eje 1 conjunto numerico mt

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA

SEMINARIO UNIVERSITARIO

Coordinadora de Matemática: Ing. DURE, DIANA

EJE TEMATICO I:

CONJUNTOS NUMÉRICOS [Contenidos: Conjunto de números naturales. Operaciones. Representación en la recta numérica. Conjunto de números enteros. Valor absoluto. Operaciones. Casos particulares. Representación gráfica. Conjunto de los números racionales. Número decimal. Operaciones. Representación gráfica. Números irracionales. Conjunto de los números reales. Orden de los números reales. Intervalos. Raíz enésima de un número real. Algunas propiedades de la radicación. Racionalización de denominadores. ANEXOS: ELEMENTOS DE GEOMETRIA ]

El buen Dios creó los números naturales: todo lo demás es obra del hombre.

Leopold Kronecker

COORDINADORA MODULO MATEMATICA

ESP.ING. DURE, DIANA ANALIA

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA MODULO DE

MATEMATICA


Coordinadora: Ing. DURE,DIANA ANALIA

MODULO MATEMÁTICA- Página 2

CONJUNTOS NUMÉRICOS Un desafío personal

Se solicita ordenar el resultado de cada una de las siguientes operaciones, de manera de que el resultado obtenido se coloque en el casillero que le corresponda. Al terminar de ordenar las operaciones, en la cuadrícula deberán quedar en secuencia correcta los nueve dígitos naturales, acompañados de la letra que identifica a la operación que se resolvió.

3

2+31

de resulta que natural Número a)

b) 51

de Inverso

c) ( ) =+− 3.42

d) =

+5

6.

6

1

3

7

e) ( ) =+− 1214:23

f) ( )=+−− 244 305000810

g) La mitad de 96 menos el doble de 12 . Ese resultado dividido 3. h) El cuadrado de 9 menos el triple de 20. A ese resultado le resto 1 y luego lo divido por 10.

i) ( ) ( )( )( ) =−+−−− 1142.45:20 3

Los conjuntos cuyos elementos son los números se de nominan “conjuntos numéricos”. En Matemática se definen varios conjuntos numéricos, cada uno de los cuales tiene propiedades específicas que permiten efectuar operaciones entre los mismos. N: Números Naturales

Z: Números Enteros

Q: Números Racionales

I: Números Irracionales

R: Números Reales

C: Números Complejos.

SITUACIÓN:

CUADRO CONCEPTUAL

Complejos

sImaginario

(R) Reales

(I) esIrracional

(Q) Racionales

iosFraccionar

(Z) Enteros

negativos

(N Naturales 0

(N)Naturales0

+

+

+

+

+)



MATEMATICA




CONSIDERACIONES BÁSICAS DE ALGUNOS CONJUNTOS NUMÉRI COS

1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N):

Una forma clara de expresar cuáles son los números naturales es: son los números que se

utilizan para contar . Por ello se considera que el cero no forma parte de ese conjunto ya que comenzamos a contar con el número 1.

Entre dos números naturales no consecutivos, existe al menos un conjunto finito de números, por eso se dice que N en un conjunto discreto .

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Puede utilizarse una recta y sobre ella se considera un punto cualquiera como el origen "o", luego utilizamos un segmento cualquiera como unidad. Al trasladar cada segmento hacia la derecha, hacemos corresponder a cada división un número natural. Queda así conformada la gráfica:

La primera restricción en el uso del conjunto N aparece en la resta, cuando el minuendo es menor que el sustraendo. Para poder definir esta operación, necesitamos de los números negativos, donde cada elemento es el opuesto de cada número natural "n" y se lo denota "-n". Las operaciones que son válidas en el conjunto de números naturales son:

OPERACIÓN

NOTACIÓN

ELEMENTOS

SUMA

cba =+

ba y son los sumandos y c el resultado

RESTA

bacba >=− con ,

a es el minuendo y b es el sustraendo , c es el resultado

MULTIPLICACIÓN

cba = .

ba y son los factores y c el producto

DIVISIÓN

0con , : ≠= bcba

Debe ser a múltiplo de b .El dividendo es a , el divisor

es b y c es el cociente.

POTENCIACIÓN

ban =

na y no deben ser simultáneamente nulos. La base es

a , b es el exponente y c es la potencia.

RADICACIÓN

abba nn == si ,

a es el radicando, b es la raíz y n es el índice que N∈ .



MATEMATICA




Potencia Enésima de un Número: Llamamos potencia enésima de un número natural “a” al producto de “n” factores iguales a “a”.

ban =

veces)3 misma sípor 2 base la multiplica (se 22223 "" ..=

Raíz Enésima de un Número:

Llamamos raíz enésima de un número natural “a” al número que elevado a la enésima potencia

da por resultado el número “a”:

ran =

8 2 porque 2 8 33 ==

2. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z):

Si al conjunto de los números naturales le agregamos el cero y el opuesto de cada número

obtenemos el conjunto de los números enteros. El Conjunto de los números enteros es un conjunto infinito y totalmente ordenado por la relación

“≤”, todo número entero tiene un sucesor y un antecesor, no tiene primero ni último elemento. Entre dos números enteros no consecutivos, existe al menos un conjunto finito de números

enteros, por eso se dice que Z es un conjunto discreto .

Números de igual signo: se suman los valores absolutos y el resultado lleva el mismo signo .

Ejemplo: 19118

853

-) (-) (-

) () (

=++=+++

Números de distinto signo : se restan los valores absolutos y el resultado lleva el mismo

signo del mayor.

Ejemplo : 7103

275

+=++=++

) () (-

-) (-) (

base

exponente

potencia

Ejemplo

raíz

símbolo radical

índice de la raíz

radicando

Para Recordar

Ejemplo



MATEMATICA




En el caso de la multiplicación y la división , debemos recordar que si dos números enteros tienen el mismo signo, tanto su producto como su cociente serán positivos. En cambio si tienen signos opuestos, su producto y su cociente son negativos. Esta regla también se simboliza de la siguiente manera:

La división estará definida siempre que el dividendo sea múltiplo del divisor. La potenciación es una multiplicación abreviada, por lo tanto el signo del resultado depende del

signo de la base y de la paridad del exponente: Analizaremos en este conjunto numérico únicamente los casos con exponente natural. Casos particulares de la potenciación:

Si el exponente es cero y la base es distinta de cero, la potencia es igual a 1 10 =→ a

En el producto de potencias de igual base, se suman los exponentes qpqp aaa +=→ .

En la división de potencias de igual base, se restan los exponentes qpqp aaa −=→ :

Si la base es una potencia, se multiplican los exponentes ( ) qpqp aa .=→

REPRESENTACIÓN GRÁFICA Se puede ampliar la recta de representación anterior, incluyendo ahora el cero y los números enteros negativos:

Si el exponente es un número par, la potencia es positiva. Si el exponente es un número impar, la potencia lleva igual signo que la base:

signo) igual entonces(impar

positivo) entonces(par

I I

PP

⇒

⇒

Es válida también para la división

+==+=+

+=++

-.--.- --.

.

De esto se deduce que: * La suma de dos números negativos será un número negativo. * La resta ba − con ba < será un número negativo.



MATEMATICA




3. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (Q): En el conjunto Z, las divisiones no siempre son posibles, si el dividendo es múltiplo del divisor, el resultado es un entero, pero, si el dividendo no es múltiplo del divisor, no pueden resolverse. Para solucionar este problema se crea un nuevo conjunto, llamado números racionales , denotado con el símbolo Q, que comprende a los números enteros y a los números fraccionarios.

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como una razón b

a , donde

ba y son enteros y 0≠b . Al número a se lo conoce como numerador y al número b como

denominador. En símbolos:

≠∧∈∧∈= 0/ bzbza

b

aQ

EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL: Todo número racional (fracciones) pueden expresarse como números decimales, dividiendo el numerador por el denominador ( a por b).

Las situaciones que pueden presentarse son:

545

225 =

Cuando el numerador es múltiplo del denominador, se obtiene un numero entero.

75,04

3 =

Cuando se puede “terminar” la división llegando a un resto cero, se dice que la expresión es un decimal exacto.

.....6,03

2 −=−

Cuando se no se puede “terminar” la división y el resto se repite, se dice que la expresión es un decimal periódico .

Transformación de una expresión decimal en una expresión fraccionaria

Expresiones decimales exactas.

}

{

original número el tengadecimales cifras como ceros

tantosde seguido unoUn

coma lasin decimal número El

1000

1275275,1 =

Expresiones periódicas puras

} }

{ 99

571

99

5 57676,5

periódica decimalcifra cadapor 9Un

entera Partecoma lasin decimal Número

=−=

Expresiones periódicas mixtas

}

{.

990

7877

990

797956569,7

periódica. nodecimal cifra cadapor ceroUn

. periódica cifra cadapor 9Un

decimal)y (enteraperódica no Parte

coma lasin nùmero El

=−=

876

OPERACIONES EN Q: Algunas operaciones válidas en el conjunto de los números racionales son:

SUMA Y RESTA:

De Igual Denominador: Es otro número racional de igual denominador y cuyo numerador es la suma o resta de los respectivos numeradores.

De Distinto Denominador: Es otro número racional que resulta de operar con las fracciones previamente reducidas a común denominador.

Para recordar



MATEMATICA




REPRESENTACIÓN GRÁFICA Los números racionales se pueden representar construyendo las fracciones sobre la recta que hemos utilizado para representar al conjunto numérico Z. Esto se hace subdividiendo geométricamente cada una de las unidades de la recta como indica el denominador y tomando luego tantas subdivisiones como indica el numerador.

Construcción de las fracciones 6,03

25,0

2

1=−=− y

Podemos ver, en la construcción geométrica anterior, que dados dos puntos de una recta (representativa de dos números racionales) entre ellos se pueden realizar aún infinitas divisiones. Esto es lo mismo que decir que entre dos números racionales siempre existen” infinitos racionales”; cosa que no ocurría en Z . Por gozar de esta propiedad, se dice que Q es un “conjunto denso” . Podría pensarse entonces que toda la recta está cubierta, esto es, que cada punto de ella es grafica de algún número racional y viceversa. Sin embargo esto no es así, por lo que a continuación veremos.

Números Irracionales

Estos números no pueden expresarse como cociente entre dos números enteros 0≠b,b

a .

Son números tales como etc...,....,....,. 141593732013414212 === π , los cuales tienen

infinitas cifras decimales no periódicas. Pueden representarse gráficamente en la recta de la misma forma que todos los anteriores. Así tenemos que, a pesar de que los racionales forman un conjunto denso, no todos los puntos de la recta corresponden a algún número racional. En efecto, entre ellos se intercalan los irracionales. Los racionales y los irracionales forman un nuevo conjunto numérico llamado números Reales .

En La figura pueden observar una construcción geométrica mediante La cual, aplicando el teorema de

Pitágoras, se han señalado en La recta numérica Los puntos correspondientes a .32 y

MULTIPLICACIÓN:

El resultado es otro número racional cuyo signo se obtiene de la aplicación de la regla de los signos y su valor absoluto es resultado de multiplicar los respectivos numeradores y denominadores. DIVISIÓN: El resultado es otro número racional cuyo signo se obtiene de la aplicación de la regla de los signos y su valor absoluto es resultado de multiplicar la primer fracción por el inverso de la segunda fracción.

Ejemplo

Recordemos



MATEMATICA




4. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R):

Lo primero que diremos respecto al conjunto de los números reales, denotado R, es que existe

una correspondencia completa entre estos y la recta. Es decir, que cada punto de la misma es gráfica de algún número real y cada número real es la coordenada de algún punto de la recta.

Esta correspondencia se denomina biunívoca y constituye el principio fundamental de la Geometría Analítica en la cual los puntos geométricos son sustituidos por números y efectuando operaciones algebraicas con ellos podemos interpretar geométricamente los resultados.

El siguiente cuadro muestra en forma esquemática la sucesiva ampliación que hemos hecho en el campo de los números.

Ejemplo



MATEMATICA




ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES:

En el conjunto de los números reales se definen dos relaciones de orden:

ALGUNAS PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN:

1. Distributividad respecto de la multiplicación:

=n ba. .n a n b

=3 38x .83 =3 3x 2x

2. Distributividad respecto de la división:

=n ba : :n a n b

=81

100 =

81

100

9

10

3. Si “n” es impar y Ra∈ ⇒ la raíz Rr ∈""

Si “n” es par y Ra∈ ⇒≥∧ 0a la raíz Rr ∈""

Dada la expresión ran =

2325 = 283 −=− 00 =

3814 = R 4 ∉−

4. Cuando el exponente es fraccionario puede convertirse en radical aplicando la propiedad

n

b

a = n ba

3 23

2

aa =

5. Raíz de raíz o raíces sucesivas: Si se extrae de índice p a otra raíz de índice n se obtiene una nueva

raíz cuyo incide es el producto p.n

npp n xx .=

Si “n” es par y R r 0 a ∉⇒<∧∈ Ra

a < b

a > b

Dados Ra∈ y Rb∈ , se dice que a es menor que b si el resultado de a-b da un número negativo

Dados Ra∈ y Rb∈ , se dice que a es mayor que b si el resultado de a-b da un número positivo

Para recordar

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplos

Ejemplo



MATEMATICA




153.55 3 252525 ==

6. Simplificación de radicales: El valor de la raíz no se modifica si el índice y el exponente se simplifican

o dividen por un mismo número natural. En símbolos n

p

n

qp q

np nqp q

aa

aa

=

= . .

con 0>a

35

15

5

515 5 222 ==

Es correcto simplificar índices con exponentes, sólo si la base es positiva :

=

5

15

4

1 =

3

4

1

64

1

7. Extracción de factores fuera del radical: Valiéndonos de las propiedades distributiva de la radicación

con respecto a la multiplicación y la división ,podemos , en algunos casos extraer factores fuera del radical.

3 223 23 1

3 23 13 33 33 33 3

3 2133333 2763 27

422

....2.2

22264

xyxy.x.x.x.

yxxx

yxxxyxyx

==

==

===

OPERACIONES CON RADICALES: 1. SUMA ALGEBRAICA

El concepto de radicales semejantes permite efectuar sumas entre términos que los contienen:

222.2)631.(226232 ==−+=−+

En el caso que aparezcan distintos radicales, es posible operar

convenientemente y obtener radicales semejantes, para luego efectuar la suma.

Con la calculadora: Ingresar la base “ a ” , luego el símbolo ^ , a continuación la fracción que representa al exponente dentro de un paréntesis y finalmente el signo igual :

=

∧ c

b a

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Para Recordar

Ejemplo RADICALES SEMEJANTES: Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y el mismo radical por ejemplo:

27 23 y

Son expresiones que contienen radicales semejantes con coeficientes distintos.



MATEMATICA




511)2152(55251552

5255.352525535.2

52535.2521253 2022

32

−=+−=+−=

=+−=+−=

=+−=+−

En el caso de radicales que no son semejantes , no se podrán reducir a una única expresión.

( ) 43421indicada queda

2253225356532256)

indicada. queda 2256)

−=−−=−−

→−

b

a

2. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN En el producto y en el cociente de radicales con el mismo índice se tiene en cuenta la

propiedad distributiva.

En símbolos: nn

nnnn

b

a

b

ababa == y ..

Para poder efectuar la multiplicación y división de radicales con distintos índice , primero se debe transformar en radicales equivalentes ( del mismo índice) .para ello se utiliza el múltiplo común menor entre los índices y se aplican las propiedades ya vistas.

15 3515 315 553

15 33.5 3

15 55.3 5

53

7.27.27.2

77

22:equiv.son radicales sus

,15 es indices los de m.c.m. el ;7.2

==

=

=y

La división se realiza en forma similar. Problemas de Geometría: El siguiente dibujo representa un cubo de 1 cm de arista. ¿Cuál es la longitud del segmento que une un vértice con el vértice opuesto, tal como se muestra en el dibujo? Resolución: La base del cubo es un cuadrado de 1 cm de lado. Por el Teorema de

Pitágoras su diagonal mide 2 Queda entonces determinado un nuevo triángulo rectángulo formado por la diagonal de la base, una arista y el segmento del cual se debe determinar la longitud:

Por el teorema de Pitágoras ( ) 31212 222 =+=+=x

Por lo tanto, la longitud del segmento 332 =→= xx

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo



MATEMATICA




RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

Se utiliza para obtener expresiones equivalentes a la dada pero sin radicales en el denominador, esto permite operar con denominadores racionales. Este proceso de transformación se llama racionalización de denominadores. Nos detendremos en dos casos: 1. Si el denominador tiene un sólo término con u n radical de índice 2. En este caso se multiplica tanto el numerador como el denominador por ese radical y luego se realizan todas las operaciones y simplificaciones necesarias para obtener un denominador racional.

Racionalizar 18

54

Podemos directamente multiplicar numerador y denominador por 18 :

( ) 9

902

18

90.4

18

18.5.4

18

18.

18

54

18

542

====

De ser posible, extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.

3

10.2

9

103.2

9

10.92

9

902 ===

Otra forma: Antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan del radical del denominador, obteniendo así:

2.3

54

3.2

54

18

542

==

Ahora basta multiplicar numerador y denominador por 2 para eliminar la raíz del denominador:

3

102

2.3

104

2.23

2.54

2.3

54 ===

Como vemos se llega al mismo resultado. 2. Si el denominador tiene dos términos y al menos uno es un radical de índice 2. En este caso se multiplican denominador y numerador por la expresión conjugada del denominador y se realizan las operaciones y simplificaciones necesarias para obtener un denominador racional.

El conjugado de )( ba + es la expresión ( ba − ) y viceversa

Ejemplo

Para poder resolver los problemas se deben estudiar las propiedades generales de los cuadriláteros en la Guía de contenidos transversales de Geometría.

Recordemos



MATEMATICA




Racionalizar:

a) 75

4

+

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )9

75

18

75.4

725

75.4

75

75.4

75

75*

.75

4

75

4

cuadrados dediferencia una Queda

22

mismo elpor dividey multiplicasu negativo es conjugado El

−=−=−−=

−

−=−−

+=

+43421444 3444 21

b) 25

24

−+

( )( )( ) ( ) ( ) 3

2102454

25

2102454

25

25.

25

)2(4

25

2422

suma una es conjugado El

multiplica Se

+++=−

+++=++

−+=

−+

4444 34444 21

4444 84444 76 m. a m.

� VALOR ABSOLUTO E INTERVALOS REALES

Valor absoluto o Módulo: Un concepto importante en matemática es el de “valor absoluto“; este permite expresar e

interpretar cuestiones numéricas prescindiendo de los signos.

El valor absoluto de x lo denotamos como x .

Su definición en lenguaje algebraico es

<−≥

=∈∀0 si

0 si :

xx

xxxRx

Así por ejemplo: 77 = 55 =−

Las operaciones definidas en N se conservan en Z. Sin embargo deberemos considerar en los resultados el hecho de trabajar con números negativos.

En caso que un número sea negativo, nos referiremos a él “como menor que cero” ( 0<a ); mientras que si es positivo, diremos que es “mayor que cero “ ( 0>a ).

GENERALIZANDO: ∀ número x , su valor absoluto o módulo se expresa x

Al Valor absoluto o módulo de un número real , pensando geométricamente , es su distancia desde

el número hasta el cero en la recta numérica.

Ejemplos

Ejemplos



MATEMATICA




Intervalos en el conjunto de los números reales: A la recta en la que se representan los números reales la llamamos recta real . Si ba y son

dos números reales con ba ≤ , llamamos intervalo a los siguientes subconjuntos de números reales:

También son intervalos los subconjuntos :

Existen distintas formas de representar un conjunto de números reales comprendidos entre dos reales cualesquiera. Para ello trabajaremos con intervalos reales.

Situación

(lenguaje coloquial) Expresión simbólica

Escritura en forma de intervalo

Representación en la recta

Todos los números reales mayores que 2 y menores que 5

52

52

<<∨

<∧>

x

xx

( )5;2

Intervalo abierto

Todos los números reales mayores o iguales que 2 y menores que 5

52

52

<≤∨

<∧≥

x

xx

[ )5;2

Intervalo semi abierto a izquierda

Todos los números reales mayores que 2 y menores o iguales que 5

52

52

≤<∨

≤∧>

x

xx

( ]5;2

Intervalo semi abierto a derecha

Todos los números reales mayores o iguales que 2 y menores o iguales que 5

52

52

≤≤∨

≤∧≥

x

xx

[ ]5;2

Intervalo cerrado

₪



MATEMATICA




CONTENIDOS TRANSVERSALES:

FORMULAS Y ECUACIONES DE LA

GEOMETRÍA ELEMENTAL. [Contenidos: Triángulos .Propiedades. Clasificación de triángulo. Triangulo rectángulo. Semejanza de triángulos. Cuadriláteros: Clasificación. Perímetro y área. Polígonos. Características principales .Propiedades. Circunferencia y Círculo. Perímetro y área. Cuerpos: prismas , pirámides y cuerpos circulares. Problemas.]

Las abejas..., en virtud de una cierta intuición geométrica..., saben que el hexágono es

mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo

gasto de material.

Papus de Alejandría



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GEOMETRIA

El estudio de las figuras geométricas y las relaciones entre sus lados y sus ángulos permite

plantear y resolver problemas de ingeniería, arquitectura, geografía, y establecer relaciones con el arte y otros campos del saber.

TRIÁNGULO

Es un polígono cerrado de tres lados. Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices.

En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por dos lados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).

• Dos triángulos son iguales: • cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes. • cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido congruente. • cuando tienen los tres lados iguales.

• En todo triángulo, al lado mayor se le opone el mayor ángulo. • Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales. • En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

PROPIEDADES

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a 180° °=++ 180ˆˆˆ CBA

En todo triángulo, la suma de los ángulos exteriores es igual a 360° °=++ 360ˆˆˆ γβα .

En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores

no adyacentes.

Para pensarlo



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C L A S I F I C A C I Ó N D E L O S T R I Á N G U L O S Según sus lados: • Equiláteros (sus tres lados

iguales) • Isósceles (dos lados iguales ) • Escaleno (tres lados desiguales) Según sus ángulos: • Rectángulos (un ángulo recto) • Acutángulos (tres ángulos

agudos) • Obtusángulos (un ángulo obtuso)

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Un triángulo es rectángulo cuando tiene un ángulo recto.

Propiedades que se cumplen:

* En un triángulo rectángulo la medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.

mb

ba = , también se cumple:

nc

ca =

* La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que ella determina sobre la

hipotenusa. m.nhnh

hm 2 =⇒=

La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hip otenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

222 cba += donde “ a ” es la medida de la hipotenusa.

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, es el lado opuesto al ángulo recto . Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.



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CUADRILÁTEROS

Un cuadrilátero es un polígono cerrado que tiene cuatro lados y dos diagonales. Los lados consecutivos son los que tienen un extremo en común y los opuestos , los que no

tienen puntos comunes. Los ángulos opuestos son los que no tienen un lado en común.

Propiedades generales de los cuadriláteros

Según la disposición de los lados y los ángulos que forman el cuadrilátero, se obtienen distintos tipos de cuadriláteros.

Figura Propiedades Básicas

Fórmulas

El Cuadrado:

• Todos sus lados son iguales. • Sus 4 ángulos interiores son

rectos (miden 90º). • Sus diagonales son iguales y

se cruzan en un punto que las divide en partes iguales.

Perímetro LP .4=

Área :A= 2L

Diagonal: D= L.2

El Paralelog ramo:

• Sus lados Opuestos son

iguales. • Sus Ángulos interiores

opuestos son iguales. • Sus diagonales son distintas

pero se cortan en un punto que las divide en partes iguales.

Perímetro : P= 2. L + 2. B Área ; A= B.H

PROPIEDADES La suma de los ángulos interiores es 360º y también la suma de los

ángulos exteriores es igual a 360°

°=+++∧°=+++ 360´´´´ 360 δγβαδγβα



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El Rectángulo:

• Sus lados Opuestos son

iguales. • Sus 4 ángulos interiores son

rectos • Sus diagonales son iguales y


Perímetro: P = 2. H + 2. B Área : A= B. H Diagonal:

D = 22 HB +

Nota: El cuadrado es un caso especial de un rectángulo que tiene altura y base iguales entre sí, por lo tanto en los cuadrados también se cumplen las propiedades de los rectángulos. El Trapecio Isósceles:

• Sus lados laterales son

iguales. • Sus 2 ángulos interiores

obtusos son iguales. Sus 2 ángulos interiores agudos son iguales.

• Sus diagonales son iguales.

Perímetro: P= B + b + 2. L

Área :( )

2

.HbBA

+=

El Rombo

• Sus 4 lados son iguales. • Sus ángulos interiores

opuestos son iguales. • Sus diagonales son distintas y


• Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.

Perímetro : P= 4. L

Área: 2

.dDA =

Caso especial del rombo: Puede considerarse al cuadrado como un caso especial del rombo ya que es un rombo con los 4 ángulos interiores iguales y que miden 90º. Los rombos cumplen todas las propiedades de los paralelogramos. El Romboide:

• Hay 2 pares de lados

consecutivos iguales. • Sólo 2 de sus ángulos

interiores son iguales. • Sus diagonales son distintas y

se cruzan en un punto que divide a una de ellas en partes distintas y a la otra en partes iguales

Perímetro: P = 2. L + 2.l

Área : 2

.dDA =



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POLÍGONOS

Definición y elementos de un polígono Un polígono es la región del plano limitado por tres o más rectas que se cortan de dos en dos.

Los polígonos se clasifican en cóncavos y convexos.

Un polígono es convexo cuando cualquier par de puntos pertenecientes al polígono determinan siempre un segmento incluido en el mismo.

Un polígono es cóncavo cuando existe por lo menos un par de puntos pertenecientes al polígono que determinan un segmento no incluido en el mismo.

Estudiaremos polígonos convexos : Polígonos regulares: Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados y ángulos interiores iguales. Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia

Elementos de un polígono: Vértices: a, b, c, d, e, f

Ángulos interiores: faefdecdbcab ,,,,,

Ángulos exteriores: γπελβα ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

Cada ángulo interior tiene su exterior correspondiente. Las diagonales de un polígono son los segmentos cuyos extremos son dos vértices no consecutivos.



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Nombre de los polígonos según el número de lados:

Números de lados Nombres Número de lados Nombres Número de lados Nombres

3 Triángulo 7 Heptágono 11 Undecágono

4 Cuadrilátero 8 Octágono 12 Dodecágono

5 Pentágono 9 Eneágono 15 Pentadecágono

6 Hexágono 10 Decágono 20 Icoságono

Propiedades de los polígonos

Propiedad de los ángulos interiores En todo polígono de n lados, la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°.(n —2). Cada ángulo interior es suplementario del exterior correspondiente.

Propiedad de los ángulos exteriores En todo polígono la suma de los ángulos exteriores es igual a 360º. Cada ángulo exterior es suplementario del interior correspondiente.

Propiedades de las diagonales

En todo polígono de n lados: se pueden trazar 3−n diagonales por cada vértice

El número total de diagonales es igual a 2

)3( −nn

Sea el pentágono abcde.

La suma de los ángulos interiores: s.a.i.= 180°.(5 —2)= 180° 3= 540° La suma de los ángulos exteriores s.a.e. = 360° Por cada vértice se pueden trazar: 5 — 3 = 2 diagonales.

El número total de diagonales es: 2

)35(5 − = 5 diagonales

Polígonos regulares

Los polígonos regulares tienen propiedades particulares.

El valor de cada uno de sus ángulos interiores es:

α̂2180 =−°=° n

)(n

lados de Ninteriores ángulos los de Suma

El valor de cada uno de sus ángulos exteriores es:

β̂360 =°=° nlados de N

exteriores ángulos los de Suma

Ejemplo



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Los polígonos regulares pueden inscribirse en una circunferencia.

Se denomina apotema (Ap) al segmento perpendicular a cada lado del polígono, cuyos extremos son un punto del lado y el centro de la circunferencia.

Superficie de un polígono regular: “perímetro por apotema sobre dos” :

2

.. pAln

donde n es el número de lados, l es la longitud de cada lado y Ap es la apotema.

Aplicando el teorema de Pitágoras:

222

2

+= lAr p porque el radio de la circunferencia es la

hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma.

Aplicando propiedades:

a) Calcular el valor de cada ángulo interior y exterior de un octógono regular.

Suma de los ángulos interiores : °=°=−°=−°= 1358

1080

8

)28(1802180ˆn

)(nα

°=°=°= 458

360360ˆn

β

Respuesta: El ángulo interior tiene una amplitud de 135° y el exterior de 45

b) Calcular la cantidad de lados que tiene un polígono regular ,sabiendo que la suma de sus ángulos interiores es 900°

7

72552

180:9002

900)2.(180

==+=⇒=−

°=−°=−°

n

nn

n

n

Respuesta: El polígono es un heptágono regular

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO.

La circunferencia es el conjunto de puntos de un plano que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro. El segmento que tiene por extremos al centro y a cualquier punto de la circunferencia es el radio. El círculo es el conjunto de puntos del plano que están a una distancia igual o menor que el radio.

Ejercicios

Longitud de la circunferencia rradiodiámetro ..2..2. πππ ==

Superficie del círculo : 2... rradio ππ =



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Posiciones relativas de una recta y una circunferencia Una recta es exterior a una circunferencia si no tienen puntos en común (recta C). Una recta es tangente a una circunferencia si tienen un punto en común (recta B). Una recta es secante a una circunferencia si tienen dos puntos en común (recta A).

Elementos de la circunferencia

Cuerda ( ab ) : segmento que tiene por extremos a dos puntos de la circunferencia .La mayor de las cuerdas es la que pasa por el centro, su longitud es igual a dos radios, y se llama diámetro.

Arco ( ab ): porción de circunferencia determinada por dos puntos de la misma .

Ángulo central ( α̂ ): ángulo que tiene por vértice al centro de la circunferencia.

°

=360

ˆ..2 απ rarco un de Longitud

CUERPOS

Los cuerpos poliedros son aquellos cuyas caras son polígonos y se clasifican en prismas y pirámides.

Los cuerpos que tienen algunas caras no planas se llaman cuerpos redondos o circulares.



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ALGUNAS FÓRMULAS DE CUERPOS

FIGURA FORMULAS

Prismas

Área lateral HPb .=

Área total : bb AHP 2. +=

Volumen: HAb .=

Pirámides

Área lateral 2

. Lb AP=

Área total bLb A

AP+=

2

.

Volumen: 3

.HAb=

Esfera

Área total 2..4 Rπ=

Volumen: 3

..4 3Rπ=

Cono

Área lateral GR..π=

Área total 2... RGR ππ +=

Volumen: 3

.. 2RH π=

Cilindro

Área lateral HR...2π=

Área total 2..2...2 RHR ππ +=



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Las formulas anteriores surgen de los siguientes cálculos:

Prismas Pirámides

Área lateral Perímetro de la base x Altura Perímetro de la base x Apotema lateral

Área total Area lateral +2 x Area base Área lateral + Área de la base

Volumen Área de la base x altura (Área de la base x Altura) /3

Volumen: 2.. RH π=

Para recordar

eje 1 conjunto numerico mt

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