dr. jorge acuÑa a., profesor1 universidad latina de costa rica distribucion normal

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

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UNIVERSIDAD LATINA DE COSTA RICA

DISTRIBUCION NORMAL


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DISTRIBUCION DE DISTRIBUCION DE VARIABLE ALEATORIA VARIABLE ALEATORIA

CONTINUACONTINUA• La variable en estudio es continua: todas las

dimensiones (altura, peso, temperatura, ph, espesor, área, volumen, diámetro,

• La variable toma valores en el conjunto de los números reales y no es estrictamente mayor-igual que cero.

• Ejemplo de variables negativas: temperatura, diferencias de diámetro u otras medidas

• Probabilidades de >,=,<,>=,<= son básicamente los mismos.


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DISTRIBUCION NORMALDISTRIBUCION NORMAL

¿Cuándo usar esta distribución?Para que la teoría de normalidad puede ser usada se

deben cumplir con las siguientes propiedades:• Comportamiento de simetría lo que implica que la

probabilidad de ocurrencia de un valor X< la media es aproximadamente igual a la de un valor> que la media.

• El área total bajo la curva es 1, definida de - a + .• La moda, media y mediana son iguales.• Media () y varianza (2) determinan la curva y se

pueden calcular las probabilidades deseadas.• Forma de la curva normal: campana de Gauss


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Fórmulas

x

x

dxxfxF

acumuladaFunción

exf

densidadFunción

)()(

*2

1)(

2

*2

1

El valor esperado de la media es y el de la varianza es 2.


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Forma de la curva


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¿Cómo usar las tablas? • Las tablas de esta distribución dan valores de

probabilidad acumulados de izquierda a derecha y para extraer estos valores se sigue el siguiente procedimiento:

• Asegurar que la variable sigue un comportamiento de normalidad (esto se hace con una prueba de bondad de ajuste).

• Calcular los valores de la desviación estándar y el promedio y determinar el valor de x para el que se desea calcular la probabilidad.

• Calcular el valor de Z=(x-)/.


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DISTRIBUCION NORMALDISTRIBUCION NORMAL¿Cómo usar las tablas?

• Localizar en tablas el valor de la probabilidad asociada a ese valor de Z. Los valores de Z pueden ser negativos o positivos. Los primeros dos dígitos de Z se encuentran en la columna de la izquierda y el tercer dígito en la parte superior de la tabla. Por ejemplo si Z es igual -3.21 entonces el valor de la probabilidad es 0.0007 pues se localiza en la intersección de -3.2 en la columna de la izquierda y 0.01 en la parte superior tal y como se muestra a continuación.

• Tabla se puede usar alrevés.


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EJEMPLO 1Una empresa especifica que el peso medio de uno de

sus productos debe ser de 2 Kg. con una desviación estándar de 0.05 Kg. Sabiendo que esta variable se distribuye normalmente:

a. ¿cuál es la probabilidad de que un producto pese:– menos de 1.93 Kg?– mas de 2.02 Kg.?– entre 1.90 y 2.06 Kg.?

b. Si la probabilidad a la izquierda de X gramos es 0.015, ¿cuánto vale x?


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DISTRIBUCION NORMALDISTRIBUCION NORMALSOLUCION

a. =2 Kg. =0.05 Kg. • P(x1.93)=?

La probabilidad de que un producto pese menos de 1.93 Kg. es 0.0808.

• P(x2.02)=1-P(x2.02)=1-0.6554=0.3446

La probabilidad de que un producto pese mas de 2.02 Kg. es 0.3446.

0808.04.105.0

293.1)93.1(

NNxP

6554.04.005.0

202.2)02.2(

NNxP


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DISTRIBUCION NORMALDISTRIBUCION NORMALSOLUCION

• P(1.90x2.06)=?

La probabilidad de que un producto pese entre 1.90 y 2.06 Kg. es 0.8621.

b. P(X<x)=0.015 Entonces:

El valor de x es 1.8915 gramos.

8621.00228.08849.0)06.29.1(

)2()2.1()06.29.1(

05.0

290.1

05.0

206.2)06.29.1(

xP

NNxP

NNxP

8915.105.0

217.2

17.205.0

2015.0)(

015.0

015.0

xx

establasenZ

xZxXP


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DISTRIBUCION DISTRIBUCION NORMALNORMAL


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EXCELUna empresa especifica que el peso medio de uno de

sus productos debe ser de 2 Kg. con una desviación estándar de 0.05 Kg. Sabiendo que esta variable se distribuye normalmente. a. ¿cuál es la probabilidad de que un producto pese:

menos de 1.93 Kg. mas de 2.02 Kg. entre 1.90 y 2.06 Kg.?b. ¿cuál es el valor de peso cuya probabilidad a la

izquierda es de 0.1293?


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EXCELSOLUCIÓN: a. =2 Kg. =0.05 Kg.

– P(x1.93)=?En Excel se pulsa en el menú:

INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORMP(x1.93) se introduce el valor de x que es 1.93, el

valor de la media que es 2 y el valor de la desviación estándar que es de 0.05. En el Acum se escribe Verdadero pues es la función acumulada. Excel retorna el valor de la probabilidad que es 0.080756.


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EXCELSOLUCIÓN: a. =2 Kg. =0.05 Kg.

– P(x1.93)=?


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DISTRIBUCION NORMALDISTRIBUCION NORMALEXCEL

SOLUCIÓN: – P(x2.02)=?En Excel se pulsa en el menú:

INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORMP(x2.02)=1- P(x2.02)=? P(x2.02) se introduce el valor de x que es 2.02, el valor

de la media que es 2 y el valor de la desviación estándar que es de 0.05. En el Acum se escribe Verdadero pues es la función acumulada. Excel retorna el valor de 0.6554. Sin embargo, lo que se pide es el complemento, sea 0.3446.


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SOLUCIÓN: P(x2.02)=?


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SOLUCIÓN: – P(1.9x2.06)=?En Excel se pulsa en el menú:

INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORMP(1.9x2.06)=P(x2.06)- P(x1.9)=0.88493-

0.02275=0.86218P(x2.06) se introduce el valor de x que es 2.06, el valor de

la media que es 2 y el valor de la desviación estándar que es de 0.05. En el Acum se escribe Verdadero pues es la función acumulada. Excel retorna el valor de la probabilidad acumulada y que es 0.88493.


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EXCELSOLUCIÓN:

– P(1.9x2.06)=?P(x1.9) se introduce el valor de x que es 1.9, el valor de la media que es 2 y el valor de la desviación estándar que es de 0.05. En el Acum se escribe Verdadero pues es la función acumulada. Excel retorna el valor de la probabilidad acumulada hasta ese valor y que es 0.02275. La resta de estos valores es la respuesta.


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EXCELSOLUCIÓN:

– P(1.9x2.06)=?


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SOLUCIÓN: b. P(xX)=0.1293 X=?En Excel se pulsa en el menú y se elige Normal inversa.

INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORM.INV

P(xX) se introduce el valor de la probabilidad que es 0.1293, el valor de la media que es 2 y el valor de la desviación estándar que es de 0.05. Excel retorna el valor de X que es 1.435.


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SOLUCIÓN: b. P(xX)=0.1293 X=?


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TAREA1. Suponga que la fuerza que actúa sobre una

columna que ayuda a sostener un edificio está normalmente distribuida con media de 15.0 psi y desviación estándar de 1.25 psi. ¿Cuál es la probabilidad de que la fuerza

a. Sea a lo sumo 17 psi?b. Sea entre 12 y l7 psi?c. Difiera de 15 psi en a lo sumo 1.5 psi?


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DISTRIBUCION NORMALDISTRIBUCION NORMALTAREA

2. Un tipo particular de tanque de gasolina para un automóvil compacto está diseñado para contener 15 galones. Suponga que la capacidad X de un tanque escogido al azar esté normalmente distribuido con media de 15 galones y desviación estándar de 0.2 galones. ¿Cuál es la probabilidad de que un tanque seleccionado al azar:

a. contenga a lo sumo 14.8 galones?b. contenga entre 14.7 y 15.1 galones?c. Si el automóvil en el que se instala un tanque seleccionado al

azar recorre exactamente 25 millas por galón, ¿cuál es la probabilidad de que pueda recorrer 397 millas sin reabastecerse?


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TAREA3. Hay dos máquinas, para cortar corchos destinados

para usarse en botellas de vino. La primera produce corchos con diámetros que están normalmente distribuidos con media de 3 cms y desviación estándar de 0.1 cm. La segunda máquina produce corchos con diámetros que tienen una distribución normal con media de 3.04 cms desviación estándar de .02 cm. Los corchos aceptables tienen diámetros entre 2.9 cm y 3.1 cm. ¿Cuál máquina tiene más probabilidad de producir un corcho aceptable?


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TAREA4. El ancho de una línea grabada en un circuito

integrado está normalmente distribuido con media de 3.000 micras y desviación estándar de 0.150 micras. ¿Qué valor de ancho separa el 0% más ancho de todas las líneas del otro 90%?

5. La lectura de temperatura de un termopar puesto en un medio de temperatura constante está normalmente distribuida con media y desviación estándar σ. ¿Cuál tendría que ser el valor de σ para asegurar que el 95% de todas las lecturas se encuentren dentro del ±0.10 de ?


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DISTRIBUCION NORMALDISTRIBUCION NORMALTAREA

6. Se sabe que es normal la distribución de resistencia para resistores de cierto tipo, 10% de todos los resistores tienen una resistencia que excede los 10.256 ohms, y 5% tiene una resistencia menor de 9.671 ohms. ¿Cuáles son el valores de la media y de la desviación estándar de la distribución de resistencia?

7. Si el diámetro de un cojinete está normalmente distribuido, ¿cuál es la probabilidad de que el diámetro de un cojinete seleccionado al azar esté:

a. Dentro de ±1, ±2 y ±3σ de su valor medio?b. A más de 2.5σ de su valor medio?c. Entre 1 y 2σ de su valor medio?

dr. jorge acuÑa a., profesor1 universidad latina de costa rica distribucion normal

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