guia de calculo

Elaborado por: Ing. Pamela Patricia Guerra Montaez

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Clculo Diferencial e Integral

INTRODUCCION

Clculo: Rama de las matemticas que estudia las cantidades que cambian continuamente.

Clculo diferencial: Trata de buscar soluciones ante problemas relacionados

con el movimiento no uniforme y a trazar la tangente a una curva en un punto

dado.

Clculo integral: Se utiliza para resolver problemas relacionados con las

longitudes, reas y volmenes limitados por superficies curvas, as como

identificar funciones sobre el comportamiento de objetos, de cuestiones

econmicas o de eventos que ocurren en la naturaleza.

RESUMEN ETAPA 1: LMITES

Lnea Tangente: Lnea que toca a una curva en un solo punto.

Lnea Secante: Lnea que corta a una curva en al menos dos puntos

Lmite: Valor o posicin a la que se puede acercar cunto se quiera, aunque no

es posible alcanzarlo.

Lmite: El lmite de una funcin () es el nmero L en a al cual se aproxima la funcin. () = Mtodos para determinar lmites:

Mtodo Se usa cuando Pasos para resolver Ejemplo: Sustitucin Se puede sustituir y

obtenemos un resultado real.

1. Sustituir el valor de en la funcin

2. Resolver las operaciones

lim( 4 + 1) 1. (2) 4(2) + 1

2. 4 8 + 1 = 3

= Simplificacin Se sustituye y el

resultado nos queda:

La funcin puede ser

expresada en una forma ms

sencilla

1. Factorizar todo lo que se pueda (arriba y abajo)

2. Cancelar los factores que son iguales arriba y abajo

3. Sustituir el valor de en lo que me qued de la ecuacin

4. Resolver las operaciones.

lim 16 + 4 (4) 16(4) + 4 = 00


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No existe el resultado de es

indeterminado por lo tanto se procede a seguir los pasos del mtodo de simplificacin.

1. ( )()( )

2. ( )()( )

3. (4) 4

4. 8 = !

Aproximacin Se sustituye y el resultado

nos queda:

(siendo

cualquier nmero).

Se presenta un problema dnde la funcin tiene 2 ecuaciones diferentes

Se sustituye y el resultado

nos queda: pero NO se

puede simplificar.

1. Hacer dos tablas para tabular valores de y " o ()

2. En la primera tabla seleccionar 3 valores que se acerquen a el valor de por la izquierda ().

3. En la segunda tabla seleccionar 3 valores que se acerquen a el valor de por la derecha ( ).

4. Sustituir cada uno de esos valores en la ecuacin, para encontrar yo () y llenar las tablas.

5. Observar cual es la tendencia de los resultados de las () en cada una de las tablas.

6. Si los resultados de las tendencias son iguales, el lmite es dicho valor

7. Si los resultados de las tendencias son diferentes, NO EXISTE EL LMITE.

Para asignar los valores de las tablas se recomienda:

Para restar 0.1 a el valor de Para sumar 0.1 a el valor de Agregar 0s o 9s entre el entero

y el ltimo decimal segn sea el caso, para los siguientes valores de

lim& 3 1 3 (1)(1) 1 = 20 No es posible dividir 2/0 (es infinito) se dice que est indefinido. Por lo tanto se procede a seguir los pasos del mtodo de Aproximacin. 1. 2. 3. (antes de 1) (despus de 1)

Por la izq Por la der. () () 0.9 -11.05 1.1 9.04

0.99 -101.005 1.01 99.004

0.999 -1001.00 1.001 999.00 ' ( ' (

4. *(.,)(.,)-& = 11.05

*(.,,)(.,,)-& = 101.005 etc.

5. Nos damos cuenta que la primera tabla () tiende a ser mientras que la segunda tabla () tiende a ser . 6. Los resultados no son iguales 7. = /0 234562


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Grfico Slo cuando ya me proporcionen la grfica.

1. Observar las grficas 2. Si no presentan

discontinuidades (saltos), el resultado del lmite es el valor de y que tope con la solicitada.

En el Infinito (asntota horizontal)

Cuando me lo piden lim7 () =

Lmite de una funcin

cuando x se aproxima al

infinito

1. Se observa la funcin y se identifica cual es la con el exponente ms grande.

2. Se pregunta: Cuntas con ese exponente (el ms grande) hay arriba? (Se selecciona el coeficiente de dicha )

3. Se pregunta: Cuntas con ese exponente (el ms grande) hay abajo? (Se selecciona el coeficiente de dicha )

4. Se dividen esos nmeros. 5. Ese es el resultado

El lmite en el infinito es tambin la asntota horizontal.

lim7 3 1 1. Se puede observar que la que tiene el exponente ms grande de toda la funcin es la . 2. Cuntas hay arriba? -3 3. Cuntas hay abajo? 1 4. 31 = 3 5. =

El lmite de una constante 8 siempre ser la misma constante. lim 8 = 8 Ejemplo:

4 = 4 Lmites Laterales: Es el valor al cual se aproxima una funcin cuando la variable se aproxima

hacia un valor ya sea por su lado derecho o por su lado izquierdo. Lmite Lateral por la izquierda: Es el valor al cual se aproxima la funcin cuando se aproxima

hacia por la izquierda. lim9 () =

Lmite Lateral por la derecha: Es el valor al cual se aproxima la funcin cuando se aproxima hacia por la derecha. lim: () =


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Mtodo para resolver problemas de lmites laterales

Los problemas de lmites laterales se resuelven de la misma forma que indica la tabla anterior, hay que

observar que clase de problema es para saber que mtodo usar. En caso de que el mtodo a utilizar sea

el de aproximacin (Casi siempre se utiliza ste para lmites laterales); no siempre ser necesario hacer el

mtodo completo.

1. Observar si la se acerca a por la izquierda o por la derecha (Esto nos lo dice el signo que se encuentra en la parte superior derecha del nmero. Si es negativo es que se acerca por la

izquierda, si es positivo por la derecha)

2. Dependiendo de la observacin anterior es la nica tabulacin que haremos. (Seguir los pasos

de la tabla anterior).

3. En caso de que el valor de no tenga signo en la esquina superior derecha, el mtodo de aproximacin deber de hacerse completo (tabulando por la izquierda y por la derecha).

Recuerda que ambos lmites deben de ser iguales, en caso contrario el lmite NO EXISTE

Ejemplo 1:

;9 1 6 Paso 1: Observamos que la se acerca a por la izquierda, ya que el signo que acompaa a el 6 en la parte de arriba a la derecha es negativo (6). Paso 2: Tabulacin de

() 5.9 -10

5.99 -100

5.999 -1000

Como podemos ver, el valor de () decrece (se hace ms chiquito) cada vez ms, por lo tanto podemos decir que el resultado del lmite es =

Ejemplo 2:

() =


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Como lo indica el signo del 1, la tabla que haremos es por la izquierda. Para saber cul de las dos

ecuaciones utilizaremos tenemos que fijarnos en los signos > y < para poder elegir.

Recordar que la boca chiquita nos dice cul de los dos elementos es el menor. Ejemplo: < 1 Se lee: es menor que 1 Y la boca grande nos dice quin es el mayor. Ejemplo:

1 Se lee: es mayor o igual a 1 Por lo tanto si mi tabla tiene valores de o sea menores que 1, la ecuacin que utilizaremos ser la de las menores que uno (la de abajo) 3 ()

0.9 -2.19

0.99 -2.0199

0.999 -2.001999

Nos damos cuenta de que el resultado tiende a estabilizarse en -2.00 por lo tanto ese sera el resultado. = @ lim&:()

Siguiendo los mismos pasos + 3 ()

1.1 4.21

1.01 4.0201

1.001 4.002001

Nos damos cuenta de que el resultado tiende a 4 por lo tanto ese sera el resultado. = +A lim& ()

Como los resultados anteriores son diferentes el Lmite en 1 NO EXISTE

Funciones continuas: Una funcin es continua en = cuando para el valor la grfica de la funcin no tiene interrupcin, hueco o salto.

Condiciones para continuidad: Una funcin es continua en = si 1. La funcin est definida en = (que al sustituir directamente nos d por resultado

un valor real)


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2. El lmite de la funcin cuando tiende a si exista. (lmites laterales existen y son iguales)

3. Que las dos condiciones anteriores sean iguales. () = lim ()

Clases de discontinuidad:

Tipo de discontinuidad

Quines son en la ecuacin?

Quines son en la grfica?

Cmo se encuentran Ejemplo

Evitable o Removible

Es el valor de , que hace 0 el factor que al aplicar el mtodo de simplificacin se cancela.

Es la ausencia de un punto, o el hueco en la grfica que hace que se presente la interrupcin en la misma.

1. Factorizar todo lo que se pueda de la funcin (arriba y abajo) 2. Buscar el factor que se puede cancelar. 3. Igualar ese factor a 0 y encontrar el valor de . (despejar) 4. Sustituir el valor de en la ecuacin simplificada (lo que qued despus de cancelar), para encontrar () (o ")

() = 4 2

1. () = ( )()()

2. () = ( )()() 3. 2 = 0 = 2 4. Ecuacin simplificada: () = + 2 Sustitucin: (2) = 2 + 2 (2) = 4 Coordenada discontinuidad removible: (@, A)

No Evitable o No Removible

Es el valor de que hace 0 el factor que an que aplique el mtodo de simplificacin NO SE PUEDE CANCELAR

Asntota Vertical

O un salto en la grfica debido a un cambio de forma.

Asntota Vertical 1. Factorizar (si se puede) 2. Identificar el factor del denominador (abajo) que NO pudo ser CANCELADO. 3. Igualar ese factor a 0 y encontrar el valor de (despejar) Cambio de forma 1. Observar la funcin. 2. Identificar en qu valor de cambia la ecuacin.

Asntota Vertical () = 2 4

1. () = ( )()

2. () = ( )()

() = & NO CANCELADO ( + 2) 3. + 2 = 0 C = @ Cambio de forma

() = D + 3 = 1 3 = < 1


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1. 2. Al ver la funcin nos damos cuenta de que en C = ( la grfica cambia de ecuacin, por lo tanto ese es el valor de mi discontinuidad No removible

Continuidad en un intervalo: Una funcin es continua en un intervalo, cuando es continua en

todos los puntos de ese intervalo.

Continuidad en intervalos: Para saber si un intervalo es continuo o discontinuo podemos seguir

los siguientes pasos:

o Encontrar las discontinuidades (cuadro anterior)

o Sugerencia: acomoda las discontinuidades y el intervalo en una recta numrica.

Tipo de intervalo

Notacin Significa Ejemplo Continuo o Discontinuo

Ejemplo:

Abierto ( ) Que no llega exactamente hasta los nmeros que encierra

(2, 8) Ms de 2 y menos de 8 Un ejemplo prctico sera decir: Mis alumnos llegan a las 7 y se van a las 12 (pues la realidad siempre llegan como a las 7:08 y se van a las 11:55 nunca exactamente)

El intervalo SI ser continuo si: a. Las

discontinuidades no quedan entre el intervalo

b. Las discontinuidades si pueden ser los valores del intervalo

() = 4 2 Del ejemplo del cuadro anterior, discontinuidad en: = 2

El intervalo (4, 6) es continuo o discontinuo?

CONTINUO. Pues la discontinuidad no est en medio.


CONTINUO. Pues aunque la discontinuidad est en 2, el intervalo es abierto, y recuerda que NO empieza exactamente en dos, sino poco despus.



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DISCONTINUO. Pues la discontinuidad est en medio del intervalo.

Cerrado [ ] Que llega exactamente hasta los nmeros que encierra

[2, 8] Desde 2 hasta 8

El intervalo SI ser continuo si:

a. Las discontinuidades NO quedan entre el intervalo

b. Las discontinuidades NO pueden ser los valores del intervalo

Del mismo problema anterior, la nica diferencia sera en el segundo intervalo:

El intervalo E2, 6F es continuo o discontinuo?

DISCONTINUO. Ya que el intervalo si llega exactamente al 2, y en ese punto no existe la funcin pues es un punto de discontinuidad.

Ejemplo en grfica

Encontramos discontinuidades:

Discontinuidad en = 1

Encuentra si es continua o discontinua en los siguientes intervalos:

(4, 0) CONTINUA E0, 2) CONTINUA [1 , 6] DISCONTINUA (por el lado izquierdo la grfica tiene un hueco justo en el 1)

(1, 2) CONTINUA

(-2, 1] CONTINUA (a pesar de que es intervalo cerrado, por el lado derecho en 1 la grfica est

justo en el cero)


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EJERCICIOS PROPUESTOS PARA LA ETAPA 1

Con base a la grfica de la funcin encuentra los siguientes lmites:

1. lim& () 2. lim ()

3. lim* ()

Con base a la grfica de la funcin encuentra:

1. lim () 2. lim () 3. lim* ()

Con base a la grfica de la funcin encuentra los siguientes lmites

1.

2. lim7 () 3. lim& () 4. lim ()

Segn la grfica de la siguiente funcin, menciona si los siguientes intervalos son continuos o

discontinuos

a. (4, 0) b. (, 2] c. (2, 6) d. ( 2, 4]


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Identifica si las hay, las discontinuidades removibles y/o no removibles de las siguientes funciones () = 2 + 6

() = 9 3 () = 4 + 6 Utilizando el mtodo que consideres ms adecuado, encuentra los siguientes lmites: ( 4 + 1)

, 81 9

, 81 + 9

H 25 + 5

7 4 1

*: 3 9

*9 3 9


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RESUMEN ETAPA 2: LA DERIVADA

CONCEPTO DEFINICIN FRMULA FRMULA FRMULA

delta x

Incremento en la variable.

Es la diferencia (resta) de los valores, cuando una variable cambia de un valor a otro

= &

"

delta y

Incremento en la funcin.

El aumento o disminucin de la variable " (que tambin se llama () )

" = " "&

" = () (&)

" = ( + ) ()

" delta y entre delta

x

Razn de cambio promedio Tasa de cambio promedio Se puede decir que es la pendiente de una recta si se conoce 2 puntos de ella (como la recta secante a una curva)

" = " "& & " = () (&) &

" = ( + ) ()

Ejemplos:

Incremento en la variable C

Si () = 6 + 3 En donde & = 1.5 y = 1.8 Encuentra el incremento en la variable.

= 1.8 1.5 = 0.3

Incremento en la funcin J

Ejemplo1:

Si () = 6 + 3 En donde & = 1.5 y = 1.8 Encuentra el incremento en la funcin.

" = () (&) " = E(1.8)F E(1.5)F " = E6(1.8) + 3(1.8)F E6(1.5) + 3(1.5)F " = E24.84F E18F


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" = 6.84

Ejemplo 2:

Si () = , Determina el incremento en la funcin (variable y) si = 25 y = 5 " = ( + ) () " = (25 + 5) (25) " = (30) (25) " = K90030 L K90025 L " = E30F E36F " = 6

Razn o Tasa de cambio promedio

Ejemplo 1:

Si () = 6 + 3 En donde & = 1.5 y = 1.8 Encuentra la razn de cambio promedio

" = () (&) & " = E(1.8)F E(1.5)F1.8 1.5 " = E6(1.8) + 3(1.8)F E6(1.5) + 3(1.5)F0.3 " = E24.84F E18F0.3 " = 6.840.3 " = 22.8

Ejemplo 2:

Si () = , Determina la tasa de cambio promedio si = 25 y = 5 " = ( + ) () " = (25 + 5) (25)5


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" = (30) (25)5 " = M

90030 N M90025 N5 " = E30F E36F5 " = 1.2

Tambin es comn utilizar la razn de cambio promedio para encontrar la velocidad promedio

de un objeto. OPQRQSS = S=TURTPVQ OPQRSS = W(T)TPVQ OPQRSS XYZ[\]^Z = WT OPQRSS XYZ[\]^Z = W(T) W(T&)T T&

Derivada: Es el lmite de la razn de cambio promedio, cuando el incremento en x tiende a

cero ( 0) Derivada: Es la pendiente de una lnea tangente a una curva () en el punto P

" = Diferenciar: Es el nombre del proceso que se utiliza para encontrar la derivada.

Notaciones para indicar derivadas: " ()

]" ]() S"S S()S


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Funciones derivables y NO derivables en un punto C: Seguir los siguientes criterios

La siguiente funcin SI es derivable en x porque es CONTINUA y los lmites laterales son iguales

La siguiente funcin NO es derivable en x porque aunque si es continua los limites laterales son diferentes. (PRESENTA UN PICO)

La siguiente funcin NO es derivable en x porque en ese punto la TANGENTE ES VERTICAL.

La siguientes funcin NO son derivables en x porque en ese puntos son DISCONTINUAS


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Frmulas para encontrar la derivada (diferenciacin):

Funcin Frmula Pasos para derivar Ejemplos Derivada de una constante () =

`() = 0 La derivada de una constante es igual a cero

() = 4 `() = 0 Derivada de x () = `() = 1 La derivada de cuando

est sola siempre es igual a 1

() = `() = 1 Derivada de "b" (x a una potencia) () = b

`() = Ub& 1. Multiplicar el exponente por el coeficiente (nmero a la izquierda de la x) 2. El resultado es el nuevo coeficiente. 3. Al exponente se le resta 1. 4. El resultado es el nuevo exponente. NOTA: Cuidado con los exponentes negativos, pues al restarle uno, el nmero se hace ms grande. (ver ejemplo).

Ejemplo 1 () = `() = 2 Ejemplo 2 () = 3 `() = 12* Ejemplo 3 () = 5& `() = 5

Derivada de una multiplicacin. () = cd

`() = c`d + cd 1. Identificar quin es u y v en la funcin. 2. Derivar siguiendo la frmula

Ejemplo () = ( 3)( + 1) 1. c = 3 d = + 1 2.`() = (2 3)( + 1) + ( 3)(4*)

Derivada de una divisin. () = cd

`() = c`d cdd 1. Identificar quin es u y v en la funcin. 2. Derivar siguiendo la frmula

Ejemplo () = * 8 1. c = d = * 8 2. `() = (2)(* 8) ()(3)(* 8)

Derivada de un polinomio elevado a una potencia `() = cb

`() = Ucb&c 1. Identificar quin es u y v en la funcin. 2. Derivar siguiendo la frmula

Ejemplo 1 () = (2* 8) `() = 2(2* 8)(6 8) Ejemplo 2 () = 3(2 5) `() = 12(2 5)*(2)


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Ejemplo 3 () = 5( 3)& `() = 5( 3)(1)

Exponentes negativos: Si necesitas convertir un exponente negativo a positivo, o pasar todo lo

que est en el denominador para arriba para poder derivar, lo nico que necesitas hacer es

cambiar el signo del exponente.

Ejemplos:

&e = 1* *(*)- = 3( 3) f& = 8(2 1)& ( + 3) = &(- *)g

Derivadas de orden superior: Es el resultado de calcular la derivada de una derivada.

Ejemplo:

Dada la funcin: () = + 2* 6 + 3 + 4 2& encuentra:

o La Primer derivada (derivada de primer orden)

`() = 4* + 6 12 + 3 + 2

o La Segunda derivada (derivada de segundo orden) ``() = 12 + 12 12 4*

o La Tercera derivada (derivada de tercer orden) ```() = 24 + 12 + 12

Etc.


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EJERCICIOS PROPUESTOS PARA LA ETAPA 2:

1. Calcula el incremento en la variable; si & = 4 y = 6 () = 3 + 2 + 5

2. Calcula el incremento en la funcin;

si & = 20 y = 40 () = 800

si = 20 y = 2 () = + 2 15

3. Dada las siguientes funciones encuentra la razn de cambio promedio h

() = 16 de = 2 y = 0.5

() = + 2 15 de & = 2 y = 1

4. Encuentra la derivada de las siguientes funciones

() = -- *

() = (3 3)( + 2)

() = 2( 4)

5. Encuentra las siguientes derivadas para la funcin y expresa los resultados sin dejar exponentes negativos

() = 3* 4 + + 6 &

()= ()= ()=


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6. Una funcin de poblacin al tiempo "T" es X(T) = 12,000 + 1,000T 110T. Determina la tasa de crecimiento entre T& = 2 y T = 4 aos


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RESUMEN ETAPA 3: APLICACINES DE LA DERIVADA

La derivada da a conocer el cambio en el comportamiento que est ocurriendo en cada instante determinado (la pendiente de una lnea tangente a una curva en un punto, una poblacin instantnea, el costo, ingreso o utilidad marginal, la velocidad a partir de una posicin o la aceleracin a partir de una velocidad en un tiempo determinado, etc.

Valor de la derivada en un Ci dado: Slo se encuentra la derivada de la funcin y se sustituye el valor de x que nos proporcionen.

Ejemplo: " = 4 + 3* + 2 + ; k-hk-lm* Como el problema nos pide evaluar 3 en la segunda derivada, el primer paso es derivar la funcin. S"S = 16* + 9 + 4 + 1

S"S = 48 + 18 + 4 S"Snm* = 48(3) + 18(3) + 4

S"Snm* = 490

Pendiente de la tangente: La pendiente de una lnea tangente a una curva en un punto dado, puede calcularse sacando la PRIMER DERIVADA y sustituyendo en ella el valor de x en dnde queremos o nos piden la recta.

Ejemplo: () = 4 + 5 ; PURQUToo VPUSPUTP PU = 2 `() = 2 4 `(2) = 2(2) 4 `(2) = = 0


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Ecuacin de la lnea tangente:

1. Encontrar el punto (, ") sustituyendo x en la ecuacin original (()) 2. Encontrar la pendiente "" calculando la primera derivada de la funcin y evaluando en

ella el valor de "" dado. 3. Sustituir los valores del punto (, ") y "" en la ecuacin punto pendiente de la recta " "& = ( &) 4. Despejar y

Ejemplo: Encuentra la lnea tangente a la curva () = 4 + 5 en el punto = 3 1. Encontrar el punto (, ") (3) = (3) 4(3) + 5 (3) = 2 (3,2)

2. Encontrar la pendiente "" () = 4 + 5 `() = 2 4 `(3) = 2(3) 4 `(3) = 2 = 2

3. Sustituir en: " "& = ( &) " 2 = 2( 3)

4. Despejar """ " 2 = 2 6 " = 2 6 + 2 J = @C A

Ecuacin de la lnea NORMAL a la tangente en un punto dado: 1. Encontrar el punto (, ") sustituyendo x en la ecuacin original (()) 2. Encontrar la pendiente "" calculando la primera derivada de la funcin, evaluando en

ella el valor de "" dado, y haciendo p = &q (ver ejemplos). 3. Sustituir los valores del punto (, ") y "" en la ecuacin punto pendiente de la recta " "& = ( &) 4. Despejar y


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Ejemplo: Encuentra la lnea Normal a la curva () = 4 + 5 en el punto = 3 1. Encontrar el punto (, ") (3) = (3) 4(3) + 5 (3) = 2 (3,2)

2. Encontrar la pendiente "" () = 4 + 5 `() = 2 4 `(3) = 2(3) 4 `(3) = 2 = 2 r/ = (@

3. Sustituir en: " "& = ( &) " 2 = 12 ( 3)

4. Despejar """ Pasar el nmero de debajo de la fraccin multiplicando a todo lo del lado izquierdo 2(" 2) = 1( 3) Multiplicar el nmero de afuera de los parntesis por cada uno de los trminos de adentro. 2" 4 = + 3 Despejar el trmino que contiene a la """ 2" = + 3 + 4 Juntar trminos semejantes 2" = + 7 Pasar el nmero que acompaa a la y dividiendo a todo lo que est del lado derecho. " = + 72 Dividir cada trmino entre el denominador J = C@ + t@


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Puntos y caractersticas importantes de la funcin

Puntos crticos Es el punto de la funcin diferencial que se encuentra en el vrtice de una funcin y la recta que pasa por l, es una tangente horizontal.

1. Calcular la primera derivada. 2. Igualar la derivada a cero y despejar "" 3. Sustituir esa "" en la ecuacin original para encontrar """ 4. Formar las coordenadas (, ")

Ejemplo: () = * 3 4 1. `() = 3 3 2. 3 3 = 0 3 = 3 = 33 = 1 u = 1 = 1 3. (+1) = (1)* 3(1) 4 (+1) = 6 (1) = (1)* 3(1) 4 (1) = 2 4. (+1, 6) (1, 2)

Intervalos creciente y decreciente Intervalo creciente: Al incrementarse el valor de la variable independiente (x) se incrementa el valor de la funcin (y) Intervalo decreciente: Al incrementarse el valor de la variable independiente (x) se disminuye el valor de la funcin (y)

1. Dibujar una recta desde =T + 2. Agregar a la recta las "" de los puntos crticos 3. A partir de la grfica, formar los intervalos. 4. Elegir un valor que est entre cada uno de los intervalos. 5. Sustituir cada uno de esos valores en la primera derivada. 6. Si el resultado es positivo el intervalo es creciente 7. Si el resultado es negativo el intervalo es decreciente. Mximos y mnimos con la primer

derivada

1. Identificar el punto crtico en los intervalos 2. Si pasa de ser creciente a decreciente el punto crtico es mximo.

1. 2. 3. (, 1) (1, + 1) (+1, + ) 4.

-2 (, 1) 0 (1, + 1)

+2 (+1, + ) 5. `(2) = 3(2) 3 = +9 `(0) = 3(0) 3 = 3 `(+2) = 3(+2) 3 = +9 6.

-2 (, 1) Creciente 0 (1, + 1) Decreciente +2 (+1, + ) Creciente


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3. Si pasa de ser decreciente a creciente el punto crtico es mnimo.

Mximos y mnimos con la primer

derivada (, 1) Creciente (1, + 1) Decreciente

(+1, + ) Creciente

Vemos como el -1 pasa de ser creciente-decreciente por lo tanto ese punto es mximo, lo mismo pasa con el +1 que pasa de ser decreciente a creciente por lo tanto es mnimo Por lo tanto: (+1, 6) Mnimo. (1, 2) Mximo.

Punto de inflexin 1. Calcular la segunda derivada. 2. Igualar la derivada a cero y despejar "" 3. Sustituir esa "" en la ecuacin original para encontrar """ 4. Formar las coordenadas (, ")

Ejemplo: () = * 3 4 1. `() = 3 3 ``() = 6 2. 6 = 0 = 06 = 0 3. (0) = 3(0) 3 (0) = 3 4. (0, 3)

Intervalos concavidad (arriba o abajo)

1. Dibujar una recta desde =T + 2. Agregar a la recta las "" de los puntos de inflexin 3. A partir de la grfica, formar los intervalos. 4. Elegir un valor que est entre cada uno

1. 2. 3. (, 0) (0, )


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de los intervalos. 5. Sustituir cada uno de esos valores en la segunda derivada. 6. Si el resultado es positivo el intervalo es cncavo hacia arriba 7. Si el resultado es negativo el intervalo es cncavo hacia abajo

4.

-5 (, 0) +5 (0, )

5. ``(5) = 6(5) = 30 ``(+5) = 6(5) = +30

6. -5 (, 0) C. hacia abajo +5 (0, ) C. hacia arriba

Mximos y Mnimos (a partir de la segunda derivada)

1. Encontrar la segunda derivada. 2. Sustituir los valores "" de los puntos crticos. 3. Si el resultado es negativo ( o sea cncava hacia abajo) el punto crtico es mximo 4. Si el resultado es positivo (o sea cncava hacia arriba) el punto crtico es mnimo

Puntos crticos: (+1, 6) (1, 2) () = * 3 4 1. `() = 3 3 ``() = 6 2. ``(+1) = 6(+1) = +6 ``(1) = 6(1) = 6 3. (+1, 6) Mnimo (1, 2) Mximo

Graficar: Adems de los puntos anteriores, para hacer una grfica es necesario encontrar las

intersecciones con los ejes, para lo cual se hace lo siguiente:

o Interseccin (es) con el eje "" (" = 0) Igualar la funcin (original) a cero

Despejar "" (si es necesario aplicar frmula general o Interseccin con el eje """ ( = 0)

Sustituir en las "" de la funcin (original) el cero Hacer operaciones para encontrar () Q "


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Problemas de aplicacin

o De poblacin

Si piden poblacin en un tiempo determinado, sustituir en la ecuacin original

ese valor.

Si piden taza de crecimiento o razn de crecimiento y te dan 2 valores de

tiempo, sustituir en: XT = X X&T T&

Recuerda que las "X" se encuentran sustituyendo T en la funcin original

Si piden taza de crecimiento, pero te dan slo 1 valor de tiempo (pude decir

instantneo), derivar la funcin y sustituir el valor de t en ella.

o De valores marginales

Si piden costo o ingreso, sustituir en las ecuaciones que nos den.

Si piden Utilidad y nos dan las ecuaciones de costo e ingreso, se deben

sustituir ambas en la siguiente formula y simplificar para obtener la nueva

ecuacin:

y() = ^(z) {(z)

Si piden costo, ingreso o utilidad marginal, se deriva la funcin que pidan y

se sustituye el valor.

o Partculas en movimiento

Si piden posicin en un tiempo determinado, sustituir en la funcin W(T) o (T) (para movimiento vertical) Si piden Velocidad promedio sustituir en la siguiente frmula: WT = W W&T T& Si piden Aceleracin promedio sustituir en la siguiente frmula:

OT = O O&T T&

Si piden Velocidad en un tiempo dado, se encuentra la primera derivada de

la funcin y se sustituye el tiempo. (velocidad instantnea)


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O = W(T) O = (T) Si piden Aceleracin en un tiempo dado, se encuentra la segunda derivada

de la funcin y se sustituye el tiempo (aceleracin instantnea) | = W(T) | = (T)

*Para estos problemas considerar lo siguiente

- Si piden Momento de partida T = 0 -Si piden altura mxima O = 0 -Si piden al llegar al suelo W = 0 o = 0 -Si la partcula sube la velocidad es positiva y si baja la velocidad es negativa.

EJERCICIOS PROPUESTOS PARA LA ETAPA 3

1. A partir de la funcin que se te proporciona encuentra la ecuacin de la lnea tangente y de la lnea Normal en = 3.

() = 2 3 + 1

2. Dada la siguiente funcin, determina el o los puntos crticos, los intervalos crecientes y decrecientes de la misma, as como los puntos de inflexin, intervalos de concavidad y los puntos mximos y mnimos. () = 4* 5

4. La altura en metros que alcanza un objeto despus de ser haber sido lanzado hacia arriba est dada por la ecuacin (T) = 2T* 10T, dnde "" est medida en metros y "T" en segundos. Determina:

a. La velocidad y la aceleracin con respecto a T b. La velocidad instantnea en T = 10=P} c. La aceleracin en T = 3=P}


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5. El costo de produccin est dado por {() = 2.5 100 + 3000. Determina: a. La funcin del costo marginal b. El costo marginal al producir 20 unidades

3. El costo de produccin est dado por {() = 300 + 2 y la funcin de ingreso es ^() = 20 0.20 Determina:

a. La funcin de utilidad marginal b. La utilidad marginal en = 10


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RESUMEN ETAPA 4: LA INTEGRAL

Integral o Antiderivada: Funcin que se encuentra por el proceso de integracin.

Integracin: Proceso mediante el cual se determina una funcin cuando lo que se conoce es su derivada. ~ ()S = () + {

Frmula de la potencia ~ CC = C ( + ( + ( ()

Funcin Pasos para derivar Ejemplos ~ S

La integral de dx es siempre igual a x

~ S = + {

~ S

La derivada de cuando no tiene exponente siempre es igual a

~ S = + {

Cualquier otro exponente. ~ S

1. Sumarle 1 al exponente original 2. Dividir todo el trmino entre ese nuevo exponente. 3. Simplificar si es necesario NOTA: Cuidado con los exponentes negativos, pues al sumarle uno, el nmero se hace ms pequeo. Recuerda que no puedes tener exponente -1

Ejemplo 1 ~ S = C + Ejemplo 2 ~ 4*S = 4 4 + { = CA + Ejemplo 3 ~ 30S = 30H5 + { = C + Ejemplo 4 ~ 3S = 3 &1 + { = C( + = C +


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Cmo no hemos visto frmulas para integrar funciones: cd, o cb es necesario que si nos encontramos con un problema as, realicemos las operaciones necesarias para simplificar antes de realizar la integral.

Ejemplo "" ~E(C @)(@C + )F C Recuerda que se multiplica: el primero por el primero, luego el primero por el segundo y as sucesivamente. ~(2 + 3 4 6)S Se simplifican trminos semejantes ~(2 6)S Se integra 2*3 2 6 + {

Ejemplo

Integrar la siguiente funcin: (J) = @J + tJ@ JJ Antes de integrar hay que realizar la divisin, recuerda que se divide cada trmino de arriba entre el trmino de abajo (se restan los exponentes y el resultado se acomoda arriba o abajo segn donde est el exponente ms grande) }(") = 2"*3" + 7"3" 6"" }(") = 2"3 + 7"3 6 Ahora si se puede integrar


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~ 2"3 + 7"3 6 S" = 2"*(3)(3) + 7"3(2) 6" + { 2"*9 + 7"6 6" + { (Tambin puedes hacer las operaciones en decimales si as lo deseas y el problema no requiere lo contrario). Ejemplo Integrar la siguiente funcin: (C) = (@C )@ Primero se desarrolla el binomio al cuadrado. (Recuerda que existe atajos para resolver ese tipo de operaciones, pero si no lo recuerdas hay que multiplicar el binomio por el mismo tantas veces lo indique el exponente) () = (2) + 2(2)(3) + (3) () = 4 12 + 9 Ahora si se puede integrar la funcin ~(4 12 + 9)S = 4*3 122 + 9 + { Simplificamos = 4*3 6 + 9 + {


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La integral definida: Con la integral definida podemos calcular reas bajo la curva de una funcin, o entre 2 curvas. Para resolverlas, se sustituyen los lmites de integracin (a y b) en la funcin ya integrada y se resta el lmite superior menos el inferior, siendo siempre el lmite superior el nmero ms grande (a menos de que el problema exija lo contrario, o se trate de una aplicacin que hable de una situacin decreciente). En estos problemas no es necesario poner la constante de integracin C.

~ ()S = () ()

guia de calculo

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