Ecuaciones binomias y trinomiasEcuación binomia

Es una ecuación compuesta por dos términos en donde uno de los cuales es independiente de la incógnita.

Genéricamente una  ecuación binomia se representa por la fórmula:

Resolución de ecuaciones binomias

El método más práctico de resolver ecuaciones binomias lo encontramos en la factorización o descomposición de factores.

Resolver las ecuaciones

Ecuación trinomia o cúbica

 Son ecuaciones ordenadas respecto a x, que constan de tres términos y vienen dadas por la fórmula general  , donde el primer término tiene un exponente doble en comparación con el segundo término y el tercer término es independiente de x.

La ecuación trinomia  , también puede escribirse de la forma:

Donde aplicando la ecuación general de segundo grado se halla el valor de  , y extrayendo la raíz enésima se encuentran los valores de x. Las ecuaciones trinomias que presentan como primer término  , reciben el nombre de ecuaciones cuadráticas.

 

Resolver las ecuaciones

 

Función cúbica

Enunciados

Se sabe que el volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada al cubo

Entonces:

 

Funciones exponencial y logarítmica

Función exponencial

En forma general la función de la forma   se denomina función exponencial con b como base, x es la variable independiente.

Función exponencial de base e

Son las funciones que vienen dadas por la fórmula  y que reciben el nombre de función exponencial natural.

 

Función logarítmica

Recordemos que la potenciación y la logaritmación son operaciones inversas. En la potenciación, conocida la base y el exponente, se halla el valor de la potencia, en la logaritmación, conocida la base y la potencia se halla el exponente.

La función  , permite intercambiar su dominio y rango sin que deje de ser función. Es decir invertir el orden de las parejas ordenadas, a estas funciones con estas características se les llama funciones inversas y se denotan por  , que se lee x a la menos uno de x. Para obtener la expresión correspondiente a una función inversa, en cualquier función, se reemplaza la variable x por la variable y, y se despeja la variable y.

Por lo tanto si  , entonces   pero como lapotenciación y la logaritmación son operaciones inversas entonces:

En la figura se observa que el dominio de la función es el conjunto de los R+, y elrango el conjunto de los R. Cuando la base es el número e, la abreviatura de lafunción logarítmica de base e es ln y su expresión será:

Propiedades de los logaritmos

Resolver

 

Logaritmos comunes

Son los logaritmos decimales, que es el sistema empleado generalmente y que tienen por base el número 10. La aplicación de los logaritmos es facilitar los cálculos numéricos en los que intervienen operaciones de multiplicación, división y potencias de números reales. En forma general se utiliza como se ha visto el símbolo log x, que representa en realidad   para todo x >0. La tecla denominada   que aparece en la calculadora sirve para hallar con aproximación los logaritmos decimales o comunes.

Recordando, nuevamente que la logaritmación es una operación inversa de la potenciación, se tiene que:

De estas potencias se pueden deducir las siguientes propiedades para los logaritmos comunes o logaritmos de base 10.

Log 1 = 0

Log 10 = 1......................log 0,1 = -1

Log 100 = 2....................log 0,01 = -2

Log 1000 = 3..................log 0,001 = -3

Log 10000 = 4.................log 0,0001 = - 4 etc.

También se puede concluir:

El logaritmo de todo número diferente de una potencia de base 10, es una fracción propia o un número entero más una fracción propia.

Se sabe por las propiedades anteriores que log 1 = 0 y log 10 = 1, entonces losnúmeros comprendidos entre 1 y 10 tendrán un logaritmo mayor que 0 y menor que 1; luego, su logaritmo será una fracción propia.

Así sucesivamente se tiene que log 100 = 2 y log 1000 = 3, entonces los números comprendidos entre 100 y 1000 tendrán un logaritmo mayor que 2 y menor que 3;luego, su logaritmo será 2 más una fracción propia.

Por esto log 564 = 2 + 0,751279 = 2,751279.

También el logaritmo de un número comprendido entre 0,01 y 0,001 será mayorque -3 y menor que -2; luego, será -3 más una fracción propia.

Característica y mantisa

Se ha visto que el logaritmo de todo número que no sea una potencia de base 10esta conformado por una parte entera y una parte decimal. La parte entera recibe el nombre de característica, y la parte decimal, mantisa.

Log 25 = 1,397940

La característica es 1 y la mantisa 0,397940 La mantisa siempre es positiva, pero la característica puede ser cero si el número esta comprendido entre 1 y 10; positiva, si el número es mayor que 10 o negativa si el número es menor que 1.

Las potencias de base 10 sólo poseen característica y su mantisa es cero.

Logaritmos naturales

Se ha definido también la función exponencial natural   donde la funciónlogarítmica de base e se llama función logarítmica natural. Estas expresiones sesimbolizan como   Los logaritmos naturales cumplenlas mismas propiedades de los logaritmos decimales o comunes, de esta manerase tiene que:

 

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Una ecuación es exponencial o logarítmica cuando la incógnita está ubicada o expresada como exponente o logaritmo. En la solución de estas ecuaciones, las funciones logarítmicas y sus propiedades al igual que las de logaritmos naturalesson de gran aplicación y ayuda.

Ecuaciones exponenciales

En forma general una ecuación exponencial se describe como:

Que significa que para todo número a, real positivo diferente de 1, una función f esfunción exponencial de base a si y solo si el exponente de a pertenece a los números reales.

Resolver las siguientes ecuaciones

Ecuaciones logarítmicas

Como se dijo anteriormente, es la ecuación donde aparece el logaritmo de la incógnita.

Resolver las siguientes ecuaciones

Resolver las ecuaciones: