , = .Unapermutacindelos elementos es un acomodo u ORDENAMIENTO de ellos. As: abcacbbacbcacabcba 3ModificadodeProbabilidadyestadsticaparaingenierayciencias,GabrielVelascoS.yPiotr Marian Wisniewski. Thomson Learning. Mxico. 2001 27 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD sonlaspermutacionesdeloselementosdelconjuntoSysonentotal6posibles acomodos. Esto es: 6 1 2 3 ! 3 = = Elnmerodepermutaciones(acomodosuordenaciones)denelementos distintos, tomados todos de una vez, se denota por n! Una ordenacin de un nmero r de elementos del conjunto de n elementos, n r , esdenominadavariacin.Sonpermutacionesenlasqueimplicaunordenenla colocacindeloselementos,tomandonicamenteunapartedeloselementos. Una variacin puede construirse seleccionando el elemento que ser colocado en la primera posicin del arreglo de entre los n elementos, para luego seleccionar el elementodelasegundaposicindeentrelosn-1elementosrestantes,para seleccionardespuseltercerelementodeentrelosn-2restantes,yas sucesivamente. Se trata pues de una permutacin de n elementos tomando r a la vez. El nmero de permutaciones de n elementos tomados r a la vez se denota como r nPo nrVy se define como: ( )( ) ( )( )! r nn!r n ... n n n P Pnr r n= + = = 1 2 1 Observe que en el caso especial de r=n, se tiene: ! 1 2 3 )... 2 )( 1 ( n n n n Pn n= = Enelsiguienteejemploseharunanlisisbsicoydidcticoparacomprender fcilmente el uso adecuado de las permutaciones y las variaciones. Ejemplo 2.7 Suponga que se tienen las bases Tiamina (T), Adenina (A), Citosina (C) y Guanina (G).Decuntasmanerasdiferentessepuedenordenarestasbasesenuna secuencia de longitud 4, sin repetir ninguna base? Supngase que en las siguientes casillas se ubicarn las bases. 28 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD En la primera casilla se puede ubicar una de las cuatro bases, cualquiera de ellas. De modo que se tienen 4 formas de llenar esta casilla. Independiente de la base elegidaparalaprimeracasilla,quedantresbasesnoseleccionadas,puesseha aclarado que no se puede repetir ninguna base. De modo que la segunda casilla podrllenarsede3manerasdiferentes.Laterceracasillasepuedellenarde2 manerasdiferentes.Unavezllenadalaterceracasilla,quedaunasolabaseque deber ser ubicada en la cuarta casilla. De modo que el total de formas diferentes de llenar estas cuatro casillas es: 4321=24=4! Haciendousodelosconceptoshastaahoraestudiados,setratadeconocerel nmerodepermutacionesde4elementosdistintos,tomadostodosdeunavez. As: 24 1 2 3 4 ! 4 = = Bien,ahorasupongaqueseseleccionarunasecuenciade2elementos,de cuntas maneras se pueden ordenar estas bases? Se tienen ahora las siguientes casillas: En la primera casilla se puede ubicar una de las cuatro bases, cualquiera de ellas. De modo que se tienen 4 formas de llenar esta casilla. Independiente de la base elegida para la primera casilla, quedan tres bases no seleccionadas. De modo que la segunda casilla podr llenarse de 3 maneras diferentes. As, el total de formas diferentes de llenar estas cuatro casillas es: 43=12 Setratadeunproblematipovariacin,endondesepideelnmerode permutaciones de 4 elementos distintos tomados 2 a la vez. ( )( )12 3 4242 4412 3 4 1 2 4 42 4 2 4= = == = = + =!!!!P P Cuandounoovarioselementosestnrepetidos,elclculodelaspermutaciones vara;enestecasosehabladepermutacionesconrepeticin.Elnmerode 29 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales, n2 son iguales, , nr son iguales, es: ! !... !!2 1 rn n nn Ejemplo 2.8 Calcular el nmero de acomodos distintos de la palabra CASA. ParalapalabraCASAsetendranunnmeroinferiora24acomodosdistintos. Debe tenerse en cuenta la repeticin de la letra A. Debe aplicarse: 12 4 3! 2! 4= = Compruebe cules son esas 12 permutaciones posibles de la palabra CASA. Ahora bien, de cuntas maneras distintas se puede ordenar la palabra CASAS? 30! 2 ! 2! 5= Compruebe cules son esas 30 permutaciones posibles. Leccin 9: COMBINACIONES Supongaquetieneunconjuntodenelementos.Unacombinacindeellos, tomados r a la vez, es un subconjunto de r elementos donde el orden no se tiene en cuenta. El nmero de combinaciones de n elementos tomados r a la vez,n r , sin tener en cuenta el orden, es: ! )! (!r r nnrnC Cnr r n=|||

\|= = Ejemplo 2.9 30 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Seaelconjunto{ } d c b a S , , , = ,sisedeseacombinarlos cuatroelementosala vez, cuntas combinaciones se podrn hacer? Unasolacombinacin,yaquealnoimportarelordendecolocacindalo mismo cualquiera de ellas. Comprubelo usando la frmula. Sisedeseancombinaresascuatroletras ensubconjuntosdedoselementos, cuntas combinaciones se podrn hacer? Las combinaciones posibles tomadas dos a la vez son: ab, ac, ad, bc, bd, cd Observe que el subconjunto compuesto de los elementos a y b puede ser {a, b} o{b,a},pues en una combinacinnosetieneencuentaelorden.Elnmero de posibles combinaciones es: 6! 2 )! 2 4 (! 42 4== C El uso de combinaciones es ms usual cuando se trata de contar las posibilidades deordenarunconjuntodeelementosindependientementedesucolocacino posicin. En el siguiente ejemplo se ver su uso ms comn, en donde no importa quinoquestomadodeprimero,oenquordenespecficoestomado,deun subconjunto de elementos determinado. EJEMPLO 2.10 En una asamblea de socios de una importante empresa del pas, compuesta de 7 hombresy5mujeres,seacuerdaconformarunacomisindeverificacinde actividadescomercialesenlaregin.Estacomisindebeestarcompuestapor3 hombres y 2 mujeres. De cuntas maneras puede escogerse dicha comisin? De los 7 hombres pueden seleccionarse 3. Esto es: 351 2 35 6 7! 3 ! 4! 7373 7= ==|||

\|= C posiblesmanerasde seleccionar 3 hombresde un conjunto de 7. De las 5 mujeres pueden seleccionarse 2. Esto es: 101 24 5! 2 ! 3! 5252 5===|||

\|= C posiblesmanerasdeseleccionar2mujeresdeun conjunto de 5. 31 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Porconsiguiente,lacomisinpuedeescogersede350 10 35 = maneras diferentes. Enlagranmayoradecalculadorascientficasexisteunpardeteclasque simplifican el clculo de las permutaciones y las combinaciones. Observe si en su calculadoradetrabajoseencuentrandichasteclas.Paralaspermutacionesla tecla se expresa como r n P rnP) , ( r n Py para las combinaciones es r nC rnC ) , ( r n C . Identifique estas teclas en su calculadora y practique. Leccin 10: REGLA DEL EXPONENTE Setratadeuntipodecombinacinoarregloordenadoendondesiemprehay reemplazo del elemento que se toma. SisetienenunconjuntodeNelementosyseconstruyeconestoselementos un conjuntodenelementos,conlacondicindequecadavezquesetomeun elementodelconjuntodeNelementosesteseanuevamentereemplazado, entonces el nmero de posibles arreglos o acomodos del conjunto de n elementos es: n

Elsiguienteejemploexplicadeunamaneradidcticaelclculodelnmerode posibles arreglos haciendo uso de la regla del exponente. Ejemplo 2.11 Cuntos casos posibles existen al lanzar una moneda en 5 lanzamientos? Enellanzamientodeunamonedasetienendosposibilidades:caraosello.El nmero de casos posibles estar dado por el nmero de posibilidades (2, en este caso) con exponente igual al nmero de lanzamientos: En un lanzamiento:2 21= casos posibles En dos lanzamientos: 4 22= casos posibles En tres lanzamientos: 8 23= casos posibles De modo que, para cinco lanzamientos, hay32 25=casos posibles 32 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD E EJ JE ER RC CI IC CI IO OS S C CA AP P T TU UL LO O 2 2. . 1.- Suponga que una persona que vive en el municipio de Bello (Antioquia) trabaja en el centrodelaciudaddeMedelln.Parallegarasusitiodetrabajo,estetienetresrutas distintasparallegaralaAutopistaydeallpuedetomarotrastresrutasparallegaral centrodelaciudad.Enelcentro,puedetomarcuatrorutasparallegaralparqueadero ms cercano a su oficina. De cuntas maneras o rutas distintas podra tomar la persona para llegar de la casa al parqueadero ms prximo a su oficina? 2.-Enunrestauranteenelcentrodelaciudadofrecenalmuerzosejecutivosconlas siguientesopciones:trestiposdiferentesdesopa,cuatrotiposdecarneconlabandeja, cuatro bebidas a escoger y dos tipos de postre. De cuntas maneras puede un comensal elegirsumenqueconsistadeunasopa,unacarneparasubandeja,unabebidayun postre? 3.-Siunfutbolistaconoce7jugadasdiferentesysielentrenadorleinstruyeparaque juegue las 7 sin que ninguna se repita, qu libertad le queda a ese jugador? 4.-CuntaspermutacionespuedenefectuarseconelconjuntoS={a,b,c,d}?Describa cada una de las permutaciones posibles. 5.-Cuntaspermutacionesdistintaspuedenformarseconlasletrasdelapalabra PROBABILIDAD? 6.-Dadoslossiguientesseisnmeros:2,3,5,6,7,9;ysinosepermitenrepeticiones, resuelva: Cuntos nmeros de tres dgitos se pueden formar con estos seis dgitos? Cuntos de estos son menores de 400? Cuntos son pares? Cuntos son impares? Cuntos son mltiplos de cinco? 7.-Unatarjetadecircuitoimpresotieneochoposicionesdiferentesenlasquepuede colocarseuncomponente.Sisevanacolocarcuatrocomponentesdistintossobrela tarjeta, cul es el nmero de diseos diferentes posible? 8.- En una pizzera se anuncia que ofrecen ms de 500 variedades distintas de pizza. Un clientepuedeordenarunapizzaconunacombinacindeunoomsdelossiguientes nueveingredientes:jamn,championes,pia,pimentn,salchicha,cebolla,peperoni, salami y aceitunas. Es cierto lo que afirma su publicidad? 9.-ElitinerariodeunrecorridotursticoporEuropaincluyecuatrositiosdevisitaque deben seleccionarse entre diez ciudades. En cuntas formas diferentes puede planearse este recorrido si: Es importante el orden de las visitas? No importa el orden de las visitas? 33 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD 10.- El muy conocido BALOTO electrnico es un juego de azar que consiste en acertar en 6 nmeros de 45 posibles para ganar el premio mayor. Calcule cuntos boletos de juego debeustedcomprarparaasegurarquetendrelboletoganador.Laempresadel BALOTO asegura tambin que usted puede ganar un monto determinado si acierta 3, 4 o 5veces,calculetambincuntosboletosdebecomprarparaasegurar3,4y5aciertos. Todava cree en el BALOTO? 11.- En una sala de espera se encuentran 5 personas: 3 hombres y 2 mujeres. De cuntas maneras pueden sentarse en una fila? De cuntas maneras pueden sentarse en fila si los hombres se sientan juntos y las mujeres tambin? Decuntasmaneraspuedensentarseenfilasijustamentelasmujeressesientan juntas? De cuntas maneras pueden sentarse en una mesa redonda? 12.-Enunaurnasetienen10bolitas:5rojas,3blancasy2azules.Sisetoman3con reemplazo,decuntasmanerassepuedensacarlastresbolitasdemodoquetodas sean del mismo color? 13.-Unapruebadeopcinmltipleconstade15preguntasycadaunatienetres alternativas,delascualesslodebemarcaruna.Encuntasformasdiferentespuede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas? 14.- Cuntas placas vehiculares se pueden elaborar en Colombia? Recuerde que stas constan de tres letras del alfabeto y tres dgitos. Tome 26 letras del alfabeto. 15.- Cuantas formas hay de seleccionar 3 candidatos de un total de 8 recin egresados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una empresa? 16.- En un estudio realizado en California, se concluyo que al seguir 7 reglas sencillas de salud la vida de un hombre puede alargarse, en promedio 11 aos. Las 7 reglas sonno fumar,hacerejercicioregularmente,tomaralcoholsoloenformamoderada,dormir7 horas , conservar un peso apropiado, desayunar y no comer entre alimentos. En cuantas formas puede una persona adoptar 5 de estas reglas, a) si actualmente las viola todas; b) Si nunca toma bebidas alcohlicas y siempre desayuna. 17.- Un Testigo de un accidente de trnsito en el que el causante huy le indica al polica que el numero de matricula tenia las letras RHL seguida por tres dgitos el primero de los cuales era cinco, el testigo no puede recordar los otros dos pero esta seguro que los tres nmeros eran diferentes, encuentre el numero mximo de registros que debeverificar la polica 18.-Seisalumnosdeltimoaodebachilleratoparticipanenunconcursodeensayo literario.Nopuedehaberempates.Cuntosresultadosdiferentessonposibles? Cuntos grupos de primero, segundo y tercer puesto puede haber? 19.-Unpsiclogotiene14pacientesentreloscualesdebeseleccionarnueveparaun experimento en grupo. Cuntos grupos de nueve se puede hacer? 34 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD CAPITULO 3 PROPIEDADESBSICAS DE LAS PROBABILIDADES. Enlavidacotidiananoshemosacostumbradoahaceryaorafirmacionesquellevan implcitoelconceptodeprobabilidades:lospronsticosmeteorolgicosnossealanlas probabilidadesdelluvia;losmdicosnosdicenqueprobabilidadhaydequenuestras enfermedadessecurenpormediodedeterminadostratamientos;losconsejeros escolares,enelcolegio,especulansobrenuestrasposibilidadesdexitoenla universidad, los encuestadores polticos nos dicen que oportunidad tiene de ganar en las elecciones nuestro candidato favorito. Enformamuysimplesepuededefinirlaprobabilidadcomounnmerode0a1,quele asignamos a suceso para indicar su posibilidad de ocurrir. Las probabilidades se expresan comofraccionesocomodecimalesqueestnentreunoycerootambinenvalor porcentualentre0y100.Tenerunaprobabilidaddecerosignificaquealgonucavaa suceder;unaprobabilidaddeunoindicaquealgovaasucedersiempre.Casitodoel mundoestardeacuerdoenquesiselanzaunapelotaalairelaprobabilidaddeque vuelva a caer es 1. Por el contrario, la probabilidad de que una persona pueda sobrevivir en el planeta Mercurio sin ninguna clase de proteccin es 0. En el presente captulo se examinarn las diferentes interpretaciones que se tienen de la probabilidad:laclsica,ladefrecuenciasrelativasylasubjetivaoapriori.Lasdos primerassonmuysimilaresporcuantosebasanenlarepeticindeexperimentos realizadosbajolasmismascondiciones;mientrasquelatercerarepresentaunamedida del grado de creencia con respecto a una proposicin. Despus de definida la probabilidad de un evento, se ver a continuacin los axiomas que debensatisfacerlasprobabilidadesdecualquierexperimentoaleatorio.Posteriormente, setratarnlas reglasdeadicinydemultiplicacinparaprobabilidades, apoyadasenla teoradeconjuntos,de dondesederivanconceptoscomolaprobabilidadcondicional,la independencia de eventos y el Teorema de Bayes. Leccin 11: INTERPRETACIONES DE LA PROBABILIDAD Existen tres diferentes formas de definir la probabilidad de un evento. Cada una de estas formas de interpretacin tiene su lugar en el estudio de la Probabilidad y ninguna de ellas por separado cubre completamente todos los casos. Antesdeiniciarconestasdefiniciones,sehaceimportanteacordarunanotacinque se seguiralolargodeltexto,yqueustedencontrarcomnmenteenotrostextos acadmicosrelacionadosconlaprobabilidad.Loseventossernenunciadosenletras maysculasas:A,B,C,;laletramaysculaPdenotarunaprobabilidadyP(A) indicar, entonces, la probabilidad de que ocurra el evento A. 35 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Definicin Clsica de Probabilidad o a Priori Cuando un experimento aleatorio tiene n resultados, y todos ellos con igual posibilidad de ocurrencia,entoncesseempleaelmtodoclsicodelaprobabilidadparaestimarla posibilidaddeocurrenciadecadaunodeellos.Lecorrespondepues,acadaresultado, una probabilidad igual a 1/n. Considere,porejemplo,undadode6caras,culeslaprobabilidaddequecaigael nmero 5 despus de un lanzamiento? Un dado balanceado (esto es, no recargado) tiene 6 resultados posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6. La probabilidad de que caiga el nmero 5 es igual a la probabilidad que tiene cualquier otro de los valores, y esta es igual a 1/6. Resumiendo,laprobabilidaddequeocurrauneventoAcualquiera,quetienelamisma posibilidaddeocurrenciaquecualquierotroeventodentrodelespaciomuestralde tamao n, se define como: nA P1) ( = Este planteamiento de la probabilidad tiene serios problemas cuando intentamos aplicarlo alosproblemasdetomadedecisionesmenosprevisibles.Elplanteamientoclsico suponeunmundoquenoexiste,suponequenoexistensituacionesquesonbastante improbablesperoquepodemosconcebircomoreales.Laprobabilidadclsicasupone tambin una especie de simetra en el mundo. Definicinde probabilidad segn el concepto de frecuencia relativa o probabilidad frecuentistaEnelsigloXIX,losestadsticosbritnicos,interesadosenlafundamentacintericadel clculodelriesgodeprdidasenlasplizasdesegurosdevidaycomerciales, empezaronarecogerdatossobrenacimientosydefunciones.Enlaactualidad,aeste planteamientoselellamafrecuenciarelativadepresentacindeuneventoydefinela probabilidad como: Lafrecuenciarelativaobservadadeuneventoduranteungrannmerode intentos, oLafraccindevecesqueuneventosepresentaalalarga,cuandolas condiciones son estables. Estemtodoutilizalafrecuenciarelativadelaspresentacionespasadasdeunevento como una probabilidad. Determinamos qu tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro. Unexperimentoaleatoriosecaracterizaporquerepetidomuchasvecesyenidnticas condiciones el cociente entre el nmero de veces que aparece un resultado (suceso) y el nmerototaldevecesqueserealizaelexperimentotiendeaunnmerofijo.Esta 36 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD propiedadesconocidacomoleydelosgrandesnmeros,establecidaporJacob Bernouilli.Tieneelinconvenientedevariarlasucesindelasfrecuenciasrelativasde unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el nmero de realizaciones aumenta se mantiene estable. La frecuencia relativa del suceso A: Cuando utilizamos el planteamiento de frecuencia relativa para establecer probabilidades, elnmeroqueobtenemoscomoprobabilidadadquirirmayorprecisinamedidaque aumentanlasobservaciones.Unadificultadpresenteconesteplanteamientoesquela gente lo utiliza a menudo sin evaluar el nmero suficiente de resultados. Para un espacio muestral de tamao n y para un evento cualquiera A con frecuencia f, se tiene que su probabilidad de ocurrencia es: nfA P = ) ( EJEMPLO 3.12 En una urna se tienen 9 bolitas de diferentes colores: 4 blancas, 3 grises y 2 negras. Si se selecciona de la urna una bolita, sean: B: Evento para el cual la bolita seleccionada es blanca. G: Evento para el cual la bolita seleccionada es gris. N: Evento para el cual la bolita seleccionada es negra. Determinar la probabilidad de ocurrencia de cada evento. Tamao de la muestra:9 = nFrecuencia de B:4 =BfFrecuencia de G:3 =GfFrecuencia de N:2 =

f 37 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD % 2 . 22 22 . 092) (% 3 . 33 33 . 093) (% 4 . 44 44 . 094) (= = = == = = == = = =nf PnfG PnfB P

GB Intuitivamente,sepuedepensarquelaprobabilidaddeocurrenciadeuneventoest asociadaalacantidaddevecesenqueserepiteunprocedimientoofenmeno.Por ejemplo,enuntpicoexperimentoaleatoriocomolanzarunamoneda,setienendos resultados probables: cara o sello. Ambos resultados son igualmente probables (siempre ycuandolamonedanoestrecargada).Peroperfectamenteenunexperimentocon10 lanzamientos de la moneda, se podra tener un resultado como 8 caras y 2 sellos. Este es unresultadonormal.Sinembargo,sielexperimentofuerade100lanzamientos,sera muyextraoencontrarunresultadocomo80carasy20sellos;obien,con1000 lanzamientos800carasy200sellos.Entonces,nosepuedegarantizarculserel resultado en un lanzamiento, o pocos lanzamientos, pero se puede ver que con una gran cantidad de lanzamientos los resultados de que la moneda caiga cara sern muy similares al nmero de veces para sello. Conloanterior,puedeconcluirsequealcalcularprobabilidadesconelmtodode frecuenciasrelativas,seobtieneunestimadoynounvalorexacto.Conformeelnmero de observaciones se incrementa, los estimados correspondientes tienden a acercarse a la probabilidad real. Esta propiedad es conocida comnmente como la ley de los grandes nmeros. Probabilidades subjetivas. Lasprobabilidadessubjetivasestnbasadasenlascreenciasdelaspersonasque efectan la estimacin de probabilidad. La probabilidad subjetiva se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la evidencia que se tenga disponible. Esa evidencia puede presentarse en forma de frecuencia relativa de presentacindeeventospasadosopuedetratarsesimplementedeunacreencia meditada. Lasvaloracionessubjetivasdelaprobabilidadpermitenunamsampliaflexibilidadque los otros dos planteamientos. Los tomadores de decisiones puede hacer uso de cualquier evidenciaquetenganamanoymezclarlasconlossentimientospersonalessobrela situacin. Las asignaciones de probabilidad subjetiva se dan con ms frecuencia cuando los eventos se presentan slo una vez o un nmero muy reducido de veces. Porejemplo,unamujerenembarazoaseguraqueelbebquetendrservarnporla cantidaddepataditasrecibidasenelvientre,mientrasquesucuadalerefutaeste argumento,puesafirmaquelaformadesubarrigaleaseguraquetendrunania. Ambasmujerespartendeunaexperienciaounaprcticapersonalparaatreversea 38 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD asegurarelsexodelserquevieneencamino.Sinembargo,laprobabilidaddequesea nio es igual a la probabilidad de que sea nia, y eso es igual a 0.5 ( 50%). Otroejemplocomneseldelasprediccionesmeteorolgicas,enlasqueelcientfico debeusarsuconocimientoexpertodelascondicionesdeltiempoparadesarrollarun estimadodelaprobabilidaddebuenomaltiempo.Comocasitodaslasdecisiones sociales y administrativas de alto nivel se refieren a situaciones especficas y nicas, los responsables de tomar decisiones hacen un uso considerable de la probabilidad subjetiva. Setratapuesdeunaconjeturaentrenada,basadasiempreenlaprctica,enla comprensindefenmenossimilaresoenlascircunstanciasquerodeaalevento,yno como presunciones lanzadas sin un conocimiento de las causas o como corazonadas. Estemtodoesusado,porejemplo,cuandounmdicoestimalaprobabilidadde recuperacinparaunenfermograveotambincuandouningenieroestimarpiday subjetivamente la resistencia de un puente al paso de una carga superior a la establecida en los diseos. Esimportanteentenderqueelmtododelaprobabilidadaprioriosubjetivanodebe menospreciarsefrentealosotrosmtodos(frecuenciarelativayclsica),yaquees frecuentenotenerregistrosdelcomportamientodeciertavariableparadeterminaruna probabilidad relacionada, pues simplemente no es posible repetir el experimento. Porejemplo,lasaseguradorasnopuedendarseellujoderepetirelensayodeldaode uncarro,delrobodeunavaliosaobradearte,delsecuestrodeunapersonaodel accidentedeunavin.stassolopuedenbasarseenexperienciasadquiridaspara estimar su probabilidad de ocurrencia y as determinar el costo del seguro que ofrece. De lamismamanera,nosepodradeterminarlaprobabilidaddequeunaciudadsea bombardeada por meteoritos, por que simplemente no hay registros histricos para hacer una estimacin. Slo se puede hacer un estimado subjetivo. EJEMPLO 3.13 Supongaqueustedesunastrnomoquequieredeterminarlaprobabilidaddequeun gran asteroide destruya el planeta Tierra. Qu mtodo usara para este clculo? Observe que no puede usarse el mtodo clsico, porque los resultados posibles no tienen la misma posibilidad de ocurrir. Tampocoseaplicaelmtododelasfrecuenciasrelativas,yaqueesimposiblerealizar ensayos y no hay datos histricos de una destruccin de ese tipo. Slo puede aplicarse el mtodo de la probabilidad subjetiva apoyndose, por ejemplo, en elnmerodeasteroidesreportadosconuntamaosuficienteytancercanosanuestro planetacomoparadestruirlo,tambinenelconocimientodelasrbitasdeestos asteroides. 39 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD LosastrnomosdesarrollaronlaprobabilidadsubjetivadequeelplanetaTierrafuera destruido por una colisin con un asteroide en algn momento en los prximos 100 aos: la probabilidad es aproximadamente de 1 / 5000. Leccin 12: AXIOMAS DE PROBABILIDAD: REGLA DE LA ADICIN Conocidaahoralaprobabilidaddeunevento,sepuedenreunirciertascaractersticas conocidascomoaxiomasdeprobabilidadquesatisfacenlaprobabilidaddecualquier experimento aleatorio. Estos axiomas no determinan las probabilidades, lo que hacen es facilitarelclculodelasprobabilidadesdealgunoseventosapartirdelconocimientode las probabilidades de otros. Entendiendo la probabilidad de cualquier evento como un nmero entre 0 y 1, ella satisface las siguientes propiedades: SiSeselespaciomuestralyAescualquiereventodelexperimentoaleatorio, entonces: 1.1 ) ( = S P 2.1 ) ( 0 A P Estos axiomas implican los siguientes resultados. La probabilidad de un evento imposible es 0 P()=0. La probabilidad de que un evento ocurra con certeza es 1. Para cualquier evento A,) ( 1 ) ( A P A P = . Si el evento A1 est contenido en el evento A2, entonces:) ( ) (2 1A P A P La probabilidad de un evento compuesto, generado al aplicar las operaciones bsicas de losconjuntosaloseventosindividualesquelocomponen(unin,intersecciny complemento de eventos), se puede obtener a partir de las probabilidades de los eventos individuales. En estos casos, las operaciones bsicas de los conjuntos tambin son tiles para determinar la probabilidad de un evento compuesto a.- Regla de la adicin para eventos mutuamente excluyentes.

Amenudo,estamosinteresadosenlaprobabilidaddequeunacosauotrasuceda;es decirnosinteresalaprobabilidaddelaunindedoseventos.Siestosdoseventosson mutuamenteexcluyentes,podemosexpresarestaprobabilidadhaciendousodelaregla de adicin para eventos mutuamente excluyentes:

P (A B) = P (A) + P (B)

Existe un caso especial, para cualquier evento A, tenemos que ste sucede o no sucede. De modo que los eventos A y A son mutuamente excluyentes y exhaustivos: 40 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD P(A) + P(A) = 1

P(A) = 1 - P(A)

b.- Regla de adicin para eventos que no son mutuamente excluyentes.

Sidoseventosnosonmutuamenteexcluyentes,esposiblequeambossepresentenal mismotiempo.Entalescasos,debemosmodificarlaregladelaadicinparaevitarel conteo doble:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(AB)

El siguiente diagrama de flujo4, resume las reglas de adicin para el clculo de la probabilidad de dos eventos dados A y B. Figura 3.7 Diagrama de flujo de la regla de adicin EJEMPLO 3.14: Las siguientes son las caractersticas de las orqudeas de un vivero: Tamao de ptalo GrandePequeo Color Lila404 Blanca23 Sea el evento A: la orqudea es de ptalo grande. Entonces: 49 42 ) ( = A P 4 Modificado de Probabilidad y estadstica, Mario F. Triola. Novena edicin. Pearson & Addison Wesley. Mxico. 2004. ) ( B A P = B A ? ) ( ) ( ) ( B P A P B A P + = ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P + = Si No 41 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Y sea el evento B: la orqudea es de color lila. Entonces: 49 44 ) ( = B P De otro lado,) ( B A P es la probabilidad de que la orqudea sea de ptalo grande y al mismo tiempo de color lila. Entonces: 49 40 ) ( = B A P El eventoB Aes aquel donde la orqudea es de tamao de ptalo grande o de color lila oambos.Latablaindicarpidamente,aligualquesudiagramadeVenn,elvalorde 49 6 4 ) ( = B A P . La otra manera de calcularlo es: 49 6 4 ) (49 40 49 44 49 42 ) () ( ) ( ) ( ) (= + = + = B A PB A PB A P B P A P B A P Sea el evento E donde la orqudea no es de ptalo grande y tampoco es de color lila. La tabla tambin indica el valor de49 3 ) ( = E P Otraalternativaparaelclculode) (E P ,eshacerusoadecuadodeoperacionesentre conjuntos. Se tiene que: ) ( = B A EPor tanto, 49 3 49 6 4 1 ) ( 1 ) ( = = = B A P E P Leccin 13: AXIOMAS DE PROBABILIDAD: REGLAS DE MULTIPLICACIN Eneltemaanteriorsepresentlaregladelaadicinparacalcular ) ( B A P .Enesta seccinsedesarrollarunareglaparadeterminar ) ( B A P ,estoes,laprobabilidadde queeleventoAocurraenunprimerexperimentoyeleventoBocurraenunsegundo experimento. a.-Probabilidades bajo condiciones de independencia estadstica.

Cuandosepresentandoseventos,elresultadodelprimeropuedetenerunefectoenel resultado del segundo, o puede no tenerlo. Esto es, los eventos pueden ser dependientes o independientes.

42 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Probabilidades marginales bajo independencia estadstica.

Unaprobabilidadmarginaloincondicionaleslaprobabilidadsimplede presentacin de un evento. Probabilidades conjuntas bajo condiciones de independencia estadstica.

Laprobabilidaddedosomseventosindependientesquesepresentanjuntosoen sucesin es el producto de sus probabilidades marginales:

P (A B) = P(A) X P(B)

b.- Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadstica.

Ladependenciaestadsticaexistecuandolaprobabilidaddequesepresentealgn suceso depende o se ve afectada por la presentacin de algn otro evento. Probabilidades conjuntas bajo condiciones de dependencia estadstica.

P( B A) = P(B / A) x P(A) O

P( B A) = P(A / B) x P(B) Laregladelamultiplicacinsepuederesumirenelsiguientediagrama deflujo5parael clculo de la probabilidad de la interseccin de dos eventos dados A y B. Figura 3.8. Diagrama de flujo de la regla de multiplicacin 5 Modificado de Probabilidad y estadstica, Mario F. Triola. Novena edicin. Pearson & Addison Wesley. Mxico. 2004. ) ( B A P Son A y B independientes? ) ( ) ( ) ( B P A P B A P = ) ( ) ( ) ( A B P A P B A P = Si No 43 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD RECOMENDACIONES PRCTICAS: Cuando se aplica la regla de la adicin de probabilidades, determinar previamente si los eventos son excluyentes o no.Cuandoseusalaregladelamultiplicacin,determinarsiloseventosson dependientes o independientes.Siemprequeseaposible,apoyarlainterpretacindelproblemamedianteel empleo de diagramas de Venn.La probabilidad es un nmero que nunca puede tener valor negativo, ni ser mayor que 1.

Leccin 14: PROBABILIDAD CONDICIONAL Probabilidades condicionales bajo independencia estadstica.

Simblicamente, la probabilidad condicional se escribe P(B/A) y se lee "la probabilidad de quesepresenteeleventoB,dadoqueeleventoAsehapresentado".Laprobabilidad condicionaleslaprobabilidaddequeunsegundoevento(B)sepresente,siunprimer evento (A) ya ha sucedido.

Probabilidad condicional bajo Independencia estadstica

P(B/A) = P(B)

Probabilidad condicional bajo dependencia estadstica.

P(B / A) = P(BA) / P(A) Ejemplo 3.1.5 Retome el ejemplo de las caractersticas de las orqudeas de un vivero y calcule la probabilidad de que la orqudea que se seleccione sea de color lila dado que se ha tomado una orqudea de tamao de ptalo grande. Tamao de ptalo GrandePequeo Color Lila404 Blanca23 Sean los eventos: A: la orqudea es de ptalo grande. B: la orqudea es de color lila. 44 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Se pide entonces: ) () () (A PA B PA B P=49 / 42 ) (49 / 40 ) (== A PA B P As:% 2 , 95 952 , 049 / 4249 / 40) ( = = = A B P Calculeahoralaprobabilidaddequelaorqudeaseleccionadaseadeptalo grande dado que es de color lila. Observe que esta probabilidad es diferente a la calculada arriba, se pide: % 9 , 90 909 , 049 / 4449 / 40) () () () ( = = = = B A PB PB A PB A P Enestecaso,) ( A P y) ( B A P sonlasprobabilidadesdelmismoevento(la orqudeaesdeptalogrande)perocalculadasbajodosdiferentesestadosde conocimiento: la primera, sin la condicin de su color y la segunda, condicionada a que su color sea lila. De manera similar,) (B Py) ( A B Pson las probabilidades del mismo evento (la orqudea es de color lila) calculadas bajo dos estados diferentes de conocimiento: sin condicionar su tamao de ptalo para la primera y la segunda condicionada a que su tamao de ptalo sea grande. Leccin 15: PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES. La regla de multiplicacin es til para determinar la probabilidad de un evento que dependede otros. En estaseccinsever otromodo decalcularlaprobabilidad de un evento considerando a este como el resultado de la unin de otros eventos. Para esto es necesario definir el concepto de particin. SellamaparticinalconjuntodeeventosAitalesque nA A A S = L2 1y = j iA A ;esdecirunconjuntodeeventosmutuamenteexcluyentesyque componentodoelespaciomuestralS.engeneral,sedicequeunacoleccinde conjuntos A1, A2,, An es exhaustiva si nA A A S = L2 1. La siguiente figura presentaeldiagramadeVennquecorrespondealaparticindeunespacio muestral S en An eventos. 45 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Figura 3.10 Diagrama de Venn indicando la particin de un espacio muestral ParacualquiereventoB,stepuededefinirsecomouneventocompuestode varios subconjuntos mutuamente excluyentes (ver figura 3.6.), esto es: ) ( ) ( ) (2 1 nA B A B A B B = L Figura 3.11 Diagrama de Venn de un evento en varios subconjuntos mutuamente excluyentes Laprobabilidadtotaldeuneventoeslasumaexhaustivadelasprobabilidades de todos los casos mutuamente excluyentes que conducen a dicho evento., Es as como la regla de probabilidad total afirma: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (2 2 1 12 1n nnA P A B P A P A B P A P A B P B PA B A B P A B P B P + + + = + + + =LL Algunos autores resumen esta definicin como una sumatoria, as: 46 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD = =nin nA P A B P B P1) ( ) ( ) ( La regla de probabilidad total para dos eventos se simplifica considerando que el evento B puede describirse como la unin de la parte de B que est en A y la parte de B que est en A. Esto es: ) ' ( ) ( A B A B B = De manera que para cualquier par de eventos A y B: ) ' ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( A P A B P A P A B P B P A B P A B P B P + = + = Ejemplo 3.16 Unacompaadedicadaaltransportepblicotienetreslneasen unaciudad, de formaqueel60%delosautobusescubreelserviciodelaprimeralnea,el30% cubrelasegundayel10%cubreelserviciodelaterceralnea.Sesabequela probabilidaddeque,diariamente,unautobsseavereesdel2%,4%y1%, respectivamente, para cada lnea. Determine la probabilidad de que, en un da, un autobs sufra una avera. Recuerdequeelprimerpasoenelclculodeprobabilidadeseslaadecuada definicin de los eventos que intervienen. As, se definen los siguientes eventos: L1: evento para el cual el autobs cubre el servicio de la primera lnea. L2: evento para el cual el autobs cubre el servicio de la segunda lnea. L3: evento para el cual el autobs cubre el servicio de la tercera lnea. A: evento donde el autobs se avera. Con esto, se ve claramente que la probabilidad pedida es P(A). Usando la regla de probabilidad total, se tiene: 025 , 0 ) () 1 , 0 01 , 0 ( ) 3 , 0 04 , 0 ( ) 6 , 0 02 , 0 ( ) () 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) () 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) (= + + = + + = + + =A PA PL P L A P L P L A P L P L A P A PL A P L A P L A P A P 47 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Demaneraquelaprobabilidaddequeenundaunautobsdelacompaase avere es del 2,5%. Teorema de Bayes Enelao1763,dosaosdespusdelamuertede ThomasBayes(1702-1761),sepublicunamemoria enlaqueaparece,porvezprimera,ladeterminacin de la probabilidad de las causas a partir de los efectos quehanpodidoserobservados.Elclculodedichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.SeaA1,A2,...,Anunsistemacompletodesucesos, talesquelaprobabilidaddecadaunodeelloses distintadecero,yseaBunsucesocualquierdelque seconocenlasprobabilidadescondicionalesP(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresin: donde el denominador corresponde a encontrar la Probabilidad Total de B. Enlosproblemasrelacionadosconlaprobabilidad,yenparticularconlaprobabilidad condicionada,ascomoconlaprobabilidadtotalyelteoremadeBayes,esaconsejable que, con la informacin del problema, construyas una tabla de contingencia o un diagrama de rbol. EJEMPLO 3.17 Tres mquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fbrica. Los porcentajes de produccin defectuosa de estas mquinas son del 3%, 4% y 5%. a.Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.b.Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la mquina B.c.Qu mquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? 48 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Solucin: Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La informacin del problema puede expresarse en el diagrama de rbol adjunto.a.Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,P(D) = P(A) P(D/A) + P(B) P(D/B) + P(C) P(D/C) = = 0.45 0.03 + 0.30 0.04 + 0.25 0.05 = 0.038b.Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes, c.Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparndolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos: La mquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A EJEMPLO 3.18 Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, cul es la probabilidad de haber sido extrada de la urna A 49 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD Solucin: Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de rbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas. La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos: 50 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD EJERCICIOS CAPITULO 3 1- Sea P(A) = 0.6 P(A B) = 0.25P(B)= 0.7 a.-Encontrar P (B/A)b.- Son A y B independientes, compruebe?c.- Encontrar P( A ) 2.- Se extrae una carta al azar de una baraja de 40 cartas. a.- Cul es la probabilidad de que sea dos o sea un siete? B.- Cual es la probabilidad de que sea oro o un6? 3.-Consideremosellanzamientodeundado,ustedganasielresultadoesimparo divisible por dos. cul es la probabilidad de ganar? 4.-Enelcursodeestadsticalaprobabilidaddequelosestudiantestengancomputador es de 0.60, la probabilidad de que tengan auto es de 0.25 y ambas cosas es de 0.15. Cual es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar tenga computador o auto? 5.- De entre 20 tanques de combustible fabricados para el transbordador espacial, tres se encuentrandefectuosos.Siseseleccionanaleatoriamente4tanques:a.-cualesla probabilidad de que ninguno de los tanques sea defectuoso b.- Cual es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos. 6.-Enlatablaaparecen1000estudiantesuniversitariosclasificadosdeacuerdoconlos puntajes que obtuvieronen un examen de admisin a la universidad. Tambin muestra la clasificacin de los colegios en donde se graduaron de bachilleres: Puntaje ColegioTotalInferior (I)Regular ( R )Superior (S) Bajo (B)1005050200 Medio (M)75175150400 Alto (A)2575300400 Total 2003005001000 CalcularlaProbabilidaddequeunestudianteescogidoalazar:a)hayaobtenidoun puntaje bajo en el examen. b) Se haya graduado en un colegio de nivel superior c)haya obtenido un puntaje bajo en el examen y se haya graduado en un colegio de nivel superior d) haya obtenido un puntaje bajo en el examen dado que se haya graduado en un colegio denivelinferiore)sielestudianteescogidoterminoenuncolegiodegradoregular encontrar la probabilidad de que tenga un puntaje alto en el examen. 7.-FabinyPilarestudianenun mismocurso. Laprobabilidadde que Fabinnopierda ninguna materia es del 85% y la de Pilar es del 90%. a) Cual es la probabilidad de que los dosnopierdanningunamateria.b)CualeslaprobabilidaddequeFabinpierdauna materia y Pilar ninguna.C) Cual es la probabilidad de que los dos pierdan una materia. 8.- Cuatro amigos se dirigen a un lugar y toman 4 rutas diferentes de acuerdo al riesgo de tenerunaccidente.Lasprobabilidadesderiesgodecadarutason0.2,0.15,0.25,0.10 respectivamente. Cual es la probabilidad de que ninguno sufra un accidente. 51 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD 9.- El consejero escolar de un colegio estim las probabilidades de xito en la universidad paratresalumnosdeltimoaoen0.9,0.8y0.7respectivamente.Culesla probabilidad de que los tres tengan xito en la universidad? 10.- Una maquina que produce un determinado artculo fue adquirida bajo la condicin de queel3%delosartculosproducidossondefectuosos.Sielprocesoserealizabajo control,esdecirindependientecualeslaprobabilidaddequea.-dosartculosseguidos seandefectuosos,b.-dosartculosseguidosnoseandefectuosos,c.-elprimerosea defectuoso y el segundo bueno. 11.-Laprobabilidaddequeundoctordiagnostiqueenformacorrectaunadeterminada enfermedad es de 0.7. Dado que el doctor hace un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que un paciente presenta una demanda es de 0.9.cul es la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente presente una demanda? 12.- En una empresa,la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga ms de 30 aos es de 0.55. Cul es la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga 30 aos o menos? 13.- En una ciudad grande el 70% de los hogares compra un peridico matutino y el 90% unovespertino.Sisesuponequelosdoseventossonindependientescualesla probabilidaddequeunhogarescogidoalazarseaunodelosquecompraambos peridicos? 14.-La tablamuestraelresultadode500entrevistashechasduranteunaencuesta.Los datos se clasificaron segn el sector de la ciudad donde se aplico el cuestionario. Sector Resultado de la entrevista TotalContesto ( C )No contesto(N)No estaba ( S) M100520125 N11555125 O501560125 P354050125 Total30065135500 Si se selecciona un cuestionario.Cual es la probabilidad de a) No se haya contestado b) La persona no estaba en casac) el cuestionario se haya contestado y la persona viva en elsectorNd)DadoquelapersonavivaenelsectorO,nohayacontestadoel cuestionarioe)LapersonavivaenelsectorMContesteelcuestionario.F)Sila persona no estaba cual es la probabilidad de que viva en el sector O. 15.- En el ejercicio anterior, el resultado de la entrevista es independiente del sector de la ciudad donde vive la persona? Comprobar la respuesta 16.-El70%delosestudiantesapruebaunaasignaturaAyel60%apruebaotra asignatura B. Sabemos adems, que el 35% del total de los estudiantes aprueba ambas. Elegido un estudiante al azar, calcular las probabilidades de: a.- haya aprobado la asignatura B sabiendo que ha aprobado la A 52 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD b.- haya aprobado la asignatura B sabiendo que no ha aprobado la A c.- no haya aprobado la asignatura B sabiendo que ha aprobado la A d.- no haya aprobado la asignatura B sabiendo que no ha aprobado la A 17.-Lospedidosnuevosdelosproductosdeunacompaavaranenvalormonetario, segn el siguiente cuadro Monto venta0-10001001-2000 2001-3000 3001-4000 4001-5000 Probabilidad0.100.350.250.200.10 a)cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor a $2.000 b)cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea igual o menor a $2000 dado que el pedido excede a $1.000 c)cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor a $3.000 dado que la venta excede a $2.000 18.- Una compaa encontr que el 82% de las personas seleccionadas para su programa deentrenamientodevendedoresterminoelcurso.Deestossolamente60%se convirtieronenvendedoresproductivos.Siunaspirantenuevollegaalcursocualesla probabilidad de que termine el curso y se convierta en un vendedor productivo. 19- En un centro mdico, los fumadores que se sospecha tenan cncer pulmonar, el 90% lotena,mientrasqueel5%delosnofumadoreslopadeca.Silaproporcinde fumadoresesdel45%a)Culeslaprobabilidaddequeunpacienteconcncer seleccionadoalazarseafumador?B)Cualeslaprobabilidaddequelapersonatenga cncer.. 20.-Uninvestigadordeunaclnicadeespecialistashadescubiertoqueduranteun periododevariosaos,el20%delospacientesquellegaronalaclnicatenanla enfermedadD1,el30%laenfermedadD2,yel50%laenfermedadD3.Elinvestigador descubritambinqueunconjuntodesntomasbiendefinidosalquedenominoS,se encontraba en un 25% de los pacientes con la enfermedad D1, 60% de los que tenan la enfermedad D2, y 80% de los que tenan la enfermedad D3. El investigador quiere utilizar estainformacinparahacerrpidamenteeldiagnosticoalospacientesrecinllegados. Supongamos que ha sido admitido un paciente con el conjunto de sntomas S, cual es la probabilidaddequetengalaenfermedadD3,cualeslaprobabilidaddequetengala enfermedad D1. 21.- Un cientfico ha descubierto en un hospital para enfermedades crnicas que el 15% de los pacientes permanecen en el hospital menos de 30 das, mientras que el 85% de los pacientes permanece 30 das o ms. Tambin ha descubierto que el 20% de los que se quedan menos de 30 das y el 60% de los que se quedan 30 das o ms, presentan cierto grupo de caractersticas. Cual es la probabilidad de que un paciente que llega al hospital con esas caractersticas permanezca menos de 30 das?. 22.- A un sospechoso se le aplica un suero de la verdad que se sabe que es confiable en 90%cuandolapersonaesculpableyen99%cuandolapersonaesinocente.Enotras 53 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD palabras el 10% de los culpables se consideran inocentes cuando se usa el suero y el 1% delosinocentesse juzganculpables.Sielsospechososeescogideungrupodelcual solo 5% han cometido alguna vez un crimen y el suero indica que la persona es culpable, cual es la probabilidad de que sea inocente? 23.- Con los jugadores de un club de ftbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento; entre los dos equipos se renen 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros. El entrenador sabe que en estos partidos, la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.22 si es delantero, 0.11 si es medio, 0.055 si es defensa y 0 si es portero. a.-Calcularlaprobabilidaddequeselesioneunocualquieradelosjugadoreseneste partido. b.-Sisesabequeunjugadorsehalesionado,determinarlaprobabilidaddequehaya sido un defensa. 23.- Trasunestudioestadsticoenunaciudadseobservaqueel70%delosmotoristas son varones y, de estos, el 60% llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40%. Se pide: a.- Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco. b.- Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. Cul es la probabilidad de que sea varn? 24.-LosalumnosdePrimerodeBiologatienenquerealizardospruebas,unatericay otra prctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte terica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte prctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5. a.- Son independientes los sucesos aprobar la parte terica y la parte prctica? b.- Cul es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exmenes? c.-Culeslaprobabilidaddequeunalumnoapruebesolamenteunodelosdos exmenes? d.-Sesabequeunalumnoaproblateora.Culeslaprobabilidaddequeapruebe tambin la prctica? 25.- En una caja hay x bolas blancas y 1 bola roja. Al extraer de la caja dos bolas al azar sinreemplazamiento,laprobabilidaddequeseanblancases1/2.Calculaelnmerode bolas blancas que debe tener la caja. 26.-El20%delosempleadosdeunaempresasoningenierosyotro20%son economistas.El75%delosingenierosocupanunpuestodirectivoyel50%delos economistas tambin, mientras quedelosnoingenierosynoeconomistassolamenteel 20%ocupanunpuesto directivo.Culeslaprobabilidaddequeunempleadodirectivo elegido al azar sea ingeniero? 54 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD AUTOEVALUACION UNIDAD 1 1.-UnaVendedoratiene10productosylosdeseaexhibirenunaferianacional. Sinembargo,nopuedeexhibirsinocuatro.Entrecuantasmuestrasdiferentes puede escoger si el orden en que va a exhibir los productos no tiene importancia? 2.-Enundepsitohayalmacenados503equiposdetelevisin.Enlatablase hallan clasificados segn la marca y el modelo. Modelo Marca Total B1B2B3 S1702250142 S2651640121 S3453530110 S4501760127 Total23090180500 Con los datos, encontrar: a) P (B1)b) P (B2 S4) c) P ( S1 B1) d)Laprobabilidaddequeunequiposeleccionadoaleatoriamenteseademarca B1, dado que su modelo es S4 e) La probabilidad de que un equipo seleccionado sea de marca B1 o B3 3.-Cincoamigosquedandereunirseelsbadoenlatardeenelrestauranteel sombrero sucede que hay cinco restaurantes en la ciudad con el mismo nombre y noacordaronacualdeellosibanair.Cualeslaprobabilidaddequeloscinco vayan a restaurantes diferentes? 4.-Enlosarchivosdeunacompaadesegurossehanregistradoqueenlos ltimos aos de un total de 949171 jvenes de 21 aos, solo 577882 llegaron a la edad de 65 aos. Si tomamos estos datos como representativos de la realidada) cul es la probabilidad de que un joven de 21 aos viva para pensionarse a los 65 aos?b) Si en una ciudad pequea hay en la actualidad 2000 jvenes cuantos de ellos se puede esperar que se pensionen. 5.-Unseorreemplazolasdospilasinserviblesdesulinternapordosnuevas, peroseleolvidotirarlaspilasusadasalabasura.Suhijopequeoqueestaba jugando con la linterna, saco las pilas y revolvi las pilas nuevas con las usadas. Si el seor coloca nuevamente pilas a su linterna cul es la probabilidad de que funcione? Por supuesto, se supone que la linterna no puede funcionar con una pila nueva y una inservible. 6.-Unseortenacincomaquinasdeafeitardesechableslascualesyaestaban muy usadas, las puso en un cajn con la intencin de botarlas a la basura. Su hijo pequeo no lo saba y las revolvi con tres nuevas que saco de un paquete. Si el 55 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD seorpruebadosmaquinasdeafeitarunatrasotraCuleslaprobabilidadde que las dos estn usadas? 7.-LaprobabilidaddequeJuanlleguetardeasucitaconRosyesde0.3.La probabilidaddequeamboslleguentardeesde0.2.Culeslaprobabilidadde que Juan la este esperando? 8.-Enunexamendematemticassolo75%deunaclaseresponditodaslas preguntas.Deaquellosquelohicieron,80%aprob,perodelosqueno respondierontodo,sloaprobaron50%.Siunestudiantepaso,Culesla probabilidad de que haya respondido todas las preguntas? 9.-Sehaobservadoquehombresymujeresreaccionandiferenteaun medicamento; 70% de las mujeres reaccionan bien, mientras que el porcentaje en loshombresessolamentede40%.Serealizounapruebaaungrupode20 personas,15mujeresy5hombresparaanalizarsusreacciones.Unarespuesta elegidaalazardelas20resultonegativa.Culeslaprobabilidaddequehaya contestado un hombre? 10.-ErnestoyLusestnenamoradosdeSilvia.SiErnestolepidequeseasu novia, tiene 70% de probabilidad de que le diga que s y Luis 30%. Si Ernesto es el noviodeSilviahayunaprobabilidaddel40%dequesecasenysiesLuisdel 30%. Si Silvia se cas Cul es la probabilidad de que haya sido con Luis?

RESPUESTAS AUTOEVALUACIN UNIDAD 1 1.- 210 2.- a) 0.46b) 0.025c) 0.605 d) 0.4082e) 0.825 3.- 0.0384 4.- a) 0.609b) 12165.- 1/6 6.- 0.357 7.- 0.2857 8.- 24/29 9.- 0.40 10.- 0.756 56 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD UnidadDos VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 57 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD INTRODUCCIN A LA UNIDAD DOS Con los principiosde Probabilidad, las propiedades bsicas y leyes, se definen las variables aleatorias y se establece la diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas, en trminos de su funcin de probabilidad, valor esperado, varianza y desviacin estndar y se desarrolla la desigualdad de Chbyshev que se aplica a cualquier variable aleatoria discreta o continua. Posteriormenteseiniciaelestudiodelasdistribucionesdeprobabilidad,es pertinentecomentarqueentodofenmeno,losdatosobtenidostienenun comportamientoespecfico,esascomoelanlisisdelasdistribucionesde probabilidadpermitedeterminarquedistribucinde probabilidad eslapertinente para un conjunto de datos. Lasdistribucionesdeprobabilidadsondetipodiscretoycontinuo,segnla variable aleatoria que este en cuestin, luegoen este aparte se estudiaran dichas distribuciones,susprincipios,lafuncinquelaidentifica,suspropiedadesylos campos de aplicacin de las mismas. Bienvenidosaelmundodelasdistribucionesdeprobabilidad,seruncamino muyinteresanteyameno,porlosejemplospropuestosylassituaciones analizadas.

58 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD OBJETIVO GENERAL Comprendereinteriorizarlostiposdedistribucionesdeprobabilidadqueexisten, sus caractersticas, sus parmetros y los campos de aplicacin que tienen dichas distribuciones. OBJETIVOS ESPECFICOS Definir variable aleatoria. Definir variable aleatoria discreta y continua. Definir funcin de probabilidad de una variable aleatoria discreta. Definir funcin de densidad de una variable aleatoria continua. Obtenerprobabilidadesde