Solución de la Solución de la expresión expresión

cuadrática por cuadrática por factorizaciónfactorización

¿Qué es una ecuación cuadrática?¿Qué es una ecuación cuadrática?

Una Una ecuación de segundo gradoecuación de segundo grado o ecuación o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita.en que sólo aparece una incógnita.

La ecuación cuadrática se La ecuación cuadrática se expresa de la manera expresa de la manera

siguiente:siguiente:

donde donde aa es el coeficiente cuadrático o es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre de segundo grado y es siempre

distinto de 0, distinto de 0, bb el coeficiente lineal o el coeficiente lineal o de primer grado y de primer grado y cc es el término es el término

independiente.independiente.

HistoriaHistoria La ecuación de segundo grado y su solución tiene La ecuación de segundo grado y su solución tiene

origen antiguo. Se conocieron algoritmos para origen antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia y Egipto.resolverla en Babilonia y Egipto.

En Grecia fue desarrollada por el matemático En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría.Diofanto de Alejandría.

La solución de las ecuaciones de segundo grado La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber Liber embadorumembadorum..

Clasificación: Clasificación: La ecuación de segundo grado se clasifica de la La ecuación de segundo grado se clasifica de la

siguiente manera:siguiente manera:

Incompleta puraIncompleta pura

Incompleta mixtaIncompleta mixta

CompletaCompleta

Incompleta PuraIncompleta PuraPara resolver una ecuación cuadrática pura, basta Para resolver una ecuación cuadrática pura, basta con despejar la variable y sus raíces serán iguales con despejar la variable y sus raíces serán iguales

y de signo contrario.y de signo contrario.

axax² + c = 0 despejando tenemos ax² = -c² + c = 0 despejando tenemos ax² = -c

Por lo tanto : xPor lo tanto : x² = ² = - c- c

aa

x = x = √ √ -c-c

aa

Ejemplo ecuación Ejemplo ecuación cuadrática Puracuadrática Pura

Forma: axForma: ax² + c = 0 Sustitución² + c = 0 Sustitución

Con valores: 3xCon valores: 3x² - 9 = 0 ² - 9 = 0 3x3x² - 9 = 0² - 9 = 0

Despejando :3xDespejando :3x² = 9 3(1.732…) ² -9= 0² = 9 3(1.732…) ² -9= 0

xx² = 9/3 3(3) -9 = 0² = 9/3 3(3) -9 = 0

xx² = 3 9 – 9 = 0² = 3 9 – 9 = 0

x = x = ±± √ 3 0 = √ 3 0 = 00

Resultado: x1 = + 1.73205…Resultado: x1 = + 1.73205…

x2 = - 1.73205 …x2 = - 1.73205 …

Incompleta MixtaIncompleta MixtaLas ecuaciones cuadráticas mixtas se resuelven Las ecuaciones cuadráticas mixtas se resuelven por factorizacion simple. Una de sus raíces es por factorizacion simple. Una de sus raíces es

igual a cero y la otra tendrá un valor real.igual a cero y la otra tendrá un valor real.

axax² + bx = 0 factorizamos: x (ax + b) = 0² + bx = 0 factorizamos: x (ax + b) = 0 La primera raíz es: x1= 0La primera raíz es: x1= 0 Del paréntesis : ax + b = 0Del paréntesis : ax + b = 0 Despejando: ax = - bDespejando: ax = - b Luego la segunda raíz es : x2 = Luego la segunda raíz es : x2 = -b-b aa

Ejemplo ecuación Ejemplo ecuación cuadrática mixtacuadrática mixta

Forma: axForma: ax² + bx = 0² + bx = 0

Con valores: 2xCon valores: 2x² - 6x = 0² - 6x = 0

Factorizando: 2x( x – 3) = 0Factorizando: 2x( x – 3) = 0

La primera raiz es: 2x = 0La primera raiz es: 2x = 0

Por lo tanto: Por lo tanto: x1 = 0x1 = 0

Igualando a cero: x – 3= 0Igualando a cero: x – 3= 0

La segunda raiz es: La segunda raiz es: x2= 3x2= 3

Ecuación cuadrática Ecuación cuadrática mixtamixta

Sustituyendo : 2xSustituyendo : 2x² - 6x = 0² - 6x = 0

x1 = 0 x2= 3x1 = 0 x2= 3

2(0) 2(0) ² -6(0)= 0 2(3) ² - 6(3) = 0² -6(0)= 0 2(3) ² - 6(3) = 0

2(0) – 6 (0) = 0 2(9) – 18 =02(0) – 6 (0) = 0 2(9) – 18 =0

0 – 0 = 0 18 – 18 = 00 – 0 = 0 18 – 18 = 0

0 = 0 0 = 00 = 0 0 = 0

Ecuación cuadrática Ecuación cuadrática completacompleta

Las ecuaciones cuadráticas de la forma completa Las ecuaciones cuadráticas de la forma completa pueden resolverse por distintos métodos como pueden resolverse por distintos métodos como son por factorizacion, por formula general o son por factorizacion, por formula general o

completando el trinomio del cuadrado perfecto.completando el trinomio del cuadrado perfecto.

Su forma es:Su forma es:

Solución por factorizacionSolución por factorizacion

Este metodo consiste en:Este metodo consiste en:

Factorizar el trinomio en el producto de dos Factorizar el trinomio en el producto de dos binomiosbinomios

Para que este producto se anule es necesario Para que este producto se anule es necesario que se anule uno de los factores, es decir, se que se anule uno de los factores, es decir, se iguala a cero el productoiguala a cero el producto

Se despeja la variable (por lo general “x”)Se despeja la variable (por lo general “x”)

Ejemplo por factorizacionEjemplo por factorizacion

Forma : AxForma : Ax² + Bx + C = 0² + Bx + C = 0

Con valores: xCon valores: x² + 5x + 6 = 0² + 5x + 6 = 0

Factorizamos el trinomio: (x + 2) (x + 3) = 0Factorizamos el trinomio: (x + 2) (x + 3) = 0

Igualamos a cero cada factor: si x + 2 =0Igualamos a cero cada factor: si x + 2 =0

Se obtiene: Se obtiene: x = -2x = -2

si x + 3= 0si x + 3= 0

Se obtiene: Se obtiene: x = -3x = -3

Las raíces de la ecuación son: x1= -2 x2= -3Las raíces de la ecuación son: x1= -2 x2= -3

Ecuación cuadrática Ecuación cuadrática completacompleta

Sustituyendo xSustituyendo x² + 5x + 6 = 0² + 5x + 6 = 0

x1= -2 x2=-3x1= -2 x2=-3

(-2) (-2) ² + 5 (-2) + 6 = 0 (-3) ² + 5 (-3) + 6 =0² + 5 (-2) + 6 = 0 (-3) ² + 5 (-3) + 6 =0

4 + -10 + 6 = 0 9 -15 + 6 = 04 + -10 + 6 = 0 9 -15 + 6 = 0

10 – 10 = 0 15 – 15 = 010 – 10 = 0 15 – 15 = 0

0 = 0 0 = 00 = 0 0 = 0

Solución por formula generalSolución por formula general

La formula general se aplica empleando los La formula general se aplica empleando los coeficientes de la ecuación cuadrática coeficientes de la ecuación cuadrática completa:completa:

axax² + bx + c = 0 ² + bx + c = 0 La formula general es: x= La formula general es: x= -b -b ± √ b² - 4 ac± √ b² - 4 ac 2a2a

Ejemplo por formula Ejemplo por formula generalgeneral

Los coeficientes son : a = 3, b = 4, c = -4Los coeficientes son : a = 3, b = 4, c = -4La ecuación: 3xLa ecuación: 3x² + 4 x – 4 = 0² + 4 x – 4 = 0Los sustituimos: x = Los sustituimos: x = -4 -4 ± √ (4) ² - 4 (3) (-4)± √ (4) ² - 4 (3) (-4)

2(3)2(3)Multiplicando dentro del x = Multiplicando dentro del x = -4 -4 ± √ 16 + 48 ± √ 16 + 48 Radical. 6Radical. 6Sumando: Sumando: -4 -4 ± √ 64± √ 64 66 La primera solución es: x1 = La primera solución es: x1 = -4 + 8-4 + 8 = = 44 = = 22 6 6 6 6 33

La segunda solución es: x2 = La segunda solución es: x2 = -4 – 8-4 – 8 = = -12-12 = = -2-2 6 66 6

Ecuación cuadrática Ecuación cuadrática completacompleta

3x3x² + 4 x – 4 = 0² + 4 x – 4 = 0

x1= 2/3 x2= -2x1= 2/3 x2= -2

3(2/3) 3(2/3) ² + 4(2/3) – 4 = 0 3(-2) ² + 4(-2) – 4 = 0² + 4(2/3) – 4 = 0 3(-2) ² + 4(-2) – 4 = 0

3(4/9) + 4(2/3) – 4 = 0 3(4) + 4 (-2) – 4 = 03(4/9) + 4(2/3) – 4 = 0 3(4) + 4 (-2) – 4 = 0

4/3 + 8/3 – 4= 0 12 -8 -4 = 04/3 + 8/3 – 4= 0 12 -8 -4 = 0

12/3 -4 = 0 12 -12 =012/3 -4 = 0 12 -12 =0

4 -4 = 0 0 = 04 -4 = 0 0 = 0