ECUACIN CUADRTICA Introduccin El anlisis de la ecuacin cuadrtica es la continuacin del estudio de la ecuacin lineal con una incgnita, tratada con anterioridad. Encontrar la solucin de una ecuacin cuadrtica es ms difcil de abordar y se necesitan nuevos mtodos, as, como el conocimiento previo de lgebra elemental en especial de expresiones algebraicas. En analoga con la ecuacin lineal que genera una recta en el plano cartesiano, la ecuacin cuadrtica genera el objeto geomtrico llamado Parbola, cuyo estudio se aborda con el nombre de Funcin Cuadrtica y Secciones Cnicas. Marco terico Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son nmeros reales. Ejemplo: 9x2 + 6x + 10 3x2 - 9x -6x 2 + 10 a = 9, b = 6, c = 10 a = 3, b = -9, c = 0 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las races ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadrticas: 1. Factorizacin Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Frmula Cuadrtica Factorizacin Simple: La factorizacin simple consiste en convertir la ecuacin cuadrtica en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorizacin simple de la ecuacin x2 + 2x 8 = 0 a=1 b=2 c=-8

(x

) (x

)=0

[x x = x2]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x 2) = 0

4 y 2

4 + -2 = 2

4 -2 = -8 x+4=0 x+4=0 x=04 x = -4 x2=0 x2=0 x=0+2 x=2

Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado: En este mtodo, la ecuacin tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuacin 4x2 + 12x 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4x2 + 12x 8 = 0 4 4 4 4 x2 + 3x 2 = 0 Ahora, a= 1. Ejemplo: x2 + 2x 8 = 0 x2 + 2x = 8 [Ya est en su forma donde a = 1.] [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1

=8+1

x2 + 2x + 1 = 9 ( ) ( ) =9 Hay que factorizar. Nota: Siempre ser un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) =

x+1= x = -1 3

3 [Separar las dos soluciones.] x = -1 3 x = -4

x = -1 + 3 x=2

Frmula Cuadrtica: Este mtodo es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuacin cuadrtica a la siguiente frmula:

Ejemplo: X2 + 2x 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 2

6 x = -2 - 6 2 x = -8 2 x=-4

X = -2 + 6 2 x=4 2 x=2

ecuacin cuadrtica Es un tipo de ecuacin particular en la cual la variable o incgnita est elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sera: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuacin no es posible despejar fcilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones. Soluciones de una ecuacin cuadrtica: Frmula resolvente El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuacin general de la ecuacin de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no ser cubierto en este documento. La solucin de una ecuacin de segundo grado es la llamada frmula resolvente: La frmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo antes de la raz. Solucionar una ecuacin de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a,b y c y sustituir sus valores en la frmula resolvente. Es de hacer notar que, utilizar la frmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raz cuadrada de un nmero, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual. Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en la solucin. Existen procedimientos particulares, slo aplicables a ciertos casos, en los cuales se pueden hallar las races de forma ms fcil y rpida. Tienen que ver con las tcnicas de factorizacin. Tipos de soluciones: Reales e imaginarias Una ecuacin cuadrtica puede generar tres tipos de soluciones, tambin llamadas races, a saber:y y y

Dos races reales distintas Una raz real (o dos races iguales) Dos races imaginarias distintas

El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como: D = b2 -4.a.c

Si el discriminante es positivo, entonces la raz cuadrada es un nmero real y se generan dos races reales distintas Si el discriminante es cero, la raz es cero, y ambas races resultan el mismo nmero. Si el discriminante es negativo, la raz cuadrada es imaginaria, producindose dos races imaginarias o complejas. Definicin: Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son nmeros reales y a es un nmero diferente de cero. Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0 La condicin de que a es un nmero diferente de cero en la definicin asegura que exista el trmino x2 en la ecuacin. Existen varios mtodos para resolver las ecuaciones cuadrticas. El mtodo apropiado para resolver una ecuacin cuadrtica depende del tipo de ecuacin cuadrtica que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes mtodos: factorizacin, raz cuadrada, completando el cuadrado y la frmula cuadrtica. Factorizacin: Para utilizar este mtodo la ecuacin cuadrtica debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuacin que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadrticas por factorizacin porque este mtodo est limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros mtodos. Raz cuadrada: Este mtodo requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuacin. Propiedad de la raz cuadrada: Para cualquier nmero real k, la ecuacin x2 = k es equivalente a :x ! s k.

Completando el cuadrado: Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer trmino de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma: x2 + bx + ? Regla para hallar el ltimo trmino de x2 + bx + ?: El ltimo trmino de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del trmino del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros trminos son x2 + bx es : b x bx . 22 2

Al completar el cuadrado queremos una ecuacin equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuacin equivalente el nmero que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuacin Frmula cuadrtica: La solucin de una ecuacin ax2 + bx + c con a diferente de cero est dada por la frmula cuadrtica:b s b 2 4ac x! . 2a

La expression:b 2 4 ac

Conocida como el discriminante determina el nmero y el tipo de soluciones. La tabla a continuacin muestra la informacin del nmero de soluciones y el tipo de solucin de acuerdo con el valor del discriminante.

Valor de: Tipo de solucin positivo dos soluciones reales cero una solucin real negativo dos soluciones imaginarias Nota: Cualquier ecuacin cuadrtica puede resolverse utilizando la frmula cuadrtica.b 2 4 ac

Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin que puede escribirse en la forma ax 2 + bx + c = 0, a 0 . La siguiente tabla muestra ejemplos y contraejemplos de ecuaciones cuadrticas. 3x 2 + 5x + 2 = 0- 12y2 + 2y = 8 + 10y2t 2 -1 = 4-4x2 = 2 + x9 - x = 3x12x = 45 = 9 - 2x Ecuaciones cuadrticas Ecuaciones no-cuadrticas Conviene notar que en el primero de los ejemplos de las ecuaciones nocuadrticas, la ecuacin no es cuadrtica a pesar de contener una segunda potencia de la variable. La explicacin es que al estar en un denominador es como si la variable estuviera elevada a la -2, no a la 2. Las ecuaciones cuadrticas de la forma x2 = a , son las ms fciles de resolver. Si a es negativo, no hay soluciones en los nmeros reales. Recordemos que el cuadrado de un nmero real nunca es negativo. Por eso no hay soluciones si a es negativo. Si a es cero, slo hay una solucin: x = 0. Finalmente, si a es positivo, hay dos soluciones: x = a y x = - a . Como las dos soluciones slo difieren en el signo podemos escribir x = a . Ejemplos 1) x2 = 9 x = 9 x = 3 2) u2 = 64 u = 64 u = 8 3) (2t + 1)2 = 25 2t + 1 = 5 2t + 1 = -5 2t = 4 2t = -6 t = 2 t = -3 4) (3y + 5)2 = 0 3y + 5 = 0 3y = -5 y = -53 5) 2m2 + 5 = 3 2m2 = -2 m2 = -1 no hay solucin El tercer ejemplo arriba es importante porque muestra cmo a veces conviene tratar a una expresin como si fuera una variable. En ese caso tomamos a la expresin (2t + 1) como si fuera la x del prrafo previo. El quinto ejemplo ilustra el hecho de que aunque una ecuacin cuadrtica no luzca inicialmente como de la forma x2 = a , puede ser re-escrita, usando las propiedades de ecuaciones, para que tenga esa forma.

Discusin Este es un tema que si pones toda tu atencin te puede resultar muy fcil ya que no es muy complicado y es uno de los temas que todos deberamos saber ya que nos puede ayudar a resolver problemas de nuestra vida cotidiana. Solo necesitas algo de practica para poder dominarlo ya que como todo si lo aprendes y lo dejas de practicar despus puedes olvidarlo hasta el punto de tener que aprenderlo otra vez. Conclusiones Es un tema que puede parecer complicado pero es muy fcil de realizar solo hay que poner atencin en los signos y revisar que la operacin este bien hecha no importa si parece muy fcil ya que al confiarnos podemos realizarla mal. Fuentes bibliogrficas Edicin 2006, algebra, edicin en Espaa, editorial lexus Rodolfo Alvarado Garca, edicin 2009, algebra, edicin estado de Mxico, editorial esfinge Fuentes de internet

COLEGIO ALEJANDRO GUILLOT

DAVID RODRIGUEZ CASTRO 4020 NL.21

MATEMTICAS PROFESOR ULISES CARACCIOLI OCHOA

ECUACIONES CUADRATICAS