geoestadistica semana 1 2 3

NOCIONES FUNDAMENTALES

Yacimientos Minerales

El yacimiento se ve como una reunión de bloques, que serán estimados a partir de datos cercanos (muestras de sondajes o de pozos de tronadura).

En las muestras han sido medidos los atributos de interés: leyes (cobre, oro, arsénico...), densidad de la roca, tipo de roca...

límite de zona mineralizada

muestra

bloque

límite de zona mineralizada

¿PARA QUÉ SIRVE EVALUAR LOS RECURSOS Y RESERVAS?

reporte de recursos / reservas

control de leyes: mejorar la selección entre mineral y estéril

estudio de factibilidad

planificación

diseño de la explotación

MINERAL

Material que tiene un interés económico, en oposición a estéril

Esta definición depende de varios factores:

• temporales (precio del metal, tecnología...)

• ubicación (infraestructura disponible)

• legales (normas de seguridad, ambientales...)

• tasa de descuento...

LEY

Es la concentración de un elemento en el subsuelo (elemento principal, subproducto o contaminante)

POTENCIA, ACUMULACIÓN

LEY DE CORTE

Se trata de un valor de ley que separa categorías distintas de material, por ejemplo mineral y estéril

DILUCIÓN

La dilución se refiere al hecho de mezclar (no separar) el mineral del estéril. Puede deberse a varios factores:

• dilución interna

• dilución externa o de operación

geométrica: debido al contacto entre mineral y estéril

inherente (selectividad debida al tamaño de bloque)

RECURSO Y RESERVA MINERAL

El concepto de recurso no está conectado a un objeto o a un material, pero si al valor asociado.

Ej. Los depósitos de caolín en el Devon (UK)- Se formaron 300 millones de años atrás.- La historia del hombre los ignora.- En 1745, W. Cookworthy descubre el uso cerámico para producir porcelanas. (sucesivamente, será identificado la utilización para papel).- Hoy esos depósitos garantizan la mayoría de la producción inglesa de caolines.

DEFINICION DE RECURSO Y RESERVA

-En 200 años (periodo breve) vuelven a ser un recurso importante.- El adelanto tecnológico modifica el status de una substancia (ej. U. Th., en los últimos 80 años).- La evaluación puede ser restringida a un conjunto limitado de individuos, pero homogéneo culturalmente y viceversa.

DEFINICION DE RECURSO Y RESERVA

Los depósitos de silex de Grimes Groves (UK)-Centro de producción de 2500 hasta 1400 AC. (110 años, Neolítico).- La llegada de las edades del bronce, del Cobre, y del Hierro, anulan el interés.- Desde entonces el área se quedó deshabitada.

RECURSO GEOLÓGICO

Concentración u ocurrencia de material de interés económico intrínseco en o sobre la corteza de la Tierra en forma y cantidad en que haya probabilidades razonables de una eventual extracción económica

Se habla indistintamente de recursos geológicos, minerales o in situ

RESERVA MINERA

Es la parte económicamente explotable de un recurso mineral. Incluye dilución de materiales y tolerancias por pérdidas que se puedan producir cuando se extraiga el material.

Contempla la consideración de y modificación por factores razonablemente asumidos de extracción, metalúrgicos, económicos, de mercados, legales, ambientales, sociales y gubernamentales.

Existen varios códigos internacionales para guiar la categorización de recursos y reservas: JORC (Australia), SAMREC (Sudáfrica), CIM (Canadá), IMM (Europa), SME (Estados Unidos)...

CATEGORIZACIÓN DE RECURSOS Y RESERVAS

CLASIFICACION DE RESERVAS MINERALES Y ENERGIAS FOSILES

Criterios Generales según (UNCF)-Viabilidad Económica y comercial (E).-Estudio y viabilidad del proyecto (F).-Conocimiento Geológico (G).

La mayoría de las clasificaciones adoptan los mismos criterios, implícitamente o explícitamente.

La UNCF hace el cuadro de referencia para la armonización de las clasificaciones existentes.


Las Clases y las Categorias-Tres categorías principales para la viabilidad económica y comercial.-Tres categorías para describir el estado y la viabilidad del proyecto.-Cuatro categorías para describir el nivel de reconocimiento Geológico (G).

Una clase de cantidad, corresponde a un cubo (ej. 111) o a un conjunto de cubos.

Los recursos totales son una clase que incluye todos los cubos.


Categoría de las Reservas- E1 Económicas.- E2 Potencialmente Económicas.- E3 Intrínsicamente Económicas.- F1 Estudio de viabilidad.- F2 Estudio de Pre-Viabilidad- F3 Estudio Geológico.- G1 Prospección de detalle.- G2 Prospección general.- G3 Prospección - G4 Estudio de reconocimiento.


Cantidad de los Recursos y Reservas- Las Reservas Mineras

Demostradas 111Probables 121 + 122

-Los Recursos Mineros. Con viabilidad 211. Pre-viabilidad 221 + 222

. Medidos 331

. Indicados 332

. Previstos 333

. Reconocidos 334

¿DONDE INTERVIENE LA GEOESTADISTICA?

La Geoestadística, interviene directamente o indirectamente en todos los tres ejes del sistema de clasificación:-En el cálculo objetivo de la confianza de las estimaciones y en la optimización de ellas.- En el control de proceso de selección.- En suministrar los elementos para soportar las diferentes elecciones del proyecto.- En contribuir a un cuadro probabilístico del cash-flow y al cálculo de los índices asociados (NPV, IRR..)


El análisis geoestadístico de datos interviene en todas las etapas de un proyecto minero:

• Estudio geológico (largo plazo)

puede indicar direcciones de continuidad, restringir o ampliar la extensión de la zona de interés

• Campaña de exploración

evaluar y categorizar los recursos in situ (evaluación global)

justificar la producción de largo plazo


• Estudio de factibilidad y operación

campaña de sondajes en malla densa

estimación local de recursos para determinar reservas mineras, planificar la producción de mediano y corto plazo, clasificar cada bloque como mineral o estéril

modelamiento geológico

reporte (inventario) de los recursos y reservas, detallando su cantidad y su confiabilidad

auditoria para comprobar la evaluación


• Explotación

mediciones en pozos de tronadura

control de leyes: definir qué bloques mandar a planta o botadero

reconciliación mina - planta

A medida que avanza el proyecto minero, se tiene un conocimiento más completo del depósito y se actualiza los modelos geológicos y de recursos / reservas para incorporar la información nueva.

Ejemplo: pórfido cuprífero en el cual se mide la ley de cobre

La densidad del muestreo influye en el conocimiento de la continuidad espacial de los valores (regularidad, anisotropía...)

VARIABLE REGIONALIZADA

Una variable regionalizada es una función que representa el desplazamiento en el espacio de un atributo asociado a un fenómeno natural (mineralización)

Ejemplos:• leyes en cobre, arsénico, molibdeno• densidad de la roca

• código de litología

• potencia y acumulación de una veta

VARIABLES REGIONALIZADAS (2)

En términos mineros se define la geoestadística como la aplicación de la teoría de las variables regionalizadas a la estimación de los recursos mineros.

Una variable regionalizada es una función que representa la variación en el espacio de una cierta magnitud asociada a un fenómeno natural.

Sea x un punto del espacio. Se designa la variable regionalizada por la notación z(x).

Notación condensada

Antes de estudiar ejemplos de variables regionalizadas, mencionemos que en geoestadística se utiliza la notación condensada: Un punto del espacio se representa por la letra x. Por ejemplo la ley en el punto x se representa por z(x). Por consiguiente, z(x) puede significar:

• z(x) si el problema es unidimensional (1-D)• z(x1, x2) si el problema es bidimensional (2-D)• z(x1, x2, x3) si el problema es tridimensional (3-D)

Se observa que existen problemas de notación: Se acostumbra a designar una variable regionalizada con la letra z, lo cual coincide con la notación utilizada para la cota o elevación.

Ejemplos de variables regionalizadas

Ejemplo 1: En el espacio de una dimensión, sea z(x) = Ley de Cu a lo largo de una galería:

Figura 1: Canaletas en una galería.Figura 2: Galería reconocida entre los puntos A y A’

Las leyes de las canaletas se pueden graficar:

Figura 3: Leyes de canaletas entre A y A’.

Ejemplo 2: En la dimensión tiempo (una dimensión t), el precio de un metal p(t).

Fig. 4: Precio del cobre (promedio mensual 1987-2005) en centavos de dólar / libra.

Ejemplo 3: En el espacio de dos dimensiones, sea z(x1, x2) = z(x) = potenciamineralizada en un yacimiento de nitratos:

Ejemplo 4: En el espacio de tres dimensiones, sea z(x1, x2, x3) = z(x) = Ley de Cu en el punto x dentro de un depósito masivo:

Figura II.6: Caso típico de depósito de óxidos-sulfuros. La capa superior corresponde a grava o coluvio.

En un depósito de este tipo se puede comprobar que la ley de cobre se comporta demanera diferente en la zona de óxidos y en la zona de sulfuros. Esto nos conduce aconsiderar para la ley de cobre, dos variables regionalizadas diferentes.

Ejemplo 5: En el espacio de tres dimensiones, sea z(x1, x2, x3) = z(x) = densidad de la roca en un punto x dentro de un depósito minero:

Observación:Los ejemplos anteriores nos muestran que una variable regionalizada es simplemente una función z(x) del punto x. Sin embargo, esta función no se comporta como las funciones que se estudian en Matemáticas: En general z(x) es muy desordenada en su variación espacial y no se podrá expresar, en particular, z(x) como un polinomio.

Una variable regionalizada es una variable definida en cada punto de un dominio espacial (espacio 1D, 2D, 3D).

-Marcamos la coordenada con x

- La VR se escribe con z(x)

- El término regionalizada especifica que la función numérica depende de la localización

Observación:Los ejemplos anteriores nos muestran que una variable regionalizada es simplemente una función z(x) del punto x. Sin embargo, esta función no se comporta como las funciones que se estudian en Matemáticas: En general z(x) es muy desordenada en su variación espacial y no se podrá expresar, en particular, z(x) como un polinomio.

Una variable regionalizada se caracteriza por:

• su naturaleza (continua / categórica)

• su dominio de extensión (campo)

• su soporte, por ejemplo: sondaje HQ de 1munidad selectiva de explotación de 5m 5m 5m

La distribución de los valores depende del soporte en el cual se mide la variable (efecto de soporte, que tiene consecuencia en la selectividad)

Notamos una marcada diferencia espacial, puesta de manifiesto en las diferencias sucesivas entre las muestras contiguas:

Diferencia de Leyes para el caso A: 1,0 ; 1,0 ; 1,0 ; 1,0 ; 1,5Diferencia de Leyes para el caso B: 3,0 ; 1,5 ; 2,5 ; 1,0 ; 2,0

CASO A Media = 3,08 Varianza = 4.0416

CASO B Media = 3,08 Varianza = 4.0416

ESTIMACIÓN LOCAL – MODELO DE BLOQUES

Una variable regionalizada presenta variabilidad en el espacio, por lo cual existe cierta incertidumbre en sus valores en sitios no muestreados. Para compensar la falta de información debida al número limitado de datos, se recurre a estimar los valores de los bloques que componen el yacimiento a partir de las muestras circundantes.

Cabe recordar que las estimaciones nunca son perfectas y están afectadas por errores que pueden incidir en el cálculo de los recursos o de las reservas

Fuentes de errores

• variabilidad “inherente” de las leyes

• errores en el modelo geológico

• errores de muestreo (variabilidad “introducida”)

Etapas en la Evaluación de Yacimientos

• Modelamiento geológico: determinación de “unidades geológicas” en base a la litología, mineralogía, alteración, etc. En general, cada unidad se estudia y se estima por separado.

• Modelamiento geoestadístico de los datos

• Evaluación de la calidad de los datos (muestras)

• Estimación global y local de los recursos geológicos

• Definición y reporte de las reservas mineras

CAPITULO I

ESTUDIO EXPLORATORIO DE DATOS REGIONALIZADOS

PRESENTACION DE LOS DATOS

Sondajes de exploración en un yacimiento tipo pórfido cuprífero

obtención de 2376 datos compositados con sus leyes de cobre total (en %), oro total (en ppm) y el tipo de roca.

Código Tipo de roca

4 Granodioríta cascada

54 Dioríta

20 Brecha de turmalina

31 Brecha de polvo de roca

34 Brecha de polvo de roca y turmalina

28 Brecha monolito

29 Brecha de turmalina - monolito

PRESENTACION CON MAPAS

TIPOS de MAPAS: secciones; plantas; vistas 3D; mapas con escala de colores, codificados por indicador, por símbolos, etc.

Permite visualizar la ubicación de los datos en el espacio y darse una idea preliminar de la continuidad espacial de la variable regionalizada en estudio:

litología

mineralización definición de “unidades geológicas”

alteración

leyes, densidad, potencia, etc.

PRESENTACION CON MAPAS

Nos interesamos por la ley de cobre total

DISTRIBUCION DE LEYESHISTOGRAMA ESTÁNDAR

Visualiza la frecuencia de ocurrencia en función del valor

DISTRIBUCION DE LEYES

ESTADÍSTICA BÁSICA

• medidas de posición

• medidas de dispersión

• medidas de forma

media, mediana, moda, mínimo, máximo, rango, deciles, cuartiles, cuantiles

varianza, desviación estándar, coeficiente de variación, rango intercuartil

coeficiente de asimetría, coeficiente de aplanamiento

89 88 94 110 118 108 73 107 118 125+ + + + + + + + + +

88 70 103 111 122 64 84 105 113 120+ + + + + + + + + +

87 100 47 111 124 109 0 98 134 125+ + + + + + + + + +

82 81 110 121 119 77 52 111 117 123+ + + + + + + + + +

82 74 97 105 112 91 73 115 118 127+ + + + + + + + + +

81 77 103 112 123 19 10 111 114 121+ + + + + + + + + +

77 82 86 101 109 113 70 102 120 120+ + + + + + + + + +

77 84 74 108 121 143 91 52 136 140+ + + + + + + + + +

75 80 83 87 94 99 95 48 139 138+ + + + + + + + + +

74 80 85 90 97 101 96 72 128 131+ + + + + + + + + +

Ubicación de 100

muestras de Zn (ppm)

EJEMPLO DISTRIBUCION DE LEYES

En estadística no existe una regla general para el cálculo del intervalo de clase, sin embargo, existen técnicas que permiten determinarlo para n observaciones:

Sturges: L = 1 + 3.32 log (n)

Dixon and Kronwell: L = 10 log (n)

Velleman: L = 2 n

Utilizando las técnicas correspondientes, para el ejemplo se tiene que:

n = 100L = 7.64 (Sturges)L = 20 (Dixon and Kronwell)L = 20 (Velleman).

Se ha optado por L = 15 para construir la tabla de frecuencias y el histograma.

El Ancho de Clase = (Vmax – Vmin)/L = (143 – 0) / 15 = 9.5333 ≈ 10

CLASE (INTERVALO)

MARCAS DE CLASE

Xi

FREC. ABSOLUTA

FREC. ACUM.

FREC. RELATIVA

FREC. REL. ACUM

fi Fi hi Hi

( 0 – 10 ] 5 2 2 0,02 0,02

( 10 – 20 ] 15 1 3 0,01 0,03

( 20 – 30 ] 25 0 3 0 0,03

( 30 – 40 ] 35 0 3 0 0,03

( 40 – 50 ] 45 2 5 0,02 0,05

( 50 – 60 ] 55 2 7 0,02 0,07

( 60 – 70 ] 65 3 10 0,03 0,1

( 70 – 80 ] 75 13 23 0,13 0,23

( 80 – 90 ] 85 16 39 0,16 0,39

( 90 – 100 ] 95 11 50 0,11 0,5

( 100 – 110 ] 105 14 64 0,14 0,64

( 110 – 120 ] 115 18 82 0,18 0,82

( 120 – 130 ] 125 11 93 0,11 0,93

( 130 – 140 ] 135 6 99 0,06 0,99

( 140 – 150 ] 145 1 100 0,01 1

Histograma de Zn (ppm)

2 1 0 02 2 3

13

16

11

14

18

11

6

1

0

5

10

15

20

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145

Zn (ppm)

Fre

cuen

cia

Ab

solu

ta

Histograma del Acumulado de Zn (ppm)

0

20

40

60

80

100

120

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145

Zn (ppm)

Fre

cuen

cia

Acu

mu

lad

o

En estimación de reservas mineras es importante observar la frecuencia acumulada sobre un límite inferior (Cut Off). En la tabla de frecuencias, se muestra la frecuencia acumulada, observamos que en lugar de registrar las muestras de una clase, registramos el total de muestras inferiores a ciertos cut offs. El histograma del acumulado es una función entre 0 y 100%

ESTADÍSTICA BÁSICAMEDIDAS DE POSICIÓN

LA MEDIALa media aritmética o simplemente media de un grupo de datos, caracteriza a los grupos de datos cuyo polígono de frecuencias presenta simetría y poca dispersión. Cuando los datos no están agrupados, se suman los números y se dividen entre el número de ellos.

n

i

ixn 1

1X

En el ejemplo, la media de la variable Zn (ppm) para n = 100 es:

01.971

X1

Zn

n

in

Cuando los datos están agrupados formando tablas de frecuencia se utiliza la fórmula:

70.961

X1

n

i

iixfn

ESTADÍSTICA BÁSICALA MEDIANA

La mediana es el punto que divide la distribución de los datos en dos partes iguales. Debajo y encima de la mediana existe aproximadamente el 50% de los datos. Dicho de otro modo la mediana, M, es el valor de la muestra central cuando éstos se encuentran dispuestos en orden creciente o decreciente: x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn La mediana se calcula por:


LA MODAEs el valor que ocurre con mayor frecuencia; la barra de mayor altura en un histograma nos dará una idea de la posición de la moda. En el histograma de la variable Zn observamos que la clase 110-120 ppm es la de mayor frecuencia; dentro de esta clase, el valor 111 ppm es el de mayor ocurrencia. Un grupo de datos puede tener una moda, dos modas, etc. En tales casos la distribución se llama, respectivamente, unimodal, bimodal, etc. Cuando los datos están agrupados, formando una distribución de frecuencias, la moda, Mo, se calcula por la fórmula siguiente:

ESTADÍSTICA BÁSICACUARTILES, DECILES Y PERCENTILESLos cuartiles son medidas de posición que dividen en cuatro partes iguales al conjunto de valores ordenados de una distribución de frecuencias. Estas medidas son: el primer Cuartil Q1, el segundo Cuartil

Q2 y el tercer Cuartil Q3, el segundo Cuartil Q2 coincide con la mediana

Me, luego Q2 = Me.

ESTADÍSTICA BÁSICAMEDIDAS DE DISPERSION

LA VARIANZAEs uno de los principales estadígrafos que cuantifica el grado de variabilidad de las muestras. Está determinada por la relación:

n

ixinmx

1

22 )(1

n

ixinmx

1

22 )(1

1

Se utiliza cuando los argumentos representan la población total

Cuando los datos representan una muestra de la población.

La varianza es el promedio de las diferencias cuadráticas entre los valores y su media, siempre será positiva y altamente sensible a los valores erráticos. Para nuestro ejemplo utilizando la segunda fórmula obtenemos que la varianza es igual a 705.59


LA DESVIACION ESTANDAREs la raíz cuadrada de la varianza . A diferencia de la varianza, la desviación estándar conserva el mismo orden de magnitud.

El coeficiente de variación da un indicio del grado de dificultad en las inferencias estadísticas: un coeficiente de variación mayor de 1 indica la presencia de valores erráticos disminuyendo la calidad del estimador. Otro uso no menos importante del CV, es la de permitir la comparación del grado de variabilidad entre variables cuyas magnitudes son sensiblemente diferentes (ejemplos, Cu y Fe).

56.262

EL COEFICIENTE DE VARIACIONEstá definido por la relación

27.0x

CV


El coeficiente variación, también se utiliza para hallar la densidad de muestreo (establecer la distancia de muestreo) y la cantidad de muestra a tomar, ya que es una medida de la dispersión de los datos, por lo que:

Cuanto mayor es el coeficiente, más separados están los datos y, por tanto, menor debe ser la distancia de muestreo.

Basándose en el valor de coeficiente de variación se entra en una tabla, establecida según la experiencia (Kuzvart y Bohmer, 1978), que nos establece la distancia a fijar entre muestras; como se muestra en la siguiente tabla:

EL COEFICIENTE DE VARIACION

ESPACIADO ENTRE MUESTRAS EN FUNCIÓN DEL COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Distribución de los elementos analizados

CV Tipos de Yacimiento Espaciado de las muestras (metros)

Regular 0.05 – 0.4 Yacimientos sencillos de carbón, pizarras bituminosas, materiales para la construcción y cementos, sales, fosfatos, algunos yacimientos de Fe y Mn

50 – 60

Irregular 0.4 – 1.0 Yacimientos hidrotermales, metasomáticos de contacto, la mayor parte de los polimetálicos y de Cu, algunos de W y Mo, muy pocos de Au

6 – 4

Muy irregular 1.0 – 1.5 La mayor parte de los yacimientos de Sn, W y Mo, muchos yacimientos de Au

4 – 2.5

Extremadamente irregular

> 1.5 Muchos yacimientos de tierras raras, Au y Pt

2.5 – 2

CANTIDAD DE MUESTRA A TOMAR EN FUNCIÓN DEL COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Distribución de los elementos analizados

Coeficiente de Variación Peso de la muestra

Muy regular Hasta 0.20 X = (0.6 – 0.8 Kg. )

Regular 0.20 – 0.40 3. X

Irregular 0.40 – 0.8 6. X

Muy irregular 0.8 – 1.5 9. X

Extraordinariamente irregular

> 1.5 12. X

Se define como posibles valores erráticos, aquellas observaciones que se muestran inconsistentes con el resto de los valores de las muestras.

Un valor posible errático, puede ser el resultado de un error de medición, de un error de metodología de muestreo o puede ser propio de la variabilidad inherente al fenómeno. El error de medición es causada por inadecuada medición o un mal registro de valores; mientras que los errores de metodología son causadas por un muestreo sesgado o una definición inadecuada de la población. Los outliers producto de la variabilidad de un fenómeno son raros pero no imposibles de presentarse.

Los outliers tienen un gran impacto en las inferencias estadísticas y antes de eliminarlas es preciso evaluarlas porque pueden ser fuente de importante información (caso típico en prospección geoquímica). Los criterios de detección de outliers que a continuación se detallan deben ser tomados con bastante prudencia, siempre es mejor remuestrear o volver a analizar un amuestra antes de eliminarla.

DETECCION DE POSIBLES VALORES ERRÁTICOS (OUTLIERS)

𝒙𝒊−𝒎𝒙𝝈

El 99.3% de los valoresEstarán comprendidos entre el valor critico ± 2.7

-2.7 ≤ ti ≤ 2.7


Los datos provenientes de la corteza terrestre es a menudo de carácter multivariable, es preciso por consiguiente disponer de herramientas de análisis que permitan cuantificar la relación y la dependencia entre variables, análisis que ayudará a una mejor comprensión del fenómeno en estudio.

ANALISIS ESTADISTICO PARA DOS VARIABLES (ANALISIS BIVARIABLE)

89 88 94 110 118 108 73 107 118 125

+ + + + + + + + + +

11 12 22 25 30 28 21 20 35 27

88 70 103 111 122 64 84 105 113 120

+ + + + + + + + + +

14 9 32 29 29 8 9 18 18 20

87 100 47 111 124 109 0 98 134 125

+ + + + + + + + + +

16 12 5 32 28 21 0 13 23 22

82 81 110 121 119 77 52 111 117 123

+ + + + + + + + + +

15 14 15 30 30 22 13 16 21 23

82 74 97 105 112 91 73 115 118 127

+ + + + + + + + + +

21 9 19 31 32 18 17 18 22 25

81 77 103 112 123 19 10 111 114 121

+ + + + + + + + + +

20 17 21 29 30 8 2 15 24 24

77 82 86 101 109 113 70 102 120 120

+ + + + + + + + + +

17 12 13 31 32 30 18 14 28 21

77 84 74 108 121 143 91 52 136 140+ + + + + + + + + +

14 15 15 15 17 33 10 9 35 34

75 80 83 87 94 99 95 48 139 138

+ + + + + + + + + +

16 17 11 28 24 21 25 16 33 35

74 80 85 90 97 101 96 72 128 131

+ + + + + + + + + +

22 28 10 31 30 29 22 20 33 34

De la comparación de las medias de la tabla anterior, se observa que, en orden de magnitud, la variable Zn es aproximadamente 5 veces mayor que Pb; de la comparación de los Cv se deduce que los valores de Zn son menos fluctuantes que Pb.


%Pb %Zn1 303 336 28

10 189 25

12 2515 15

0 2 4 6 8 10 12 14 160

5

10

15

20

25

30

35

f(x) = − 1.11486486486487 x + 33.7760617760618

Diagrama de Correlacion de Zn vs Pb

%Pb

%Zn

P = -0,86323738

Desviación standard de la población

DIAGRAMAS DE CORRELACIÓN (SCATTERPLOTS)Es la forma más común de visualizar la relación entre dos variables. Del mismo modo permite detectar los outliers (valores que salen de la tendencia general de los datos). En la fase inicial del análisis de datos es necesario una adecuada revisión y eliminación de valores sospechosos puesto que la calidad de una estimación dependerá de la confiabilidad de los datos.

Diagrama de Correlación entre las variables Zn y Pb

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200

Zn (ppm)

Pb

(p

pm

)

El diagrama de correlación de la figura, muestra que hay una relación entre las variables Zn y Pb: los alores altos de Zn están asociados con los valores altos de Pb; análogamente, existe una asociación entre los valores bajos. Al observar la tendencia general del diagrama de correlación se deduce que para Zn = 50 ppm corresponderá una valor de Pb comprendido entre 5 y 15 ppm aproximadamente; una manera de predecir un valor conociendo el valor de una de las variables.

CORRELACIONLa relación entre dos variables puede presentarse de tres maneras: correlación positiva, correlación negativa o correlación nula. La correlación nula nos indica la ausencia de toda asociación en estudio, es decir el incremento o disminución de los valores de una variable no afecta la otra.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓNEntre dos variables puede existir una relación más o menos estrecha que se llama correlación, y se puede medir mediante el coeficiente de correlación, ρ, que es un número, asociado a los valores de las dos variables.

Para nuestro ejemplo, tenemos que el coeficiente de correlación entre el Zn y el Pb es 0.73.El coeficiente de correlación puede valer entonces entre -1 y +1; indicando el grado de difusión del diagrama de correlaciónCuando ρ = +1 existe una relación funcional entre las dos variables de modo que el valor de cada variable se puede obtener a partir de la otra. Los puntos de la nube están todos situados sobre una recta de pendiente positiva. Si ρ = -1 el diagrama de correlación estará contenido en una línea recta de pendiente negativa.Tanto más ρ se acerque a cero, tanto más el diagrama de correlación se presentará difusa.

REGRESION LINEALLa recta de regresión lineal entre dos variables mejora la calidad de predicción de una variable a partir de la otra. La predicción más simple es la obtenida por regresión lineal definida por:

Donde m y σ son las medias y la desviación estándar de las variables x e y

respectivamente. La ecuación de recta así hallada es la más óptima relación lineal entre las variables X e Y.

Pb = 0,23(Zn) - 1,13

0

10

20

30

40

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Zn (ppm)

Pb

(p

pm

)

Para la el diagrama de correlación de la siguiente figura, se obtiene a = 0.23 y b = 1.13, consecuentemente, la ecuación para predecir Pb a partir de los valores conocidos de Zn será de la forma: Pb = 0.23(Zn) – 1.13

Zn = 2,35(Pb) + 47,97

0

40

80

120

160

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Pb (ppm)

Zn

(p

pm

)De igual modo para la figura siguiente podemos interesarnos en predecir Zn si la variable Pb es conocida, en este caso las constantes halladas son a = 2.35 y b = 47.97, resultando la expresión: Zn = 2.35(Pb) + 47.97

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