Contenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización al resolver problemas y ecuaciones de la forma ax2+bx=0.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. El área de un cuadrado es igual a 8 veces la medida de su lado. ¿Cuánto mide por lado el cuadrado?

2. El triple del área de un cuadrado menos seis veces la medida de su lado es igual a cero. ¿Cuánto mide por lado el cuadrado?

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna. En equipo resuelvan el siguiente problema: La edad de Luis multiplicada por la de su hermano, que es un año mayor, da como resultado cinco veces la edad del primero. ¿Cuáles son las edades de Luis y de su hermano?

Resuelvan algunas ecuaciones como las siguientes:

a) x(x+2)=4xb) 2x(x+1)=0c) 2x2-4x=0

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna. En equipo, resuelvan los siguientes problemas:A un cuadrado (Fig. A) se le aumenta 7 cm de largo y 3 cm de ancho, con lo que se forma un rectángulo (Fig. B) cuya área es x2+10x+21. Con base en esta información, contesten y hagan lo que se indica.

a) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo construido (Fig. B)? Base: _________ altura: _____________

b) Verifiquen que al multiplicar la base por la altura obtienen x2+10x+21

Fig. A

x

x

Fig. B

c) Si el área de un rectángulo similar al de la figura B, es x2+9x+18, ¿cuántos centímetros se le aumentó de largo y cuántos de ancho?

d) Si el área x2+9x+18 es igual a 40 cm2, ¿cuántos centímetros mide de largo y cuántos centímetros mide de ancho el rectángulo?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Para consolidar lo aprendido hay que plantearles muchos otros problemas para resolver en el salón y de tarea. Por ejemplo:

a) ¿Cuántos metros mide por lado el siguiente cuadrado?

b) ¿Cuántos centímetros mide la base y cuántos centímetros mide la altura del siguiente paralelogramo?

c) ¿Cuáles son las dimensiones del siguiente rectángulo?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna. En equipo resuelvan el siguiente problema:Al desarmar las piezas que forman el marco de una fotografía y colocarlas alineadamente, como se muestra en el dibujo, se forma un rectángulo cuya área es 72 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que se forma?

x + 5

x + 5A = 100 m2

A = 48 cm2 x

x + 8

x2 +6x +8= 35 cm2

xx

68

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Para consolidar esta técnica se puede proponer que resuelvan por factorización ecuaciones como las siguientes:

a) 4x2 + 6x = 0b) 5x2 + 10x = 0c) x2 + 4x = 7xd) x2 + 6x +8 = 0e) m2 + 10m + 21 = 0f) n2 – 6 = - ng) x2 - 10x + 25 = 0h) x2 = - 6x - 9i) 12x +36 = - x2

o que encuentren una ecuación cuyas soluciones sean por ejemplo:a) x1 = 3, x2= -1b) x1 = 5, x2= 7c) x1 = -4, x2= -1d) x1 = -4, x2= 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Contenido: 9.2.2 Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.

Intenciones didácticas:Que los alumnos comprendan que al trazar el simétrico de una figura, las medidas de los lados y los ángulos de la figura original se conservan; además que reflexionen acerca de qué cualidades de las figuras se conservan al trazar su simétrico con respecto de un eje.

Consigna: Organizados en equipo, completen las siguientes figuras de manera que la recta m sea eje de simetría de cada figura y contesten las preguntas.

a) ¿Qué figura se formará en el tercer dibujo?b) ¿A qué distancia de m estará el punto B’ en la primera figura?c) ¿Cuál va a ser la medida de los lados simétricos en cada figura?d) ¿Cuánto medirá el ángulo B’?e) ¿Cuál va a ser la medida de los ángulos O’ y P’ en la segunda figura?f) ¿Qué figura se formó en cada caso?

A

m

BPO

m

m

g) Las figuras anteriores ¿tienen otros ejes de simetría, además de m? Trázalos.

h) ¿Con qué otras figuras que tú conozcas sucede algo semejante?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Tracen la figura simétrica a la dibujada. Consideren la línea q como eje de simetría. Al terminar los trazos, respondan las preguntas.

a) Describe el procedimiento que seguiste para trazar las figuras anteriores.b) ¿Cómo son los lados y los ángulos de la figura simétrica con respecto de la

original?--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Contenido: 9.2.3 Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

Intenciones didácticas. Que los alumnos anticipen cómo cambia una figura, al aplicarle una simetría, una rotación o una traslación.

Consigna. Organizados en parejas, averigüen cuáles transformaciones se realizaron para pasar de la figura original a la final. En cada uno de los casos, señalen con líneas punteadas las transformaciones que identificaron.Caso 1

q q

q

q

Caso 2

Caso 3

D C

BA

D´ C´

B´A´

p

S

R

Q

P´

S´

R´

Q´

En cada caso, escribe qué tipo o tipos de transformaciones sufrió la primera figura para obtener la segunda.

Trapecio isósceles: ________________________________________________

Cuadrilátero PQRS: __________________________________________________

Pentágono ABCDE: __________________________________________________

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna. Organizados en parejas describan el proceso más corto para construir los siguientes logos, empleando traslación, rotación y simetrías.

E

DC

B

A

A´

B´

C´D´

E´

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna. De manera individual, elije cualquiera de las siguientes figuras y construye mosaicos por traslaciones, por rotaciones o por simetrías.

a) b) c)

d) e) f)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Contenido: 9.2.4 Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen las relaciones entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, mediante la superposición de superficies y el cálculo de áreas.

Consigna 1: Organizados en equipos, construyan en una hoja dos cuadrados tomando como base las medidas de los lados menores del siguiente triángulo.Después tracen una diagonal en cada cuadrado que construyeron, recorten las figuras resultantes y con éstas intenten cubrir el cuadrado trazado en el lado mayor.

Consigna 2: En los mismos equipos, resuelvan el siguiente problema:Se van a construir 3 plazas cuadradas adyacentes a los límites de un jardín, como el que aparece en el dibujo, tomando como base las medidas de sus lados.

¿Con las figuras recortadas lograron cubrir toda la superficie del cuadrado mayor? ¿Por qué crees que sucede esto?¿Qué clase de triángulo es el que está sombreado?

¿Cuánto mide el área de cada una de las plazas?

Encuentren qué relaciones hay entre las áreas de las tres plazas.

¿Qué figura geométrica representa el jardín?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna 1. Reunidos en binas, comparen las superficies de las figuras siguientes y determinen qué relación hay entre el cuadrado interior de la figura 2 y los cuadrados interiores de la figura 1.

Con base en la relación que encontraron y considerando la figura 3, elaboren una conclusión.

Figura 3

Consigna 2: En la misma bina, analicen las siguientes figuras y comprueben algebraicamente que la suma de las áreas sombreadas de la figura A es igual al área sombreada en la figura B.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipos calculen el área de los cuadrados que se pueden construir con las medidas de los lados de cada triángulo, posteriormente completen la tabla y contesten lo que se pide.

No. Figura

Suma de las áreas de los cuadrados

con las medidas de los lados menores

Área del cuadrado con la medida del lado mayor

Nombre del triángulo por la medida de sus

ángulos

Nombre del triángulo por la medida de sus

lados1

2

3

4

¿En qué triángulos se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados construidos con la medida de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor?

Escriban una conclusión acerca de la relación que encontraron.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Contenido: 9.2.5 Explicitación y uso del Teorema de Pitágoras.

Intención didáctica: Que los alumnos expresen algebraicamente las relaciones entre los cuadrados de los lados de triángulos rectángulos.

Consigna. Reunidos con dos compañeros, realicen lo que se indica enseguida:

1. Expresen algebraicamente los valores solicitados en función de las otras dos variables.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

c

ba

c

a

azy

x

z2=________________ c2=________________ c2=________________

x2=________________ a2=________________ a2=________________

y2=________________ 2a2=________________ b2=________________z=________________ c=________________ a=________________

x=________________ a=________________ b=________________y=________________ c=________________

2. En cada figura, ¿cuál es la expresión algebraica que representa la siguiente afirmación conocida como Teorema de Pitágoras? Escríbanla en cada espacio correspondiente.

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

Figura 1: _____________ Figura 2: _____________ Figura 3: _____________

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas, pueden utilizar calculadora.

1. Un albañil apoya una escalera de 5 m de largo contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 2 m del muro. Calculen a qué altura se encuentra la parte superior de la escalera.

2. En la esquina de una plaza rectangular se encuentra un puesto de helados. Si estoy en la esquina opuesta diagonalmente, ¿cuántos metros tengo que recorrer en diagonal para llegar al puesto? Los lados de la plaza miden 48 m y 64 m.

3. ¿Cuál es la máxima distancia que puedes recorrer sin cambiar de dirección en una pista de patinaje en forma de rombo, si cada lado mide 26 m y la diagonal menor 40 m?

x

Figura 1 Figura 2 Figura 3

4. El pueblo B está, en línea recta, 40 km al norte del pueblo A y el pueblo C está, en línea recta, 30 km al este de B.¿Cuál es la distancia entre los pueblos A y C?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Los dos triángulos que aparecen abajo son semejantes. Individualmente, calculen el perímetro de cada uno.

1. En la siguiente figura los triángulos son semejantes. Calcula la longitud x y determina la distancia entre los puntos A y B.

2. Calcular el área de un hexágono regular si se sabe que la longitud de cada uno de sus lados mide 4 m.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Contenido: 9.2.6 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).

Intenciones didácticas:Que los alumnos reflexionen sobre el espacio muestra de un experimento aleatorio, sobre el significado de eventos simples, compuestos y complementarios y calculen su probabilidad.

28 cm

z

y1

60 cm

32 cmx

64 cm

48 cm144 cm

x

B

A

Consigna: Las siguientes figuras representan un tetraedro (poliedro regular de cuatro caras) y una ruleta. En forma individual resuelve los problemas que se plantean y comenta tus resultados con tres de tus compañeros más cercanos.

2 3 1 4 8 5 7 6

1. Al girar la ruleta, ¿qué probabilidad existe de que la ruleta se detenga en…a) el número 5? _____________

b) un número menor que 4? _____________

c) un múltiplo de 2? _______________

d) un número impar? _________________

e) un número que no sea impar?

f) un número impar o par? _____________

2. Si se lanza el tetraedro, ¿cuál es la probabilidad de que la cara que quede sobre la superficie plana, …

a) sea color rojo? ___________

b) no sea de color rojo?

c) sea color verde o rojo? ___________

d) sea color verde o blanco o rojo? ___________

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Resuelvan en equipos los siguientes problemas. Se hace referencia a la ruleta de la sesión anterior.

1. Si se tienen los eventos:

A. Que la ruleta se detenga en un número menor que cuatro.B. Que se detenga en un número múltiplo de cuatro.

a) ¿Cuál es la probabilidad del evento A? p(A) = ___________b) ¿Cuál es la probabilidad del evento B? p(B) = ___________c) ¿Qué significa que ocurra A o B?___________________________________d) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? p(A o B) = ______________Expliquen su respuesta.

2. Ahora se tienen los eventos siguientes:C. Que la ruleta se detenga en un número mayor que cuatro.D. Que la ruleta se detenga en un múltiplo de cuatro.

a) Obtengan: p(C) = __________ p(D) = __________

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra C o D? P(C o D) = ____________

3. Comparen los resultados de d) del ejercicio 1 y de b) del ejercicio 2 y comenten las formas de obtenerlos.¿Existe alguna diferencia en estos eventos? ¿Cuál?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna 1. Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema:Se tienen dos dados, uno azul y otro rojo, que tienen sus caras marcadas con puntos del uno al seis. El experimento consiste en lanzar simultáneamente los dos dados. Los resultados posibles del experimento son parejas de números en los cuales el primero es el número de puntos del dado rojo y el segundo del azul. Completen la tabla.

D A D O A Z U L1 2 3 4 5 6

DA

DO

RO

JO

1 1,12 2,2345 5,46 6,5

a) ¿Cuántos resultados posibles tiene el experimento? ________________b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos? ____________c) Anoten los resultados que hacen falta en la siguiente tabla.

EVENTO RESULTADOS POSIBLES

PROBABILIDAD

A {La suma es dos}B {La suma es tres}

C {La suma es siete} 6 6/36D {La suma es diez}E {La suma es 3 o 10}F {La suma es mayor que 10 o múltiplo de 4}

d) ¿Qué evento tiene mayor probabilidad? _______________e) ¿Qué evento tiene menor probabilidad? _______________f) Formulen un evento compuesto por dos eventos que sean mutuamente

excluyentes. _________________________________g) Formulen un evento compuesto por dos eventos que NO sean mutuamente

excluyentes. _________________________________

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------