1.las cuatro operaciones fundamentales 2.productos notables y factorización 3.fracciones...
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1.Las cuatro operaciones fundamentales2.Productos notables y factorización3.Fracciones4.Ecuaciones de primer grado5.Funciones y gráficas6.Ecuaciones simultaneas de primer grado7.Exponentes radicales8.Ecuaciones de segundo grado9.Razones, proporciones y variaciones10.Logaritmos
4.1 Tipos de ecuaciones
4.2 Ecuaciones equivalentes
4.3 Solución de ecuaciones de primer grado
4.4 Ecuaciones que incluyen fracciones
4.5 Solución de problemas mediante el uso de ecuaciones
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.
Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.
La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas.
3 1 9x x
3 1 9x x
Primer miembro Segundo miembro
Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada.
3 1 9
En este caso, la solución es
5
x x
x
Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una dada igualdad. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.
Una ecuación es la proposición que
dos expresiones son iguales.
La ecuación se caracteriza por contener
algunos números de valor conocido y otros
de valor desconocido.
Unos y otros se relacionan entre s
i de
acuerdo con los signos de las operaciones
matemáticas.
2
3 2 3 3
2
2 3 4
5 3 2
4 3 6 5 4 3
13 2
x
y y y
a a a a a a
z zz
2 3dx exa bx c fx
Primer miembro Segundo miembro
4.1 Tipos de ecuaciones
4.2 Ecuaciones equivalentes
4.3 Solución de ecuaciones de primer grado
4.4 Ecuaciones que incluyen fracciones
4.5 Solución de problemas mediante el uso de ecuaciones
Son las ecuaciones que son
válidas para todos los
valores posibles de las letras
que contienen.
Son las ecuaciones que son válidas para todos
los valores posibles de las letras que contienen.
En ocasiones se usa el simbolo
en lugar de =, para las identidades.
Son las ecuaciones que son válidas para todos
los valores posibles de las letras que contienen.
1
0
0 0 ( , 0)
a a
x x
a ba b
Las que son válidas para
algunos valores de sus letras,
pero que no lo son para otros.
Cualquier conjunto de números que al
sustituir letras de valor no conocido en
la ecuación hacen a los miembros de
ésta iguales, se llama solución de la
ecuación.
Si la ecuación contiene sólo
una incógnita,
cada solución se llama raíz.
El procedimiento para obtener
las raíces se llama resolución
de la ecuación.
Si la ecuación contiene sólo una
incógnita, cada solución se llama raíz.
4.1 Tipos de ecuaciones
4.2 Ecuaciones equivalentes
4.3 Solución de ecuaciones de primer grado
4.4 Ecuaciones que incluyen fracciones
4.5 Solución de problemas mediante el uso de ecuaciones
Dos ecuaciones son
equivalentes
si tienen las mismas soluciones.
1. Si se agrega la misma cantidad a cada miembro
de una ecuación, la ecuación resultante es
equivalente a la primera.
2. Si se multiplica o se divide cada miembro de
una ecuación por una misma constante diferente
de cero la ecuación obtenida es equivalente a la
primera.
4.1 Tipos de ecuaciones
4.2 Ecuaciones equivalentes
4.3 Solución de ecuaciones de primer grado
4.4 Ecuaciones que incluyen fracciones
4.5 Solución de problemas mediante el uso de ecuaciones
Si en una ecuación no hay fracciones
en cuyos denominadores aparezca la
incógnita, y si ésta es de primer grado,
la ecuación se llama de primer grado.
La ecuación general de primer
grado es de la forma
0
con 0.
ax b
a
Se resuelve como
bx
a
La ecuación general de primer grado
es de la forma 0 0 .ax b a
0
Sumando en ambos miembros
0
es decir,
ax b
b
ax b b b
ax b
La ecuación general de primer grado
es de la forma 0 0 .ax b a
Dividiendo entre ambos miembros
es decir,
ax b
a
ax b
a a
bx
a
La ecuación general de primer grado
es de la forma 0 0 .ax b a
4 9x x
4 9x x 4 9
Sumando a ambos miembros
4 9
ó sea
4 9
Reduciendo términos semejantes
3 9
x x
x
x x x x
x x
x
4 9x x
3 9
Dividiendo ambos miembros entre 3
3 9
3 3ó se
3
a
x
x
x
4 9x x
El número real 3 es el único
número real que satisface
esta ecuación.
4 9
3
x x
x
4 3 3 9
4 9 Solución: 3x x x
8 8
3 3
5
4 9
4 9
4 95
7 7
7 5 4 4x x
7 5 4 4x x 7 5 4 4
7 5 4 4 4 4
3 5 4
3 5 5 4 5
3 9
3 9
3 33
x x
x x x x
x
x
x
x
x
4.1 Tipos de ecuaciones
4.2 Ecuaciones equivalentes
4.3 Solución de ecuaciones de primer grado
4.4 Ecuaciones que incluyen fracciones
4.5 Solución de problemas mediante el uso de ecuaciones
Se deben de eliminar las fracciones.
Para ello se multiplican los
dos miebros de la ecuación por el MCM
de todos los denominadores.
La ecuación que resulta se resuelve.
3 5 2 33
4 3
x x
3 5 2 33
4 3
x x
3 5 2 33
4 33 5 2 3
12 3 124 3
3 3 5 4 2 3 36
9 15 8 12 36
27 36
27 27 36 27
9
x x
x x
x x
x x
x
x
x
4 612 3
6
xx
4 612 3
6
xx
4 612 3
64 6
6 12 3 66
4 6 72 18
4 6 18 72 18 18
xx
xx
x x
x x x x
4 612 3
6
xx
22 6 72
22 6 6 72 6
22 66
2
4 6 18 7
2 66
2
2
23
18 8
2
1
2
x
x
x
x
x x x
x
x
4.1 Tipos de ecuaciones
4.2 Ecuaciones equivalentes
4.3 Solución de ecuaciones de primer grado
4.4 Ecuaciones que incluyen fracciones
4.5 Solución de problemas mediante el uso de ecuaciones
Un problema que se puede resolver mediante
una ecuación incluye varias cantidades de las
cuales unas son conocidas y otras desconocidas.
Igualmente contiene datos que permiten
observar la igualdad entre dos combinaciones
de esas cantidades.
Si el problema se puede resolver mediante
una ecuación de una variable, entonces
las cantidades desconocidas deben
expresarse en términos de una sola letra.
Un problema que se puede resolver mediante una ecuación
incluye varias cantidades de las cuales unas son conocidas
y otras desconocidas. Igualmente contiene datos que permiten
observar la igualdad entre dos combinaciones de esas cantidades.
El procedimiento para resolver un problema
mediante el uso de una ecuación no siempre
es fácil y para lograr cierta aptitud se
requiere una práctica considerable.
Para ello se sugiere el siguiente esquema:
El procedimiento para resolver un problema
mediante el uso de una ecuación no siempre
es fácil y para lograr cierta aptitud se
requiere una práctica considerable.
1. Leer cuidadosamente el problema y
estudiarlo hasta que quede
perfectamente clara la situación que
plantea.
!!!!! Muy importante ¡¡¡¡¡
2. Identificar las cantidades comprendidas
en el problema, tanto las conocidas como
las desconocidas.
3. Elegir una de las cantidades desconocidas
y representarla mediante una letra,
generalmente .
Después expresar las otras cantidades
desconocidas en términos de esta letra.
x
4. Buscar en el problema los datos que
indiquen qué cantidades o combinaciones
apropiadas, encontradas en el paso anterior.
5. Formular la ecuación, igualando las
cantidades o combinaciones apropiadas
encontradas en el paso anterior.
6. Resolver la ecuación obtenida
y comprobar la solución.
4.1 Tipos de ecuaciones
4.2 Ecuaciones equivalentes
4.3 Solución de ecuaciones de primer grado
4.4 Ecuaciones que incluyen fracciones
4.5 Solución de problemas mediante el uso de ecuaciones
Son las ecuaciones que son
válidas para todos los
valores posibles de las letras
que contienen.
Son las ecuaciones que son válidas para todos
los valores posibles de las letras que contienen.
En ocasiones se usa el simbolo
en lugar de =, para las identidades.
Son las ecuaciones que son válidas para todos
los valores posibles de las letras que contienen.
1
0
0 0 ( , 0)
a a
x x
a ba b
Las que son válidas para
algunos valores de sus letras,
pero que no lo son para otros.
Cualquier conjunto de números que al
sustituir letras de valor no conocido en
la ecuación hacen a los miembros de
ésta iguales, se llama solución de la
ecuación.
Si la ecuación contiene sólo
una incógnita,
cada solución se llama raíz.
El procedimiento para obtener
las raíces se llama resolución
de la ecuación.
Si la ecuación contiene sólo una
incógnita, cada solución se llama raíz.
4.1 Tipos de ecuaciones
4.2 Ecuaciones equivalentes
4.3 Solución de ecuaciones de primer grado
4.4 Ecuaciones que incluyen fracciones
4.5 Solución de problemas mediante el uso de ecuaciones
Dos ecuaciones son
equivalentes
si tienen las mismas soluciones.
1. Si se agrega la misma cantidad a cada miembro
de una ecuación, la ecuación resultante es
equivalente a la primera.
2. Si se multiplica o se divide cada miembro de
una ecuación por una misma constante diferente
de cero la ecuación obtenida es equivalente a la
primera.
4.1 Tipos de ecuaciones
4.2 Ecuaciones equivalentes
4.3 Solución de ecuaciones de primer grado
4.4 Ecuaciones que incluyen fracciones
4.5 Solución de problemas mediante el uso de ecuaciones
Si en una ecuación no hay fracciones
en cuyos denominadores aparezca la
incógnita, y si ésta es de primer grado,
la ecuación se llama de primer grado.
4.1 Tipos de ecuaciones
4.2 Ecuaciones equivalentes
4.3 Solución de ecuaciones de primer grado
4.4 Ecuaciones que incluyen fracciones
4.5 Solución de problemas mediante el uso de ecuaciones
Se deben de eliminar las fracciones.
Para ello se multiplican los
dos miebros de la ecuación por el MCM
de todos los denominadores.
La ecuación que resulta se resuelve.
4.1 Tipos de ecuaciones
4.2 Ecuaciones equivalentes
4.3 Solución de ecuaciones de primer grado
4.4 Ecuaciones que incluyen fracciones
4.5 Solución de problemas mediante el uso de ecuaciones
Un problema que se puede resolver mediante
una ecuación incluye varias cantidades de las
cuales unas son conocidas y otras desconocidas.
Igualmente contiene datos que permiten
observar la igualdad entre dos combinaciones
de esas cantidades.
Si el problema se puede resolver mediante
una ecuación de una variable, entonces
las cantidades desconocidas deben
expresarse en términos de una sola letra.
Un problema que se puede resolver mediante una ecuación
incluye varias cantidades de las cuales unas son conocidas
y otras desconocidas. Igualmente contiene datos que permiten
observar la igualdad entre dos combinaciones de esas cantidades.
El procedimiento para resolver un problema
mediante el uso de una ecuación no siempre
es fácil y para lograr cierta aptitud se
requiere una práctica considerable.
Para ello se sugiere el siguiente esquema:
El procedimiento para resolver un problema
mediante el uso de una ecuación no siempre
es fácil y para lograr cierta aptitud se
requiere una práctica considerable.
1. Leer cuidadosamente el problema y
estudiarlo hasta que quede
perfectamente clara la situación que
plantea.
!!!!! Muy importante ¡¡¡¡¡
2. Identificar las cantidades comprendidas
en el problema, tanto las conocidas como
las desconocidas.
3. Elegir una de las cantidades desconocidas
y representarla mediante una letra,
generalmente .
Después expresar las otras cantidades
desconocidas en términos de esta letra.
x
4. Buscar en el problema los datos que
indiquen qué cantidades o combinaciones
apropiadas, encontradas en el paso anterior.
5. Formular la ecuación, igualando las
cantidades o combinaciones apropiadas
encontradas en el paso anterior.
6. Resolver la ecuación obtenida
y comprobar la solución.
Para ello se sugiere el siguiente esquema:
1. Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta
que quede perfectamente clara la situación que plantea.
2. Identificar las cantidades comprendidas en el problema,
tanto las conocidas como las desconocidas.
3. Elegir una de las cantidades desconocidas y representarla
mediante una letra, generalmente . Después expresar las
otras cantidades desconocidas en t
x
érminos de esta letra.
4. Buscar en el problema los datos que indiquen qué cantidades
o combinaciones apropiadas, encontradas en el paso anterior.
5. Formular la ecuación, igualando las cantidades o
combinaciones apropiadas encontradas en el paso anterior.
6. Resolver la ecuación obtenida y comprobar la solución.
Sea el dígito de las decenas.
Entonces el número se escribe como
10 2
Así que escribiendo el problema
en ecuaciones nos da
10 2 18 20
x
x x
x x x x
10 2 18 20
18 20 10 2
18 9
182
9Por lo tanto, el número es 24
x x x x
x x x x
x
x
Sea la cantidad de dinero que paga mensualmente.
500El primer mes paga de intereses:
100500
El segundo mes paga de intereses: 100
y así sucesivamente.
Entonces la ecuación es
500 500 500 2
100 100 100
p
p
p p
500 3 500 424
100 100
p p
500 500 500 2 500 3 500 424
100 100 100 100 100500 500 500 2 500 3 500 4
100 2400100 100 100 100 100
500 500 500 2 500 3 500 4 2400
2500 10 2400
2500 2400 10
100 10
100
1010
p p p p
p p p p
p p p p
p
p
p
p
p
Lo que hay que sumar son las velocidades de limpieza.
La primera chava limpia a una velocidad de
1 de cuarto por minuto.36
1La segunda a una velocidad de de cuarto por minuto.
24
¡¡¡Cuidado, es un problema de proporciones inversas!!!
Si denotamos por el tiempo que tardan
en limpiar entre las dos, tendremos
1 1 1
36 24
t
t
¡¡¡Cuidado, es un problema de proporciones inversas!!!
1 1 1
36 241 1 1
72 7236 24
2 3 72
5 72
7214.4
5
t
t tt
t t
t
t