factorización y ecuaciones - uce

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA

EDUCACIÓN

CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES,

MATEMÁTICA Y FÍSICA

Propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3: Factorización y ecuaciones,

desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el

Ministerio de Educación, quinta impresión junio del 2018

Trabajo de titulación (modalidad proyecto de investigación) previo a la obtención del Título

de Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Matemática y Física

AUTOR: Bahamonde Mendoza Bryan Mauricio

TUTOR: MSc. Paco Humberto Bastidas Romo

Quito, 2020

ii

DERECHOS DE AUTOR

Yo, Bryan Mauricio Bahamonde Mendoza en calidad de autor y titular de los derechos morales y

patrimoniales del trabajo de titulación Propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3:

Factorización y ecuaciones, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y

publicado por el Ministerio de Educación, quinta impresión junio del 2018, modalidad proyecto

factible, de conformidad con el Art. 114 del CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA SOCIAL

DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACIÓN, concedo a favor de la Universidad

Central del Ecuador una licencia gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso no comercial de la

obra, con fines estrictamente académicos. Conservo a mi favor todos los derechos de autor sobre la

obra, establecidos en la normativa citada.

Así mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la digitalización y

publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual, de conformidad a lo dispuesto en el

Art. 144 de la Ley Orgánica de Educación Superior.

El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original en su forma de expresión y

no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la responsabilidad por cualquier reclamación

que pudiera presentarse por esta causa y liberando a la Universidad de toda responsabilidad.

Firma:

Bryan Mauricio Bahamonde Mendoza

CC. 1724054752

[email protected]

[email protected]

iii

APROBACIÓN DEL TUTOR

Yo, Paco Humberto Batidas Romo en mi calidad de Tutor del Trabajo de Titulación, presentado por

BRYAN MAURICIO BAHAMONDE MENDOZA, para optar por el Grado de Licenciado en

Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matemática y Física; cuyo título es: PROPUESTA

METODOLÓGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA UNIDAD 3: FACTORIZACIÓN Y

ECUACIONES, DESARROLLADA EN EL TEXTO DE MATEMÁTICA PARA EL 9NO AÑO

DE EGB, Y PUBLICADO POR EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN, QUINTA IMPRESIÓN

JUNIO DEL 2018, considero que el mismo reúne los requisitos y méritos necesarios en el campo

metodológico y epistemológico, para ser sometido a la evaluación por parte del tribunal examinador

que se designe, por lo que APRUEBO, a fin de que el trabajo sea habilitado para continuar con el

proceso de titulación determinado por la Universidad Central del Ecuador.

En la ciudad de Quito, a los 18 días del mes de noviembre del 2020.

_______________________________

MSc. Paco Humberto Bastidas Romo

DOCENTE-TUTOR

C.C. 1703608016

iv

DEDICATORIA

Con todo mi corazón.

Dedico este trabajo de investigación a mi familia, principalmente a mis padres, ANTONIO

BAHAMONDE Y MARÍA TRANSITO MENDOZA, ellos son los pilares fundamentales, quienes

siempre me han apoyado y guiado en cada etapa del camino y la razón de seguir adelante.

A mis hermanos, siempre los he considerado un ejemplo de todo lo que se debe y no se debe hacer,

ellos han estado allí de una u otra manera cuando los necesito, con esta dedicación espero que

recuerden que siempre estaré allí cuando lo necesiten.

A mi compañera sentimental, que ha estado a mi lado aun por muy oscuros que sean los tiempos, a

ella quien me ha visto caer y levantarme, errar y corregirme en mi formación universitaria y que

siempre me da su apoyo incondicional.

A mis amigos, compañeros dentro y fuera del aula, les tendré siempre presentes en mi vida.

A mis maestros, quienes me compartieron su luz de conocimiento formando cuerpo, mente y alma.

A Dios, el ser supremo que me dio la bendición de poder llegar hasta aquí y de continuar.

De lo más profundo mi corazón. Bryan Mauricio Bahamonde Mendoza

v

AGRADECIMIENTOS

A mi tutor, MSc. Paco Bastidas Romo, por su dedicación y acompañamiento en todo este proceso,

desde el comienzo de la carrera hasta la elaboración y culminación de este proyecto.

A la prestigiosa Universidad Central del Ecuador, a su facultad de Filosofía, letras y Ciencias de la

Educación y en especial a la Carrera de Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matemática y

Física por darme la oportunidad de estudiar este hermosa profesión.

A todos los docentes que en el camino de esta carrera inculcan en sus estudiantes conocimientos,

valores, reflexiones y anécdotas que siempre recordare.

A mis padres, los primeros maestros, quienes me enseñaron a ser una persona de bien, a esforzarme y

salir adelante a pesar de cualquier adversidad.

Con un cariño especial a compañera sentimental, que ha estado en siempre apoyándome y confió

plenamente en que todo el esfuerzo valdría la pena para completar juntos esta meta.

Con mi más sincero agradecimiento. Bryan Bahamonde Mauricio Mendoza

vi

ÍNDICE DE CONTENIDOS

DERECHOS DE AUTOR.................................................................................................................... II

APROBACIÓN DEL TUTOR ............................................................................................................ III

DEDICATORIA ................................................................................................................................ IV

AGRADECIMIENTOS ....................................................................................................................... V

ÍNDICE DE CONTENIDOS ............................................................................................................. VI

LISTA DE TABLAS.......................................................................................................................... XI

LISTA DE GRÁFICOS .................................................................................................................... XII

LISTA DE ILUSTRACIONES ........................................................................................................ XIII

LISTA DE ANEXOS ...................................................................................................................... XIV

RESUMEN ........................................................................................................................................ XV

ABSTRACT .................................................................................................................................... XVI

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................ 1

CAPÍTULO I ......................................................................................................................................... 3

EL PROBLEMA ................................................................................................................................... 3

1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................................................................... 3

1.1.1. CONTEXTUALIZACIÓN HISTÓRICO – SOCIAL............................................................................. 3

1.1.1.1. NECESIDADES DE LA EDUCACIÓN CONTEMPORÁNEA ............................................................ 3

1.1.1.2. Necesidad de la formación del docente ....................................................................... 4

1.1.1.3. Necesidad para la enseñanza de matemática ............................................................... 5

1.1.1.4. Análisis documental .................................................................................................... 6

1.1.1.4.1. Acerca de la “Organización del contenido” ......................................................... 6

1.1.1.4.2. Acerca de los “Elementos funcionales y didácticos” ........................................... 6

1.1.1.4.3. Acerca de la “Conceptualización y planteamiento de ejercicios” ........................ 7

1.1.1.5. ¿Cuál es el problema o debilidad? ............................................................................... 7

1.1.2. Análisis Crítico. .................................................................................................................. 7

1.1.2.1. Causas – Consecuencias .............................................................................................. 8

1.1.3. Prognosis ............................................................................................................................ 9

1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ................................................................................................ 10

vii

1.3. PREGUNTAS DIRECTRICES. ........................................................................................................ 10

1.4. OBJETIVOS. ............................................................................................................................... 11

1.4.1. Objetivo General. ............................................................................................................ 11

1.4.2. Objetivos específicos. ....................................................................................................... 11

1.5. JUSTIFICACIÓN.......................................................................................................................... 11

CAPÍTULO II. .................................................................................................................................... 13

2. MARCO TEÓRICO. ....................................................................................................................... 13

2.1. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA ............................................................................................... 13

2.2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA .................................................................................................... 17

2.2.1. Paradigma ......................................................................................................................... 17

2.2.1.1. Paradigma educativo ................................................................................................. 17

2.2.1.1.1. Tipos de Paradigmas Educativos ........................................................................ 18

2.2.1.1.1.1. Paradigma Conductista ................................................................................ 18

2.2.1.1.1.2. Paradigma Humanista ................................................................................. 19

2.2.1.1.1.3. Paradigma Cognitivo ................................................................................... 19

2.2.1.1.1.4. Paradigma Psicogenético constructivista .................................................... 20

2.2.1.1.1.5. Paradigma Sociocultural ............................................................................. 20

2.2.2. Modelos Pedagógicos ....................................................................................................... 21

2.2.2.1. Clasificación de los modelos pedagógicos según De Zubiria Samper ...................... 21

2.2.2.1.1. Modelo Heteroestructurante ............................................................................... 22

2.2.2.1.2. Modelo Autoestructurante .................................................................................. 22

2.2.2.1.3. Modelo Interestructurante .................................................................................. 23

2.2.3. Teorías del Aprendizaje ................................................................................................... 24

2.2.3.1. Tipos de teorías del aprendizaje ................................................................................ 24

2.2.3.1.1. Teoría cognitivista .............................................................................................. 25

2.2.3.1.2. Teoría Sociocultural ........................................................................................... 25

2.2.3.1.3. Teoría Constructivista ........................................................................................ 26

2.2.4. Método Pedagógico ........................................................................................................ 26

2.2.5. Método Didáctico ............................................................................................................ 27

2.2.6. Proceso Didáctico ........................................................................................................... 27

2.2.7 Estrategias didácticas ...................................................................................................... 28

viii

2.2.7.1 Clasificación de estrategias didácticas ....................................................................... 28

2.2.8 Técnicas didácticas ............................................................................................................ 30

2.2.8.1 Clasificación de técnicas didácticas ........................................................................... 31

2.2.9 Textos Escritos .................................................................................................................. 32

2.2.9.1 Clasificación de textos escritos .................................................................................. 33

2.2.9.1.1 Texto único .......................................................................................................... 34

2.2.9.1.2 Texto de consulta ................................................................................................ 34

2.2.9.1.3 Texto complementario ......................................................................................... 34

2.2.9.2 Objetivo de los textos escritos. ................................................................................... 35

2.2.9.3 Características de los textos escritos. ......................................................................... 36

2.3. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS BÁSICOS. ......................................................................................... 36

2.4. FUNDAMENTACIÓN LEGAL. ....................................................................................................... 38

2.4.1. Constitución de la República del Ecuador. ...................................................................... 38

2.4.2. Ley Orgánica de Educación Intercultural LOEI .............................................................. 38

2.4.3. Reglamento general a la ley orgánica de educación intercultural RLOEI ....................... 39

2.5. CARACTERIZACIÓN DE VARIABLES. .......................................................................................... 40

2.5.1 Variable única ................................................................................................................... 40

2.5.2 Dimensiones ...................................................................................................................... 41

CAPÍTULO III .................................................................................................................................... 43

3. METODOLOGÍA ........................................................................................................................... 43

3.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN. ................................................................................................ 43

3.1.1. Enfoques de la investigación ............................................................................................ 43

3.1.1.1. Enfoque cualitativo ................................................................................................... 43

3.1.1.2. Enfoque cuantitativo ................................................................................................. 44

3.1.1.3. Enfoque mixto ........................................................................................................... 44

3.1.2. Modalidad de la investigación .......................................................................................... 45

3.1.2.1. Proyecto factible ........................................................................................................ 45

3.1.3. Nivel de la investigación .................................................................................................. 46

3.1.3.1. Nivel Exploratorio ..................................................................................................... 46

3.1.3.2. Nivel Descriptivo ...................................................................................................... 46

3.1.3.3. Nivel Evaluativo ........................................................................................................ 46

ix

3.1.3.4. Nivel Proyectivo ........................................................................................................ 47

3.1.4. Tipos de investigación ...................................................................................................... 47

3.1.4.1. Investigación Documental ......................................................................................... 47

3.1.4.2. Investigación De campo ............................................................................................ 48

3.1.5. Procedimiento del desarrollo del proyecto de investigación ............................................ 48

3.2. POBLACIÓN Y MUESTRA. .......................................................................................................... 49

3.2.1 Población ........................................................................................................................... 49

3.2.2 Muestra .............................................................................................................................. 49

3.3. OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES. .............................................................................. 49

3.4. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS. ........................................................ 51

3.4.1 Técnicas de recolección de datos. ..................................................................................... 51

3.4.1.1 La Encuesta ................................................................................................................ 52

3.4.2 Instrumentos de recolección de datos. ............................................................................... 52

3.4.2.1 Escala de medición. .................................................................................................... 52

3.5. VALIDEZ Y CONFIABILIDAD DE LOS INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN. ........ 53

3.5.1. Validez de criterio ............................................................................................................ 53

3.5.2. Confiabilidad .................................................................................................................... 54

3.5.2.1 Confiabilidad del instrumento. Método 1 .................................................................. 55

3.5.2.2 Confiabilidad del instrumento. Método 2 .................................................................. 56

3.5.3. Interpretación de los niveles de confiabilidad .................................................................. 56

CAPÍTULO IV .................................................................................................................................... 58

4. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS............................................................... 58

4.1. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE LOS INSTRUMENTOS APLICADOS ..................................................... 58

4.1.1. Dimensión. Arte y diseño ................................................................................................. 59

4.1.2. Dimensión. Organización del contenido .......................................................................... 61

4.1.3. Dimensión. Elementos funcionales .................................................................................. 63

4.1.4. Dimensión. Elementos didácticos .................................................................................... 65

4.1.5. Dimensión. Redacción ..................................................................................................... 66

4.1.6. Dimensión. Ejercicios y cuestionarios ............................................................................ 68

4.2. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN GENERAL DE LAS DIMENSIONES. ................................................. 70

x

CAPÍTULO V ..................................................................................................................................... 73

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .............................................................................. 73

5.1 CONCLUSIONES ......................................................................................................................... 73

5.2 RECOMENDACIONES .................................................................................................................. 74

CAPÍTULO VI .................................................................................................................................... 76

6. PROPUESTA .................................................................................................................................. 76

6.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 76

6.2 JUSTIFICACIÓN........................................................................................................................... 76

6.3 OBJETIVO .................................................................................................................................. 77

6.3.1 Objetivo general ................................................................................................................ 77

6.3.2 Objetivos específicos ......................................................................................................... 78

6.4 MARCO REFERENCIAL ............................................................................................................... 78

6.4.1. Validación del instrumento. ............................................................................................. 79

6.4.2. Confiabilidad del instrumento de factibilidad .................................................................. 79

6.5. CARACTERÍSTICAS DE LA CAPACITACIÓN ................................................................................. 80

6.6. FACTIBILIDAD .......................................................................................................................... 82

6.6.1. Análisis e interpretación de resultados ............................................................................. 83

6.6.2. Factibilidad general. ......................................................................................................... 86

6.7. CAPACITACIÓN ......................................................................................................................... 87

6.7.1 Modelo de trabajo .............................................................................................................. 87

6.7.2 Recursos ............................................................................................................................ 87

6.7.3 Cronograma ....................................................................................................................... 88

6.7.4 Evaluación ......................................................................................................................... 89

6.8 PROPUESTA LIBRO ..................................................................................................................... 89

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................ 90

ANEXOS............................................................................................................................................. 94

xi

LISTA DE TABLAS

Tabla N° 01. Matriz de operacionalización de variables. .................................................................. 50

Tabla N° 02. Escala Estimativa. ......................................................................................................... 53

Tabla N° 03. Validación del instrumento de recolección de datos por parte de expertos. ................. 54

Tabla N° 04. Escala de Confiabilidad. ............................................................................................... 56

Tabla N° 05. Equivalencia porcentual de la escala estimativa. .......................................................... 59

Tabla N° 06. Importancia de la dimensión: Arte y diseño, por parte de los docentes. ...................... 59

Tabla N° 07. Importancia de la dimensión: Organización del contenido, por parte de los docentes. 61

Tabla N° 08. Importancia de la dimensión: Elementos funcionales, por parte de los docentes. ....... 63

Tabla N° 09. Importancia de la dimensión: Elementos didácticos, por parte de los docentes. .......... 65

Tabla N° 10. Importancia de la dimensión: Redacción, por parte de los docentes. ........................... 67

Tabla N° 11. Importancia de la dimensión: Ejercicios y cuestionarios, por parte de los docentes. .. 69

Tabla N° 12. Importancia general de las dimensiones analizadas. .................................................... 71

Tabla N° 13. Validación del instrumento de factibilidad por parte del experto................................. 79

Tabla N° 14. Interpretación de resultados de instrumentos de factibilidad. ...................................... 82

Tabla N° 15. Factibilidad de los factores humanos. ........................................................................... 83

Tabla N° 16. Factibilidad de los factores sociales. ............................................................................ 84

Tabla N° 17. Factibilidad de los factores legales. .............................................................................. 85

Tabla N° 18. Factibilidad general de la capacitación. ........................................................................ 86

Tabla N° 19. Seminario de casos de factorización. Semana 1. .......................................................... 88

Tabla N° 20. Seminario de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Semana 2. .................... 88

xii

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico N° 01. Valores de la distribución porcentual de los indicadores en la dimensión Arte y diseño.

............................................................................................................................................................ 60

Gráfico N° 02. Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Organización

del contenido. ..................................................................................................................................... 62

Gráfico N° 03. Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Elementos

funcionales. ........................................................................................................................................ 64

Gráfico N° 04. Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Elementos

didácticos. ........................................................................................................................................... 66

Gráfico N° 05. Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Redacción.

............................................................................................................................................................ 68

Gráfico N° 06. Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Ejercicios y

cuestionarios. ...................................................................................................................................... 70

Gráfico N° 07. Valores porcentuales de la importancia general de las dimensiones. ........................ 72

xiii

LISTA DE ILUSTRACIONES

Ilustración N° 01. Causas y consecuencias .......................................................................................... 8

Ilustración N° 02. Tipos de Paradigmas Educativos .......................................................................... 18

Ilustración N° 03. Modelos Pedagógicos. .......................................................................................... 21

Ilustración N° 04. Modelo Heteroestructurante. ................................................................................ 22

Ilustración N° 05. Modelo Autoestructurante. ................................................................................... 23

Ilustración N° 06. Modelo Interestructurante. .................................................................................... 23

Ilustración N° 07. Teorías del aprendizaje. ........................................................................................ 24

Ilustración N° 08. Etapas del Desarrollo de Piaget. ........................................................................... 25

Ilustración N° 09. Principios del Método Didáctico. ......................................................................... 27

Ilustración N° 10. Estrategias Didácticas. .......................................................................................... 29

Ilustración N° 11. Técnicas Didácticas. ............................................................................................. 32

Ilustración N° 12. Clasificación de textos escritos. ............................................................................ 33

Ilustración N° 13. Diseño de la Investigación. ................................................................................... 43

xiv

LISTA DE ANEXOS

Anexo N° 01: Instrumento de recolección de datos (Escala estimativa) ........................................... 94

Anexo N° 02: Cálculo del “Alfa de Cronbach” de la escala estimativa. ........................................... 96

Anexo N° 03: Validación de instrumentos de recolección de datos por parte de expertos. ............... 97

Anexo N° 04: Instrumento para determinar la Factibilidad. ............................................................ 106

Anexo N° 05: Calculo del “Alfa de Cronbach” para la factibilidad. ............................................... 108

Anexo N° 06: Validación de instrumentos para determinar la factibilidad. .................................... 109

Anexo N° 07: Matriz de evaluación para la capacitación. ............................................................... 112

Anexo N° 08. Validación de la Propuesta - Texto "factorización y ecuaciones". ........................... 114

Anexo N° 09: Libro de texto “Factorización y Ecuaciones”. .......................................................... 116

xv

TÍTULO: Propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3: Factorización y ecuaciones,

desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de

Educación, quinta impresión junio del 2018.

Autor: Bryan Mauricio Bahamonde Mendoza

Tutor: MSc. Paco Humberto Bastidas Romo

RESUMEN

La presente investigación pretende analizar y determinar las carencias del texto de matemática de 9no

EGB elaborado por el Ministerio de Educación, principalmente en la unidad 3 “factorización y

ecuaciones” por tal motivo, se analizó varias investigaciones similares que aportaron al contexto del

problema, donde se reconoció la necesidad de actualizar y corregir los textos educativos en sus

diferentes dimensiones. Por consiguiente, se fundamenta una metodología cuantitativa con modalidad

de proyecto factible, enfocado en la elaboración de la propuesta metodológica, la cual se proyecta

como un texto complementario en la enseñanza de matemáticas. Al mismo tiempo, se utilizó la técnica

de encuesta. Ésta fue validada por dos docentes de Matemática y un docente de Lenguaje. En cuanto

al instrumento aplicado, es una escala estimativa dirigida a diversos docentes de instituciones

educativas. Posteriormente, los resultados fueron analizados y tabulados mediante tablas de frecuencia

y representados por gráficos de barras. Asimismo, los resultados ayudaron a responder las preguntas

directrices y redactar las conclusiones. Finalmente, la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”,

desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, publicado por el Ministerio de

Educación - Quinta impresión junio del 2018, presenta sus mayores carencias en el uso de

organizadores gráficos, técnicas de estudio, técnicas audiovisuales y el tipo de vocabulario para la

comprensión de los jóvenes estudiantes. Con respecto a la propuesta, está elaborada detalladamente

en cada título. Además, añade un plan de capacitación para su correcto empleo en instituciones

educativas.

PALABRAS CLAVE: PROPUESTA / METODOLOGÍA / TEXTO / FACTORIZACIÓN /

ECUACIONES / PROBLEMAS DE ECUACIONES

xvi

TITLE: Methodological proposal for Unit 3 instruction: “Factorization and equations”, developed in

the Mathematics text for the 9th year of EGB, and published by the Ministry of Education - Fifth

printing June 2018

Author: Bryan Mauricio Bahamonde Mendoza

Tutor: MSc. Paco Humberto Bastidas Romo

ABSTRACT

This research aims to analyze and determine the shortcomings of the 9th EGB mathematics text

prepared by the Ministry of Education, mainly in unit 3 "factoring and equations", in the same way

several similar investigations that contributed to the context of the problem were analyzed, where the

need to update and correct educational texts in their different dimensions was recognized.

Consequently, a quantitative methodology is based on a feasible project modality focused on the

elaboration of the methodological proposal, which is projected as a complementary text in the teaching

of mathematics. For this purpose, the survey technique was used, which was validated by two

mathematics teachers and one language teacher, the applied instrument is an estimating scale directed

at various teachers from educational institutions. These results were analyzed and tabulated using

frequency tables and represented using bar graphs. These results helped answer the guiding questions

and write the conclusions. In conclusion, unit 3: “Factorization and equations”, developed in the

Mathematics text for the 9th year of EGB, and published by the Ministry of Education - Fifth printing

June 2018, presents its greatest shortcomings in the use of graphic organizers, study techniques,

audiovisual techniques and the type of vocabulary used for the understanding of young students.

Regarding the proposal, it is elaborated in detail in each title and also adds a training plan for its

correct use in educational institutions.

KEYWORDS: PROPOSAL / METHODOLOGICAL / TEXT / FACTORIZATION / EQUATIONS

/ EQUATIONS PROBLEMS

TRANSLATION CERTIFICATE

I ALEJANDRO MONTENEGRO with C.C. 1720196953 English translator with B1 level certify

that the above is a faithful and complete translation into English of the summary present in the

document written in Spanish. Quito, November 11, 2020

1

INTRODUCCIÓN

Los textos educativos proporcionados por el Ministerio de Educación son de gran ayuda para docentes

y estudiantes en todas las instituciones de educación a nivel nacional, los diferentes textos están

fundamentados para cumplir con las disposiciones del curriculum nacional y así mismo con el perfil

de salida del bachillerato, lo que produce que los contenidos a impartirse en las aulas lleguen a ser

extensos, provocando que se recurra a saltarse de ciertos contenidos, a sacrificar elementos

importantes de la calidad técnico pedagógica como son recurso de retro alimentación, técnicas de

aprendizaje además de métodos y estrategias de enseñanza, incluso en la redacción se evidencias fallas

en calidad textual como las terminologías, simbologías y contenido científico.

Por lo expuesto, el propósito de esta investigación es proporcionar a docentes, estudiantes, padres de

familia e instituciones en general un texto que ayude como apoyo en el proceso de enseñanza

aprendizaje, específicamente para la unidad 3 “factorización y ecuaciones” desarrollada en el texto de

9no EGB, publicado por el Ministerio de Educación. Este texto resulta un complemento donde poder

consultar y resolver dudas que pudieron haber quedado en el aula de clase. Así mismo se pretende que

el texto funcione como referencia para posteriores actualizaciones de los textos educativos de

matemática para ello la investigación presenta la modalidad de proyecto factible al presentar una

propuesta viable en donde todo su contenido se desarrolla a lo largo de seis capítulos, los cuales

contienen:

El CAPÍTULO I, constituido por el problema de investigación, en donde se contextualiza las diversas

necesidades por las cuales se realiza la investigación, se presentan las preguntas directrices así como

los objetivos de investigación y la justificación que da forma y pie a continuar con el desarrollo del

siguiente capítulo.

El CAPÍTULO II, presenta el marco teórico, formado por los antecedentes de investigación necesarios

para formar una base donde apoyar las definiciones de paradigma educativo, modelo pedagógico y

teoría de aprendizaje. En este capítulo se empieza a abordar los elementos necesarios que debe

contener un texto educativo y llegar a establecer las dimensiones para analizar el texto en cuestión.

El CAPÍTULO III, expone la metodología utilizada en el desarrollo de la investigación, la cual tiene

un diseño con un enfoque cuantitativo en la modalidad de proyecto factible y netamente proyectivo

2

por la elaboración de la propuesta. El capítulo especifica la población y muestra utilizada, también

incluye las técnicas de recolección de datos con su respectiva validez y confiabilidad, además

determina la matriz de caracterización de variables.

El CAPÍTULO IV, contiene el análisis e interpretación de los resultados, una vez aplicados los

instrumentos de recolección de datos, estos datos proporcionados por diferentes docentes están

representados mediante gráficos de barras que simboliza el porcentaje de pertinencia en que aparecen

las dimensiones analizadas.

El CAPÍTULO V, establece las conclusiones y recomendaciones a las cuales se ha llegado, en la

ejecución de la investigación, presenta una muestra clara y resumida de los resultados de la

investigación.

Posteriormente, el CAPÍTULO VI, presenta los lineamientos generales de la propuesta, una aclaración

de los objetivos que esta conlleva, además incluye un cuadro de jornadas de acompañamiento para

mejorar el uso del texto factorización y ecuaciones.

Finalmente se adiciona la bibliografía, anexos y evidencias de la elaboración del trabajo de

investigación, el cual se visualiza, en la propuesta, como un poyo no solo para docentes y estudiantes,

sino de toda persona que le apasione la educación y las matemáticas para que con ello pueda comenzar

y/o continuar su camino en un apasionante viaje de conocimiento.

3

CAPÍTULO I

EL PROBLEMA

1.1. Planteamiento del problema

1.1.1. Contextualización histórico – social

1.1.1.1. Necesidades de la educación contemporánea

La presente investigación se basa en el análisis de los textos del Ministerio de Educación,

principalmente el texto de 9° de EGB, en su importancia para el proceso de enseñanza-aprendizaje,

así lo declara Cantoral (2001) declara: “El libro de texto desempeña un papel prioritario en nuestros

sistemas de enseñanza. Lo concebimos como un objeto de representaciones en torno al cual se

organiza toda una estructura imaginaria de saberes didácticos” (p. 18).

De acuerdo con García Blanco (2005) menciona: “los textos comerciales brindan mayor

cantidad de material, actividades y temas concretos para desarrollar, que los textos de matemáticas,

donde los docentes muchas veces realizan modificaciones de las lecciones y los contenidos” (p. 12).

Para Torres & Moreno (2008) afirman:

Se convierte entonces el texto en objeto de investigación y reflexión permanente por parte de

investigadores y educadores, pues son diversas las causas que inciden en el aprendizaje de un

área: la falta de herramientas de investigación, el poco interés en el campo del conocimiento

estudiado, limitaciones culturales como el idioma, las diferencias religiosas, la poca

pertinencia de los textos escolares con las políticas educativas actuales (p. 55).

4

Por lo expuesto, se evidencia qué la utilización de libros de texto es completamente necesaria

para la formación del estudiante, los textos que proporcionan las instituciones educativas, en este caso

los textos del Ministerio de Educación, no se adaptan a la realidad de los procesos didácticos utilizados

dentro y fuera de las aulas, es por ello por lo que tanto docentes y alumnos buscan respaldar los

conocimientos con material externo.

1.1.1.2. Necesidad de la formación del docente

En muchos aspectos la formación docente es muy necesaria, no solo en el conocimiento de la

materia y la pedagogía utilizada, también es importante utilizar de manera correcta los diferentes

materiales proporcionados por las instituciones educativas o el Ministerio de Educación, del mismo

modo en el uso de textos externos donde se pueda buscar recursos, ejemplos y ejercicios. Según

Rodríguez (2014) da a conocer “que el texto escolar lo construye el docente según las necesidades

que detecta en sus grupos, de manera que recurren a múltiples textos donde seleccionan lo que interesa

y lo que se requiere para las necesidades de sus grupos” (p. 240). Fundamentando el contexto de la

presente investigación para lograr la construcción y utilización adecuada de textos educativos, así de

acuerdo con Llivina Lavigne (2011) indica: “Acompañar las propuestas de innovación y reforma

curriculares con materiales desarrollados en torno a propuestas didácticas y textos” (p. 17).

Para Camargo (2008) menciona:

La centralidad de la educación y el conocimiento para promover el desarrollo de las naciones

en el marco de la moderna ciudadanía y de la competitividad internacional coloca a los

maestros en un puesto privilegiado, como actores sociales eje de la producción material y

cultural de la sociedad. La educación, por su parte, está llamada a responder con calidad al

reto de modernizar la sociedad y construir una nación justa y democrática. Una mayor y mejor

concentración del sistema educativo y de la actuación de los educadores en la construcción de

la modernidad y la democracia y en la apropiación de saberes pertinentes a nuestro modelo de

desarrollo significa un incremento en la calidad de la educación (p. 8).

De acuerdo con Fonseca Castro & Castillo Sánchez (2013) afirman: “El docente de

Matemática debe desarrollar, además, conocimientos que le permitan entender el orden lógico de los

contenidos matemáticos según la percepción de los matemáticos puros y acorde con los libros de texto

5

y planes de estudios” (p. 5). De este modo al momento de la formación docente, el texto utilizado

tiene una importancia permanente, como herramienta utilizada en la educación de sus alumnos, por

ello la prioridad de usar textos con contenido pedagógico, con ejercicios al nivel adecuado para

docentes y estudiantes y más que todo con estrategias didácticas y la materia correctamente redactada.

1.1.1.3. Necesidad para la enseñanza de matemática

El modelo de enseñanza tiene muchos aspectos relevantes a tratar, pero entre todos ellos el

texto es uno de los más importantes, siempre que estos textos mantengan una relación uniforme con

los perfiles de salida del bachillerato. Así lo plantea Rodríguez (2014):

El desarrollo de criterios en torno a contenidos de libros escolares que apuntan o no al

desarrollo de las competencias matemáticas, así como de las acciones complementarias que

son necesarias de realizar para que a través de dichos contenidos se puedan desarrollar otras

competencias, como la argumentación y la comunicación matemática (p. 65)

Mientras Fernández Palop et al. (2017) analizan:

Se precisa mayor investigación sobre el libro de texto, en particular, sobre el libro de texto de

matemáticas, para identificar si se ajusta o no a lo que dicta la matemática, esto es, si contiene

o no errores matemáticos, y qué tipo de error contiene, su tipología, ubicación, y posibles

repercusiones en la didáctica del profesorado, en los aprendizajes de nuestros alumnos, y en

los resultados de los estudiantes (p.212).

Y de acuerdo con Velásquez Aponte & López Díaz (2015) manifiestan:

Los docentes buscan en los textos escolares las fórmulas y el paso a paso para llegar a ellas.

Transmitir este proceso a los estudiantes o hacerlos llegar a estos resultados permiten el

desarrollo de las competencias de razonamiento y modelación, lo que genera en los educandos

interés y hace que dejen de ver la matemática como un proceso mecánico (p.190).

Por todo lo expuesto los textos de matemáticas son la primera herramienta que los estudiantes

y los docentes poseen para buscar y adquirir conocimiento, por este motivo los textos deben estar al

6

nivel necesario para ser interpretados y utilizados, lo que conlleva un desarrollo constante de nuevos

textos en donde es imprescindible corregir los errores y proponer nuevas y/o mejores maneras de

resolver ejercicios con problemas matemáticos que presenten un contexto de la vida real.

1.1.1.4. Análisis documental.

En una revisión de la Unidad 3 del texto de 9no EGB del Ministerio de Educación. Se ha

encontrado varios errores recurrentes en la organización del contenido, elementos didácticos,

elementos funcionales y esencialmente en ejercicios resueltos y planteados, esta revisión fue realizada

por el investigador y profesionales, profesores de matemáticas que trabajan en instituciones

educativas y tiene experiencia utilizando los textos del Ministerio de Educación, obteniendo una

síntesis de los mayores problemas que presentan dichos textos.

1.1.1.4.1. Acerca de la “Organización del contenido”

Los contenidos presentes en la unidad no contribuyen en su totalidad al desarrollo de los temas,

esto por motivos estéticos, funcionales y científicos, se encontró que los contenidos, aun que guardan

una relación lógica, no presentan coherencia con los ejercicios planteados como trabajo autónomo

únicamente aportan una idea intuitiva de lo que el estudiante debe realizar. Además el texto carece de

objetivos claros para desarrollar cada tema de la unidad, esto influye directamente en la estructura de

los contenidos y a su vez en la secuenciación, la cual dificulta la comprensión de los contenidos.

Convirtiendo a la unidad en un collage de texto e ilustraciones, que solo llega a confundir, muchas

veces, a los estudiantes.

1.1.1.4.2. Acerca de los “Elementos funcionales y didácticos”

El análisis de la unidad muestra que, el texto carece de la simbología matemática

estandarizada, además de una aclaración acerca de lo que se considera como constantes y variables al

momento de resolver ejercicios, causando confusión en las diferentes formas de notación y

principalmente en estructura de los problemas y su forma de resolver, así también los elementos

didácticos presentes son escasos, principalmente los organizadores gráficos, como: diagramas de

flujo, mentefactos, mapas mentales, entre otros. Que proporcionan un recurso de retroalimentación al

7

estudiante. La unidad también presenta un déficit en técnicas audiovisuales que aporten con el

desarrollo de los temas y muestren una realidad donde se pueden utilizar los conocimientos adquiridos.

1.1.1.4.3. Acerca de la “Conceptualización y planteamiento de ejercicios”

Los errores encontrados en la secuencia de las definiciones, teoremas y procedimientos,

muestras un fraccionamiento en los conceptos matemáticos utilizados, provocando un desfase en el

modelo de aprendizaje, también los ejercicios resueltos, que presenta a manera de ejemplo, no cubren

la miscelánea de ejercicios propuestos, los cuales llegan a ser demasiado extenso, en cantidad y

dificultad, para ser resueltos en los tiempos establecidos para tareas en casa, esto a comparación con

los ejercicios planteados y resueltos en clase.

1.1.1.5. ¿Cuál es el problema o debilidad?

De acuerdo con varios autores como (Torres & Moreno, 2008), (Á. Rodríguez, 2014),

(Fernández Palop et al., 2017) entre otros y después de analizar el texto de matemáticas del 9no EGB.

Se muestra la necesidad de mejorar los textos del estudiante y de fomentar un desarrollo progresivo

de nuevos textos elaborados por los docentes para utilizar como material de apoyo al libro de texto.

Mientras al realizar el análisis de la Unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto

de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación se encontró

varios errores muy importantes en las definiciones, organizadores gráficos y en ejercicios resueltos y

planteados. Lo cual afecta el proceso de enseñanza – aprendizaje y produce un desinterés donde el

profesor y el estudiante buscan otros textos o recursos donde encontrar más ejemplos y/o ejercicios

resueltos que ayuden a fortalecer sus conocimientos.

1.1.2. Análisis Crítico.

En el análisis del texto de matemáticas, específicamente en la unidad 3: “Factorización y

ecuaciones”, para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación. Se encuentran

errores recurrentes al momento de interpretar las definiciones, redactar los objetivos, realizar

organizadores gráficos, resolver y plantear ejercicios, estos errores influyen directamente en el

estudiante quien comienza su educación, fundamental en las bases del álgebra de polinomios en dicha

8

unidad, llevándolo a cometer los mismos errores al momento de elaborar sus tareas y rendir sus

exámenes.

De manera paralela afecta al profesor quien muchas veces tiene que recurrir a otros textos para

complementar los planes de clase, afecta también a los padres de familia quienes buscan dar una

educación de excelencia a sus representados los cuales para mejorar su rendimiento tienen que asistir

a recuperación pedagógica para poder ayudar con retroalimentaciones de la materia pero causando un

agotamiento mayor tanto en maestros como en alumnos, conformemente afecta al rendimiento general

de la institución educativa, a su prestigio y al nivel del perfil de salida de los bachilleres. Son

estudiantes con vacíos presentes en cada promoción por los años escolares e incluso al momento de

ingresar a una institución de nivel superior.

Los aspectos mencionados no son nuevos y no se presentan únicamente en el tema de análisis,

los textos que utilizan las instituciones públicas, presentan un gran aporte para el desarrollo de la

calidad educativa moderna, ayudando a que más jóvenes puedan escolarizarse, sin embargo esto no

justifica que dichos textos presenten un conjunto de problemas a ser solucionados, los textos gratuitos

otorgados y utilizados por las instituciones educativas, han mostrado fallas en su contenido científico

y metodológico. Por lo que se propone que esta investigación aporte con el desarrollo de textos donde

se evidencie un continuo mejoramiento y se corrijan las irregularidades del contenido.

1.1.2.1. Causas – Consecuencias

Ilustración N° 01.

Causas y consecuencias de la implementación de la propuesta.

Fuente: análisis documental

Elaborado por: Bahamonde M. Bryan M. (investigador)

Mejoramiento continuo de los

textos de matemáticas

Mejoramiento de la calidad eduactiva

Mejores bachilleres con

mejores oportunidades.

9

El mejoramiento continuo de los textos de matemáticas es un proceso extenso en donde cada

docente está involucrado, para de esta manera ayudará a toda la comunidad educativa, a los

estudiantes y su enfoquen en adquirir los conocimientos necesarios para su promoción para que los

representantes no busquen otros medios de apoyo o nivelación para su representado y contribuirá a

mejorar la calidad de la educación dentro y fuera de las aulas, por lo tanto este trabajo pretende el

desarrollo de nuevos textos que complementen la información del texto de matemáticas del Ministerio

de Educación.

1.1.3. Prognosis

Si se continúa con la utilización de los textos de matemáticas actuales, los cuales muestran

deficiencias en los aspectos importantes de enseñanza – aprendizaje, la comunidad educativa seguirá

presentando deficiencias en su educación básica, en consecuencia se formara personas de bajos

recursos intelectuales para los niveles de educación superiores, donde se presentar un reto en los

conocimientos adquiridos en el nivel medio, en conjunto con problemas para obtener un cupo en la

institución y carrera de tercer nivel debido a puntajes insatisfactorios en el examen de ingreso.

De acuerdo con M. E. Rodríguez, (1997) afirma:

Por mucho tiempo la obra cumbre de Euclides, Los Elementos de Euclides fueron los textos

utilizados para enseñar matemática durante 23 siglos, pero que muchos estudiantes desistieron

por las exigencias de dichos contenidos metódicos, exclusivamente axiomáticos. Este tratado

escrito alrededor del año 300 a. de C., consta de temas de geometría, proporciones y teoría de

los números, ha sido la obra de vigencia más prolongada de la historia. Después de la Biblia

es el libro del cual se han hecho mayor número de impresiones. En medio de la grandeza de la

obra de Euclides, actualmente es considerado un terrible error pedagógico la utilización como

obra didáctica; pues dicha obra está dirigida exclusivamente a ideas de la creación de la

matemática. (p. 53).

Subsiguientemente los libros que se utilizan para la educación, deben ser actualizados

constantemente, tanto en la parte científica como en la parte pedagógica, teniendo en cuenta las

necesidades reales para construir un instrumento que sea accesible para todos los estudiantes y con

ello se logre alcanzar una educación de calidad desde los niveles más bajos hasta el final de la

10

escolarización gratuita, incluso yendo más allá para que todas aquellas personas de cualquier índole

que desee adquirir nuevos y actualizados conocimientos.

1.2. Formulación del problema

En consecuencia de lo mencionado en el planteamiento del problema, se evidencia la

necesidad de investigar acerca de la eficiencia que tienen los libros del Ministerio de Educación,

específicamente los libros de matemáticas, para a partir del análisis documental crear una propuesta

que complementará los contenidos y ayudará a docentes y estudiantes.

¿Cómo debe ser una propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3: “Factorización

y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el

Ministerio de Educación - Quinta impresión junio del 2018?

1.3. Preguntas directrices.

❖ ¿Qué metodología se debe utilizar para la enseñanza de la unidad 3: “Factorización y

ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por

el Ministerio de Educación - Quinta impresión junio del 2018?

❖ ¿Cuáles son los resultados acerca de la estructura del texto proporcionados por análisis de la

unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no

año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación - Quinta impresión junio del 2018?

❖ ¿Cómo se pueden mejorar la calidad técnico – pedagógica de la unidad 3: “Factorización y


el Ministerio de Educación - Quinta impresión junio del 2018?

❖ ¿Cuál es la factibilidad para realizar jornadas académicas de acompañamiento en el uso de la

propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”,

desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio

de Educación - Quinta impresión junio del 2018?

11

1.4. Objetivos.

1.4.1. Objetivo General.

Elaborar una propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3: “Factorización y

ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el

Ministerio de Educación - Quinta impresión junio del 2018.

1.4.2. Objetivos específicos.

▪ Identificar las carencias metodológicas en la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”,

desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio

de Educación - Quinta impresión junio del 2018. En la enseñanza de matemáticas.

▪ Determinar una metodología adecuada a las condiciones de los estudiantes para la enseñanza

de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el

9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación - Quinta impresión junio del

2018.

▪ Establecer la factibilidad para la realización de jornadas académicas de acompañamiento en el

uso de la propuesta metodológica en la enseñanza de la unidad 3: “Factorización y


el Ministerio de Educación - Quinta impresión junio del 2018.

1.5. Justificación

Una vez expresada la problemática en la que se encuentra involucrado el libro de matemáticas

de 9no EGB, en específico en la unidad 3 “factorización y ecuaciones”, se justifica el interés de

investigar y crear una propuesta que ayude con las metodologías utilizadas en dicho texto.

Consiguiente, al encontrar una escasa cantidad de investigaciones previas, se considera que la presente

investigación aportara con la actualización y mejoramiento de textos utilizados en las aulas de clase

para más objetivos que solo transmitir conocimientos.

12

Así lo afirma Mora, (2012).

El libro de texto se convierte en el complemento indispensable de una buena educación, puesto

que no sólo permite el trabajo independiente y autónomo de los/as estudiantes, sino que también

democratiza y estandariza, respetando siempre las diferencias individuales, el conocimiento y las

diferentes formas de lograr altos niveles de comprensión y transformación del sujeto, por un lado,

y de lo sociopolítico, por el otro. (p. 45).

Al investigar acerca de la elaboración de una propuesta en base a textos educativos

proporciona datos importantes acerca de la estructura, los tipos de ejercicios, los recursos didácticos,

la metodología, las técnicas de estudio y las evaluaciones. Datos que servirán en el desarrollo de la

propuesta de la investigación y en futuras investigaciones relacionadas, así, el resultado de la

investigación beneficia a toda la sociedad educativa, ayudando a corregir, actualizar y mejorar los

contenidos del instrumento principal en el proceso enseñanza - aprendizaje al momento de desarrollar

e impartir conocimientos a cada estudiante.

Por esto, el texto creado como propuesta para esta investigación pretende ayudar en el ámbito

educativo para mejorar la calidad técnico-pedagógica en la enseñanza de “factorización y ecuaciones”.

Mientras el planteamiento del problema determina que, la institución responsable en la elaboración

de textos es el Ministerio de Educación, quien dispone que docentes y estudiantes utilicen dichos

textos como material principal, muchas veces dejando de lado textos que pueden ayudar al momento

de reforzar conocimientos.

Así la razón de la propuesta, la visualiza como un texto de ayuda en la actualización de los

textos educativos de matemáticas entregados por el ministerio de educación. Además la constante

actualización en general beneficiara a todos los actores de la educación en el país, a las instituciones

educativas a mejorar su prestigio y por ende mejora la calidad educativa del país. Entonces es factible

crear una propuesta metodológica que sea relevante, con interés profesional y de carácter educativo,

debido a que se dispone de los recursos y conocimientos para crear un texto diferente y novedoso que

sea capaz de cumplir con los estándares planteados a lo largo de esta investigación y genere un

material de calidad que llegue a los lectores.

13

CAPÍTULO II.

2. MARCO TEÓRICO.

2.1. Antecedentes del problema

Antecedente 1.

El título de la Investigación: ANÁLISIS DE LA CALIDAD Y FUNCIONALIDAD DEL TEXTO

ESCOLAR OFICIAL DEL PRIMER AÑO DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA EDICIÓN 2010.

Autor: Tubón Barrionuevo Fanny Cecilia

Lugar y año de ejecución: Ambato – Ecuador, Mayo 2015

Metodología aplicada: analítica, descriptiva y comparativa

Conclusiones:

▪ No se considera la relevancia de los componentes de los aprendizajes y el desarrollo de las

destrezas con criterio de desempeño que con parte de la actualización y fortalecimiento

curricular del 2010.

▪ Contenidos aglomerados, experiencias poco significativos, temas sin conexiones lógicas,

poca continuidad en el grado de dificultad en actividades, entre otras carencias que no

aportan a su articulación con los niveles de educación inicial, lo que ha conllevado a un

deficiente desarrollo integral del niño (a) en su ingreso en los procesos de alfabetización.

▪ El texto limita el desarrollo de destrezas y habilidades propias de la edad

14

Antecedente 2.

El título de la Investigación: USO DE LOS LIBROS DE TEXTO DE MATEMÁTICAS EN EL

PROCESO DE ENSEÑANZA: UN ANÁLISIS DE CASOS COMPARADO

Autor: Cárcamo Donaldo

Lugar y año de ejecución: Tegucigalpa, M. D. C., Junio 2012

Metodología aplicada: investigación cualitativa

Conclusiones:

▪ El uso de libros de texto le da mayor dinámica a las clases y alta participación y actividad a

los alumnos y alumnas, prestándoles a las docentes un servicio educativo que ellas necesitan

porque actúan como un elemento organizador del proceso de enseñanza.

▪ Los libros de texto de matemática, especialmente la Guía para el Maestro, resulta para las

docentes ser muy amigable, especialmente para las que tienen mayor experiencia, ya que en

ellos encuentran una síntesis selectiva de los contenidos y una propuesta metodológica bien

definida que les ayuda para la planificación y desarrollar mejor su clase.

▪ Las docentes que utilizan los libros de texto, especialmente la Guía para el Maestro, en las

diferentes etapas del desarrollo de la clase, demuestran mayor seguridad y organización al

impartir la clase, se reduce la posibilidad de enseñar la equivocación o cometer el error en la

enseñanza de los contenidos, términos o conceptos matemáticos, observando un mejor

desempeño y rendimiento de los alumnos y alumnas.

15

Antecedente 3.

El título de la Investigación: MATERIAL DIDÁCTICO PARA LA ENSEÑANZA DE

FACTORIZACIÓN EN LOS DÉCIMOS AÑOS DE EDUCACIÓN BÁSICA DEL COLEGIO

NACIONAL “SAN PABLO”, DE LA PARROQUIA SAN PABLO DEL LAGO, CANTÓN

OTAVALO, PROVINCIA IMBABURA, EN EL PERIODO LECTIVO 2010-2011

Autor: Cruz Artos Javier Vinicio

Lugar y año de ejecución: Ibarra, julio 2011

Metodología aplicada: investigación de tipo descriptiva

Conclusiones:

▪ La aplicación de estrategias de aprendizaje en el desarrollo de la enseñanza-aprendizaje de

matemática, permitirá mejorar la asimilación de conocimientos con lo cual se espera alcanzar

un éxito total en los estudiantes porque se va a romper con el aprendizaje mecánico y sin

ninguna clase de motivación.

▪ Este tipo de acciones despertarán el interés de los educandos y su atención por aprender; siendo

estas respuestas hacia los estímulos por parte de los estudiantes en relación a los educadores,

lo que permite que el docente se siga preparando y actualizando acorde a los cambios y

comportamientos de la sociedad actual, sin perder su ética profesional.

▪ Durante el desarrollo de las actividades y construcción de los materiales didácticos los

estudiantes demuestran una actitud participativa, analítica, crítica en su propio aprendizaje,

logrando un razonamiento sobre los ejercicios que realizan y teniendo confianza en sí mismos

al desarrollar ejercicios planteados, evitando demoras innecesarias como en un principio.

16

Antecedente 4.

El título de la Investigación: APLICACIÓN DEL MÉTODO DE POLYA EN LA RESOLUCIÓN

DE PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA EN LOS

ESTUDIANTES EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA.

Autor: Morán Cac Gudiel Eduardo

Lugar y año de ejecución: San Juan Chamelco, Alta Verapaz, Febrero De 2018

Metodología aplicada: cuantitativa de diseño cuasi experimental

Conclusiones:

▪ Se concluye que no existe diferencia estadísticamente significativa del método de Pólya en la

resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en la pre prueba al comparar

el grupo control y experimental ya que se obtuvo una media de 51.94 y en el pre prueba del

grupo control la media es de 47.74, generando una diferencia de 4.20 puntos entre las medias,

por lo que se puede inferir que no existe una diferencia significativa entre ellas, en tal sentido

que se acepta la hipótesis nula.

▪ El método de Pólya influye como estrategia para resolución de problemas de ecuaciones

lineales con una incógnita en los estudiantes en el área de Matemática, ya que permite la

participación del alumno, favorece la discusión, fomenta el análisis crítico, el trabajo

cooperativo, la práctica de valores humanos y la comprensión, lo que promueve la

construcción y fortalecimiento del propio carácter, debido que el grupo experimental obtuvo

una media de 61.61 y el grupo control la media es de 52.90, mostrando una diferencia de 8.71

puntos entre las media.

▪ El método tradicional enfatiza la formación del carácter de los estudiantes para moldear a

través de la voluntad, la virtud, el rigor de la disciplina, el ideal humanista y ético, ya que los

conocimientos son transmitidos de forma vertical y son adquiridos con poco margen para los

estudiantes. Esto implica que el método tradicional es viable para la enseñanza pero no se logra

17

alcanzar las competencias deseadas, debido que se obtuvo en el grupo control una media de

47.74 en la pre prueba y en el post prueba la media es de 52.90.

▪ La utilización y enseñanza del método Pólya, como estrategia para resolución de problemas

de ecuaciones lineales con una incógnita en los estudiantes en el área de matemática permite

la participación del alumno, favorece la discusión, fomenta el análisis crítico, el trabajo

cooperativo, la práctica de valores humanos y la comprensión, lo que promueve la

construcción y fortalecimiento del propio carácter.

2.2. Fundamentación teórica

2.2.1. Paradigma

El paradigma es un principio que aporta en el desarrollo de la ciencia y el conocimiento puede

ser estudiado en el ámbito educativo para lograr el desarrollo de los modelos y técnicas de enseñanza,

así mismo conlleva un desarrollo de los materiales que se usan al momento de adquirí conocimiento.

Según Carbajosa, (2011) “Los paradigmas, en realidad, no tienen fronteras. Se trata más bien de

tradiciones académicas.” (p. 185).

2.2.1.1. Paradigma educativo

Al entrar en materia de educación se siguen muchos paradigmas que pueden ayudar al docente

para impartir su conocimiento, para llegar al estudiante y para evaluar su desempeño. Del mismo

modo los paradigmas del estudiante lo ayudan a comprender las ideas de un tema en específico

estudiando las leyes que gobiernan la naturaleza.

Por esto Carbajosa, (2011) expone que:

En la evaluación educativa, los problemas se plantean y resuelven desde la perspectiva de

alguno de los paradigmas principales o, dicho de otra manera, existen diversas formas de

abordar un objeto de evaluación, no obstante, todas ellas pueden caracterizarse según la forma

de concebir la ciencia (p. 184, 185).

18

En relación a lo expuesto por Carbajosa, un paradigma adecuado ayuda a resolver la manera

de enseñar y aprender, mejora la relación entre profesor - estudiante, estudiante – representante,

institución educativa y sociedad en general ayuda a mejorar la calidad de la educación del país, apoya

con la problemática situación de enseñanza, aportando con soluciones optimas y directas.

2.2.1.1.1. Tipos de Paradigmas Educativos

En el periodo de 1960 a 1980 puede verse un claro interés en la problemática educativa donde

ha sedimentado los componentes específicos que identifican con claridad cinco paradigmas

(Hernández Rojas, 1998)

Ilustración N° 02. Tipos de Paradigmas Educativos

Fuente: Paradigmas en psicología de la educación, Hernández Rojas, (1998)

Elaborado por: Bahamonde M. Bryan M. (investigador)

2.2.1.1.1.1. Paradigma Conductista

Para el conductismo el maestro es el programador que infunde el código de la materia en la

mente del alumno, el maestro es quien tiene el conocimiento del mundo y lo transmite mediante la

explicación magistral como si fuera un libro de instrucciones que el alumno debe repetir para lograr

la comprensión.

Tipos De Paradigmas Educativos

Conductista

Cognitivo

Humanista

Psicogenético Constructivista

Sociocultural

19

De acuerdo con Esteban Hilario, (2015) Define:

El paradigma conductista usa el método científico usada por la ciencias y principalmente el

método experimental, para realizar sus investigaciones científicas rigurosas con un control de

la variables, el producto es el conocimiento científico que se pone a discusión, se cuestiona, se

corrige y se vuelve a experimentar. (p. 53).

Así el maestro al ser el guía del conocimiento, también es el evaluador del mismo, mediante

pruebas, lecciones o tareas, trata de llevar un control de los conocimientos que el alumno logra retener,

estas evaluaciones deben ser de forma estandarizada al nivel de la educación y los conocimientos

impartidos en clases, a su vez también están otras formas de evaluación menos directa como puede

ser una actuación o una participación del estudiante, un aporte que ayude con el desarrollo de la clase.

2.2.1.1.1.2. Paradigma Humanista

El centro de atención es el desarrollo integral de las personas, el ser humano es conducido en

las leyes del bien y la ética. Buscando de esa manera mejorar a la sociedad. Según Rodríguez (1997)

“…se reconoce al individuo como un ente que se caracteriza por ser diferente en su forma de ser,

pensar y actuar con todos los demás. El paradigma humanista intenta rescatar los valores de respeto,

de solidaridad, de libertad, de responsabilidad y de tolerancia…” (p. 221).

Por ello, el maestro se muestra como el facilitador del conocimiento, mientras el estudiante es

un ente creativo que pretende el desarrollo de las ideas expuestas por su instructor, entonces la manera

de evaluar el paradigma humanista se basa en la autoevaluación sin embargo también se puede realizar

una evaluación externa de los aprendizajes a manera de refuerzo por parte del profesor.

2.2.1.1.1.3. Paradigma Cognitivo

Busca el desarrollo de los conocimientos en base a la experiencia, de esta manera consigue un

aprendizaje significativo mediante el descubrimiento. De acuerdo con Bernardo Barragán (2007) “El

aprendizaje es una construcción, y se produce a partir de los “desequilibrios” o conflictos

cognoscitivos que modifican los esquemas de conocimiento del sujeto. Los principios del aprendizaje

en este paradigma, postulan que éste se produce: de adentro hacia afuera” (p. 3). El maestro resulta

20

ser un guía en proceso de enseñanza - aprendizaje, utilizando estrategias que le permitan llamar la

atención, impresionar al estudiante llevándolo por un juicio activo de la información, aquí se evalúan

los procesos para conseguir solucionar un problema.

2.2.1.1.1.4. Paradigma Psicogenético constructivista

La forma del paradigma psicogenético constructivista, como el nombre indica, su objetivo es

la construcción del conocimiento en base a la experiencia del alumno y su implementación en la

práctica, ayuda a vincular uniformemente la teoría del aula con la aplicación en la práctica diaria. Para

Barreto Tovar et al. (2006) “el sujeto va construyendo sus sucesivas versiones del mundo al mismo

tiempo que construye sus propias estructuras cognitivas, y su conocimiento no es copia de una realidad

externa a él, sino resultado de la estructuración de sus propias experiencia” (p. 14). Así el papel del

maestro es más promovedor, pues es quien realiza las ejemplificaciones y propone las experiencias

donde aplicar los conocimientos, del mismo modo su manera de evaluar se centra en los procesos que

el alumno realiza para generar una solución factible.

2.2.1.1.1.5. Paradigma Sociocultural

Presenta actividades a realizar tanto en la institución educativa como fuera de ella, proyectando

a la interacción social del estudiante entre sus compañeros, sus padres y el pueblo en general, este

paradigma aporta con la elaboración de planificaciones para el desarrollo de la materia siguiendo una

enseñanza colectiva entre todos los miembros del grupo, es donde la relación entre el maestro y el

alumno es más interactiva siendo el maestro un agente cultural que aporta de ideas y actividades al

ente social que viene a ser el alumno el cual es evaluado de manera dinámica, a través de su propio

desenvolvimiento como persona.

Así lo plantea Ramírez Jiménez et al. (2006):

Para el paradigma sociocultural, lo que el aprendiz puede hacer con ayuda de otros puede ser

en cierto sentido más indicativo de su desarrollo mental que lo que puede hacer por sí solo. De

aquí que se considere necesario no limitarse a la simple determinación de los niveles

educativos reales. (p. 71).

21

2.2.2. Modelos Pedagógicos

Para reconocer que son los modelos pedagógicos primero debemos comprender que es un

modelo. De acuerdo con Vásquez & León (2013) “Es una herramienta conceptual o una representación

física o mental de las características de un objeto, fenómeno o evento, con la intención de analizarlo

y comprenderlo” (p. 5). A su vez un modelo educativo es un conjunto de teorías y enfoques

pedagógicos, utilizados por los docentes en la elaboración de planes de estudio para mejorar el proceso

de enseñanza aprendizaje. Para De Zubiría Samper (2011) “Los modelos pedagógicos le asignan, así,

funciones distintas a la educación porque parten de concepciones diferentes del ser humano y del tipo

de hombre y de sociedad que se quiere contribuir a formar.” (p. 41).

Un modelo pedagógico relaciona a los actores principales en el proceso enseñanza -

aprendizaje, docentes – alumnos, relacionándolos mediante un modelo educativo basado en las

políticas educativas. Según Vásquez & León (2013) “es un sistema formal que busca interrelacionar

los agentes básicos de la comunidad educativa con el conocimiento científico para conservarlo,

producirlo o recrearlo dentro de un contexto histórico, geográfico y cultural determinado” (p. 5).

2.2.2.1. Clasificación de los modelos pedagógicos según De Zubiria Samper

Cada pedagogo da un sentido intrínseco a la forma de clasificar los modelos pedagógicos, para

De Zubiria estos modelos se clasifican en 3 títulos, donde el modelo Autoestructurante presenta una

ramificación a la escuela activa y otra al constructivismo, este modelo pedagógico constructivista es

el que se desarrollará en el diseño de propuesta y una futura aplicación.


Modelos Pedagógicos según De Zubiría.

Fuente: Los Modelos Pedagógicos: Hacia una pedagogía dialogante De Zubiría Samper, (2011)

Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)

Modelos pedagógicos

Modelo Heteroestructurante

Pedagogía tradicional

Modelo Autoestructurante

Pedagogía constructivista

Modelo Interestructurante

Pedagogía dialogante

22

Para el desarrollo de los modelos pedagógicos, se da importancia a los elementos esenciales

de la actividad pedagógica, el conocimiento como medio de comunicación, el docente como quien

consume el conocimiento, el estudiante como el receptar y procesar del conocimiento, de igual manera

se enfatiza en proceso de enseñanza y la manera de evaluar de cada modelo pedagógico.

2.2.2.1.1. Modelo Heteroestructurante

Está basado en la pedagogía tradicional, la cual se encuentra en muchos de los centros

educativos, no precisamente en modelo pedagógico de la institución, pero si al menos de manera

inconsciente un maestro ha dado una clase meramente tradicional, así la estructura del modelo

Heteroestructurante – tradicional está basado en:


Modelo Heteroestructurante.



2.2.2.1.2. Modelo Autoestructurante

Su base se encuentra en un paradigma constructivista, quien pone a la experiencia como

creadora de conocimiento. Tiene el fundamento de “aprender haciendo” es donde el estudiante tiene

el manejo de los procesos, que lo lleven a conseguir un resultado ideal. Así la estructura del modelo

Autoestructurante – constructivista está basado en:

Modelo pedagógico

Heteroestructurante

Relación de los actores educativos

Conocimiento + Docente = Estudiante

Proceso enseñanza aprendizaje

Aprendizaje memorístico Proceso mecánico

Evaluación de conocimientos

Retención de conocimientos

Evaluar para sumar

Pedagogía Tradicional

23


Modelo Autoestructurante.


Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador) Pedagogía

2.2.2.1.3. Modelo Interestructurante

Mantienen una relación horizontal entre el docente y el estudiante para llevar de la par la

construcción del conocimiento, por ello recurre al modelo dialogante, el cual lleva a desestructurar

los conceptos y producir que el estudiante presente un razonamiento conducido por el docente. Así la

estructura del modelo Interestructurante – dialogante está basado en:


Modelo Interestructurante.



Modelo pedagógico

Autoestructurante


Docente => Conocimiento + Estudiante


Aprendizaje directo

Basado en experiencias y descubrimiento


Logros propios del avance del estudiante

Pedagogía constructivista

Modelo pedagógico

Interestructurante


Docente + Estudiante = Conocimiento


Aprendizaje mediado

Basado en la reflexión.


Evalúa dominio y apropiación del aprendizaje

Modelo dialogante

24

2.2.3. Teorías del Aprendizaje

La Teoría es una hipótesis cuyas consecuencias se aplican en la ciencia, en la educación, la

teoría en una hipótesis a comprobar mediante la utilización de reglas, definiciones, recursos que

posibiliten la verificación de una teoría y hacerla valida. Mientras el aprendizaje es la adquisición de

conocimientos de manera práctica o teórica que conlleven una retención duradera de los contenidos o

experiencias aprendidas, entonces las teorías del aprendizaje son un conjunto de hipótesis que

proponen como aprende el estudiante desde diferentes perspectivas o materias que integran elementos

biológicos, sociales, culturales, emocionales, entre otras.

2.2.3.1. Tipos de teorías del aprendizaje

Las teorías del aprendizaje tienen varias clasificaciones y filósofos representantes de cada una

de ellas, a su vez De Zubiría Samper,( 2011) propone a varios filósofos dentro las teorías del

aprendizaje para esta clasificación únicamente tomaremos a los principales representantes de los

modelos pedagógicos ya analizados con anterioridad, recalcando la consideración en el represéntate

del constructivismo para su análisis y futura aplicación en la elaboración de la propuesta.


Teorías del aprendizaje.


Elaborado por: Bahamonde M Bryan. (Investigador)

Teorías del aprendizaje

Cognitivista

Piaget

Sociocultural

Vygotsky

Constructivista

Ausubel

25

2.2.3.1.1. Teoría cognitivista

Jean Piaget (1896-1980) sostiene que el conocimiento del ser humano se crea mediante la

enseñanza y se complementa dependiendo de una serie de etapas de desarrollo, mientras para Severo

(2012) “una de las ideas nucleares es el concepto de inteligencia como proceso de naturaleza

biológica. Para él el ser humano es un organismo vivo que llega al mundo con una herencia biológica,

que afecta a la inteligencia.” (p. 2). Esta es la base genética del desarrollo humano, quien creía una

teoría genética donde el conocimiento se crea de manera automatizada a partir de la teoría,

experimentación y comprobación a lo largo de 4 etapas del desarrollo cognitivo:


Etapas del Desarrollo de Piaget.

Fuente: Seis Estudios De Psicología (Piaget, s. f.)

Elaborado por: Bahamonde M Bryan. (Investigador)

2.2.3.1.2. Teoría Sociocultural

Lev Vygotsky (1896-1934) afirma que cada persona posee una capacidad social de vincularse

con otros para poder desarrollar el conocimiento, esta construcción social - colaborativa generalmente

se da de adultos a niños para transmitir saberes y realizar experiencias mediante la comunicación. Así

lo plantea Rodríguez Arocho (1999)

Etapa Formal operacional

De 12 a 15 años Desarrollo sistemático del razonamiento lógico

Etapa Concreta operacional

De 7 a 12 años Desarrollo, entendimiento y uso de conceptos abstractos

Etapa Pre-operacional

De 2 a 7 años Desarrollo del lenguaje y de habilidades de comunicación

Etapa Motora-sensorial

De 0 a 2 años Existe control motor y aprendizaje sobre objetos a partir de la experiencia

26

Un postulado central en la teoría de Vygotsky es que el manejo de los artefactos culturales,

herramientas y símbolos, se aprende en sociedad. Este aprendizaje ocurre en el transcurso de

interacciones humanas y acciones colaborativas que se sitúan en contextos particulares y se

materializan en formas de comunicación (p. 484).

2.2.3.1.3. Teoría Constructivista

David Ausubel postula que el aprendizaje se logra a partir de sus conocimientos previos,

Ausubel fue muy influenciado por Piaget. De aquí la idea de que las personas puedan aprender a

partir de sus experiencias de manera que puedan implementar sus conocimientos y lograr un desarrollo

del aprendizaje, dejando de lado la memorización para enfocarse en la construcción del conocimiento

basada en la experimentación, el constructivismo propone que el conocimiento se genera a partir de

experiencias previas, esta propuesta toma características de otras teorías para definir a la persona como

el ente que construye su propio conocimiento y lo va acumulando en el transcurso del tiempo, de

forma tal que la información anterior se pone en práctica y experimentación para generar nuevos

saberes.

2.2.4. Método Pedagógico

Método es el procedimiento que se sigue para resolver una problemática, es la serie de pasos

a llevar al momento de realizar un estudio o resolver un ejercicio, en las ciencias se utiliza para hallar

la verdad y enseñarla, mientras pedagógico se define como el método expuesto con claridad que sirve

para educar o enseñar. Según lo anterior un método pedagógico es un procedimiento utilizado para

exponer la verdad al momento de educar. Para Lejter (1990) citado en (Bastidas, 2004) “se llama

método de estudios al conjunto de técnicas y ejercicios para enseñar y aprender alguna cosa” (p. 5).

En la actualidad existen muchos métodos pedagógicos, por nombrar solo algunos tomados de

(Preparadores de Oposiciones, 2020)

• Método Montessori

• Método Waldorf

• Método Reggio Emilia

• Método Pikler

• El método Aucouturier

• El método Doman

27

Sin embargo el método de importancia para el desarrollo de la investigación es el método

didáctico. Debido a su relevancia en la metodología utilizada en aulas y porque es el método

establecido en el curriculum nacional. Este método es capaz de desarrollarse en base a la pedagogía

constructivista base de la metodología de la propuesta.

2.2.5. Método Didáctico

Uno de los aspectos más importantes de un docente es conocer el método didáctico, con el

cual imparte conocimientos a los estudiantes. De acuerdo con Serna (1985) el método didáctico “Es

la organización racional y práctica de los recursos y procedimientos del profesor, con el propósito de

dirigir el aprendizaje de los alumnos hacia los resultados previstos y deseados.” (p. 43). El método

didáctico, al igual que otros, es un conjunto de saberes, recursos, y actores en el proceso educativo,

este conjunto de elementos forman una sincronía con el objetivo de transmitir saberes y cada uno

cumple con una función específica para lograrlo, ya sea siendo receptor, emisor o canal de la

comunicación del conocimiento.

2.2.6. Proceso Didáctico

El proceso didáctico es una seria de pasos que ayudan a estructurar el hilo de una clase,

dependiendo del modelo pedagógico utilizado por el docente puede estructurar su proceso como más

le ayude a impartir el conocimiento. Para poder desarrollar este conjunto de actividades de manera

coordinada hay que tener en cuantos diversos aspectos.


Principios del Método Didáctico.

Fuente: El Método Didáctico Serna, (1985)


Principios del método Didáctico

Finalidad Apunta a realizar los objetivos educativos

Ordenación Secuencia correcta de los temas de la materia

Adecuación Ajustar los contenidos al grado o curso preciso

Economía Lograr los objetivos, sin descuidar la calidad educativa.

Orientación Dar a los alumnos una dirección para aprender

28

Entonces para Koonts y Weihrich (1995) citados por Bastidas (2004) “son series cronológicas

de acciones requeridas. Son pautas de acción más que de pensamiento, que detalla la forma en que se

debe realizar determinadas actividades” (p. 16). De acuerdo con los autores mencionados, el proceso

didáctico es una cadena de actividades progresivas elaboradas por el docente para poder transmitir los

conocimientos y llegar al estudiante mediante varias estrategias y técnicas didácticas

2.2.7 Estrategias didácticas

Matemáticamente estrategia es un proceso regulable, un conjunto de las reglas que afirman

una decisión óptima en cada momento para lograr calcular el resultado correcto de cualquier ejercicio,

es necesario buscar entre las leyes y propiedades de la matemática, el camino más óptimo y seguro

para llegar a encontrar el valor que vuelve verdadero al problema., mientas las estrategias didácticas

son actividades concienciadas y elaboradas, por el docente, con el objetivo de alcanzar un aprendizaje

significativo en el estudiante. De tal manera que pueda lograr seguir avanzando en el proceso de su

formación académica.

Para Tobón (2006) referenciado en López Montero, (2018) las estrategias didácticas:

Representan un conjunto de técnicas y actividades que facilitan el alcance de una meta de

aprendizaje; pues, las estrategias didácticas son de gran importancia en la persecución de

objetivos en el aula debido a que por medio de estrategias bien pensadas se contribuye a que

el estudiantado tenga resultados exitosos en su aprendizaje. (p. 7).

2.2.7.1 Clasificación de estrategias didácticas

De acuerdo con Kindsvatter (1988) citado por Bastidas, (2004), las estrategias de enseñanza

pueden ser: Enseñanza directa o estrategia magistral. Enseñanza cooperativa o estrategia grupal.

Estrategia individual. Estas a su vez conllevan una subdivisión con modalidades o formas para ser

aplicadas.

29


Estrategias Didácticas.

Fuente: Estrategias y técnicas didácticas. (Bastidas, 2004)

Elaborado por: Investigador

Estrategia magistral

Es donde el maestro tiene el control directo de la clase, él es quien imparte la materia, dirige

la clase y controla las actividades. Se lo podría llamar la más antigua utilizada por docentes, a su vez

es un estrategia que tiene antigüedad. Afirma Velásquez (2011) citado en Hernández Arteaga et al.,

(2015) que es:

Un método –siempre nuevo y siempre antiguo– a pesar de la crítica sesgada, orientada a un

desprestigio con etiquetas conocidas, se debe validar su empleo en todos los niveles; es válido

ya que puede ser aplicado de modo activo, propiciando el ejercicio de la reflexión y del espíritu

crítico del estudiante. (p. 80).

Estrategias didácticas

Magistral

Conferencia

Demostración

Presentación

... entre otras

Grupal

Mesa redonda

Panel

Simposio

... entre otras

Individual

Estudio documental

Estudio dirigido

Enseñanza programada

... entre otras

30

Estrategia grupal

Es la participación de más personas, los cuales puede ser entre estudiante y el docente o

entre el estudiante y otros estudiantes, este trabajo colaborativo aporta mayor cantidad de ideas con

las cuales trabajar y permite al estudiante desarrollar su capacidad de socialización. La interacción

con los demás es lo que nos vuelve personas sociables y aprender a tratar con quienes nos rodean es

una práctica esencial en la vida cotidiana, ya sea en un rol activo, o como un líder, es natural el ejercitar

la comunicación y trabajo colaborativo.

De acuerdo con Guitert y Pérez (2013) citados en (Hernández Arteaga et al., 2015) afirman que:

El trabajo de grupo colaborativo es un ingrediente esencial en el proceso de enseñanza -

aprendizaje basado en competencias, todas las estrategias didácticas innovadoras incorporan

esta forma de trabajo como experiencia en la que el sujeto aprende y se forma como persona.

(p. 83).

Estrategia individual

Esta mayormente centrada en aprendizaje personal del estudiante mediante la guía de un

docente y el respectivo material de estudio, su propósito es realizar y resolver las tareas enviadas para

hacer de manera individual y diseñada para el nivel correspondiente, así lo afirma (Bastidas, 2004)

“el eje de esta estrategia es la adquisición individual de conocimientos concretos en el contexto de

una flexible estructura del tiempo” (p. 19). El estudiante como individuo debe saber reconocer sus

aciertos y errores, para lograr un crecimiento tanto mental como actitudinal, el aprender en base a sus

propias experiencias es una camino más interiorizado a la teoría del constructivismo.

2.2.8 Técnicas didácticas

De acuerdo con la Subdirección de Currículum y Evaluación ([INACAP], 2017). Citado por

Subdirección De Currículum y Evaluación et al., (2018)

Técnica didáctica: “Son procedimientos de menor alcance que las estrategias didácticas, dado

que se utilizan en períodos cortos (parte de una asignatura, unidad de aprendizaje, etc.); cuyo

31

foco es orientar específicamente una parte del aprendizaje, desde una lógica con base

psicológica, aportando así al desarrollo de competencias” (p. 2).

Cada docente tiene la libertad de utilizar la técnica que le proporcione la mejor forma de llegar

a los estudiantes con el conocimiento, estas técnicas deben ser basadas en la materia y en el nivel al

cual serán utilizadas para cumplir con las competencias del curriculum, una mala técnica conlleva la

perdida de atención y el interés de los alumnos en la materia impartida, mientras una buena técnica

hace que los estudiantes se encuentres más motivados y deseosos de aprender.

2.2.8.1 Clasificación de técnicas didácticas

Según Oviedo (1993) citado en Bastidas, (2004), se presentan 3 tipos de técnicas, cada una de

ellas con sus respectivas formas o modalidades son técnicas de estimulación audiovisual, técnicas de

estimulación escrita y técnicas de estimulación verbal, para el propósito de la investigación

centraremos el estudio en las técnicas de estimulación escrita, precisamente en los textos impresos.

Los cuales constan de ciertas características que los hace útiles dentro de los centros de estudio, estos

textos impresos pueden ser de muchos tipos: revistas, folletos, periódicos, fotocopias, entre otros. En

la presente investigación el texto es netamente impreso, de carácter físico y manipulable, lo que

permite una mayor facilidad al momento de corregir errores al momento de realizar el análisis

respectivo.

32


Técnicas Didácticas.

Fuente: Estrategias y técnicas didácticas. (Bastidas, 2004)


2.2.9 Textos Escritos

Texto es el cuerpo de la obra manuscrita o impresa, a diferencia de lo que en ella va por

separado; como las portadas, las notas, los índices, entro otros. El texto se denomina a los materiales

que se utilizan para divulgar información, de una menara donde se utilizan caracteres propios del

lenguaje de un pueblo, entonces un texto escrito refiere a todo material, físico, que contenga

manuscritos. Es un cuerpo físico que representa de forma escrita las ideas de una persona, se puede

utilizar los textos escritos de muchas maneras, según su finalidad puede ser, entrenar, informar,

educar, entro otras.

Libro es el conjunto hojas de papel u otro material que están encuadernadas y forman un

volumen, el libro se domina a material físico que se utiliza para realizar una lectura de un texto en

específico, no confundir texto escrito con libro, su conceptualización puede llegar a ser similar, pero

en profundidad es muy diferente, siendo el texto escrito alma de un material único, mientras el libro

llega a ser el cuerpo físico parte de una colección completa, de un tema específico.

Técnicas didácticas

Audiovisual

Proyector

Audio

Fotografía

... entre otras

Escrita

Diagrama UVE

Texto impresos

Mentefacto

... entre otras

Verbal.

Pregunta

Anécdota

Relato de Experiencias

... entre otras

33

Así, al libro se lo define como una obra científica, literaria que contiene un texto único, con

extensión suficiente para formar un volumen, el cual puede ser impreso o manuscrito, al realizar una

conjugación de términos para el desarrollo de la investigación se usa “el texto” para referirse a la

unidad 3 Factoreo y ecuaciones del libro de matemáticas para 9° EGB.

2.2.9.1 Clasificación de textos escritos

Las clasificación de los textos escritos es demasiado grande para ser revisada en un solo

capítulo, por ello se toma la clasificación según Bastidas, (2004) que abarca una clasificación de los

tipos más importantes de textos impresos. Haciendo énfasis en los tex impresos de carácter educativo,

utilizados dentro y fuera del aula de clases, textos orientados a utilizar una metodología para

desarrollar un temas educativos.


Clasificación de textos escritos.

Fuente: Bastidas, (2004) Estrategias y técnicas didácticas.


Los textos mencionados en la clasificación se encuentran en una categoría netamente

académica, debido a que la mayoría pueden ser utilizados como base o complemento del modelo

educativo, debido a ello es que el objetivo de esta investigación es elaborar una propuesta, un texto

complementario y/o de consulta, que ayude con el trabajo, del texto único, de matemáticas para 9°

EGB en la unidad 3 “factoreo y ecuaciones”.

Poligrafiados

Texto único

De consulta

De trabajo

Complementarios

34

2.2.9.1.1 Texto único

Comprende a todos los textos escolares, se lo llama texto único debido a ser el principal texto

utilizado dentro del plantel educativo, por ende dentro de las aulas, cada materia y cada nivel de

escolaridad, tiene su texto único proporcionado por el Ministerio de Educación. Para esta

investigación es considerado como texto único al texto de la unidad 3 “factorización y ecuaciones”

desarrollado en el libro de matemática para 9no EBG.

Para Bernardo Gómez, (s. f.) Afirma.

El libro de texto es una publicación especializada, con identidad propia, que nace en respuesta

a las necesidades del sistema general y público de enseñanza y del modelo de enseñanza

simultánea. Es un libro fácilmente reconocible por su estructura y porque está rotulado

claramente indicando la materia que trata y a quién van dirigido. (p. 1)

En referencia a lo citado por Bernardo Gómez la propuesta pretende de colaborar con una

solución a la manera de enseñar los temas de factorizaciones y ecuaciones, mediante la elaboración

de un texto complementario y/o de consulta que apoye a reforzar los conocimientos del texto único.

2.2.9.1.2 Texto de consulta

Para Bastidas, (2004) “se conoce con este nombre al conjunto de documentos impresos que

sirven de apoyo para el proceso de enseñanza aprendizaje, su uso no es tan frecuente como el anterior.

Permite conocer puntos de vista, criterios, opiniones de otros autores.” (p. 235). Por lo expuesto una

propuesta es un texto escrito por especialistas desatacados en diversas materias. Suele tratar sobres

temas científicos, humanísticos o técnicos con un lenguaje práctico y con la finalidad de explicar

contenidos tanto a estudiantes e investigadores como al público en general.

2.2.9.1.3 Texto complementario

Para Bastidas, (2004) los textos complementarios pueden ser “documentos impresos que

presentan diferentes tipos de ayuda, pueden ser: enciclopedias, diccionarios, revistas, etc.” (p. 235)

35

De acuerdo con (Level & Mostacero, 2011) plantean “El Texto Complementario lo precisa

como la sección cuya función es fortalecer la demostración científica y la carga emocional del texto

escolar” (p. 20). El resultado de la investigación funciona como texto complementario al representar

un material de ayuda, al docente y al estudiante, en donde cada uno puede adicionar información

necesaria para la comprensión de un tema.

2.2.9.2 Objetivo de los textos escritos.

Para (Bastidas, 2004) los objetivos que necesita cumplir un texto impreso son:

➢ Permitir el repaso de temas explicados por el maestro.

➢ Proporcionar guías para la elaboración de deberes escritos, orales o trabajos prácticos, etc.

➢ Visualizar los contenidos del aprendizaje.

➢ Estimular y dirigir al estudiante en el trabajo libre y productivo

➢ Redactar en un lenguaje claro y categórico el tema de la asignatura.

➢ Desarrollar en el alumno una actividad favorable hacia la lectura.

➢ Proporcionar al alumno una fuente fundamental de consulta durante el curso.

➢ Facilitar la comprensión de la materia o tema explicado.

➢ Mejorar el rendimiento y la eficiencia en la adquisición de conocimientos.

➢ Entre otras.

En resumen, y en base a lo manifestado, el propósito del texto final es apoyar, actualizar,

facilitar, comunicar y difundir el conocimiento que lleve escrito en sus páginas, para que más personas

puedan tener a su alcance una educación con bases científicas comprobadas y prácticas. Además de

proyectarse como un texto al alcance de todos, con la proyección de continuar con la creación e

innovación en el resto de textos educativos.

36

2.2.9.3 Características de los textos escritos.

Para (Bastidas, 2004) las características que necesita cumplir un texto son:

➢ Ser actualizado y que suministre información imparcial.

➢ Estar fundado en el lenguaje científico accesible al nivel intelectual de los estudiantes a los

cuales está destinado.

➢ Ofrecer resúmenes, lecturas, problemas e indicaciones bibliográficas relativas a los asuntos

estudiados.

➢ Contener elementos de trabajo que conduzcan a la revisión, fijación y ampliación del

aprendizaje.

Consiguientemente el presente de trabajo de investigación busca cumplir con las

características del libro de texto de matemática para el 9° EGB en la unidad 3 factoreo y ecuaciones.

Mediante la elaboración de una propuesta que ayude a complementar dichas características y

proporcionar un material de consulta para los estudiantes. Con una visión a futuro de elaborar siempre

mejores textos educativos.

2.3. Definición de términos básicos.

✓ Construcción del conocimiento: Consiste en establecer cuáles son los aspectos esenciales de

la tarea que se debe realizar y definir una directriz que oriente el curso de las acciones a seguir,

es decir, darse cuenta del proceso que se debe realizar.

✓ Didáctica: es una disciplina de la pedagogía, inscrita en las ciencias de la educación, que se

encarga del estudio y la intervención en el proceso enseñanza-aprendizaje con la finalidad de

optimizar los métodos, técnicas y herramientas que están involucrados en él.

37

✓ Educación: la educación es el proceso sistemático de desarrollo de las facultades físicas,

intelectuales y morales del ser humano, con el fin de integrarse mejor en la sociedad o en su

propio grupo.

✓ Enseñanza aprendizaje: es el procedimiento mediante el cual se transmiten conocimientos

especiales o generales sobre una materia, sus dimensiones en el fenómeno del rendimiento

académico a partir de los factores que determinan su comportamiento.

✓ Estrategia: plan ideado para dirigir un asunto y para designar al conjunto de reglas que

aseguran una decisión óptima en cada momento. En otras palabras, una estrategia es el proceso

seleccionado a través del cual se prevé alcanzar un cierto estado futuro.

✓ Libros: obra compuesta por un conjunto de hojas de papel, encuadernadas y protegidas con

una tapa o cubierta, que forman un volumen.

✓ Método: es un modo, manera o forma de realizar algo de forma sistemática, organizada y/o

estructurada. Hace referencia a una técnica o conjunto de tareas para desarrollar una tarea.

✓ Metodología: serie de métodos y técnicas de rigor científico que se aplican sistemáticamente

durante un proceso de investigación para alcanzar un resultado teóricamente válido.

✓ Paradigma: modelos, ejemplo o patrones que debe seguirse en determinada situación para ser

analizada y realizada de manera correcta. se refiere a una teoría o conjunto de teorías que sirve

de modelo a seguir para resolver problemas o situaciones determinadas que se planteen.

✓ Técnica: es un procedimiento cuyo objetivo es la obtención de un cierto resultado. Supone

un conjunto de normas y reglas que se utilizan como medio para alcanzar un fin.

✓ Textos: es una representación escrita del lenguaje verbal, recopila ideas y pensamientos que

permite dar un mensaje coherente y ordenado

38

2.4. Fundamentación legal.

2.4.1. Constitución de la República del Ecuador.

Art. 26.- La educación es un derecho de las personas a lo largo de su vida y un deber ineludible

e inexcusable del Estado. Constituye un área prioritaria de la política pública y de la inversión estatal,

garantía de la igualdad e inclusión social y condición indispensable para el buen vivir. Las personas,

las familias y la sociedad tienen el derecho y la responsabilidad de participar en el proceso educativo.

Art. 28.-La educación responderá al interés público y no estará al servicio de intereses

individuales y corporativos. Se garantizará el acceso universal, permanencia, movilidad y egreso sin

discriminación alguna y la obligatoriedad en el nivel inicial, básico y bachillerato o su equivalente.

Art. 344.- El sistema nacional de educación comprenderá las instituciones, programas,

políticas, recursos y actores del proceso educativo, así como acciones en los niveles de educación

inicial, básica y bachillerato, y estará articulado con el sistema de educación superior

Art. 348.- La educación pública será gratuita y el Estado la financiará de manera oportuna,

regular y suficiente. La distribución de los recursos destinados a la educación se regirá por criterios

de equidad social, poblacional y territorial, entre otros.

2.4.2. Ley Orgánica de Educación Intercultural LOEI

Art. 2 Principios

f. Desarrollo de procesos.- Los niveles educativos deben adecuarse a ciclos de vida de las

personas, a su desarrollo cognitivo, afectivo y psicomotriz, capacidades, ámbito cultural y lingüístico,

sus necesidades y las del país, atendiendo de manera particular la igualdad real de grupos

poblacionales históricamente excluidos o cuyas desventajas se mantienen vigentes, como son las

personas y grupos de atención prioritaria previstos en la Constitución de la República.

u. Investigación, construcción y desarrollo permanente de conocimientos.- Se establece a la

investigación, construcción y desarrollo permanente de conocimientos como garantía del fomento de

39

la creatividad y de la producción de conocimientos, promoción de la investigación y la

experimentación para la innovación educativa y la formación científica;

El estado considera al interaprendizaje y multi-aprendizaje como herramientas para fortalecer

las capacidades humanas por medio del acceso a la información y sus tecnologías, la comunicación y

el conocimiento. La investigación de conocimientos son base para la innovación educativa y la

formación científica.

Art. 7.- Derechos.- Las y los estudiantes tienen los siguientes derechos:

b. Recibir una formación integral y científica, que contribuya al pleno desarrollo de su

personalidad, capacidades y potencialidades, respetando sus derechos, libertades fundamentales 75 y

promoviendo la igualdad de género, la no discriminación, la valoración de las diversidades, la

participación, autonomía y cooperación

2.4.3. Reglamento general a la ley orgánica de educación intercultural RLOEI

Capítulo III del currículo nacional

Art. 9.- Obligatoriedad. Los currículos nacionales, expedidos por el Nivel Central de la

Autoridad Educativa Nacional, son de aplicación obligatoria en todas las instituciones educativas del

país independientemente de su sostenimiento y modalidad. Además, son el referente obligatorio para

la elaboración o selección de textos educativos, material didáctico y evaluaciones.

Art. 12.- Elección de libros de texto. Los establecimientos educativos que no reciben textos

escolares por parte del Estado tienen libertad para elegir los textos escolares que mejor se adecuen a

su contexto y filosofía institucional, siempre y cuando dichos textos hayan obtenido de la Autoridad

Educativa Nacional una certificación curricular que garantiza su cumplimiento con lo determinado en

el currículo nacional obligatorio vigente.

Los establecimientos educativos que reciben textos escolares por parte del Estado tienen la

obligación de utilizar dichos libros, por lo que no podrán exigir la compra de otros textos para las

mismas asignaturas.

40

Art. 13.- Certificación curricular. La certificación curricular avala que los libros de texto

cumplen con el currículo nacional obligatorio. Los libros de texto que reciben certificación curricular

tienen autorización para ser utilizados en el Sistema Nacional de Educación, pero no son

necesariamente oficiales ni de uso obligatorio. La certificación curricular de cada libro de texto debe

ser emitida mediante Acuerdo Ministerial, con una validez de tres (3) años a partir de su expedición.

Título XI De la provisión de textos, alimentación y uniformes escolares

Capítulo I De las normas generales

Art. 370.- Provisión. La Autoridad Educativa Nacional garantiza la provisión de los textos

escolares, alimentación y uniformes escolares gratuitos para los estudiantes de la educación pública y

fiscomisional, de manera progresiva y en la medida de la capacidad institucional del Estado, de

conformidad con la normativa específica que para el efecto expida el Nivel Central de la Autoridad

Educativa Nacional

Art. 372.- Textos escolares. Los textos escolares, guías del docente, cuadernos de trabajo y

demás recursos asignados a una institución educativa pública o fisco misional deben ser usados única

y exclusivamente por esta para el proceso de enseñanza-aprendizaje, de conformidad con la normativa

específica que para el efecto expida el Nivel Central de la Autoridad Educativa Nacional.

2.5. Caracterización de variables.

2.5.1 Variable única

• Texto

Para Soaje de Elías, (2018) “los textos escolares, entendidos como herramientas fundamentales

del quehacer didáctico en la actualidad” (p. 76). Estos recursos didácticos que pertenecen

principalmente a docentes y estudiantes, contiene una estructura interna, elementos que son

indispensables para llamar la atención del lector, son esta variedad de dimensiones, las que se pretende

analizar en la variable citada para el presente trabajo, esencialmente y después del análisis documental

del capítulo uno se hará énfasis en la parte de los organizadores gráficos.

41

2.5.2 Dimensiones

1. Arte y diseño, con los siguientes indicadores.

1.1. El efecto artístico de la caratula de la unidad capta la atención del estudiante.

1.2. Las ilustraciones que presenta el texto están relacionadas con el tema.

1.3. El tamaño y la distribución de las ilustraciones en el texto está de acuerdo con el formato del

contenido.

1.4. La disposición del contenido en la página es comprensible y ayuda al proceso de enseñanza-

aprendizaje.

2. Organización del contenido, con los siguientes indicadores.

2.1. La unidad presenta los objetivos de aprendizaje a alcanzar con claridad.

2.2. Existe coherencia entre los contenidos temáticos y la unidad didáctica.

2.3. Hay una secuencia lógica en el orden en que se presentan los contenidos temáticos.

2.4. El contenido se encuentra estructurado de manera que facilite la comprensión.

2.5. Se plantea ejemplos que contribuyan al desarrollo de la destreza.

3. Elementos funcionales, con los siguientes indicadores.

3.1. Los contenidos temáticos están adecuados al nivel de madurez bio-psicológico del alumno.

3.2. Existen secciones que consideran las experiencias previas del estudiante.

3.3. Se consideran las necesidades e intereses del estudiante.

3.4. Los contenidos permiten el desarrollo de competencias.

3.5. Estimula el desarrollo del pensamiento reflexivo.

3.6. Plantea ejemplos con base en las actividades de la vida real.

4. Elementos didácticos, con los siguientes indicadores.

4.1. Emplea organizadores gráficos.

4.2. Emplea técnicas audiovisuales.

4.3. Emplea técnicas verbales.

4.4. Utiliza técnicas de estudio.

5. Redacción, con los siguientes indicadores.

5.1. Se usa un vocabulario que sea entendible para el estudiante.

42

5.2. Se respeta con rigurosidad las reglas ortográficas.

5.3. Las ideas se expresan de manera clara sin que se presten a confusiones.

6. Ejercicios y cuestionarios, con los siguientes indicadores.

6.1. Los ejercicios tienen relación directa con el tema.

6.2. El grado de dificultad está acorde con los conocimientos de noveno EGB.

6.3. Los ejercicios contribuyen a la consecución de los objetivos.

43

CAPÍTULO III

3. METODOLOGÍA

3.1. Diseño de la investigación.

En el presente capítulo se analiza el esquema del diseño de la investigación, el mismo que

consta de: enfoque, tipos, niveles y modalidad de investigación, así como el procedimiento necesario

para elaborar y presentar todo el proyecto de investigación, es una síntesis general de lo que se trata

puntualmente el momento del desarrollo de la investigación y ayudar a facilitar la compresión de la

elaboración de la propuesta.


Diseño de la Investigación.

Fuente: Metodología de la investigación cuantitativa Palella Stracuzzi & Martins Pestana, (2012)


3.1.1. Enfoques de la investigación

3.1.1.1. Enfoque cualitativo

Según Prieto Pimienta & De la Orden Hoz, (2017) el enfoque cualitativo:

44

Se apoya en la recolección y resumen de datos cualitativos por medio de actividades de campo,

como la realización de entrevistas, así como la observación directa y el análisis documental.

Sus objetivos principales son describir y explorar la conducta humana en contextos específicos

con la finalidad de describir patrones, temas y cualidades comunes en todas las sociedades (p.

61).

3.1.1.2. Enfoque cuantitativo

Según Prieto Pimienta & De la Orden Hoz, (2017)

El enfoque cuantitativo se centra en el análisis e interpretación de datos, números, indicadores

y estadísticas asociadas con el objetivo de estudio, y para ello se centra el formular preguntas

muy específicas acerca de ¿Cómo? Y ¿Cuándo? Tiene lugar el fenómeno estudiado,

permitiendo al investigador recopilar información que puede ser plasmada mediante números,

para su análisis racional y objetivo.

3.1.1.3. Enfoque mixto

Según Sampieri et al., (2014) el enfoque mixto:

Un conjunto de procesos sistemáticos, empíricos y críticos de investigación e implican la

recolección y el análisis de datos cuantitativos y cualitativos, así como su integración y

discusión conjunta, para realizar inferencias producto de toda la información recabada

(metainferencias) y lograr un mayor entendimiento del fenómeno bajo estudio (p. 534).

Con relación a cada enfoque, se considera que el presente proyecto de investigación tiene un

enfoque mixto considerado cuanti–cualitativo, debido a que busca la factibilidad que tiene el uso del

libro de matemática para 9° EGB, unidad 3 factorización y ecuaciones, mediante la aplicación de una

escala estimativa que proporcione resultados reales de las dimensiones a analizar y se presenten

conclusiones reales de la investigación.

45

3.1.2. Modalidad de la investigación

Para la modalidad del proyecto se presenta un proyecto de carácter especial, la cual dentro los

lineamientos de investigación en la carrera de Pedagogía de las Ciencias Experimentales, matemática

y física de la Facultad de Filosofía, Letras y Ciencias de la Educación de la Universidad Central del

Ecuador. Postula en el Art. 3 del reglamento de la Licenciatura:

Art.3 Se entenderá por Proyectos Socio-Educativos a las investigaciones en base al método

científico que puedan ser de carácter cuantitativo, cualitativo o cuanti-cualitativo, para generar

propuestas alternativas de solución a los problemas de la realidad social y/o educativa en los

niveles macro, meso o micro.

Se considera dentro de las ramas de proyecto socio educativo al proyecto factible, por brindar

una solución al problema de investigación mediante la creación de un texto, el cual dentro de la línea

de investigación ayuda a mejorar la calidad técnico pedagógico y la metodología utilizada para

impartir los temas de factorización y ecuaciones.

3.1.2.1. Proyecto factible

De acuerdo con Stracuzzi & Pestana, (2012) “El propósito fundamental de esta modalidad es

el de presentar proposiciones, planteamientos que se puedan ejecutar” (p. 97). El proyecto factible

consiste en elaborar una propuesta factible que ayude a resolver una problemática específica

determinada mediante un diagnóstico previo de la problemática del tema en cuestión (Stracuzzi &

Pestana, 2012). Y la propuesta en este proyecto es una visión del investigador de la forma que debería

presentar el libro de matemáticas de 9° EGB, en la unidad 3 factorización y ecuaciones, del Ministerio

de Educación, quinta impresión 2018. Y siendo evaluada por diferentes expertos para determinar el

nivel de confiabilidad.

46

3.1.3. Nivel de la investigación

3.1.3.1. Nivel Exploratorio

Debido en los antecedentes de investigación, estos fueron escasos en el contexto del tema de

la investigación acerca de libro de matemática del Ministerio de Educación, se pretende dar un alcance

exploratorio al proyecto de investigación en relación a lo expuesto por Stracuzzi & Pestana, (2012)

el nivel exploratorio de una investigación “Se realiza especialmente cuando el tema elegido ha sido

poco examinado, …, permite focalizar el tópico de interés, formular el problema y/o delimitar futuros

temas de investigación” (p. 92). Se determina que la investigación tiene un carácter poco analizado

con anterioridad, permitiendo que los resultados tanto como la propuesta puedan ser desarrollados en

posteriores investigaciones.

3.1.3.2. Nivel Descriptivo

Es primordial determinar resultados de la investigación que estén basados en datos reales, los

resultados que se obtengan de la investigación ayudaran a posteriores lectores para proponer mejoras

en nuevos proyectos, para Stracuzzi & Pestana, (2012) determina que el nivel descriptivo “el propósito

de este nivel es el de interpretar realidades de hecho. Incluye descripción, registro, análisis e

interpretación de la naturaleza actual, composición o procesos de los fenómenos” (p. 92). Para este

nivel lo más importante son las conclusiones que explican el funcionamiento del objeto de estudio.

3.1.3.3. Nivel Evaluativo

De acuerdo con Stracuzzi & Pestana, (2012) el nivel evaluativo “pretende estimar o valorar la

efectividad de programas, planes o proyectos aplicados anteriormente para resolver una situación

determinada” (p. 93). Este es uno de los niveles más adecuados con la modalidad del proyecto, además

de tener una relación directa con los objetivos propuestos. Lo que lo hace idóneo en el nivel que

pretende alcanzar la investigación.

47

3.1.3.4. Nivel Proyectivo

De acuerdo con Hurtado de Barrera (2000) citado en Stracuzzi & Pestana, (2012) el nivel

proyectivo “intenta proponer soluciones a una situación determinada. Implica explorar, describir,

explicar y proponer alternativas de cambio, y no necesariamente ejecutar la propuesta” (p. 94). Al

establecer un nivel proyectivo a la investigación, se realiza una recopilación de los niveles antes

mencionados, sin embargo ya que la modalidad es de proyecto factible la elaboración de la propuesta

es sumamente necesaria.

En base a las descripciones de cada nivel de investigación, el nivel del presente proyecto de

investigación será exploratorio, descriptivo, evaluativo y proyectivo. Siendo cada nivel de gran

importancia y presencia al momento de la creación de la propuesta que vaya acorde con resolver el

problema de investigación.

3.1.4. Tipos de investigación

Para el tiempo y las circunstancias en que se realiza el proyecto de investigación, los tipos de

investigación utilizados para la redacción de elementos y análisis de las dimensiones son

principalmente textos digitales (artículos de revistas, informes, libros, tesis, investigaciones

científicas, entre otros). Obtenidos de repositorios, archivos de revistas y buscadores enfocados en

textos de divulgación científica.

3.1.4.1. Investigación Documental

La investigación fue realizada principalmente búsqueda de textos que se relacionen con el tema

de investigación, por esa razón es que escoge la investigación de tipo documental en donde de acuerdo

con Stracuzzi & Pestana, (2012) la investigación documental “se concreta exclusivamente en la

recopilación de información en diversas fuentes. Indaga sobre un tema en documentos -escritos u

orales” (p. 90). En correlación con Prieto Pimienta & De la Orden Hoz, (2017) “esta modalidad de

investigación se realiza teniendo como principal sustento o fundamento múltiples fuentes de carácter

documental, que pueden ser impresas o digitales. Dentro de este tipo de diseña de investigación

destacan las modalidades bibliográficas, hermerográficas y archivistas” (p. 84).

48

3.1.4.2. Investigación De campo

La recolección y tratamiento de los datos va de acuerdo con lo que Prieto Pimienta & De la

Orden Hoz, (2017) exponen “los datos son llamados primarios, porque son recabados directamente de

los informantes, por medio de entrevistas, la aplicación de cuestionarios, de encuestas o mediante

registro de observación” (p. 10). Para tratar el término de investigación de campo, se hace referencia

a la materia de investigación en educación matemática, del mismo modo de acuerdo con Rivero,

(2008) “es compatible desarrollar este tipo de investigación junto a la investigación de carácter

documental, se recomienda que primero se consulten las fuentes de carácter documental, a fin de evitar

una duplicidad de trabajos” (p. 21). Por lo que la investigación de campo claramente debe relacionarse

con documental por ser complementarias.

3.1.5. Procedimiento del desarrollo del proyecto de investigación

En relación al diseño y modalidad de investigación, ligado al enfoque, nivel y tipo de

investigación planteados. Se ha diseñado un procedimiento secuencial de las actividades a realizarse

para la elaboración del proyecto de investigación. A continuación se enlista la serie pasos realizados.

1. Elaboración del plan de tesis.

2. Aprobación del plan de tesis.

3. Elaboración de los instrumentos.

4. Validación de los instrumentos.

5. Estudio de confiabilidad.

6. Tabulación de los resultados.

7. Presentación, análisis e interpretación de los resultados.

8. Discusión de resultados.

9. Conclusiones y recomendaciones.

10. Informe de la investigación.

11. Diseño de la propuesta.

12. Factibilidad de la propuesta.

13. Elaboración de la propuesta.

14. Presentación del informe final del proyecto.

49

3.2. Población y muestra.1

3.2.1 Población

La población de la presente investigación engloba a los textos de matemática para Educación

General Básica (EGB), publicados por el Ministerio de Educación en su quinta impresión de junio del

2018, los que han sido entregados y utilizados a nivel nacional en los planteles de educación fiscal de

Ecuador, esta delimitación de la población va de acuerdo con lo planteado por Sampieri et al., (2014)

“Las poblaciones deben situarse claramente por sus características de contenido, lugar y tiempo” (p.

174). La gran extensión de textos presentes a nivel nacional, obliga a que necesariamente se delimite

la población un texto específico para su correcto análisis.

3.2.2 Muestra

De acuerdo con Rivero, (2008) “La muestra es, en esencia, un subgrupo de la población. Se

puede decir que es un subconjunto de elementos que pertenecen a ese conjunto definido en sus

necesidades al que llamamos población.” (p. 25). Así en lo manifestado por Rivero y con relación a

la población se enfoca que la muestra apropiada, para el respectivo análisis es la unidad 3:

“Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y

publicado por el Ministerio de Educación. Quinta impresión junio del 2018.

3.3. Operacionalización de las variables.

Para Stracuzzi & Pestana, (2012) afirma que “Una variable presenta un grado de abstracción

que impide utilizarla como tal en la investigación, por lo tanto hay que operacionalizarla” (p. 67).

Mientras para Rivero, (2008) “Para operativizar variables, se requiere precisar su valor, traduciéndolas

a conceptos susceptibles de medir, Por tanto, conviene considerar su definición nominal, real,

operativa: lo que significa el término, la realidad y la práctica” (p. 53).

1 ACLARACIÓN: El proyecto de investigación no involucra un grupo contable de individuos, su enfoque es

principalmente los libros de texto del Ministerio de Educación, a partir de allí se ha realizado la delimitación para la

población y la muestra, mientras que las personas participantes en la recolección de datos son únicamente participes de su

criterio como expertos conocedores del texto en análisis.

50

Complementa Rivero, (2008) las variables son “discusiones que pueden darse entre individuos

y conjuntos. El término variable significa características, aspecto, propiedad o dimensión de un

fenómeno y puede asumir distintos valores” (p. 53). Como resultado la operacionalización de variables

se realizara como una caracterización de las dimensiones presentes en la variable involucrada en el

capítulo 2 de la investigación, a continuación de desglosa la matriz de operacionalización de variables.

Tabla N° 01.

Matriz de operacionalización de variables.

Variable Dimensión Indicadores Ítems

Texto

Arte y diseño

El efecto artístico de la caratula de la unidad capta la

atención del estudiante. 1.1

Las ilustraciones que presenta el texto están relacionadas

con el tema. 1.2

El tamaño y la distribución de las ilustraciones en el texto

están de acuerdo con el formato del contenido. 1.3

La disposición del contenido en la página es

comprensible y ayuda al proceso de enseñanza-

aprendizaje.

1.4

Organización del

contenido

La unidad presenta los objetivos de aprendizaje a

alcanzar con claridad. 2.1

Existe coherencia entre los contenidos temáticos y la

unidad didáctica. 2.2

Hay una secuencia lógica en el orden en que se presentan

los contenidos temáticos. 2.3

El contenido se encuentra estructurado de manera que

facilite la comprensión. 2.4

Se plantea ejemplos que contribuyan al desarrollo de la

destreza. 2.5

Elementos

funcionales

Los contenidos temáticos están adecuados al nivel de

madurez bio-psicológico del alumno. 3.1

Existen secciones que consideran las experiencias previas

del estudiante. 3.2

Se consideran las necesidades e intereses del estudiante. 3.3

Los contenidos permiten el desarrollo de competencias. 3.4

Estimula el desarrollo del pensamiento reflexivo. 3.5

Plantea ejemplos con base en las actividades de la vida

real. 3.6

Emplea organizadores gráficos. 4.1

51

Elementos

didácticos

Emplea técnicas audiovisuales. 4.2

Emplea técnicas verbales. 4.3

Utiliza técnicas de estudio. 4.4

Redacción

Se usa un vocabulario que sea entendible para el

estudiante. 5.1

Se respeta con rigurosidad las reglas ortográficas. 5.2

Las ideas se expresan de manera clara sin que se presten

a confusiones. 5.3

Ejercicios y

cuestionarios

Los ejercicios tienen relación directa con el tema. 6.1

El grado de dificultad está acorde con los conocimientos

de noveno EGB. 6.2

Los ejercicios contribuyen a la consecución de los

objetivos. 6.3

Fuente: instrumento de recolección de datos (Bastidas, 2004)


3.4. Técnicas e instrumentos de recolección de datos.

La técnica y el instrumento son dos herramientas que van ligadas, son complementarias una

de la otra al momento de realizar los cálculos necesarios para determinar la confiabilidad de la

investigación, así lo menciona Rivero, (2008), quien expone “La investigación no tiene sentido sin las

técnicas de recolección de datos. Estas técnicas conducen a la verificación del problema planteado.

Cada tipo de investigación determinará las técnicas a utilizar y cada técnica establece sus

herramientas, instrumentos o medios que serán empleados.” (p. 8). En la presente investigación se

utilizó la técnica de encuesta mediante el instrumento elaborado en base a una escala estimativa en la

cual consta cada una de las dimensiones con sus respectivos indicadores para la valoración del

contenido en el texto investigado.

3.4.1 Técnicas de recolección de datos.

Para Stracuzzi & Pestana, (2012) las técnicas son “las distintas formas o maneras de obtener

la información. Para el acopio de los datos se utilizan técnicas como observación, entrevista, encuesta,

pruebas, entre otras.” (p.115). De acuerdo con lo mencionado se ha optado por aplicar una encuesta a

diferentes profesores de instituciones educativas, conocedores del tema y que han utilizado el texto de

análisis.

52

3.4.1.1 La Encuesta

En la presente investigación se opta, como técnica de recolección de datos, por la encuesta.

Esta técnica por sus características ha sido de utilidad por mostrar los resultados de un conjunto de

personas afines al tema de investigación, así y de acuerdo con Prieto Pimienta & De la Orden Hoz,

(2017) la encuesta “consiste en la elaboración de un cuestionario compuesto por un conjunto de

preguntas estandarizadas, es decir, ajustadas a un modelo o norma común, para conocer la opinión de

un grupo amplio de personas” (p. 86).

3.4.2 Instrumentos de recolección de datos.

Para Stracuzzi & Pestana, (2012) “un instrumento de recolección de datos es, en principio,

cualquier recurso del cual pueda valerse el investigador para acercarse a los fenómenos y extraer de

ellos información” (p. 125). En base a la técnica seleccionada, para la recolección de datos se sigue la

línea de un tipo de encuesta estructurada en una escala estimativa que cumpla las necesidades de la

investigación para su posterior interpretación.

3.4.2.1 Escala de medición.

Según Rivero, (2008) expresa “Una escala puede concebirse como un continuo de valores

ordenados correlativamente que admite un punto inicial y otro final” (p. 72 ). La escala utilizada en la

medición está basada en una binning modificada (Bastidas, 2004) y a su vez se estructura en diseño

de escala tipo Likert. De acuerdo con Stracuzzi & Pestana, (2012) una escala Likert es:

Un conjunto de ítems presentados en forma de afirmaciones o juicios ante los cuales se pide

la reacción de los sujetos a quienes se administran. Se presenta cada afirmación y se pide al

sujeto que exprese su respuesta eligiendo uno de los cinco puntos de la escala. A cada punto

se le asigna un valor numérico, con lo cual el sujeto obtiene una puntuación respecto a la

afirmación. Al final, se obtiene su puntuación total sumando las obtenidas en cada una de las

afirmaciones. (p.68).

53

Para la escala estimativa utilizada en la investigación se estableció la siguiente escala Likert.

Tabla N° 02.

Escala Estimativa.

1. Inaceptable 2. Aceptable 3. Bueno 4. Destacado 5. Excelente

Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)


3.5. Validez y confiabilidad de los instrumentos de recolección de información.

3.5.1. Validez de criterio

Con la escala estimativa ya elaborada por (Bastidas, 2004) con los cambios adecuados por el

investigador para el tema de la investigación, se procedió a la valoración por juicio de expertos en las

áreas de matemática y lenguaje, estos fueron tres profesionales, dos matemáticos y un lingüista,

quienes rindieron sus criterios acerca de la correspondencia de las preguntas del instrumento con las

dimensiones e ítems de investigación. Todo esto de acuerdo con Rivero, (2008) dicta la validez

Indica la capacidad de la escala para medir las cualidades para las cuales ha sido construida y

no otras parecidas. Una escala confusa no puede tener validez, lo mismo que en una escala que

esté midiendo, a la vez e indiscriminadamente, distintas variables superpuestas. Una escala

tiene validez cuando verdaderamente mide lo que afirma medir. (p. 73)

Para la respectiva valides a cada experto se entregó los siguientes documentos:

✓ Oficio dirigido al experto firmado por el investigador.

✓ Instructivo para la valoración de instrumentos.

✓ Instrumento de diagnóstico.

✓ Formularios de validación para registrar la opinión sobre cada ítem.

✓ Formato de datos generales donde conste la firma del experto.

54

La validación de este instrumento fue realizada por los siguientes expertos:

Tabla N° 03.

Validación del instrumento de recolección de datos por parte de expertos.

Experto Área Lugar de Trabajo

Lcdo. Nelson Mejía Matemáticas Unidad Educativa Particular “Jhon Davison

Rockefeller”

Lcda. Johanna Flores Matemáticas Unidad educativa “Pérez Pallares”

Msc. Calixto Guamán Lengua y literatura Universidad Central del Ecuador

Fuente: Validez del instrumento de recolección de información.


3.5.2. Confiabilidad

Para determinar la confiabilidad se aplicó una prueba a 19 expertos (profesores de

matemáticas) quienes mediante un análisis expresaron su criterio en la escala estimativa. Estos

resultados fueron tabulados por la hoja electrónica del Alfa de Cronbach para establecer su nivel

confiabilidad.

De acuerdo con Rivero, (2008) manifiesta que la confiabilidad.

Se refiere a la consistencia interior de la misma, a su capacidad para discriminar en forma

constante entre un valor y otro. Cabe confiar en una escala cuando produzca constantemente

los mismos resultados al aplicarla a una misma muestra, es decir, cuando siempre los mismos

objetos aparezcan valorados en la misma forma. (p. 73)

Fórmula para el cálculo de la confiabilidad mediante el Alfa de Cronbach.

Método 1

𝛼 =𝑘

𝑘 − 1[1 −

∑ 𝑉𝑖

𝑉𝑇]

55

Dónde:

𝑘 = Número de ítems

∑ 𝑉𝑖 = Sumatoria de las varianzas de los ítems

𝑉𝑇 = Varianza total

3.5.2.1 Confiabilidad del instrumento. Método 1

Con los datos recolectados y tabulados en la hoja electrónica, se obtiene:

𝛼 =𝑘

𝑘 − 1[1 −

∑ 𝑉𝑖

𝑉𝑇]

𝛼 =25

24[1 −

24.9418

282.8]

𝜶 = 𝟎. 𝟗𝟓

Método 2.

𝛼 =𝑘

𝑘 − 1[1 −

∑ 𝑆𝑖2

𝑆𝑇2 ]

Dónde:


∑ 𝑆𝑖2 = Sumatoria de las desviaciones típicas de los ítems

𝑆𝑇2 = desviación típica total

56

3.5.2.2 Confiabilidad del instrumento. Método 2

Con los datos recolectados y tabulados en la hoja electrónica, se obtiene:

𝛼 =𝑘

𝑘 − 1[1 −

∑ 𝑆𝑖2

𝑆𝑇2 ]

𝛼 =25

24[1 −

26.327

298.5]

𝜶 = 𝟎. 𝟗𝟓

Se verifica que en el cálculo de ambos métodos mediante el alfa de Cronbach da como

resultado 𝜶 = 𝟎. 𝟗𝟓. Esta cantidad es muy beneficiosa para la investigación y para la posterior

interpretación de la confiabilidad.

3.5.3. Interpretación de los niveles de confiabilidad

De acuerdo con los resultados obtenidos en ambos métodos, se puede interpretar el resultado

para el cálculo de la confiabilidad según la siguiente escala de valores que determinan los siguientes

valores para interpretar la confiabilidad, la cual está dada por:

Tabla N° 04.

Escala de Confiabilidad.

Confiabilidad Escala

No es confiable -1 a 0

Baja confiabilidad 0.01 a 0.49

Moderada confiabilidad 0.5 a 0.75

Fuerte confiabilidad 0.76 a 0.89

Alta confiabilidad 0.9 a 1

Fuente: Metodología de la investigación (Sampieri et al., 2014)


57

De acuerdo al resultado obtenido al aplicar la fórmula del Alpha de Cronbach para el

instrumento de diagnóstico (escala estimativa) la confiabilidad es de 𝛼 = 0,95, esto permite que nuestra

investigación prosiga ya que este valor va de acuerdo con la tabla de confiabilidad, por lo tanto el

instrumento se encuentra en la escala de 0,9 a 1 considerado como una “alta confiabilidad”. Los

resultados de confiabilidad son altos debido a que el instrumento ya ha sido utilizado con anterioridad

en previas investigaciones, el instrumento como escala estimativa fue elaborado por Bastidas, (2004)

en su libro Estrategias y Técnicas, para la presente investigación únicamente se procedió a modificar

el membrete y adecuar las preguntas para que presenten una correcta relación entre el tema de

investigación y la recolección de datos proporcionados por los expertos participantes.

58

CAPÍTULO IV

4. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS

4.1. Análisis estadístico de los instrumentos aplicados

Una vez aplicada la escala estimativa a diferentes docentes, los cuales aportaron con su

conocimiento y juicio de valor para la recolección de datos necesarios en el sondeo de la unidad 3:

“Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y

publicado por el Ministerio de Educación. Quinta impresión junio del 2018. Para su respectivo análisis

y posterior interpretación de resultados, cabe recalcar que estos resultados son totalmente

transparentes, la opinión de los expertos esta netamente reflejada en los resultados numéricos y la

interpretación directa realizada por el investigador en base a la escala porcentual.

En este capítulo se organiza la información obtenida en las 19 escalas estimativas aplicadas a

los docentes de diferentes instituciones educativas, mediante el análisis de los datos obtenidos en cada

una de las seis dimensiones y sus respectivos indicadores. Las tablas están compuestas y distribuidas

en columnas de la siguiente forma: en la primera columna se presenta el ítem y los indicadores

correspondientes a la dimensión de análisis respectivo, en cada caso varia el número de indicadores,

de la segunda a la sexta columna se encuentran tabulados los resultados de las escalas estimativas

aplicadas a los docentes. En la séptima columna se presenta la media aritmética de las 19 respuestas

de cada indicador, y en la octava columna se muestra el porcentaje de importancia con relación a la

media aritmética.

Los resultados obtenidos se registraron, tabularon y discutieron en base a las preguntas

directrices y la información del marco teórico, mientras para los gráficos de barras se considera la

equivalencia de 5 como el 100% y posteriormente se realiza una regla de tres simple con la media

aritmética de cada indicador para obtener su equivalente porcentual, así cada dimensión es analizada

mediante la siguiente tabla porcentual para así facilitar la interpretación de los datos obtenidos.

59

Tabla N° 05. Equivalencia porcentual de la escala estimativa.2

Escala Interpretación Porcentaje

1. INACEPTABLE 0% – 60%

2. REGULAR 61% – 70%

3. BUENO 71% – 80%

4. DESTACADO 81% – 90%

5. EXCELENTE 91% – 100%

Fuente: estrategias y técnicas (Bastidas, 2004)


4.1.1. Dimensión. Arte y diseño

La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos de cada uno de los indicadores de la

dimensión de arte y diseño establecida en la escala estimativa, aplicada a diferentes docentes en labor

y conocimiento de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática

para el 9no año de EGB.

Tabla N° 06.

Importancia de la dimensión: Arte y diseño, por parte de los docentes.

Indicadores de la dimensión: Arte y diseño 1 2 3 4 5 Total

x̅ %

1. El efecto artístico de la caratula de la unidad capta la

atención del estudiante. 0 5 6 8 0 3,16 63,16

2. Las ilustraciones que presenta el texto están relacionadas

con el tema. 0 4 3 6 6 3,74 74,74

3. El tamaño y la distribución de las ilustraciones en el texto

están de acuerdo con el formato del contenido. 0 3 5 10 1 3,47 69,47

4. La disposición del contenido en la página es comprensible

y ayuda al proceso de enseñanza-aprendizaje. 1 3 5 8 2 3,37 67,37

MEDIA ARITMÉTICA 3,43 68,68



2 Los valores de la distribución en la escala porcentual fueron realizados directamente por Bastidas, (2004), como tutor

del proyecto, quien justifica que la escala se establece con el criterio de todo libro utilizado a nivel educativo debe

sobrepasar el 50% de aceptabilidad para considerarse apto de ser desarrollado.

60

Análisis e interpretación

De acuerdo con los resultados de la media aritmética se observa que la mayor media aritmética

corresponde al ítem 2 “ilustraciones” con (3.74), en medio el ítem 3 “el tamaño y la distribución” con

(3.47) y el ítem 4 “disposición de contenido” con (3.37), siendo la menor el ítem 1 “efecto artístico”

con (3.16). En total el promedio general de la dimensión arte y diseño es 3.43 considera como “bueno

a destacado” en la escala inicial. En conformidad con la tabla N° 06, la elaboración en arte y diseño

de la caratula y las ilustraciones del texto son buenas (3.43), sin embargo, son poco interesantes para

captar la atención del estudiante o producir impresión, aunque siendo de buna calidad las ilustraciones,

carecen en su mayoría de un efecto artístico adecuado.

Gráfico N° 01.

Valores de la distribución porcentual de los indicadores en la dimensión Arte y diseño.




En el grafico se evidencia un 74.74% para las ilustraciones, lo cual es bueno en relación a gran

cantidad que se observa a lo largo de la unidad, después un 69.47% relacionado al tamaño y

distribución, seguido de 67.37% con la disposición del contenido y al final un 63.16% correspondiente

al efecto artístico, lo que muestra un déficit en la creatividad de las imágenes presentadas como

55%

60%

65%

70%

75%

80%

Efecto artístico Ilustraciones Tamaño y la

distribución

Disposición del

contenido

63,16%

74,74%

69,47%

67,37%

Arte y diseño

61

representación de un problema, entonces el promedio general equivalente al 68.68% considerando a

esta dimensión como “regular” en la elaboración de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”,


Educación. Quinta impresión junio del 2018.

4.1.2. Dimensión. Organización del contenido

La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos en cada uno de los indicadores para la

dimensión “organización del contenido” establecida en la escala estimativa, aplicada a diferentes

docentes en labor y conocimiento de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el

texto de Matemática para el 9no año de EGB.

Tabla N° 07.

Importancia de la dimensión: Organización del contenido, por parte de los docentes.

Indicadores de la dimensión: Organización del contenido 1 2 3 4 5 Total

x̅ %

1. La unidad presenta los objetivos de aprendizaje a alcanzar con

claridad. 3 2 5 6 3 3,21 64,21

2. Existe coherencia entre los contenidos temáticos y la unidad

didáctica. 0 1 6 7 5 3,84 76,84

3. Hay una secuencia lógica en el orden en que se presentan los

contenidos temáticos. 1 3 4 8 3 3,47 69,47

4. El contenido se encuentra estructurado de manera que facilite

la comprensión. 0 4 5 6 4 3,53 70,53

5. Se plantea ejemplos que contribuyan al desarrollo de la

destreza. 0 3 3 8 5 3,79 75,79




62


En relación con los resultados de la media aritmética se observa que la mayor corresponde al

ítem 2 “coherencia” con (3.84) considerada como buena conexión entre contenidos de un tema a otro,

seguido del ítem 5 “ejemplos y destrezas” con (3.79) y siendo la menor el ítem 1 “objetivos de

aprendizaje” con (3.21), siendo considerado como bueno pero sin embargo se observa que debería

presentar los objetivos de una manera más clara y puntual para cada tema de la unidad. En total el

promedio general de la dimensión organización de contenido es 3.57 considera entre “bueno a

destacado” en la escala inicial, conforme con la tabla N° 07, la distribución y organización del

contenido del texto son buenos (3.57), sin embargo presenta falta de orden y saltos en los contenidos

de ciertos temas y una escasa elaboración de objetivos específicos en los temas a desarrollar.

Gráfico N° 02.

Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Organización del contenido.




En el grafico se evidencia un 76.84% para la coherencia, seguido de un 75.79% para los

ejemplos y destrezas, después un 70.53% relacionado al contenido, seguido de 69.47% para la

secuencia lógica, al final un 64.21% correspondiente a los objetivos de aprendizaje, luego el promedio

55%

60%

65%

70%

75%

80%

Objetivos de

aprendizaje

Coherencia Secuencia

lógica

Contenido Ejemplos y

destrezas

64,21%

76,84%

69,47% 70,53%

75,79%

Organización del contenido

63

general equivalente al 71.37% considerando a la dimensión como “buena” en el desarrollo de la

unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de

EGB, y publicado por el Ministerio de Educación. Quinta impresión junio del 2018.

4.1.3. Dimensión. Elementos funcionales


dimensión de Elementos funcionales establecida en la escala estimativa, aplicada a diferentes docentes

en labor y conocimiento de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de

Matemática para el 9no año de EGB.

Tabla N° 08.

Importancia de la dimensión: Elementos funcionales, por parte de los docentes.

Indicadores de la dimensión: Elementos funcionales 1 2 3 4 5 Total

x̅ %

1. Los contenidos temáticos están adecuados al nivel de

madurez bio-psicológico del alumno. 0 3 7 6 3 3,47 69,47

2. Existen secciones que consideran las experiencias previas

del estudiante. 2 2 6 6 3 3,32 66,32

3. Se consideran las necesidades e intereses del estudiante. 1 3 8 6 1 3,16 63,16

4. Los contenidos permiten el desarrollo de competencias. 0 4 4 10 1 3,42 68,42

5. Estimula el desarrollo del pensamiento reflexivo. 0 3 8 6 2 3,37 67,37

6. Plantea ejemplos en base en las actividades de la vida real. 0 4 7 6 2 3,32 66,32





En base a los resultados de la media aritmética la mayor corresponde al ítem 1 “contenidos

temáticos” con (3.47), seguido del ítem 4 “desarrollo de competencias” con (3.42), a continuación el

ítem 5 “pensamiento reflexivo” con (3.37), en medio el ítem 2 y 6 respectivamente “experiencias

64

previas” y “ejemplos reales” ambos con (3.32) y la menor el ítem 3 “necesidades e intereses” con

(3.16). El promedio total de la dimensión elementos funcionales es 3.35 considera entre “bueno a

muy bueno” en la escala inicial, en conformidad con la tabla N° 08, los elementos funcionales del

texto son regulares (3.35), presenta una deficiencia considerable en las necesidades e intereses del

estudiante al estudiar la unidad “factorización y ecuaciones”.

Gráfico N° 03.

Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Elementos funcionales.




En el grafico se evidencia un 69.47% para contenidos temáticos, seguido de un 68.42% para

el desarrollo de competencias, a continuación un 67.37% para el pensamiento reflexivo después por

igual un 66.32% relacionado con las experiencias previas y los ejemplos reales y al final un 63.16%

correspondiente a las necesidades e intereses, luego el promedio general equivale a 66.95% que

representa a la dimensión como “regular” en el sondeo de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”,



55%

60%

65%

70%

75%

80%

Contenidos

temáticos

Experiencias

previas

Necesidades

e intereses

Desarrollo de

competencias

Pensamiento

reflexivo

Ejemplos

reales

69,47%

66,32%

63,16%

68,42%67,37%

66,32%

Elementos funcionales

65

4.1.4. Dimensión. Elementos didácticos


dimensión de Elementos didácticos establecida en la escala estimativa, aplicada a diferentes docentes

en labor y conocimiento de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de

Matemática para el 9no año de EGB.

Tabla N° 09.

Importancia de la dimensión: Elementos didácticos, por parte de los docentes.

Indicadores de la dimensión: Elementos didácticos 1 2 3 4 5 Total

x̅ %

1. Emplea organizadores gráficos. 5 4 6 3 1 2,53 50,53

2. Emplea técnicas audiovisuales. 5 7 3 4 0 2,32 46,32

3. Emplea técnicas verbales. 2 3 7 6 1 3,05 61,05

4. Utiliza técnicas de estudio. 2 4 4 7 2 3,16 63,16





Según los resultados obtenidos en la media aritmética la mayor corresponde al ítem 4 “técnicas

de estudio” con (3.16), seguido del ítem 3 “técnicas verbales” con (3.05), a continuación el ítem 1

“organizadores gráficos” con (2.53), mientras la menor media aritmética es el ítem 2 “técnicas

audiovisuales” con (2.32). En general el promedio de la dimensión elementos didácticos es 2.76

considera entre “regular a bueno” en la escala inicial, conforme con la tabla N° 09, los elementos

didácticos en el texto son inaceptables (2.76), carece de organizadores gráficos así como de técnicas

audiovisuales que ayuden al reforzamiento de conocimientos.

66

Gráfico N° 04.

Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Elementos didácticos.




En el grafico se evidencia un 63.16% para técnicas de estudio, seguido de un 61.05% para

técnicas verbales, a continuación un 50.53% para el organizadores gráficos y al final un 46.32%

correspondiente a técnicas audiovisuales, el promedio general equivale a 55.26% que proyecta a la

dimensión como “inaceptable” en la elaboración de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”,



4.1.5. Dimensión. Redacción


dimensión de Redacción establecida en la escala estimativa, aplicada a diferentes docentes en labor y

conocimiento de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática

para el 9no año de EGB.

40%

45%

50%

55%

60%

65%

70%

Organizadores

gráficos

Técnicas

audiovisuales

Técnicas

verbales

Técnicas de

estudio

50,53%

46,32%

61,05%63,16%

Elementos didácticos

67

Tabla N° 10.

Importancia de la dimensión: Redacción, por parte de los docentes.

Indicadores de la dimensión: Redacción 1 2 3 4 5 Total

x̅ %

1. Se usa un vocabulario que sea entendible para el estudiante. 0 2 8 7 2 3,47 69,47

2. Se respeta con rigurosidad las reglas ortográficas. 0 2 6 6 5 3,74 74,74

3. Las ideas se expresan de manera clara sin que se presten a

confusiones. 0 2 8 6 3 3,53 70,53





En relación con los resultados obtenidos la mayor media aritmética corresponde al ítem 2

“ortografía” con (3.74), seguido del ítem 3 “sintaxis” con (3.53), mientras la menor media aritmética

es el ítem 1 “vocabulario” con (3.47). La media aritmética total de la dimensión redacción es 3.58

considera entre “bueno y muy bueno” en la escala inicial, en conformidad con la tabla N° 10, se

evidencia que la redacción del texto es regular (3.58), presenta algunas faltas ortográficas y un escaso

vocabulario que sea afín a la comprensión de los estudiantes.

68

Gráfico N° 05.

Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Redacción.




Se evidencia en el grafico un 74.74% para la ortografía, seguido de un 70.53% para la sintaxis,

mientras al final un 69.47% correspondiente al vocabulario, entonces el promedio general es de

71.58% que define a la dimensión como “buena” en la redacción de la unidad 3: “Factorización y

ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el

Ministerio de Educación. Quinta impresión junio del 2018.

4.1.6. Dimensión. Ejercicios y cuestionarios


dimensión de Ejercicios y cuestionarios establecida en la escala estimativa, aplicada a diferentes

docentes en labor y conocimiento de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el

texto de Matemática para el 9no año de EGB.

60%

65%

70%

75%

80%

Vocabulario Ortografía Sintaxis

69,47%

74,74%

70,53%

Redacción

69

Tabla N° 11.

Importancia de la dimensión: Ejercicios y cuestionarios, por parte de los docentes.

Importancia de la dimensión: Ejercicios y cuestionarios 1 2 3 4 5 Total

x̅ %

1. Los ejercicios tienen relación directa con el tema 0 1 10 3 5 3,63 72,63

2. El grado de dificultad está acorde con los conocimientos

de noveno EGB. 0 2 5 8 4 3,74 74,74

3. Los ejercicios contribuyen a la consecución de los

objetivos. 0 3 4 8 4 3,68 73,68





Según los resultados obtenidos, la mayor media aritmética corresponde al ítem 2 “dificultad”

con (3.74), seguido del ítem 3 “secuencia” con (3.63), mientras la menor media aritmética es el ítem

1 “relación con el tema” con (3.63). Por ende la media aritmética total de la dimensión ejercicios y

cuestionarios es 3.68 considera entre “bueno y muy bueno” en la escala inicial, en conformidad con

la tabla N° 11, se observa que los ejercicios y cuestionarios del texto son buenos, casi destacados,

(3.68), principalmente muchos de estos ejercicios presentan una baja relación con el tema y los

ejemplos propuestos, en mismo sentido estos cuestionarios pueden llegar a tener una alta dificultad

para algunos alumnos.

70

Gráfico N° 06.

Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Ejercicios y cuestionarios.




En el grafico se evidencia en el grafico un 74.74% para la dificultad, seguido de un 73.58%

para la secuencia, mientras al final un 72.63% correspondiente a la relación con el tema, el promedio

general es de 73.68% que define a la dimensión como “buena” en a los ejercicios resueltos y

planteados en la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para

el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación. Quinta impresión junio del 2018.

4.2. Análisis e interpretación general de las dimensiones.

Es conveniente realizar un análisis de los resultados obtenidos en cada dimensión, para lograr

una compresión general de los datos recolectados por el instrumento, así ayudara a mejorar la

comprensión de manera global acerca de la estructura del texto de matemáticas para 9no EGB y en

específico de la unidad 3 factorización y ecuaciones, haciendo evidentes las mayores carencias que

presenta dicho texto. De acuerdo con las tablas anteriores, en la elaboración de la tabla general,

representa en la primera columna las 6 dimensiones, la segunda columna pertenece a la media

60%

65%

70%

75%

80%

Relación con el tema Dificultad Secuencia

72,63%

74,74%73,68%

Ejercicios y cuestionarios

71

aritmética, mientras la tercera columna le corresponde a los porcentajes de importancia resultados de

las 18 escalas estimativas aplicadas a los docentes de diferentes instituciones educativas.

Tabla N° 12.

Importancia general de las dimensiones analizadas.

Importancia general de las dimensiones Total

x̅ %

1. ARTE Y DISEÑO DE LA UNIDAD 3.43 68.68

2. ORGANIZACIÓN DEL CONTENIDO 3.57 71.37

3. ELEMENTOS FUNCIONALES 3.35 66.95

4. ELEMENTOS DIDÁCTICOS 2.76 55.26

5. REDACCIÓN 3.58 71.58

6. EJERCICIOS Y CUESTIONARIOS 3.68 73.68





Según los resultados obtenidos, la mayor media aritmética corresponde a la dimensión 6.

Ejercicios y cuestionario con (3.68), seguido de la dimensión 2 y 5 organización de contenido y

redacción con (3.57 y 3.58) respectivamente, a continuación las dimensiones 1 y 3 arte y diseño y

elementos funcionales con (3.43 y 3.35) ubicadas al centro de la distribución, y la menor dimensión

4. Elementos didácticos con (2.76). Por ende la media aritmética total de las dimensiones ejercicios

es 3.40 considera entre “bueno y muy bueno” en la escala inicial, la relación de valores determina

clara mente que la mayor deficiencia que presenta el texto en el uso de elementos didácticos al carecer

casi en su totalidad de organizadores gráficos, así como de técnicas de estudio bien diferenciadas.

72

Gráfico N° 07.

Valores porcentuales de la importancia general de las dimensiones.




En el grafico se evidencia un 73.68% para los ejercicios y cuestionario siendo el mayor

porcentaje considera a las tareas como buenas en su estructura, seguido de un 71.37% y un 71.58%

para la organización del contenido y la redacción respectivamente, al final un 55.26% correspondiente

a los elementos didácticos, lo que es inaceptable en un texto dirigido a la educación, en general el

promedio es de 67.92% que define al texto como regular en el carácter de su estructura metodológica

en la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, mientras al calcular la media aritmética general de las

dimensiones se obtiene un 3,40 sobre 5 con que se analiza a la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”,

desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, lo que la califica como un texto de

carácter bueno, con características que se pueden corregir y mejorar para su uso en la formación

académica de los estudiantes en las instituciones públicas.

73

CAPÍTULO V

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1 Conclusiones

De acuerdo con los datos proporcionados en la presente investigación, se concluye que:

❖ La unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no

año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación. Quinta impresión junio del 2018. Es

una unidad regular en su estructura, redacción y ejercicios, mientras que en base a los

elementos didácticos es inaceptable su carencia de organizadores y técnicas de estudio

sumamente importantes en el currículo nacional.

❖ La metodología más atractiva para la enseñanza de la unidad 3 factorización y ecuaciones es

una metodología Autoestructurante con una pedagogía constructivista. Para que el los temas

se relacionen correctamente con sus definiciones, normas y procesos. De esta manera se

lograra la creación del conocimiento fundamentado en las bases correctas para cada tema.

❖ El resultado general del análisis del texto muestra que su mayor carencia es la falta casi nula

de organizadores gráficos y técnicas de estudio. Aun cuando su mayor fortaleza se encuentra

en la pertinencia de ejercicios y cuestionarios, también se evidencia la baja relación de

correspondencia entre estos últimos y los ejercicios resueltos en cada tema.

❖ Además los elementos que son necesarios para llamar la atención del estudiante presentan una

baja importancia y presencia en el texto. Convirtiendo al texto en una lectura poca atractiva a

la vista y en ciertas partes confuso.

74

❖ Para mejorar la calidad técnico pedagogía del texto es necesario el apoyo externo, siendo este

brindado por el docente o como en este caso por la propuesta como un texto de ayuda que

pueda complementar los conocimientos del texto base utilizada en aula.

❖ Es considerable el realizar jornadas de acompañamiento pedagógico, así como seminarios que

ayude a los docentes y estudiantes a comprender que el uso de un texto complementario como

propuesta metodológica, apoya y enriquece el proceso de enseñanza - aprendizaje, además de

reforzar conocimientos y proporcionar herramientas para una educación con más calidad.

5.2 Recomendaciones

De acuerdo con las conclusiones en la presente investigación, se recomienda:

• Elaborar imágenes más llamativas, claras y con un tamaño adecuado para ser visualidad de

manera correcta y que el estudiante genere la curiosidad y preste la atención debida, así

también que los gráficos presentan relación con el tema de estudio.

• Que el contenido de la unidad presente una secuencia lógica con respecto a cada al tema

general y que cada uno de los subtemas presenten los objetivos de aprendizaje básicos para la

elaboración de los planes micro curriculares por parte del docente.

• Que los elementos funciones del texto, deben presentar ejemplos con relación a problemas de

la vida cotidiana, que sean reales y cumplan con las necesidades del tema, problemas que sean

de interés del estudiante para que pueda reflexionar en su contexto.

• Hacer énfasis en los elementos didácticos principalmente en la utilización de organizadores

gráficos y técnicas audiovisuales, muy necesarios para la organización de los conocimientos y

el refuerzo de los temas planteados en clase.

• Que la redacción del texto sea en un vocabulario amigable para los jóvenes pero sin perder la

coherencia con los términos matemáticos adecuados para cada tema, que cada párrafo guarde

relación sintáctica con las definiciones y procedimientos.

75

• Que los ejemplos, ejercicios, cuestionarios y actividades presenten una secuencia lógica tanto

con el tema como con la dificultad, haciendo énfasis en la relación entre los ejemplos y los

cuestionarios para que se presenten actividades de la misma índole.

• En general realizar una revisión minuciosa de texto. Para poder corregir errores en contexto

de materia y en relación con términos y símbolos matemáticos muy importantes al momento

de estudiar temas importantes

• Hacer un sondeo anual para la actualización de los textos y así mejorar uno tras otro cada

texto, de esta manera mejorar la calidad educativa de los estudiantes y del país en general.

76

CAPÍTULO VI

6. PROPUESTA

6.1 Introducción

Los estudiantes, docentes, padres de familia y en general toda persona que haya analizado un

texto publicado por el Ministerio de Educación, se ha notado fallas en cuanto a su redacción,

dificultad, comprensión o simplemente en su estructura, para los textos de matemáticas no hay

excepción, los cuales también presentan diversos errores en el lenguaje matemático, ejercicios,

ejemplos y procesos. Aun cuando los libros llevan un proceso de actualización cada cierto tiempo, es

necesario, que las metodologías sean actualizadas, en base a las técnicas de estudio que aporten

organizadores gráficos y técnicas audiovisuales a manera de refuerzo.

Se plantea elaboración de un propuesta metodológica para la enseñanza de la Unidad 3:

“Factorización y Ecuaciones”, desarrollada en la quinta impresión del texto de Matemática dirigida a

estudiantes del 9no año de EGB y publicado en junio del 2018 por el Ministerio de Educación, como

un texto complementario de refuerzo, donde los estudiantes y docentes pueden consultar y reforzar

los conocimientos del texto inicial. La propuesta contiene los casos de factorización fundamentales

en el texto mencionado, con un total de 13 casos de factoreo basados en los productos notables de la

Unidad 2, mientras el apartado de ecuaciones estudia el proceso para resolver ecuaciones de primer

grado con una incógnita además de algunos casos con problemas de la misma índole.

6.2 Justificación

La propuesta se justifica en base a los resultados del capítulo 4 y 5. Donde se detallan las

carencias de la Unidad 3: “Factorización y Ecuaciones” del texto de Matemática de 9no año de EGB

para estudiantes. Información recuperada de diferentes docentes mediante escala estimativa que

refleja las deficiencias, del texto en análisis para sustentar que los materiales utilizados en clase son

herramientas que ayudan tanto a estudiantes como a docentes mediante herramientas didácticas a

77

mejorar sus conocimientos a través de diversas actividades desarrolladas en clase (Mena Leon, 2019).

Se da importancia al contenido, estructura y herramientas que el libro precisa para ser utilizado.

Además Mena Leon, (2019) concluye que “Los libros de textos deben estar adecuados y

actualizados para que los niños y niñas puedan apropiarse del conocimiento mientras que el docente

es un facilitador del conocimiento que apoya a los estudiantes en el proceso de enseñanza –

aprendizaje” (p. 57). Haciendo énfasis en la actualización y corrección de los libros proporcionados

por el Ministerio de Educación, así es considerable que el principal sustento de la propuesta se

encuentra en el Reglamento general a la ley orgánica de educación intercultural. Titulo XI de la

provisión de textos, alimentación y uniformes escolares. Capítulo I De las normas generales.

Art. 374.- Actualización de textos escolares y recursos didácticos. Los textos escolares, guías

del docente, cuadernos de trabajo y demás recursos que se proporcionaren gratuitamente en

los establecimientos públicos y fiscomisionales serán actualizados de conformidad con lo

establecido en los estándares de calidad educativa y el currículo nacional obligatorio. Al menos

cada tres (3) años, el Nivel Central de la Autoridad Educativa Nacional debe realizar una

evaluación de dichos recursos y debe determinar la pertinencia de su actualización. (p. 108)

De acuerdo con lo expuesto, la propuesta es un reflejo claro del tiempo y las condiciones para

crear un libro que sirva como apoyo fundamental en la actualización de los textos del Ministerio de

Educación, se presenta la oportunidad de crear un material adicional que permita la corrección de las

fallas y la actualización de conocimientos, así también presentar un texto viable que sea de fácil acceso

y comprensión para toda la comunidad educativa del país.

6.3 Objetivo

6.3.1 Objetivo general

Elaborar el libro de texto sobre la propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3:

“Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB,

y publicado por el Ministerio de Educación mediante talleres pedagógicos.

78

6.3.2 Objetivos específicos

➢ Estimar la factibilidad de la realización de jornadas académicas de acompañamiento para el

libro “Factorización y ecuaciones”, a los docentes de diferentes instituciones educativas

pretendiendo la utilización como texto complementario para la mejora del rendimiento

académico.

➢ Diseñar un cronograma para las jornadas académicas de acompañamiento a la propuesta para

la enseñanza de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de

Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación, para mejorar

el rendimiento académico de estudiantes.

➢ Evaluar a los docentes en la utilización de la propuesta metodológica para la enseñanza de la

unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no

año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación mediante talleres pedagógicos.

6.4 Marco referencial

La iniciativa para crear una propuesta metodológica, es la creación de un documento de apoyo

a texto base, además de la actualización y corrección de ciertas fallas en la unidad 3: “Factorización

y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el

Ministerio de Educación. Quinta impresión del 2018.

La propuesta contiene los casos de factorización fundamentales en el texto mencionado con

un total de 13 casos de factoreo basados en los productos notables de la Unidad 2, mientras el apartado

de ecuaciones estudia el proceso para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita además

una diferenciación de los casos posibles a presentarse de problemas de ecuaciones de la misma índole.

En conjunto se presenta un calendario referencial para capacitar a los decentes en el uso de la

propuesta, con la finalidad de aprovechar el contenido al cien por ciento para desarrollar clases más

activas y dinámicas que tengan al estudiante en un aprendizaje reforzado, esto mediante un modelo

constructivista que le permita al estudiante generar soluciones diversas de los problemas planteados.

79

6.4.1. Validación del instrumento.

El instrumento de factibilidad, al igual que el instrumento de recolección de datos, fue validado

por parte de un experto en investigación educativa, el cual valoro, a su buen juicio, la estructura y

contenido del formato aplicado para determinar la factibilidad, esta validación permitirá la

continuación del proyecto, posterior a la creación de la propuesta, realizar un seguimiento en las

instituciones educativas que lo permitan del uso del libro Factorización y Ecuaciones, así lograra un

mejoramiento constante y actualización a su póstuma publicación.

Es por esto que, para la respectiva valides se entregó los siguientes documentos:

✓ Oficio dirigido al experto firmado por el investigador.

✓ Instructivo para la valoración de instrumentos.

✓ Instrumento de factibilidad.

✓ Formularios de validación para registrar la opinión sobre cada ítem.

✓ Formato de datos generales donde conste la firma del experto.

La validación de este instrumento fue realizada por los siguientes expertos:

Tabla N° 13.

Validación del instrumento de factibilidad por parte del experto.

Experto Área Lugar de Trabajo

Msc. Calixto Guamán Investigación Universidad Central del Ecuador

Fuente: Validez del instrumento de factibilidad.


6.4.2. Confiabilidad del instrumento de factibilidad

Para determinar la confiabilidad se aplicó una prueba a 18 profesores de matemáticas, quienes

mediante un análisis expresaron su criterio de factibilidad. Estos resultados fueron tabulados por la

hoja electrónica del Alfa de Cronbach para establecer su nivel confiabilidad. (Anexo)

Fórmula para el cálculo de la confiabilidad mediante el Alfa de Cronbach.

80

Método 2.

𝛼 =𝑘

𝑘 − 1[1 −

∑ 𝑆𝑖2

𝑆𝑇2 ]

Dónde:


∑ 𝑆𝑖2 = Sumatoria de las desviaciones típicas

𝑆𝑇2 = desviación típica total

Confiabilidad del instrumento. Método 2

𝛼 =25

24[1 −

26.327

298.5]

𝜶 = 𝟎. 𝟖𝟕

Se verifica que en el cálculo del método mediante el alfa de Cronbach da como resultado 𝜶 =

𝟎. 𝟗𝟓. Por lo tanto esta cantidad es muy beneficiosa para la investigación debido a que determina una

alta confiabilidad en el instrumento de factibilidad según la tabla N° 04 Escala de Confiabilidad.

6.5. Características de la capacitación

Para la aplicación de la propuesta metodológica como lo es el texto factorizaciones y

ecuaciones, es necesario realizar una capitación previa en el uso del mismo. Esta capacitación debe

de ser interactiva y evaluada en aspectos como: objetivos, contenidos, creatividad y refuerzo. Por esto

la capacitación presenta las siguientes características.

• Una estética agradable.

El lugar y los insumos utilizados debes ser propositivos al uso del profesor y a la vista de los

participantes. El posible utilizar un lugar amplio y bien ventilado, con buena iluminación. Así mismo

los materiales de apoyo como proyectores o carteles deben estar en un lugar donde sea visible, las

aulas de clase siempre que sean adecuadas para el seguimiento de las jornadas de acompañamiento,

caso contrario se puede utilizar un aula de conferencias o auditorio para tener un mayor número de

participantes.

81

• Voz positiva.

El profesor debe saber regular su voz de manera que todos los participantes puedan escuchar,

a su vez debe vocalizar de manera tal que logre un lenguaje fluido y pueda comunicar los contenidos

de la capitación de forma clara y precisa, una voz fuerte y clara acompaña de ideas y mensajes breves

y directos, evitando lo más posible el uso de muletillas gramaticales así como de trabarse al momento

de la exposición, además se recomiendo realizar preguntas a nivel general al público y esperar un

respuesta con argumentos.

• Elementos interactivos.

Es posible basarse en diferentes elementos para hacer de la clase a seguir, un momento más

ameno para las personas. Implantar actividades dinámicas que mantengan al participante despierto y

enfocado, de igual forma el utilizar técnicas didácticas, lúdicas para impartir una capacitación de alto

nivel, es recomendable comenzar con una dinámica de inclusión y terminar la jornada con un

recolección de las ideas más importantes impartidas a lo largo del tiempo de la jornada.

• Cohesión estructural y objetivos claros.

Comenzar presentando los objetivos de la capacitación y seguir un hilo continuo en el

desarrollo de los contenidos, ayudara a completar de forma exitosa todo el plan aplicado en los

horarios respectivos, así como utilizar material que permita visualizar las ideas, es un recurso

importante para alcanzar el éxito en las jornadas de acompañamiento y poder determinar el mayor

porcentaje de entendimiento dentro de los participantes sobre el uso del libro de texto.

• Culminación y evaluación.

El cierre debe ir enfocado con responder las preguntas de los participantes, aclarando dudas

que pudieron surgir en el cuerpo de la jornada, además es importante realizar un resumen estándar de

los aspectos más importantes, que proporción al profesor como a los participantes una conclusión

clara de lo tratado en el tiempo trabajado, permitir que sean quienes elaboren el cuadro de resumen o

82

utilizando organizadores gráficos creativos para la posterior evaluación de los participantes la que

será útil para que el profesor mejore constante en sus posteriores presentaciones.

6.6. Factibilidad

Para determinare la factibilidad del uso da propuesta metodológica, se elaboró un instrumento

de recolección acerca de vialidad que tienen las instituciones educativas para capacitar a sus decentes

acerca del usa de textos y la metodología para los mismos. Este instrumento fue dirigido diferentes

docentes de instituciones educativas y que tiene conocimiento en el uso del texto, fuente de análisis

de esta investigación.

Una vez recolectados los datos de los instrumentos de factibilidad se procede a realizar el

cálculo de la media aritmética y del porcentaje de factibilidad para cada ítem, para facilitar la

interpretación de los resultados se presenta la siguiente tabla de equivalencia a la escala utilizada en

el instrumento.

Tabla N° 14.

Interpretación de resultados de instrumentos de factibilidad.

N° Escala Porcentaje

1 Totalmente en desacuerdo 0% - 20%

2 En desacuerdo 21% - 40%

3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo 41% - 60%

4 De acuerdo 61% - 80%

5 Totalmente de acuerdo 81% - 100 %

Fuente: instrumento de factibilidad.


83

6.6.1. Análisis e interpretación de resultados

• Factores humanos

Tabla N° 15.

Factibilidad de los factores humanos.

Ítem 1 2 3 4 5 x̅ %

1.1. Los recursos humanos de la institución educativa en que labora,

están dispuestos a inscribirse en capacitaciones acerca del uso

de textos para desarrollar el tema de factorización y ecuaciones.

4 5 5 2 1 3.61 72.22

1.2. La institución educativa en que labora dispone de profesionales

capacitados para asistir a seminarios acerca del uso de textos

para desarrollar el tema de “factorización y ecuaciones”.

4 8 3 3 0 3.72 74.44

MEDIA ARITMÉTICA GENERAL 3.67 73.33

Fuente: instrumentos de factibilidad

Elaborado por: Bahamonde M. Bryan M. (Investigador)


En base a la tabla de factibilidad para factores humanos, se evidencia que la mayor factibilidad

con 74.44% se da para el ítem 1.2 considerando que las instituciones educativas si cuentan con

profesionales capacitados para asistir a seminarios. Del mismo modo con un 72.22% del ítem 1.1

considera que las instituciones si disponen de recursos humanos para asistir a una capacitación. Por

ende el promedio general de la tabla lo deja en un 73.33% considerado como “de acuerdo” en la

constancia de factores humanos en las instituciones de educación. Por lo tanto los docentes están de

acuerdo que en sus instituciones educativas existe personal dispuesto a recibir capacitaciones acerca

del uso de textos para desarrollar el tema de “factorización y ecuaciones.

84

• Factores sociales.

Tabla N° 16.

Factibilidad de los factores sociales.

Ítem 1 2 3 4 5 x̅ %

2.1. Los docentes de la institución educativa en que labora, tienen

predisposición para asistir a capacitaciones relacionadas con

el uso de textos para desarrollar el tema de “factorización y

ecuaciones”.

5 5 4 3 1 3.56 71.11

2.2. El uso de textos para desarrollar el tema de “factorización y

ecuaciones”, permite mejorar la calidad del proceso de

enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática.

4 8 4 0 2 3.67 73.33

2.3. El uso de textos para desarrollar el tema de “factorización y

ecuaciones” en el aprendizaje de Matemática, permite

mejorar la gestión docente dentro y fuera del aula.

7 7 2 0 2 3.94 78.89

2.4. La utilización de textos para desarrollar el tema de

“factorización y ecuaciones” en el aprendizaje de

Matemática, permiten mejorar la calidad profesional de los

docentes de la Institución.

5 5 5 3 0 3.67 73.33





En base a la tabla de factibilidad para factores sociales, se evidencia que la mayor factibilidad

con 78.98% se da para el ítem 2.3 considerando que las instituciones educativas si cree que el uso de

textos mejora la gestión docente. Del mismo modo con un 73.33% del ítem 2.2 y 2.4 considera que

las instituciones si disponen de recursos humanos para asistir a una capacitación. Por ende el promedio

general de la tabla lo deja en un 73.33% considerando las instituciones educativas están de acuerdo

en la constancia de factores sociales para recibir capacitaciones.

85

• Factores legales.

Tabla N° 17.

Factibilidad de los factores legales.

Ítem 1 2 3 4 5 x̅ %

3.1. La institución educativa en que labora, dispone de normas

legales que apoyen los proyectos de capacitación en el uso de

textos complementarios para proceso de enseñanza aprendizaje.

3 7 7 0 1 3.61 72.22

3.2. La institución educativa en que labora, dispone del marco legal

correspondiente, para la implementación de capacitaciones para

mejorar la metodología en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

5 5 4 4 0 3.61 72.22

3.3. El Reglamento Interno de la institución educativa en que labora,

contempla la posibilidad de implementar textos

complementarios en el proceso de enseñanza aprendizaje de

Matemática.

5 7 5 0 1 3.83 76.67





En base a la tabla de factibilidad para factores legales, se evidencia que la mayor factibilidad

con 76.67% se da para el ítem 3.3 considerando que las instituciones educativas si mantienen un

reglamento interno que contempla la implementación de capacitaciones. Del mismo modo con un

72.22% del ítem 3.1 y 3.2 considera que las instituciones si disponen de normas y de un marco legal

para asistir a una capacitación. Por ende el promedio general de la tabla lo deja en un 73.7%

considerado que las instituciones educativas están de acuerdo en la constancia de factores legales

para recibir capacitaciones en el uso de textos complementarios t mejorare la enseñanza de

matemáticas.

86

6.6.2. Factibilidad general.

Tabla N° 18.

Factibilidad general de la capacitación.

Factibilidad general de la capacitación Total

x̅ %

1. Factibilidad humana 3.67 73.33

2. Factibilidad social 3.71 74.17

3. Factibilidad legal 3.68 73.7

MEDIA ARITMÉTICA 3,69 73.73




En base a la tabla de factibilidad general, se evidencia que la mayor factibilidad con 74.17%

se da los recursos sociales considerando que las instituciones educativas si tiene predisposición para

capacitar a sus docentes en el uso de un texto que ayude a mejorar la metodología utilizada en la

enseñanza de factorización y ecuaciones, seguido de un 73.7% correspondiente a los factores legales

que toda institución debe considerar tener un reglamento interno que contempla la implementación de

capacitaciones. Y un 73.33% de factores humanos que considera que los docentes de las instituciones

si predisposición de asistir a capacitaciones.

Por lo tanto, el promedio general de la tabla deja un 3.69 correspondiente a 73.73%

considerado que las instituciones educativas están de acuerdo en la implementación de capacitaciones

en el uso de textos complementarios para mejorar la enseñanza de matemáticas. En específico en la

enseñanza de factorización y ecuaciones. Desarrolladas en la unidad 3 del texto de 9 EGB.

87

6.7. Capacitación

6.7.1 Modelo de trabajo

Para aprovechar al máximo y mejorar la asimilación de los contenidos de la propuesta, se

desarrollaran seminarios a través de conferencias, que tomara en cuenta cada título en que se

desarrolla los temas de la propuesta.

✓ Primera etapa: saludo general y constatación de asistencia de los participantes. Exposición

del facilitador acerca del desarrollo del tema de la conferencia utilizando proyector y/o

computador. Participación de los docentes y contestación de preguntas.

✓ Segunda Etapa: Los participantes trabajan en sesiones individuales y/o grupales a manera de

talleres con un método de clase invertida para la enseñanza de los temas propuestos y el cual

se basa en el modelo constructivista.

✓ Tercera Etapa: Desarrollo de una mesa redonda dirigida en discusión de la síntesis y

conclusiones de la aplicación de la propuesta.

Esta propuesta se desarrollara en 6 seminarios distribuidos en dos semanas, la primera respecto

los casos de factorización y la segunda a los problemas de ecuaciones de primer grado con una

incógnita. Para lo cual se presenta un cronograma que considera los siguientes parámetros: el número

de seminario, el tema, el tiempo de duración, y el número de horas.

6.7.2 Recursos

Los recursos humanos, materiales y físicos necesarios para el desarrollo de los seminarios

serán utilizados únicamente para la presentación y análisis de los temas de la propuesta. Estos recursos

son con los que cuente la institución educativa para el desarrollo de un seminario; estos pueden ser:

computador, proyector, pizarrón, marcadores, papelógrafo, texto del ministerio para 9no EGB, texto

complementario “factorización y ecuaciones” entre otros.

88

6.7.3 Cronograma

Tabla N° 19.

Seminario de casos de factorización. Semana 1.

N° Tema Sub temas Tiempo N° Horas

1 Factores • Descomposición de factores.

• Factor común monomio y polinomio. 1dia 2h

2 Binomios • Diferencia de cuadrados

• Suma y diferencia de cubos 1dia 2h

3 Polinomios • Trinomios

• Regla de Ruffini 1 día 3h

Evaluación 1 día 1h

Total: tiempo 4 días, carga horaria 8 horas

Fuente: criterio propio del investigador


Tabla N° 20.

Seminario de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Semana 2.

N° Tema Sub temas Tiempo N° Horas

1 Ecuaciones

• Igualdades y Ecuaciones.

• Ecuaciones Equivalentes.

• Ecuaciones de primer grado.

1dia 2h

2 Problemas I

• Transformación del lenguaje verbal al

lenguaje algebraico

• Procedimiento para resolver problemas

• Problemas con Números.

1dia 2h

3 Problemas II

• Problemas con cantidades.

• Problemas con edades.

• Problemas con Perímetros y Áreas.

• Problemas de Reloj.

1 día 3h

Evaluación 1 día 1h

Total: tiempo 4 días, carga horaria 8 horas

Fuente: criterio propio del investigador


89

6.7.4 Evaluación

La evaluación para cada semana de los seminarios, realizará mediante herramientas digitales.

Mediante diversas actividades de evaluación:

✓ Se realizarán talleres de aplicación al finalizar el desarrollo de la capacitación y resúmenes

mediante organizadores gráficos después de cada seminario.

✓ Se enviarán actividades adicionales como practicas virtuales para mejorar la comprensión de

cada seminario.

✓ Se evaluara el empleo de la propuesta, mediante la observación de una clase y recolección de

opiniones mediante una encuesta hecha a los estudiantes.

Para la evaluación de la capacitación se solicitara la colaboración de los participantes al llenar

una matriz de evaluación, misma que servirá para calificar al capacitador y al contenido de la

capacitación.

Se anexa el modelo de evaluación

6.8 Propuesta libro

Se anexa el texto de “factorización y ecuaciones”

90

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disposition=inline%3B+filename%3DTEORIAS_DEL_APRENDIZAJE.pdf&Expires=159958

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93

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94

ANEXOS

Anexo N° 01: Instrumento de recolección de datos (Escala estimativa)


FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA DE

MATEMÁTICA Y FÍSICA

ESCALA ESTIMATIVA PARA LA EVALUACIÓN DEL TEXTO DE MATEMÁTICA DE

NOVENO DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA DEL MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DATOS GENERALES DEL TEXTO

Título del libro: MATEMÁTICA 9° EGB Autores: Proyecto licitación Ministerio de Educación

Editorial: SMEcuaediciones 2016 Fecha de edición: 2018

Número de edición: quinta Asignatura: Matemática

Bloque: Álgebra y funciones Unidad: 3 Factorización y ecuaciones

INSTRUCCIONES:

Lea cuidadosamente cada uno de los siguientes indicadores para la evaluación del texto. Luego,

registre una (x), en la celda correspondiente, considerando la siguiente escala:

1. INACEPTABLE 2. ACEPTABLE 3. BUENO 4.DESTACADO 5.EXCELENTE

No 1. ARTE Y DISEÑO DE LA UNIDAD 1 2 3 4 5

Subtotal

1.1. El efecto artístico de la carátula de la unidad capta la atención del

estudiante.

1.2. Las ilustraciones que presenta el texto están relacionadas con el tema.

1.3. El tamaño y la distribución de las ilustraciones en el texto están de acuerdo

con el formato del contenido.

1.4. La disposición del contenido en la página es comprensible y ayuda al proceso

de enseñanza-aprendizaje.

95

No 2. ORGANIZACIÓN DEL CONTENIDO

2.1. La unidad presenta los objetivos de aprendizaje a alcanzar con claridad.

2.2. Existe coherencia entre los contenidos temáticos y la unidad didáctica

2.3. Hay una secuencia lógica en el orden en que se presentan los contenidos

temáticos

2.4. El contenido se encuentra estructurado de manera que facilite la

comprensión.

2.5. Se plantea ejemplos que contribuyan al desarrollo de la destreza.

No 3. ELEMENTOS FUNCIONALES

3.1. Los contenidos temáticos están adecuados al nivel de madurez bio-

psicológico del alumno.

3.2. Existen secciones que consideran las experiencias previas del estudiante.

3.3. Se consideran las necesidades e intereses del estudiante.

3.4. Los contenidos permiten el desarrollo de competencias

3.5. Estimula el desarrollo del pensamiento reflexivo

3.6. Plantea ejemplos con base en las actividades de la vida real

No 4. ELEMENTOS DIDÁCTICOS

4.1. Emplea organizadores gráficos (diagramas, flujogramas, mentefactos, ...)

4.2. Emplea técnicas audiovisuales (Celular, Tablet, …)

4.3. Emplea técnicas verbales (Anécdotas, Historias, Biografías de

Personajes,…)

4.4. Utiliza técnicas de estudio

No 5. REDACCIÓN

5.1. Se usa un vocabulario que sea entendible para el estudiante

5.2. Se respeta con rigurosidad las reglas ortográficas

5.3. Las ideas se expresan de manera clara sin que se presten a confusiones

No 6. EJERCICIOS Y CUESTIONARIOS

6.1. Los ejercicios tienen relación directa con el tema

6.2. El grado de dificultad está acorde con los conocimientos de noveno EGB

6.3. Los ejercicios contribuyen a la consecución de los objetivos

SUMA TOTAL

96

Firma:

Nombre :

Teléfono:

Lugar de trabajo:

E-mail:

Anexo N° 02: Cálculo del “Alfa de Cronbach” de la escala estimativa.

3 3 4 2 2 4 3 4 4 4 3 2 3 2 4 4 4 3 2 0,659

4 3 5 4 3 5 2 4 3 5 4 2 5 2 5 4 5 4 2 1,247

4 3 4 3 3 4 2 4 3 4 4 2 4 2 4 4 5 4 3 0,670

5 3 4 3 1 4 4 4 3 3 4 2 4 2 5 4 4 3 2 1,075

1 3 4 4 2 5 3 4 3 1 4 3 5 2 5 4 1 3 4 1,640

4 3 4 4 3 5 3 4 3 5 4 4 5 3 5 5 3 4 2 0,765 k = 25 k = número de items

4 2 5 3 3 4 3 4 2 4 4 4 5 2 4 5 4 3 1 1,197

4 3 4 3 2 4 3 4 2 5 4 3 5 2 5 5 4 3 2 1,091

4 3 4 5 5 3 4 4 2 4 4 3 5 2 4 5 5 4 2 1,008

3 3 4 4 3 5 4 4 2 5 3 2 3 3 5 4 4 3 2 0,881

1 2 4 4 3 5 3 4 2 1 4 3 4 3 5 3 5 3 4 1,374 α = k ΣVᵢ

2 3 4 4 3 5 2 4 1 3 4 2 4 3 4 3 3 3 3 0,870 k -1 VT

2 4 4 3 3 4 3 4 2 4 4 2 4 2 4 5 4 4 3 0,770

3 3 3 4 3 5 3 4 3 3 4 2 5 2 4 4 3 4 2 0,759

4 2 3 3 3 5 3 4 2 4 4 2 4 2 5 4 3 3 3 0,848 α = 25 24,9418

1 2 3 1 2 2 2 3 3 1 4 4 5 3 3 4 3 1 1 1,407 24 282,8

1 2 3 1 2 2 2 4 3 1 4 4 4 2 2 3 2 1 1 1,163

3 3 3 2 3 3 1 4 3 1 4 4 4 2 3 4 4 5 2 1,102

2 3 3 2 1 4 3 4 3 1 4 4 5 2 4 4 4 5 2 1,396

4 3 3 3 2 4 3 3 3 5 4 4 5 3 4 4 4 3 2 0,670 α = 0,95

4 3 3 3 3 5 4 3 2 4 4 4 5 3 5 4 5 5 2 0,931

3 3 3 3 3 4 4 3 2 4 4 4 5 3 5 5 4 3 2 0,776

4 3 3 3 3 5 3 4 3 5 3 3 5 3 4 5 5 3 2 0,864

4 3 3 4 2 5 3 4 3 4 4 4 5 3 5 4 5 4 2 0,825

4 4 3 4 3 5 3 4 2 4 4 4 5 2 5 5 4 3 2 0,953

24,942 ΣVᵢ

78 72 90 79 66 106 73 96 64 85 97 77 113 60 108 105 97 84 55 282,776 VT

1-

1-

N° ItemSujeto

1.1.

1.2.

1.3.

3.5.

3.6.

4.1.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

09

6.1.

6.2.

6.3.

01 02

5.2.

5.3.

4.2.

4.3.

4.4.

5.1.

3.2.

3.3.

04 05 06 07

3.1.

03

1.4.

08 Varianza10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3.4.k

Σ Item

3 3 4 2 2 4 3 4 4 4 3 2 3 2 4 4 4 3 2 0,659

4 3 5 4 3 5 2 4 3 5 4 2 5 2 5 4 5 4 2 1,247

4 3 4 3 3 4 2 4 3 4 4 2 4 2 4 4 5 4 3 0,670

5 3 4 3 1 4 4 4 3 3 4 2 4 2 5 4 4 3 2 1,075

1 3 4 4 2 5 3 4 3 1 4 3 5 2 5 4 1 3 4 1,640

4 3 4 4 3 5 3 4 3 5 4 4 5 3 5 5 3 4 2 0,765 k = 25 k = número de items

4 2 5 3 3 4 3 4 2 4 4 4 5 2 4 5 4 3 1 1,197

4 3 4 3 2 4 3 4 2 5 4 3 5 2 5 5 4 3 2 1,091

4 3 4 5 5 3 4 4 2 4 4 3 5 2 4 5 5 4 2 1,008

3 3 4 4 3 5 4 4 2 5 3 2 3 3 5 4 4 3 2 0,881

1 2 4 4 3 5 3 4 2 1 4 3 4 3 5 3 5 3 4 1,374 α = k ΣVᵢ

2 3 4 4 3 5 2 4 1 3 4 2 4 3 4 3 3 3 3 0,870 k -1 VT

2 4 4 3 3 4 3 4 2 4 4 2 4 2 4 5 4 4 3 0,770

3 3 3 4 3 5 3 4 3 3 4 2 5 2 4 4 3 4 2 0,759

4 2 3 3 3 5 3 4 2 4 4 2 4 2 5 4 3 3 3 0,848 α = 25 24,9418

1 2 3 1 2 2 2 3 3 1 4 4 5 3 3 4 3 1 1 1,407 24 282,8

1 2 3 1 2 2 2 4 3 1 4 4 4 2 2 3 2 1 1 1,163

3 3 3 2 3 3 1 4 3 1 4 4 4 2 3 4 4 5 2 1,102

2 3 3 2 1 4 3 4 3 1 4 4 5 2 4 4 4 5 2 1,396

4 3 3 3 2 4 3 3 3 5 4 4 5 3 4 4 4 3 2 0,670 α = 0,95

4 3 3 3 3 5 4 3 2 4 4 4 5 3 5 4 5 5 2 0,931

3 3 3 3 3 4 4 3 2 4 4 4 5 3 5 5 4 3 2 0,776

4 3 3 3 3 5 3 4 3 5 3 3 5 3 4 5 5 3 2 0,864

4 3 3 4 2 5 3 4 3 4 4 4 5 3 5 4 5 4 2 0,825

4 4 3 4 3 5 3 4 2 4 4 4 5 2 5 5 4 3 2 0,953

24,942 ΣVᵢ

78 72 90 79 66 106 73 96 64 85 97 77 113 60 108 105 97 84 55 282,776 VT

1-

1-

N° ItemSujeto

1.1.

1.2.

1.3.

3.5.

3.6.

4.1.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

09

6.1.

6.2.

6.3.

01 02

5.2.

5.3.

4.2.

4.3.

4.4.

5.1.

3.2.

3.3.

04 05 06 07

3.1.

03

1.4.

08 Varianza10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3.4.k

Σ Item

97

Anexo N° 03: Validación de instrumentos de recolección de datos por parte de expertos.

Experta de matemática: Lcda. Johana Flores

100

Experto en matemática: Lcdo. Nelson Mejía

103

Experto en lenguaje: MSc. Calixto Guamán

106

Anexo N° 04: Instrumento para determinar la Factibilidad.


FACULTAD DE FILOSOFÍA LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

USO DE LA PROPUESTA METODOLÓGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA UNIDAD 3:

“FACTORIZACIÓN Y ECUACIONES”, DESARROLLADA EN EL TEXTO DE

MATEMÁTICA PARA EL 9NO AÑO DE EGB, Y PUBLICADO POR EL MINISTERIO DE

EDUCACIÓN. QUINTA IMPRESIÓN JUNIO DEL 2018.

ENCUESTA DIRIGIDA A DOCENTES DE INSTITUCIONES EDUCATIVAS.

La presente encuesta tiene por objetivo recoger la información necesaria para determinar la

factibilidad del uso del libro “FACTORIZACIÓN Y ECUACIONES” por parte de docentes

en instituciones educativas para la enseñanza de Matemática, en el desarrollo de sus clases.

DATOS PERSONALES:

Nombre: …………………………………………………………………………………………………..

Cargo que desempeña: …………………...………………..……………………………………………...

Tiempo de trabajo: ………………………….…………………………………………………………….

Título: …………………………………………………….……………………………………………….

1 Totalmente en desacuerdo 0%

2 En desacuerdo 25 %

3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo 50 %

4 De acuerdo 75 %

5 Totalmente de acuerdo 100 %

Se Agradece contestar las siguientes preguntas con toda honestidad y precisión.

INSTRUCCIONES

Lea cuidadosamente cada enunciado y reflexione la factibilidad, luego marque con “x”, el casillero

correspondiente a la respuesta que mejor exprese su opinión, considerando la siguiente escala:

107

ENUNCIADOS 1 2 3 4 5

1. FACTORES HUMANOS

1.1. Los recursos humanos de la institución educativa en que labora, están

dispuestos a inscribirse en capacitaciones acerca del uso de textos para

desarrollar el tema de “factorización y ecuaciones

1.2. La institución educativa en que labora dispone de profesionales capacitados

para asistir a seminarios acerca del uso de textos para desarrollar el tema de

“factorización y ecuaciones”.

2. FACTORES SOCIALES

2.1. Los docentes de la institución educativa en que labora, tienen predisposición

para asistir a capacitaciones relacionadas con el uso de textos para

desarrollar el tema de “factorización y ecuaciones”.

2.2. El uso de textos para desarrollar el tema de “factorización y ecuaciones”,

permite mejorar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la

asignatura Matemática.

2.3. El uso de textos para desarrollar el tema de “factorización y ecuaciones” en

el aprendizaje de Matemática, permite mejorar la gestión docente dentro y

fuera del aula.

2.4. La utilización de textos para desarrollar el tema de “factorización y

ecuaciones” en el aprendizaje de Matemática, permiten mejorar la calidad

profesional de los docentes de la Institución.

3. FACTORES LEGALES

3.1. La institución educativa en que labora, dispone de normas legales que

apoyen los proyectos de capacitación en el uso de textos complementarios

para proceso de enseñanza aprendizaje.

3.2. La institución educativa en que labora, dispone del marco legal

correspondiente, para la implementación de capacitaciones para mejorar la

metodología en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

3.3. El Reglamento Interno de la institución educativa en que labora, contempla

la posibilidad de implementar textos complementarios en el proceso de

enseñanza aprendizaje de Matemática.

108

Anexo N° 05: Calculo del “Alfa de Cronbach” para la factibilidad.

109

Anexo N° 06: Validación de instrumentos para determinar la factibilidad.

Experto en investigación: Msc. Calixto Guamán

112

Anexo N° 07: Matriz de evaluación para la capacitación.

REGISTRO PARA LA EVALUACIÓN DE ACTIVIDAD DE CAPACITACIÓN

Seminario acerca del:

“uso de la propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3: “factorización y

ecuaciones”, desarrollada en el texto de matemática para el 9no año de EGB, y publicado por

el ministerio de educación. Quinta impresión junio del 2018.”

Capacitador: Bahamonde M. Bryan Fecha: 18/11/2020 Horario: …………….

Por favor, conteste en la manera más honesta posible las siguientes preguntas. No es necesario que

escriba su nombre. Toda sugerencia adicional que nos aporte se la agradeceremos e intentaremos

realizar los mejoramientos pertinentes en las próximas actividades.

Por favor, evalúe en la escala 1-4.

1. Deficiente 2. Suficiente 3. Bueno 4. Muy bueno

Muchas gracias.

N° ÍTEMS Escala para la evaluación

1. Sobre el capacitador 1 2 3 4

1. Posee conocimiento y dominio del tema

2. Es capaz de comunicar y transmitir ideas

3. Posee la habilidad para responder preguntas

4. Orienta la realización de los talleres

5. Orienta al grupo hacia los objetivos del seminario

6. Respeta las ideas y aportes de los participantes

7. Favorece el trabajo en equipo

N° 2. SOBRE EL CURSO

1. Cumplimiento del programa propuesto

2. Contenido temático teniendo en cuenta su utilidad práctica

3. Utilidad del material para el logro de los objetivos planteados

4. Logro de los objetivos propuestos

113

5. La metodología utilizada dentro del curso es adecuada.

N° 3.SOBRE LA LOGÍSTICA DEL CURSO

1. Infraestructura y comodidad del lugar de capacitación

2. Calidad del material entregado

3. Cumplimiento del horario y del programa

4. OBSERVACIONES

FIRMA

NOMBRE

CARGO

TITULO

E- MAIL

114

Anexo N° 08. Validación de la Propuesta - Texto "factorización y ecuaciones".

Experta en matemática: Lcda. Catherine Villamarín

116

Anexo N° 09: Libro de texto “Factorización y Ecuaciones”.

117

(ι̇∂+m)ψ=0

Bryan M. Bahamonde M.

Quito - Ecuador

118

“El poder de las

matemáticas

está a menudo

en cambiar una

cosa en otra,

cambiar la

geometría en

lenguaje.

-Marcus Du

Sautoy

i

{ } FACTORIZACIÓN

Y ECUACIONES

Bryan M. Bahamonde M.

Quito - Ecuador

(ι̇∂+m)ψ=0

ii

TÍTULO DE LA OBRA:

Factorización y Ecuaciones

AUTOR:

Lic. Bahamonde M. Bryan Mauricio

[email protected]

[email protected]

LICENCIADO EN PEDAGOGÍA

DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES,

MATEMÁTICA Y FÍSICA DE LA


ISBN: 978-9942-38-687-8

Primera edición, octubre 2020.

DERECHOS RESERVADOS

No está permitida la reproducción total o

parcial de este libro por ningún medio:

electrónico, mecánico u otros métodos;

sin la autorización previa y por escrito de

los autores.

PORTADA:

Fondo: matiz de azul con letras doradas.

Factoreo y Ecuaciones.

Una vez asimilada la

aritmética,

El siguiente paso es

comenzar a conocer el

álgebra.

(ι̇∂+m)ψ=0 “Ecuación de Dirac”

Quito – Ecuador.

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

iii

INTRODUCCIÓN

El presente estudio nace de la Propuesta Metodológica para la enseñanza de la Unidad 3:

“Factorización y Ecuaciones”, desarrollada en la quinta impresión del texto de Matemática dirigida a

estudiantes del 9no año de EGB y publicado en junio del 2018 por el Ministerio de Educación, como

proyecto de investigación para la obtención del título de Licenciado en Matemática y Física.

El contenido de la obra corresponde a los casos de factorización y ecuaciones. Los cuales son temas

fundamentales en el texto mencionado anteriormente. Dentro del primer tema se estudian 4 títulos con

un total de 13 casos de factoreo, basados en los productos notables presentes en la Unidad 2. Mientras,

en el segundo tema estudia el proceso para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita

además de algunos casos con problemas de la misma índole.

Dejar a los números hacer todo el trabajo parece algo exhaustivo, por eso ahora serán

acompañados de las letras, con el fin de comenzar a relacionar el problema con la acción

y la vida con las matemáticas. Así como el factoreo es una herramienta muy necesaria

para el resto del camino en el conocimiento matemático, las ecuaciones y el resolver

problemas con ecuaciones son esenciales para continuar el camino de la vida.

La factorización es un proceso utilizado para descomponer “problemas” y encontrar

soluciones. Se considera un proceso deductivo del álgebra que transforma expresiones

algebraicas complejas a sus formas simples que la componen.

Por otra parte, los problemas matemáticos son la aplicación de ecuaciones, mediante un

proceso para plantear y resolver situaciones que se pueden representar en lenguaje

algebraico. Las ecuaciones son igualdades que contienen incógnitas y son verdaderas

únicamente para ciertas condiciones.

Bahamonde M- Bryan Mauricio

Quito D. M, 08 de octubre de 2020

iv

DEDICATORIA

A los docentes, que con su paciencia y conocimiento a

lo largo de este camino me han formado para

alcanzar, no solo el conocimiento académico, sino el

cumplimiento de un sueño.

A mis padres, primeros profesores que me formaron

en valores, al siempre apoyarme y sacrificarse para

sacar adelante a toda la familia.

A mis hermanos y hermana, quienes lograron

formarse y ser profesionales, me han servido de

inspiración.

A cada estudiante, compañero, que tiene deseos de

aprender y superarse, quien busca en sus docentes

una persona que pueda ayudarlo a crecer.

A mi compañera sentimental, que estuvo conmigo en

el largo proceso universitario, que con subidas y bajas

supo levantarme de los peores agujeros y

acompañarme en los más altos cielos.

v

ÍNDICE

FACTORIZACIÓN Y ECUACIONES ............................................................................. 1

3.1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................... 1

3.2. PRODUCTOS NOTABLES ........................................................................................... 2

3.2.1. Cuadro de resumen de los productos notables .............................................................. 2

3.3. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES. ............................................................................. 2

3.3.1. Máximo común divisor (mcd) ......................................................................................... 3

3.3.2. Mínimo común múltiplo (mcm) ...................................................................................... 3

3.4. FACTORIZACIÓN ...................................................................................................... 4

3.4.1. Factor Común ................................................................................................................... 5

3.4.1.1. Factor Común Monomio .............................................................................. 5

3.4.2. Factor Común por agrupamiento ................................................................................... 7

3.4.3. Diferencia de cuadrados. ............................................................................................... 10

3.4.3.1. Diferencia de potencias par. ...................................................................... 11

3.4.4. Factorización de la suma cubos. .................................................................................... 12

3.4.4.1. Suma de potencias impares iguales .......................................................... 13

3.4.5. Factorización de la Diferencia de cubos ....................................................................... 14

3.4.5.1. Diferencia de potencias impares iguales .................................................. 15

3.4.6. Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) ............................................................................ 17

3.4.6.1. Trinomio cuadrado perfecto incompleto ................................................... 19

3.4.7. Trinomio de la forma x2n + bxn + c ............................................................................... 20

3.4.8. Trinomio de la forma ax2n + bxn + c; a ≠ 1 ................................................................... 22

3.4.9. Factorización de polinomios .......................................................................................... 25

3.4.9.1. Teorema del factor. .................................................................................... 25

3.4.10. Factorización aplicando la regla de Ruffini ............................................................... 26

vi

3.5. ECUACIONES ........................................................................................................ 30

3.5.1. Igualdades y Ecuaciones. ............................................................................................... 31

3.5.2. Ecuaciones Equivalentes ................................................................................................ 32

3.5.3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita........................................................... 33

3.5.3.1. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. ................ 33

3.5.3.2. Resolución ecuaciones de primer grado con signos de agrupación .......... 36

3.5.4. Problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita ................................... 37

3.5.4.1. Transformación del lenguaje verbal al lenguaje algebraico .................... 38

.................................................................................................................................................... 41

3.5.5. Resolución de Problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita........... 42

3.5.5.1. Procedimiento para resolver problemas con ecuaciones de primer grado:

................................................................................................................................. 42

3.5.6. Problemas con Números ................................................................................................ 44

3.5.7. Problemas con cantidades. ............................................................................................ 49

3.5.8. Problemas con edades. ................................................................................................... 54

3.5.9. Problemas con Perímetros y Áreas ............................................................................... 58

3.5.10. Problemas de Reloj ....................................................................................................... 62

3.5.11. Problemas de Velocidades ........................................................................................... 65

Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones

1

Factorización y Ecuaciones

3.1. Introducción

La primera civilización en utilizar la factorización

fueron los babilónicos, quienes utilizaban un método

conocido actualmente como “completar el cuadrado

perfecto”. Más tarde fueron los griegos y los árabes

quienes lograban resolver ecuaciones de segundo grado,

emplearon el mismo método que los babilónicos, pero

ellos le añadieron la aplicación por áreas.

Posteriormente, seria Euclides de Alejandría quien

recopilaría los conceptos básicos de la factorización de

números para tratarlos en lo que ahora se conocen como

múltiplos y divisores.

En la igualdad ab = c los factores o divisores de c son a y b, mientras c es un múltiplo de

a y b.

La factorización moderna inicia con el Ars Magna de Girolamo Cardano (1501-1576)

publicado a inicios del Renacimiento italiano. El texto mostraba las soluciones a las

ecuaciones cubica y cuartica desarrolladas por Nicolo Fontana Tartaglia (1500-1557) y

Ludovico Ferrari (1522-1565) a partir del mismo principio de completar el cuadrado en

una forma más sistemática.

Tomado de Camacho, (2013) by Prezi

Hasta llegar a nuestros días, en donde se enseña la

relación entre la factorización de números y

posterior la factorización de polinomios. La primera

comprende un proceso sistemático de divisiones

sucesivas mientras que, la factorización de

polinomios se encarga del estudio de diversos casos

a ser tomados en cuenta para encontrar una

solución comprensible.

“Historia de la Factorización” https://www.youtube.com/watc

h?v=6JnVXm71fVY

https://www.youtube.com/watch?v=6JnVXm71fVY

https://www.youtube.com/watch?v=6JnVXm71fVY


2

3.2. Productos Notables

Antes de comenzar la descomposición factorial, es imprescindible realizar un

breve repaso de los principales productos notables y su forma de resolución.

3.2.1. Cuadro de resumen de los productos notables

NOMBRE FORMULA

1. Monomio por polinomio a(x + y + z ) = ax + ay + az

2. Cuadrado de la suma de un binomio (x + a)2 = x2 + 2ax + a2

3. Cuadrado de la diferencia de un binomio (x - a)2 = x2 - 2ax + a2

4. Producto de la suma por la diferencia (x + a) (x - a) = a2 - b2

5. Producto de binomios con término en común (x + a) (x + b) = x2 + x(a + b) + ab

6. Cubo de la suma de un binomio (x + a)3 = x3 + 3x

2a + 3xa

3 + a3

7. Cubo de la diferencia de un binomio (x - a)3 = x3 - 3x

2a + 3xa

3 - a3

8. Suma por polinomio homogéneo (x + a) (x2 - ax + a2) = x3 + a3

9. Diferencia por polinomio homogéneo (x - a) (x2 + ax + a2) = x3 - a3

3.3. Descomposición en factores.

La multiplicación aritmética está

conformada por factores numéricos. Cada

uno de estos números se denomina factor y

su producto el resultado.

Factorizar: de acuerdo con el Diccionario de

la Real Academia Española, (s. f.) “Expresar

un número entero como producto de sus

divisores.” (def. 1)

La descomposición en factores primos o

descomposición factorial de un número

natural, consiste en calcular mediante

división, un conjunto sucesivo de números

primos (2, 3, 5…), cuyo producto sea el número dado.

Ejemplos: Expresando en forma

de producto.

1. 10 2

5 5

1

• 10 = (2) (5).

• De 10 sus factores

son 2 y 5

2. 30 2

15 3

5 5

1

• 30 = (2) (3) (5).


son 2, 3 y5

3. 60 2

30 2

15 3

5 5

1

• 60 = (2) (2) (3) (5).


son 2, 2, 3 y 5


3

Nota: cada uno de los números primos que se están multiplicando

es un factor. Siendo estos principalmente (2, 3, 5, 7, entre otros).

3.3.1. Máximo común divisor (mcd) 3.3.2. Mínimo común múltiplo (mcm)

Para hallar el máximo común divisor de

dos o más números, se debe descomponer

en factores primos, simultáneamente a

cada uno de los números, de manera que

cada uno sea divisible para el mismo

factor.

Para hallar el mínimo común múltiplo de

dos o más números, se debe descomponer

en factores primos a cada uno de los

números hasta encontrar todos sus

factores.

Ejemplo: Ejemplo:

12 18 24 2

6 9 12 3

2 3 4

12 18 24 2

6 9 12 2

2 3 6 2

1 1 3 3

1 3

El mcd está formado por todos los factores

comunes elevados al menos exponente

Por lo tanto:

El mcd (12, 18, 24) = 2 × 3 = 6

El mcm está formado por todos los

factores comunes y no comunes elevados

al mayor exponente.

Por lo tanto:

El mcm (12, 18, 24) = 23 × 3

2 = 72

Nota: si el número 1 es el único factor común entre dos o más números, se dice que estos

son primos entre sí y su mcd es igual a 1.

En álgebra, para la descomposición en factores, se utilizan expresiones algebraicas

conocidas como polinomios, los cuales al descomponerse se convierten en el producto de

sus factores. Así, denominamos a la descomposición factorial como factorización.


4

3.4. Factorización

Definición RAE Factores

Es el proceso por el cual

se descompone una

expresión algebraica

(polinomio) en el

producto de sus factores

(números y/o letras)

Factorizar, según el Diccionario

de la (RAE, 2020) es

“Descomponer un polinomio en

el producto de otros de menor

grado.” (Real Academia

Española, s.f., definición 2)

Son cada uno de los

términos que se

multiplican para

formar una

expresión algebraica.

Comprobación general del Factoreo

A continuación, para cualquier caso presente en esta unidad. La prueba

consiste en realizar el producto notable de los factores obtenidos y que

su resultado sea igual a la expresión inicial.

Factorización

Factor común

Factor común monomio

Factor común por agrupamiento o polinomio

Binomios

Diferencia de cuadrados Diferencia de potencias par

Suma de cubos Suma de potencias impar iguales

Diferencia de cubos Diferencia de potencias impar iguales

Trinomios

Trinomio cuadrado perfecto (TCP)Trinomio cuadradoperfecto incompleto

Trinomios de la forma x2n + bxn + c

Trinomios de la forma ax2n + bxn + c

Polinomios Regla de Ruffini


5

Importante: al comenzar el estudio del álgebra, se menciona la utilización de: números,

letras y signos. Para evitar confusión en posteriores temas, se manejarán en ejemplos y

ejercicios las letras (a, b, c) como constantes numéricas. En cambio, las letras (x, y, z)

representarán variables de la parte literal de las expresiones algebraicas.

3.4.1. Factor Común

El factor común presenta principalmente

dos casos a ser resueltos. De este modo, se

clasifica por la cantidad de términos

comunes en el factor: el factor común

monomio y el factor común polinomio.

Entonces, se conoce como factor común de

un polinomio al conjunto de números y/o

letras contenidas en todos los términos del

polinomio.

En la vida diaria existe el factor común

de muchas maneras, por las prendas de

vestir, los gustos en comida, música,

incluso en el equipo de fútbol que cada

uno prefiere.

3.4.1.1. Factor Común Monomio

Al momento de invertir el procedimiento efectuado en la multiplicación de un monomio

por un polinomio mediante el axioma simétrico de la igualdad. Se

debe dividir cada término para el común de ellos.

a(x + y + z ) = ax + ay + az ⟺ ax + ay + az = a(x + y + z )

La expresión de la derecha indica el factor común del

polinomio, y su producto (a + b + c), que se obtiene

dividendo el factor común para cada uno de los

términos del polinomio inicial.

Elabora un diagrama con

ejemplos de factor común en

la vida cotidiana.

a (ax

a+

ay

a+

az

a)


6

Para factorizar un polinomio se calcula el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes

numéricos que lo componen. Por otro lado, el factor común literal será la variable con

menor exponente de todos los términos del polinomio.

Factorar: 2a + 4ab + 6ac

Eje

mp

lo 1

1. 2a + 4ab + 6ac Polinomio inicial

2. (2, 4, 6) = 2 Máximo común divisor

3. (2a, ab, ac) = a Factor común literal

4. 2a Factor común

5. 2a (2a

2a+

4ab

2a+

6ac

2a)

= (a + 2b + 3c)

Cociente de dividir cada término para el factor común

6. 2a (a + 2b + 3c) Resultado, producto del factor común por el cociente.

De esta manera, al factorar: 2a + 4ab + 6ac = 2a (1 + 2b + 3c)

Factorar: 12x3y2z + 18x2y2z + 24xyz2

Eje

mp

lo 2

1. 12x3y2z + 18x2y2z + 24xyz2 Polinomio inicial

2. (12, 18, 24) = 2 × 3 = 6 Máximo común divisor

3. (x3y2z, x2y2z, xyz2) = xyz Factor común literal

4. 6xyz Factor común

5. (2x2y + 3xy + 4z) Cociente del factor común

6. 3xyz (2x2y + 3xy + 4z) Resultado, factor común por cociente.

Por lo tanto, al factorar: 12x3y2z + 18x2y2z + 24xyz2 = 3xyz (2x2y + 3xy + 4z)

Ejercicios propuestos

Factorar mediante factor común.

1. ax + bx =

2. ax2 + bx2 =

3. 2a2x + 8ay =

4. 6z2 + 15z =

5. 7xyz – 35zyz2 =

6. 5x2 – 15xy - 10 xz =

7. 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 =

8. 5x4y4 + 25x8y3 – 30x9y4 =

9. a2(y + z) - b2(y + z) - c2(y + z) =

10. (a + b) x - (a + b) y =


7

3.4.2. Factor Común por agrupamiento

Factor común por agrupamiento o también

llamado Factor común polinomio, puede ser

aplicado para polinomios ≥ 4 términos que

contengan factor común entre ellos.

El objetivo de agrupar los términos de una

expresión es encontrar un factor común simple en

cada grupo y luego un factor común complejo de

la expresión anterior para resolver el polinomio.

Procedimiento:

1. ax + bx - ay - by Polinomio inicial > de 3 términos

2. (ax + bx) + (- ay - by) Agrupando términos: 1° y 2°; 3° y 4°

3. (ax + bx) - (ay + by) T. – a – b = - (a + b)

4. (ax + bx) = x (𝒂 + 𝒃)

(ay + by) = y (a + b)

Factor común simple x e y

5. x(a + b) - y(a + b) Dividir cada término para el factor común.

6. [x(a + b) - y(a + b)] = (a + b) Factor común compuesto (a + b)

7. (a + b) (x - y) Dividir cada término para el factor común

Factorar: ax + bx - ay – by

Eje

mp

lo 1

Proposiciones Razones

1. ax + bx - ay - by Dato

2. (ax + bx) - (ay + by) Ax. Asociativo / T. – a – b = - (a + b)

3. x(a + b) - y(a + b) Factor común monomio

4. (a + b) (x - y) Factor común polinomio

De este modo, al factorar: ax + bx - ay – by = (a + b) (x - y)

Nota: la manera en que se pueden agrupar los términos no es única.


8

En el ejemplo anterior, se agruparon los términos 1° y 2°, asimismo el 3° término con el

4°. Sin embargo, es posible agrupar el 1° término con el 3° y el 2° junto al 4° y resolverlo

de la siguiente manera:

Factorar: ax + bx - ay – by

Eje

mp

lo 1

.1 Proposiciones Razones

1. ax + bx - ay - by Dato

2. (ax - ay) + (bx - by) Ax. Asociativo

3. a(x - y) + b(x - y) Factor común monomio

4. (a + b) (x - y) Factor común compuesto

Factorar: ax + bx - cx + 2ay + 2by - 2cy

Eje

mp

lo 2


1. ax + bx - cx + 2ay + 2by - 2cy Dato

2. (ax + bx - cx) + (2ay + 2by - 2cy) Ax. Asociativo

3. x(a + b - c) + 2y(a + b - c) Factor común monomio

4. (a + b - c)(x + 2y) Factor común polinomio

Entonces, al factorar: ax + bx - cx + 2ay + 2by - 2cy = (a + b - c)(x + 2y)

Nota: no es única la manera de agrupar, en el caso anterior se tomaron los tres primeros

y después los tres últimos términos. No obstante, podemos asociar términos de dos en

dos de la siguiente forma:

Factorar: ax + bx - cx + 2ay + 2by - 2cy

Eje

mp

lo 2

.1. Proposiciones Razones

1. ax + bx - cx + 2ay + 2by - 2cy Dato

2. (ax + bx - cx) + (2ay + 2by - 2cy) Ax. Asociativo / T. – a – b = - (a + b)

3. a(x + 2y) + b(x + 2y) - c(x + 2y) Factor común monomio

4. (x + 2y)(a + b - c) Factor común polinomio

Por consiguiente, al factorar de esta forma se obtiene la misma solución.


9

Factorar: 3a2 - 7b

2 - 9a3 + 21ab

2

Eje

mp

lo 3


1. 3a2 - 7b

2 - 9a3 + 21ab

2 Dato

2. (3a2- 9a3 ) - (7b

2- 21ab

2) Ax. Asociativo / T. – a + b = - (a - b)

3. 3a2(1 - 3a ) - 7b2(1 - 3a) Factor común monomio

4. (1 - 3a ) (3a2 - 7b2) Factor común polinomio

Por lo tanto, factorar: 3a2 - 7b

2 - 9a3 + 21ab

2 = (1 - 3a ) (3a2 - 7b

2)

MENTEFACTO

Ejercicios

Factorar mediante factor común por agrupamiento.

1. x – x2 + x3 – x4 =

2. ax + ay + 8a + 8y =

3. 4x2 – 8x + xy - 2y =

4. am3 – 5m2 – am + 5 =

5. 4x + 12 + xy + 3y =

6. 3x3- 9xy + 3x2y2 - 3x2y =

7. 34ax2 + 51a2y – 68ay2 =

8. a2 – 2a3 + 3a4 – 4a5 + 6a6 =

9. a20 – a16 + a12 – a8 + a4 – a2 =

10. 3a2b + 6ab – 5a3b2 + 8a2bx + 4ab2m =

Factorización

Factor Común Monomio

Se compone de un solo término simple número y/o letra.

ax + ay + az = a (x + y + z )

Factor Común Polinomio

Es un polinomio compuesto de números y/o letras.

a (x - y) + b (x - y) = (a + b) (x - y)

Conjunto de números y/oletras contenidas en todoslos términos del polinomio.

♦ Diferencias de cuadrados

♦ Trinomio cuadrado perfecto

Factor

Común ≠ =


10

3.4.3. Diferencia de cuadrados.

Al momento de invertir el producto notable “suma

por diferencia” mediante el axioma simétrico de la

igualdad, se obtiene la diferencia de cuadrados.

Así lo evidencia la representación gráfica:

(x + a) (x - a) = x2 - a2 ⇔ x2 - a2 = (x + a) (x - a)

La expresión de la derecha muestra el proceso de factorización de la diferencia de

cuadrados que, respectivamente, es igual al producto de la suma por la diferencia de sus

raíces cuadradas.

Regla General Características:

La diferencia de cuadrados es igual a

obtener las raíces cuadradas de cada

término y ubicarlas en el producto de la

suma por la diferencia de dichas bases.

• • Dos términos separados por el

signo menos.

• Cada término tiene raíz cuadrada

exacta.

Importante: las expresiones (suma de cuadrados)

x2 + a2, x4 + a4, x8 + a8, no son factorables.

Procedimiento:

1. x2 - a2 Polinomio inicial

2. √x2 = x; √a2 = a Raíz exacta de cada término

3. ( + ) ( - ) Producto de la suma por la diferencia

4. (√𝒙𝟐 + √𝒂𝟐)(√𝒙𝟐 − √𝒂𝟐) Conjugando el paso 2 y 3

5. (x + a) (x - a) Resolverlas raíces en cada paréntesis.


11

Factorar: 4x2 - y2

Eje

mp

lo 1


1. 4x2 - y2 Polinomio inicial

2. (√𝟒𝒙𝟐 + √𝒚𝟐) (√𝟒𝒙𝟐 − √𝒚𝟐) Raíz exacta de cada término

3. (2x + y) (2x - y) Diferencia de cuadrados.

En tal sentido, al factorar: 4x2 - y2 = (2x + y) (2x - y)

Factorar: (x + y)2 - z2

Eje

mp

lo 2


1. (x + y)2 - z2 Dato

2. √(x + y)2 = (x + y); √z2 = z Raíz exacta de cada término

3. [(x + y) + z] [(x + y) - z] Diferencia de cuadrados

4. (x + y + z) (x + y - z) Suprimir signos de agrupación

En consecuencia, al factorar: (x + y)2 – z2 = (x + y + z) (x + y – z)

3.4.3.1. Diferencia de potencias par.

Si al aplicar el procedimiento anterior se llega a

obtener un factor que también es una diferencia de

cuadrados, es necesario descomponer nuevamente

dicho factor.

Factorar: x4 – 16

Eje

mp

lo p

ote

nci

a

pa

r


1. x4 – 16 Dato

2. (√x4 + √16)(√x4 - √16) Raíz de cada término en suma por diferencia

3. [x2 + 4] [x2 - 4] Diferencia de cuadrados

4. [x2 + 4] [x2 - 4] Reiteración

5. √x2 = x; √4 = 2 Raíz exacta de cada término

6. (x2 + 4) (x + 2) (x - 2) Diferencia de cuadrados

Por lo tanto, al factorar: x4 – 16 = (x2 + 4) (x + 2) (x - 2)

“Diferencia de potencias par” https://www.youtube.com/watch?v=itgFqGg6UBI

https://www.youtube.com/watch?v=itgFqGg6UBI

https://www.youtube.com/watch?v=itgFqGg6UBI


12

Ejercicios

Factorar mediante diferencia de cuadrados.

1. 9z2-1 =

2. 25y6-9 =

3. 121x2 – 144z2 =

4. 256x2-25y12 =

5. 100 – x2y6 =

6. 265 – (x + y)4=

7. 16x4 – 81y4 =

8. a8 – 256=

9. (5xy - z)2 – 625 =

10. (x – 3)2 – (y + 5)2 =

Nota: las expresiones de la forma xn + an; siendo n par,

son factorables únicamente cuando los exponentes

contienen un factor impar. Se utiliza la factorización

mediante suma de potencias impares iguales.

x6 + a6 = (x2)3 + (a2)

3 x10 + a10 = (x2)

5 + (a2)

5

3.4.4. Factorización de la suma cubos.

Al momento de invertir el producto

notable “suma de binomio por

polinomio homogéneo” mediante el

axioma simétrico de la igualdad, se

obtiene la suma de cubos perfectos.

(x + a) (x2 - ax + a2) = x3 + a3 ⇔ x3 + a3 = (x + a) (x2 - ax + a2)

En tal sentido, la expresión de la derecha muestra el modo de factorar la suma de cubos,

que es igual al producto del binomio de sus bases por el trinomio homogéneo de sus bases.

Elabora un mentefacto de la

Diferencia de potencias par


13


La suma de cubos es igual a la suma de las

raíces cúbicas por el cuadrado de la

primera raíz menos el producto de las

raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

• Dos términos separados por el

signo más.

• Cada término tiene raíz cúbica

exacta.

Procedimiento:

1. x3 + a3 Polinomio inicial

2. (√x33+ √a33

) ((√x33)

2

-(√x33)(√a33

)+(√a33)

2)

Aplicando la regla

3. (x + a) (x2 - xa + a2) Producto del binomio por el

trinomio de las bases

Factorar: x3 + 125

Eje

mp

lo 1


1. x3 + 125 Dato

2. (x + 5) ((x)2 - (x)(5) + (𝟓)𝟐) Def. Suma de Cubos

3. (x + 5) (x2 - 5x + 𝟐𝟓) Def. potencia / (a)n = an

Por lo tanto al factorar: x3 + 125 = (x + 5) (x2 - 5x + 25)

3.4.4.1. Suma de potencias impares iguales

Factorar la suma de potencias del mismo exponente impar, mayor que tres.

Para, en este caso 5. Se tiene: x5 + a5 = (x + a) (x4 - x3a + x2a2 - xa3 + a4)

Análogamente, se comprueba: x7 + a7 = (x + a) (x6 - x5a + x4a2 - x3a3 + x2a4 - xa5 + a6)

Por lo tanto al factorar expresiones de la forma an + bn

Siendo n impar. xn + an = (x + a) (xn-1 - xn-2a + xn-3a2 - … + an-1)

✓ Elabora un mentefacto de la

suma de potencias impares


14

Factorar: x5 + 243 E

jem

plo

1


1. x5 + 243 Dato

2. √x55= x; √243

5 = 3 Def. Raíz exacta

3. (x + 3) ((x)4- (x)

3(3) + (x)

2(3)

2- (x)(3)

3+ (3)

4)

Def. Suma de potencias

impares iguales / raíces paso

2

4. (x + 3) (x4- 3x3 + 9x

2 - 27x + 81) Def. potencia / (a)

n = an

De esta manera, factorar: x5 + 243 = (x + 3) (x4- 3x3 + 9x

2 - 27x + 81)

3.4.5. Factorización de la Diferencia de cubos

Al momento de invertir el producto notable “diferencia de binomio por polinomio

homogéneo” mediante el axioma simétrico de la igualdad, se obtiene la diferencia de

cubos perfectos.

(x - a) (x2 + ax + a2) = x3 - a3 ⇔ x3 - a3 = (x - a) (x2 + ax + a2)

Entonces, la expresión de la derecha muestra la forma de factorar la diferencia de cubos,

que es igual al producto del binomio de sus bases por el trinomio homogéneo de sus bases.


La diferencia de cubos es igual a la diferencia

de las raíces cúbicas por el cuadrado de la

primera raíz más el producto de las raíces más

el cuadrado de la segunda raíz.

• Dos términos separados por el

signo menos

• Cada término tiene raíz cúbica

exacta

✓ Elabora un mentefacto de la

diferencia de potencias impares


15

Procedimiento:

1. x3 - a3 Polinomio inicial

2. (√x33 - √a33

) ((√x33)

2

+(√x33)(√a33

)+(√a33)

2) Aplicando la regla

3. (x - y) (x2 + xa + a2) Producto del binomio por el

trinomio de las bases

Factorar: 𝟖x3 - 27

Eje

mp

lo 1


1. 8x3 - 27 Dato

2. √8x3𝟑= 2a; √𝟐𝟕

𝟑 = 3 Def. Raíz cúbica para aplicar la regla

3. (2x + 3) ((2x)2 - (2x)(3) + (𝟑)𝟐) Def. Diferencia de Cubos

4. (2x + 3) (4x2 - 6x + 𝟗) Def. potencia / (a)n = an

Por lo tanto, factorar: 8x3 - 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

3.4.5.1. Diferencia de potencias impares iguales

Factorar la diferencia de potencias del mismo exponente impar, mayor que tres

Para, en este caso 5. Se tiene: x5 - a5 = (x - a) (x4 + x3a + x2a2 + xa3 + a4)

Análogamente, se comprueba: x7 - a7 = (x - a) (x6 + x5a + x4a2 + x3a3 + x2a4 + xa5 + a6)

Por lo tanto, al factorar expresiones de la forma an − bn

Siendo n impar. xn - an = (x - a) (xn-1 + xn-2a + xn-3a2 + … + an-1)

Factorar: 32x5 - 243

Eje

mp

lo


1. 32x5 - 243 Dato

2. √32x55

= 2x; √2435

= 3 Def. Raíz cúbica

3. (2x - 3) ((2x)4+ (2x)

3(3) + (2x)

2(3)

2+ (2x)(3)

3+ (3)

4)

Def. Diferencia de

potencias impares

4. (2x - 3) (16x4 + 24x

3 + 36x

2 + 54x + 81) Def. potencia / (a)

n = an

Por lo tanto, factorar: 32x5 - 243 = (2x - 3) (16x4 + 24x

3 + 36x

2 + 54x + 81)


16

Ejercicios:

Factorar mediante suma o diferencia de cubos según corresponda.

1. 8y3 + 27z3 =

2. 125x3 – 64y3 =

3. x3 - 8 =

4. 27x3 + b6 =

5. 8x3 – 125 =

6. 27x3 + 64y3 =

7. x³ +64y³ =

8. 8x³ -1 =

9. 64z³ -729 =

10. x15+64y3 =

Ejercicios:

Factorar mediante suma o diferencia de potencias impares iguales según corresponda.

1. x³ + z³ =

2. 243 + 32z⁵ =

3. y⁷ - z⁷ =

4. 32 + x⁵ =

5. x7 -1 =

6. 343x⁵ - 32y⁵z⁵ =

7. 243x5 + 1 =

8. 128y7 - (x - a)7 =

9. (8 - x2)5 + (a-b2)5 =

10. x11- z11 =

MENTEFACTO

Factorización

Diferencias de cuadrados

x2 - a2 = (x + a) (x - a)

Suma de cubos

x3 + a3 = (x + a) (x2 - ax + a2)

Diferencia de cubos

x3 - a3 = (x - a) (x2 + ax + a2)

Continen 2 términos con elmismo exponente yseparados por el signo + o -

xn ± an; n >1

♦ Factor común

♦ Trinomio cuadrado perfecto

Factorización

de Binomios ≠ =


17

3.4.6. Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)

Al momento de invertir el producto notable

“cuadrado de la suma o diferencia de un

binomio” mediante el axioma simétrico de la

igualdad, se obtiene el TCP.

(x + a)2 = x2 + 2ax + a2 ⇔ x2 + 2ax + a2 = (x + a)2

√𝒙𝟐√𝒂𝟐 𝟐𝒙𝒂

(x - a)2 = x2 - 2ax + a2 ⇔ x2 - 2ax + a2 = (x - a)2

De tal manera que, las expresiones de la derecha muestran la manera de factorar el

trinomio cuadrado perfecto, que es igual al binomio elevado al cuadrado de las raíces del

primer y tercer término.


El trinomio cuadrado perfecto es igual a

la raíz cuadrada del primer término, más

o menos según corresponda, la raíz

cuadrada del tercer término y todo al

cuadrado

• El primer y tercer término presenta

raíz cuadrada exacta y son positivos.

• El segundo término es igual al doble

producto de las raíces del primer y el

tercer término.

Procedimiento:

1. x2 ± 2ax + a2 Polinomio inicial

2. √x2 = x; √a2 = a Raíz cuadrada exacta del 1° y 3° término

3. 2(x)(a) = 2ax Verificación. 2° término

4. (x ± a)2 Binomio cuadrado de las raíces del 1° y 3° término

Observación: el signo del binomio resultado depende del

signo en el 2° término del trinomio cuadrado perfecto.


18

Factorar: x2 - 16x + 64

Eje

mp

lo 1


1. x2 - 16x + 64 Dato

2. √𝐱𝟐 = 𝐱; √𝟔𝟒 = 𝟖 Raíz cuadrada exacta del 1° y 3° término

3. 2(x)(8) = 16x Verificación. 2° término

4. (x - 8)2 Binomio cuadrado de las raíces del 1° y 3° término

Por lo tanto al factorar: x2 - 16x + 64 = (x - 8)2

Factorar: 9x2 + 48xz + 64z

2

Eje

mp

lo 2


1. 9x2 + 48xz + 64z

2 Dato

2. √9x2 = 3x; √64z2 = 8z Raíz cuadrada exacta del 1° y 3° término

3. 2(3x)(8z) = 48x Verificación. 2° término

4. (3x - 8z)2

Binomio cuadrado de las raíces del 1° y 3°

término

Por lo tanto, factorar: 9x2 + 48xz + 64z

2 = (3x - 8z)

2

Ejercicios

Factorar mediante trinomio cuadrado perfecto

1. x² +6x +9 =

2. 4x² - 12xy + 9y² =

3. 9a² -30a +25 =

4. 36 +121x² -132x =

5. x4 + 4x2y + 4y2 =

6. 100x2 - 60xy2 + 9y4 =

7. x2y2 + 8xy +16 =

8. 9x4 – 30x3y + 25x2y2 =

9. 16m8 – 64m5n – 64m2n2 =

10. (m + n)² + 4(m + n) + 4 =

Investiga: ¿Qué uso cotidiano tiene

el trinomio cuadrado perfecto?


19

3.4.6.1. Trinomio cuadrado perfecto incompleto

Se lo conoce también como trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.

Mediante la adición y sustracción de un

mismo término, se completa y se convierte

en trinomio cuadrado perfecto.

Una vez completado, se factora el trinomio

cuadrado perfecto.

El resultado, en algunos casos, debe ser

factorado mediante diferencia de

cuadrados.

Características:

• El primer y tercer término presenta

raíz cuadrada exacta.

• El segundo término no es igual al

doble producto de las raíces del

primer y el tercer término

• Se presenta como un polinomio de

grado ≥ 4

Procedimiento:

1. x4 + a2x2 + a4 Polinomio inicial

2. (x4 + a2x2 + a4+ a2x2) - a2x2 Sumar y restar el término conveniente

3. (x4 + 2a

2x2 + a4) - a2x2

Sumar y asociar los términos que

completan el TCP

4. (√𝒙𝟒)(√𝒂𝟒) → 𝟐𝒙𝟐𝒂𝟐 Comprobación del segundo término del

TCP

5. (x2 + a2)2 - a2x2 Resolver el TCP

6. [(x2 + a2) + a2x2] [(x2 + a2) - a2x2] Resolver la diferencia de cuadrados

7. (x2+ a2x2 + a2) (x2 - a2x2 + a2 ) Suprimir signos de agrupación y ordenar

términos


20

Factorar: x4 - 17x2 + 16 E

jem

plo


1. x4 - 17x2 + 16 Dato

2. (√𝒙𝟒)(√𝟏𝟔) ≠ 𝟐(𝒙𝟐)(𝟒) Se verifica que no es un TCP

3. x4 - 17x2 + 16 + 9x2 - 9x2 Axi. Modulativo (+) / Axi. Invertivo (+)

4. (x4 - 8x2 + 16) - 9x2 Axi. Asociativo (+) / suma de términos

5. (x2 - 4)2 - 9x2 TCP

6. [(x2 - 4) + 3x] [(x2 - 4) - 3x] Diferencia de cuadrados

7. (x2+ 3x - 4) (x2 - 3x - 4) Suprimir signos de agrupación y ordenar

términos

Por lo tanto, factorar: x4 - 17x2 + 16 = (x2+ 3x - 4) (x2 - 3x - 4)

Ejercicios

Factorar mediante trinomio cuadrado perfecto incompleto.

1. x4 + x²y² + y4 =

2. x4 - 5x2 + 4 =

3. x8 + 2x4 + 9 =

4. 25x4 - 139x2y2 + 81y4 =

5. 36x4 - 69x2z2 + 25z

4 =

6. 36x4 -109x2y2 + 49y4 =

7. 81y8 +2y4 +1 =

8. 64x4 – 169x2y2 + 81y2 =

3.4.7. Trinomio de la forma x2n + bxn + c

Al momento de invertir el producto notable “binomios con término en común” mediante

el axioma simétrico de la igualdad, se obtiene el trinomio de la forma x2n + bxn + c.

(x + a) (x + b) = x2 + x(a + b) + ab ⇔ x2 + x(a + b) + ab = (x + a) (x + b)

La expresión de la derecha muestra la manera de factorar el trinomio de la forma

x2n + bxn + c.


21


▪ Abrir dos paréntesis.

▪ Repartir la raíz del primer término.

▪ El signo del segundo término en el

primer paréntesis.

▪ El producto de los signos en el segundo

paréntesis.

▪ Descomponer el tercer término y buscar

dos números donde la suma sea igual al

2° término y el producto sea igual al 3°

término.

• El coeficiente numérico del primer

término es igual a 1

• La parte literal del primer término

presenta raíz cuadrada exacta

• El segundo término contiene a la

raíz de la parte literal del primer

término

• El tercer término es una cantidad,

positiva o negativa, independiente

del primero y segundo término.

Procedimiento:

1. x2 - 3x + 2 Polinomio inicial, ordenado en forma descendente por el grado

2. (x )(x ) En el producto entre dos paréntesis se reparte la raíz del 1°

término / √x2 = x

3. (x - )(x ) En el primer paréntesis se coloca el signo del 2° término

4. (x - )(x - ) En el segundo paréntesis el producto de los signos del 2° y 3°

término.

5. 2 = (2) (1) Descomponer en factores el 3° término

6. (x - 2)(x - 1) Hallar dos números que la suma sea igual al 2° término y el

producto sea igual al 3° término.

Factorar: x4+ 8x2 - 20

Eje

mp

lo


1. x4+ 8x2 - 20 Dato

2. (x2 )(x2 ) En cada paréntesis se reparte la raíz del 1° término

3. (x2+ )(x2 ) Al primer paréntesis se coloca el signo del 2° término

4. (x2+ )(x2 - ) En el segundo paréntesis el producto de los signos

del 2° y 3° término

5. 20 = (2) (2) (5) Descomponer en factores el 3° término

6. (x2+ 10 )(x2 - 2) Hallar dos números que la suma sea igual al 2°

término y el producto sea igual al 3° término

Por lo tanto, factorar: x4+ 8x2 - 20 = (x2+ 10 )(x2 - 2)


22

Observación: para comprobar si el trinomio está correctamente factorado, se realiza el

producto notable de sus factores.

(x2+ 10 )(x2 - 2) = x4+ (10 - 2)x2 + (10) (-2) = x4+ 8x2 - 20

Ejercicios

Factorar mediante trinomio de la forma x2n + bxn + c

1. x2 + 5x + 6 =

2. x2 – 11x + 24 =

3. x2 + x – 20 =

4. x2 – 6x – 27 =

5. x6 + 5x3y + 15y2 =

6. x8 - 8x4 + 12 =

7. x2y2 + 22xyz2 + 121z4 =

8. (x + a)2 – 13(x + a) + 42 =

9. (y - z)6 – 6x3 (y - z)3- 7x6 =

10. x10 – x5y5 – 20y5 =

3.4.8. Trinomio de la forma ax2n + bxn + c; a ≠ 1

Una variante del producto notable “binomios con término en común” es de donde parte

la fórmula del trinomio de la forma ax2n + bxn + c, para factorar se debe:

a

a(ax2n + bx

n + c)= Multiplicar y dividir por el coeficiente del primer término.

(axn)2 + b(axn) + ac

a=

Se expresa el numerador como trinomio de la forma

(axn+p)(axn+q)

a

Se factoriza el numerador:

(ax + p)(ax + q), donde p + q = b; pq = ac

Se simplifica a, de ser posible

Características:

• El coeficiente numérico del primer término presenta un diferente de 1.

• La parte literal del primer término presenta raíz cuadrada exacta.

• El segundo término contiene a la raíz de la parte literal del primer término.

• El tercer término es una cantidad, positiva o negativa, independiente del

primero y segundo término.


23

Procedimiento:

1. 𝟔x2 + 5x - 4 Polinomio inicial.

2. 6(6x2 + 5x - 4)

6

Multiplicar y dividir el polinomio por el coeficiente

numérico del primer término.

3. (6x)2 + 5(6x) - 24

6

Axi. Distributivo / se procede a factorar el numerador como

el trinomio de la forma x2n + bxn + c.

4. (6x )(6x )

6

En el producto de dos paréntesis se reparte la raíz del 1°

término.

5. (6x + )(6x - )

6

En el primer paréntesis se coloca el signo del 2° término

En el segundo paréntesis el producto de los signos del 2° y

3° término.

6. 24 = (2)(2)(2)(3) Descomponer en factores el 3° término.

7. (6x + 8)(6x - 3)

6

Hallar dos números que la suma sea igual al 2° término y

el producto sea igual al 3° término “8 – 3 = 5” “(8)(-3) = -24”

8. 2(3x + 4) 3(2x - 1)

6

Hallar el factor común numérico en cada paréntesis de

manera que sea posible simplificar el denominador.

9. (3x + 4)(2x - 1) Se simplifica los factores comunes con el denominador para

obtener los factores del polinomio inicial.

Por lo tanto, factorar: 6x2 + 5x - 4 = (3x + 4)(2x - 1)

Factorar: 2x2 + 5xy - 12y

2

Eje

mp

lo


1. 2x2 + 5xy - 12y

2 Dato

2. 2(2x2 + 5xy - 12y2)

2

Multiplicar y dividir el polinomio por el coeficiente

numérico del 1° término

3. (2x)

2+ 5(2xy) - 24y2

2

Axioma distributivo de la multiplicación con

respecto a la suma

4. (2x + 8y)(2x - 3y)

2 Resolver el trinomio de la forma x2n + bxn + c

5. 𝟐(x + 4y)(2x - 3y)

2 Factor común

6. (x + 4y)(2x - 3y) Simplificación

Por lo tanto, factorar: 2x2 + 5xy - 12y

2 = (x + 4y)(2x - 3y)


24

Observación: para comprobar si el trinomio está correctamente factorado, se realiza el

producto notable de sus factores.

(x + 4y)(2x - 3y) = 2(x)2+ [(1)(-3) + (4)(2)] xy + (4)(3)(y)

2 = 2x

2

+ 5xy - 12y2

MENTEFACTO

Ejercicios

Factorar mediante trinomio de la forma ax2n + bxn + c

1. 6x2 – 5x – 4=

2. 2x2 + 5x – 3 =

3. 3x4 – x2 – 2 =

4. 5x2 + 31x + 6 =

5. 3x6 + 35x3 – 12 =

6. 10x8 - 13x4 + 3 =

7. 18y2 -13zy – 5z2 =

8. 20x2y4 + 7xy2 – 6 =

9. 7(x - a)2 – 23b(x - a) + 6b2 =

10. 9x10 + 27x5y3 + 18y6 =

Factorización

Trinomio Cuadrado perfecto

x2 + 2ax + a2 = (x + a)2

x2 − 2ax + a2 = (x − a)2

Trinomio de la forma 1

x2 + x(a + b) + ab = (x + a)(x + b)

Trinomio de la forma 2

ax2n + bxn + c; a ≠ 1

Continen 3 términos con elmismo exponente y separadospor el signo + o -

ax2n ±bxn±c; n ≥1; a, b, c = cte

♦ Diferncia de cuadrados

♦ Factorización de polinomios

Factorización

de Trinomios = ≠

Investigar ejemplos de trinomios de la forma ax2n + bxn + c; ax2n + bxn + c en la vida cotidiana


25

3.4.9. Factorización de polinomios

3.4.9.1. Teorema del factor.

Los polinomios3 P(x) con grado n ≥ 3 de la forma. P(x) = axn + bxn-1

+…+ cx + d, tal que:

a, b, c, d = cte ∈ ℤ. Contienen factores (x – k), donde “k” es divisor del término

independiente “d” del polinomio.

Para determinar que (x – k) es un factor de P(x), es

necesario calcular su valor numérico para x = k.

Si y solo si el valor numérico de P(k) = 0 entonces

(x – k) será un factor del polinomio.

Por lo tanto, si P(k) = 0 entonces P(x) es divisible

para (x – k) y k es considerada una raíz o cero del

polinomio.

Factorar: P(x) = x3- 4x2 + 4x - 3

Eje

mp

lo

1. x3- 4x2 + 4x - 3 Polinomio inicial

2.

3 3

1

Descomponer el

término

independiente

factores {± 1

± 3

3. x = 3; P(3) = (3)3- 4(3)

2 + 4(3) – 3 = 0

x = -3; P(-3) = (-3)3- 4(-3)

2 + 4(-3) – 3 = -78

Hallar el valor numérico para

P(a) = 0

4. (x3- 4x2 + 4x - 3)

(x - 3) = x2- x + 1

Para x = 3 se obtiene P(3) = 0,

por lo tanto el polinomio P(x) es

divisible para (x - 3) y su

cociente exacto es (x2 - x + 1)

5. x3- 4x2 + 4x – 3 = (x - 3) (x2 - x + 1) Expresando como factores

D = (d)(c)

3 La notación P(x) se usa para indicar un polinomio que contenga la variable x.


26

3.4.10. Factorización aplicando la regla de Ruffini

Regla de Ruffini. Condiciones

Se aplica para factorar polinomios

de la forma axn + bxn-1

+…+ cx + d,

que contienen al menos un factor de

la forma (x – a)

1. Polinomio de grado ≥ 3

2. Poseer al menos un factor que cumpla el

valor numérico P(a) = 0

3. Ordenar los términos del polinomio de

mayor a menor grado.

4. Completar con cero de no existir algún

término xn

Procedimiento:

1. Completar y ordenar el polinomio de mayor a menor según el grado.

2. Descomponer el término independiente en sus factores primos.

3. Calcular el valor numérico de los factores primos (x = a) que cumplan con P(a) = 0,

4. Colocar en una fila los coeficientes numéricos de cada término del polinomio.

5. Bajar el primer coeficiente numérico.

6. Multiplicar el coeficiente por el factor “a”, escribir el resultado bajo el siguiente

coeficiente.

7. Sumar los coeficientes de la columna donde se escribió el resultado.

8. Repetir los pasos 5 y 6 con cada resultado hasta completar la tabla y obtener residuo

cero-

9. Repetir el proceso del 3 al 7 con los coeficientes resultantes y los demás coeficientes

P(a) = 0.

Importante: cada cociente en el proceso, es un polinomio un grado

menor al polinomio inicial.


27

Procedimiento

Factorar: x3- 4x2 + 4x - 3

• El polinomio está completo y ordenado x3- 4x2 + 4x – 3

3 3

1

1. Descomponer en

Factores primos el

término independiente.

factores {± 1

± 3

x = 3; P(3) = (3)3- 4(3)

2 + 4(3) – 3 = 0 2. Factores que cumplen con P(a) = 0

1 -4 +4 -3

3. Extraer los coeficientes numéricos de

cada término.

1 -4 +4 -3

1

4. Bajar el primer coeficiente.

1 - 4 +4 -3

3 3

1

5. Multiplicar por el factor “a” y escribir el

resultado bajo el siguiente coeficiente.

1 -4 +4 -3

3 3

1 -1

6. Sumar los coeficientes de la columna

donde se escribió el resultado.

1 -4 +4 -3

3 -3 3 3

1 -1 1 0

7. Repetir los pasos 5 y 6 con cada

resultado hasta completar la tabla y

obtener residuo cero.

• El polinomio resultado es: x2 - x + 1, el cual no es factorable

• Por lo tanto, factorar: x3- 4x2 + 4x - 3 = (x - 3)(x2 - x + 1)

Elabora un flujograma con el proceso de

Factorización aplicando la regla de Ruffini


28

Factorar: P(y) = y4 + 𝟐y3 - 4y2 - 5y - 6

Eje

mp

lo 1

• El polinomio está completo y ordenado

6 2

3 3

1

1. Descomposición

en factores

primos

factores {± 1± 2

± 3

x = 2; P(2) = (2)4+2(2)3- 4(2)

2 - 5(2) – 6 = 0

x = -3; P(-3) = (−3)4+2(-3)3- 4(-3)

2 - 5(-3) – 6 = 0

2. Factores que cumplen con

P(a) = 0

1 2 - 4 - 5 - 6

2 8 8 6 2

1 4 4 3 0

-3 -3 -3 -3

1 1 1 0

3. Aplicando el método de Ruffini.

• Factor: (x - 2)

• Factor: (x + 3)

• El polinomio resultado es: y2 + y + 1, el cual no es factorable

• Por lo tanto, factorar: 𝑦4 + 2y3- 4y2 - 5y - 6 = (x - 2) (x + 3) (y2 + y + 1)

Factorar: P(x) = x4 + 9 - 10x2

Eje

mp

lo 2

• Completando y ordenando el polinomio x4 + 0x3- 10x

2 + 0x + 9

9 3

3 3

1

1. Descomposición

en factores

primos

factores {± 1

± 3

• x = 1; P(1) = (1)4- 10(1)

2 + 9 = 0

• x = -1; P(-1) = (-1)4- 10(-1)

2 + 9 = 0

• x = 3; P(3) = (3)4- 10(3)

2 + 9 = 0

• x = -3; P(-3) = (-3)4- 10(-3)

2 + 9 = 0

2. Factores que cumplen con

P(a) = 0

1 0 - 10 0 9

1 1 - 9 - 9 1

1 1 - 9 - 9 0

- 1 0 9 - 1

1 0 - 9 0

3 9 3

1 3 0

3. Aplicando el método de Ruffini.

• Factor: (x - 1)

• Factor: (x + 1)

• Factor: (x - 3)

• Factor: (x + 3)

• Por lo tanto factorar: x4 - 10x2 + 9 = (x - 1) (x + 1) (x - 3) (x + 3)


29

Elaborar un Mentefacto de la factorización de polinomios

Ejercicios

Factorar mediante regla de Ruffini.

1. P(x): x3 - x2 - x + 1 =

2. P(x): x3 + 2x2 - x – 2 =

3. P(x): x3 + 3x2 - 4x – 12 =

4. P(x): x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4 =

5. P(x) x4 - 6x3 - 11x2 + 96x – 80 =

6. P(x): x4 - 2x3 + 3x – 6 =

7. P(x): x5 + x4 - 16x – 16 =

8. P(x): x5 + x4 - x3 + x2 - 3x + 5 =

9. P(x): 7x5 - 28x3 - 7x2 + 28 =

10. P(x) 4x7 - 2x6 + 3x =

MISCELÁNEA DE FACTORIZACIÓN

1. 5x2 – 16x – 45 =

2. 1 + 49y2 – 14y =

3. 100y2z4 – 169x6 =

4. y2 + 6y – 216 =

5. 8x3 + 27y6 =

6. 3y2 -11y + 6 =

7. 1 – 27y3z3 =

8. 6x2 + 23x + 21 =

9. z6 + 125y12 =

10. 35z2 + 12z – 32 =

11. x + z2 – 2xy – 2yz2 =

12. (x + y) (x – y) – (x – y) (x – y) =

13. 24z2 + 29z – 63 =

14. z2 – 2z – yz + 2y =

15. 9y6 + 16z10 + 24y3z5 =

16. 10x2y3 + 14x3y2 – 6xy2 =

17. 12y2 – y – 6 =

18. x(x – y) + 4y(x – y) – 3x(x – y) =

19. z2 + 8z – 180 =

20. x6 – 9y2 =

21. 6z2 + z – 7 =

22. 18xy2 – 54x2y2 + 36y2 =

23. z12 – 216y9 =

24. 15x2 + 11x – 14

25. 2y2 + 2y =

26. 3z2 - z – 10 =

27. 2x (z – 1) – z + 1 =

28. 15y2 – 8y – 12 =

29. 1 + 18xy + 81x2y2 =

30. 49z2 – 77z + 30 =

31. 9y2 – 6yz + z2 =

32. 2xz – 6z + xy – 3y =

33. y2 – 3y – 4 =

34. 4x2z + 12x2y – 5bz – 15by =

35. 12x2 – 8x – 15 =

36. 5x2 + 4x -12 =

37. 20y2 – 7y – 40 =

38. 100x4y6 – 121z4 =

39. z2 – z – 30 =

40. 1 – 4y + 4y2 =

41. 3x2 – 17x + 22 =

42. 2𝑥3 − 3𝑥2 − 8𝑥 – 3 =

43. 4𝑥 3 + 8𝑥 2 − 𝑥 – 2 =

44. 𝑥 5 − 𝑥 4 − 4𝑥 3 − 4𝑥 2 − 5𝑥 – 3 =

45. 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 =


30

3.5. Ecuaciones

Las ecuaciones son una rama del álgebra elemental que

trata las operaciones aritméticas entre expresiones

algebraicas separadas por el signo igual (=). Así una

ecuación algebraica es una igualdad entre dos expresiones

que posee una o varias incógnitas

Las expresiones que se encuentran antes del signo “=” se

llaman primer miembro, mientras las que se encuentran

después del signo “=” se denominan segundo miembro.

A las letras de las expresiones algebraicas se las conoce como parte literal. Son las

incógnitas o variables, generalmente representadas por las letras (x, y, z). El grado de la

ecuación está dado por el mayor de los exponentes del polinomio.

Resolver una ecuación es

calcular el valor de la incógnita

“x” que cumplan con la igualdad.

En la ecuación

5x – 6 = 10 + x

La solución es

x = 4

A las soluciones se los conoce

como raíces de la ecuación.

Es decir, la raíz es x = 4.

Primer miembro → x + 5x = 27 – 3x segundo miembro

Incógnita Término independiente


31

Clasificación de las ecuaciones algebraicas

Observación: En esta unidad se estudiarán las

ecuaciones de primer grado con una incógnita.

3.5.1. Igualdades y Ecuaciones.

Igualdad aritmética

9 – 3 = 6

Igualdad algebraica

x + 2 = 6 – x

En aritmética, las igualdades son

numéricas, solamente comparan

números relacionados por las

operaciones aritméticas.

En álgebra, las igualdades emplean

expresiones algebraicas además comparan

números y letras relacionados mediante

operaciones aritméticas.

Por lo tanto, las ecuaciones son igualdades algebraicas que son ciertas únicamente

para ciertos valores de la incógnita y que satisfacen una igualdad numérica.

Importante.

La comprobación de una ecuación se hace reemplazando el valor encontrado

de la incógnita y verificando que se cumpla la igualdad numérica.

Ecuaciones algebraicas

Polinomicas

De 1° grado ax + b = 0; a ≠ 0

De 2° grado ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0

De 3° grado ax3 + bx2 + cx + d = 0; a ≠ 0

De grado n axn + bxn-1 + ... + cx + d = 0; a ≠ 0

RacionalP(x)

Q(x)=0; Q x ≠0

Irracionaln

P(x) = 0

Valor absoluto P(x) = 0


32

Comprobar 10x - 8 = 12 + 5x para x = 4

Eje

mp

lo


1. 10x – 8 = 12 + 5x Dato

2. 10(4) – 8 = 12 + 5(4) Reemplazando el valor de la incógnita

3. 40 – 8 = 12 + 20 Def. (x)

4. 32 = 32 Def. (+)

3.5.2. Ecuaciones Equivalentes

Dos o más ecuaciones son equivalentes si

para todas ellas la incógnita presenta la

misma solución.

Son ecuaciones equivalentes:

x – 3 = 5 → x = 8

2x – 6 =10 → x = 8

Las ecuaciones de primer grado se resuelven por medio

de propiedades efectuadas para ambos miembros de la

ecuación (teoremas) y así convertirlas en ecuaciones

equivalentes.

3.5.2.1. Teoremas para despejar la incógnita

Nombre Teorema Ejemplo

1. Transposición de términos (±) ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b 2x + 5 = 3 ↔ 2x = 3 - 5

2. Transposición de factores ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0 2x = 8 ↔ x = 8/2; 2 ≠ 0

3. Transposición de divisores x/a = c ⇔ x = ac; a ≠ 0 x/5 = 2 ↔ x = 2∙5 5 ≠ 0

4. Cambio de signo - ax = - c ⇔ ax = c - 2x = - 3 ↔ 2x = 3

5. Cancelación de términos (±) ax ± b = c ± b ⇔ ax = c 3x ± 5 = 4 ± 5 ↔ 3x = 4

6. Cancelación de factores ax ∙ b = c ∙ b ⇔ ax = c 3x ∙ 2 = 5 ∙ 2 ↔ 3x = 5

7. Cancelación de divisores ax / b = c / b ⇔ ax = c; b ≠ 0 2x/3 = 5/3 ⇔ 2x = 5; 3 ≠ 0

Importante: en el teorema 6. “Cancelación de factores”, si ambos miembros

de la ecuación poseen la incógnita “x” como factor, no es recomendado el

simplificar, debido a que se pueden perder posibles soluciones.

Crear ecuaciones que sean

equivalentes


33

3.5.3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita

También conocidas como ecuaciones lineales. Son igualdades que poseen la incógnita (x,

y o z) con grado 1 y su solución cumple con igualdad

únicamente para los valores de x = a.

3.5.3.1. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Para resolver las ecuaciones lineales, es necesario aplicar los teoremas para despejar la

incógnita y transformarla en ecuaciones equivalentes hasta hallar el valor (raíz) que

satisface la ecuación.

Resolver la ecuación: 10x – 8 = 22 - 5x

Eje

mp

lo 1


1. 10x – 8 = 22 - 5x Dato

2. 10x + 5x = 22 + 8 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b

3. 15x = 30 Suma de Términos semejantes

4. x = 30/15 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

5. x = 2 Def. de (÷)

Comprobación: si x = 2, entonces reemplazando: 10(2) – 8 = 22 – 5(2) → 12 = 12.

Ejemplos: 6x – 3 = x + 17 10 = 15 – 5y 3z – 8 = 4 – z

Raíz: x = 4 Raíz: y = 1 Raíz: z = 3


34

Resolver la ecuación: 16 + 7z – 5 + z = 11z – 3 – z

Eje

mp

lo 2


1. 16 + 7z – 5 + z = 11z – 3 – z Dato

2. 7z + z – 11z + z = - 3 – 16 + 5 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b

3. - 2z = - 14 Suma de Términos semejantes

4. 2z = 14 T. - ax = - c ⇔ ax = c

5. z = 14/2 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

6. z = 7 Def. de (÷

Comprobación: si z = 7, entonces reemplazando:

16 + 7(7) – 5 + (7) = 11(7) – 3 – (7) → 67 = 67.

Observación: si la ecuación de primer grado posee términos con números

racionales o denominadores, es necesario multiplicar a los dos miembros por

el mínimo común múltiplo de los denominadores y resolver normalmente.

Resolver la ecuación: x

6 + 5 =

1

3 – x

Eje

mp

lo 3


1. x

6 + 5 =

1

3 – x Dato

2. 𝟔 (x

6 + 5 ) = (

1

3 – x) 𝟔

mcm (3, 6) = 6

Ax. Multiplicativo de la igualdad.

3. x(6)

6 + 5(6) =

1(6)

3 – x(6) Propiedad distributiva

4. x + 30 = 2 - 6x Multiplicar y simplificar

5. 6x + x = 2 - 30 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b

6. 7x = - 28 Términos semejantes

7. x = - 28/7 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

8. x = - 4 Def. (÷)

Comprobación: si x = - 4, entonces reemplazando: (- 4)

6 + 5 =

1

3 – (- 4) →

13

3 =

13

3


35

Resolver la ecuación: 2

3x -

5

x =

7

10 -

3

2x + 1

Eje

mp

lo 3


1. 2

3x -

5

x =

7

10 -

3

2x + 1 Dato

2. 30x (23x

- 5x

) = (7

10 - 3

2x + 1) 30x

mcm (1, 2, 3, 10) = 30x

Ax. Multiplicativo de la

igualdad.

3. 2(30x)

3x -

5(30x)

x =

7(30x)

10 -

3(30x)

2x + 1(30x) Propiedad distributiva

4. 20 – 150 = 21x – 45 + 30x Multiplicar y simplificar

5. - 21x – 30x = - 45 – 20 + 150 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b

6. – 51x = 85 Términos semejantes

7. 51x = -85 T. - ax = c ⇔ ax = - c

8. x = - 85/51 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

9. x = - 5/3 Simplificación

Comprobación: si x = - 4, entonces reemplazando:

2

3(-5

3) -

5

(-5

3) =

7

10 -

3

2(-5

3)

+ 1 → 14

5 =

14

5

Ejercicios

Resolver las siguientes ecuaciones. Realiza la comprobación para la raíz encontrada.

1. 10x − 4 = 26

2. 2x – 5 = x + 9

3. 9x – 5 – x = 3x + 15

4. 25x + 4 – 5x = 10x + 104

5. 4x + 8 = 2x + 15 – x + 2

6. 1 - y

3 =

5y

3

7. 2z

3 +

16

3 = -

x

2

8. 3x

2 +

2x

3 =

1+3x

2

9. y + 1

2 -

y

3 = 1 -

3y

4

10. 1

x - 2 +

1

x + 2 =

1

x2 - 4


36

3.5.3.2. Resolución ecuaciones de primer grado con signos de agrupación

Para resolver este tipo de ecuaciones se debe

eliminar los signos de agrupación mediante la

propiedad distributiva con respecto a la suma,

respetando las leyes de los signos. Cuando existen

varios signos de agrupación, se procede a eliminar

de adentro hacia afuera. Y al final realizar las sumas

y rectas respectivas.

Si antes del paréntesis no existe coeficiente numérico se considera al 1.

Resolver la ecuación: x – (2x + 1) = 10 – 2(3x + 3)

Eje

mp

lo 1


1. x – (2x + 1) = 10 – 2(3x + 3) Dato

2. x – 2x - 1 = 10 – 6x - 6 T. – a (b+c) = -ab - ac

3. x – 2x + 6x = 10 – 6 + 1 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b


5. x = 1 T. ax ∙ b = c ∙ b ⇔ ax = c

Comprobación: si x = 1, entonces reemplazando en la ecuación:

(1) – (2(1) + 1) = 10 – 2(3(1) + 3)→ - 2 = - 2.

Resolver la ecuación: 5z + [- 4z – (2z - 3)] = 8z + 2(- 2z + 9)

Eje

mp

lo 2


1. 5z + [- 4z – (2z - 3)] = 8z + 2(- 2z + 9) Dato

2. 5z + [- 4z – 2z + 3] = 8z – 4z + 18 T. – a (b+c) = -ab - ac

3. 5z - 4z – 2z + 3 = 8z – 4z + 18 T. a (b+c) = ab + ac

4. 5z - 4z – 2z - 8z + 4z = 18 - 3 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b

5. - 5z = 15 Suma de Términos semejantes

6. 5z = - 15 T. - ax = - c ⇔ ax = c

7. z = - 15/5 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

8. z = -3 Def. (÷)

Comprobación: si z = - 3, entonces reemplazando en la ecuación:

5(-3) + [- 4(-3) – (2(-3) + 3)] = 8(-3) + 2(- 2(-3) + 9) → -18 = -18.

P Paréntesis { [ ( ± ) ] }

E Exponentes xn

M Multiplicaciones (×)

D Divisiones (÷)

A Adición (+)

S Sustracción (−)


37

Ejercicios

Resolver y comprobar las siguientes ecuaciones

1. 3x + 8 = 3(x - 2)

2. 9 + 3(2 − 𝑥) = −3

3. 15x – 10 = 6x – (x + 2) + (–x + 3)

4. x – (2x - 1) = 8 – (3x + 3)

5. (5 – 3x) + (– 4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6)

6. 8y = - 2[3(y - 4) + y]

7. 3x + [– 5x + (x + 3) ] = 8x + (–5x – 9)

8. 16x – [3x – (6 – 9x) ] = 30x + [– (3x + 2) – (x + 3) ]

9. 3(x - 8) + 6(2 - x) - (x - 2) = x

10. { 3x + 8 – [ – 15 + 6x – (– 3x + 2) – (5x + 4) ] – 29 } = – 5

3.5.4. Problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita

El álgebra es una rama de las matemáticas aplicada en

muchos campos de estudio por profesionales (arquitectos,

médicos, abogados, entre otros). Asimismo, permite que se

resuelvan problemas de ecuaciones sencillas.

Para logar interpretar las palabras que usamos, existen

expresiones en el lenguaje usual que son interpretables

matemáticamente y de esa manera poder encontrar la solución a un problema que se

puede presentar en el diario vivir.

Así, todo lo que nos rodea presenta una interpretación matemática. Por ejemplo, ir a

comprar a la tienda, preparar un pastel, calcular la edad de una persona, incluso

planificar un horario de clases.


38

El domingo pasado asistí a una fiesta donde había 3 pasteles, al preguntarle a mi

amigo cuánto gastó, él respondió que el costo total por promoción de los tres pasteles

fue $21. ¿Cuánto costó cada pastel?

Eje

mp

lo

Si llamamos “x” al costo de un solo pastel podemos plantear la

ecuación.

3x = 21

Al resolver la ecuación tenemos el costo de cada pastel. x = 7

• Por lo tanto, cada pastel costo en promoción $7.00

3.5.4.1. Transformación del lenguaje verbal al lenguaje algebraico

El lenguaje verbal, lenguaje cotidiano o

lenguaje usual es aquel que se emplea para

transmitir información, expresar ideas,

sentimientos o dar un juicio de valor.

Al plantear un problema en el lenguaje verbal

se logra tener una idea de cómo puede formarse

una solución. Según (Delgado Coronado, 2015)

en su estudio de “El Papel del Lenguaje en el

Aprendizaje de las Matemáticas” plantea:

Es importante señalar que, cuando se les planteó el problema con el lenguaje

cotidiano, los alumnos mostraron su capacidad para poner en juego sus propios

procedimientos, hecho que indica que comprendieron el problema y buscaron sus

propias alternativas de solución. (p. 38)

Escribe y resuelve un problema de la

vida cotidiana que te haya sucedido

“para que sirven las ecuaciones” https://www.youtube.com/watch?v=wbCdni-VuW4

https://www.youtube.com/watch?v=wbCdni-VuW4

https://www.youtube.com/watch?v=wbCdni-VuW4


39

Mientras que la función de lenguaje algebraico o lenguaje matemático es más técnica y

sirve para resolver el problema mediante propiedades y teoremas que ayuden a

encontrar el valor de la incógnita. Así lo plantea Delgado Coronado, (2015).

Aprender matemáticas requiere el desarrollo de competencias que le permitan al

estudiante diseñar planteamientos en el lenguaje matemático, ya que las

operaciones que las constituyen solo son herramientas que permiten solucionar

cualquier situación problemática que se presente, por tal motivo es indispensable

y necesario conocer y entender este lenguaje para establecer un proceso de

comunicación, donde podamos comprender lo que nos plantea el problema y así

solucionarlo. (p. 36)

Es por eso tan necesario el nexo entre lenguaje verbal y lenguaje algebraico, porque al

utilizar el primero, también se emplea el segundo. Además, es este el cual resuelve el

problema y da una interpretación que regresa una solución que nuevamente se puede

interpretar de manera verbal.

En el lenguaje verbal existen palabras y/o frases que son interpretables en lenguaje

algebraico y se pueden expresar mediante símbolos matemáticos para resolver

problemas o situaciones de la vida diaria.

Se comienza con cualquier expresión cuantificable, numerable o capaz de expresar una

cantidad con números cardinales. Se representa como la incógnita o variable (x, y o z).

Esto puede ser la distancia, el tiempo, la edad, el conteo de objetos, entre otros.

El siguiente listado presenta algunas frases en lenguaje verbal y su equivalente en

lenguaje algebraico. Estas expresiones sencillas representan las operaciones básicas.


40

Lenguaje verbal Lenguaje algebraico Expresiones similares

1. Un número cualquiera x, y, z La edad de, la cantidad de.

2. Un número aumentado en 2 x + 2, y + 2, z + 2 Excede en, es mayor con.

3. Un número disminuido en 2 x – 2, y – 2, z – 2 Disminuido en, hace tanto.

4. El doble de un número 2x, 2y, 2z Dos veces, duplicado.

5. El triple de un número 3x, 3y, 3z Tres veces, triplicado.

6. Cinco veces un número 5x, 5y, 5z Cinco veces más, el quíntuplo.

7. La mitad de un número x/2, y/2, z/2 Entre dos. La segunda parte.

8. Un número elevado a la n xn, yn, zn Cuadrado, cubo, a la quinta.

El siguiente listado combina las expresiones anteriores y presentan un lenguaje

diferente para formas más complejas del lenguaje. (Bastidas et al., 2018)

Lenguaje verbal Lenguaje algebraico

1. Un número par 2x

2. Un número impar 2x + 1

3. El 8% de un numero 8x/100

4. Tres números consecutivos x, x+1, x+2

5. Tres números pares consecutivos 2x, 2x + 2, 2x + 4

6. Tres números impares consecutivos 2x + 1, 2x + 3, 2x + 5

7. Un número de tres cifras 100x, 10x, x

8. El triple de un número disminuido en 7 3x – 7

9. La quinta parte de un número aumentado en 3 (x/5) + 3

10. Los ¾ del número anterior (¾) (x - 1)

Importante: Las expresiones anteriores solo presentan un pequeño ejemplo de lo enorme

que es nuestro lenguaje. El lenguaje se vuelve más formal a manera que nos adentramos

en las ciencias.


41

Ejercicios

Traducir las siguientes expresiones en lenguaje cotidiano a lenguaje algebraico.

1. El triple de una cantidad.

2. La raíz cuadrada de un número.

3. La mitad de un número se disminuye en 6.

4. Al doble de un número se le suman 2.

5. A un número se le resta 14.

6. El cuádruplo de un número.

7. El 20 % de una cantidad.

8. El doble de un número más su triple.

9. La edad de una persona dentro de 15 años.

10. Si a tres veces un número se suma 8, resulta 10.

Relacionar cada expresión algebraica con su traducción al lenguaje algebraico.

____ 1. El anterior de un número

____ 2. El doble de un número, más tres

____ 3. El siguiente de un número

____ 4. El triple del cubo de un número

____ 5. Un número más su cuadrado

____ 6. Cuatro veces un número menos sus dos tercios

____ 7. La mitad de un número menos cuatro

____ 8. Un múltiplo de cinco

____ 9. El cuadrado de un número par

____ 10. El triple de un número menos diez.

Investiga más frases de lenguaje

verbal que puedan ser

interpretadas en lenguaje

algebraico

A) x + x2

B) (2x)2

C) 3x3

D) x – 1

E) x/2 – 4

F) 4x – 2/3x

G) 2x + 3

H) x + 1

I) 5x

J) 3x - 10


42

3.5.5. Resolución de Problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Una vez dominada la transformación del lenguaje verbal a lenguaje algebraico, es

momento de resolver problema mediante el planteamiento de ecuaciones algebraicas de

primer grado.

3.5.5.1. Procedimiento para resolver problemas con ecuaciones de primer grado:

1. Comprender y representar:

consiste en la lectura del

problema, determinar las

incógnitas y las operaciones

utilizando el lenguaje

algebraico.

2. Planteamiento: es la

elaboración de la ecuación

algebraica adecuada para

satisfacer las condiciones el

problema y alcance de la

pregunta.

3. Resolver: se basa en resolver la

ecuación planteada mediante

los teoremas para despejar la

incógnita y resolver la ecuación

de primer grado con una

incógnita.

4. Comprobación: se verifica la

validez de la solución o raíz de

la ecuación volviendo

verdadera la información del

problema enunciado.

Comprender

(leer el problema)

Representar

(de lenguaje común a lenguaje algebraico)

Planteamiento (elaborar la ecuación

algebraica)

Resolver

(encontrar el valor de la incognita)

Comprobación

(la solucion cumple las condiciones)

Solucion

NO

NO

SI

SI

Proceso para resolver ecuaciones de primer

grado con una incógnita.

FLUJOGRAMA


43

Eje

mp

lo 1

Se desean repartir 16 dólares entre Juan y Pedro de forma que Pedro reciba 4

dólares más que Juan. ¿Cuántos dólares le corresponden a cada uno?

Solu

ción

1. Comprender y representar: la cantidad de dinero será “x” si Pedro

recibe 4 dólares más se representa por x + 4.

Lenguaje verbal Lenguaje algebraico Planteo de la ecuación

Dinero de Juan x x + x + 4 = 16

Dinero de Pedro x + 4

Total de dinero 16

2. Planteamiento: si entre los dos el total es de 16 dólares entonces la

ecuación se refiere a una suma entre la cantidad de dinero de Juan y

la cantidad de dinero de Pedro.

3. Resolver la ecuación: x + x + 4 = 16


1. x + x + 4 = 16 Dato

2. x + x = 16 - 4 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b


4. x = 12/2 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

5. x = 6 Def. de (÷)

• Por lo tanto: Juan tiene 6 dólares, mientras Pedro tiene 10 dólares

4. Comprobación: si x = 6, reemplazando: (6) + (6) + 4 = 16 → 16 = 16.

Observación:

En el afán de facilitar la comprensión de los problemas con

ecuaciones de primer grado, se realizará un estudio por diferentes

casos que se puede encontrar en los problemas.

Con el ejemplo anterior representa

cada paso del proceso en un flugrama.


44

3.5.6. Problemas con Números

La manipulación de números en los problemas de

ecuaciones de primer grado con una incógnita, ayuda a

comenzar el entrenamiento para resolver los casos

posteriores.

El conjunto numérico donde se encuentren las

cantidades a analizar, depende firmemente del

problema. De no ser aclarado, se asume que el conjunto

es los reales (ℝ).

Ejemplo 1

Si al triple de un número le sumas dicho número, resulta 28. ¿Cuál es ese número?

Solu

ción

1. Comprender y representar: el número buscado será “x”, si me indica el

triple es “3x”.

Lenguaje verbal Lenguaje algebraico Planteo de la ecuación n

Triple de un número 3x 3x + x = 28

Dicho número x

Resulta (=) 28

2. Planteamiento: el problema expresa que al sumar dos números su resultado

es igual a 28

3. Resolver la ecuación: 3x + x = 28


1. 3x + x = 28 Dato


3. x = 28/4 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

4. x = 7 Def. de (÷)

• Por lo tanto: el número buscado “x” es 7

4. Comprobación: si x = 7, reemplazando: 3(7) + (7) = 28 → 28 = 28.


45

Ejemplo 3

La suma de dos números es 25, si el mayor excede en 10 unidades al menor. Hallar los

números.

Solu

ción

1. Comprender y representar: el número menor será “x”, y el número mayor

excede en 15 “x+10”


Número menor x x + (x + 15) = 25

Número mayor x +15

Diferencia (-) 25

2. Planteamiento: el problema expresa que al sumar dos números su resultado

es igual a 25

3. Resolver la ecuación: x + (x+15) = 25


1. x + x + 15 = 25 Dato

2. x + x = 25 - 15 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b


4. x = 10/2 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

5. x = 5 Def. de (÷)

Por lo tanto: el número menor “x” es 5 y el número mayor “x + 15” es 20

4. Comprobación: si x = 5, reemplazando: (5) + (5 + 15) = 25 → 25 = 25.


46

Ejemplo 3

• Cuatro veces un número es igual al número aumentado en 21.

Solu

ción

1. Comprender y representar: el número será “x”, cuatro veces el número es “4x”

y el número aumentado 21 es “x + 21”

Lenguaje verbal Lenguaje

algebraico

Planteo de la

ecuación

El Número x 4x = x + 21

Cuatro veces el número 4x

El número aumentado en 21 x + 21

2. Planteamiento: se expresa un igualdad entre cada expresión algebraica.

3. Resolver la ecuación: 4x = x + 21


1. 4x = x + 21 Dato

2. 4x - x = 21 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b


4. x = 21/3 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

5. x = 7 Def. de (÷)

• Por lo tanto: el número “x” es 7

4. Comprobación: si x = 7, reemplazando: 4(7) = (7) + 21→ 28 = 28.

Importante:

• Un número de dos cifras se componen por unidades y decenas, de tal

manera que 10d + u

• Para invertir las cifras de un número, se debe invertir el orden entre

unidades y decenas. Por ejemplo, si se escribe 35 como 10(3) + 5, al

invertir tendríamos 53 como 10(5) + 3.


47

Ejemplo 4

En un número de dos cifras, la cifra de decenas excede en 2 a la cifra de las unidades.

Si al número se le disminuye el triple de unidades se obtiene otro número con las cifras

invertidas. Hallar el número.

1. Comprender y representar: la cifra de las unidades será “x”, por lo tanto, la

cifra de las decenas será “x + 2” y el doble de unidades será “2x”


Unidades x

10(x + 2) + x - 3x = 10x + (x + 2) Decenas x + 2

Triple de unidades 3x

El número 10(x + 2) + x

Número invertido 10x + (x + 2)

2. Planteamiento: a el número menos el triple de unidades es igual a el número

invertido

3. Resolver la ecuación: 10(x + 3) + x + 3x = 10x + (x + 3)


1. 10(x + 2) + x - 3x = 10x + (x + 2) Dato

2. 10x + 20 + x - 3x = 10x + x + 2 Ax. Distrib. (x) con respecto a la (+)

3. 20 + x - 3x = x + 2 T. ax ± b = c ± b ⇔ ax = c

4. x - 3x – x = 2 - 20 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b

5. - 3x = - 18 Suma de Términos semejantes

6. 3x = 18 T. - ax = - c ⇔ ax = c

7. x = 18/3 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

8. x = 6 Def. de (÷)

• Por lo tanto: la cifra de las unidades “x” es 6. La cifra de las decenas “x +

2” es 8. El número buscado es 86

4. Comprobación: si el número es 86, reemplazando: 86 – 18 = 68 → 68 = 68.


48

Ejercicios Propuestos.

Resolver los siguientes problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

1. La suma de un número más su triple es 80. ¿Cuál es dicho número?

2. Dos números consecutivos suman 25. ¿Cuáles son?

3. Tres números consecutivos suman 306. ¿Cuáles son?

4. Dos números cuya diferencia es 14, suman 54. ¿Cuáles son?

5. El doble de un número más 5 unidades es igual al triple del número. ¿Cuál es el

número?

6. Nueve veces un número es igual el número aumentado en 112 ¿Cuál es el número?

7. Hallar el número que aumentado en 56 equivale al triple del número disminuido en

14.

8. La suma de tres números es igual a 340. El primero es el triple del segundo y el

segundo es cuatro veces el tercero.

9. Se tiene un número de dos cifras, tal que, la segunda cifra es el doble de la primera y

al sumar el número más el número que se obtiene al cambiar el orden de sus cifras

es 132 ¿Qué número es?

10. Se tienen dos números de dos cifras, tales que la cifra de las decenas de ambos

números es la misma, la cifra las unidades de uno de ellos es el doble de la primera,

la cifra de las unidades del otro número es el triple de la primera, la suma de los dos

números es 75 ¿Qué números son?

(González & Mancill, 1962) (Baldor, 1960)


49

3.5.7. Problemas con cantidades.

Las diversas cantidades pueden ser:

dinero, objetos, frutas, animales, entre

otros. Es todo aquello que pueda ser

contabilizado y expresado mediante

una cantidad real.

Ejemplo 1

Luis, Daniel y Juan ganaron $100 en su trabajo. Luis ganó $ 8 más que Daniel y Juan

ganó el doble de dinero que ganó Daniel. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Solu

ción

1. Comprender y representar: la cantidad de dinero de Daniel será “x” debido a

que es la base del problema. (no presenta modificaciones en el enunciado)

Personajes Cantidad de dinero Planteo de la ecuación

Daniel $ x

x + (x + 8) + 2x = 100 Luis $ x + 8

Juan $ 2x

Total $ 100

2. Planteamiento: el dinero ganado entre los tres se reparte de la forma que

explica el problema. Por lo tanto, al sumar el dinero de los 3 tenemos $100.

3. Resolver la ecuación: x + (x + 8) + 2x = 100


1. x + (x + 8) + 2x = 100 Dato

2. x + x + 8 + 2x = 100 T. +(a + b) = a + b

3. x + x + 2x = 100 - 8 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b


5. x = 92/4 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

6. x = 23 Def. de (÷)

• Por lo tanto: la cantidad de dinero que gano Daniel es $23. Luis ganó $8

más que Daniel entonces Luis tiene $31 y Juan ganó el doble que Daniel

entonces Juan tiene $46

4. Comprobación: al sumar el de dinero de cada uno 23 + 31 + 46 = 100


50

Ejemplo 2

Un granjero A tiene cuatro veces la cantidad de ganado que tiene el granjero B. Si el

granjero A le vende 10 cabezas de ganado al granjero B, entonces tendría el doble.

Solu

ción

1. Comprender y representar: el problema presenta 2 partes, un antes y un

después.

• Antes, el granjero B tiene “x” ganado y el granjero A tiene “4x”.

• Después, el granjero A vende 10 cabezas de ganado: seria “4x - 10”,

mientras que, el granjero B tendría “x + 10”

Personas Antes Después Planteo de la ecuación

Ganado

original

Al vender 10

cabezas

4x – 10 = 2(x + 10)

Granjero A 4x 4x - 10

Granjero B x x + 10

2. Planteamiento: la igualdad se establece con la cantidad de ganado que tiene

el granjero A al vender, que es igual al doble de ganado del granjero B

después.

3. Resolver la ecuación: 4x – 10 = 2(x + 10)


1. 4x – 10 = 2(x + 10) Dato

2. 4x – 10 = 2x + 20 Ax. Distributivo

3. 4x - 2x = 20 + 10 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b


5. x = 30/2 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

6. x = 15 Def. de (÷)

Por lo tanto: el granjero B tiene 15 cabezas de ganado y el granjero A tiene cuatro

veces esta cantidad o sea 60 cabezas de ganado.

4. Comprobación: después de vender las 10 cabezas de ganado.

Granjero A: 60 – 10 = 50

Granjero B: 15 + 10 = 25

El granjero A tiene el doble de cabezas de ganado que el granjero b.


51

Ejemplo 3

En una ferretería se venden tornillos en cajas de tres tamaños: pequeña, mediana y

grande. La caja grande contiene el triple que la mediana y la mediana 15 tornillos más

que la pequeña. Al comprar una caja de cada tamaño, en total hay 125 tornillos,

¿cuántos tornillos hay en cada caja?

Solu

ción

1. Comprender y representar: la cantidad tornillos de la caja pequeña será “x”

debido a que es la base del problema. (no presenta modificaciones en el

enunciado)

Cajas Cantidad de tornillos Planteo de la ecuación

Pequeña x

x + (x + 15) + 2(x + 15) = 125 Mediana x + 15

Grande 2(x + 15)

Total $ 125

2. Planteamiento: la suma total de los tornillos en las tres cajas compradas es

de 125 tornillos.

3. Resolver la ecuación: x + (x + 15) + 2(x + 15) = 125


1. x + (x + 15) + 2(x + 15) = 125 Dato

2. x + x + 15 + 2x + 30 = 125 T. +(a + b) = a + b / Ax. Distributivo

3. x + x + 2x = 125 – 15 – 30 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b


5. x = 80/4 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

6. x = 20 Def. de (÷)

• Por lo tanto: en la caja pequeña hay 20 tornillos. Por otro lado, en la caja

mediana hay 15 tornillos más, es decir, 35 tornillos y en la caja grande

hay el doble que en la mediana, o sea ,70 tornillos.

4. Comprobación: al sumar la cantidad de tornillos de las tres cajas

20 + 35 + 70 = 125


52

Ejemplo 4

Un local comercial de ropa realiza el cierre de caja con $400. Si el vendedor solo tiene

26 billetes de $5 y de $20. ¿Cuántos billetes son de $5? y ¿cuántos son de $20?

Solu

ción

1. Comprender y representar: si en total hay 25 billetes. quiere decir que existe

“x” de billetes de una denominación y “26 – x” cantidad de billetes de otra

denominación.

Billetes Número de

Billetes

Cantidad de

dinero

Planteo de la ecuación

5x + 20(26 - x) = 400 De $5 x 5x

De $20 26 - x 20(26 - x)

TOTAL DE DINERO 400

2. Planteamiento: la cantidad de dinero es el producto entre el valor de cada

billete por el número de billetes pero el total es la suma entre las cantidades

dinero.

3. Resolver la ecuación: 5x + 20(26 - x) = 400


1. 5x + 20(26 - x) = 400 Dato

2. 5x + 520 - 20x = 400 Ax. Distributivo

3. 5x - 20x = 400 - 520 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b

4. - 15x = - 120 Suma de Términos semejantes

5. 15x = 120 T. - ax = - c ⇔ ax = c

6. x = 120/15 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

7. x = 8 Def. de (÷)

Por lo tanto: el vendedor tiene 8 billetes de $5 y (26 – 8 = 18) 18 billetes de $20.

4. Comprobación: al sacar el total de dinero con cada tipo de billete.

De $5: $5(8) = $40

De $20: $20(18) = $360.

En total hay: $400.


53

Ejercicios Propuestos

Resolver los siguientes problemas con cantidades de ecuaciones de primer grado con

una incógnita.

1. En mi colegio entre chicos y chicas somos 725. Si el número de chicas supera en 45 al

de chicos. ¿Cuántos chicos hay? y ¿cuántas chicas?

2. Tres amigos van de compras. Juan gasta el doble que Alicia y Ana gasta el triple que

Alicia, si entre los tres han gastado $84. ¿Cuánto ha gastado cada uno?

3. Sabiendo que un pantalón es $10 más caro que una camisa y que si compro 4

pantalones y 2 camisas pago $100. ¿Cuánto vale un pantalón y una camisa?

4. Si el salario quincenal de un maestro es de $280 y al cobrar su cheque le entregan

billetes de $50 y de $10, de manera que el número de billetes de $10 es el doble que

el de $50. ¿Cuántos billetes de cada clase se tienen?

5. Un kilo de papas cholas cuesta el doble que un kilo de naranjas. Por 3 kilos de papas

cholas y 5 de naranjas he pagado $11. ¿Cuánto vale el kilo de cada una?

6. Un comerciante de verdura compra una cierta cantidad de tomates a 4 dólares el kilo.

Se le echan a perder 3 kilos y el resto los vende a 10 dólares el kilo. ¿Qué cantidad ha

comprado si la ganancia obtenida es de 90 dólares?

7. En el laboratorio del colegio hay 43 asientos entre taburetes de 3 patas y sillas de 4

patas. El total de patas es 157. ¿Cuántas sillas y taburetes hay?

8. Si compro 5 cuadernos y me sobran $2. Si hubiera necesitado comprar 9 cuadernos,

me habría faltado $1. ¿Cuánto cuesta un cuaderno?

9. Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado $14,30. El videojuego es

cinco veces más caro que el cómic, y éste cuesta el doble que el helado. ¿Cuál era el

precio de cada artículo?

10. Me faltan $1,80 para comprar mi videojuego. Si tuviera el doble de lo que tengo ahora,

me sobrarían $2.00. ¿Cuánto tengo? ¿Cuánto cuesta la revista?



54

3.5.8. Problemas con edades.

Los problemas con edades son una excelente

aplicación de las ecuaciones de primer grado, así como

de la traducción del lenguaje común al lenguaje

algebraico. En ciertos casos los problemas de edades

presentan de 2 a 3 momentos que son: el pasado, el

presente y el futuro.

Ejemplo1

La edad del padre de Antonio es 28 años y la edad de su hijo es de 6 años. ¿Dentro de

cuántos años la edad de su padre será el doble que la de Antonio?

Solu

ción

1. Comprender y representar: lógicamente Antonio será “x” menor que su padre

quien será “4x”

Personajes Edad actual Edad futura Planteo de la ecuación

Edad del Padre 28 28 + x 28 + x = 2(6 + x)

Edad de Antonio 6 6 + x

2. Planteamiento: el tiempo transcurre igual para ambos, por lo tanto, se le

suman “x” años a cada uno, la igualdad indica que el padre será igual al doble

de la edad de Antonio. (P = 2A).

3. Resolver la ecuación: 28 + x = 2(6 + x)


1. 28 + x = 2(6 + x) Dato

2. 28 + x = 12 + 2x Ax. Distributivo

3. x - 2x = 12 - 28 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b

4. - x = - 16 Suma de Términos semejantes

5. x = 16 T. - ax = - c ⇔ ax = c

• Por lo tanto: debe transcurrir 16 años para que la edad del padre sea el

doble que la de Antonio.

4. Comprobación: Padre: 28 + 16 = 44; Antonio: 6 + 16 = 22. Entonces la edad

del padre es el doble a la de Antonio.


55

Ejemplo 2

La edad de María es el triple que la edad de Juana dentro de 6 años. ¿Cuáles son las

edades de cada una?

Solu

ción

1. Comprender y representar: la edad desconocida se representa por “y”, el

triple de esa edad será “3y”, mientras que, la edad aumentada 6 años será “y

+ 6”

Representación Edad Planteo de la ecuación

Juana y 3y = y + 6

María 3y

dentro de 6 años y + 6

2. Planteamiento: debido a que se trata de una comparación entre edades,

planteamos la ecuación como una igualdad entre las edades de María y

Juana.

3. Resolver la ecuación: 3y = y + 6


1. 3y = y + 6 Dato

2. 3y - y = 6 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b

3. 2y = 6 Suma de Términos semejantes

4. y = 6/2 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

5. y = 3 Def. de (÷)

• Por lo tanto: Juana tiene 3 años y María tiene el triple, esto es 9 años

4. Comprobación: si y = 3, reemplazando: 3(3) = (3) + 6 → 9 = 9


56

Ejemplo 3

La edad de una madre y un hijo suman 50 años y dentro de 12 años la edad de la

madre será el triple de la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno.

Solu

ción

1. Comprender y representar: la madre tiene “x” años, por lo tanto, el hijo debe

tener “50 - x”

Representación Presente Futuro Planteo de la ecuación

Madre x x + 18 x + 18 = 3(62 - x)

Hijo 50 - x 50 – x + 18

2. Planteamiento: se trata de una comparación entre edades, planteamos la

ecuación con el futuro entre las edades de la madre igual al triple de la edad

de su hijo. En el futuro el hijo tiene (50 – x + 12 = 62 - x)

3. Resolver la ecuación: x + 18 = 3(50 – x + 18)


1. x + 18 = 3(62 - x) Dato

2. x + 18 = 186 - 3x Ax. Distributivo

3. 3x + x = 186 - 18 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b


5. x = 168/4 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

6. x = 42 Def. de (÷)

Por lo tanto: la edad actual de la madre es 42 años. La edad actual de su hijo es

de 50 – 42 = 8 años.

4. Comprobación: después de 18 años, cuando el hijo tenga 20 años, la madre

tendrá el triple, o sea 60 años.

Crea un problema de edades con

las edades de tus compañeros.


57


Resolver los siguientes problemas de edades con ecuaciones de primer grado con una

incógnita.

1. José tiene siete años menos que su prima María y dentro de 15 años la suma

de sus edades será de 35 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

2. La edad de Alicia es el cuádruplo de la de Pablo, pero dentro de 16 años será

solamente el doble. Halla la edad actual de Alicia y de Pablo.

3. Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto, 13, y su padre, 43. ¿Cuántos años han de

transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?

4. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será

tres veces mayor que la del hijo?

5. Si la edad de María es el triple que la de Pepe y dentro de 10 años será el doble. ¿Cuál

es la edad actual de Pepe y María?

6. Si al quíntuplo de la edad que tenía hace 2 años, le resto el triple de la edad que

tendré dentro de 5 años, obtengo mi edad. ¿Cuál es mi edad actual?

7. Las edades de Luis y Pedro suman 53 años. Si la edad de Pedro es 11 años más que

la de Luis. ¿Qué edad tiene cada uno ahora mismo?

8. Una madre tiene 61 años y su hija tiene 37 años. ¿Cuántos años hace que la edad de

la madre era el triple que la de su hija?

9. Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de

este. Hace cuatro años la edad del padre era el doble que la edad del hijo. Hallar las

edades de ambos

10. Ana tiene 7 años más que su hermano Juan. Dentro de dos años la edad de Ana será

el doble de la de Juan. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad?



58

3.5.9. Problemas con Perímetros y Áreas

Para resolver problemas con

perímetros y áreas es

indispensable conocer las

fórmulas de áreas para figuras

geométricas.

Simultáneamente, recordar

que el perímetro de una figura

geométrica plana es la suma de sus lados.

Ejemplo 1

Un terreno de forma rectangular está rodeado de una cerca de 150 metros, si el ancho del terreno es

la mitad del largo. ¿Cuáles son las medidas del terreno?

Solu

ción

1. Comprender y representar: la medida base es el largo “x” y de aquí se parte

el ancho que es la mitad x

2.

Dimensiones Representación Planteo de la ecuación

Largo (L) x 150 = 2(x) + 2(

x

2)

Ancho (A) x/2

Perímetro (P) 150

2. Planteamiento: si la cerca rodea al terreno, el problema se refiere al

perímetro. El perímetro de un rectángulo es P = 2L + 2A.

3. Resolver la ecuación: 150 = 2(x) + 2(x

2)


1. 150 = 2(x) + 2(x

2) Dato

2. 150 = 2x + x Ax. Distributivo

3. 150 = 3x Suma de Términos semejantes

4. 150/3 = x T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

5. x = 50 Def. De (÷) / Ax. Simétrico (=)

• Por lo tanto: el largo mide x = 50 metros; entonces el ancho mide 25 metros.

4. Comprobación: si el perímetro es P = 2L + 2A, reemplazando se tiene:

P = 2(50) + 2(25) → P = 150 metros.


59

Ejemplo 2

Para la exposición se preparan carteles cuadrados. Si se dibuja un margen 3 centímetros menor que

el lado del cuadrado, se obtiene otro de 135 cm2 menos que el primero. ¿Cuánto mide el lado menor?

Solu

ción

1. Comprender y representar: el lado del cartel (lado mayor) mide “x” mientras

el lado del margen (lado menor) mide “x – 3”

Dimensiones Representación Planteo de la ecuación

Lado mayor (LM) x x2 - (x - 3)2 = 135

Lado menor (lm) x – 3

Diferencia de áreas 135

2. Planteamiento: el área de un cuadrado es A = L2. Si el segundo cuadrado es

135 cm2 menor que el primero, entonces, se refiere a la diferencia de las

áreas. A mayor – A menor = 135

3. Resolver la ecuación: x2 - (x - 3)2 = 135


1. x2 - (x - 3)2 = 135 Dato

2. x2 - (x2 - 6x + 9) = 135 Binomio al cuadrado

3. x2 - x2 + 6x - 9 = 135 T. - (a - b) = - a + b

4. 6x - 9 = 135 Simplificación de términos semejantes

5. 6x = 135 + 9 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b

6. 6x = 144 Suma de términos semejantes

7. x = 144 / 6 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

8. x = 24 Def. De (÷)

• Por lo tanto: el lado mayor mide x = 24 cm y el lado menor mide 21 cm.

4. Comprobación: A mayor = (24 cm)2 = 576 cm2

A menor = (21 cm)2 = 441 cm2

Diferencia = 135 cm2


60

Ejemplo 3

La base de un triángulo excede en 5m a su altura, si a cada dimensión se aumentan

2m, el área aumenta en 25m2. ¿Cuáles son las dimensiones del triángulo?

Solu

ción

1. Comprender y representar: al principio la base mide “x” metros, la altura

mide “x + 5”. Al aumentar 2 metros, la base mide “x + 2” y la altura “x + 5+2”.

Elementos Dimensiones + 2m Planteo de la ecuación

Base (b) x x + 2

(x + 2) (x + 7)

2−

(x) (x + 5)

2= 25

Altura (h) x +5 x + 7

Área (A) (x) (x + 5)

2

(x + 2) (x + 7)

2

2. Planteamiento: el área de un triángulo es A = b ∙h

2. Si el segundo triangulo es

25m2 mayor que el primero, entonces. A mayor – A menor = 25

3. Resolver la ecuación: (x + 2) (x + 7)

2−

(x) (x + 5)

2= 25


1. (x + 2) (x + 7)

2−

(x) (x + 5)

2= 25 Dato

2. (x + 2) (x + 7) - (x) (x + 5)

2= 25 Suma de fracciones

3. (x + 2) (x + 7) - (x) (x + 5) = (25)(2) T. x/a = c ⇔ x = ac; a ≠ 0

4. x2 + 7x + 2x + 14 - (x2 + 5x) = 50 Ax. distributivo

5. x2 + 7x + 2x + 14 - x2 - 5x = 50 T. - (a - b) = - a + b

6. x2 + 7x + 2x - x2 - 5x = 50 - 14 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b

7. 4x = 36 Suma de términos semejantes

8. x = 36 / 4 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

9. x = 9 Def. De (÷)

Por lo tanto: la base mide x = 9 m y la altura mide 9 + 5 = 14 m, después de

aumentar dos metros, la base medirá x = 11 y la altura 14 + 2 = 16

4. Comprobación: A mayor = 63 m2

A menor = 88 m2

Diferencia = 25 m2


61


Resolver los siguientes problemas de perímetros y áreas mediante ecuaciones de

primer grado con una incógnita.

1. El largo de un campo de baloncesto es 8 metros mayor que su ancho, si el perímetro

es de 82 metros, ¿cuáles son las dimensiones del campo?

2. Calcula las dimensiones de una cancha de futbol cuyo perímetro mide 32 m, sabiendo

que de largo mide cuatro veces más que el ancho.

3. En un triángulo, el lado más pequeño es la mitad del mayor y el lado intermedio es

2/3 del mayor, si el perímetro es 180 cm. ¿cuáles serán las medidas de los lados?

4. En una pizza familiar (triángulo isósceles), cada uno de los lados iguales mide 4 cm

más que el lado desigual. Si su perímetro mide 56 cm, ¿cuánto mide cada lado?

5. La vereda de un parque cuadrado es de 2 metros menor que el borde del parque, si

su área interna es de 90m2, ¿cuál es la medida del borde del parque?

6. Un cuadrado mide 16 cm de lado. ¿Cuánto debe aumentar el lado para que su área

aumente en 22 cm2?

7. Un círculo mide 20 cm de diámetro. ¿Cuánto debe disminuir el diámetro para que su

perímetro disminuya en 2 cm?

8. El ancho de un rectángulo excede en 8m a su largo, si a cada dimensión se aumentan

5m el área aumenta en 46m2, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

9. La base de un triángulo es menor por en 10 cm a su altura, si a cada dimensión se

aumentan 20 cm, el área aumenta en 85cm2. ¿Cuáles son las dimensiones del

triángulo?

10. El largo de un rectángulo es el triple de su ancho, si a cada dimensión se disminuye

7m, el área disminuye en 25m2. ¿Cuáles son las dimensiones de la pirámide?



62

3.5.10. Problemas de Reloj

Para facilitar el análisis de los problemas de reloj, se debe

determinar la velocidad angular (ω = θ

t) de las manecillas del

horero y del minutero. Siendo (ω) velocidad angular, (θ)

desplazamiento angular y (t) tiempo

Es bien conocido que en un reloj analógico la circunferencia

está dividida en 60 partes iguales (minutos) este camino es

el desplazamiento angular recorrido por el minutero en una

hora. Entonces, la velocidad angular del minutero será ωm= 60

h.

En cambio, el camino que el horero

recorre en una hora es únicamente de 5

minutos, de esta manera, la velocidad

angular del horero es ωh = 5

h.

Al determinar la velocidad angular del

minutero con respecto al horero,

despejamos h,

Por lo tanto, en la formula ωm = 12ωh se determina que la velocidad del minutero es 12

veces la velocidad del horero.

Importante:

Con esta fórmula se resolverán los problemas de reloj con

ecuaciones de primer grado con una incógnita, teniendo en cuenta

que la velocidad será la incógnita.

x + n = 12x

Siendo n la cantidad de minutos que debe recorrer el minutero para

cumplir la condición del problema.

h = 60

ωm ; h =

5

ωh Despejando h

h = h Igualando h

60

ωm

=5

ωh

Reemplazando valores

ωm = 12ωh Despejando ωm


63

Ejemplo 1

¿A qué hora después de las 3 se sobreponen las manecillas del reloj? S

olu

ción

1. Comprender y representar: el espacio que

recorre el horero será “x”, mientras que, para

que el minutero alcance al horero deberá

recorrer 15 minutos más “x + 15”

Manecillas Representación Ecuación

Horero x x + 15 =

12x Minutero x + 15

2. Planteamiento: teniendo en cuenta la velocidad del minutero

x + n = 12x, se plantea la igualdad con n = 15.

3. Resolver la ecuación x + 15 = 12x


1. x + 15 = 12x Dato

2. 15 = 12x – x T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b


4. 15/11 = x T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

5. x = 1.3636… Def. De (÷) / Ax. Simétrico (=)

Para determinar exactamente el tiempo donde las manecillas se sobreponen, a

la parte decimal 0.36 se la multiplica por 60 segundos, obteniendo:

(0.3636) (60) = 21.816 segundos

• Por lo tanto: el horero marca las 3 y el minutero camina 15 minutos más

“x”. La hora exacta será las 3h 16m 21.816s

Observación:

Hay que tener en cuenta que un ángulo de 30° equivale a 5 minutos.

Así un ángulo de 90° equivale a 15 minutos.


64

Ejemplo 2

¿A qué hora después de las 6, forman las manecillas un ángulo de 30º por primera vez? S

olu

ción

1. Comprender y representar: el espacio que

recorre el horero será “x”, por otro lado, para

que el minutero logre un ángulo de 30° debe

haber al menos una diferencia de 5 minutos

entre el horero y el minutero “x + 25”

Manecillas Representación Ecuación

Horero x x + 25 =

12x Minutero x + 25

2. Planteamiento: teniendo en cuenta la velocidad del minutero ωm = 12ωh, se

plantea una igualdad para dicha velocidad.

3. Resolver la ecuación x + 25 = 12x


1. x + 25 = 12x Dato

2. 25 = 12x – x T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b


4. 25/11 = x T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0

5. x = 2.2727… Def. De (÷) / Ax. Simétrico (=)

Para determinar exactamente el tiempo donde las manecillas se sobreponen, a

la parte decimal 0.2727 se la multiplica por 60 segundos, obteniendo:

(0.2727) (60) = 16.362 segundos

• Por lo tanto: el horero marca las 6 y el minutero camina 25 minutos más

“x”. La hora exacta será las 6h 27m 16.362s


65


Resolver los siguientes problemas de reloj con ecuaciones de primer grado con una

incógnita.

1. ¿A qué hora después de la 1 se sobreponen las manecillas del reloj?

2. ¿A qué hora después de las 4 se sobreponen las manecillas del reloj?



5. ¿A qué hora después de la 1, forman las manecillas un ángulo de 90º?

6. ¿A qué hora después de las 3, forman las manecillas un ángulo de 60º por primera

vez?


vez?

8. ¿A qué hora después de las 2 se encuentran las manecillas del reloj a 180°?

9. ¿A qué hora después de las 10 se encuentran las manecillas en prolongación?

10. ¿A qué hora después de las 12 se encuentran las manecillas en prolongación por

primera vez?

(Bastidas et al., 2018)

3.5.11. Problemas de Velocidades

- botes – rio + bote


66

MISCELÁNEA DE ECUACIONES

Ejercicios

Resolver los siguientes problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

1. Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51.

2. Calcula el número que se triplica al sumarle 26.

3. La tercera parte de un número es 45 unidades menores al doble. ¿Cuál es el número?

4. El triple de un número más 8 unidades es igual al doble del número. ¿Cuál es el

número?

5. Siete veces un número es igual el número aumentado en 82 ¿Cuál es el número?

6. Hallar el número que aumentado en 36 equivale al doble del número disminuido en

14.

7. La suma de tres números es igual a 420. El primero es el triple del segundo y el

segundo es cuatro veces el tercero.

8. Se tiene un número de dos cifras, tal que la segunda cifra es tres veces la primera y

al sumar el número más el número que se obtiene al cambiar el orden de sus cifras

es igual a 252 ¿Qué número es?

9. Sabiendo que un pantalón es $8 más caro que una camisa y que si compro 5

pantalones y 4 camisas pago $110, ¿cuánto vale un pantalón y una camisa?

10. Si el salario quincenal de un maestro es de $480 y al cobrar su cheque le entregan

billetes de $50 y de $20, de manera que el número de billetes de $20 es el triple que

el de $50. ¿Cuántos billetes de cada clase se tienen?

11. Un kilo de papas cholas cuesta cuatro veces más que un kilo de mandarinas. Por 4

kilos de papas cholas y 4 de mandarinas he pagado $18. ¿Cuánto vale el kilo de cada

una?

12. Un comerciante de verdura compra una cierta cantidad de verdes a 2 dólares el kilo.

Se le echan a perder 4 kilos y el resto los vende a 7 dólares el kilo. ¿Qué cantidad ha

comprado si la ganancia obtenida es de 90 dólares?

13. En el laboratorio del colegio hay 21 mesas entre de 3 patas y de 4 patas. El total de

patas es 185. ¿Cuántas mesas existen?


67

14. Si compro 3 cuadernos y me sobran $2. Si hubiera necesitado comprar 5 cuadernos,

me habría faltado $1. ¿Cuánto cuesta un cuaderno?

15. ¿Qué edades tiene Roberto sabiendo que dentro de 56 años tendrá el quíntuplo de su

edad actual?

16. Tres hermanos se reparten $13. El mayor recibe el doble que el mediano y este el

cuádruple que el pequeño. ¿Cuánto recibe cada uno?

17. En un rectángulo la base mide 15 cm más que la altura y el perímetro mide 90 cm.

¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

18. La mitad de un número multiplicada por su quinta parte es igual a 160. ¿Cuál es ese

número?

19. En una granja hay el doble número de gatos que de perros y triple número de gallinas

que de perros y gatos juntos. ¿Cuántos gatos, perros y gallinas hay si en total son 96

animales?

20. Si al cuádruplo de la edad que tenía hace 3 años, le resto el doble de la edad que

tendré dentro de 6 años, obtengo mi edad. ¿Cuál es mi edad actual?

21. Las edades de Luis y Pedro suman 62 años. Si la edad de Pedro es 12 años más que

la de Luis. ¿Qué edad tiene cada uno ahora mismo?

22. Una madre tiene 52 años y su hija tiene 28 años. ¿Cuántos años hace que la edad de

la madre era el triple que la de su hija?

23. Se distribuyen 420 pruebas en cuatro aulas sabiendo que la primera tiene 60 menos

que la segunda y esta tiene 40 menos que la tercera. Averigua cuántas pruebas tiene

cada una.

24. Un círculo mide 40 cm de diámetro. ¿Cuánto debe disminuir el diámetro para que su

perímetro disminuya en 4 cm?

25. El ancho de un rectángulo excede en 6m a su largo, si a cada dimensión se aumentan

7m el área aumenta en 52m2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

26. La base de un triángulo es menor por en 18 cm a su altura, si a cada dimensión se

aumentan 12 cm, el área aumenta en 80cm2. ¿Cuáles son las dimensiones del

triángulo? ¿A qué hora después de la 1 se sobreponen las manecillas del reloj?




68


30. ¿A qué hora después de la 12, forman las manecillas un ángulo de 90º?


vez?

32. El largo de un rectángulo es el doble de su ancho, si a cada dimensión se disminuye

5m, el área disminuye en 21m2. ¿Cuáles son las dimensiones de la pirámide?

33. Un granjero tiene 20 caballos de 9 y 11 años. La suma de sus edades es de 182 años.

¿Cuántos caballos había de cada edad?


vez?

35. ¿A qué hora después de las 5 se encuentran las manecillas del reloj a 60°?

36. ¿A qué hora después de las 11 se encuentran las manecillas en prolongación?

37. ¿A qué hora después de las 1 se encuentran por primera vez?

(Baldor, 1960)(González & Mancill, 1962)(Bastidas et al., 2018)


69

Baldor, A. (1960). Álgebra de Baldor. http://www.algebradebaldor.org/

Bastidas, P. R., Balseca, C. M., Rodríguez, W. M., & Sánchez, M. C. (2018). Teoría de Ecuaciones.

Camacho, J. (2013). Historia de la factorización. prezi.

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Delgado Coronado, S. (2015). El papel del lenguaje en el aprendizaje de las

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factorización y ecuaciones - uce

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