CÁLCULO DIFERENCIAL

SEP 115GUIADE

ESTUDIOS

OBJETIVOS GENERALES DEL CURSO

El estudiante resolverá problemas de limites y continuidad que conforman derivadas y diferenciales, a partir de la generación de modelos matemáticos aplicados en una variedad de fenómenos científicos derivados de las ciencias naturales, económico administrativas y sociales; mediante la aplicación y desarrollo de los principios teóricos, reglas e interpretación grafica, sobre limites, razones de cambio y la derivada, así como el calculo de valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones que se relacionen entre s; colaborando a generar un ambiente de aprendizaje colaborativo, reflexivo y analítico.

UNIDADES DEL PROGRAMA DE ESTUDIOS PÁGINAS PESO PORCENTUAL

I. Limites 3 a la 11 30%

II. Las razones de cambio y la derivada 12 a la 23 35%

III. Valores máximos y mínimos relativos

y sus aplicaciones.24 a la 29 35%

TOTAL 27 100%

UNIDAD 1. LÍMITES

2

Objetivo: Resolverá problemas de limites en las ciencias naturales, económico administrativas

y sociales, a partir de la aplicación de la teoría de limites y el empleo de sus teoremas mediante el análisis de su comportamiento grafico, con una actitud analítica y participativa.

Contenido:1.1 Límites.1.1.1 Noción intuitiva de límite y límites laterales.1.1.2 Teoremas de los límites.1.1.3 Límites de funciones.

Polinomiales. Racionales. Trigonométrícas. Logarítmicas. Exponenciales.

1.1.4 Límites infinitos y límites en el infinito.1.1 Resolverá ejercicios de límites reales y su representación grafica, empleando teoremas los correspondientes para el calculo de un límite (Si existe) en un punto de una función.

1.2 Teoremas de continuidad de una función.1.2.1 Condiciones de continuidad. 1.2.2 Teoremas de Valor intermedio y de Valores extremos.1.2 Utilizara el teorema de continuidad de una función, mediante la comprobación del planteamiento de: si una función es continua en un intervalo; aplicando el teorema correspondiente en la solución de problemas reales.

1.- De manera intuitiva podrías indicar cuales serían desde tu punto de vista los límites para los siguientes conceptos:

La estatura de una persona (límite superior)

3

El peso de un ser humano (límite superior)

La edad de un abuelo (límite inferior )

El costo de un desayuno (límite inferior)

2.- Defina que es un límite:

3.- Como se expresa matemáticamente? El límite cuando “ x “ tiende………. o se aproxima a un cierto valor “ a “ de la función “ f ( x ) “ .

4.- ¿Que significa o que representa x ?

5.- ¿Que significa o que representa y ?

6.- ¿Que significa o que representa )(xf ?

7.- Si hablamos de incremento el signo de será:

8.- Si hablamos de decremento el signo de será:

9.- Calcula los siguientes límites por la derecha (tabula aproximándote al valor indicado desde un valor mayor y cada vez con decrementos más pequeños)

a) b) c )

4

X f ( X ) X f ( X ) X f ( X )

d) e) f )

10.- Calcula los siguientes límites por la izquierda ( tabula aproximandote al valor indicado desde un valor menor y cada vez con incrementos más pequeños )

a) b) c )

d) e) f )

5

X f ( X ) X f ( X ) X f ( X )

X f ( X ) X f ( X ) X f ( X )

X f ( X ) X f ( X ) X f ( X )

11.- Si x es un número real diferente de cero, a que equivalen los cocientes siguientes:

12.- Enlista los principales teoremas sobre límites a manera de formulario:

13.- Encuentre los siguientes límites de manera directa utilizando sustitución o los teoremas correspondientes.

a)

b)

c)

6

0 / 0 =

0 / 1 =

0 / x =

0 / =

1 / 0 =

1 / 1 =

1 / x =

1 / =

x / 0 =

x / 1 =

x / x =

x / =

/ 0 =

/ 1 =

/ x =

/ =

d)

e)

f)

g) l

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

14.- Encuentre los siguientes límites utilizando simplificación de expresiones mediante factorización en caso de ser indeterminados (diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos o imperfectos y polinomios con factores comunes).

a)

b)

7

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

15.- Encuentre el límite de las siguientes funciones.

a)

b)

c)

d)

8

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

16. En las siguientes funciones encuentre:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Continuidad en un punto y en un intervalo.

9

17.- Escribe los tres criterios que de deben cumplir para determinar cuando una función es continua.

a)

b)

c)

18. Determina si las siguientes funciones son continuas en el valor que se da.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

19. En las siguientes funciones determine los números en los que la función es continua.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

10

UNIDAD II. LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA

Objetivo: Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación de contextos de las cienciasnaturales, económico-administrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable.

Contenido:2.1 La derivada.2.1.1 Razón de cambio promedio e instantánea.2.1.2 La derivada como razón de cambio instantánea.2.1.3 interpretación geométrica de la derivada.2.1.4 Diferenciabilidad en un intervalo.

2.1 Resolverá problemas de la derivada, analizando las características que definen su concepto y planteando problemas prácticos mediante la contextualización de situaciones cotidianas de razón de cambio instantánea.

2.2 Reglas de derivación.2.2.1 Regla de la potencia.2.2.2 Reglas del producto y del cociente2.2.3 Derivadas de funciones trigonométrícas y de funciones trigonométrícas

inversas.2.2.4 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.2.2.5 Regla de la cadena

11

2.2 Resolverá problemas reales de derivación, empleando sus reglas, en funciones polinomiales, trigonométrícas, exponenciales y logarítmicas.

2.3 Derivación implícita.

2.3 Derivara funciones implícita; tras identificar la técnica correspondiente y aplicarla en la solución de problemas reales.

2.4 Ecuaciones de la tangente y Normal, longitudes de la subtangente y subnormal.

2.4 Empleará las ecuaciones de la tangente y normal a una función en un punto, así como las longitudes de la subnormal y subtangente; aplicando el concepto dy/dx=m en la solución de problemas reales.

La derivada 1. Escriba la formula de la derivada en términos de limite:

2. Explique el significado de

3. En función de la definición de derivada en término de los límites, es decir:

, encuentre la derivada de las siguientes funciones cuando x0

cambia a x1 en cada caso

a)

b)

c)

d)

e)

4. Halle la derivada de las siguientes funciones aplicando el concepto de límite.a)

b)

c)

12

d)

e)

f)

Derivadas como razón de cambio.

5. Escriba las formulas de razón de cambio promedio, razón de cambio instantánea (velocidad) y razón de cambio de la velocidad.

6. Resuelva los siguientes problemas:a) Un objeto en reposo, cae a 16t2 pies en t segundos, determine la velocidad

promedio en los siguientes intervalosi) t=1 a t=2ii) t=1 a t=1.1iii)t=1 a t=1.01

b) Un objeto en reposo, cae a 16t2 pies en t segundos, determine la velocidad instantánea en t=3.8 seg. y t= 5.4 seg.

c) Una partícula se mueve a lo largo de un eje coordenado y s es su distancia dirigida, en cm. medida desde el origen hasta el final de t seg. Esta dada por

. Encuentre la velocidad instantánea al termino de t=3 seg.

d) Un objeto vija a lo largo de un arecta de modo que su posición esta dada por medida en metros después de t seg.

i) ¿Cuál es la velocidad promedio en el intervalo  ?ii) ¿Cuál es la velocidad promedio en el intervalo  ?

e) Una partícula se mueve a lo largo de un eje coordenado y s es su Esta dada distancia dirigida, en cm. medida desde el origen hasta el final de t seg. por

medida en pies. i) ¿Cuál es la velocidad instantánea en t =3 seg.?ii) ¿Cuándo alcanzará una velocidad de 2 pies por segund0?iii) Encuentre la velocidad instantánea al termino de t=3 seg.

f) Un atleta corre los cien metros planos de manera que la distancia s(t) que ha

recorrido a los t segundos esta dada por : . Calcule la

velocidad del corredor en el momento de la salida t=0 y a los 5 segundos de la salida.

13

g) Una pelota baja rodando por un plano inclinado de manera que la distancia (en centímetros) que recorre al cabo de tres segundos esta dada por

432)( 23 ttts , donde 30 t . i) ¿Cuál es la velocidad de la pelota en t=2? ii)¿Cuál es la aceleración en t=2? iii) ¿En que momento alcanza una velocidad de 30 cm/s?

h) Una partícula se mueve horizontal mente bajo la función de posición ttts 43 )( a los t seg.

i) ¿Cuál es la aceleración de la partícula cuando v(t)=2ii) ¿Cuál es la posición de la partícula cuando a(t)=18

7. Realice la grafica de la interpretación geométrica de la derivada y de una Explicación de la misma.

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

8. Explique la Diferenciabilidad de una función en un intervalo abierto.

9. Determine si las siguientes funciones son diferenciables en X0.a)

14

b)

c)

d)

e)

Reglas de derivación10. Escriba la formula de la derivada de las siguientes funciones:

a) La función

b) La función

c) La función

d) La función

d) La función

f) La función

11. Halle la derivada de las siguientes funciones: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

15

j)

Regla del producto y del cociente

12. Escriba la formula de la derivada de las siguientes funciones: a) La función

b) La función

13. Halle la derivada de las siguientes funciones: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

Regla de la cadena

14. Escriba la regla de la cadena o función compuesta

16

15. Halle la derivada de las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

Derivadas de funciones trigonométricas

17

16. Escriba la formula de la derivada dea) La función

b) La función

c) La función

e) La función

f) La función

g) La función

17. Determine la derivada de las siguiente funciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

18

l)

m)

18. Escriba la formula de la derivada dea) La función

b) La función

c) La función

e) La función

f) La función

g) La función

19. Determine la derivada de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

d) e)

f)

g)

h)

19

i)

j)

Derivadas de la funciones exponencial y logarítmicas

20. Escriba la formula de la derivada de las siguientes funciones:a) La función

b) Escriba la formula de la derivada de la función

c) Escriba la formula de la derivada de la función

d) Escriba la formula de la derivada de la función

21. Halle la derivada de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

20

n)

o)

Derivación implícita

22. Encuentra por derivación implícita.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Rectas tangente y normal

23. Escribe la ecuación de la recta punto pendiente.

24. Escribe la ecuación para determinar la pendiente de la recta tangente de una curva en el punto P(x0,y0).

25. Determine las ecuaciones de la recta tangente y recta normal para cada una de las siguientes curvas en el punto P indicado.

a)

21

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

26. Encuentre los puntos de tangencia de las rectas tangentes horizontal y vertical a la curva

27. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente con pendiente a la

elipse

28. Encuentre la ecuación de las rectas tangentes a la hipérbola que pasan por el punto P(2,-2)

29. Encuentre la ecuación de las rectas tangentes a la hipérbola que pasan por el punto P(-1,1)

UNIDAD III. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS APLICACIONES.

Objetivo: Calculará los valores máximos y mínimos relativos de una función; mediante la aplicación de los criterios de la primer y segunda derivada, analizando los intervalos donde la función es creciente o decreciente, cóncava o convexa e identificando la existencia de puntos de inflexión, para su graficado y solución de problemas de optimización y aproximación, mostrando una actitud reflexiva de cooperación.

Contenido:3.1 Aplicación de la primera derivada.3.1.1 Calculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de la primera

derivada.3.1.2 Derivadas de orden superior.3.1.3 Calculo de Valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada.3.1.4 Funciones crecientes y decrecientes.

3.1 Practicara la aplicación de la primera derivada a través del cálculo de valores máximos y mínimos relativos de una función, analizando difercialmente sus intervalos creciente y decreciente.

22

3.2 Concavidad.3.2.1 Criterio de la segunda derivada.3.2.2 Puntos de inflexión.3.2.3 Trazado de curvas.

3.2 Calculará la concavidad y punto de inflexión de una función, a partir de la aplicación de la segunda derivada partiendo del trazo de la gráfica.

3.3 Aplicaciones de la derivada.3.3.1 Problemas prácticos de máximos y mínimos.3.3.2 Aplicaciones en las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales.

3.3 Resolverá problemas de aplicación del criterio de la primera y segunda derivada; calculando los valores máximos y mínimos, relacionados con situaciones del contexto de las ciencias naturales, económico- administrativas y sociales.

Derivadas aplicaciones 1. Explique que es un punto crítico.

2. Escriba el criterio de la primera derivada para calcular los valores máximos y mínimos de una función.

3. Escriba el criterio para determinar cuando una función es creciente y cuando decreciente.

4. Calcule los máximos y mínimos locales y absolutos de f. Describe los intervalos en los que f es creciente o decreciente y trace la grafica.

a) 25 xxf

b) xxxxf 1292 23

23

c) 13 xxf

d) 32 xxf

e) 742 xxxf

f) xxxf 33

g) 342 xxxf

h) 41232)( 23 xxxxf

Derivadas de orden mayor

5. Si f(x) es un polinomio de grado n ¿Cuál será la derivada de orden n+1?

6. Determine las primeras tres derivadas de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

7. Escriba el criterio de la segunda derivada para calcular los valores máximos y mínimos de una función.

8. Explique que es un punto de inflexión.

9. Escriba el criterio de la segunda derivada para determinar las concavidades de

24

una función

10. Encontrar máximos, mínimos, puntos de inflexión, aplicando el criterio de la segunda derivada e indicar los intervalos en los que la función es cóncava hacia arriba y en cuales es cóncava hacia abajo. Esboce la gráfica

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Aplicaciones de la derivada

11. Un fabricante de cajas de estaño desea emplear piezas de 8X15 plg. Cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas .Calcule las longitudes del lado del cuadrado por cortar de manera que cada caja sin tapa tenga volumen máximo.

12. Si un lado de un campo rectangular va tener como limite aun río, halle las

dimensiones del terreno rectangular más grande que se puede cercar con 240m de valla por los otros tres lados.

13. Hallar el número en el intervalo tal que la diferencia entre el número y su

25

cuadrado sea máximo.

14. Obtenga el área del rectángulo que tenga dos vértices en el eje X y los otros

dos arriba del eje X y que se encuentren en la parábola 29 xy .

15. Determine el área del mayor rectángulo que puede ser inscrito en una circunferencia de radio r.

16. Una isla esta ubicada en el punto A, 6km mar adentro del punto mas cercano B en un aplaya recta, una mujer que se encuentra en la isla desea ir al punto C, 9km playa debajo de B. La mujer puede rentar un bote por 15 dólares el Km. y viajar por agua hacia el punto P entre B y C, recto de P a C. Determiné la ruta menos costosa a seguir del punto A al punto C.

17. Un club cobra cuotas anuales por concepto de membresía de 100 dólares por cada miembros, menos 50centavos de dólar por cada miembro que pase de 600 y mas 50 centavos de dólar por cada miembro si el numero de ellos es menor a 600. ¿Cuántos miembros proporcionarían el mayor ingreso por concepto de cuotas anuales?

18. Un granjero dispone de 200 metros de valla para cerrar dos corrales rectangulares adyacentes (véase la figura) ¿Qué dimensiones harán que el área encerrada sea máxima?

26

19. Un diseñador desea encerrar un jardín rectangular con 20 pies de cercado ¿Cuál es el área máxima que se puede encerrar en ente jardín?

20. Encuentra dos números cuya suma sea 60 y cuyo producto sea máximo

21. Encuentra dos números cuyo producto sea 50 y cuya suma sea mínima.

22. Hallar dos números tales que su suma sea 50 y el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.

23. Una hoja rectangular de metal con perímetro de 4 m, va a ser enrollada par formar una cara lateral de un recipiente cilíndrico encuentre las dimensiones del recipiente con el volumen máximo.

24. Se desea construir un recipiente cilíndrico de base circular con volumen de 64cm3.

25. Hallar las dimensiones del recipiente para que la cantidad de material seamínimo si:

a) Es cerradob) Es abierto

26. En competición perfecta una compañía puede vender a un precio de $100 por unidad y todo lo que produce, si produce a diario x unidades y el costo total de

la producción esta dado por 700202 xx ¿Cuál será el número de unidades para que la utilidad sea máxima? Recuerda que U =I-C

27. Si la utilidad de una compañía esta dada por ¿Cuál será el número de unidades para que la utilidad sea máxima?

28. La demanda de los consumidores de cierto articulo es unidades por mes cuando el precio es de p dólares por unidad ¿Cuál es el valor de p para que el gasto D(p)*p sea máximo? y ¿De cuánto es este?

29. Se estima que dentro de t años la circulación de un periódico local será de ¿Cuál ser el valor de t para que la circulación sea mínima?

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