documento de la circunferencia - quinto bachillerato "c" - liceo guatemala
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Documento sobre la circunferencia, que trata diferentes subtemas con el único objetivo de informar y educar.TRANSCRIPT
Así que si C es el centro y r > 0 es el radio, la circunferencia de centro C y
radio r que denotaremos ðC(C; r) es el conjunto siguiente:
I) C= centro es el punto medio entre dos puntos opuestos que nos dan
el radio
*( )
( )
+
( ) (-2,-1)
II) r = radio = distancia entre puntos/2
√[( ) ( ) ]
√
√( ) √
La ecuación pedida es: (x-3)2+(y-1)2=17 //
C (2,5)
La circunferencia es una curva plana cerrada
formada por todos los puntos del plano que
equidistan de un punto interior, llamado centro
de la circunferencia. La distancia común se
llama radio.
C (C; r) = {P tal que = r}
La ecuación general de la
circunferencia si colocamos
el centro en el origen de un
plano cartesiano, está dada
por
Si el centro se mueve
hacia un punto (h, k), la
ecuación se transforma a
( ) ( )
Ampliemos el término, para ampliar nuestro conocimiento… ;)
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la
circunferencia:
Una circunferencia es el lugar
geométrico de los puntos de un
plano que equidistan de otro punto
fijo y coplanario llamado centro en
una cantidad constante llamada
radio.
RECTA SECANTE
CUERDA
RECTA TANGENTE
PUNTO DE TANGENCIA
RADIO
CENTRO
DIÁMETRO
La que toca a la circunferencia
en un sólo punto.
El segmento que une dos
puntos de la circunferencia.
El de contacto de la
recta tangente con
la circunferencia.
El segmento que une el centro
con un punto cualquiera de la
circunferencia.
El punto interior
equidistante de todos los
puntos de la
circunferencia.
El mayor segmento que une
dos puntos de la circunferencia
(necesariamente pasa por el
centro).
La que corta a la
circunferencia en dos
puntos.
Frases curiosas sobre la circunferencia
Datos curiosos
Tips sobre la circunferencia y el círculo
Círculo y circunferencia no son lo mismo.
Círculo y circunferencia son lugares geométricos,
conjuntos de puntos con un determinada condición.
Circunferencia es el conjunto de puntos que están a igual
distancia de otro punto llamado CENTRO
El círculo es el conjunto de puntos de la circunferencia más todos
los puntos interiores.
Radio es la distancia entre cada punto de la circunferencia y el
centro.
El diámetro es todo segmento que pasa por el centro y une dos
puntos de la circunferencia.
"En la circunferencia, el
comienzo y el fin
coinciden."
Heráclito (544-480 a.
C.); filósofo griego.
"Inútil es la labor del
que se fatiga
intentando cuadrar el
círculo."
Stiffel (1544).
♥ Los pies de un elefante tienen forma circular.
Multiplica el diámetro de su pie por 2π, y el
resultado obtenido es la altura del elefante (de los
pies a la espalda).
♥ Si quisiéramos escribir en línea recta los
200.000 millones de decimales de p calculados por
Kanada y Takahasi en 1999, el papel necesario
tendría una longitud tal, que podría dar una
vuelta a la circunferencia de la Tierra.
Elementos de una circunferencia
1. Centro de una circunferencia: (morado)
Es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
2. Radio de una circunferencia (en rojo)
Es cualquier segmento que va desde su centro a cualquier punto de dicha circunferencia.
“El radio es la mitad del diámetro.” Todos los radios de una figura geométrica poseen la
misma longitud.
3. Diámetro de una circunferencia (en azul)
El diámetro es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de
una circunferencia
«Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera
(segmento) que pasa por el centro y que acaba en
ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta
línea recta también divide el círculo en dos partes
iguales»
Euclides de Alejandría, Elementos, libro I, definición
4. Recta Secante
Una recta secante de una curva es una línea que (localmente) interseca dos puntos en la
curva. ”Secante viene del latín secare, que significa, cortar.”
“Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el
nombre de recta tangente.”
5. Recta tangente
Toca a la circunferencia en un sólo punto; La recta tangente o también llamada recta
exterior a una circunferencia de centro O que pasa por un punto T de la misma es la recta
perpendicular al radio OT que pasa por el punto T.
Esto ha de ser así porque la perpendicular a una recta trazada desde un punto exterior a
la misma indica la menor distancia posible desde dicho punto a la recta. Si el radio OT no
fuese perpendicular a la tangente en T, la verdadera perpendicular a la tangente trazada
por O cortaría a la tangente en un punto T', de manera que la distancia |OT'| sería inferior
a la distancia |OT|. Como la distancia |OT| es el radio de la circunferencia, T' sería un
punto del interior de la circunferencia, lo cual se contradice con que la recta sea
tangente a la
circunferencia
5.a Punto de tangencia
Una línea que intersecta a un círculo en exactamente un punto es llamada la tangente
del círculo. El punto de intersección es el punto
de tangencia.
6. La Cuerda
La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. “El diámetro es la
cuerda de longitud máxima.”, “El área que corta una cuerda circular es denominada
un segmento circular.”
Propiedades y características
1. Las cuerdas son equidistantes del centro si y solo si sus longitudes son iguales.
2. Una bisectriz de una cuerda pasa por el centro.
3. Si las extensiones lineales (líneas secantes) de las cuerdas AB y CD se interceptan
en un punto P, entonces sus longitudes satisfacen AP·PB = CP·PD, (ver potencia de
un punto).
4. La cuerda de mayor longitud posible para un determinado círculo es su propio
diámetro.
7. Arco:
El segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a una circunferencia; sector que está
comprendido entre dos radios. En el ejemplo: P(A) y P(B)
Donde es el radio, la longitud del arco y angulo que contiene a .
8. Semicircunferencia
Una Semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarca un
diámetro, y está dada por la formula:
Donde es la longitud del arco dividido por el diámetro, cuyo valor aproximado
es y que es el valor del radio del círculo.
9. Ejercicios
x² +y² =36 χ² +y² =r²
χ² +y² =6(es la raiz de 36)
entonces:
centro =(0,0)
radio =6
Grafica
Ecuación( ) ( )
Ecuación de la circunferencia con centro en “h”, “k” y radio r
Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación general
es
Buscar que los términos en x y en y queden seguidos.
10. Aplicaciones a la vida
La circunferencia la podemos encontrar en varias partes de nuestra vida
cotidiana, por ejemplo al construir un redondel de una calle o avenida, un puente
curvo (aunque no necesariamente debe ser toda la circunferencia), una rueda de
chicago, o cualquier otro elemento que tenga una circunferencia en ella.
Ecuaciones de la circunferencia:
Ecuación Ordinaria de la Circunferencia
Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C (h,k) y el radio "r"
de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el
valor de "y" correspondiente a un valor de "x".
( ) ( )
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y con radio
r = 4
Solución:
( ) ( )
Ejemplo:
Ecuación Canónica de la Circunferencia:
Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el
radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de
"y" correspondiente a un valor de "x".
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio
r = 3
Solución:
Ejemplo:
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos
construir su ecuación ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la
forma general de la ecuación de la circunferencia, así:
( ) ( )
( )⏟
( )⏟
( )
Ecuación General de la Circunferencia
P r u e b a :
Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r
= 4
( ) ( )
( ) ( )
D = -4 , E = -12 , F = +24
Ejemplo:
O b s e r v a c i o n e s :
Dada la ecuación de la circunferencia x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se cumple
que:
(
)
√
( ) ( )
De acuerdo al gráfico determinar:
1.- Ecuación Ordinaria de la circunferencia con centro en A.
2.- Ecuación General de la circunferencia con centro en B.
3.- Ecuación Canónica de la circunferencia que pasa por el punto D.
4.-Distancia entre los centros de A y B.
5.- Distancia entre G e H.
6.- Distancia entre I y J.
7.- Ecuación General de la circunferencia con centro en D y que pase
por E.
Problemas Resueltos
El radio de la circunferencia con centro A es:
Sumando ambos radios tenemos:
( ) ( )
Además se sabe que
( )
( )
( )
Reemplazando en (1)
( )
Distancia entre I y J
EL radio de la circunferencia con radio en C es:
El radio de la circunferencia con radio en B es:
La distancia entre C y B es:
√( ) ( )
√( ) ( )
√ √
Del grafico se ve que:
Ecuación General de la circunferencia con centro en D
y que pase por E
El radio de la circunferencia es:
√( ( )) ( ( ))
√ √
Además se sabe que:
( )
( )
( ) ( ) √
Reemplazando en la E. G.:
Caracterización de la ecuación general de la
circunferencia
Si en esta ecuación eliminamos
los paréntesis y pasamos todos
los términos al primer miembro,
tendremos:
v
( ) ( )
La ecuación de la circunferencia de
centro el punto C (a,b) y su radio es:
que ordenada sería:
Llamando:
La ecuación quedaría expresada de
la forma:
Características
No existe término en
Los coeficientes de son iguales.
Si entonces
Si entonces -
Si entonces r= Raíz cuadrada ( )
La condición necesaria, por tanto, para que una ecuación dada
represente una circunferencia es que:
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )
Determine la ecuación de la
circunferencia con centro en:
Ejemplo:
( )
1.
Determina las
coordenadas del
centro y del radio de
las circunferencias:
(
)
2.
Calcula la ecuación de la
circunferencia que tiene su
centro en el punto de
intersección de las rectas:
y su
radio es igual a 5.
( )
( )
( )
Hallar la ecuación de la
circunferencia que tiene el centro en
el punto C(3,1) y es tangente de la
recta: 3x – 4y + 5 = 0.
( )
√ ( )
( )
Algunos links para consultar el tema:
http://exordio.qfb.umich.mx/archivos%20PDF%20de%20trabajo%2
0UMSNH/Aphilosofia/Mate/circunferencia.pdf
http://www.vadenumeros.es/primero/conicas-circunferencia-y-elipse.htm
http://www.vitutor.com/geo/coni/f_e.html
Aplicaciones prácticas
Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los
rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las
aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y
radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales
recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la
posición del foco.
La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un
reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares
y grandes centrales captadoras de energía solar.
Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz
de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con
superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz
paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos
convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.
También en los CD’S, piezas ordinarias en la música actual, son una
placa circular con un borde que termina siendo una circunferencia.
Al centro se observa un orificio redondo que sirve para tomar el Cd y
para que la radio lo reproduzca. Estas piezas de la electrónica
requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo
tanto para su fabricación se usan las técnicas del radio y el diámetro.
Sigue informándote!! :D
Ecuación de la circunferencia a partir de 3 condiciones
Tomemos como ejemplo:
Si nos dan x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0
Pasos:
Lo primero que tenemos que hacer es encontrar el centro y el radio
De la siguiente manera
A continuación hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los
puntos
A(2,0), B(2,3), C(1, 3)
Si sustituimos “x” e “y” en la ecuación por las coordenadas de los
puntos se obtiene el sistema e Indicar si la ecuación: 4x2 + 4y2 - 4x -
8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo
debemos calcular el centro y el radio.
A=-3 B=-3 C=2
C(1,2)
A continuación se mostraran los siguientes pasos
1) los coeficientes de x2 e y2 son distintos a la unidad, lo dividimos
por 4:
2) No tiene término en xy.
3) Ya que se cumplen las tres condiciones, es una circunferencia.
(
)
(
)
(
)
(
)
r=2
Ejemplo:
Calcula la ecuación de la
circunferencia que tiene su centro en
(2,-3) y es tangente al eje de abscisas
( )
( )
( ) ( )
DETERMINACION DE UNA CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
El centro y el radio.
El centro y un punto en ella.
El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También se podemos decir que la circunferencia es la línea formada por
todos los puntos que están a la misma distancia de otro puntos, llamado
RADIO.
Estas propiedades es la clave para hallar la expresión analítica de una
circunferencia (la ecuación de la circunferencia).
RECUERDA: que la
CIRCUNFERENCIA es el lugar
geométrico de los puntos de
un plano que se hallan de un
punto fijo llamado CENTRO.
Entonces para desarrollarnos en el tema de la Geométrica analítica, en el
plano cartesiano. Se dice que para cualquier punto P(x, y) de una
circunferencia cuyo centro es el punto C(a, b) y con radio r- la ecuación
ordinaria es:
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
¿Qué quiere decir esto?
Significa que una circunferencia graficada con un centro definido
(coordenadas) en el plano cartesiano y con el radio definido lo podemos
“ver” como gráfico y también lo podemos “transformar” o expresar como
una ecuación matemática.
Así la vemos Así podemos expresarla
Dónde:
(d) Distancia CP = r
Y
√( ) ( )
Fórmula que elevada al cuadrado nos da
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
También se usa como
(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2
Importante:
RECORDEMOS que en esta fórmula la x y la ysiempre serán la
coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, y
equidistante del centre de un (r). Y que la a y la b (o la h y la k según se
usen) corresponden a las coordenadas del centro de la circunferencia
C(a, b).
Cuadrado del binomio: debemos de recordar el cuadrado del
binomio porque es muy importante para lo que viene a continuación.
El binomio al cuadrado de la forma (a ─ b)2 se resuelve de la forma (a ─ b)
(a ─ b) o convertirlo en un trinomio de la forma a2 ─ 2ab + b2.
Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación (x ─ a)2 + (y ─ b)2 =
r2 (que en forma matemática representa una circunferencia).
Ecuación general de la recta:
Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está
formado por la suma de dos cuadrados de binomio─, eliminamos los
paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al
primer miembro y la igualamos a cero, tendremos:
x2 ─ 2ax + a2 + y2 ─ 2by + b2 ─ r2 = 0 ecuación que ordenada sería
x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2 = 0
Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes
asignaciones:
─ 2a = D,
─ 2b = E,
a2 + b2 ─ r2 = F
la ecuación quedaría expresada de la forma:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación General de la
Circunferencia, la cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo:
No existe término en xy
Los coeficientes de x2 e y2 son iguales.
Si D = ─ 2a entonces
Si E = ─ 2b entonces
Si F = a2 + b2 ─ r2 entonces √( )
Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada
represente una circunferencia es que:
a2 + b2 ─ F > 0 (a2 + b2 ─ F debe ser mayor que cero)
Nota:
Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x2 + y2 ─ 2ax ─
2by + a2 + b2 ─ r2 = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y
hacen:
─ 2a = A,
─ 2b = B,
a2 + b2 ─ r2 = C para tener finalmente
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Recapitulación
Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia,
podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los binomios
cuadrados que la conforman, obtenemos la forma general de la ecuación
de la circunferencia
Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.
( ) ( )
Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el
centro y el radio.
( )
No es una circunferencia real:
Determina las coordenadas del centro y del radio de las
circunferencias:
1)
( )
2)
(
)
(
) (
) √
3)
Dividiendo por 4:
(
)
(
) (
)
4) 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0
(
)
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Posiciones Relativas
De una recta y una circunferencia
Aplicando el método de sustitución, la ecuación de la circunferencia se
reduce a una ecuación de segundo grado con una variable o incógnita.
Por tanto la discriminante de esa ecuación de segundo grado define el
número de soluciones del sistema y por lo tanto, la posición de la recta y la
circunferencia.
Una recta y una circunferencia
pueden ser exteriores,
tangentes y secantes en
función de como sea la
distancia d del centro de la
circunferencia a la recta con
respecto al radio R de la
circunferencia.
( ) ( )
Las posiciones relativas de una
recta y una
circunferencia
: + = .
Es determinada investigando el
número de soluciones del
sistema:
EJEMPLOS
OBSERVACIÓN
La posición relativa de una recta dada, y L: una
circunferencia ( ) ( ) puede ser determinada más
fácilmente, comparando la distancia entre el centro C y la recta L, con el
radio “r”. Son Posibles 3 casos:
Primer Caso, Segundo Caso y Tercer Caso.
1. La recta la circunferencia
son exteriores pues sustituyendo la ecuación de la recta
en la circunferencia se tiene: ( )
(
) (
)
( )( )
2. La recta L: y la circunferencia
, son secantes pues, sustituyendo “Y” de la ecuación de la
recta en la ecuación de la circunferencia, se tiene:
EJEMPLOS
1. ¿Cuál es la posición de la recta y la
circunferencia definida por ?
Solución:
Puesto que necesitamos las coordenadas del centro C(h, k) y el radio
“r” de la circunferencia, las obtenemos de la ecuación:
siendo estas : h-0; k-0; r-3; reemplazando en una
De las anteriores fórmulas se tiene:
¿Cuál es la posición de la recta L: en relación a la
circunferencia?
Solución:
Resolvemos el problema de dos métodos diferentes:
1er método:
De la ecuación de la recta despejamos x, así: y sustituimos
en la ecuación de la circunferencia propuesta:
De donde:
Entonces el discriminante de la ecuación es:
Por tanto:
La recta es secante a la circunferencia.
2do Método:
Completamos Cuadrados en la ecuación de la circunferencia,
para expresarla en la forma:
Así tenemos:
De donde:C=
Y en este mismo, el radio.
R=
Y la distancia del centro de la recta es:
d=
Como radio < d = = 4.4 entonces, la recta es secante a la circunferencia.
ULTIMO EJEMPLO
2. Determinar K de modo que la recta L: sea
exterior de la circunferencia
Solución:
Expresamos la ecuación de la circunferencia
en su forma reducida: + = 1 por lo tanto el centro C =
(1, 1) y radio R = 1
Para que la recta L sea exterior a la circunferencia, deberá cumplir:
d=
Luego:
d=
Esto es:
> 25 + 2k - 24 > 0
K < - 6 ó K > 4
Es decir:
K = R -
“Logicwillgetyoufrom A to B. Imaginationwilltakeyoueverywhere.” A.
E.
Dada una circunferencia y una recta sobre el mismo plano, los puntos del
plano al que pertenece la circunferencia pueden ser:
* Interiores
* De la circunferencia
* Exteriores
Interiores:
Un punto es interior a una circunferencia si su distancia al centro es
menor que el radio.
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que
equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad
constante llamada radio.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia en el plano
De la circunferencia:
Un punto pertenece a la
circunferencia si su distancia al
centro es igual al radio.
Exteriores:
Un punto es exterior a una
circunferencia si su distancia al
centro es mayor que el radio. Un
punto es interior a una
circunferencia si su distancia al
centro es menor que el radio.
Una recta es exterior a una circunferencia cuando la intersección con la misma es
nula.
Dada una circunferencia y una recta sobre el mismo plano, se
pueden representar los siguientes casos:
* La recta no se intercepta con la circunferencia.
* La recta se intercepta con la circunferencia en un solo punto. Es
Decir, la recta es tangente a la circunferencia.
* La recta se intercepta con la circunferencia en dos puntos. Es
decir, la recta es secante a la circunferencia.
LA RECTA NO SE INTERSECTA CON LA CIRCUNFERENCIA
Una recta es tangente a una circunferencia cuando comparten un único
punto. Es decir, una recta es tangente si toca a la circunferencia en un punto
(el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la
longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular
al radio que une el punto de tangencia con el centro.
Para hallar los puntos
comunes a una
circunferencia y una
recta resolveremos el
sistema formado por
las ecuaciones de
ambas.
En general se obtiene
una ecuación de
segundo grado, que
tendrá dependiendo
del signo del
discriminante,
Si Δ = 0 Una
solución: entonces la
recta y la
circunferencia son
tangentes.
LA RECTA SE INTERSECTA CON LA CIRCUNFERENCIA EN UN SOLO PUNTO
Una recta es secante a una circunferencia cuando la corta en dos puntos. Es decirla
recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. Conforme
estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero. La recta adquiere el
nombre de recta tangente.
Dados los puntos de
intersección A y B puede
calcularse la ecuación de la
recta secante. Para ello en
matemáticas se emplea la
ecuación de la recta que
pasa por dos puntos:
LA RECTA SE INTERSECTA CON LA CIRCUNFERENCIA EN DOS PUNTOS
Determinar en cada caso, los puntos de intersección de la circunferencia
con la recta e indicar si la recta es secante o tangente.
a.
b.
c.
E J E R C I C I O R E S U E L T O
Aquí va una aplicación
muy clara de este tema. Si
quisiéramos ver a la recta
secante aplicada a
nuestra vida cotidiana,
podríamos encontrarla en
algo tan común como la
comida. Ejemplo claro de
lo anterior son las
brochetas de fruta. El
pincho corta o atraviesa
en dos puntos a cada fruta
para formar la brocheta,
creando así una recta
secante a las
“circunferencias frutales”.
a. Para encontrar los puntos de corte de la circunferencia con la
recta se
Resuelve el siguiente sistema.
(1)
(2)
Se reemplaza la ecuación (2) en la ecuación (1)
( ) ( )
Por tanto,
Se divide la ecuación entre 2.
De donde ( )( )
Luego,
Para se tiene que
Para se tiene que
Por tanto, los puntos de intersección de la circunferencia con la recta son
(7,-3) y (2,2).
Así la recta es secante a la circunferencia.
b. Para encontrar los puntos de corte de la circunferencia con la
recta se resuelve el siguiente sistema.
(1)
(2)
Para resolverlo, se reemplaza la ecuación (2) en la ecuación (1)
( ) , por tanto,
Para este valor de y, se cumple que ( )
La recta se intercepta con la circunferencia solamente en el punto (-3,5).
Por tanto es tangente.
SOLUCIÓN
c. Para encontrar los puntos de corte de la circunferencia con la
recta
se resuelve el siguiente sistema.
(1)
(2)
Para resolverlo, se reemplaza la ecuación (2) en la ecuación
(1)
y se obtiene
Se aplica la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas
y se obtiene
√
√
Lo cual significa que el sistema no tiene solución real, por tanto,
la recta no se intercepta con la circunferencia.
Determinar la posición relativa entre la recta y la recta y la
circunferencia dada.
1.
2.
3. ( ) ( )
4. ( )
5.
EJERCICIOS
Posición Relativa de 2 circunferencias en el plano
Interiores:
Hay dos tipos de circunferencias interiores en el plano y son:
Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia
entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la
diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la
otra.
Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus
centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona
circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Ejemplo:
Concéntricas:
- Las circunferencias concéntricas son las que tienen un mismo centro.
- Los centros coinciden.
- No tienen ningún punto común.
- La distancia entre los centros de la circunferencia es cero.
Ejemplo:
Tangentes:
En un mismo plano las posiciones relativas de un punto y de una recta
respecto a una circunferencia están determinadas por sus respectivas
distancias al centro de la circunferencia.
Sea d la distancia de un punto P al centro de una circunferencia de centro
O y de radio r en un mismo plano
Si d > r , P es exterior a la circunferencia.
Si d = r , P está en la circunferencia.
Si d < r , P es interior a la circunferencia.
Ejemplos:
Si una recta l y una circunferencia (O, r) son coplanares y además d es la
distancia:
De la recta al centro O, entonces, de la figura 18.5, obtenemos:
a. Si d > r, la recta l es exterior a la circunferencia.
b. Si d = r, la recta l es tangente a la circunferencia.
Si dos circunferencias 1 1 1 C (O , r ) y 2 2 2 C (O , r ) están en el mismo
plano, las posiciones relativas entre ellas pueden relacionarse con la
distancia d entre sus centros de la siguiente manera:
a.Dos circunferencias son exteriores si la distancia entre sus centros es
mayor quela suma de sus radios
C y 2 C son exteriores
1 2 d = d (O ,O )
1 2 d > r + r
b. Dos circunferencias son tangentes exteriores si son tangentes a la misma
recta en el mismo punto (su Intersección es un punto).
Si la distancia entre los centros 1 2 d = r − r , las dos circunferencias son
tangentes interiores.
Si la distancia entre los centros 1 2 d = r + r , las dos circunferencias son
tangentes exteriores
Secantes:
La posición relativa entre dos circunferencias viene determinada por la
distancia entre sus centros (d) y el valor de sus radios R y R'. (La distancia
entre los centros es mayor que la diferencia de los radios).
En este link se pueden encontrar varios ejemplos sobre la circunferencia en
posición relativa en el plano
- Exteriores
- Interiores
- Concéntricas
- Tangentes
- Secantes
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/
circunejer.htm
Aprende MAS!!! :D