Lección 9

Ecuaciones Cuadráticas

12/13/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 16

• Si a, b, c son números reales. a es distinto de 0, una ecuación

cuadrática es una ecuación con una variable que se puede

expresar de la forma:

La Ecuacion Cuadrática

12/13/2017

▪ Ejemplos:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

“Forma estándar”

“Forma estándar” de

escribir la ecuación:

2𝑥2 − 𝑥 + 6 = 0

“Término

cuadrático”

“Término

lineal”

“Término

constante

”

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

−𝑥2 + 5𝑥 = 0

8𝑥2 − 16 = 0

𝑥 = −6𝑥2 + 1 6𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0

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Ejercicios del Texto

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Propiedad del Cero• Si a, b son dos números reales:

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𝑥(𝑥 + 2) = 0

𝑎 ∙ 𝑏 = 0 𝑎 = 0 ó 𝑏 = 0

𝑥 = 0 ó 𝑥 + 2 = 0

𝑥 = −2

𝑥(𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = 0

𝑥 = 0 ó 𝑥 + 4 = 0

𝑥 = −4

𝑥 − 3 = 0

𝑥 = 3

𝑥(𝑥 − 9) = 0

𝑥 = 0 ó 𝑥 − 9 = 0

𝑥 = 9

𝑥2 − 9𝑥 = 0

3(𝑥2 − 4) = 0

𝑥 − 2 = 0 ó 𝑥 + 2 = 0

𝑥 = 2

3𝑥2 − 12 = 0

3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0

𝑥 = −2

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Ejercicios – Propiedad del 0

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Resolución de ecuaciones ax2 + bx + c= 0

• Técnica: Factorización.

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2 6 8 0x x

( 4)( 2) 0x x

4 0x 2 0x

4x 2x

2 20 0x x

( 4)( 5) 0x x

4 0x 5 0x

4x 5x

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Ejercicios – Factorización

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Propiedad de la Raíz Cuadrada• Si x, a son dos números reales tal que a es positivo:

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𝑥2 = 25

𝑥2 = 𝑎 𝑥 = 𝑎 ó 𝑥 = − 𝑎

𝑥 = 25 = 5 ó

𝑥 = − 25 = −5

3𝑥2 = 27

𝑥 = 9 = 3 ó

𝑥 = − 9 = −3

3𝑥2

3=27

3

𝑥2 = 9

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Mas ejemplos• Resuelva:

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(2𝑦 + 5)2 = 8

2𝑦 + 5 = 8

2𝑦 + 5 =

2𝑦 + 5 = − 8

2𝑦 = −5 + 2 2

𝑦 =−5 + 2 2

2

2 2 2𝑦 + 5 =

2𝑦 = −5 − 2 2

𝑦 =−5 − 2 2

2

−2 2

𝒚 =−𝟓 ± 𝟐 𝟐

𝟐

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Ejercicios – Propiedad de la Raíz Cuadrada

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Fórmula cuadrática• Sea 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 entonces,

• Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales.

• Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, la ecuación sólo tiene 1 solución real

• Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, la ecuación NO tiene solución real

• Ejemplo: Identifique el tipo de solución de

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a

acbbx

2

]4[ 2

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

−𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0

𝑎 = −1

𝑏 = 3

𝑐 = −4

𝑏2 − 4𝑎𝑐 =

(3)2−4(−1)(−4) =

9 − 16 = −7

𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙

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Ejemplo

• Resuelva

• Entonces,

o Paso 1: Identifique coeficientes

a = 2, b = -3, c = 1

o Paso 2: Reemplace los valores en la fórmula

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0132 2 xx

)2(2

])1)(2(4)3()3([ 2 x

a

acbbx

2

]4[ 2

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 12 de 16

Ejemplo (cont.’)

• Simplifique …

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)2(2

])1)(2(4)3()3([ 2 x

4

]893[ x

4

]13[ x

14

13

x

2

1

4

13

x

Soluciones: 1, 1/2

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Ejercicio #3

• Resuelva la ecuación: . Luego,

aproxíme las soluciones a la centésima más cercana.

a

acbbx

2

]4[ 2

0842 xx

)1(2

])8)(1(4)4()4([ 2 x

2

]32164[ x

2

]484[ x 322x

12/13/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada

2

]344[ x

322x

322x

464101615.5

464101615.1

46.5

46.1

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Ejercicios – Fórmula Cuadrática

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Ejercicios Fórmula Cuadrática …

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