Programa de Matemática

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GUÍA N°3 DE CÁLCULO I

Derivada de funciones

I Concepto de la derivada como límite intuitivo

1. Un grupo de estudiantes participa de una cicletada que inicia en el centro de

Santiago hacia el sur del país. La función 502,0)( 2 xxf entrega la posición de

un ciclista (en kilómetros) después de minutos de su partida.

a) ¿Cuál es su posición a los 30 minutos de su partida?

b) ¿cuál es la velocidad promedio entre los 30 y 60 minutos?

c) Determine mediante aproximaciones la Velocidad Instantánea a los 30

minutos de su partida. Utilizar la siguiente tabla de valores, redacte respuesta.

Intervalos de

Tiempo

Expresión Velocidad

Promedio

Velocidad Promedio

3128 x 2831

)28()31( ff

5,3029 x 295,30

)29()5,30( ff

1,309,29 x 9,291,30

)9,29()1,30( ff

01,3099,29 x 99,2901,30

)99,29()01,30( ff

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2. Se espera que dentro de t años, la población de cierta comunidad viene dada por

la función 12005,0)( 75,0 tetp (miles de habitantes)

a) Dentro de 10 años ¿Cuántos habitantes tendrá la comunidad?

b) ¿cuál es la Tasa de Crecimiento promedio entre el 6to y décimo año?

c) Determine mediante aproximaciones la Tasa de Crecimiento Instantánea de la

comunidad dentro de 10 años, para ello utilizar la siguiente tabla de valores.

Redacte respuesta.

Intervalos de

Tiempo

Expresión Tasa de

Crecimiento Promedio

Tasa de Crecimiento

Promedio

5,105,9 t 5,95,10

)5,9()5,10( pp

1,109,9 t 9,91,10

)9,9()1,10( pp

01,1099,9 t 99,901,10

)99,9()01,10( pp

001,10999,9 t 999,9001,10

)999,9()001,10( pp

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II Derivadas de Funciones Elementales.

Definición de Derivadas:

La derivada de la función )(xf con respecto a x es la función )( xf dada por:

hxfhxfxf

h

)()(lim)(0

Notación:

Sea )(xfy , entonces la derivada de la función se puede denotar por:

dxdyyxf )(

Tipo de

Función

Expresión Algebraicas Derivada

Constante cdondecxf )( 0)( xf

Potencia

ndondexxf n)( 1)( nxnxf

1)( ndondexxf 1)( xf

Exponencial 0)( adondeaxf x

)ln()( aaxf x

xexf )( xexf )(

Logarítmica

)(log)( xxf a )ln(1)(ax

xf

)ln()( xxf xxf 1)(

Recordar: 11 xx

nyn y xx /

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3. Complete el siguiente cuadro

Función Tipo de Función Derivada

a) 3)( xxf

dxdf

b) 5)( xf dxdf

c) xxf 5)( )(xf

d) )(log)( 5 xxg )(xg

e) xey y

f) )log()( xxf f

g)

x

xg

35)(

dxdg

h) 5)( xxg )(xg

i) x

xh 1)( )(xh

j) x

xh 1)( )(xh

k) 4)( xf dxdf

l) 21)( xf

dxdf

m) 3)( ttf )(tf

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n) 43

)( ttf )(tf

o) xxf 2)(

dxdf

p) )(log)( xxh e )(xh

q) 5 2)( xxf dxdf

r) 21

)( xxf )(xf

s) 25)( xf )(xf

4. A continuación identifique el tipo de función y luego calcule su derivada.

a) 12)( xxf b) 11)( xxf c) 3 5)( xxf

d) xxf )( e) xxm )( f) xxh 9)(

g) )(log)( 3 xxg h) 54)( xg i) )ln()( xxg

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III Álgebra de derivadas.

Operación de Funciones Elementales Derivada

Multiplicación por

una constante )(xfcxh fcxh

suma o resta )()( xgxfxh gfxh

multiplicación de

dos funciones )()( xgxfxh gfgfxh

división de dos

funciones 0)(

)()(

xgxgxfxh

2ggfgfxh

5. Complete el siguiente cuadro:

Funciones Operación Derivada

a) ( ) = 5

( ) =

ℎ( ) = ∙

ℎ( ) = ℎ´( ) =

b) ( ) =

( ) =

ℎ( ) = +

ℎ( ) = ℎ´( ) =

c) ( ) =

( ) =

ℎ( ) = −

ℎ( ) = ℎ´( ) =

d) ( ) =

( ) =

ℎ( ) = ∙

ℎ( ) = ℎ´( ) =

e) ( ) =

( ) = 2

ℎ( ) = ∙

ℎ( ) = ℎ´( ) =

f) ( ) =

( ) =

ℎ( ) =

ℎ( ) = ℎ´( ) =

g) ( ) = + 1

( ) =

ℎ( ) =

ℎ( ) = ℎ´( ) =

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6. Derive las siguientes funciones:

a) )log(7)( xxh b) xxg 2)( c) 728140)( 2 xxxf

d) )ln()( 2 xxxf e) xexxg )5()( 2 f) 19ln5)( pepQ p

g) xxxf )ln()( h)

)ln()(

xexfx

i) t

ttth 109,09)( 2

7. Determina la derivada de las siguientes funciones

a) 500.3160532)( 23 xxxxg b) xexxxf 3)(

2

c) )log()( xexf x d) 2

)(log)(xxxf s

e) 223 2012

43

32)(

tttttd f) 32)log()( xxxf

IV Regla de la Cadena para Derivar una Función Compuesta

Si xf es una función compuesta, es decir )()( xghxf entonces su derivada

será )()()()( xgxghxghxf

Generalmente se trabaja con las siguientes funciones compuestas:

)(xge su derivada será ge xg )(

ng su derivada será ggn n )1(

)(log ga su derivada será ́)(log gga

gag )ln(

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8. Complete el siguiente cuadro

Funciones Determinar ( ) Derivada

a) ( ) =

( ) = 4 ( ) = ´( ) =

b) ( ) =

( ) = 8 − 3 − 15 ( ) = ´( ) =

c) ( ) = log ( )

( ) = 2 + 5 ( ) = ´( ) =

d) ( ) = 125

( ) = 0,8 ( ) = ´( ) =

9. Aplique la regla de la cadena y propiedades de las derivadas para calcular la

derivada de las siguientes funciones.

a) 524 )23()( xxxf b) )23ln( 2 xxy c) )3log()( 2 xxxf

d) )2ln(3)62(8)( 7 xxxf e) 22 )3( xxy f)

52 2 xey

10. Calcule dxdy

en las siguientes funciones.

a) 2xey b) xey 3 c) )ln( 3xy

d) )1log( 2 xy e) 3275 xxy f) xy 57

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SIGUE PRACTICANDO:

11. Determina la derivada de las siguientes funciones

a) 5007010 2 xxxI b) 563810)( 2 tttd c) 1

2

xxxf

d) wwwf 622)( e) 2

2 57)(xxxf

f) xxxf 3)ln()(

g) tetV 8,0125)( h) 000.28)( 75,0 tetp i) 4,0

4,0

412440xxR

j) 2

601000.100)(

ttV k)

401000.500 xV l) te

tp 5,01011)(

m) 55 16)(

xxxg x n) xxxf 232)( 3 o) x

xxf5

)log()(

p) 21)( xxf q) tetN 895.019991

000.2)(

r) ktetP 500.1)(