1.- ∬(x2

+ y2

)dxdy si D = {( x , y )∈ IR

2 /x2+ y2≤1}usando coordenadas cartesianas

SULUCIÓN

Usando coordenadas cartesianas, la región de integración es un circulo centrado en el origen uno por lo tanto.

D={(x , y )∈ IR2 /−1≤x≤1 ,−√1−x2≤ y≤√1−x2}

∬D( x2+ y2 )dxdy=∫−1

1

∫−√1− x2√1−x2 ( x2+ y2)dxdy

=∫−1

1( x2+ y

2

3)|

−√1− x2√1−x2 dx

=2∫−1

1( x2√1−x2+2

3√(1−x2 )3 )dx

¿2∫−1

1x2√1−x2dx+2

3∫−1

1 √(1−x2)dx

¿2∫−1

1x2√1−x2dx+2

3∫−1

1 √(1−x2)3 dx

Con la ayuda de una tabla de integrales obtenemos que:

∫−1

1x2√1−x2dx=(−x

4√1−x2+1

8( x√1−x2+arcsen)|

−1

1

¿18

(ar cos sen(1 )−ar cos en(−1)=18

(π2

+π2

)=π8

∫√(1−x2)2 dx=( x4

√(1−x2 )3+3x8

√(1−x2 )+38ar cos enx )|

−1

1

¿3 π8

Por lo tanto:

∫∫D( x2+ y2)dxdy=2 π

8+ 233 π8

=π2. . .. .. . .. .. . .. .RPTA

.

*ejercicio propuesto

∫∫Dxydxdy

Si D es la región acotada por y=√x , y=√3x−18 , y≥0 .Usando coordenadas cartesianas.

RE

SPUESTA:

1852

2.- Halle el volumen del solido en el primer octante que está limitado por el cilindro

x2+ y2=2 y , el cono z=√ x2+ y2 y el plano xy .

cilindro :x2+ y2=2 yr2=2 rsenθr=2 senθ

cono .

z=√ x2+ y2z=r

La región S esta descrita por.

0≤z≤r , 0≤r≤2 senθ , 0≤θ≤π2

Así se tiene.

V=∭ dV=∫D∫∫u (rθ )

v (rθ )r dz dr dθ=∫0

π /2∫02 senθ∫0

rr dz dr dθ

V=∫0π /2∫0

2 senθr2 dr dθ=∫0

2 senθ r3

3|r=0π /2 dθ=8

3∫0π /2sen3θ dθ

V=83 [−cosθ+cos3θ3 ]|π /2

0

=169. .. .. . .. .. . .. .. . .. .RPTA

*PROPUESTO:

Un sólido está limitado por el cilindro x2+z2=a2 y los planos y=0 , z=0 , x=0 , y=x

………………………RPTA

a3

3

3.- Calcular el volumen del sólido S limitado por el plano OXY, el cilindro x2+ y2=2 x ,

y el cono z=√ x2+ y2 .

La proyección del cilindro sobre el plano OXY es la circunferencia ( x−1 )2+ y2=1 ,de

centro (1,0) y radio 1.efectuamos un cambio a coordenadas cilíndricas y usamos la

simetría del recinto respecto al plano y=0 junto con la paridad del integrando para

obtener el volumen pedido, que viene dado por la integral

V=∫∫∫Sdxdydz=∫∫∫rdrd θdz=2∫o

π2 dθ∫0

π2 rdr∫0

rdz163

[ senθ− sen3

3]o

π2=32

9. .. . .. .. .. . .. .. . .RPTA

*PROPUESTO

∫∫∫Se(x

2+ y 2+ z2)dxdydz RPTA:=

4 π3

(e−1)

4.-. Se considera el sólido V de densidad constante µ, limitado por la superficie

esférica de radio

R. Calcular los momentos de inercia:

(i) Respecto a su centro.

(ii) Respecto a un plano que pase por su centro.

(iii) Respecto a un diámetro.

RESOLUCIÓN. Situamos el origen de coordenadas en el centro de la esfera.

(i) llamando v* ala parte de v que está en el primer octante,

Io=μ∫∫∫v(x2+ y2+z )dxdydz=8μ∫∫∫v ( x2+ y2+z2)dxdydz

Hacemos cambio de variables a coordenadas esféricas:

Io=8 μ∫0π

dθ∫ senϑdϑ∫0r /2p4

Entonces por lo tanto es:Io=1

2( Ix+ Iy+ Iz )

Nuevamente por simetría, los momentos de inercia respecto a todos los diámetros

son iguales. Si L es cualquier diámetro, entonces Ix = Iy = Iz = IL, así que:

Io=32Io=8 rR

15μ=32Il . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. RPTA

*EJERCICIO PROPUESTO

CALCULAR LA INTEGRAL

∫∫∬( x2+ y2 )dxdydx donde es el recinto V esta limitado por superficies

x2+ y2=2 zz=2

16 π3.. .. . .. .. . .. .. . .. .RPTA