ESTRUCTURAS I

F.A.D.U. / UdelaR AÑO 2018

PÓRTICOS HIPERESTÁTICOS

(MÉTODO DE CROSS)

Dos tramos de vigas aisladas ISOSTÁTICAS

Viga continua conformada por 2 tramos -

Estructura HIPERESTÁTICA

Diferente

comportamientoREPASO…

EQUILIBRIO

GLOBAL

(reacciones)

Y además…

• geometría de la estructura

• caract. Elásticas del material

• geometría de secciones

transversales de c/barra

ISOSTÁTICAS

Nº ecuac. de

equilibrioNº

incógnitas=

Considera:

• cargas actuantes (fuerzas

exteriores)

• posición y tipo de vínculos

HIPERESTÁTICAS

Nº ecuac. de

equilibrioNº

incógnitas<

Se abandona el Principio de

Rigidez Relativa de los

Cuerpos…

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ M = 0

Ecuaciones de

equilibrio:

no son suficiente

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ M = 0

Ecuaciones de

equilibrio:

y se recurre a

Ecuaciones de Deformación

SOLICITACIONES

DIMENSIONADO

REPASO…

EQUILIBRIO

GLOBAL

(reacciones)

Y además…

• geometría de la estructura

• caract. Elásticas del material

• geometría de secciones

transversales de c/barra

ISOSTÁTICAS

Nº ecuac. de

equilibrioNº

incógnitas=

Considera:

• cargas actuantes (fuerzas

exteriores)

• posición y tipo de vínculos

HIPERESTÁTICAS

Nº ecuac. de

equilibrioNº

incógnitas<

Se abandona el Principio de

Rigidez Relativa de los

Cuerpos…

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ M = 0

Ecuaciones de

equilibrio:

no son suficiente

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ M = 0

Ecuaciones de

equilibrio:

y se recurre a

Ecuaciones de Deformación

SOLICITACIONES

DIMENSIONADO

REPASO…

tramos contínuos

horizontales

con cargas

gravitatorias

Concurrencia de

2 barras por nudo

A

620

Estructuras hiperestáticasREPASO…

PÓRTICOS HIPERESTÁTICOS

tramos contínuos

horizontales,

inclinados,

verticales

con cargas

gravitatorias

Concurrencia de

2 o más barras

por nudo

(N) Axil

Determinación de Momentos

en los extremos de las barras

ETAPAS

ARTIFICIO DE CROSS(equilibrio de los nudos)3

Descargas Barra por Barra(de fuerzas y momentos hacia los extremos de las barras)

4

Momentos Empotramiento Perfecto(M.E.P.)

2

Análisis de Rigidez de Barras1

6 Reacciones en apoyos y Equilibrio Global

7 Diagramas de Solicitaciones - Dimensionado

5 Caminos Materiales Nuevo!(Pórticos Hiperestáticos)

[PASO 4]

Coeficientes de

Repartición

ri

[PASO 5]

Artificio del

Método de Cross

(ejemplo de

aplicación)

[PASO 3]

Momentos de

empotramiento

perfecto

M.E.P.

[PASO 2]

Coeficiente de

transmisión

β (beta)

[PASO 1]

Ángulos de giro en

los extremos de

una barra aislada

θ (theta)

Rigidez flexional:

(gamma

kappa)

(alpha

kappa)

ó

Rigidez:

(kappa)

Para inercia cte.:Para inercia cte.:

p daN/m

p daN/m

REPASO…

EJERCICIO:

Estudiar la estructura que se indica por el Método de Cross.

La sección de las barras AD, DE y EF es de 20 x 60 cm. La de las barras BD y

CE de 20 x 45 cm. Sobre D-E-F, la cubierta descarga 3200 daN/m de tramo.

Se pide:

1) Indicar las reacciones en los apoyos.

2) Diagramas de solicitaciones de todas las barras.

20x60cm

20x45cm 20x45cm

ESQUEMA GEOMÉTRICO

MO

DELO

ESQUEMA DE VÍNCULOS

MO

DELO

ESQUEMA DE CARGAS

Tramo AD:

p.p.= 0,20 x 0,60 x 2500 = 300 daN/m

MO

DELO

ESQUEMA DE CARGAS

Tramo AD:

p.p.= 0,20 x 0,60 x 2500 = 300 daN/m

MO

DELO

ESQUEMA DE CARGAS

Tramo AD:

p.p.= 0,20 x 0,60 x 2500 = 300 daN/m

Tramos DE y EF:

p.p.= 0,20 x 0,60 x 2500 = 300 daN/m

Desc. de la cubierta = 3200 daN/m

Total = 3500 daN/m

MO

DELO

ESQUEMA DE CARGAS

Tramo AD:

p.p.= 0,20 x 0,60 x 2500 = 300 daN/m

Tramos DE y EF:

p.p.= 0,20 x 0,60 x 2500 = 300 daN/m

Desc. de la cubierta = 3200 daN/m

Total = 3500 daN/m

3500

daN/m

MO

DELO

ESQUEMA DE CARGAS

Tramo AD:

p.p.= 0,20 x 0,60 x 2500 = 300 daN/m

Tramos DE y EF:

p.p.= 0,20 x 0,60 x 2500 = 300 daN/m

Desc. de la cubierta = 3200 daN/m

Total = 3500 daN/m

3500

daN/m

Tramos BD y CE:

p.p.= 0,20 x 0,40 x 2500 = 225 daN/m

MO

DELO

ESQUEMA DE CARGAS

Tramo AD:

p.p.= 0,20 x 0,60 x 2500 = 300 daN/m

Tramos DE y EF:

p.p.= 0,20 x 0,60 x 2500 = 300 daN/m

Desc. de la cubierta = 3200 daN/m

Total = 3500 daN/m

3500

daN/m

Tramos BD y CE:

p.p.= 0,20 x 0,40 x 2500 = 225 daN/m

225

daN

/m

225

daN

/m

MO

DELO

20x60cm

20x45cm 20x45cm

1. ANÁLISIS DE RIGIDEZ DE LAS BARRAS

20x60cm

20x45cm 20x45cm

También se puede expresar como:

1. ANÁLISIS DE RIGIDEZ DE LAS BARRAS

COEFICIENTES

DE LOS TRAMOS:

20x60cm

20x45cm 20x45cm

1. ANÁLISIS DE RIGIDEZ DE LAS BARRAS

COEFICIENTES

DE LOS TRAMOS:

20x60cm

20x45cm 20x45cm

Para inercia cte.:Para inercia cte.:

1. ANÁLISIS DE RIGIDEZ DE LAS BARRAS

COEFICIENTES

DE LOS TRAMOS:

20x60cm

20x45cm 20x45cm

1. ANÁLISIS DE RIGIDEZ DE LAS BARRAS

COEFICIENTES

DE LOS TRAMOS:

20x60cm

20x45cm 20x45cm

1. ANÁLISIS DE RIGIDEZ DE LAS BARRAS

1. ANÁLISIS DE RIGIDEZ DE LAS BARRAS

1. ANÁLISIS DE RIGIDEZ DE LAS BARRAS

DETERMINACIÓN DEL VALOR DE LOS MOMENTOS DE FIJACIÓN

Se determinan según esta

tabla, pero para cargas

transversales con dirección

perpendicular a la del eje del

tramo.

La estructura tiene:

• barras oblicuas

• c/cargas gravitatorias

de dirección vertical

2. M.E.P.

vamos a descomponer en

una componente

perpendicular al eje de la

barra, y otra componente en

la misma dirección del eje.

Determinación de momentos de fijación

en tramos oblicuos con cargas verticales:2. M.E.P.

Se hallan las componentes de

la carga (pi) según la dirección:

perpendicular al tramo (pv)

paralela al tramo (pn)

p daN/m

Determinación de momentos de fijación

en tramos oblicuos con cargas verticales:

Utilizando los datos de la estructura

sin descomponer fuerzas

2. M.E.P.

- Tramos verticales

- Carga axil (peso propio)

No tiene componente

perpendicular a la

dirección del tramo

2. M.E.P.

3. ARTIFICIO DE CROSS

3. ARTIFICIO DE CROSS

3. ARTIFICIO DE CROSS

3. ARTIFICIO DE CROSS

3. ARTIFICIO DE CROSS

3. ARTIFICIO DE CROSS

-56

-39

-56

3. ARTIFICIO DE CROSS

3. ARTIFICIO DE CROSS

21

7

3. ARTIFICIO DE CROSS

21

7

10

4

3. ARTIFICIO DE CROSS

21

7

10

4

-4

-4

-2

3. ARTIFICIO DE CROSS

21

7

10

4

-4

-4

-2

3. ARTIFICIO DE CROSS

MOMENTOS FINALES EN LOS

EXTREMOS DE LOS TRAMOS:

3. ARTIFICIO DE CROSS

MOMENTOS FINALES EN LOS

EXTREMOS DE LOS TRAMOS:

3. ARTIFICIO DE CROSS

4. DESCARGAS BARRA X BARRASe determinan las descargas (de cargas y de momentos) en los

extremos de los nodos en cada barra en forma aislada

6m

4. DESCARGAS BARRA X BARRASe determinan las descargas (de cargas y de momentos) en los

extremos de los nodos en cada barra en forma aislada

6m

4. DESCARGAS BARRA X BARRASe determinan las descargas (de cargas y de momentos) en los

extremos de los nodos en cada barra en forma aislada

3m

4. DESCARGAS BARRA X BARRASe determinan las descargas (de cargas y de momentos) en los

extremos de los nodos en cada barra en forma aislada

4,5

m

En las barras verticales: los momentos se

descargan en un par de fuerzas horizontales

4. DESCARGAS BARRA X BARRASe determinan las descargas (de cargas y de momentos) en los

extremos de los nodos en cada barra en forma aislada

9m

En las barras verticales: los momentos se

descargan en un par de fuerzas horizontales

4. DESCARGAS BARRA X BARRASe determinan las descargas (de cargas y de momentos) en los

extremos de los nodos en cada barra en forma aislada

Para un tramo de vigas continuas:

Las reacciones en los apoyos se

obtienen inmediatamente

Para el Pórtico:

Las reacciones

NO se obtienen

inmediatamente

4. DESCARGAS BARRA X BARRASe determinan las descargas (de cargas y de momentos) en los

extremos de los nodos en cada barra en forma aislada

5. CAMINOS MATERIALES

(a los apoyos)

30

2220

11949

14301 10500

19

19

20251013

1026

1026

a) se plantea la estructura completa con las

descargas en los nudos antes obtenidas

b) se suman en cada nudo

(a los apoyos)

30

24801

19

19

20251013

1026

1026

5. CAMINOS MATERIALESa) se plantea la estructura completa con las

descargas en los nudos antes obtenidas

b) se suman en cada nudo

c) se descomponen en caminos materiales,

intentando llevarlas a los apoyos, donde

deben encontrar su equilibrio

14169

(a los apoyos)

30

24801

19

19

20251013

1026

1026

5. CAMINOS MATERIALESa) se plantea la estructura completa con las

descargas en los nudos antes obtenidas

b) se suman en cada nudo

c) se descomponen en caminos materiales,

intentando llevarlas a los apoyos, donde

deben encontrar su equilibrio

19daN

14daN

1026daN

770daN14169

(a los apoyos)

30

24801

19

20251013

1026

5. CAMINOS MATERIALESa) se plantea la estructura completa con las

descargas en los nudos antes obtenidas

b) se suman en cada nudo

c) se descomponen en caminos materiales,

intentando llevarlas a los apoyos, donde

deben encontrar su equilibrio

19daN

14daN

1026daN

770daN

14daN

770daN14169

(a los apoyos)

30

14169

24801

19

20251013

1026

5. CAMINOS MATERIALESa) se plantea la estructura completa con las

descargas en los nudos antes obtenidas

b) se suman en cada nudo

c) se descomponen en caminos materiales,

intentando llevarlas a los apoyos, donde

deben encontrar su equilibrio

770daN

14daN

(a los apoyos)

30daN

19daN

26840daN15952daN

1026daN

5. CAMINOS MATERIALESa) se plantea la estructura completa con las

descargas en los nudos antes obtenidas

b) se suman en cada nudo

c) se descomponen en caminos materiales,

intentando llevarlas a los apoyos, donde

deben encontrar su equilibrio

d) descomponemos las oblicuas en verticales

y horizontales

(a los apoyos)

30daN

19daN

26840daN15952daN

1026daN

5. CAMINOS MATERIALESa) se plantea la estructura completa con las

descargas en los nudos antes obtenidas

b) se suman en cada nudo

c) se descomponen en caminos materiales,

intentando llevarlas a los apoyos, donde

deben encontrar su equilibrio

d) descomponemos las oblicuas en verticales

y horizontales

1045daN

784

daN

(a los apoyos)

19daN

26840daN15952daN

1026daN

5. CAMINOS MATERIALES

1045daN

754daN

DESCARGAS

en apoyos

LES INVERTIMOS EL SENTIDO PARA CONVERTIRLAS EN REACCIONES:

6. REACCIONES EN APOYOS

REACCIONES

en apoyos

AGREGAMOS LOS MOMENTOS OBTENIDOS CON EL CROSS EN LOS

APOYOS:

6. REACCIONES EN APOYOS

REACCIONES

en apoyos

TRAZAMOS LOS DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES DE CADA BARRA:

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

Tramo aislado en equilibrio

(Diagrama de Cuerpo Libre)

Rizq

TRAZAMOS LOS DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES DE CADA BARRA:

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

TRAZAMOS LOS DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES DE CADA BARRA:

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

TRAZAMOS LOS DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES DE CADA BARRA:

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

ARTIFICIO

CROSS

DESCARGAS

Tramo aislado en equilibrio

(Diagrama de Cuerpo Libre)

las fuerzas equilibrantes al tramo, con 2 componentes:

una vertical (reacción del tramo)

otra en la dirección del tramo (proveniente de la

transmisión de las fuerzas por cnos. materiales)

Rder

Rizq

CAMINOS

MATERIALES

momentos

(efecto de las

demás barras

sobre el tramo)

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

Por conveniencia del trazado de

los diagramas, se aconseja

plantear cada fuerza con sus dos

componentes:

• en la dirección del tramo

• y perpendicular a ella

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

A

D 5505 daNm

300 daN/m

1065 daNm

30 daN

2220 daN

1306 daN

7. DIAGRAMAS DE

SOLICITACIONES

Tramo aislado en equilibrio

(Diagrama de Cuerpo Libre)

Rder

Rizq

fuerzas equilibrantes al tramo:

una vertical(reacción del tramo)

otra en la dirección del tramo

DESCARGAS

CAMINOS

MATERIALES

ARTIFICIO

CROSS

momentos

A

D 5505 daNm

300 daN/m

1065 daNm

30 daN

2220 daN

1306 daN

7. DIAGRAMAS DE

SOLICITACIONES

A

D 5505 daNm

300 daN/m

1065 daNm

30 daN

2220 daN

1306 daN 240 d

aN/m

180 daN/m

1306 daN

A

D

5505 daNm

24 daN

18 daN

1332 daN

1306 daN

1776 daN

1065 daNm

Por conveniencia del trazado de

los diagramas, se aconseja

plantear cada fuerza con sus dos

componentes:

• en la dirección del tramo

• y perpendicular a ella

7. DIAGRAMAS DE

SOLICITACIONES

A

D 5505 daNm

300 daN/m

1065 daNm

30 daN

2220 daN

1306 daN 240 d

aN/m

180 daN/m

1306 daN

A

D

5505 daNm

24 daN

18 daN

1332 daN

1306 daN

1776 daN

1065 daNm

24

1776

V (daN)

24

240= 0,10 mx =

V

pv0 =

7. DIAGRAMAS DE

SOLICITACIONES

A

D 5505 daNm

300 daN/m

1065 daNm

30 daN

2220 daN

1306 daN 240 d

aN/m

180 daN/m

1306 daN

A

D

5505 daNm

24 daN

18 daN

1332 daN

1306 daN

1776 daN

1065 daNm

24

1776

V (daN)

5505

1065

M (daNm)

1066

24

240= 0,10 mx =

V

pv0 =

24

2

x 0,1M =

V . x

20+0

M = ap+ 1065 =

1066 daNm=

7. DIAGRAMAS DE

SOLICITACIONES

A

D 5505 daNm

300 daN/m

1065 daNm

30 daN

2220 daN

1306 daN 240 d

aN/m

180 daN/m

1306 daN

A

D

5505 daNm

24 daN

18 daN

1332 daN

1306 daN

1776 daN

1065 daNm

24

1776

V (daN)

5505

1065

T

2638

M (daNm)

N (daN)

1066

24

240= 0,10 mx =

V

pv0 =

24

2

x 0,1M =

V . x

20+0

M = ap+ 1065 =

1066 daNm=

7. DIAGRAMAS DE

SOLICITACIONES

14939 daN

14939 daN

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

Tramo aislado en equilibrio

(Diagrama de Cuerpo Libre)

Rizq

Rder

CAMINOS

MATERIALES

ARTIFICIO

CROSS

momentos

DESCARGAS

14939 daN

14939 daN

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

14939 daN

14939 daN

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

14939 daN

14939 daN

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

14939 daN

14939 daN

14939

15952

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

Tramo aislado en equilibrio

(Diagrama de Cuerpo Libre)

Rizq

Rder

CAMINOS

MATERIALES

ARTIFICIO

CROSS

momentos

DESCARGAS

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

7. DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

Determinación de Momentos

en los extremos de las barras

ETAPAS

ARTIFICIO DE CROSS(equilibrio de los nudos)3

Descargas Barra por Barra(de fuerzas y momentos hacia los extremos de las barras)

4

Momentos Empotramiento Perfecto(M.E.P.)

2

Análisis de Rigidez de Barras1

6 Reacciones en apoyos y Equilibrio Global

7 Diagramas de Solicitaciones - Dimensionado

5 Caminos Materiales Nuevo!(Pórticos Hiperestáticos)