rdem solicitaciones combinadas parte 2 rev 02 2011

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  • UTN FRC Ctedra: Resistencia de materiales Solicitaciones combinadas

    Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 1 de 20

    z (+)c

    y (+)

    P (y,z) M

    s

    s

    M

    My

    z

    .

    n

    n.

    A

    B

    max

    max

    +

    -

    CAPITULO VI

    SOLICITACIONES COMBINADAS Parte 2

    6.9. Flexin oblicua.

    Una barra esta solicitada a flexin oblicua o tambin llamada asimtrica, cuando el plano de solicitacin del momento flector si bien contiene al eje x longitudinal de la barra, no coincide con un eje principal de inercia de la seccin (Fig. 6.7).

    La forma ms simple para estudiar las tensiones y deformaciones en la flexin oblicua es descomponiendo el momento flector en dos momentos que producen flexin plana. Si y o y,z son el o los ejes principales de inercia de la seccin, descomponemos el momento flector solicitante que se representa con un vector M perpendicular al plano de solicitacin y que forma un ngulo con respecto al eje z, en dos componentes My y Mz cuyo planos de solicitacin coinciden con los ejes z e y respectivamente, esto es:

    Fig. 6.7 My = M.sen Mz = M.cos (6.11)

    Cada uno de estos momentos acta sobre un eje principal de inercia y entonces produce una flexin plana. La tensin normal en un punto de la seccin de coordenadas y,z, se obtiene combinando en forma directa las tensiones, o sea sumando las tensiones originadas por los momentos My y Mz. De acuerdo a nuestra convencin de signos, consideramos My y Mz positivos o negativos segn el sentido del vector momento respecto a los ejes coordenados, o sea ambos positivos en el primer cuadrante de la seccin, cuyas coordenadas y,z tambin son positivas (Fig. 6.7)(1), as para un punto P de la seccin, la tensin normal, ser:

    yzx

    z y z y

    M .zM .y y.cos z.senMI I I I

    = =

    (6.12)

    (1) Se aclara que diferentes autores adoptan diferentes convenciones, algunos observando directamente si los momentos originan tensiones de traccin o compresin en un determinado punto o cuadrante de la seccin, resultando en muchos casos un mtodo muy practico.

    El signo menos que aparece en la formula proviene del hecho que el momento My produce compresin en los puntos de coordenadas z positivas. La posicin y orientacin del eje neutro se obtiene buscando los puntos donde la tensin normal es nula, haciendo = 0, obtenemos:

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    Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 2 de 20

    z y

    y.cos z.sen 0I I

    =

    De donde:

    z

    y

    Iy senz cos I

    =

    Expresin denominada ecuacin del eje neutro. Es una recta que divide a la seccin transversal pasando por el centroide, se desarrolla a lo largo del eje x de la barra y forma un ngulo respecto al eje z, tal que:

    z

    y

    Iytg tg

    z I = = (6.13)

    Como Iz generalmente es diferente de Iy, es diferente de , es decir que el eje neutro n-n no es perpendicular al plano de solicitacin s-s, as el plano de deformacin que es perpendicular al eje neutro no coincide con el plano de solicitacin, o sea que la barra se flexionar no en el plano del momento flector sino en un plano donde la rigidez a la flexin es menor, es decir, en direccin del momento de inercia mnimo de la seccin. Los planos de solicitacin y de deformacin coinciden cuando = 0 o 90, que corresponden a la flexin plana, cuando Iz = Iy, lo que significa que los momentos principales de inercia son iguales. En este ltimo caso para secciones doblemente simtricas, todos los eje que pasan por el centroide son ejes principales y tienen para cada orientacin el mismo momento de inercia, el plano de solicitacin siempre es un plano principal y el eje neutro es siempre perpendicular l.

    Cuando la relacin Iz Iy es grande (caso de grandes vigas doble T), tg es grande respecto a tg y la lnea del eje neutro se acerca a la traza del plano de solicitaciones, o sea que el plano de deformacin forma un ngulo grande con el plano de solicitacin, entonces por cualquier defecto de construccin, montaje o falta de alineamiento de la barra, se produce una inclinacin de la seccin y surge el riesgo de colapso por deformacin lateral, debido incluso a su propio peso.

    Las tensiones mximas por flexin estn localizadas evidentemente en los puntos A y B ms alejados del eje neutro (Fig. 6.7). Luego de determinar la orientacin del eje neutro determinamos las coordenadas yA, zA y yB, zB de esos puntos y por la formula (6.12) determinamos las tensiones normales mximas que se representan en el diagrama de la figura. Para secciones regulares normalmente las tensiones se encuentran en los vrtices o en otros puntos de coordenadas conocidas.

    Las deformaciones mximas podrn calcularse sumando geomtricamente las deformaciones correspondientes a las componentes de los momentos flectores que actan sobre los ejes principales de inercia de la seccin, esto es:

    2 2y z = + y 2 2y z = + (6.14)

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    Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 3 de 20

    z(+)

    y(+)

    c

    1

    2

    s

    s

    .

    MMM 12

    .

    Siendo y y z los radios de curvatura en direccin de los ejes y,z y y, z la rotacin de la seccin alrededor de los ejes z,y.

    6.10. Tensiones en viga de seccin asimtrica solicitada a flexin oblicua.

    Consideremos la seccin de una viga recta de seccin transversal cualquiera sin ejes de simetra. Comenzamos localizando el centroide de la seccin transversal para cualquier sistema de ejes y,z ortogonales que pasen por ese punto (Fig. 6.8). Luego determinamos los momentos de inercia de la seccin respecto a los ejes y,z, o sea Iy y Iz. Posteriormente determinamos la magnitud y orientacin de los momentos principales de inercia de la seccin con las formulas conocidas:

    ( )2y z 21 2 y z yzI I 1I , I I I 4I2 2+

    = +

    (6.15) yz

    y z

    2Itg2

    I I =

    Ahora, descomponemos el momento flector en dos componentes sobre las direcciones 1 y 2 que son los ejes principales de inercia, obteniendo:

    M1 = M.cos( - )

    M2 = M.sen( - )

    Fig. 6.8

    Las tensiones normales en un punto cualquiera de la seccin se obtienen de la misma forma vista anteriormente, con los valores de M e I referidos a los ejes principales de inercia, y para coordenadas referidas a estos mismos ejes.

    6.11. Flexin oblicua compuesta (traccin o compresin excntrica).

    Una barra est solicitada a flexin compuesta cuando simultneamente actan momentos flectores y esfuerzos normales de traccin o de compresin. Un caso simple de ste tipo de solicitaciones es el indicado en la figura 6.9, representado por una columna solicitada por una carga P inclinada. Esta carga puede descomponerse en una componente transversal T a la seccin, que genera momento flector y una componente axial N que producir esfuerzo normal de traccin.

    Cuando las barras estn solicitadas a compresin supondremos que las deformaciones laterales producidas por las fuerzas de compresin no tienen influencia. Cuando estas son la

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    Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 4 de 20

    P

    T

    N

    N

    .

    x(+)

    y(+)

    M

    Mz

    My

    s

    s

    c

    Nx

    z(+)c

    y(+)s

    s

    n

    n

    A

    B

    max

    max

    +

    -

    x(+) y(+)

    z(+)

    s

    s

    c

    N

    (y z )o oe

    a) b) c)

    .

    z(+)e

    .

    y n

    zn

    condicin de diseo de la barra, se ver en el captulo VIII correspondiente a la inestabilidad del equilibrio elstico (pandeo).

    Supongamos un caso general de traccin excntrica donde solamente la resultante N de las fuerzas exteriores acta normal a la seccin en un punto de coordenadas yo,zo diferentes de cero denominado centro de presin (Fig. 6.10a), el plano de solicitacin tiene como traza la recta que pasa por el centroide y por el punto donde est aplicada la carga. Si transformamos la solicitacin trasladando N al centroide de la seccin, tendremos el esfuerzo normal Nx y un momento flector M = N.e, sus componentes sobre los ejes ortogonales My y Mz (Fig. 6.10b), valdrn:

    Fig. 6.9

    Fig. 6.10

    yM M.sen N.e.sen= = (6.16)

    zM M.cos N.e.cos= =

    Siendo 2 2o oe y z= + la excentricidad de la solicitacin normal N.

    Siendo osen z / e = y ocos y / e = , sustituyendo en las expresiones (6.16) y tomando en cuenta que consideramos positivos los momentos cuyos vectores representativos tienen el mismo sentido positivo del eje correspondiente, entonces debemos incorporar el signo menos en la formula de My para compatibilizar la convencin de signos adoptada, as obtenemos:

    oy o

    zM N.e N.ze

    = =

    (6.17) o

    z o

    yM N.e N.ye

    = =

    La traccin o compresin excntrica es similar a la flexin oblicua con la diferencia que a las tensiones normales producidas por los momentos flectores My y Mz debe sumrsele la tensin normal producida por el esfuerzo normal Nx, as en un punto arbitrario de coordenadas y, z positivas, tenemos:

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    Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 5 de 20

    yx zx

    z y

    M .zN M .yA I I

    = + (6.18)

    Las tensiones tangenciales pueden determinarse por la formula del cortante vista en el capitulo V, sumando algebraicamente las tensiones originado por Ty y Tz en el punto dado de la seccin. Dado que las tensiones tangenciales generalmente son nulas donde las tensiones normales son mximas, no tiene mayor influencia en la resistencia de la pieza y no la consideraremos en este capitulo.

    Sustituyendo las expresiones (6.17) en la (6.18), obtenemos:

    o o o ox xx 2 2

    z y z y

    N.y .y N.z .z y .y z .zN N 1A I I A i i

    = + + = + +

    (6.19)

    La ecuacin del eje neutro se obtiene haciendo = 0, as:

    o o

    2 2z y

    y .y z .z0 1i i

    = + +

    De donde: 2

    o z

    2y o

    z .z iy 1i y

    = +

    2yo

    2z o

    iy .yz 1

    i z

    = +

    (6.20)

    Como podemos advertir, el eje neutro no pasa por el centro de gravedad de la seccin.

    Haciendo en las ecuaciones (6.20) primero z = 0 y luego y = 0, obtenemos los puntos yn y zn de interseccin del eje neutro con los ejes de coordenadas, as:

    2z

    n

    o

    iyy

    =

    2y

    n

    o

    iz

    z= (6.21)

    Cuando yo y zo son positivos (o sea se ubican en el primer cuadrante), las magnitudes yn y zn sern negativos, entonces la lnea neutra se encontrar del otro lado del centroide de la seccin y pasar por el tercer cuadrante. Cuando el eje neutro divide a la seccin, siempre pasa por el cuadrante opuesto al cuadrante donde se ubica el centro de presin, o sea el punto de aplicacin de la carga (Fig. 6.10c).

    Aqu podemos ver que si N se acerca al centroide, o sea yo, zo se hacen pequeos, yn y zn sern mayores y el eje neutro se aleja del centroide de la seccin. Cuando yo = zo = 0, es decir cuando N est aplicado en c, la lnea neutra se alejar al infinito y estaremos frente al caso de solicitacin simple por esfuerzo normal nicamente, las tensiones normales sern uniformes y valen x = Nx A. A medida que el punto de aplicacin de N se aleje del centroide, el eje neutro se acercar al l. De lo expuesto se deduce que la lnea neutra podr estar fuera de la seccin y surgir tensiones normales de un mismo signo o dividiendo a la seccin, apareciendo entonces tensiones normales de traccin y compresin.

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    Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 6 de 20

    z(+)c

    y(+)s

    s

    nn

    A

    B

    max

    max

    e=y

    y n

    No

    -

    +

    n

    n

    +

    f

    f

    -

    +

    De lo anterior puede inferirse que habr un conjunto de puntos donde podr estar aplicado N y el eje neutro pasar tangente al contorno de la seccin sin dividirla, este conjunto de puntos generar una figura alrededor del centroide que se denomina ncleo central de inercia de la seccin, donde cualquier esfuerzo normal cuyo punto de aplicacin se ubique fuera del contorno geomtrico del ncleo central de inercia, el eje neutro dividir a la seccin y surgirn tensiones normales de traccin y de compresin. Cuando N acta dentro del contorno de la figura del ncleo central de inercia el eje neutro se desplazar fuera del contorno de la seccin sin dividirla. La forma del ncleo central de inercia es una propiedad exclusiva de la forma de la seccin, y se calcula con las mismas formulas (6.21) haciendo yn = yb y zn = zb igual a las distancias del borde ms alejado de la seccin respecto del centroide, as:

    2z

    c

    b

    iyy

    =

    2y

    c

    b

    iz

    z= (6.22)

    Seccin circular maciza de radio R, i2 = R2 4, yb = zb = R, yc = zc = R 4 (Fig. 6.11a).

    Seccin rectangular maciza de ancho b y alto h, yc = h 6, zc = b 6 (Fig. 6.11b).

    Para una seccin en doble T, el eje neutro debe recorrer el contorno de la seccin sin dividirla, entonces formara un rectngulo que enmarcar a la seccin, el ncleo central tendr la forma de un rombo similar a las secciones rectangulares (Fig. 6.11c).

    c) d)

    y

    z

    R

    yozo

    a) b)

    y

    z

    b

    hzo

    yo

    Fig. 6.11

    Para una seccin en U con un solo eje de simetra, el ncleo central de inercia ser simtrico respecto al eje de simetra y disimtrico respecto al otro eje no simtrico de la seccin (Fig. 6.11d).

    6.12. Flexin plana compuesta. Es el caso en que el plano de solicitacin coincide con un eje principal de inercia de la seccin, por ejemplo el eje y (Fig. 6.12), la coordenada zo = 0. Las expresiones (6.17), (6.18) y (6.20) se reducen a:

    My = 0

    Mz = N.yo

    x zx

    z

    N M .yA I

    = + (6.23) 2z

    n

    o

    iyy

    =

    Fig. 6.12

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    Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 7 de 20

    La superposicin de los diagramas de tensiones normales por momento flector y esfuerzo normal se muestra en la figura 6.12. La lnea del eje neutro es una recta paralela al eje z a una distancia yn del centroide de la seccin y del lado opuesto al punto de aplicacin de la carga. El plano de deformacin coincide con el plano de solicitacin.

    6.13. Lneas isostticas.

    Como se expreso anteriormente, la variacin de las tensiones principales en magnitud y orientacin en distintos puntos de diferentes secciones de una viga, envuelven dos familias de curvas ortogonales entre si que representa el estado plano tensional donde las tensiones de corte son nulas, se denominan lneas isostticas o trayectoria de las tensiones principales.

    Consideremos una viga en voladizo de seccin rectangular, solicitada por una carga P concentrada en el extremo libre, cuyo plano de solicitacin es x, y (Fig. 6.13a). En un punto cualquiera p de una seccin cualquiera representado sobre la superficie lateral de la viga, ubicado a una distancia y del eje neutro, el estado plano se caracteriza por las siguientes tensiones:

    zx

    z

    M .yI

    = y = 0

    y nxy

    z

    T .Sb.I

    =

    El signo de las tensiones en el punto p es positivo tanto para x como para xy. Si construimos el crculo de Mohr representativo del estado tensional, obtenemos los valores y direcciones de las tensiones principales tal como se representa la figura 6.13b. Si representando las tensiones y orientaciones principales en el punto p, y adems extendemos este procedimiento a diferentes puntos de las diferentes secciones de la viga, construyendo las envolventes obtenemos las lneas isostticas correspondientes.

    y (+)

    x (+)

    (+)

    (+)O

    A

    yc

    0

    P

    pO

    x

    2

    xy

    12

    a) b)

    ..

    Fig. 6.13

    As, sobre el eje neutro x = 0 y xy acta solo y es mximo, entonces tenemos un estado de corte puro y las tensiones principales se orientan a 45 del eje de la viga. En los puntos vecinos a los bordes horizontales, la tensin normal x es preponderante sobre la tensin cortante xy. Las orientaciones de las tensiones normales tienden a la horizontal y las de corte a la vertical. En el borde propiamente dicho donde las tensiones de corte son nulas, la direccin de las tensiones normales coincide con este.

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    Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 8 de 20

    Otro ejemplo muy ilustrativo lo presentamos en una viga rectangular simplemente apoyada con carga concentrada en el centro del tramo. Si imaginamos que las orientaciones o trayectoria de las lneas isostticas son como tubos o cables que representan las tensiones principales. Dibujamos las lneas isostticas de compresin en punteado y contina las lneas isostticas de traccin (Fig. 6.14). Se observa que hay lneas de compresin que van directamente de un apoyo a otro presentando un aspecto de arcada, y otras de traccin con aspecto de cables o catenaria. Vemos aqu la composicin elemental de vigas de hormign armado, donde las tensiones de traccin son resistidas por el acero y las de compresin por el hormign, dado que este tiene baja resistencia a traccin.

    y (+)

    x (+)

    P

    O

    Fig.6.14

    6.14. Flexin compuesta plstica.

    En el capitulo III vimos que la deformacin de una barra recta elstica solicitada a flexin pura o simple, viene dado por la curvatura cuya relacin es k = x/y. En una seccin totalmente plastificada la curvatura era kp = 2p/h. El conocimiento de la funcin momento- curvatura considerando la influencia del esfuerzo normal es fundamental para todo anlisis de la capacidad resistente de una seccin solicitada a flexin compuesta plstica, dado que se pierde la proporcionalidad entre tensiones y deformaciones.

    La flexin compuesta plstica es un problema de solicitacin combinada pero unidireccional, siempre que no se considera la influencia de la deformacin por corte. 6.14.1. Seccin con dos ejes de simetra.

    El mximo momento elstico que soportar una seccin doblemente simtrica, se producir cuando las fibras ms alejadas del eje neutro alcanzan el estado de tensin lmite elstica o de fluencia. Asumiendo que e = e f, resulta:

    e fM W.=

    En estado de plastificacin total de la seccin (limite plstico), el momento plstico es:

    p fM Z.=

    Cuando la seccin esta solicitada nicamente a esfuerzo normal, la capacidad de resistir esfuerzo elstico y plstico es la misma, as:

    e p fN N A.= =

    La capacidad de resistir solicitaciones combinadas elsticas de momento flector y esfuerzo normal, viene dado por la expresin (6.22) para la siguiente condicin:

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    Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 9 de 20

    (+)

    recta limite zona elasticacurva limite zona plastica

    zonainteriorelastica (+)

    M M pN

    N = Np

    y M p M pN

    N

    f f

    f f

    f

    c

    n n

    zdd

    a) b) c)b

    h

    fN MA W

    = (6.24)

    En la fibra extrema donde ambas solicitaciones producen traccin, la resistencia elstica esta limitada por:

    fN MA W

    + = (6.25)

    Los lmites de la expresin anterior pueden representarse en un diagrama de M y N, resultando una recta limite de zona elstica denominado diagrama de interaccin, donde conocido N se obtiene M y viceversa (Fig. 6.15). (El grafico ha sido realizado para una seccin rectangular con h = 3b, donde M y N producen traccin, siendo el diagrama simtrico para los otros tres cuadrantes).

    Fig. 6.15

    Seccin rectangular.

    Consideremos una barra de seccin rectangular con ejes de simetra y,z solicitada a flexin plana compuesta, donde la seccin est totalmente plastificada. El diagrama de tensiones tiene una distribucin como la representada en la figura 6.16a. El eje neutro n se ubica a una distancia d del eje de simetra z de la seccin.

    Para determinar el momento flector y el esfuerzo normal, descomponemos dicho diagrama en dos partes, una simtrica respecto al eje z equivalente al esfuerzo normal, y la otra tambin simtrica equivalente al momento plstico reducido con resultante axial nula (Fig. 6.16b y 6.16c).

    Fig. 6.16

    La suma de los dos diagramas de tensiones debido a N y NpM debe ser igual al diagrama producido por Mp, as la suma de los momentos internos resulta: N dp p pM M M= + , de donde:

    N dp p pM M M= (6.26)

    El esfuerzo normal resultante debido a las tensiones normales actuando en el rea central de la seccin, es:

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    fN (b.2d)=

    El momento plstico del diagrama producido por N, para una altura 2d, ser:

    d 2p d f fM Z . b.d .= =

    Si conociramos el esfuerzo normal N, podemos determinar el valor de d y con ello el dpM y el NpM .

    Dividiendo a la expresin (6.26) por Mp y efectuando la sustitucin por el producto de la tensin de fluencia por el modulo resistente plstico que corresponda, obtenemos:

    N dp p d

    p p

    M M Z1 1M M Z

    = =

    Sustituyendo 2b.hZ

    4= y Zd = b.d2 en la anterior, obtenemos:

    N 2p

    2p

    M 4.d1M h

    =

    Por otra parte si efectuamos la relacin fp f

    b.2d.N 2dN b.h. h

    = =

    , e incorporamos esta igualdad en

    la anterior, obtenemos:

    2Np

    p p

    M N1M N

    =

    (6.27)

    Expresin donde se obtiene la capacidad resistente plstica por M y N de la seccin totalmente plastificada, representada en los ejes de coordenadas NpM y Np, resultando una curva parablica limite de zona plstica (Fig. 6.15).

    Seccin doble T

    La interaccin M-N se debe resolver para dos casos bien diferenciados:

    a) cuando el eje neutro divide a la seccin por el alma. b) cuando el eje neutro divide a la seccin por el ala.

    El procedimiento es el mismo que para una seccin doblemente simtrica, pudindose obtener una formula similar a la (6.27) para cada caso, procedimiento bastante laborioso. Se presenta aqu una expresin representativa de la mayora de los perfiles I normalizados (norma DIN), ecuacin de una recta con aceptable aproximacin cuyos resultados otorgan un margen mayor de seguridad:

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    Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 11 de 20

    Np

    p p

    M N1,1 1M N

    =

    (6.28)

    6.14.2. Seccin con un solo eje de simetra.

    En una seccin asimtrica respecto al eje z, el diagrama de tensiones correspondiente al momento flector ser tanbien asimtrico, las primeras tensiones de fluencia se presentarn en las fibras traccionadas o comprimidas segn el signo del esfuerzo normal y la posicin del eje principal de inercia de la seccin.

    Consideremos un perfil doble T de alas desiguales, cuyo eje de simetra z se ubica a 3h/8 respecto al borde libre del ala mayor, donde el esfuerzo normal puede ser de compresin o de traccin (Fig. 6.17).

    Esfuerzo normal de compresin.

    Cuando las tensiones que produce el esfuerzo normal de compresin es preponderante respecto a las producidas por el momento, primeramente llegar a la fluencia en las fibras del borde comprimido por M

    (Fig. 6.17a), la suma de las tensiones del lmite elstico se expresa por:

    fsup

    N MA W

    = (6.29)

    Si en cambio las tensiones producidas por el esfuerzo normal de compresin son reducidas respecto a las que produce el momento, llegar primero a la fluencia las fibras del borde traccionado por M (Fig. 6.17b). La tensin limite elstica, ser:

    finf

    N MA W

    + = + (6.30)

    Siendo Wsup y Winf los mdulos resistentes elsticos superior (ala mayor) e inferior.

    M e M ey

    z

    y

    a)

    + +

    ff

    + +

    ff

    b)

    + + ==

    3h/8

    Fig. 6.17

  • UTN FRC Ctedra: Resistencia de materiales Solicitaciones combinadas

    Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 12 de 20

    Esfuerzo normal de traccin.

    Si las tensiones que produce el esfuerzo normal de traccin son preponderantes respecto a las producidas por el momento, primeramente llegar a la fluencia las fibras del borde traccionado, en cambio si son reducidas, llegar primero a la fluencia las fibras del borde comprimido.

    Estado limite elstico y plstico.

    La distribucin de tensiones se estudia para tres casos: cuando el eje neutro divide a la seccin por el alma, y cuando divide a la seccin por el ala mayor o por el ala menor segn estn traccionadas o comprimidas (Fig. 6.18). El procedimiento para resolver el problema de interaccin es aun ms laborioso que para secciones doblemente simtricas. Esto se aborda con los mtodos de diseo y calculo de estructuras metlicas y estn fuera del alcance de presente (puede verse normas DIN y otras).

    yf

    ff

    ff

    ff

    f

    ff

    c z

    n nYn

    Yn

    Yn

    Fig. 6.18

    Estos ltimos dos casos puede simplificarse con una aproximacin satisfactoria efectuando los clculos suponiendo que el eje neutro pasa por la unin entre el alma y las alas. Esta metodologa condiciona a que la seccin del ama comprendida entre la lnea neutra y el eje centroidal, o sea e x yn (e es el espesor del alma) sea utilizada para soportar la mitad de N, la otra mitad resulta de utilizar el resto del rea del alma y parte del ala opuesta al eje neutro. En problemas resueltos presentaremos el clculo para una seccin similar.

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    Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 13 de 20

    M

    18

    s

    c

    s

    y (+)

    z (+)

    18

    cm

    7 cm

    n

    n

    a

    b

    c

    d

    B

    Problema 6.5. La seccin de una viga de madera como de la figura, esta solicitada por un momento flector M = 200 kgm actuando en el plano s-s en forma oblicua a los ejes principales de inercia de la seccin con un ngulo = 18 respecto al eje y, siendo E = 100.000 kg /cm2. Despreciando la influencia del esfuerzo de corte, determinamos:

    a) Tensiones normales mximas. b) Radio de curvatura. c) Orientacin del eje neutro. d) Diagrama de tensiones.

    Tensiones normales.

    yz

    z y

    M .zM .yI I

    = +

    Mz = M.cos = 20.000 x cos18 = 19.021 kgcm My = - M.sen = - 20.000 x sen18 = - 6.180 kgcm

    19.021.y 6.180.z 5,59.y 12,01.z3.402 514,5

    = = +

    a = 5,59 (+9) + 12,01 (3,5) = + 8,28 kg cm2 b = 5,59 (+9) + 12,01 (+3,5) = +92,35 kg cm2 c = 5,59 (9) + 12,01 (+3,5) = 8,28 kg cm2 d = 5,59 (9) + 12,01 (3,5) = 92,35 kg cm2

    b) Radio de curvatura.

    2 222y2 2 2 6z

    y z 2 2z y

    II 3.402 514,5E 2,1x10 414.292M M 19.021 6.180

    = + = + = + = cm

    c) Orientacin del eje neutro.

    z

    y

    I 3.402tg tg tg18 2,148449

    I 514,5 = = = = 65,04

    Problema 6.6. Un PNU 16 es solicitado por un momento flector constante de M = 400 kgm segn el plano de solicitacin s-s. Siendo Iz = 925 cm4 e Iy = 85,3 cm4. Determinar:

    a) Las tensiones en los vrtices a, b, c, d. b) La orientacin del eje neutro.

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    22

    y

    6,5

    1,05

    1,05

    0,75

    1,84

    c

    z

    s

    s

    M

    160 cm

    a

    b

    c

    d

    a = 1.139,34 kg cm2 b = 497,83 kg cm2

    c = + 643,97 kg cm2 d = + 2,46 kg cm2

    = 77,14

    Problema 6.7. Para la seccin solicitada por una carga excntrica P segn la figura a, determinamos:

    a) Tensiones normales en los vrtices. b) Ubicacin del eje neutro. c) Trazado de diagrama de tensiones. c) Representacin del ncleo central de inercia y clculo de sus dimensiones.

    z

    y

    c

    P = 10 kN

    24 cm 16 c

    m

    xa b

    cd

    y (+)

    z (+)e

    a b

    d c

    e

    s

    s

    c

    P

    M

    M

    M

    z

    y

    56,3

    a) b)

    Dado que la accin normal acta en un punto que no coincide con el centroide y con ejes de simetra, la solicitacin es flexin compuesta oblicua, y se estudia como la combinacin de tensiones normales producidas por P y por M (formula 6.17). Para ello transformamos la fuerza P en un sistema de fuerzas equivalentes trasladando P al centroide generndose un momento M = P.e, cuyo vector es perpendicular al plano de solicitacin s-s y se orienta por convencin hacia el tercer cuadrante, dado que comprime en el vrtice a (regla de la mano derecha). La excentricidad 2 2e 12 8 14, 42= + = cm. Las coordenadas del vrtice a, son: yo = 8 cm, zo = -12 cm.

    Los valores de las solicitaciones en la seccin, sern:

    Nx = - P = - 10 kN = - 10.000 N M = - 10.000 x 14,42 = - 144.200 Ncm. Mz = - M. cos56,3 = - 144.200 x cos56,3 = - 80.000 Ncm My = - M. sen56,3 = - 144.200 x sen56,3 = - 120.000 Ncm

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    y (+)

    z (+)

    a b

    d c

    c

    c)n

    n

    z

    yn

    n

    +

    zc

    yc

    Los mismos valores de momento hubisemos obtenido si multiplicamos P por las respectivas coordenadas del vrtice a.

    El rea y los momentos de inercia, son:

    A = 16 x 24 = 384 cm2 3

    z

    24x16I 8.19212

    = = cm4 3

    y16x24I 18.432

    12= = cm4

    Las tensiones normales en los vrtices, resulta:

    yx zx

    z y

    M .zN M .y 10.000 80.000y 120.000z 26,04 9,77y 6,51zA I I 384 8.192 18.432

    = + = + = +

    a 26,04 9,77( 8) 6,51( 12) 182,32 = + + = kg/cm2

    b 26,04 9,77( 8) 6,51x12 26,00 = + + = kg/cm2

    c 26,04 9,77( 8) 6,51( 12) 130, 24 = + + = + kg/cm2

    d 26,04 9,77( 8) 6,51( 12) 26,00 = + = kg/cm2

    La ubicacin del eje neutro la determinamos calculando las coordenadas de la recta por las formulas (6.20), as:

    2z z

    n

    o o

    i I / A 8.192 / 384y 2,67y y 8

    = = = = cm.

    2y y

    n

    o o

    i I / A 18.432 / 384z 4,00

    z z 12= = = = +

    cm.

    Las dimensiones del ncleo central resultan:

    2z

    c

    b

    i 8.192 / 384y 2,67y 8

    = = =

    cm

    2y

    c

    b

    i 18.432 / 384z 4,00

    z 12= = =

    cm

    Estos valores se representan en la figura c. Es llamativo que los mismos valores sean los mismos que las coordenadas del eje neutro, esto es un caso particular y resulta as porque el centro de presin donde acta P se ubica sobre el contorno de la seccin. Entonces si P se ubica sobre el la lnea del ncleo central de inercia, el eje neutro pasara tangente al contorno de la seccin sin dividirla.

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    z

    y

    c

    30 cm

    26,2

    1,1

    1,9

    1,9

    26 cm

    26

    1,75

    1,75

    1

    e

    (y = 40 cm)o(z = 18 cm)o P

    ad

    bc

    z

    y

    c

    Problema 6.8. Una columna de perfil de alas anchas (normas DIN 1026: Iz = 14.920 cm4, Iy = 5.130 cm4, A = 118 cm2), est solicitada a una carga excntrica de compresin P = 10 t. segn la figura. Determine:

    a) Tensiones normales en los vrtices a, b, c y d. b) Ubicacin del eje neutro. c) Diagrama de tensiones. c) Ncleo central de inercia.

    a = - 889,45 kg cm2 b = - 192,39 kg cm2 c = + 719,95 kg cm2 d = + 22,89 kg cm2

    Problema 6.9. Determinar en la columna de la figura, el momento plstico NpM respecto al eje z, que simultneamente con el esfuerzo normal de compresin N = 200 t. plastifica a la seccin.

    Caractersticas del perfil IPB 300:

    A = 149 cm2 f = 2,5 t/cm2 ( 25 KN/cm2 = 250 Mpa = 250 MN/m2)

    Para este caso un Perfil normalizado simtrico aplicamos la formula 6.27.

    El esfuerzo normal elstico y plstico, es:

    Ne = Np = A.f = 149 x 2,5 = 372,50 t.

    El momento plstico, es:

    Mp = Z.f

    Z = 2(30 x 1,9 x 14,05 + 1,1 x 13,1 x 6,55) = 1.790,47 cm3

    Mp = 1.790, 47 x 2,5 = 4.476,18 tcm

    Por la formula 6.27 obtenemos la relacin:

    Np

    p p

    M N 2001,1 1 1,1 1 0,51M N 372,5

    = = =

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    2,5

    1,9

    25

    2,5

    z

    y

    c

    30 cm

    El momento plstico reducido por N, resulta:

    NpM 0,51x4476,18 2.280= = tcm

    Podemos observar que la influencia del esfuerzo normal es importante, el momento que puede resistir la seccin es aproximadamente la mitad del momento de plastificacin total.

    Si determinamos la posicin del eje neutro, se obtendra que divide a la seccin pasando por el ala. Puede verificarse que el eje neutro pasa por la unin entre el ala y el alma para N = 70 t.

    Problema 6.10. Para la columna de la figura solicitada a un accin normal de compresin N = 100 t, determinar el momento plstico NpM respecto al eje z que simultneamente con el esfuerzo normal plastifica totalmente a la seccin. f = 2,5 t/cm2.

    NpM 5.825= tcm.

    Problema 6.11. Para la seccin asimtrica de la figura, determinamos el mximo esfuerzo normal de compresin y el NpM que actuando en forma simultanea plastifica en forma total a la seccin, teniendo como condicin que el eje neutro pase por la unin entre el alma y el ala menor.

    1,2

    12,17

    n n

    f

    N N MpN

    ff

    f ff

    MpN

    + +

    Mz z

    y

    c

    30 cm

    1,9

    20 cm

    1,6

    26,5

    Caractersticas de la seccin:

    f = 2,5 t/cm2 A = 120,80 cm2 Z = 1.405,86 cm3

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    zc

    30 cm

    2,5

    1,925

    1,9

    y

    20

    Mz

    n n

    Multiplicando la seccin del ama comprendida entre la lnea neutra y el eje centroidal por la tensin de fluencia, obtenemos la mitad del esfuerzo normal:

    N50% = (30 1,6 12,17) x 1,2 x 2,5 = 16,23 x 1,2 x 2,5 = 48,69 t.

    El esfuerzo normal soportado por el resto del alma, es:

    N r = (12,17 1,9) x 1,2 x 2,5 = 10,27 x 1,2 x 2,5 = 30,81 t.

    Al ser menor que la mitad de N, parte del ala mayor contribuir a soportara una parte del esfuerzo para que N = 2 x 48,69 = 97,38 t, resultando: 97,38 30,81 48,69 = 17,87 t. El espesor contribuyente del ala mayor resulta:

    17,87t 0,6

    30= = cm

    El momento plstico Mp,n debido a las tensiones producidas por N, es:

    p,n16, 23 10, 27 0,6M 16,23x1, 2 10, 27x1, 2 30,0x0,6 10,27 410, 20

    2 2 2

    = + + + =

    tcm.

    El momento plstico, es:

    Mp = Z.f = 1.405,86 x 2,5 = 3.514,65 tcm.

    Entonces el momento plstico reducido por N, queda:

    Np p p,nM M M 3.514,65 410,20 3.104,44= = = tcm.

    En resumen, la seccin se plastifica totalmente y el eje neutro pasa por el encuentro entre el alma y el ala menor para: N = - 97,38 t y NpM 3.104, 44= tcm. que tracciona el al a menor.

    Problema 6.12. En la seccin asimtrica de la figura se requiere verificar el mximo esfuerzo normal de compresin para que el eje neutro pase por la unin entre el alma y el ala menor. Determine la mxima solicitacin N y NpM que actuando simultneamente plastifica totalmente a la seccin. f = 2,5 t/cm2.

    N = 153 t.

    NpM 3.821= tcm.

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    Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 19 de 20

    Problema 6.13. Una barra de acero de seccin circular de 6 cm de dimetro es solicitado por un sistema de fuerzas segn la figura. Determinamos para el punto A, las tensiones normales y de corte en el sistema de coordenadas x,y,z indicado. Mostramos los resultados en un casquete de tensiones. Se pide al alumno que determine las tensiones y construya el casquete de tensiones para el punto B.

    c120

    cm

    y (+)

    z (+)

    x (+)

    dA

    B

    10 kN

    100 kN

    20 kN

    50 cm

    Para la resolucin, utilizaremos todas las expresiones conocidas para la determinacin de tensiones y efectuaremos la combinacin para el punto A.

    Las caractersticas geomtricas de la seccin transversal, son:

    A = pi.r2 = 3,1416 x 32 = 28,27 cm2 4

    .rI 63,624

    pi= = cm4

    4

    p.rI 127,232

    pi= = cm4 n

    4.r 4x3S 1, 273. 3.

    = = =

    pi picm3

    Las solicitaciones en el punto A de la seccin transversal, son:

    Nx = + 100 kN

    Ty = - 20 kN Tz = - 10 kN

    My = + 10 x 120 = + 1.200 kNcm Mz = + 20 x 120 = + 2.400 kNcm Mx = - 10 x 50 = - 500 kNcm

    Calculo de las tensiones.

    La tensin normal en el punto A se obtiene sumando la producida por el esfuerzo axial y por el momento flector My, la tensin producida por Mz resulta nula en A, entonces:

    yx zx,A

    z y

    M .zN M .y 100 1.200x( 3)0 60,12A I I 28, 27 63,62

    + = + = + + = kN/cm2

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    Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 20 de 20

    La tensin de corte en el punto A debido a Tz es nula. Superponiendo las tensiones de corte producidas por el esfuerzo cortante Ty y el momento torsor, resulta:

    y nA,c

    T .S 20x1,27 0,36d.I 6x63,62

    = = = kN/cm2

    xA,t

    p

    M .r 500x( 3,00) 11,79I 127, 23

    = = = kN/cm2

    xy = A = - 0,36 + 11,79 = +11,43 kN/cm2

    Las tensiones principales y su direccin la encontramos con las expresiones (2.26) y (2.27) del capitulo II, resultando:

    2 2x y x y 2 2

    1,2 xy60,12 0 60,12 0 11,43 62,35

    2 2 2 2 + +

    = + = + =

    kN/cm2

    xy

    x y

    2 2x11,79tg2 0,39

    60,12 0 = = =

    = 10,77

    y (+)

    z (+)

    c x (+)

    superficielibre

    60,12 kN

    11,43

    kN

    AA

    linea de falla

    .10,77 x (+)

    Problema 6.14. Se pide al alumno que realice los mismos clculos del problema 6.13 para un cilindro de pared delgada de 10 cm de dimetro exterior y 1 cm de espesor. Represente las tensiones en un casquete.