dr. jorge acuÑa a., profesor1 universidad latina de costa rica universidad latina de costa rica...

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

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UNIVERSIDAD LATINA DE UNIVERSIDAD LATINA DE COSTA RICACOSTA RICA

DISTRIBUCION DE POISSON


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DISTRIBUCION DE DISTRIBUCION DE POISSONPOISSON

¿Cuándo usar esta distribución?• Útil para la ocurrencia de eventos por unidad de tiempo:

errores/mes, quejas/semana, defectos/día. • Para su aplicación, la probabilidad de ocurrencia del evento

debe ser constante en tiempo o espacio y debe haber independencia de ocurrencia de eventos.

• También se puede usar como una aproximación de la distribución binomial, cuando el valor de n* es menor que 5 lo que implica tener muestras grandes y valores de pequeños.

• Cuando está en función del tiempo se debe multiplicar ese valor de por el número de unidades de tiempo, sea que se habla en este caso de =t.


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DISTRIBUCION DE DISTRIBUCION DE POISSONPOISSONFORMULAS

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1

var

),(),(

*!

),(

ianzaladeesperadoValor

medialadeesperadoValor

xpxP

acumuladaFunción

ex

xp

densidadFunción

X

ii

x

t

ianzaladeesperadoValor

t

medialadeesperadoValor

txptxP

acumuladaFuncion

ex

ttxp

densidadFuncion

X

ii

tx

2

1

var

),(),(

*!

)(),(


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Forma de la curva


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¿Cómo usar las tablas? Para usar las tablas se sigue este procedimiento:• Asegurar que la variable sigue un comportamiento

Poisson (prueba de bondad de ajuste).• Se identifican los valores de n, y x o el valor de si

este es dado.• Se determina el valor de multiplicando n por , en

el caso de una aproximación a la binomial.• En el caso de probabilidades puntuales, se localiza el

valor de x en la columna de la izquierda y el valor de o (media de la distribución de Poisson) en la parte superior de la tabla.


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¿Cómo usar las tablas? • En el caso de probabilidades acumuladas, se

localiza el valor de en la columna de la izquierda y el valor de x en la parte superior de la tabla.

• El valor de la probabilidad es el valor que interseca al valor de x con el valor de . Esto se muestra en el siguiente segmento de la tabla. Por ejemplo si =3.2, x=7, la respuesta es 0.0278.


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EJEMPLO 3

Una compañía vende productos en metros y se ha caracterizado por tener una tasa promedio de 4 defectos por cada 200 metros. Si se compran 80 metros, ¿cuál es la probabilidad de que haya:

1. dos defectos?2. más de cuatro defectos?


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SOLUCION1. dos defectos?P(x=2) para n=80. El valor de es (4/200)*80 = 1.6

defectos. Se usa la tabla densidad de Poisson con x=2, por lo que el resultado es:P(x=2)=p(2,1.6)=0.2584Se puede usar también la tabla Poisson acumulada con =1.6 defectos.P(x=2)= P(x2) – P(x1) = P(2,1.6)- P(1,1.6)P(X=2)=0.783-0.525 = 0.258 La probabilidad de que haya dos defectos es 0.2584.


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SOLUCION• También a manera de ejemplo se puede usar

la fórmula correspondiente, así:

La probabilidad de que haya dos defectos es 0.2584.

2584.0*!2

6.1)6.1,2( 6.1

2

ep

2584.0*!2

6.1)6.1,2( 6.1

2

ep


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SOLUCION2. más de cuatro defectos? P(x>4) = 1- P(x4)= 1- P(4,1.6)= 1-

0.976=0.024Se usa la tabla de Poisson acumulada con =1.6 defectos.P(x4)= 0.976La probabilidad de que haya más de cuatro defectos es 0.024.


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EJEMPLO 4 Una compañía de ventas por teléfono recibe

llamadas a razón de 5 por segundo. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba:1. tres llamadas en un segundo?2. más de cuatro llamadas en dos

segundos?


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DISTRIBUCION DE DISTRIBUCION DE POISSONPOISSONSOLUCION

1. El valor de es 5 llamadas por segundo y el de x es 3 llamadas en un segundo. Se usa la tabla densidad. Así:P(x=3)=p(3,5)=0.1404Se puede usar también la tabla Poisson acumulada de =5 llamadas por segundo.P(x=3)= P(x3) – P(x2) = 0.265-0.125 = 0.14La probabilidad de que haya dos defectos es 0.1404.2. El valor de es 5*2=10 llamadas por segundo y el de x>4 llamadas por segundo. Se usa la tabla Poisson acumulada de =10 llamadas por segundo.P(x>4)= 1- P(x4) = 1- 0.029 = 0.971La probabilidad de que haya dos defectos es 0.971.


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DISTRIBUCIODISTRIBUCION DE N DE

POISSONPOISSONDENSIDADDENSIDAD

TABLASPARA P(X=…)


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DISTRIBUCIODISTRIBUCION DE N DE

POISSONPOISSONACUMULADAACUMULADA

TABLAS


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EXCEL=media=(4/200)*80=1.6

En Excel se pulsa en el menú: INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS,

POISSON1. P(x=2) se introduce el número de éxitos que

es 2, 1.6 en el valor de la media y en Acumulado se escribe Falso pues es para densidad el cálculo. Excel retorna el valor de la probabilidad que es 0.2584.


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EXCEL


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EXCEL2. P(x>4) = 1- P(x4)= ?

En Excel se pulsa en el menú: INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS,

POISSONP(x4). Se introduce el número de éxitos que es 4, 1.6

en el valor de la media y en Acumulado se escribe Verdadero pues es para acumulado el cálculo. Excel retorna el valor de 0.976331. Sin embargo, lo que se pide es el complemento que es de 0.02369.


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EXCEL

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