Universidad de Costa RicaFacultad de Ciencias

Escuela de Física

Laboratorio de Física General III (FS-0411)

Leyes de la óptica geométrica

Por:

Gary Cambronero Hidalgo

Francisco Rodriguez Bardía

Carolina Vaca Rojas

Ciudad Universitaria Rodrigo Facio

Junio del 2013

EQUIPO UTILIZADO

Equipo de la parte A

Banco óptico que consiste en: riel metálico horizontal con graduación métrica,

fuente de luz, mesa óptica circular con soporte y pantalla.

Pieza acrílica de forma semicircular.

Equipo de la parte B

Banco óptico que consiste en: riel metálico horizontal con graduación métrica,

espejo esférico montado en soporte y pantalla en soporte.

Compás.

ii

RESUMEN

El trabajo en el laboratorio se centraba en estudiar las leyes fundamentales de la

óptica geométrica, la ley de espejos esféricos y las lentes delgadas. Para realizar este

estudio se hicieron tres experimentos.

El primer experimento se comprobó la ley de reflexión y la ley de snell, estudiando

los ángulos de incidencia, reflexión y refracción de una rayo de luz a través de un acrílico.

El segundo y tercer experimento verificó la relaciónes matemáticas que tienen las

imágenes formadas por espejos y lentes. Se utilizó un espejo cónvergente y una lente

convergente para comprobar la ley de espejos y lentes y calcular la distancia focal de los

mismos.

Para reducir el porcentaje de error, se podría usar en la práctica un haz de luz de

mayor intensidad, y utilizar un compás para facilitar la toma de medidas, como viene

especificado en el manual de prácticas. A pesar de esas dificultades, se puede considerar

la práctica de laboratorio como exitosa, pues se logró comprobar todas las leyes en

estudio. Los datos fueron tomados con bastante exactitud, por lo que los porcentajes de

error fueron bastante bajos.

iii

1

CAPÍTULO 1: Introducción

En el trabajo a realizar se estudiarán los fenómenos de reflexión y refracción en

una pieza acrílica semicircular, utilizando una fuente de luz con una sola ranura para

obtener, con los ángulos reflejado y refractado, el índice de refracción del acrílico y el

ángulo crítico de dicho objeto.

Se utilizará una lente y un espejo esférico para determinar tamaños de imagen y su

relación con la distancia de foco y entre el espejo y la lente. Por último, se utilizará una

lente delgada esférica y una pantalla para enfocar la imagen producida por la luz a cierta

distancia de la lente.

También, para cada fenómeno, se determinará la magnificación de la imagen y su

relación con un valor “teórico”, obtenido con las distancias de la imagen y el objeto. Todos

estos datos se anotarán en una tabla para su debido análisis.

1.1 Objetivos

1.1.1 Objetivo general

Estudiar las leyes fundamentales de la óptica geométrica y la ley de los

espejos esféricos y las lentes delgadas.

1.1.2 Objetivos específicos

Redescubrir las leyes de la reflexión y la refracción.

Determinar el índice de refracción de un material transparente.

2

Obtener el ángulo crítico de reflexión total interna para dos medios

transparentes

Determinar la distancia focal de un espejo esférico y de una lente

convergente.

Determinar el aumento lateral de una imagen

1.2 Trabajo Previo

a. Investigue en qué consiste el principio de superposición de Huygens y el

principio de Fermat.

Principio de superposición de Huygens: “Todo punto de un frente de onda

inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que

se extienden en todas direcciones con la misma velocidad, frecuencia y

longitud que el frente de onda del que proceden.”

Principio de Fermat: “el trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a

otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario a posibles

variaciones del trayecto”.

b. Demuestre la ecuación (4) del manual de prácticas

n1 sin θ1=n2sin θ2n1 sin θc=n2sin θ1=n2n1θc=sin

−1( n2n1 )c. Demuestre la ecuación (6) del manual de prácticas tanto para espejos como

para lentes

3

−hiho

= iohof

=−hii−f

−hiho

=i−ffio= i−fffio=i− f fi

o+ f=i 1

o+1i=1f

d. Demuestre la ecuación (8) del manual de prácticas

m=proporción entreh i y ho (magnificación )mhiho

=−io

CAPÍTULO 2: Resultados

El procedimiento A consistió en la obtención del índice de refracción del objeto de

acrílico y el ángulo crítico del mismo. Inicialmente se colocó la pieza de acrílico sobre una

mesa angulada, de manera que la cara plana quedara del lado del que provenía la luz.

Luego, se hizo pasar un haz de luz proveniente de una ranura simple por el objeto y se

hizo girar la mesa para obtener los ángulos de reflexión y refracción. Se anotaron los datos

en una tabla y luego se dio vuelta al objeto, de manera que la cara curva quedara del lado

donde venía la luz. El momento en que el ángulo de refracción era igual a 90º, se anotó el

ángulo de incidencia crítico. Se anotaron los datos en la misma tabla.

Posteriormente, en la parte B, se instaló el equipo como indicado en el manual de

laboratorio: fuente de luz – semipantalla – espejo, esto para determinar la distancia de

foco de dicho utilizando la imagen generada en la semipantalla. Se anotaron los datos

4

obtenidos y se calculó la distancia focal y la potencia dióptrica del espejo en la misma

tabla. Se realizó este mismo procedimiento para varias posiciones del espejo. Luego se

calculo el valor promedio de la distancia focal.

Para el procedimiento C se sustituyó la semipantalla por una lente delgada

convergente y el espejo por una pantalla. Se colocó la lente a cierta distancia de la fuente

y luego se enfocó la imagen utilizando la pantalla. Se anotaron las distancias de objeto e

imagen en una tabla donde también se calcularon la distancia focal y la potencia dióptrica.

Se repitió el procedimiento para diferentes medidas. Se hicieron las debidas anotaciones.

2.1 Relaciones matemáticas

θ1'=θ1 (2.1-1)

n1 sin θ1=n2sin θ2 (2.1-2)

n= cv

(2.1-3)

θc=sin−1( n2n1 ) (2.1-4)

n1=1

sinθc(2.1-5)

1o+1i=1f

(2.1-6)

5

m=− y iyo

(2.1-7)

m=−io

(2.1-8)

P=1f

(2.1-9)

2.2 Gráficas y cuadros de resultados

Cuadro 2.2-1. Reflexión y refracción de la luz en acrílico

ϴ1 (º) (incidencia) ϴ1' (º) (reflexión) ϴ2 (º) (refracción) nacrílico

0 0 0 0,0010 10 7 1,4220 20 13 1,5230 31 20 1,4640 41 26 1,4745 46 30 1,4150 51 31 1,4960 60 35 1,5170 71 39 1,4980 81 42 1,47

Promedio 1,47

6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

102030405060708090

f(x) = 1.01195516811955 x + 0.115815691158154R² = 0.99975048584101

ϴ1' (º) (reflexión)

ϴ1' (reflexión)Linear (ϴ1' (reflexión))

Figura 2.2-1. Ley de reflexión

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.800.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

f(x) = 1.47677506375108 xR² = 0.999628955909592

sin ϴ1

sin ϴ1 Linear (sin ϴ1 )

Figura 2.2-2. Ajuste sin2 vs sin1

7

Cuadro 2.2-2. Cálculo de ángulo crítico

Ángulo críticoϴ1 (º) (incidencia) ϴ1' (º) (reflexión) ϴ2 (refracción) nacrílico

44 44 90 1,44

Cuadro 2.2-3. Luz sobre espejo cóncavo

Espejo esférico: cóncavo; fnominal = 50mm; tamaño del objeto: y0 = (4±0.05) cm

o (cm) i (cm) 1/o (cm-1) 1/i (cm-1) yi (cm) f (cm) P(m-1) m = -yi/yo m = -i/o %m

15 7,0 0,0667 0,143 2,0 4,77 0,00210 -0,500 -0,467 3,3320 6,7 0,0500 0,149 1,7 5,02 0,00199 -0,425 -0,335 9,0025 6,2 0,0400 0,161 1,1 4,97 0,00201 -0,275 -0,248 2,7030 6,0 0,0333 0,167 0,8 5,00 0,00200 -0,200 -0,200 0,0035 5,8 0,0286 0,172 0,7 4,98 0,00201 -0,175 -0,166 0,93

Cuadro 2.2-4. Luz sobre lente convergente de foco = 100mm

Lente convergente; fnominal = 100mm; tamaño del objeto: y0 = (4±0.05) cm

o (cm) i (cm) 1/o (cm-1) 1/i (cm-1) yi (cm) f (cm) P(m-1) m = -yi/yo m = -i/o %m

46 13,5 0,0217 0,0741 1,1 10,44 0,000958 -0,275 -0,293 1,8541 14,5 0,0244 0,0690 1,4 10,71 0,000934 -0,350 -0,354 0,3736 15 0,0278 0,0667 1,8 10,59 0,000944 -0,450 -0,417 3,3331 16 0,0323 0,0625 2,1 10,55 0,000948 -0,525 -0,516 0,8926 18 0,0385 0,0556 2,8 10,64 0,000940 -0,700 -0,692 0,77

Cuadro 2.2-5. Luz sobre lente convergente de foco = 250mm

Lente convergente; fnominal = 250mm; tamaño del objeto: y0 = (4±0.05) cm

o (cm) i (cm) 1/o (cm-1) 1/i (cm-1) yi (cm) f (cm) P(m-1) m = -yi/yo m = -i/o %m

50 56 0,0200 0,0179 4,6 26,42 0,000379 -1,150 -1,120 3,0055 55 0,0182 0,0182 3,8 27,50 0,000364 -0,950 -1,000 5,0060 47 0,0167 0,0213 3,2 26,36 0,000379 -0,800 -0,783 1,6765 44 0,0154 0,0227 2,8 26,24 0,000381 -0,700 -0,677 2,31

8

70 42 0,0143 0,0238 2,4 26,25 0,000381 -0,600 -0,600 0,00

CAPÍTULO 3: Análisis de resultados

3.1 Parte A

La primera parte de la práctica pretendía el estudio y la demostración de las leyes

de reflexión y refracción.

La ley de reflexión dice que el ángulo de reflexión de la luz, medido respecto a la

normal de la línea interfaz entre los medios, es igual al ángulo de incidencia (ecuación 2.1-

1). Y la ley de refracción revela que la luz cambia su dirección y su velocidad cuando

atraviesa la frontera entre dos medios diferentes. Por lo que el ángulo 2 en el que se

refracta la luz va a depender de los índices de refracción, n1 y n2, de los dos medios que

atravieza. Esta ley se denomina ley de Snell y se resume en la ecuación 2.1-2.

9

Basándose en lo que se sabe hasta ahora del comportamiento de la luz, se espera

que al hacerla por medios diferentes, una parte de la luz se reflejará en una ángulo igual al

ángulo de incidencia y otra parte se refractará en un ángulo determiando por la ecuación

2.2-1. Para comprobar esto se hizo pasar un rayo de luz, desde su fuente, por el aire, hasta

chocar con un medio de acrílico. Por lo tanto, nuestros dos medios son: el aire, con un

índice de refracción de 1 y el acrílico, con un índice de refreacción que se va a calcular.

Los resultados de esta prueba se observan en el cuadro 2.2-1. En la figura 2.2-1 se

aprecia que la ley de relfexión se cumple para distintos ángulos de incidencia. El ángulo de

reflexión siempre es el mismo, por lo que existe una relación lineal con m = 1.

Por otro lado, se calculó el índice de refracción del acrílico, despejando n2 de la

ecuación 2.1-2 y tomando n1 como naire = 1. De esta forma :

nacrílico=sinθ1sinθ2

(3.1-1)

Con la fórmula anterior, y para distintos ángulos de incidencia, se completó el

cuadro 2.2-1 y se calculó un nacrílico promedio = 1.47. Para realizar un análisis más

exahustivo de la ley de Snell. Se observa que la ecuación (3.1-1) tiene la forma de una

recta y = mx, donde y = sin1 , x = sin2 y m = nacrílico. Se graficaron los valores respectivos y

se obtuvo la figura 2.2-2. La ecuación de la recta de ajuste es : y = 1.4768x. Por lo tanto, m

= 1.4768 = nacrílico, valor que coincide con el obtenido anteriormente.

Los valores de n en medios diferentes al aire y al vacío, son siempre mayores a 1.

Esto porque n es la razón de la velocidad de la luz al vacío y la velocidad que tiene la luz en

dicho medio. (Ecuación 2.1-3). En este caso, al hacer pasar el rayo de luz por un medio

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acrílico, más denso que el aire, es de esperar que se refracte, acercándose a la normal de

la frontera.

En estos fenómenos de la luz, sucede una situación particular. Al aumentar el

angulo de incidencia progresivamente, el ángulo de refracción tenderá a ser 90º, si se

sigue aumentando, el rayo refractado desaparece y solo queda el rayo reflejado, entonces

ocurre lo que se conoce como reflexión total interna. El ángulo de incidencia al que esto

sucede se denomina ángulo crítico y sucede al hacer 2 = 90º en la ecuación 2.1-2,

obteniendo la ecuación 2.1-4.

En la práctica se midió el ángulo crítico y a partir de éste se calculó el nacrílico,

obteniendo un valor de 1.44. Estos resultado se indican en el cuadro 2.2-2.

3.2 Parte B

Esta parte de la práctica se centraba en el estudio de un espejo esférico cóncavo.

Los espejos cóncavos son convergentes, lo que quiere decir que los rayos que

chocan contra él van a reflejarse y converger en un solo punto, llamado punto focal. El

punto focal se encuentra a una distancia f del espejo, ahí los rayos de luz convergen en lo

que se denomina una imagen (i) del objeto (o). Existe una relación matemática que

involucra estos elementos, denotada por la ecuación 2.1-6, esta se llama : ecuación de los

espejos y las lentes esféricas delgadas.

Otro efecto de los espejos es que pueden amplificar o reducir la imagen que

proyectan con respecto a la objeto. Este fenómeno se conoce como magnificación (m) del

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espejo y se define por la razón entre la altura del objeto y de la imagen (ecuación 2.1-7) o

la razón de la distancia del objeto y la de la imagen (2.1-8), medida con respecto al espejo.

Otra cualidad que se puede medir de los espejos es la potencia dióptrica (P), que

es el grado en que un espejo o lente converge o diverge. Se define con el inverso de la

distancia focal (ecuación 2.1-9).

En la práctica de laboratorio, se intentó calcular experimentalmente la distancia

focal de un espejo. Se tomaron las medidas de distancias de objeto y de imagen y se

utilizaron las ecuaciones 2.1-6 , 2.1-7, 2.1-8, 2.1-9 para los distintos cálculos. Los datos

obtenidos se observan en el cuadro 2.2-3.

A partir del cuadro 2.2-3, se puede calcular la distancia focal promedio, la cual

tiene una valor de 4.95cm, con una desviación estándar de 0.0995. Lo que indica que el

valor real de la distancia focal del espejo está en el rango de 4.95 0.0995 cm. La

distancia focal definida por el fabricante del espejo es de 5 cm. Las medidas tomadas

coinciden con la medida del fabricante.

3.3 Parte C

La última parte de la práctica buscaba comprobar que las mismas consideraciones

que la parte B, pero utilizando un lente cóncavo.

El lente cóncavo también cumple con las relaciones matemáticas de las ecuaciones

2.1-6 , 2.1-7, 2.1-8, 2.1-9. Se realizó el mismo procedimiento para tomar los datos, solo

sustituyendo el espejo por la lente convergente, y se realizaron los mismos cálculos. Esto

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para dos lentes con distancia focal diferente. Los datos y cálculo se muestran en los

cuadros 2.2-4 y 2.2-5.

Para la primera lente, la distancia focal del fabricante estaba indicada como 10cm.

Al promediar la distancia focal de las medidas tomadas se obtuvo un f promedio = 10.59cm

con una desviación estándar de 0.10, por lo que el valor promedio se transforma en 10.59

0.1 cm. Se calculó un error entre el valor de fabricante y el valor obtenido en el

laboratorio, de entre 4% y 7%. Es un error relativamente bajo considerando que muchas

medidas se toman a criterio de quien las está tomando, por lo que existen errores de

percepción humana.

Para la segunda lenta la distancia focal nominal era de 25cm. La distancia focal

promediada es de 26.55cm con una desviación estándar de 0.54cm, por lo que el

promedio es de 26.55 0.54cm. El error oscila entre 4% y 8%, también se considera un

error aceptable por el mismo argumento del estudio de la lente anterior.

CAPÍTULO 4: Conclusiones y recomendaciones

4.1 Conclusiones

1. Se comprobó la Ley de Reflexión que dice que el ángulo de incidencia es igual que

el ángulo de reflexión.

2. Se reafirmó la Ley de Refracción, la cual plantea que si la luz pasa de un medio

menos denso a uno más denso, el ángulo de incidencia será mayor que el ángulo

de refracción.

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3. Si se tiene el valor de un medio, el ángulo de reflexión y el ángulo de refracción, se

puede obtener el índice de refracción del otro medio, esto gracias a la Ley de

Snell.

4. Si se tiene el ángulo crítico y se utiliza la Ley de Snell, también se puede obtener o

aproximar el índice de refracción de un material.

5. Cambiar la distancia entre un objeto y un espejo esférico altera la distancia de la

imagen, el tamaño de la imagen y la distancia focal de la misma; aumentar la

distancia objeto aumenta la distancia focal.

6. En un lente, la distancia imagen es negativa y esta, como la distancia focal, varía

con la distancia objeto.

4.2 Recomendaciones

1. Como recomendación se puede agregar que sería provechoso que el haz de luz

fuera un poco más potente para que el ojo humano lo pueda percibir mejor, este

se veía poco y esto puede inducir errores.

2. Se puede decir que luz proveniente de ranuras de la ventana que no cubre la

cortina y luz proveniente de otras mesas, pueden ser fuentes de error, por lo tanto

sería recomendable realizar el experimento en un sitio más oscuro y con menos

presencia de otros compañeros que realizan el experimento.

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CAPÍTULO 5: Cuestionario

1. ¿Se cumple la Ley de Snell? ¿Qué factores de error pueden estar incidiendo?

Sí se cumple la Ley de Snell ya que por medio de la ecuación de esta ley se obtuvo el valor

del índice de refracción del acrílico con un margen de error muy bajo, como se puede ver

en la tabla 1 (los porcentajes de error son contra el valor teórico de n). De igual manera,

por medio del método de refracción total interna se obtuvo un valor de “n” con un error

muy bajo. La teoría establece que al ser n1 menor que n2, ϴ1 será mayor que ϴ2, y esto

ocurre, como se puede apreciar en la tabla 1.

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2. ¿Cuál de las dos determinaciones del índice de refracción (por promedio sobre

los datos o por ángulo crítico) le parece más precisa? Justifique.

El método de obtener bastantes ángulos es más preciso porque al obtener mayor cantidad

de datos se disminuye el error cuando se calcula el promedio. Por el método de ángulo

crítico solo se tomó una medición y esto puede generar mayor error. El índice de

refracción del acrílico es 1.49. En nuestro experimento, el índice más preciso fue 1.47, que

se realizó con el método de promedio de datos.

3. ¿Es preciso el método de determinación de las distancias focales a partir de la

ecuación (6)? ¿Qué factores de error pueden estar influyendo?

El método utilizado en este laboratorio para determinar distancias no es muy preciso ya

que los métodos de obtención de datos no fueron los más óptimos; es decir que hay

muchas fuentes de error. Una de las principales fuentes de error es el error humano a la

hora de medir tanto la distancia objeto como la distancia imagen. Otro factor pudo ser la

luz, esta práctica fue desarrollada en la oscuridad pero la luz proveniente de otras mesas

pudo haber alterado la imagen. Se pudieron presentar errores de los espejos, como

errores de fabricación y de uso; también es posible tener errores de los instrumentos de

medición (que no sean exactos).

BIBLIOGRAFÍA

Libros:

16

1. Resnick, R; Halliday, D; Krane K. “Física”, [Vol 2] cuarta edición, Editorial

Continental, México, 2002.

2. Wolfgang, Bauer & Gary D. Westfall. “Física para ingeniería y ciencias con física

moderna”, [Vol 2], primera edición, McGraw Hill, 2011.

3. Gutiérrez, Heidy & Ramírez, Arturo. “Manual de Prácticas”, Laboratorio de Física

General 3, Universidad de Costa Rica, 2013.