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S.E.P. D.G.I.T.S.E.I.T.
INSTITUTO TECNOLOGICODE TUXTEPEC
Tuxtepec, Oax. MAYO del 2006Tuxtepec, Oax. MAYO del 2006
TEMA:TEMA:
MATERIA:MATERIA:
PRESENTA:PRESENTA:
ESPECIALIDADESPECIALIDAD::
CATEDRATICO:CATEDRATICO:
HIDRAULICA
UNIDAD I: HIDROSTÁTICA
1.1 Presión hidrostática
1.1.1 Ecuaciones básicas de la estática de fluidos
1.1.2 Tipos de presión
1.1.3 Distribución de presión Hidrostática
1.1.4 Dispositivos de medición
1.2 Empuje Hidrostático
1.2.1 Resultante de la cuña de Presión
1.2.2 Centros de Presión
1.2.3 Empujes en superficies planas
1.2.4 Empujes en superficies curvos
1.3 Flotación
1.3.1 Principio de Arquímedes
1.3.2 Condiciones de equilibrio de cuerpos en flotación
UNIDAD II: PRINCIPIOS CONSERVATIVOS
2.1 Conservación de la materia
2.1.1 Ecuación de continuidad
2.1.2 Ecuación del gasto
2.2 Conservación de la energía
2.2.1 Ecuación de la energía
2.2.2 Solución para una vena líquida
2.2.3 Análisis de la ecuación de energía
2.2.4 Líneas de energía y líneas de cargas isométricas
2.2.5 Ecuación de potencias en bombas y turbinas
2.2.6 Aplicaciones
2.3 Conservación de la cantidad de movimiento
2.3.1 Impulso y cantidad de movimiento
2.3.2 Fuerza hidrodinámica
2.3.3 Aplicaciones
UNIDAD III: HIDRAULICA EXPERIMENTAL
3.1 Modelos hidráulicos
3.1.1 Similitud
3.1.2 Leyes de similitud
3.1.3 Planeación y construcción de modelos hidráulicos
3.2 Orificios y compuertas
3.2.1 Ecuación general de los orificios
3.2.2 Coeficiente velocidad, contracción y gasto
3.2.3 Aplicación a orificios
3.2.4 Aplicación a compuertas
UNIDAD IV: FLUJO EN CONDUCTOS DE PRESIÓN
4.1 Resistencia a flujos en conductos a presión
4.1.1 Pérdidas de energía por fricción
4.1.2 Pérdidas de energía por accesorios
4.2 Cálculo de flujo en tubería
4.2.1 Conductos sencillos
4.2.2 Tuberías en paralelo
4.3 Redes en tuberías
4.3.1 Redes abiertas
4.3.2 Redes cerradas
UNIDAD V: GOLPE DE ARIETE
5.1 Principio teórico de golpe de ariete
5.1.1 Definición
5.1.2 Teoría de la columna rígida
5.1.3 Teoría de la columna elástica
5.2 Efectos del golpe de ariete
5.2.1 En compuertas
5.2.2 En tuberías y dispositivos hidráulicos
5.2.3 En líneas de descargas de bomba
5.2.4 Contrarrestar el golpe de ariete
UNIDAD VI: MÁQUINAS HIDRÁULICAS
6.1 Fundamentos
6.1.1 Impulso
6.1.2 Reacción
6.1.3 Leyes de similitud
6.2 Máquinas de funcionamiento hidráulica
6.2.1 Bomba
6.2.2 Turbinas
6.3 Problemas de operación
6.3.1 Cavitación
6.3.2 Golpe de ariete
UNIDAD I: HIDROSTÁTICA
1.1 PRESION HIDROSTÁTICA
La estática de fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y
cuando se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática. Desde el punto de vista de
ingeniería civil es más importante el estudio de los líquidos en reposo que de los gases, por lo
cual aquí se hará mayor hincapié en los líquidos y, en particular, en el agua.
En términos generales se puede decir que la presión es una fuerza por unidad de área,
esto es:
En donde: (1.1)
F = fuerza normal al área A
A= área
P = presión media sobre el área A
La ecuación 5.1 da la presión media sobre el área considerada “A”; sin embargo, si la
presión es variable y se desea obtener la presión en un punto determinado de la superficie
total, con área “dA”, se puede emplear la definición siguiente:
(1.2)
La hidrostática y la aerostática; son las ciencias que en conjunto estudian los fluidos en
reposo, descansan sobre tres principios o leyes básicas, los cuales son: el principio de Pascal,
el principio de Stevin y el principio de Arquímedes.
De los tres principios anteriores, los relacionados directamente con la presión son el
Pascal y el de Stevin, los cuales se discuten a continuación:
V.2 PRINCIPIO DE PASCAL
Éste principio establece que “en cualquier punto en el interior de un fluido en reposo la
presión es la misma en todas las direcciones.”
V.2.1 Demostración práctica
Si se tiene un recipiente como el mostrado en la figura 1.1, al cual, por medio del pistón
se le aplica una fuerza “F” , entonces el líquido dentro del recipiente se comprimirá con una
presión igual a “FA-1” siendo “A” el área de la sección transversal del pistón. Al suceder esto se
observa que en los tubos colocados en diferentes partes del recipiente, el líquido sube a la
misma altura “h” en todos ellos, lo cual indica que la presión en cada punto del recipiente es la
misma.
Obviamente, en el experimento anterior, se supone que no existe escurrimiento del
líquido entre las paredes del recipiente y el pistón.
V.2.2 Demostración Teórica
Considerando
un
prisma
imaginario
con
dimensiones
elementales
ubicado
en el
interior de un fluido
en reposo
(Fig.1.2), se tiene:
Como el fluido está en reposo, se puede establecer que:
Sustituyendo las fuerzas actuantes, de acuerdo con la figura 5.2, se tiene:
(1.3)
Por otra parte, de la figura se obtiene que:
(1.4)
Sustituyendo 5.4 en 5.3 queda:
Dividiendo por dxdz, se tiene:
O bien: (1.5)
De la misma manera, se puede establecer que: (1.6)
Sustituyendo las fuerzas actuantes se tiene:
(1.7)
El segundo término del lado izquierdo de la ecuación anterior representa el peso del prisma
.
De la figura 1.2 se obtiene que:
(1.8)
Sustituyendo 5.8 en 5.7:
Dividiendo por dxdy queda:
El término puede despreciarse, ya que es muy pequeño esto es:
Entonces queda:
O bien: (1.9)
Comparando 1.9 con 1.5 se obtiene finalmente que:
(1.10)
Con lo cual queda demostrado el principio de Pascal.
Para comprobar que Px es también igual a la presión en las otras direcciones, basta
colocar el prisma en alguna otra posición con respecto a los ejes coordenados.
V.2.3 Aplicación práctica del principio de Pascal (principio de la Prensa
Hidráulica)
En la figura 1.3, presentada a continuación, se muestra un esquema típico de una prensa
Hidráulica.
Si se aplica una fuerza F1 al émbolo de la izquierda, ésta provocará una presión media sobre el
líquido en el interior de la prensa igual a:
(1.11)
De acuerdo con el principio de Pascal, la presión de la misma en todas las direcciones,
entonces, la presión P1 transmite a través del líquido y actuará sobre el pistón de la derecha,
es decir, si se tiene en cuenta que las pérdidas por fricción en el interior de la prensa son
despreciables, se tiene que: P1=P2 (1.12)
Claro que también hay que considerar que las pérdidas por fricción entre los pistones y
los cilindros son despreciables.
La presión P2 a su vez es igual a:
Finalmente, sustituyendo 5.11 y 5.13 en 5.12 queda:
F1A1 = F2A2-1 (1.14)
Si se supone, como sucede en la mayoría de los casos prácticos, que las áreas son circulares,
la ecuación anterior se transforma en:
F1D1-2 = F1D1
-2 (1.15)
Las ecuaciones anteriores son las expresiones matemáticas del Principio de la Prensa
Hidráulica, en los cuales:
F1 = Fuerza ejercida sobre el pistón de la izquierda
F2 = Fuerza ejercida sobre el pistón de la derecha
A1 = Área del pistón de la izquierda
A2 = Área del pistón de la derecha
D1 y D2 = Diámetros respectivos (en caso de áreas circulares)
La ecuación 5.14 puede obtenerse de forma alterna si se aplica el principio de la
conservación del trabajo y la energía de la Prensa Hidráulica como se ve en la figura 1.4
En la figura anterior, la línea punteada corresponde a la posición inicial de los pistones.
(1.13)
Al aplicar una fuerza F1 al pistón de la izquierda, ésta se mueve una distancia 11,
desplazando cierta cantidad de líquido. El trabajo desarrollado por F1 al moverse la distancia 11
vale:
W1 = F111 (1.16)
Sin embargo, el líquido desplazado por el pistón de la izquierda hace que el émbolo de
la derecha suba, moviéndose una distancia 12, la cual, según se ve en la figura, tiene que ser
más pequeña que 11 ya que el diámetro del pistón de la derecha es mayor.
El trabajo desarrollado por el pistón de la derecha será:
W2 = F212 (1.17)
De acuerdo con el principio de la conservación del trabajo y la energía, y despreciando
las pérdidas por fricción, se puede establecer que:
W1 = W2 (1.18)
Sustituyendo 5.16 y 5.17 en 5.18 queda:
F111 = F212 (1.19)
Como los volúmenes desplazados por los pistones son los mismos, ya que no existe
escurrimiento de líquido entre éstos y las paredes interiores de los cilindros, entonces:
V = A111 =A212
De donde:
(1.20)
Sustituyendo 5.20 en 5.19 y operando álgebra se tiene:
(1.14)
Y, para áreas circulares:
F1D1-2 = F2D2
-2 (1.15)
Las cuales, como pueden verse, son las mismas ecuaciones obtenidas en las páginas
anteriores.
Ahora se analizarán algunas consecuencias prácticas de éste principio; Suponiendo
que D2 sea diez veces mayor que D1, es decir, D2 = 10D1 y que se aplique una fuerza F1 de 1kg
en el pistón de la izquierda. Sustituyendo estos valores en la ecuación 5.15 se obtiene:
Lo cual significa que por cada kilogramo de fuerza que se aplique en el pistón de la
izquierda, la prensa será capaz de levantar o transmitir una fuerza de 100kg al pistón de la
derecha. Es obvia la ventaja que tiene la aplicación de éste principio.
Éste principio a dado lugar a un amplio desarrollo de los controles hidráulicos para
equipo en operación, como gatos hidráulicos, equipo pesado para mover tierra, montacargas,
grúas, superficies de control de aviones, plataformas elevadoras, básculas, etc.
PRINCIPIO DE STEVIN
Éste principio se enuncia de la siguiente manera:
“la diferencia de presiones entre dos puntos situados a diferente profundidad en el seno de un
líquido en reposo es igual a la diferencia de profundidad multiplicada por el peso específico del
líquido”
Demostración
Considerando un prisma regular imaginario en el interior de un líquido en reposo, como
el mostrado en la figura 1.5
Como el líquido está en reposo, es decir, en equilibrio, se puede establecer que:
Sustituyendo las fuerzas actuantes se tiene que:
(1.21)
Pero, como el prisma es regular se tiene que:
A1 = A2 = A
Sustituyendo en (5.21) y recordando que V = Ah, queda:
Dividiendo por el área de A:
Esto es:
O bien: (1.22`)
Donde:
P1 – P2 = = diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2, ubicados en diferentes
profundidades en el seno del líquido
= peso específico del líquido
h = distancias vertical entre los puntos 1 y 2
Si se compara esta ecuación con el enunciado del principio, puede verse que es
exactamente lo mismo. La ecuación 1.22 ó 1.22` es, pues, la representación matemática del
principio de Stevin.
Es importante hacer notar que el principio de Stevin, representado matemáticamente
por la ecuación 1.22 ó 1.22`, es válido en el caso de que el fluido pueda considerarse continuo
y homogéneo; en otras palabras que tenga un peso específico constante.
Éste principio, también es conocido por el nombre de “Teorema general de la
Hidrostática”
Efectuando un análisis de la ecuación 1.22, puede observarse que si h = 0, entonces P1 = P2; lo
cual significa que en cualquier fluido en reposo, la presión en todos los puntos de un plano
horizontal dados es la misma, o visto de otra manera, en un fluido en reposo, todos los puntos
que tienen la misma presión se encuentran en un plano horizontal común.
Éste principio encuentra múltiples aplicaciones en la práctica, entre otras, para
determinar la presión a que estarán sujetos los cuerpos sumergidos en algún fluido, seto es
particularmente importante en el diseño de submarinos, batiscafos, equipos de buceo y todo
tipo de equipo para operación submarina y/o subacuática.
Además este principio es básico para manometría, ya que los manómetros de tubo con
líquido, lo utilizan para determinar la presión manométrica y en algunos casos también la
absoluta, como se verá más adelante (sección V.5)
Finalmente, puede decirse que el principio de Stevin es básico, ya que prácticamente
no existe problema hidrostático en que no se involucre ya sea directamente o en la deducción
de alguna ecuación.
V.4 TIPOS DE PRESIONES
En esta sección se estudiarán 3 tipos de presiones de uso común en la práctica
ingenieril, las cuales son:
1. Presión atmosférica o barométrica
2. Presión absoluta
3. Presión relativa o manométrica
Presión atmosférica
Ésta es la presión debida al peso de los gases de la atmósfera terrestre, nosotros
vivimos en el fondo de un océano de gases, a la mezcla de los cuales se le da el nombre de
aire. Éste aire tiene peso (aproximadamente del peso del agua en condiciones normales)
y por ende provoca una presión al actuar sobre la superficie de la tierra.
En base a lo anterior, es lógico suponer que la presión atmosférica varíe con la altitud
del nivel del mar. Un lugar más alto tendrá una columna de aire menor sobre él, y por tanto,
una presión atmosférica menor que un lugar más bajo.
La presión atmosférica que actúa sobre el nivel medio del mar se denomina “PRESIÓN
ATMOSFÉRICA NORMAL O ESTÁNDAR”.
A la presión atmosférica que se ejerce sobre una localidad determinada se le llama
“PRESION ATMOSFERICA LOCAL”.
Por lo tanto, para cualquier lugar de la tierra situado al nivel del mar se tiene que:
PRESION ATMOSFERICA LOCAL ═ PRESION ATMOSFERICA NORMAL
V.4.1 Presión absoluta y presión relativa o manométrica
En una región con el espacio exterior, que esta prácticamente vació de gases, la
presión es esencialmente cero. Tal condición puede lograrse en forma muy aproximada en el
laboratorio. La presión en el vació absoluto se llama CERO ABSOLUTO. No puede por tanto,
existir una presión menor al CERO ABSOLUTO. Todas las presiones que se miden con
respecto al CERO ABSOLUTO, se denominan presiones absolutas y no puede haber una
presión absoluta negativa, como es lógico.
Sin embargo, debido a su principio de funcionamiento, la gran mayoría de los aparatos
que miden la presión no dan lecturas de presión absoluta, sino únicamente incrementos o
decrementos de presión con respecto a la presión atmosférica local. En este caso, la presión
de referencia (o el cero de la escala) corresponde precisamente al valor de la presión
atmosférica local. A este tipo de presión se le llama PRESION RELATIVA O MANOMETRICA.
Para este tipo de presión, como esa lógico, existe la posibilidad de que la lectura sea
negativa, cero o positiva. A las presiones relativas negativas se les denomina “PRESIONES DE
VACIO”
Todos estos tipos de presiones y escalas se muestran el la figura 5.6 donde se observa
la relación que guarda la escala absoluta de presiones con la escala relativa o manométrica.
En la figura 1.6 se grafico del lado izquierdo la escala absoluta de presiones y en el
lado derecho la escala negativa o manométrica. También están graficadas la presiona
atmosférica normal y la presión atmosférica local, tomando encuenta que la localidad dada no
se encuentra a nivel del mar, de tal manera que la presión atmosférica normal sea mayor que la
presión atmosférica local. En la escala absoluta, el cero se muestra en el origen, coincidiendo
con la línea horizontal que equivale al cero absoluto. En la escala relativa de presiones el cero
esta ubicado en la línea correspondiente a la presión atmosférica local; entonces, para medir
dos presiones cualesquiera (P1 y P2), si estas son medidas en escala absoluta de presiones,
ambas serán positivas, como se observa en la figura 5.6, ya que en las lecturas se efectúan a
partir del cero absoluto. Si se quieren medir estas mismas presiones con la escala relativa de
presiones; la presión P2 será positiva, pero P1 será negativa, ya que se encuentra por debajo
del cero de esta escala, el cual coincide con el valor de la presión atmosférica local. En este
diagrama también se puede ver que el máxima valor negativo que puede tener una presión
medida en la escala relativa de presiones coincide con el valor de la presión atmosférica local,
ya que si fuera mayor (en valor absoluto) equivaldría a que la presión llegara a ser menor que
el 0 absoluto, lo cual es imposible.
Para encontrar la presión absoluta a partir de la presión leída en un dispositivo que de
la presión relativa, habrá que sumar a la presión leída en ese dispositivo, la presión atmosférica
local, medida exactamente con un barómetro. Esto puede expresarse matemáticamente como:
Pabs = Patm. Local + Prel (1.23)
Esta ecuación puede comprobarse fácilmente en la figura 1.7
La ecuación anterior, básica en el estudio de presiones, se puede obtener a partir de la
ecuación 1.22 esto es, a partir del principio de Stevin, de la manera siguiente:
Suponiendo que se aplica 1.22 entre dos puntos 1 y 2, situados a cierta profundidad en
un líquido y en la superficie libre de este, respectivamente, como se muestra en la figura 1.8
La ecuación 5.22 puede escribirse de la manera siguiente:
(1.24)
De acuerdo con la figura 1.8 y con la ecuación 1.22 se tiene que:
P2 = Patm local
Por otro lado, el término equivale a la presión hidrostática relativa a la profundidad dentro del
líquido.
Esta es una presión relativa debido a que mide el incremento de presión (debido a la
profundidad del punto 1) sobre el valor de la presión atmosférica local, que es la presión
soportada por el punto 1, ubicado en la superficie libre. Por lo tanto se puede decir que:
Finalmente, la presión P1 debe ser la presión absoluta que se tiene en el punto 1, ya
que es la suma de la presione atmosferita local (que actúa sobre la superficie libre) y del
incremento de presión debido al aumento de la profundidad, esto es: P1 = Pabs
Sustituyendo las tres relaciones anteriores en 5.24 se tiene que:
Pabs = Patm. Local + Prel (1.23)
1.1.2 TIPOS DE PRESIÓN
En esta sección se estudiara tres tipos de presión de uso común en la práctica en
ingeniería que son:
1. Presión atmosférica o manométrica.
2. Presión absoluta.
3. Presión relativa o manométrica.
PRESION ATMOSFERICA.
Esta es la presión debido al peso de los gases de la atmósfera terrestre. Nosotros
vivimos en el fondo de un océano de gases, a la mezcla de los cuales se les da el nombre de
aire. Este aire tiene peso (aproximadamente del peso del agua en condiciones
normales) y, por ende, provoca una presión al actuar sobre la superficie de la tierra.
En base a lo anterior, es lógico suponer que la presión atmosférica varía con la altitud
sobre el nivel del mar. Un lugar más alto tendrá una columna de aire menor sobre él, y por
tanto, una presión atmosférica menor que un lugar más bajo.
La presión atmosférica que actúa sobre el nivel medio del mar se denomina “PRESIÓN
ATMOSFÉRICA NORMAL O ESTÁNDAR”.
A la presión atmosférica que se ejerce sobre una localidad determinada se le llama
“PRESION ATMOSFERICA LOCAL”.
Por lo tanto, para cualquier lugar de la tierra situado al nivel del mar se tiene que:
PRESION ATMOSFERICA LOCAL ═ PRESION ATMOSFERICA NORMAL
Por otro lado, el término equivale a la presión hidrostática relativa a la profundidad dentro del
líquido.
Esta es una presión relativa debido a que mide el incremento de presión (debido a la
profundidad del punto 1) sobre el valor de la presión atmosférica local, que es la presión
soportada por el punto 1, ubicado en la superficie libre. Por lo tanto se puede decir que:
Finalmente, la presión P1 debe ser la presión absoluta que se tiene en el punto 1, ya
que es la suma de la presione atmosferita local (que actúa sobre la superficie libre) y del
incremento de presión debido al aumento de la profundidad, esto es: P1 = Pabs
Sustituyendo las tres relaciones anteriores en 5.24 se tiene que:
abs = Patm. Local + Prel (1.23)
Cuadro 1.1.1 Tipos de presiones con su respectivo aparato de medición
1.1.3 DISTRIBUCION DE PRESION HIDROSTATICA
En general, los aparatos para medir presión se llaman manómetros, sin embargo, en
forma particular, según el tipo de presión que miden, adoptan distintos nombres, los cuales se
muestran en el cuadro 5.1
Existen innumerables tipos de aparatos para medir presión; algunos mecánicos, otros
eléctricos y cada uno con grados de precisión muy diversos. Aquí se hablará solamente del
principio de funcionamiento de los instrumentos más comunes para medir presiones.
Cuadro 5.1 Tipos de presiones con su respectivo aparato de medición
TIPO DE PRESION A MEDIR NOMBRE DEL APARATO
Presión atmosférica Barómetro
Presión absoluta Manómetro de presión absoluta
Presión relativa (positiva) Manómetro
Presión relativa (negativa) Vacuómetro
Presiones muy pequeñas Micromanómetro
Diferencia de presiones Manómetro diferencial
Como puede verse en el cuadro 5.1, la presión atmosférica se mide con aparatos
llamados barómetros, de los cuales existen varios tipos.
En esta sección solamente se hablará del principio de funcionamiento del barómetro de
mercurio, desarrollado por Evangelista Torricelli, alrededor del año de 1650, (ver figura 5.8)
Torricelli construyó un tubo de vidrio en uno de cuyos extremos había una esfera
soplada. El tubo tenía una longitud de alrededor 120 cm. Este tubo y la esfera se llenaron
completamente con mercurio. Tapando con un dedo el extremo del tubo, se le dio vuelta y se le
introdujo en un recipiente que también contenía mercurio. Al retirar el dedo, el mercurio bajo de
nivel, estabilizándose en una altura h igual a unos 76 cm. (ver figura 5.8)
De lo anterior se dedujo que la columna de 76 cm. De mercurio, equilibraba la presión
de aire exterior (presión atmosférica), ya que sobre el mercurio dentro del tubo sólo actúa la
presión del vapor del mercurio, lo que, para fines prácticos, puede considerarse como si
estuviera vacío.
La presión atmosférica, puede expresarse en términos de columna de líquido (unidades
de longitud) o en términos coherentes, que son las unidades que se obtienen al aplicar la
ecuación 5.1, es decir, . La ecuación que relaciona lo anterior, se deriva del
principio de Stevin, y es:
(5.25)
Donde:
P = Presión de unidades coherentes .
= Peso específico del líquido
h = Altura de presión en unidades de longitud.
Entonces, la presión atmosférica normal, expresada en términos de altura de presión
vale, según lo encontrado por Torricelli y confirmado posteriormente:
Patm normal = 76 cm. De mercurio =760 mm. De mercurio.
En honor a Torricelli, a esta unidad de presión se le dio el nombre de Torr, esto es:
1 mm de mercurio = 1 Torr
La presión atmosférica normal expresada en unidades coherentes, se obtiene a partir
de la ecuación 5.25 y vale:
P = = (13600 kg m-3)(0.76 m) = 10330 kg m-2
O bien: P = (10330 kg m-2)(104 m2cm-2) = 1.033 kg cm-2
Usualmente, se acostumbra expresar la expresión en términos de altura de agua, por lo
tanto, la presión atmosférica normal de estas unidades valdrá:
En el sistema internacional de unidades S.I. la unidad básica para la medición de
cualquier tipo de presión es el PASCAL, el cual se define como:
1PASCAL = 1 N m-2
Entonces, la presión atmosférica normal, expresada en pascales, valdrá:
P = (10330 kg m-2)(9.81 N kg-1) = 101337.3 Pascales.
Sin embargo, el pascal presenta el inconveniente de ser una unidad bastante pequeña
para medir la gran mayoría de las personas usuales en ingeniería, por lo que se acostumbra
usar algún múltiplo de esta como el KPA (kilopascal = 103 pascales), el MPA (megapascal = 106
pascales).
A pesar de lo anterior, para el caso particular de la presión atmosférica, es muy usado
el BAR, el cual se define como:1 BAR = 105 Pascales
Por lo tanto, la presión atmosférica normal en bares será:
P = (101337.3 Pascales) = 1.01337 bares
En la actualidad, la mayoría de las estaciones meteorológicas del mundo han
estandarizado el milibar como unidad básica para la medición de la presión atmosférica,
entonces:
Patm normal = (1.01337 bares) = 1013.3 Milibares
La obtención del valor de la presión atmosférica normal en el sistema inglés de
unidades, tanto en unidades coherentes (Lo pulg-2 o Lb pie-2), como unidades de altura (pulg o
pies de mercurio o de agua) se deja como ejercicio (ver problema V.8.1)
Por otra parte, como se dijo anteriormente, la presión atmosférica local varía
principalmente con la altitud sobre el nivel del mar. Existen numerosos gráficos en donde se
puede obtener tal variación, aquí se presenta la figura 5.9, la cual dá la variación de la presión
atmosférica con la altitud sobre el nivel del mar, así como la temperatura de ebullición del agua
para el mismo rango de altitudes.
Sin embargo, para fines prácticos, y cuando no se disponga de un grafico como el de la
figura 5.9 conviene recordar la siguiente regla, la cual puede aplicarse con muy poco margen
de error:
La expresión atmosférica local disminuye 25.4 mm (10``) de mercurio por cada 305 m
(1000 pies) sobre el nivel del mar.
Obviamente esta disminución a partir del valor de la presión atmosférica normal o
estándar que, como se vio anteriormente, es de 760 mm de mercurio.
Además, existen algunas fórmulas empíricas bastante confiables, como la propuesta
por la Comisión Internacional de la Navegación Aérea, la cual expresa que:
P = 1013.2 (5.26) Válida para
Donde:
P= presión atmosférica local en milibares
Z = Altitud sobre el nivel del mar en metros.
1.1.4 DISPOSITIVOS DE MEDICIÓN
MEDICION DE LA PRESION RELATIVA Y ABSOLUTA.
En esta selección, se describirá en forma breve, el principio de fundamentos de
los aparatos más comunes para medir la relación relativa y absoluta.
TUBOS PIEZOMETRICOS
Este aparato es un tubo transportable de diámetro pequeño (entre 12 y 15 mm.)
que se conectan al punto en donde se requiere medir la presión (véase figura 1.10)
Este dispositivo mide la presión hidrostática de un líquido midiéndolo la altura
allá que asciende el mismo dentro del tubo, por lo tanto, un tubo piezometrito mide la altura de
presión en un líquido, y si se quiere conocer la presión en unidades de fuerza sobre área hay
que aplicar la ecuación 1.25.
Una de las ventajas que este aparato es su gran precisión y si desventaja
principal es que solo sirve para medir presiones pequeñas, ya que de lo contrario se requeriría
que el tubo fuera muy alto, cosa que resultaría impractica.
Manómetros con líquido
V.5.3.2.1 Para medir presiones relativas
Los manómetros de líquido consisten simplemente en un tubo en forma de U el cual
contiene en su interior un líquido. El tubo se conecta por uno de sus brazos al depósito o
tubería donde se requiera medir la presión, estando el otro brazo abierto a la atmósfera (véase
Fig. 1.11).
El líquido dentro del tubo se denomina líquido manométrico (color negro, ver la Fig.
1.11) y es muy común que sea mercurio ya que tiene una densidad muy alta y un bajo
coeficiente de expansión térmica. Son también usados, sobre todo para medir presiones más
pequeñas: El tetracloruro de carbono (Dr = 1.6 a 20ºC) , el tetrabromoeato (Dr = 3.43 a 0ºC), el
bromuro de etileno (Dr = 2.18 a 0ºC), el bromorfo (Dr = 3.0 a 0ºC), el tolueno (Dr = 0.87), la
parafina (Dr = 0.87), la parafina (Dr = 0.81) y el agua (Dr = 1.0); éstos tres últimos se utilizan
sobre todo cuando la presión que va a medirse es de un gas.
Este tipo de manómetros pueden medir presiones relativas positivas y negativas. Esto
se muestra en la Fig. 1.11, en la cual se presentan tres casos posibles. En la Fig. 1.11a se está
midiendo una presión relativa positiva, ya que la presión del depósito es mayor que la presión
atmosférica local e impulsa al líquido manométrico hacia el brazo derecho del manómetro. En
la Fig. 1.11b sucede lo contrario, es decir, la presión atmosférica local es mayor que la presión
del depósito y, por consecuencia, el líquido manométrico se eleva en el tubo conectado al
depósito; la presión de este caso será una presión relativa negativa. Finalmente, en la Fig.
1.11c las presiones del depósito y de la atmósfera son iguales y, por tanto, el líquido
manométrico sube a la misma altura en ambos brazos, la lectura en este caso sería cero, en la
escala relativa de presiones obviamente.
V.5.3.2.2 Para medir presiones absolutas
Este tipo de manómetro puede usarse también para medir presiones absolutas, sólo
que en este caso el brazo derecho del manómetro no debe encontrarse abierto a la atmósfera,
sino que debe estar cerrado y vacío. De esta manera, todas las presiones que se midan en el
depósito o tubería serán absolutas, ya que son medidas a partir del cero absoluto. Esto se
muestra en la Fig. 1.12
Cuando en ambos brazos del manómetro el líquido se encuentre al mismo nivel (Fig.
1.12b), quiere decir que la presión en el depósito o tubería equivale al CERO ABSOLUTO, es
decir, el depósito está vacío.
V.5.3.3 Manómetro diferencial
Algunas veces, a los manómetros de tubo en U se les llama manómetros diferenciales,
pues miden la diferencia de presión entre un depósito o tubería y la atmósfera. Sin embargo, en
forma más particular, se acostumbra llamar manómetro diferencial a un tubo en U que mida la
diferencia de presiones entre dos depósitos o entre dos secciones de un mismo conducto, ver
Fig. 1.13
V.5.3.4 Manómetro de Bourdon
Este tipo de manómetro consta de un tubo que tiene una sección transversal elíptica,
doblado en un aro circular y hueco en su parte interior.
El principio de funcionamiento de éste manómetro se muestra en la Fig. 1.14. Cuando
la presión atmosférica local (presión relativa cero) prevalece por la parte exterior del tubo, éste
no se reflexiona; para ello, la aguja del manómetro, está calibrada para leer una presión de
cero en la carátula exterior. Cuando se aplica una presión al manómetro (la cual entra por el
interior del tubo elíptico) el tubo tiende a enderezarse, en forma muy parecida a esos juguetes
que se dan en las fiestas llamados “espanta suegras” que se enderezan cuando se sopla por
su extremo. El extremo del tubo ya conectado a un mecanismo previamente calibrado, el cual
hace que la aguja se mueva e indique la correspondiente presión en la carátula exterior.
Un manómetro de Bourdon puede medir también presiones absolutas, a condición de que por
la parte exterior del tubo elíptico reine un vacío total. Esto sólo puede lograse si el interior del
manómetro, donde está alojado el tubo elíptico, se encuentre sellado y vacío; de esta manera,
cualquier presión por encima del cero absoluto que entre el tubo elíptico deformará este, ya que
por su parte exterior la presión equivale al cero absoluto.
Este tipo de manómetro es muy común y es bastante confiable sino se le somete a
excesivas pulsaciones de presión o a choques externos indebidos. Sin embargo, como ambas
condiciones prevalecen a veces en la práctica, es deseable que se instalen amortiguadores de
pulsaciones en la línea que conduce a tales manómetros y que éstos se calibren
periódicamente para verificar su exactitud.
V.5.3.5 Otros tipos de manómetros
Existen múltiples tipos de manómetros además de los descritos anteriormente, como
son: Manómetros de cubeta, Manómetros diferenciales tóricos, Manómetros de membrana,
Micromanómetros, Manómetros de fuella, de émbolo, de resorte, combinados, eléctricos, etc. Si
el lector se interesa en ellos puede consultar por ejemplo: Mataix, Claudio (1982), Creus,
Antonio (1981) o Holzbock, Werner (1982)
V.6 PRESIÓN DE SATURACIÓN DE VAPOR
Todos los líquidos que se exponen a la atmósfera presentan una superficie libre. Entre
ésta y el aire de la atmósfera (intercara) existe un incesante movimiento de moléculas que
escapan del líquido, esto es, el líquido se evapora. Un líquido volátil, por ejemplo: se vaporiza
completamente al contacto con la atmósfera. Si la superficie libre está en contacto con su
espacio cerrado y vacío (por ejemplo en el espacio vacío de los manómetros de tubo en U
mostrados en la Fig. 1.12 o en el barómetro de Torricelli, mostrado en la Fig. 1.8) la
evaporación se produce sólo hasta que en espacio se satura de vapor. Éste vapor ejerce una
presión sobre la superficie libre, la cual impide que el líquido se siga evaporando y cuya
magnitud depende únicamente de la temperatura. Esta presión se denomina Presión de
saturación de vapor, y es denotada por Ps.
Debido a lo anterior, la altura a la que se asciende el mercurio en un barómetro de
Torriceli no es simplemente , sino que, como el espacio vacío dentro del tubo se
satura con el vapor de mercurio, entonces la altura real será:
(1.27)
Donde:
= peso específico del mercurio
Lo mismo sucede en los manómetros de presión absoluta como los mostrados en la
Fig. 1.12, los cuales en realidad no están refiriendo sus lecturas al CERO ABSOLUTO sino al
valor de la presión de saturación de vapor del líquido manométrico a la temperatura que se
encuentre.
Sin embargo, como la presión de saturación de vapor de los líquidos comunes a
temperaturas ordinarias (10 a 30ºC) es muy pequeña, en la mayoría de los casos prácticos
puede despreciarse. A pesar de esto, como la presión de saturación de vapor de un líquido
aumenta con la temperatura, hay que tener cuidado en tomarle en cuenta principalmente
cuando ésta es algo elevada (digamos, mayor de 45ºC en el caso del agua). Cada líquido tiene
sus respectivos valores de presión de saturación en vapor en función de la temperatura. En la
Fig. 1.15 se muestran estos valores para el agua. Obviamente, según lo explicado
anteriormente, la presión de saturación de vapor, es una PRESIÓN ABSOLUTA.
1.2 EMPUJE HIDROSTATICO
A Arquímedes de Siracusa (287 – 212 A. de C) que fue uno de los más grandes
hombres de ciencia de la antigua Grecia, se le considera actualmente como el Padre de la
Hidrostática, ya que una de sus mayores aportaciones a la ciencia es el llamado Principio de
Arquímedes, el cual se enuncia como “todo cuerpo total o parcialmente sumergido en influido
experimenta un empuje vertical hacia arriba que es igual al peso del volumen de fluido
desalojado”. Este empuje actúa en el centro de gravedad de la parte sumergida del cuerpo.
DEMOSTRACIÓN TEÓRICA
Al igual que el principio de Pascal, el de Arquímides tiene varias formas de
demostrarse, tanto teórica como práctica, de las cuales se expondrán algunas a continuación:
Si sumergimos un prisma regular dentro de un fluido y obtenemos la resultante de las
fuerzas verticales que actúan sobre este prisma por parte del fluido tenemos:
En donde:
A = Área de la sección transversal del prisma
De acuerdo con el principio de Stevin las presiones P1 y P2
valen:
Obviamente, P2 es mayor que P1 ya que el área donde
actúa esta última presión se encuentra a menor profundidad
en el fluido.
Sustituyendo 2 y 3 en 1 tenemos:
Pero hA = volumen del prisma (V), entonces:
El signo positivo indica que el sentido de esta fuerza es vertical hacia arriba, de
acuerdo con la convención de la Fig. 6.1
Debido a lo anterior, a esta fuerza se le llama fuerza de empuje o simplemente empuje
y se designa con la letra (E), por lo tanto, la ecuación 5 nos queda:
La ecuación 6.1 es la representación matemática del principio de Arquímedes, en donde:
Fig. 6.2 Demostración práctica del principio de Arquímides
E = empuje sobre el cuerpo
= peso específico del fluido en que se encuentra sumergido el cuerpo
V = volumen desplazado del fluido
Una forma alterna de representar teóricamente el principio de Arquímedes es debido al
principio de la conservación del trabajo y la energía, como se ve enseguida:
Consideramos que levantamos imaginariamente un cuerpo de volumen (V) y peso
específico ( ) una altura (h), haciéndolo en el vacío y después dentro de un fluido con peso
específico ( ). Para el primer caso hay que efectuar un trabajo igual a . En el
segundo caso, en el cual se despreciará el rozamiento, se gasta menos energía, ya que al
levantar el cuerpo de volumen (V) a la misma altura (h), un volumen (V) del fluido desciende la
misma altura. Por esta razón, el trabajo necesario para levantar el cuerpo en el segundo caso
es igual a: . Interpretando la cantidad de trabajo que restamos ( ),
podemos decir, que en comparación con el vacío, dentro del fluido actúa una fuerza
complementaria que facilita el ascenso del cuerpo. Esta fuerza es precisamente el
empuje, por lo tanto:
Que es la misma ecuación obtenida anteriormente.
DEMOSTRACIÓN PRÁCTICA
Se cuelga un cilindro (I) y un cubo (II) de igual volumen del brazo izquierdo de una
balanza. Ambos se equilibran con la carga o contrapeso III. Supongamos que ahora
sumergimos el cilindro (I) dentro de un líquido. Debido a esto, el brazo izquierdo de la balanza
se elevará a causa de la fuerza de empuje que actúa sobre el cilindro (I) sumergido. El
equilibrio vuelve a lograrse si llenamos el cubo (II) con un volumen de agua igual al volumen del
cilindro (I). Como el volumen de agua es igual al volumen del cilindro sumergido (I), entonces
quiere decir que el empuje ascendente es igual al peso del líquido que llevaría el espacio
ocupado por el cilindro, (ver Fig. 6.2)
RESUMEN DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMIDES
Todos los cuerpos experimentan un empuje vertical hacia arriba al estar sumergidos en
un fluido, nosotros mismos, en este instante, estamos recibiendo un empuje vertical hacia
arriba igual al peso específico del fluido que desalojamos (aire) por el volumen desalojado
(volumen de nuestro cuerpo). Claro, nosotros estamos acostumbrados a vivir con este empuje,
el cual, es despreciable en comparación con el peso de nuestro cuerpo y es bastante pequeño
como para hacernos flotar en el aire. Por ejemplo, un hombre promedio, con un volumen
corporal de 70 lts. Estará recibiendo, por parte del aire que desaloja, un empuje
aproximadamente igual a: , el cual es
bastante pequeño. Sin embargo, si este mismo hombre se sumerge en agua, entonces el
empuje que recibirá será: , el cual ya no es
despreciable, e incluso, es tan grande que hará que el hombre flote en el agua. De hecho,
todos los seres humanos normales y la mayoría de los animales recibimos por parte del agua
un empuje mayor a nuestro peso, y por lo tanto, al sumergirnos en ella flotamos.
De la misma manera flotaríamos en cualquier líquido que tuviera un peso específico
mayor que el del agua. Pero si nos sumergimos en un líquido que tenga un peso específico
algo menor que el del agua no flotaríamos (sería menor que nuestro peso). Sin embargo,
nuestro peso aparente dentro de esos líquidos sería menor.
El empuje, de acuerdo con lo anterior, puede expresarse en forma alterna como la
diferencia del peso del cuerpo en el aire y el peso aparente que tendría al estar totalmente
sumergido en un fluido. Esto es:
E = Wen el aire-Wen el fluido
En donde: E = empuje
Wen el aire = peso del cuerpo en el aire
Wen el fluido = peso del cuerpo sumergido en un fluido
Obviamente la condición para que esta ecuación sea válida es que el cuerpo se
encuentre totalmente sumergido en un fluido.
Cualquier material que su peso específico sea menor que el peso específico del fluido
que le rodea (sea líquido o gas), flotará en este.
Por todo de lo que ya estuvimos hablando podemos establecer que:
Cualquier cuerpo que su peso sea menor o igual al peso del volumen del líquido que
puede desplazarse si se sumerge en este FLOTARÁ
Cualquier cuerpo que su peso sea mayor al peso del volumen de líquido que puede
desplazar al sumergirse en éste se HUNDIRÁ
El principio de Arquímedes, a parte de ser la base para la construcción de barcos tiene
múltiples aplicaciones.
CONSTRUCCIÓN DE UNA ESCALA PARA UN HIDROMETRO
En este problema vamos a construir una escala para un hidrómetro. Un hidrómetro es
un aparato que se utiliza para medir la densidad de los líquidos (midiendo directamente la
densidad relativa). Éste aparato se muestra en la Fig. 6.3 y consta de un vástago y un bulbo.
En el fondo del bulbo y por dentro de este se colocan pequeñas esferas metálicas (balines)
usualmente de plomo, con el fin de hacer que el centro de gravedad del hidrómetro quede
ubicado lo más bajo posible de éste para que flote verticalmente al sumergirlo en cualquier
líquido.
El bulbo siempre se debe quedar sumergido, emergiendo sólo parte del vástago.
Obviamente mientras mas denso sea el líquido emergerá una mayor altura del vástago (ya que
el hidrómetro necesita desplazar un volumen menor de este líquido para equilibrar su peso) y
viceversa.
La escala se coloca pues en el vástago y se calibra marcando la posición de la
superficie libre cuando el hidrómetro flota en agua destilada. A este punto corresponderá una
densidad relativa (Dr = 1).
Para trazar la escala a partir de este valor se efectúa lo siguiente:
Sea:
VB = volumen del bulbo
A = área de la sección transversal del vástago
= peso específico del agua
= peso específico del líquido
WH = peso total del hidrómetro
l = profundidad que se sumerge el hidrómetro cuando flota en un líquido x
Cuando el hidrómetro flota en agua se cumple que:
E – WH = 0
E = WH
Y cuando lo hace en otro líquido x
Igualando 1 y 2 tenemos que:
Dividiendo por nos queda:
Pero , entonces:
En donde:
Dr = densidad relativa del líquido (x)
Con la ecuación 6.3, conocidos el volumen del bulbo (VB), la sección transversal del
vástago y la longitud l a partir del bulbo a la que se sumerge el hidrómetro, se puede calcular
cualquier altura lx para líquidos de diferentes densidades relativas.
Observe que si sustituimos Dr = 1 en la ecuación 6.3 nos queda que:
Si sustituimos una Dr >1 obtendremos que: y sustituimos una Dr < 1 obtenemos que:
Fig. 6.3 Hidrómetro
Lo anterior puede comprobarse en el laboratorio para cualquier hidrómetro.
1.2.2 CENTROS DE PRESION
Para sumergir totalmente en agua una colchoneta inflable necesitamos empujarla hacia
abajo. Es más fácil sostener un objeto pesado dentro del agua que fuera de ella. Cuando
buceamos pareciera que nos apretaran los tímpanos. Éstos y muchos otros ejemplos nos
indican que un líquido en equilibrio ejerce una fuerza sobre un cuerpo sumergido. Pero, ¿qué
origina esa fuerza?, ¿en qué dirección actúa?, ¿también el aire en reposo ejerce fuerza sobre
los cuerpos?, ¿qué determina que un cuerpo flote o no? Éstas son algunas de las cuestiones
que aborda la estática de fluidos: el estudio del equilibrio en líquidos y gases.
Un fluido en reposo en contacto con la superficie de un sólido ejerce fuerza sobre todos
los puntos de dicha superficie. Si llenamos de agua una botella de plástico con orificios en sus
paredes observamos que los chorritos de agua salen en dirección perpendicular a las paredes.
Esto muestra que la dirección de la fuerza que el líquido ejerce en cada punto de la pared es
siempre perpendicular a la superficie de contacto.
En el estudio de los fluidos, resulta necesario conocer cómo es la fuerza que se ejerce
en cada punto de las superficies, más que la fuerza en sí misma. Una persona acostada o
parada sobre una colchoneta aplica la misma fuerza en ambos casos (su peso). Sin embargo,
la colchoneta se hunde más cuando se concentra la fuerza sobre la pequeña superficie de los
pies. El peso de la persona se reparte entre los puntos de la superficie de contacto: cuanto
menor sea esta superficie, más fuerza corresponderá a cada punto.
Se define la presión como el cociente entre el módulo de la fuerza ejercida per-
pendicularmente a una superficie (F perpendicular) y el área (A) de ésta:
En fórmulas es: p=F/A
La persona parada ejerce una presión mayor sobre la colchoneta que cuando está
acostada sobre ella. La fuerza por unidad de área, en cada caso, es distinta. Cuando
buceamos, la molestia que sentimos en los oídos a una cierta profundidad no depende de
cómo orientemos la cabeza: el líquido ejerce presión sobre nuestros tímpanos
independientemente de la inclinación de los mismos. La presión se manifiesta como una fuerza
perpendicular a la superficie, cualquiera sea la orientación de ésta.
Densidad y peso específico
La densidad es una magnitud que mide la compactibilidad de los materiales, es decir, la
cantidad de materia ¡contenida en un cierto volumen. Si un cuerpo está hecho de determinado
material, podemos calcular su densidad como el cociente entre la masa del cuerpo y su
volumen: d = m/V
Análogamente, se define el peso específico como el peso de un determinado volumen
del material. Por lo tanto: p=P/V (peso dividido el volumen, pero el peso es la masa (m) por
la aceleración de la gravedad (g)) Se puede entonces escribir: p=(m.g)/V.
Como vimos antes, m/V es la densidad d, entonces p=d.g
Las unidades de presión que se utilizan normalmente son:
Sistema Unidad Nombre
M.K.S. N/m² Pascal (Pa)
TECNICO Kg/m² ---
C.G.S. dina/cm² Baría
EL PRINCIPIO DE PASCAL
En las figuras se muestran dos situaciones: en la primera se empuja el líquido
contenido en un recipiente mediante un émbolo; en la segunda, se empuja un bloque sólido.
¿Cuál es el efecto de estas acciones? ¿Qué diferencia un caso de otro?
La característica estructural de los fluidos hace que en ellos se transmitan presiones, a
diferencia de lo que ocurre en los sólidos, que transmiten fuerzas. Este comportamiento fue
descubierto por el físico francés Blaise Pascal (1623-1662) , quien estableció el siguiente
principio:
Un cambio de presión aplicado a un fluido en reposo dentro de un recipiente se
transmite sin alteración a través de todo el fluido. Es igual en todas las direcciones y actúa
mediante fuerzas perpendiculares a las paredes que lo contienen.
El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente llamadas
máquinas hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa, entre otras.
Cuando apretamos una chinche, la fuerza que el pulgar hace sobre la cabeza es igual a
la que la punta de la chinche ejerce sobre la pared. La gran superficie de la cabeza alivia la
presión sobre el pulgar; la punta afilada permite que la presión sobre la pared alcance para
perforarla.
Cuando caminamos sobre un terreno blando debemos usar zapatos que cubran una
mayor superficie de apoyo de tal manera que la presión sobre el piso sea la mas pequeña
posible. Seria casi imposible para una mujer, inclusive las mas liviana, camina con tacos altos
sobre la arena, porque se hundiría inexorablemente.
El peso de las estructuras como las casas y edificios se asientan sobre el terreno a
través de zapatas de hormigón o cimientos para conseguir repartir todo el peso en la mayor
cantidad de área para que de este modo la tierra pueda soportarlo, por ejemplo un terreno
normal, la presión admisible es de 1,5 Kg/cm².
La Presa Hidráulica
El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente llamadas máquinas
hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa, entre otras.
Este dispositivo, llamado prensa
hidráulica, nos permite prensar, levantar pesos o
estampar metales ejerciendo fuerzas muy
pequeñas. Veamos cómo lo hace.
El recipiente lleno de líquido de la figura
consta de dos cuellos de diferente sección
cerrados con sendos tapones ajustados y
capaces de res-balar libremente dentro de los
tubos (pistones). Si se ejerce una fuerza (F1)
sobre el pistón pequeño, la presión ejercida se transmite, tal como lo observó Pascal, a todos
los puntos del fluido dentro del recinto y produce fuerzas perpendiculares a las paredes. En
particular, la porción de pared representada por el pistón grande (A2) siente una fuerza (F2) de
manera que mientras el pistón chico baja, el grande sube. La presión sobre los pistones es la
misma, No así la fuerza! Como p1=p2 (porque la presión interna es la misma para todos lo
puntos). Entonces: F1/A1 es igual F2/A2 por lo que despejando un termino se tiene que:
F2=F1.(A2/A1)
Si, por ejemplo, la superficie del pistón grande es el cuádruple de la del chico, entonces
el módulo de la fuerza obtenida en él será el cuádruple de la fuerza ejercida en el pequeño.
La prensa hidráulica, al igual que las palancas mecánicas, no multiplica la energía. El
volumen de líquido desplazado por el pistón pequeño se distribuye en una capa delgada en el
pistón grande, de modo que el producto de la fuerza por el desplazamiento (el trabajo) es igual
en ambas ramas. ¡El dentista debe accionar muchas veces el pedal del sillón para lograr
levantar lo suficiente al paciente!
1.2.3 EMPUJES EN SUPERFICIES PLANAS
Se considera un recipiente con un líquido en reposo, donde una de sus paredes tiene
una inclinación respecto a la horizontal, como se indica en la fig. 29. Sobre esta pared se
delimita una superficie de área A para la cual se desea conocer la fuerza resultante debida a la
presión hidrostática, así como su punto de aplicación o centro de presiones.
La fuerza resultante sobre la superficie A será:
es decir, el volumen de a cuña de distribución de presiones abcd está limitada por el área A. La
integral que aparece en la Ec. (2.14) es el momento estático del área respecto de la superficie
libre del líquido y se puede expresar en términos del área A y de la profundidad de su centro de
gravedad zG. El empuje hidrostático es entonces
Figura 2.9. Empuje hidrostático y centro de presiones sobre una superficie plana e inclinada
(2.15)
Las coordenadas ( ) del centro de presiones se obtienen cuando se iguala la suma de
los momentos estáticos de las áreas diferenciales respecto de los ejes x y y, con el producido
por la fuerza resultante.
Para el eje x tenemos que
donde la integral representa el momento estático del volumen de la cuña de presiones respecto
del eje x. De aquí se deduce que coincide con la ordenada de la proyección K´ del centro de
gravedad S, de la cuña.
Se puede dar también una interpretación distinta y para ello se substituye Z=Y sen θ en la
ecuación anterior:
(2.16)
donde la integral es el momento de inercia del área A respecto del eje x, el cual es también
en que es el momento de inercia del área respecto de un eje centroidal paralelo a x;
puede también expresarse como donde es el radio de giro de A respecto del eje
centroidal paralelo a x. Por tanto, si se substituye la Ec. (215) en la (216), con ,
resulta:
(2.17)
Obsérvese que el centro de presiones se encuentra por debajo del centro de gravedad del
área. Aunque tiene importancia secundaria, se puede calcular en forma análoga a :
La integral de esta ecuación representa el producto de inercia , del área respecto del
sistema de ejes x-y; por tanto
Generalmente, las superficies sobre las que se desea calcular el empuje hidrostático son
simétricas respecto de un eje Paralelo a y. Esto hace que y que el centro de presiones
quede sobre dicho eje.
Un procedimiento gráfico para determinar yK se presenta en la Fig. 2.9: sobre G´ se
levanta una normal G´M a la superficie de altura ; la intersección de la perpendicular a la
recta O1 M con la superficie señala la posición de K´. Se deja al lector la demostración del
procedimiento.
En la tabla 2.1 se presentan la posición del centro de gravedad, el área y el radio del giro de las
figuras más usuales.
Problema 2.1. Calcular el empuje hidrostático y el centro de presiones sobre la pared de 2 m de
ancho de un tanque de almacenamiento de agua, para los siguientes casos: a) pared vertical
con líquido de un solo lado (Fig. 2.10); b) pared inclinada con liquido en ambos lados (figura
2.lla); c) pared vertical con líquido en ambos lados (Fig. 2. llb).
Solución a). En la Fig. 2.10 se muestra la distribución de presiones hidrostáticas del agua sobre
la pared vertical. La presión total para , según la Ec. (2.t5), vale
El empuje hidrostático es igual al volumen de la cuña de distribución de presiones.
La profundidad del centro de presiones según la Ec. (217) y las características
indicadas en la Fig. 2.10, vale
Figura 2.10. Distribución de la presión hidrostática sobre una pared vertical.
Este valor también es e! de la profundidad del centro de gravedad de la cuña de distribución de presiones. Solución b). La distribución depresiones es lineal en ambos lados y de sentido contrario, siendo la distribución resultante como se muestra en la Fig. 2. lla.
En la misma forma que en la solución (a), el empuje hidrostático sobre la pared es el volumen de la cuña de distribución de presiones de ancho h indicada con el área sombreada, la cual se puede determinar calculando el área del triángulo de presiones de la izquierda menos el de la derecha. Para el triángulo a la izquierda
Aplicada a la distancia , desde el punto A, entonces
Fig. 2.11 Empuje hidrostático sobre una pared inclinada o vertical con líquido en ambos lados
Para el triangulo a la derecha, se tiene que
Aplicada a la distancia desde el punto A, resulta
El empuje total esta representado por la cuña sombreada:
Tomando momentos de las fuerzas respecto A, obtenemos
Substituyendo el valor de P, se puede despejar y escribir en la forma
SOLUCIÓN c). Para el caso de la figura 2.11b es suficiente hacer =90º en lasa ecuaciones anteriores resultando
1.2.4 EMPUJES EN SUPERFICIES CURVAS
TEOREMA DE PASCAL
Para sumergir totalmente en agua una colchoneta inflable necesitamos empujarla hacia
abajo. Es más fácil sostener un objeto pesado dentro del agua que fuera de ella. Cuando
buceamos pareciera que nos apretaran los tímpanos. Éstos y muchos otros ejemplos nos
indican que un líquido en equilibrio ejerce una fuerza sobre un cuerpo sumergido. Pero, ¿qué
origina esa fuerza?, ¿en qué dirección actúa?, ¿también el aire en reposo ejerce fuerza sobre
los cuerpos?, ¿qué determina que un cuerpo flote o no? Éstas son algunas de las cuestiones
que aborda la estática de fluidos: el estudio del equilibrio en líquidos y gases.
Un fluido en reposo en contacto con la superficie de un sólido ejerce fuerza sobre todos
los puntos de dicha superficie. Si llenamos de agua una botella de plástico con orificios en sus
paredes observamos que los chorritos de agua salen en dirección perpendicular a las paredes.
Esto muestra que la dirección de la fuerza que el líquido ejerce en cada punto de la pared es
siempre perpendicular a la superficie de contacto.
En el estudio de los fluidos, resulta necesario conocer cómo es la fuerza que se ejerce
en cada punto de las superficies, más que la fuerza en sí misma. Una persona acostada o
parada sobre una colchoneta aplica la misma fuerza en ambos casos (su peso). Sin embargo,
la colchoneta se hunde más cuando se concentra la fuerza sobre la pequeña superficie de los
pies. El peso de la persona se reparte entre los puntos de la superficie de contacto: cuanto
menor sea esta superficie, más fuerza corresponderá a cada punto.
Se define la presión como el cociente entre el módulo de la fuerza ejercida per-
pendicularmente a una superficie (F perpendicular) y el área (A) de ésta:
En fórmulas es: p=F/A
La persona parada ejerce una presión mayor sobre la colchoneta que cuando está
acostada sobre ella. La fuerza por unidad de área, en cada caso, es distinta. Cuando
buceamos, la molestia que sentimos en los oídos a una cierta profundidad no depende de
cómo orientemos la cabeza: el líquido ejerce presión sobre nuestros tímpanos
independientemente de la inclinación de los mismos. La presión se manifiesta como una fuerza
perpendicular a la superficie, cualquiera sea la orientación de ésta.
EMPUJES EN SUPERFICIES PLANAS Y CURVAS
El teorema fundamental de la hidrostática
¿Por qué las paredes de un dique van aumentando su espesor hacia el fondo del lago’? ¿Por
qué aparecen las várices en las piernas?
Es un hecho experimental conocido que la presión en el seno de un líquido aumenta con la
profundidad. Busquemos una expresión matemática que nos permita calcularla. Para ello,
consideremos una superficie imaginaria horizontal S, ubicada a
una profundidad h como se muestra en la figura de la derecha.
La presión que ejerce la columna de líquido sobre la superficie
amarilla será:
p = Peso del líquido/Area de la base
Con matemática se escribe: p = P/S = (d . V)/S=(d . S . h)/S= d .
h (porque la S se simplifican)
Donde p es el peso específico del líquido y V es el volumen de
la columna de fluido que descansa sobre la superficie S.
Es decir que la presión que ejerce un líquido en reposo depende del peso específico (p)
del líquido y de la distancia (h) a la superficie libre de éste.
i ahora consideramos dos puntos A y B a diferentes
profundidades de una columna de líquido en equilibrio, el mismo
razonamiento nos permite afirmar que la diferencia de presión será:
PA —PB = p . hA— d . hB
Este resultado constituye el llamado teorema fundamental de la
hidrostática:
La diferencia de presión entre dos puntos dentro de una misma masa líquida es el
producto del peso específico del líquido por la distancia vertical que los separa.
Ésta es la razón por la cual dos puntos de un fluido a igual profundidad estarán a igual
presión. Por el contrario, si la presión en ambos puntos no fuera la misma, existiría una fuerza
horizontal desequilibrada y el líquido fluiría hasta hacer que la presión se igualara, alcanzando
una situación de equilibrio.
Hasta aquí sólo hemos encontrado la expresión de la presión que ejerce el líquido
sobre un cuerpo —imaginario o no— sumergido en una determinada profundidad h. Ahora bien,
¿cuál es la presión total ejercida en el cuerpo? Si tenemos en cuenta que, probablemente, por
encima del líquido hay aire (que también es un fluido), podemos afirmar que la presión total
ejercida sobre el cuerpo es debida a la presión de la columna del líquido más la presión que
ejerce el aire sobre la columna. Es decir: P = Paire + Plíquido = Patmosférica + d . h
Este resultado tiene generalidad y puede ser deducido del teorema fundamental de la
hidrostática. Veamos cómo. Si consideramos que el punto B se encuentra exactamente en la
superficie del líquido, la presión en A es:
PA= PB+ d . Ah = Psuperficie + P. (hA-hB) = Patmosférica + d . h
Los vasos comunicantes son recipientes comunicados entre sí, generalmente por su
base. No importa cuál sea la forma y el tamaño de los recipientes; en todos ellos, el líquido
alcanza la misma altura.
Cuando tenemos un recipiente vertical conteniendo un liquido y le hacemos
perforaciones en sus paredes, las emisiones del liquido de los agujeros de la base tendrán
mayor alcance que las emisiones de arriba, ya que a mayor profundidad hay mayor presión.
1.3 FLOTACION
El primer requisito para que un barco flote es que cumpla con el principio de
Arquímides es decir, que se construya de tal forma que:
Desplace más agua que su cuerpo
Guardar simetría tanto geométrica, como sobre todo, dinámicamente; (al estar en agua
tranquila el barco guarde una posición horizontal)
Matemáticamente hablando, existen dos fuerzas que afectan la estabilidad de un
barco:
El peso del mismo
El empuje que recibe por porte del agua desalojada.
Por lo que se debe cumplir que:
(Ya que el barco flota)
E – W = 0
Condición de equilibrio
El peso del barco actúa en el centro de gravedad de este (CG) mientras que el empuje
actúa en el centro de gravedad del volumen sumergido del barco, al cual se le llama centreo de
flotabilidad (CF) o de la canela (C).
La Fig. 7.1 muestra un barco en aguas tranquilas, en esta condición el barco se
encuentra estable, con su centro de gravedad situado por encima del centro de flotabilidad. En
este caso, las fuerzas involucradas, es decir, el peso del barco y el empuje actúan sobre la
misma línea de acción.
Sin embargo, cuando el barco se encuentra en altamar sufre cierto balanceo debido al
oleaje y al viento. Para este caso, en la Fig. 7.2 se muestra un barco sufriendo un cierto
balanceo. El centro de gravedad del barco (donde actúa el peso) sigue estando donde mismo,
no así el centro de flotabilidad ya que este se ha trasladado a la izquierda debido a que la
forma del volumen desplazado cambia por la forma del barco. El barco de esta figura se dice
que es un BARCO ESTABLE, ya que como puede verse, la acción combinada de las dos
fuerzas (peso W y empuje E) provocan un momento tendiente a enderezar el barco.
El barco de la Fig. 7.3 se encuentra ladeado, pero este barco quizá es muy angosto o
tiene su centro de gravedad muy arriba, esto hace que a pesar de que el centro de flotabilidad
se ha desplazado hacia la izquierda a causa de que vació la forma del volumen desplazado, no
fue suficiente para provocar el momento restaurado en el mismo. Como puede observarse,
aquí la acción combinada de las dos fuerzas (W y E) hará que el barco actúe su balanceo y
probablemente hará que zozobre.
En las figuras 7.2 y 7.3 se encuentra un punto marcado con una (M). A este punto se le
llama METACENTRO, el cual corresponde al punto de intersección de la línea de acción del
empuje con el eje de simetría del barco.
E = W
La posición del metacentro es de vital importancia para determinar si un cuerpo flotante es
estable o no. En general podemos decir que:
Si M se encuentra por encima del CG el cuerpo es estable
Si M se encuentra por debajo del CG el cuerpo es inestable
Si M y CG coinciden, el cuerpo tiene un equilibrio indiferente
En el caso particular de un barco interesa que se cumpla la primera condición. Sin embargo, si
M se encuentra por encima del CG, pero muy cerca una de la otra el barco se balanceará lenta
y ampliamente y será muy probable que se hunda en caso de un choque. Si M está muy arriba
del CG el barco regresará bruscamente a la vertical con riesgo de dañar la carga y causar
trastornos a los tripulantes y pasajeros (será a lo que se le denomina BARCO DURO).
La distancia que existe entre CG y M se llama altura metacéntrica, la cual, si M está por
encima de CG (cuerpo estable) es positiva; si M coincide con CG (equilibrio indiferente) vale
cero y si M se encuentra por debajo del CG es negativa.
En la práctica un valor confiable de altura metacéntrica para barcos mercantes
modernos totalmente cargados es de un 5% de la manga, es decir, la parte más ancha del
barco.
En el cuadro 7.1 se muestran algunos valores prácticos de altura metacéntrica para ciertos
tipos de embarcaciones.
TIPO DE EMBARCACIÓN ALTURA METACÉNTRICA
Barcos de Vela 0.90 a 1.50
Torpederos 0.40 a 0.60
Cruceros 0.80 a 1.20
Cargueros 0.60 a 0.90
De Pasajeros 0.45 a 0.60
A veces, en la práctica, situar el metacentro de una embarcación resulta muy difícil, sin
embargo, existen algunas ecuaciones, como la obtenida por Duhamel, la cual desarrollaremos
enseguida, basándonos en la Fig. 7.4
El volumen desplazado total no cambia en valor por la vuelta a través del ángulo ,
pero si cambia en forma debido a la emersión del volumen en forma de cuña (omn) y a la
sumersión de un volumen igual (om´n´)
Estas cuñas representan una pérdida de empuje E2 debido al volumen emergido (omn)
y una ganancia del mismo E1 debido a la sumersión del volumen (om´n´).
La nueva posición de la fuerza de empuje total (E´) puede considerarse como la resultante de
componer al empuje (E) en su posición original y las fuerzas desequilibrantes de pérdida y
ganancia de empuje (E1 y E2). Como el momento de una fuerza resultante es igual a la suma
algebraica de los momentos de sus componentes y el centro de flotabilidad original (CF) se
seleccionó como centro de momentos tenemos.
Cuadro 7.1 Algunas alturas metacéntricas de tipos diversos de buques
Como E1 = E2 dejamos la ecuación 1 en función de E1, entonces:
Como, de la figura tenemos que: entonces:
Considerando un ángulo pequeño y de acuerdo con la Fig. 7.5 el volumen del prisma
considerado es:
La fuerza de empuje sobre este prisma elemental será:
Y el momento de esta fuerza elemental con respecto a cero será:
La integral de esta ecuación representa el momento de E1 con respecto al eje “y”. Pero
recordando que a lado izquierdo de “y” existe también otro prisma, sobre el que actúa una
fuerza E2. Entonces el momento de la pareja E1 y E2 será el doble del momento que nos da la
integral de la ecuación 6, ya que E1 y E2 son iguales, entonces:
De estática tenemos que: , entonces sustituyendo:
También de estática tenemos que: donde:
= momento de inercia con respecto al eje “y” (eje longitudinal del barco) del área de la
sección transversal del barco en la línea de flotación, en consecuencia:
Sustituyendo en 3 tenemos:
y como entonces:
Ahora de la Fig. 7.4 tenemos:
Donde: CF·M es la distancia que hay entre el CF y el M. Sustituyendo en 11 nos queda:
Como es pequeño tenemos que entonces la ecuación 13 puede
escribirse como:
Esta es la llamada ecuación de Duhamel. Como la altura metacéntrica es la distancia
desde el CG hasta el M; se tiene que:
Donde:
+ CG·M = altura metacéntrica
+ = momento de inercia del área que la superficie libre del líquido intercepta en el cuerpo
flotante con relación al eje de inclinación (eje sobre el cual se supone que el cuerpo pueda
girar)
V = volumen del líquido desplazado
NOTA: el signo positivo representa el caso en el que el CG está debajo del CF.
1.3.1PRINCIPIO DE ARQUIMEDES
Notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría
plana y del espacio, aritmética y mecánica.
Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. En el campo de las
matemáticas puras, se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, como
el cálculo integral, con sus estudios de áreas y volúmenes de figuras sólidas curvadas y de
áreas de figuras planas. Demostró también que el volumen de una esfera es dos tercios del
volumen del cilindro que la circunscribe.
En mecánica, Arquímedes definió la ley de la palanca y se le reconoce como el inventor
de la polea compuesta. Durante su estancia en Egipto inventó el ‘tornillo sin fin’ para elevar el
agua de nivel. Arquímedes es conocido sobre todo por el descubrimiento de la ley de la
hidrostática, el llamado principio de Arquímedes, que establece que todo cuerpo sumergido en
un fluido experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja
(véase Mecánica de fluidos). Se dice que este descubrimiento lo hizo mientras se bañaba, al
comprobar cómo el agua se desplazaba y se desbordaba.Arquímedes pasó la mayor parte de
su vida en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores, dedicado a la investigación y los
experimentos. Aunque no tuvo ningún cargo público, durante la conquista de Sicilia por los
romanos se puso a disposición de las autoridades de la ciudad y muchos de sus instrumentos
mecánicos se utilizaron en la defensa de Siracusa. Entre la maquinaria de guerra cuya
invención se le atribuye está la catapulta y un sistema de espejos —quizá legendario— que
incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol.Al ser conquistada
Siracusa, durante la segunda Guerra Púnica, fue asesinado por un soldado romano que le
encontró dibujando un diagrama matemático en la arena. Se cuenta que Arquímedes estaba
tan absorto en las operaciones que ofendió al intruso al decirle: "No desordenes mis
diagramas". Todavía subsisten muchas de sus obras sobre matemáticas y mecánica, como el
Tratado de los cuerpos flotantes, El arenario y Sobre la esfera y el cilindro. Todas ellas
muestran el rigor y la imaginación de su pensamiento matemático.El principio de Arquímedes
afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba
igual al peso de fluido desalojado.
La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se indica en las figuras:
1. El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.
2. La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y
dimensiones.
Porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.
Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el
resto de fluido. La fuerza que ejerce la presión del fluido sobre la superficie de separación es
igual a p·dS, donde p solamente depende de la profundidad y dS es un elemento de superficie.
Puesto que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas
a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta resultante la
denominamos empuje y su punto de aplicación es el centro de masa de la porción de fluido,
denominado centro de empuje.
De este modo, para una porción de fluido en equilibrio con el resto se cumple
Empuje=peso=rf·gV
El peso de la porción de fluido es igual al producto de la densidad del fluido rf por la
aceleración de la gravedad g y por el volumen de dicha porción V.
Se sustituye la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones si
sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones. Las
fuerzas debidas a la presión no cambian, por tanto, su resultante que hemos denominado
empuje es el mismo, y actúa sobre el mismo punto, es decir, sobre el centro de empuje.
Lo que cambia es el peso del cuerpo y su punto de acción que es su propio centro de masa
que puede o no coincidir con el centro de empuje.
Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo, que no tienen en
principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo punto.
En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son homogéneos y por tanto,
coincide el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.
Ejemplo:
Supongamos un cuerpo sumergido de densidad ρ rodeado por un fluido de densidad ρf. El área
de la base del cuerpo es A y su altura h.
La presión debida al fluido sobre la base superior es p1= ρfgx, y la presión debida al fluido en la
base inferior es p2= ρfg(x+h). La presión sobre la superficie lateral es variable y depende de la
altura, está comprendida entre p1 y p2.
Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre la superficie lateral se anulan. Las otras
fuerzas sobre el cuerpo son las siguientes:
Peso del cuerpo, mg
Fuerza debida a la presión sobre la base superior, p1·A
Fuerza debida a la presión sobre la base inferior, p2·A
En el equilibrio tendremos que
mg+p1·A= p2·Amg+ρfgx·A= ρfg(x+h)·A
o bien,
mg=ρfh·Ag
El peso del cuerpo mg es igual a la fuerza de empuje ρfh·Ag
Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de presión entre la parte
superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido. El principio de Arquímedes se
enuncia en muchos textos de Física del siguiente modo:
Cuando un cuerpo está parcialmente o totalmente sumergido en el fluido que le rodea, una
fuerza de empuje actúa sobre el cuerpo. Dicha fuerza tiene dirección hacia arriba y su
magnitud es igual al peso del fluido que ha sido desalojado por el cuerpo.
Energía potencial de un cuerpo en el seno de un fluido
Cuando un globo de helio asciende en el aire actúan sobre el globo las siguientes fuerzas:
El peso del globo Fg=–mgj .
El empuje Fe= rfVgj, siendo rf la densidad del fluido (aire).
La fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire
Dada la fuerza conservativa podemos determinar la fórmula de la energía potencial asociada
La fuerza conservativa peso Fg=–mgj está asociada con la energía potencial Eg=mg·y.
Por la misma razón, la fuerza conservativa empuje Fe= rVg j está asociada a la energía potencial
Ee=-rfVg·y.
Dada la energía potencial podemos obtener la fuerza conservativa
La energía potencial asociada con las dos fuerzas conservativas es
Ep=(mg- rfVg)y
A medida que el globo asciende en el aire con velocidad constante experimenta una fuerza de
rozamiento Fr debida a la resistencia del aire. La resultante de las fuerzas que actúan sobre el
globo debe ser cero.
rf Vg- mg-Fr=0
Como rfVg> mg a medida que el globo asciende su energía potencial Ep disminuye.
Empleando el balance de energía obtenemos la misma conclusión
El trabajo de las fuerzas no conservativas Fnc modifica la energía total (cinética más potencial)
de la partícula. Como el trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo y la energía cinética Ek
no cambia (velocidad constante), concluimos que la energía potencial final EpB es menor que la
energía potencia inicial EpA. En la página titulada "movimiento de un cuerpo en el seno de un
fluido ideal", estudiaremos la dinámica del cuerpo y aplicaremos el principio de conservación de
la energía.
EL EMPUJE: PRINCIPIO DE ARQUIMEDES
Resulta evidente que cada vez que un cuerpo se sumerge en un líquido es empujado
de alguna manera por el fluido. A veces esa fuerza es capaz de sacarlo a flote y otras sólo
logra provocar una aparente pérdida de peso. Pero, ¿cuál es el origen de esa fuerza de
empuje? ¿De qué depende su intensidad?
Sabemos que la presión hidrostática aumenta con la profundidad y conocemos también que se
manifiesta mediante fuerzas perpendiculares a las superficies sólidas que contacta. Esas
fuerzas no sólo se ejercen sobre las paredes del contenedor del líquido sino también sobre las
paredes de cualquier cuerpo sumergido en él.
Distribución de las fuerzas sobre un cuerpo sumergido
Imaginemos diferentes cuerpos sumergidos en agua y representemos la distribución de
fuerzas sobre sus superficies teniendo en cuenta el teorema general de la hidrostática. La
simetría de la distribución de las fuerzas permite deducir que la resultante de todas ellas en la
dirección horizontal será cero. Pero en la dirección vertical las fuerzas no se compensan: sobre
la parte superior de los cuerpos actúa una fuerza neta hacia abajo, mientras que sobre la parte
inferior, una fuerza neta hacia arriba. Como la presión crece con la profundidad, resulta más
intensa la fuerza sobre la superficie inferior. Concluimos entonces que: sobre el cuerpo actúa
una resultante vertical hacia arriba que llamamos empuje.
¿Cuál es el valor de dicho empuje?
Tomemos el caso del cubo: la fuerza es el peso de la columna de agua ubicada por
arriba de la cara superior (de altura h1). Análogamente, F2 corresponde al peso de la columna
que va hasta la cara inferior del cubo (h2). El empuje resulta ser la diferencia de peso entre
estas dos columnas, es decir el peso de una columna de líquido idéntica en volumen al cubo
sumergido. Concluimos entonces que el módulo del empuje es igual al peso del líquido
desplazado por el cuerpo sumergido.
Con un ejercicio de abstracción podremos generalizar este concepto para un cuerpo
cualquiera. Concentremos nuestra atención en una porción de agua en reposo dentro de una
pileta llena. ¿Por qué nuestra porción de agua no cae al fondo de la pileta bajo la acción de su
propio peso? Evidentemente su entorno la está sosteniendo ejerciéndole una fuerza
equilibrante hacia arriba igual a su propio peso (el empuje).
Ahora imaginemos que “sacamos” nuestra porción de agua para hacerle lugar a un
cuerpo sólido que ocupa exactamente el mismo volumen. El entorno no se ha modificado en
absoluto, por lo tanto, ejercerá sobre el cuerpo intruso la misma fuerza que recibía la porción de
agua desalojada. Es decir:
Un cuerpo sumergido recibe un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen
de líquido desplazado.
E = Peso del líquido desplazado = dlíq . g . Vliq desplazado = dliq . g . Vcuerpo
Es importante señalar que es el volumen del cuerpo, y no su peso, lo que determina el
empuje cuando está totalmente sumergido. Un cuerpo grande sumergido recibirá un gran
empuje; un cuerpo pequeño, un empuje pequeño.
1.2.3 CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE CUERPOS EN FLOTACION
¿Como hace un barco para flotar?
Pues bien, el mismo está diseñado de tal manera para que la parte sumergida
desplace un volumen de agua igual al peso del barco, a la vez, el barco es hueco (no macizo),
por lo que se logra una densidad media pequeña. En el caso de los submarinos, tienen un
sistema que le permite incorporar agua y de esta manera consiguen regular a sus necesidades
la densidad media de la nave.
EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY
El rey Hierón le entregó 2,5 kg de oro a su joyero para la construcción de la corona
real. Si bien ése fue el peso de la corona terminada, el rey sospechó que el artesano lo había
estafado sustituyendo oro por plata en el oculto interior de la corona. Le encomendó entonces a
Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona.
Con sólo tres experiencias el sabio pudo determinar que al monarca le habían robado
casi un kilo de oro. Veamos cómo lo hizo.
En primer lugar, Arquímedes sumergió una barra de medio kilo de oro puro y comprobó
que desplazaba 25,9 cm3. Por lo tanto, el peso específico del oro es:
Poro = 500 gr/25.3 cm3 =19.3 gr/cm3
Si el joyero hubiera hecho las cosas como le habían indicado, el volumen de líquido
desplazado por la corona real, que pesaba 2,5 kilogramos, debería haber sido:
Vcorona = 2.500 gr/19.3 gr/cm3=129.5 cm3
A continuación, sumergió la corona real y midió que el volumen de agua desplazado
era de 166 cm3, o sea, mayor del esperado. ¡Hierón había sido estafado! ¿En cuánto? Para
saber qué cantidad de oro había sido reemplazado por plata, Arquímedes repitió la primera
experiencia sumergiendo una barra de un kilo de plata para conocer su peso específico. Como
el volumen desplazado resultó 95,2 cm3, se tiene que:
Pplata=1000 gr/95.2 gr/cm3=10.5 gr/cm3
Sabemos que el peso total de la corona es 2.500 gr. (el joyero tuvo la precaución de que así
fuera) y su volumen total, de 166 cm3. Entonces:
Vcorona=Voro+Vplata=166 cm3
Vplata=166-Voro
Pcorona=Poro+Pplata=2500 gr.
Si reescribimos la última ecuación en función del peso específico y el volumen, nos
queda que:
19.3 gr/cm3 . Voro + 10.5 gr/cm3 . Vplata = 2500 gr
Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (Voro y Vplata). Sustituyendo una ecuación
con la otra, se tiene que:
19,3 gr/cm3. Voro + 10.5 gr/cm3. (166 cm3-Voro) = 2.500 g
de donde se despeja la incógnita:
Voro =86cm3
con lo que se deduce que:
Poro =Poro Voro = 19,3 gr/cm3 . 86 cm3 = 1.660 gr
Pplata=Pcorona - Poro =2.500gr -1.660 gr =840 gr
De esta manera, Arquímedes pudo comprobar que al rey le habían cambiado 840 gr.
de oro por plata. Cuenta la leyenda que el joyero no pudo disfrutar del oro mal habido.
TAREAS REALIZADAS EN LA PRIMERA UNIDAD
TEOREMA II DE BUCKINGHAM
En 1915, Buckingham demostró que el número de grupos adimensionales de variables
independientes necesarios para relacionar las variables de un proceso dado es igual a n- m,
donde n es el número de variables que intervienen y m, es el número de dimensiones básicas
incluidas en las variables. Por lo tanto, si la residencia al avance F de una esfera en un fluido
es función de la velocidad V, la densidad , la viscosidad y el diámetro D, tenemos cinco
variables y tres dimensiones fundamentales (L, F, T). Por lo que se tendrá 5 - 3
= 2 grupos básicos de variables que servirán para relacionar los resultados experimentales.
MAGNITUDES FÍSICAS, UNIDADES Y DIMENSIONES
En la descripción y estudio de los fenómenos físicos se han desarrollado (y se
desarrollan) conceptos abstractos muy especiales llamados magnitudes físicas. Estas
magnitudes se definen por medio de un conjunto de operaciones experimentales que permiten
obtener un número como medida de la magnitud en cualquier situación. Esta definición
comprende dos pasos esenciales:
1.-La elección de una unidad de medida con múltiplos y submúltiplos
2.- Un proceso para comparar la magnitud o medir con la unidad de medida y establecer un
número como medida de la magnitud.
Ejemplos de magnitudes físicas: longitud, área, volumen, tiempo, masa, energía,
temperatura, fuerza, potencia, velocidad, aceleración, etc. Una de las tareas fundamentales de
la física consiste en establecer las relaciones que existen entre las diversas magnitudes que
intervienen en un fenómeno determinado. Éstas relaciones matemáticas definiciones o leyes;
permiten asociar la media de una magnitud con la medida de las otras magnitudes con las
cuales están relacionadas. Por ejemplo: cuando una partícula se mueve en línea recta se
define la velocidad como la longitud recorrida por la partícula en unidad de tiempo y si se ha
definido adecuadamente un sistema de unidades, se escribe , donde es el tiempo
que se toma la partícula en recorrer la magnitud . Asimismo la aceleración se define como el
cambio de velocidad sufrido en una unidad de tiempo, y se escribe . Por otra parte la
segunda ley de Newton establece que la relación que sufre esta partícula es proporcional a la
fuerza neta que actúa sobre ella; F = ma.
El concepto de dimensión de una magnitud aparece cuando se trata de construir un
sistema de unidades. En principio podría asignársele a cada magnitud física una unidad de
medida para la longitud, otra para el tiempo, otra para le velocidad, otra independiente para la
aceleración t asimismo otra para la fuerza, pero esto nos conduciría a la necesidad de
especificar coeficientes que realizarán las conversiones de unidades y escribiríamos:
Ante la posibilidad de semejante proliferación de coeficientes de conversión sea
establecido un procedimiento general para construir sistemas de unidades; se adoptan por
convención algunas magnitudes físicas como fundamentales y se eligen arbitrariamente sus
respectivas unidades de medida; las magnitudes que no forman parte de las fundamentales
son llamadas magnitudes derivadas y sus unidades de medida se establecen fijando los
valores numéricos de los coeficientes que figuran en las expresiones matemáticas que
relacionan estas magnitudes con las fundamentales.
Las unidades de medida de la velocidad, aceleración y fuerza quedan unívocamente
determinadas en función de las unidades de medida de las fundamentales: la unidad de
velocidad es entonces el m/s, la unidad de aceleración es el metro por segundo por segundo
m/s2 y la de fuerza es kilogramo metro por segundo al cuadrado N.
Y es en ese punto donde aparece la noción de dimensión de una magnitud física.
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD
Corresponde a la noción intuitiva de que solo puedan sumarse o igualarse cantidades
del mismo tipo y que no puede hacerse lo mismo con cantidades de tipo diferente.
Este principio suministra un método muy eficaz para el control de la consistencia de las
ecuaciones que se manejan en el estudio de algún problema. Así si en alguna expresión
matemática que relacione las magnitudes físicas pertinentes al problema, los términos que se
suman o se igualan, no tienen todos una misma dimensión, hay un error en alguna parte y se
hace preciso revisar. Pero ¡cuidado! la homogeneidad dimensional no garantiza que la
ecuación sea la correcta, puede haber errores en las constantes o en la concepción del
problema.
En consecuencia, las ecuaciones que se manejan en física deben de ser todas
dimensionalmente homogéneas y en el momento de realizar los cálculos para obtener el valor
numérico de una magnitud en términos de los valores numéricos conocidos de las otras
magnitudes, las unidades de medida deben ser expresadas todas en el mismo sistema de
unidades: la homogeneidad dimensional y la consistencia de las unidades son dos aspectos de
una misma cosa.
SISTEMA DE UNIDADES
Desde 1989, las definiciones de las unidades de medida de las magnitudes
fundamentales fueron establecidas por una organización internacional llamada Conferencia
General de Pesas y Medidas, y cuenta con representantes de la mayoría de los Países del
mundo. El sistema de unidades definido por esta organización, basado en el sistema métrico
decimal y cuyo mas inmediato antecesor al sistema MKS, se conoce oficialmente desde 1960
como Sistema Internacional o SI, y su uso tiende a ser adoptado mundialmente.
En este Sistema han sido escogidas como magnitudes fundamentales las siguientes:
longitud, tiempo, masa, intensidad de corriente eléctrica, intensidad luminosa, temperatura y
cantidad de sustancia en la tabla siguiente nombramos las unidades definidas como
fundamentales y sus respectivos símbolos.
Magnitud Fundamental Unidad de Medida ( SI ) Símbolo de la Unidad
Longitud Metro M
Tiempo Segundo S
Masa Kilogramo Kg
Corriente Eléctrica Amperio A
Temperatura Kelvin K
Intensidad Luminosa Candela Cd
Cantidad de Sustancia Mol Mol
Se hace necesario definir unidades suplementarias para la medida de ángulos planos y la
medida de ángulos sólidos; éstas y un conjunto de unidades SI muy utilizadas en Mecánica son
listadas a continuación. Se incluye también la fórmula dimensional de cada magnitud.
MAGNITUD
SÍMBOLO
TÍPICO
OFICIAL
UNIDAD PATRON
INTERNACIONALDIMENSION
LONGITUD L Metro, m L
MASA M Kilogramo, Kg M
TIEMPO T Segundo, s T
VELOCIDAD V m/s L T-1
ACELERACIÓN a m/s2 L T-2
ÁNGULO PLANO radianes, rad Adimensional
ÁNGULO SÓLIDO Estereoradian Adimensional
VELOCIDAD ANGULAR Rad/s T-1
ACELERACIÓN ANGULAR rad/s2 T-2
FRECUENCIA v Hertz (s-1) T-1
MOMENTUM-IMPULSO P Kg m/s M L T-1
FUERZA F Newton N M L T—2
TRABAJO-ENERGÍA W, E Joule J (N m) M L2 T-1
POTENCIA Pot Vatio (Watt) M L2 T-3
MOMENTUM-ANGULAR L Kg m/s M L2 T-2
TORQUE N m M L2
MOMENTO DE INERCIA I Kg m2 M L-1 T-2
PRESIÓN-ESFUERZO P, Pascal Pa (N/m2) M L-1 T-2
MÓDULO DE
ELASTICIDADY, B, G Pa M-1 L T2
MÓDULO DE
COMPRESIBILIDADX Pa-1 M L-1 T-1
VISCOSIDAD Pa s M L2 T2
CALOR Q J M L2 T-2
ENTROPÍA S J/0K
Otro Sistema de unidades de gran importancia en física es el sistema cgs que define el
centímetro, el gramo y el segundo como unidades de medida para la longitud, la masa y el
tiempo respectivamente. Su uso en Mecánica es relativamente escaso, pero en la teoría
electromagnética es de gran importancia. Las unidades del Sistema Inglés o Británico, en vías
de extinción, se definen ahora oficialmente en función de las unidades SI de la siguiente
manera:
Longitud: 1 pulgada = 2.54 cm.
Masa: 1 libra masa = 0.45359237 kg
Tiempo: 1 segundo = 1 s
La libra es la unidad de fuerza en el Sistema Británico, y equivale a una fuerza igual al
peso de una libra masa en condiciones específicas. En Física, las unidades inglesas sólo se
emplean en Mecánica y en Termodinámica, y no existe un sistema Británico de unidades
eléctricas.
Otras unidades de fuerza que, aunque no forman parte de ningún sistema de unidades,
son: el kilogramo fuerza (kgf) y el gramo fuerza (gf): 1 kgf es el peso de una masa de un
kilogramo en la superficie de la tierra; de la expresión f = ma se deduce que en un sitio donde
la aceleración de la gravedad sea 9.8 m/s2,
1 kgf = (1 kg) (9.8 m/s2)
= 9.8 kg m/s2
= 9.8 N
Asimismo, 1 gf es el peso de una masa de 1 g; así,
1 gf = ( 1 g)(980 cm/s2)
= 980 g cm/s2
= 980 dinas
PESO ESPECÍFICO ( )
La fuerza gravitacional por unidad de volumen de fluido o simplemente el peso por
unidad de volumen se denomina peso específico y se representa por el símbolo (gamma),
que se determina dividiendo el peso de la sustancia entre el volumen que ocupa.
Donde: Pe = peso específico de la sustancia en N/m3; N = kg m/s2
P = Peso de la sustancia en N
v = volumen que ocupa en m3
DENSIDAD
La densidad de una sustancia “P” expresa la masa contenida en la unidad de volumen.
Su valor se determina dividiendo la masa de la sustancia entre el volumen que ocupa.
Donde: m = kg
v = m3 = litro
DENSIDAD RELATIVA
La relación del peso específico de un líquido dado al peso específico del agua a una
temperatura estándar de referencia se define como densidad relativa. La temperatura estándar
de referencia para el agua a menudo se toma como 40C, donde el peso específico del agua a
presión atmosférica es de 9810 N/m3; con esta referencia la densidad relativa del mercurio a
200C es:
Ya que la densidad relativa es una relación de pesos específicos, no tiene dimensiones
y por supuesto es independiente del sistema de unidades.
VISCOSIDAD
Esta propiedad se origina por el rozamiento de unas partículas con otras cuando el
líquido fluye por tal motivo, la viscosidad se puede definir como una medida de la resistencia
que opone un líquido al fluir. Si un recipiente perforado en el centro se hacen fluir por separado:
miel, leche, agua y alcohol; se observa que cada líquido fluye con rapidez distinta. Mientras
más viscoso es un líquido más tiempo tarda en fluir.
Al medir el tiempo que el líquido deja de fluir se conoce su viscosidad en el sistema
internacional es el poiseville, definido como la viscosidad que tiene un fluido cuando su
movimiento rectilineo uniforme sobre una superficie plana, es retardado por una fuerza de un
Newton por metro cuadrado de superficie de contacto con el fluido, cuya velocidad respecto a
la superficie es de 1m/s.
PRESIÓN MANOMÈTRICA
En una región, como en el espacio exterior que está virtualmente vacío de gases, la
presión es esencialmente cero. Tal condición puede lograrse en forma muy aproximada en el
laboratorio, donde una bomba de vacío se utiliza para vaciar una botella. La presión en el vacío
se denomina cero absoluto, y todas las presiones respecto a esta presión cero se llaman
presiones absolutas. De ahí que la presión atmosférica al nivel del mar en un día en particular
está dada por 101 kN/m2, que equivale a 760 mm de deflexión en un barómetro de mercurio.
Muchos dispositivos medidores de presión no miden presiones absolutas, si no
únicamente diferencias de presión. Por ejemplo; un manómetro consistente en un tubo de
bordón común (fig.3-3) indica tan solo la diferencia entre la presión en el fluido al cual se
conecta y la presión en la atmósfera. En este caso, la presión de referencia es realmente la
presión atmosférica en el indicador. Este tipo de lectura de presión se llama presión
manométrica.
La unidad fundamental de presión en el sistema internacional (SI) es el pascal (Pa)
que equivale a un Newton por metro cuadrado (N/m2). Las presiones manométrica y absoluta
suelen identificarse después de la unidad. Por ejemplo, si una presión de 50 kPa se midiese
con un manómetro respecto a la atmósfera, absoluta fuese 100 kPa, entonces la presión podría
expresarse
Siempre que la presión atmosférica se utiliza como referencia (en otras palabras,
cuando se mide la presión manométrica) existe la posibilidad de que la presión a sí medida
pueda ser ya sea positiva o negativa. A las presiones manométricas negativas se les llama
presiones de vacío. De ahí que si un manómetro se conecta a un tanque e indica una presión
de vacío de 31 kPa absoluta. En la (fig. 3-3) se muestra un ejemplo de este sistema de
referencia para presiones arbitrarias de pA = 200kPa manométrica y pB = 51kPa absoluta con
una presión atmosférica de 101 kPa absoluta.
1 DIFERENCIA ENTRE UN LÍQUIDO Y UN GAS
1. Los líquidos son prácticamente incomprensible, los gases son compresibles
2. los líquidos ocupan un valor definido y tienen superficies libre, mientras que los gases
ocupan la forma del recipiente que los contienen.
La densidad ( ρ ) representa la masa de fluido contenida en la unidad de volumen; en los
sistema absoluto y gravitacional sus dimensiones son [ ML³ ] Y [ FT² L ] respectivamente.
Peso especifico (δ ω) representa el peso de fluido por unidad de volumen [ FL ³]
δ= ω = Pg δ= ω = w = kg
P = 50 kPa manométrica
P = 150 kPa absoluta
vol m³
ρr Densidad Relativa = ω sust no tiene dimensiones
ω agua
ω = 1000kg / m³
Densidad Absoluta = ω kg / m³ = kg seg²
g m / seg² m
Viscosidad: la viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a fluir, como resultado
de la interacción y cohesión de sus moléculas.
μ = Viscosidad Absoluta o Dinámica.
Para el sistema absoluto cm–grmasa–seg, la equivalencia es gm/cmseg, que es utilidad como
unidad de viscosidad cinemática, se conoce como poise.
1 poise = 1 gm
cmseg
Para el sistema gravitacional es más común la unidad:
1 kgseg = 98.0665 gm
m³ cmseg
En el sistema CGS se emplea la unidad
1 STOKE = 1 cm² =0.001 m²
seg seg
CALCULO DE Ycp
Tomando momentos con respecto al eje X. (el cual se coloca a lo largo del punto de contacto
de la superficie libre del liquido con la pared de la estructura se tiene:
Es mas practico obtener el momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo
a “x” que pase por el centro de gravedad de la misma, entonces recurrimos al teorema de los
ejes paralelos, el cual es:
MOMENTOS DE INERCIA DE FIG. GEOMÉTRICAS COMUNES.
Como el momento de inercia de cualquier área es una cantidad positiva, y observando
las EC. (2) y (3) se concluye , Ycp > Ycg y que hcp>hcg se concluye que el centro de presión
del área se encuentra por debajo del centro de gravedad de la misma.
CALCULO DE Ycp
De igual forma, pero ahora tomando momentos con respecto al eje “y” obtenemos:
=90º h= Y sen h=Yhcg= Ycg sen hcg=Ycg sen 90º =1hcp= Ycp sen hcp=ycp
En la mayoría de los casos las áreas sobre las cuales se calcula la fuerza hidrostática son
simétricas con respecto o por lo menos un eje centroidal
Entonces (4) es.
Ya Ixycg = 0 cuando alguno de los ejes centroidales, a los dos, son ejes de simetría.
PROBLEMAS
1.-Determinar la localización “Y” de la articulación en la compuerta rectangular de la Fig.
De tal manera que la compuerta se abra cuando el nivel del liquido alcance la posición
mostrada.
NOTA: para que la compuerta se abra para alcanzar una altura mayor de 2mts. , es necesario hacer coincidir el punto de aplicación de la fuerza. hidrostática con la articulación, cuando el nivel es exactamente el mostrado.
Independientemente del valor de la fuerza, el punto de aplicación es:
La compuerta AB tiene un eje de giro en B y su anchura es de 1.5 m. ¿ Que fuerza vertical,
aplicada en su centro de gravedad, será necesaria para mantener la compuerta en equilibrio, si
pesa 2,000 Kg ?
Calculo de FH
FH = Ɣ heg A
heg = 1.5 + 1.5 ÷ 2 = 2.25 m.
Sen 45º = 1.5 ÷ h
A = b h = b (1.5 m. ÷ sen 45º) = 1.5 m. x 2.12 m.
A = 3.18 m.2
FH = Ɣ heg A = (1000 Kg./m.3 )(2.25 m.)(3.18 m.2)
FH = 7155 Kg. Actuara en forma normal
Calculo de N :
cg ץ + cg ץ c p = Іx ÷ A ץ
cg ץ ÷ c g = heg ץ
c g = heg ÷ sen 45º = 3.18 m ץ
І x = (1.5 )(1.5÷sen45º)3 ÷ 12 = 1.191m.4
.c p = 1.191 m.2 ÷ (3.18 m.2)(3.18 m.) + 3.18 m. = 3.297 m ץ
De la Fig. N = 3 m. ÷ sen 45º = ץ cp = 4.242 m. – 3.297
∴ N = 0.9448 m.
Calculo de M : Como F y W actuaran en el C.G. del área A – B, entonces M será :
M = 1.5 ÷ 2 = 0.75 m.
Haciendo suma de momentos en B y suponiendo que (F) tiene el sentido indicado, tenemos :
∑MB = 0 = FHN – WM –FM
∴ F = FHN – WM ÷ M
F=?
B = Eje de giro
45˚N
W M
A1.5 m
1.5 m
F = (7155 Kg.)(0.9448) – (2000 Kg.)(0.75) ÷ 0.75 m
F = 7013.4 Kg.
2.-Calcular el empuje hidráulico y el centro de presiones sobre la pared de 2 m de ancho
de un tanque de almacenamiento de agua, para los siguientes casos :
a).- Pared vertical con liquido de un solo lado. Fig. (a)
b).- Pared inclinada con líquidos en ambos lados. Fig. (b)
c).- Pared vertical con líquidos en ambos lados. Fig. (c)
A).- Pared vertical con liquido de un solo lado.
Ɣ = 1 Ton. / m.3
P = Ɣ A heg
∴ P = Ɣ b h1 (h1 ÷ 2) = Ɣ b (h2 ÷ 2) = 1 x 2 x 2.42 ÷ 2 = 5.7 Ton.
El empuje hidrostático es igual al volumen de la cuña dist. de presiones.
Ƶk = (h)2(2) ÷ (12)(h) + h ÷ 2 = 2÷ 3 (h) = 1.6 m.
Fig. (a)
B).- Pared inclinada con líquidos en ambos lados.
Triangulo de izquierda – triangulo de derecha
∆ izquierda P = Ɣ h (h2÷2sen ) ∆ derecha P⊖ 2 = Ɣ b x (h2)2 ÷ 2sen ⊖
K1 = (2÷2)(h1÷senץ ) ⊖ K2 = (h1 – h2÷3) ÷ (senӨ)ץ
P = P1 – P2 = Ɣ b (h12 – h2
2 ÷ 2senӨ) = 1x2 (2.42 – 1.42 ÷ 2x 0.866) =4.388 Ton.
Tomando momentos de las fuerza respecto al punto A
P ץK = Ɣ h (h12÷2senӨ) x (2÷3)(h1÷senӨ) – Ɣ b (h2
2÷2senӨ) x (h1 – h2/3÷senӨ)
Sustituyendo el valor de P, ץK se puede despejar y escribir.
K = (h1÷senӨ) – (1÷3 x senӨ)(h1ץ3 – h2
3 ÷ h12 – h2
2) = 2.4 ÷ 0.866 – 2.916 ÷ 3 x 0.866 = 1.649
Fig. (b)
ƵK
h1=2.4m.
Ɣ h1
60ºh1 =
2.4
ץK
P
Ɣ h1
h1 = 1.4
Ɣ h2
C).- Pared vertical con líquidos en ambos lados.
P = Ɣ b (h12 – h2
2 ÷ 2) = 1 x 2 (2.42 – 1.42 ÷ 2) = 3.8 Ton.
K = ƵK = h1 – 1 / 3 (h1ץ3 – h2
3 ÷ h12 – h2
2) = 2.4 – 1 / 3 (2.43 – 1.43 ÷ 2.42 – 1.42) = 1.428
Fig. (C)
SISTEMA DE DIEMENCIONES
ME
TR
ICO
DIMENCIONES FLT(TECNICO) MLT(ABSOLUTO) FMLT(INCOHERENTE)
KGT
FUERZA KG KGM
MASA KG M
LONGITUD
MLT(ABSOLUTO)
SEG
TIEMPO M S
SEG
ING
LE
S
LB
FUERZA LBT
MASA LB LBM
h1 = 2.4
ƵK
h2 = 1.4 m.
Ɣ (h1 – h2)
Ɣ h2
Ɣ h1
LONGITUD PIE PIE PIE
TIEMPO SEG SEG SEGUNIDAD II: PRINCIPIOS CONSERVATIVOS
2.1CONSERVACION DE LA MATERIA
Esta ley es una de las tres leyes de conservación de la física - La le y de la conservación
de la masa postulada que esta no se puede crear ni destruir. Este concepto origina le ecuación
de continuidad, la que establece que, dentro de cualquier sistema hidráulico se debe balancear
la descarga que entra, el volumen que se almacena y la descarga que sale; en otra palabras,
se deben considerar todas las cantidades volumétricas. Como el agua se considera
incompresible, se puede usar a este respecto tanto la masa como el volumen en formas
intercambiable. Para poner el concepto en forma matemática, se puede escribir la ecuación de
cantidad como
Cambio en el almacenamiento (2.2a)
La ecuación anterior se usa a menudo en el análisis de los depósitos y en el control de las
avenidas de los ríos. Es importante que la escala del tiempo sea la misma en ambos lados de
la ecuación. Por ejemplo, si las descargas están en ,
y se desea el cambio en el almacenamiento por periodos de 6 horas, será necesario introducir
un factor de conversión apropiado.
En el caso de que no sea posible tener cambio alguno en el almacenamiento, como cuando
una tubería está llena, el lado derecho de la ecuación 2.2 a se deducirá a cero,
0 (2.2b)
Lo que significa que lo que entra tiene que salir. En ciertas aplicaciones, como en los ríos o en
las tuberías complejas, se separa el problema en componentes de menor tamaño que se unen
en puntos determinados. En este caso, se debe cuidado al seleccionar el signo apropiado para
cada componente de descarga. La conversión común de signos a considerar es la que tiene
como positivas las descargas que encuentra a la componente hidráulica, y las que salen como
negativo. en los puntos donde se unen dos componentes hidráulicas, cambiara el signo de la
descarga.
2.1.1 ECUACION DE CONTINUIDAD
La ecuación de continuidad o conservación de masa es una herramienta muy útil para el
análisis de fluidos que fluyen a través de tubos o ductos con diámetro variable. En estos casos,
la velocidad del flujo cambia debido a que el área transversal varía de una sección del ducto a
otra. Si se considera un fluido con un flujo estable a través de un volumen fijo como un
tanque con una entrada y una salida, la razón con la cual el fluido entra en el volumen debe ser
igual a la razón con la que el fluido sale del volumen para que se cumpla el principio
fundamental de conservación de masa
La ecuación de continuidad es empleada para el análisis de boquillas, toberas, altura de alabes
de turbinas y compresores, perfil de los alabes de las turbinas a reacción entre otros.
1. Nota introductoria:
Los siguientes apuntes sobre los "ASPECTOS FÍSICOS ELEMENTALES DEL VUELO
DE LAS COMETAS", son una recopilación de los escritos que aparecieron en catalán en el
Boletín L´Estel del Barcelona Estels Club debidos a Xavier Soret que bajo el nombre de
"Aclarint conceptes" (Aclarando conceptos), se han ido publicando a lo largo de más de una
veintena de números del citado boletín.
He considerado que tales escritos eran de interés para los que les gustaba los
aspectos más "científicos" de las cometas, pero debido al idioma de publicación, limitaban
mucho la difusión de tal obra, esta fue la razón que me llevo ha recopilarlos y presentarlos en la
forma que tienes en tu mano.
La traducción no es literal, por lo que he cambiado el orden en que fueron publicados
estos artículos, omitiendo conceptos recurrentes y algunos que he considerado evidentes, todo
esto en vías de una mayor claridad expositiva, así mismo, he añadido algunos conceptos que
no aparecían en estos escritos, como el capítulo dedicado a la Teoría de la Semejanza.
Aunque pueda asustar un poco, si se echa una primera ojeada, no hacen falta grandes
conocimientos físicos-matemáticos para entender lo que sigue, no van más allá de los
estudiados en bachiller, creo yo que es más importante, poseer una gran curiosidad científica,
que otra cosa.
Espero que el lector disfrute con su lectura, lo que yo he disfrutado redactándolos.
2. Conceptos Elementales De Mecánica De Fluidos
Ecuación De Continuidad
Consideremos un fluido, que atraviesa dos superficies S1 y S2, las cuales, son perpendiculares
a las direcciones de las líneas de corriente del fluido. Como entre ambas superficies no existe
ninguna fuente ni sumidero de fluido, la masa que atraviesa las superficies tiene que ser igual,
por tanto: M1 = M2
Principio de conservación de la matera.De acuerdo con este, de la masa de fluido que en la unidad de tiempo entra a un
volumen especificado entro del flujo, una parte se queda almacenada en su interior y el resto sale del volumen. Si el volumen que se estudia es de forma y magnitud constante (volumen de control), el almacenaje no puede ser indefinido. Matemáticamente es preferible tratar con la cantidad neta de masa que sale y que entra, sumadas algebraicamente; así, el principio de la conservación de la materia, aplicado a un volumen de control fijo completamente arbitrario dentro del flujo, de expresa en la formula siguiente:
+ = 0
Este principio se aplica lo mismo a un volumen de control de tamaño diferencial que a uno finito, de lo cual se deriva la llamada ecuación de continuidad.
Ecuación diferencial de continuidadSi bien esta ecuación no tiene mucha aplicación en los problemas de flujo
unidimensional en hidráulica, aquí se presenta su derivación para ser utilizada en los problemas de flujo con potencial. Para obtenerla se aplica el principio de conservación de la materia al volumen de control diferencial, mostrado en la Fig. 4.1 (de lados dx, dy, dz).En el centro de masa p del volumenconsiderado corresponden los valoresp y v como funciones de punto y deltiempo, o bien, el producto pv comofunción vectorial.Al pasar a las caras normales al eje x, que limitan al elemento de fluido,la función pv se incrementa y decre- menta en la misma cantidad:
donde el subíndice x indicacomponente de la función pv segúnx. de este modo, considerando positivala masa que sale del volumen y negativola que entra, la cantidad neta de masa que atraviesa estas cara es:
Por un razonamiento semejante, la cantidad neta de masa que atraviesa las caras normales al eje y es:
Y, la que atraviesa a las normales al eje z;
Cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen, en la unidad de tiempo.
Rapidez de variación de la masa contenida en el volumen
Finalmente, la rapidez de variación de la masa contenida en el volumen elemental es:
De tal manera que el principio de conservación de la masa establece lo siguiente:
y, puesto que el volumen elemental escogido no cambia con el tiempo, la ecuación anterior se puede simplificar y resulta:
O bien, recordando que
La ecuación anterior también se expresa en la forma
Las ecs. (4.1ª Y b) son dos formas de expresar la ecuación diferencial de continuidad, que es la más general para un flujo compresible no permanente; admite las siguientes simplificaciones:
a) fluido compresible permanente
b) flujo incompresible no permanente (p = constante)
c) flujo incompresible no permanente
Igual que la Ec. (4.3) para un flujo incompresible, sea o no permanente.
Problema 4.1 un flujo incompresible permanente, con simetría axial respecto del eje z (Fig. 4.2), esta limitado por una superficie sólida (con la misma simetría) cuya forma esta definida por la ecuación (r, radio medido desde el eje z, y b una constante) y tiene un campo de
velocidades dado por las componentes en coordenadas cilíndricas:a) demostrar que se satisface la ecuación diferencial de continuidad.b) Determinar la expresión para el gasto a través de la sección horizontal A-A y de la
sección cilíndrica B-B c) Determinar la velocidad en el punto P(r = z =1.5m) cuando Q = 10.64m/seg. (ref. 20)
Solución a). El campo de velocidades,
definido en coordenadas cilíndricas, equivale a las siguientes expresionesen coordenadas cartesianas.
Resulta entonces que
Esto es, se satisface la ecuación de continuidad (4.3) y se verifica que el flujo es incompresible.Para los restantes puntos conviene mas utilizar las coordenadas polares.
Solución b). Para la sección horizontal A-A, el gato es
Para la sección cilíndrica B-B se tiene:
c) para el punto P:
Y, considerando el valor de Q, se tiene entonces que
Por tanto, la magnitud de la velocidad en el punto P, es:
ECUACIÓN DE BERNOULLI
En la Fig. 11.1 se presenta un conducto a través del cual existe un flujo de un fluido
incompresible (líquido). Vamos a asumir que el flujo sea permanente y que no existe
transferencia de masa a través de las paredes del conducto es decir, que la cantidad de fluido
que entre por una sección determinada del conducto es decir, que la cantidad de fluido que
entre por una sección determinada del conducto sea igual a la que sale por otra sección en el
mismo intervalo.
Aplicando el principio de la conservación de la energía, el cual dice que:
……….11.1
En donde:
E1 = energías de las partículas del fluido en la sección 1
E2 = idem en la sección 2
W1-2 = trabajo necesario para llevar una partícula de fluido de la sección 1 a la sección 2.
Como la energía en cada punto se divide en energía cinética y en energía potencial,
tenemos que de acuerdo con la ecuación 11.1
ECIN 1 +EPOT 1 +W1-2 = ECIN 2 +EPOT 2…………………………1
Sabemos que ECIN = 1 / 2 mv2 y que EPOT = mgz
El trabajo de 1 a 2 se puede ver así: en el sentido del flujo actúa la fuerza F1 = P1A1, la
cual ayuda a trasladar las partículas del punto 1 al punto 2; la fuerza F2 = P2A2 actúa en sentido
contrario, es decir, trata de impedir que las partículas del fluido ponen del punto 1 al punto 2. A
parte de estas dos fuerzas, existe otra que trata de impedir el flujo de 1 y 2, esta es la fuerza de
rozamiento entre las paredes del conducto y las partículas del fluido en contacto con ellas. Sin
embargo en el análisis siguiente vamos a considerar despreciable esta última fuerza.
La fuerza F1, en un instante pequeño de tiempo t mueve ciertas partículas de fluido una
distancia ; como el fluido es incompresible, este movimiento se transmite hasta el punto 2, en
el cual las partículas se desplazan una distancia . Entonces el trabajo de 1y 2 podemos
expresarlo como:
E1 + W1-2 = E2
Como las distancias y son pequeños podemos considerar que y
en donde V1 y V2 son los volúmenes desplazados en un instante pequeño de tiempo
(t).
Para V1 = V2 ya que el flujo es permanente compresible y sin transferencia de masa a
través de las paredes del conducto, con esto podemos establecer que:
V1 = V2 = V sustituyendo en 2 nos queda:
W1-2 = P1V1 – P2V2 = (P1 – P2)V……………………………….3
Poniendo el volumen en función de la densidad y la masa del fluido tenemos:
Sustituyendo las energías potencial y cinética en cada punto y el trabajo de 1 a 2 en la
ecuación 1 nos queda:
Dividiendo entre mg:
Recordando que pg = y ordenando los términos de acuerdo con su subíndice a uno y
otro lado del signo igual, tenemos:
La ecuación anterior se conoce como ecuación de Bernoulli en la cual se han despreciado las
pérdidas de energía por fricción y no se ha considerado la adición de energía por medios
externos al flujo.
Si consideramos las pérdidas por fricción y tenemos algún dispositivo que añada
energía al flujo entre los puntos 1 y 2, la ecuación de Bernoulli tiene la siguiente forma:
En donde:
V1 = velocidad media del fluido en la sección 1
V2 = idem en la sección 2
Z1 = distancia vertical desde el plano de referencia al punto 1
Z2 = idem en el punto 2
Estas distancias Z son positivas si el punto se encuentra por encima del plano
referencia; son negativas si el punto se encuentra por debajo del plano y son cero si el punto
coincide con dicho plano.
P1 = presión del fluido en el punto 1
P2 = presión del fluido en el punto 2
RECOMENDACIONES PARA LA APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE
BERNOULLI
Siempre se aplica en la dirección del flujo
Generalmente se aplica desde el inicio hasta el final de la instalación (casi siempre el
inicio y el final de una instalación, se considera la superficie libre del líquido en el
deposito de aspiración y de descarga, respectivamente).
Los puntos elegidos como 1 y 2 deben ser puntos en los cuales sea posible determinar
su presión, velocidad y posición (altura) con respecto al plano de referencia
Si en un problema dado al aplicar la ecuación de Bernoulli nos quedara más de una
incógnita, posiblemente sea necesario aplicar también la ecuación de continuidad o
aplicar nuevamente Bernoulli seleccionando otros puntos de la instalación.
2.1.2 ECUACION DEL GASTO
GASTO EN MASA O MÁSICO
Se define como la cantidad de fluido, expresada en unidades de masa, que pasa por una
sección determinada en la unidad de tiempo. Es decir:
Ó
GASTO EN PESO (W)
Cantidad de fluido, expresada en unidades de peso, que pasa por una sección determinada en
la unidad de tiempo y se puede expresar como:
En la fig. 3.13, un elemento dA, de la superficie S (limitada por la curva C) y que
contiene al punto cualquiera P, se puede representar por el vector diferencial de superficie:
dA = dAn
Donde n se define como un vector unitario normal a la superficie en el punto P, cuyo
sentido positivo se establece por convención.
Figura 3.13. Concepto de gasto.
La velocidad v que corresponde al punto
P tiene en general una dirección distinta
a la de dA.
En un intervalo dt, el volumen de fluido
que atraviesa el elemento de superficie dA
queda determinado por el producto escalar
de los vectores: el diferencial de arco
ds sobre la línea de corriente que pasa por
P y el vector diferencial de superficie dA.
Entonces, considerando que ds = v dt,
el volumen de fluido que pasa a través del
elemento dA vale:
d v = ds . dA = v . dA dt
El flujo de volumen a través de toda la superficie S queda definido por la ecuación
Cuyas dimensiones son . Este flujo de volumen se conoce como gasto o caudal.
Si en un flujo la superficie S se escoge de modo que las líneas de corriente sean normales a
ella en cada punto, de la Ec. (3.11) el gasto se puede calcular de la manera siguiente:
Se llama velocidad media, a través de la superficie S de área A, al promedio calculado así:
Y equivale a suponer que la velocidad se distribuye uniformemente sobre toda la superficie, con
un valor constante V y en dirección perpendicular a la misma.
Problema 3.6. En el fluido mencionado en el problema 3.4, determinar el gasto, por unidad de
ancho, del chorro que pasa a través de una superficie horizontal localizada a y=1.5m y limitada
por las abscisas x=-0.50m y x=0.50m
Solución: el vector velocidad para el fluido es
Y el vector diferencial de superficie es
dA=-dxj
Haciendo el producto escalar indicado en la EC. (3.11), esta se escribe como
Donde los limites de integración corresponden a las abscisas. La integración efectuada con
y=cte, conduce al siguiente resultado:
Y para y=1.5m vale
2.2CONSERVACION DE LA ENERGIA.
Primero procederemos a distinguir entre dos tipos de fuerzas, conservativas y no
conservativas. Consideremos un ejemplo de cada tipo y después discutimos cada ejemplo,
desde varios puntos de vista diferente, pero relacionados.
Imaginemos un resorte con uno de sus extremos asegurado a una pared rígida, como se
muestra en la figura 8-1. Deslicemos, directamente hacia el resorte, un bloque de masa m con
la velocidad v; suponemos en el plano horizontal no tiene fricción, y que el resto es ideal, es
decir, que obedece la ley de Hooke (Ec.2-7),
(2.3)
Donde F es la magnitud de la fuerza ejercida por el resorte, cuando su extremo libre se
desplaza la distancia x.
Después de que el bloque toca el resorte, la rapidez, y con ella la energía cinética del bloque
decrecen, hasta que finalmente el bloque alcanza el reposo por la acción de la fuerza del
resorte, como en la figura 8-1b. Entonces, cuando se extiende el resorte comprimido, el bloque
invierte su movimiento; gana rapidez y energía cinética y, cuando pasa de nuevo por la porción
del contacto inicial con el resorte, encontramos que tiene la misma rapidez y energía cinética
que la que tenia originalmente, solo que ha cambiado el sentido del movimiento. El bloque
pierde energía cinética durante parte de su movimiento, pero la gana totalmente durante la otra
parte de su movimiento, cuando regresa a su punto de partida.
La energía cinética de un cuerpo se puede interpretar como su capacidad para hacer trabajos
en virtud de su movimiento. Claramente se ve en la figura anterior, que al completarse al viaje
redondo, la capacidad del bloque para hacer trabajo permanece igual; se ha conservado. La
fuerza elástica ejercida por un resorte ideal y otras fuerzas que actúan en la misma forma, se
llama conservativas. La fuerza de la gravedad también es conservativa; si lanzamos una
pelota verticalmente hacia arriba (si la resistencia del aire es depresiable), regresa hasta
nuestra mano con la misma energía cinética que tenia cuando dejo nuestra mano.
Si por el contrario, unja partícula sobre la que actúa una o mas fuerzas, regresa a su posición
inicial con mas o menos energía cinética de la que tenia inicialmente, entonces, en su viaje
redondo ha cambiado su capacidad para hacer trabajos, su capacidad para hacer trabajos no
se conserva y cuando menos una de las fuerzas que actúan se identifican como no
conservativas.
La fricción se opone al movimiento del bloque, sin importar en que sentido se mueve, y se
encuentra que el bloque regresa a su punto de partida con menos energia cinetica de la que
tenia inicialmente. Decimos que esta fuerza y otras que se comportan de la misma manera, son
no conservativas. La fuerza de inducción en un betatrón (sec. 32-6), también es una fuerza no
conservativa. En lugar de disipar energía cinética, la produce, de tal manera que un electrón
que se mueva en la órbita circular del betatrón, regresará a su posición inicial con más energía
cinética que la que tenía originalmente. En un viaje redondo el electrón gana energía cinética,
como debe hacerlo, si el betatrón ha de ser efectivo.
Resumiendo: una fuerza es conservativa si la energía cinética de una partícula sobre la que
actúa, regresa a su valor inicial después de un viaje redondo. Una fuerza es no conservativa, si
la energía cinética de la partícula cambia después de un viaje redondo. En esta definición
suponemos que la fuerza en cuestión sólo es una de las que hacen trabajo sobre la partícula.
Si más de una fuerza hace trabajo, consideraremos que los efectos atribuibles a cada una de
estas fuerzas se pueden analizar separadamente.
2.2.1ECUACION DE LA ENERGIA
Ecuación del movimiento
Si no se incluyen los efectos termodinámicos en el flujo ni la adición o extracción de energía mecánica desde el exterior (bomba o turbina), es posible derivar las ecuaciones del movimiento- aplicables al flujo de líquidos- a partir de la segunda ley de Newton. Para ello es necesario considerar las fuerzas que se oponen al movimiento, las cuales desarrollan un trabajo mecánico equivalente a la energía disipada al vencer dichas fuerzas.Cuando se aplica la segunda ley de newton a un elemento diferencial de masa de liquido, en la forma dF=dm a, se obtienen las ecuaciones del movimiento- a lo largo de una línea de
corriente- para el flujo de un liquido real, no permanente; puede generalizarse para una vena liquida en flujo unidimensional. La derivación de dicha ecuación corresponde a las condiciones particulares del movimiento según el sistema natural de coordenadas. Para el planteo de las ecuaciones es necesario establecer el equilibrio dinámico de las fuerzas en las direcciones tangencial, normal y binormal, que actúan sobre el elemento líquido (mostrado en la figura 4.6), con la fuerza de peso como única fuerza de cuerpo. Dicho elemento encierra al puno o, en el cual existen los valores (velocidad, presión, densidad, esfuerzo de fricción). Las componentes de las fuerzas que actúan sobre el elemento en la dirección +s son las siguientes:
la fuerza de superficie resultante de un gradiente de presiones en la dirección del movimiento; para la dirección positiva de la coordenada curvilínea s (fig. 4.6 b) es:
la fuerza de superficie, debida a la resistencia al movimiento, se puede evaluar en términos del esfuerzo tangencial de fricción el cual varia únicamente en la dirección n dado que en la ,ּז inmediata vecindad del puno P no hay variación de la velocidad en la dirección b. esta fuerza es:
c) la componente de la fuerza de cuerpo, debida al propio peso del elemento.
Con vale:
La segunda ley de newton- aplicada al elemento- establece que la suma de estas fuerzas es igual a la masa del elemento, multiplicada por la componente de la aceleración dada por la EC.(3.5ª). Puesto que en todos los términos que representan fuerzas aparece el volumen del elemento ds dn db, resulta entonces:
Dado que p ds dn db representa la masa del elemento, si los términos de la ecuación anterior se dividen entre aquella, cada término representara una fuerza por unidad de masa. Resulta entonces que esta es la primera ecuación diferencial del movimiento.
NOTA: Las dimensiones del elemento son ds, dn y db, medidas a través de su centro; v, p, p y 't, los valores medidos en P.Figura 4.6 b). Componentes de las fuerzas que actúan sobre el elemento.
El primer término es debido gradiente de presiones en la dirección la línea de corriente; el segundo, la fuerza de resistencia causada por la fricción interna y que induce la disipación de energía; el tercero, la fuerza de peso (todas estas fuerzas son por unidad de masa); finalmente, el cuarto término (segundo miembro) es el cambio de energía cinética aceleración convectiva) que experimenta unidad de masa a lo largo de la línea corriente; y, el último, la aceleración local de la misma.La Ec. (4.8a) se ha derivado por simplicidad para un elemento de área transversal constante. Sin embargo, el mismo resultado se obtiene si el elemento es divergente(Ref. 12).En la misma forma se establece el equilibrio dinámico del elemento, ahora en la dirección de la normal principal a la línea de corriente, sobre la cual la componente de la aceleración está
dirigida en sentido negativo de n y está expresada por la Ec. (3.5b) y donde, además, no existe fuerza de fricción. Resulta:
Donde r es el radio local de curvatura de la línea de corriente. Dividiendo entre p ds dn db, se tiene:
La Ec. (4.8b) permite determinar la distribución de la presión en la dirección de la normal principal de la línea de corriente, si se conoce la distribución de v sobre la misma. Es válida para el flujo compresible permanente o no y sus diferentes términos representan a las fuerzas por unidad de masa.En el caso de que la línea de corriente sea de curvatura despreciable (r=∞), el segundo termino de la Ec. (4.8 b) vale cero. Finalmente, del equilibrio dinámico según la dirección de la binormal, resultaría:
Debido a que Ec. (3.5 c). La ecuación (4.8c) es valida para el flujo permanente o no permanente y sus términos también representan a fuerzas por unidad de masa.
Si se trata del flujo de líquidos los efectos térmicos no tienen influencia en p y, además, es común que los cambios de p y , con la posición del punto, sean más tar p (aun en golpe de ariete). Por tanto, las Ecs. (4.8) para el flujo de líquidos se pueden escribir en forma:
Todavía más considerando las ecuaciones (3.6) y (3.8), la forma vectorial de las ecuaciones del movimiento (4.9 a, b, c) es (Ref.12):
222 SOLUCION PARA UNA VENA LIQUIDA
El considerar que los valores de sobre una línea de corriente ideal que coincidiera con el eje de una vena liquida, fueran representativos de cada sección, no implicaría un error apreciable y la Ec. (4.12) seria igualmente valida para la vena liquida. Esta consideración es suficientemente precisa por lo que respecta a los términos que contienen las cuatro primeras magnitudes, pero será menos exacta en lo que se refiere a los que contienen a v. En efecto; al existir una distribución de velocidades en la sección, que además se aparta del valor medio v (Fig. 4.7), se comete un error en el cálculo de dicho valor medio.
Puesto que en las ecuaciones (4.11) y (4.12) el término representa la energía cinética
que posee la unidad de peso, la que corresponde al peso del líquido que atraviesa el área dA en la unidad de tiempo será: En la misma forma, la energía cinética que posee todo el peso del liquido que fluye a través de una sección de la vena liquida, en la unidad de tiempo, es donde α corrige el error de considerar el valor medio de la velocidad. Se debe entonces satisfacer lo siguiente:
Puesto que representa el valor medio del peso especifico en toda la sección, resulta que
Por un razonamiento análogo con el último termino de la Ec. (4.12), se tiene
Los coeficientes se conocen como coeficientes de coriolis y de boussinesq, respectivamente. Con estas correcciones la Ec. (4.12) resulta así:
Que es la ecuación diferencial de la energía para una vena liquida, llamada también ecuación dinámica. Si esta ecuación se integra entre dos secciones, 1 y 2 de la vena líquida, se obtiene:
Es decir, la ecuación general de la energía para una vena liquida, donde representa la
disipación de energía interna del flujo, entre las secciones 1 y 2, que además, incluye la constante de integración C (t).
Interpretación de la ecuación de la energía
Con el objeto de entender mejor las diferentes aplicaciones de la Ec. (4.19), es adecuado hacer una interpretación física de los diferentes términos que intervienen en ella. El análisis de cada uno de sus términos muestra que corresponden a los de una longitud o carga. El termino z,
medido desde un plano horizontal de referencia, se llama carga de posición; es la carga de
presión; la carga de velocidad; la perdida de carga y la carga
correspondiente al cambio local de la velocidad.
La Ec. (4.19) establece las relaciones entre las diferentes transformaciones de la energía mecánica del líquido, por unidad de peso del mismo . La carga de posición es la energía correspondiente al trabajo mecánico a la presión; la carga de velocidad es la energía cinética de toda la vena liquida; la perdida de carga es la energía transformada en otro tipo de energía (transferencia de calor) que, en el caso de los líquidos, no es utilizable en el movimiento; y, finalmente, la carga correspondiente al cambio local de la velocidad es la energía utilizada para efectuar dicho cambio.
a) Si el flujo es permanente, y la Ec. (4.19) se reduce a la expresión:
b) Si, además, no hay pérdida de energía, y los coeficientes , la Ec.
(4.20) adopta la forma llamada ecuación de Bernoulli para una liquida, esto es:
c) Si representa la energía por unidad de peso que tiene el líquido en
una determinada sección, la cual es medida desde el plano horizontal de referencia, la Ec. (4.20) se simplifica así:
En una determinada sección la energía de un volumen v del líquido, respecto del plano horizontal de referencia, es: Y, por definición de energía y potencia, en esa sección esta ultima vale: Donde:
Peso especifico del liquido, en
Energía total respecto del plano de referencia, en m;
Gasto en la sección considerada, en
Potencia del liquido, en Esto es, si se multiplican ambos miembros de la Ec. (4.22) por , para el flujo permanente,
esta ecuación se puede también expresar en la forma
Una interpretación física de cada uno de los términos de la Ec. (4.19) para una conducción forzada con escurrimiento no permanente, se muestra en la Fig. 4.8, la cual tendría validez para un instante determinado. Con este esquema se pueden hacer las siguientes definiciones.1. La línea de energía une los puntos que indican en cada sección la energía de la corriente.2. La línea de cargas pieloométricas o gradiente de cargas de presión, une los puntos que marcan en cada sección la suma de las cargas por arriba del y plano de referencia.
De acuerdo con estas definiciones la línea de cargas piezométricas está separada de la línea de energía, una distancia vertical correspondiente a cada sección.
Al mismo tiempo se pueden hacer las siguientes generalizaciones.1. La línea de energía no puede ser horizontal o con inclinación ascendente en la dirección del escurrimiento, si el líquido es real y no adquiere energía adicional desde el exterior. La diferencia de nivel de la línea de energía en dos puntos distintos representa la pérdida de carga o disipación de energía por unidad de peso del líquido fluyente.
2. La línea de energía y la de cargas piezométricas coinciden y quedan al nivel de la superficie libre para un volumen de líquido en reposo (por ejemplo, un depósito o un embalse).
3. En el caso de que la línea de cargas piezométricas quede en algún tramo por debajo del eje de la vena líquida, las presiones locales en ese tramo son menores que la presión cero de referencia que se utilice (comúnmente la presión atmosférica).
En la Fig. 4.9 se muestra la disposición de las líneas de energía, y de cargas piezométricas, de una instalación hidroeléctrica donde el flujo es permanente; la turbina aprovecha la energía disponible Ha., b. En la Fig. 4.10 se muestra el mismo esquema, pero en este caso se trata de una instalación de bombeo. Para los dos casos laEc. (4.19) se escribe como sigue:
En la instalación hidroeléctrica la turbina queda generalmente muy próxima a la sección 2 y el término es despreciable.
Por lo que respecta al término Ha., b éste se ha empleado en la Ec. (4.25) como una energía cedida o añadida al flujo y tiene las dimensiones de una longitud. En efecto, por definición de potencia (Ec. 4.23) tenemos que:
Es la energía neta por unidad de peso que cede o se transmite al líquido por efecto de la máquina; tiene signo positivo en la Ec. (4.25) cuando el líquido cede energía (turbina) o negativo cuando la recibe (bomba). Aún más, si P. es la potencia nominal de la máquina y 1}su eficiencia, entonces
Si se trata de una turbina; y
si es una bomba.En el caso de una conducción a superficie libre en escurrimiento continuo (figura 4.11), con líneas de corriente de curvatura despreciable y paralelas, es más adecuado medir la carga de posición desde el plano de referencia hasta el punto más bajo de la sección transversal, esto es, hasta la plantilla del canal. La carga de presión coincide con el tirante y de la sección, es decir, con el desnivel entre
la superficie libre y la plantilla, siempre que sea pequeño el ángulo θ de inclinación de la plantilla. Esto equivale a considerar que la distribución de presiones es hidrostática y que no existen componentes de la aceleración normales a la dirección del flujo.
Finalmente, la carga de velocidad se mide desde el nivel de la superficie libre del agua hasta la línea de energía. En el caso de que sean los ángulos e > 10', la carga de presión es distinta y se evalúa como , en que d es el tirante y medido en dirección perpendicular a la
plantilla del canal; o bien, siendo y
, donde y es el tirante y medido verticalmente. De este modo, la
suma de las cargas de posición, presión y velocidad es
donde V representa la velocidad media en La sección perpendicular a la plantilla correspondiente al tirante d.
La pérdida de energía que se produce al escurrir un líquido real puede deberse no sólo al efecto de fricción entre las partículas del líquido y las fronteras que confinan a la vena líquida, sino -además- al efecto de separación o turbulencias inducidas en el movimiento al presentarse obstáculos o cambios bruscos en la geometría. El primer tipo de perdida se conoce como perdida de energía por fricción; es proporcional a la longitud de recorrido y suele adquirir gran importancia en estructuras largas. El segundo tipo de perdida se conoce como perdida menor y se concentra en el sitio mismo en que se origina.
2.2.3ANALISIS DE LA ECUACION DE LA ENERGIA
El primer término es debido gradiente de presiones en la dirección la línea de corriente; el segundo, la fuerza de resistencia causada por la fricción interna y que induce la disipación de energía; el tercero, la fuerza de peso (todas estas fuerzas son por unidad de masa); finalmente, el cuarto término (segundo miembro) es el cambio de energía cinética aceleración convectiva) que experimenta unidad de masa a lo largo de la línea corriente; y, el último, la aceleración local de la misma.La Ec. (4.8a) se ha derivado por simplicidad para un elemento de área transversal constante. Sin embargo, el mismo resultado se obtiene si el elemento es divergente(Ref. 12).En la misma forma se establece el equilibrio dinámico del elemento, ahora en la dirección de la normal principal a la línea de corriente, sobre la cual la componente de la aceleración está dirigida en sentido negativo de n y está expresada por la Ec. (3.5b) y donde, además, no existe fuerza de fricción. Resulta:
Donde r es el radio local de curvatura de la línea de corriente. Dividiendo entre p ds dn db, se tiene:
La Ec. (4.8b) permite determinar la distribución de la presión en la dirección de la normal principal de la línea de corriente, si se conoce la distribución de v sobre la misma. Es válida para el flujo compresible permanente o no y sus diferentes términos representan a las fuerzas por unidad de masa.En el caso de que la línea de corriente sea de curvatura despreciable (r=∞), el segundo termino de la Ec. (4.8 b) vale cero. Finalmente, del equilibrio dinámico según la dirección de la binormal, resultaría:
Debido a que Ec. (3.5 c). La ecuación (4.8c) es valida para el flujo permanente o no permanente y sus términos también representan a fuerzas por unidad de masa.
Si se trata del flujo de líquidos los efectos térmicos no tienen influencia en p y, además, es común que los cambios de p y , con la posición del punto, sean más tar p (aun en golpe de ariete). Por tanto, las Ecs. (4.8) para el flujo de líquidos se pueden escribir en forma:
Todavía más considerando las ecuaciones (3.6) y (3.8), la forma vectorial de las ecuaciones del movimiento (4.9 a, b, c) es (Ref.12):
2.2.5 ECUACION DE POTENCIAS EN BOMBAS Y TURBINAS
Los fluidos son impulsados a través de las tubería y equipos de bombas, vertedores,
sopladores y compresores. Estos aparatos retroalimentan la energía mecánica de la sustancia,
aumentando su velocidad, presión y/o altura.
Los aparatos más usados son los que proporcionan energía por desplazamiento
positivo o los que lo hacen por fuerzas centrífugas. Las bombas se utilizan para mover líquidos,
mientras que los vertedores, sopladores y compresores son empledos para impulsar gases y
vapor.
Al usar bombas la densidad del fluido es constante; puede utilizarse para subir un
líquido, forzándolo a entrar a un recipiente o simplemente darles suficiente presión para que
fluya por la tubería.
No importa cual sea el servicio requerido para utilizar la bomba; en todos los casos se
deben tomar encuenta las diferentes formas de energía para favorecer su trabajo.
En el siguiente diagrama, la bomba instalada en el sistema provee energía para extraes
un líquido del recipiente 1 y descargarlo a flujo constante en 2. El líquido entra a la conexión de
succión de la bomba en el punto A y llega al punto B. Se puede plantear una ecuación de
Bernoulli entre los puntos A y B. Como en este caso la única fricción es la que se produce
dentro de la bomba, esta se mide con la eficiencia de la misma
Las cantidades entre paréntesis se denominan cabezas, cargas o columnas. Hay
cargas de velocidad. De altura o de presión. La carga total esta definida por:
En las bombas la diferencia de altura entre la succión y la descarga es despreciable,
por lo que Za y Zb pueden no tomarse en consideración. Inclusive la diferencia entre ub y ua
suelen ser despreciables.
Si Ha es la carga de succión Hb es la columna de descarga:
La carga o cabeza se expresa en metros o pies de líquidos (cubicos).
POTENCIA HIDRÁULICA
Es el trabajo requerido para cambiar la posición, presión y velocidad de un
líquido en un tiempo determinado
M = gasto másico ( = ) M
potencia hidráulica (=) E
Potencia
Es la energía consumida por la bomba para dar el trabajo que requiere el fluido.
También recibe el nombre de potencia al freno.
eficiencia ( = ) adimensional también
donde:
Ca = caudal en m3/seg
densidad en Kg/m3
potencia en CV
H = carga o cabeza en metros
75 es un factor de conversión de a CV
BOMBAS CENTRÍFUGAS
En esta bomba la energía o cabeza se le aplica líquido por medio de fuerza
centrífuga.
El tipo más común es el de las bombas con cabeza de caracol (véase en la figura); el
líquido entra cerca del eje del impulsor, que gira a alta velocidad, y es arrastrado rápidamente a
través de un espiral que se va haciendo cada vez más amplia
Figura Las paletas del impulsor son curvas para asegurar el flujo suave del líquido. La
carga de velocidad aplicada al líquido se convierte gradualmente en carga de presión, al
reducirse la unidad del líquido.
En la mayoría de las bombas la sección del orificio de admisión es mayor que el de
presión, esta regla casi y en general queda alterada en las bombas de giro bi-direccional donde
ambos orificios presentan el mismo diámetro. La razón de las diferencias de diámetros
anotada, queda justificada por la necesidad de ingreso de aceite a la bomba al valor más bajo
posible (máximo 1,20 metros por segundo) quedará como consecuencia una mínima pérdida
de carga, evitándose de esta forma el peligro de la cavitación. En ningún caso debe disminuirse
por razones de instalación o reparación el diámetro nominal de esta conexión que
invariablemente esta dirigida al depósito o tanque como así también mantener la altura entre el
nivel mínimo de aceite de este último y la entrada en el cuerpo de la bomba (Ver Fig. 2.6) de
acuerdo al indicado por el fabricante. Para las bombas a engranajes, paletas y pistones sin
válvulas, los fabricantes dan valores de succión del orden de los 4 a 5 pulgadas de mercurio
cuando ellas operan con aceites minerales, disminuyendo este valor a 3 pulgadas de mercurio
cuando las bombas operan con fluidos sintéticos.
En general podemos decir que la distancia h de la Fig. 2.6. no debe superar nunca los
80 centímetros. Las bombas de pistones con igual válvula de admisión y salida no proveen una
succión suficiente para elevar el aceite y funcionar sin cavitación por ello se recurre al llenado o
alimentación por gravedad como vemos en la Fig. 2.7.
2.2.6 APLICACIONES
La observación de lo anotado permitirá el funcionamiento correcto de las bombas
instaladas asegurando su eficiencia, mediante una aspiración correcta y preservando la vida
útil de las mismas al limitar las posibilidades de la cavitación por una altura a excesiva o una
sección de aspiración menor es la indicada.Uno de los problemas que frecuentemente se
presentan, es la aspiración de aire por parte de la bomba, teniendo por consecuencia un
funcionamiento deficiente, perdida de presión, excesivo desgaste y funcionamiento sumamente
ruidoso.Afortunadamente los puntos por los cuales puede ingresar aire a la bomba están
perfectamente localizados. Consideraremos ahora los que se encuentran entre la bomba
propiamente dicha y el tanque.
En la Fig. 2.8 observamos una disposición corriente de una tubería de succión en ella cada
conexión de accesorio es decir 1, 2 , 3 y 4 presenta un camino propicio para el ingreso de aire
si bien esta tubería no soporta presión, el empaquetado de los accesorios y conexiones
señaladas, debe efectuarse con extremo cuidado para impedir que , por succión de la bomba ,
se introduzca aire. Cuando la tubería de succión se acopla a la bomba mediante una brida A es
necesario prestar especial atención al aro sello o junta existente entre la brida y el cuerpo de la
bomba, ya que su estado determinará la posibilidad de ingresa de aire. Un método que si bien
es poco ortodoxo resulta rápido y eficiente para el estado de los puntos A, 1 ,2 ,3 y 4 o
similares, es aplicar mediante un pincel espuma obtenida con agua y detergente. Una rápida
aparición de las burbujas nos indicará el sitio exacto por donde se incorpora aire al circuito.
El extremo de la tubería de succión termina en el tanque, a través de una coladera o
totalmente libre, según el caso, pero en ambos su ubicación debe quedar 2 pulgadas por
debajo del nivel mínimo del tanque, eliminando de esta forma, la última posibilidad de ingreso
de aire.
2.3CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La ecuación de la cantidad de movimiento en un cuerpo libre o volumen de control se
deriva de la segunda ley de Newton. Se conoce como la cantidad de movimiento de un
elemento de masa M al producto de esta por su velocidad. Por lo tanto, la segunda ley de
Newton establece lo que sigue.
“La suma vectorial de todas las fuerzas F que actuan sobre una masa de fluido es igual a la
rapidez del cambio del vector lineal cantidad de movimiento de la masa del fluido”, es decir:
Fig. Derivación de la ecuación de la cantidad de movimiento para un volumen de control.
Las fuerzas externas son de dos tipos:
a) Fuerza de superficie que actúa sobre la masa de fluido y, a su vez, pueden ser:
Fuerzas Fp, normales a la frontera de la masa, que se pueden evaluar en términos de las
intensidades de presión sobre la misma. Conviene aquí observar que la presión comprende,
además de la presión estática, la dinámica ejercida por el flujo.
Fuerzas FT, tangenciales a la frontera de la masa, que se pueden medir en términos del esfuerzo tangencial sobre la misma.
b) Fuerzas de cuerpo Fc, generalmente de precio propio la masa que fluye en la unidad de tiempo, a través de un elemento de superficie de dA de la que encierra al volumen de control (mostrado en la fig), es Se recuerda que la magnitud del vector dA es igual al área del elemento de superficie; su dirección normal al mismo elemento; y –por convención- positivo si se dirige hacia afuera del volumen. Por lo tanto, es posible si el fluido sale del volumen, dado que el producto escalar tendrá ese signo, y negativo en caso contrario.
La variación en el tiempo, de la cantidad de movimiento a través del elemento dA será entonces
En cualquier instante la masa de un elemento diferencial es , donde la densidad del elemento depende del instante que se considere y de la posición del mismo dentro del volumen de control. La cantidad de movimiento de dicho elemento de volumen será entonces: .
2.3.1 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Las fuerzas debido al esfuerzo cortante se considera como la ecuación de fricción desde la
frontera hacia el líquido y en ocasiones, puede ser difícil de evacuarlas.
Las fuerzas del cuerpo pueden ser de cualquier tipo pero, en general serán fuerzas debidas al
peso del volumen de control y aplicadas a su centro de gravedad.
V = representa al vector de velocidad media del gasto Q que atraviesa una cierta posición de la
superficie de control; se considera aplicado en el centro de gravedad y en la dirección normal a
las porciones de área de la Sc. De esta manera cada producto que integra el término
será un vector de la misma dirección y sentido de V se deberán efectuar cada término
con un signo: posditivos si el gasto sale del volumen de control y negativo en caso contrario.
Finalmente, representa el coeficiente de Buussinesq para corregir el efecto de considerar
una velocidad media en lugar de la verdadera distribución de velocidades sobre la proporción
de área.
2.3.2 FUERZA HIDROSTÁTICA
Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento; estas
leyes son enormemente complejas, y aunque la hidrodinámica tiene una importancia práctica
mayor que la hidrostática, sólo podemos tratar aquí algunos conceptos básicos.
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden
expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es incompresible e ideal,
es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento y la viscosidad. Sin embargo,
como esto nunca es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados de dicho
análisis sólo pueden servir como estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad
son pequeños.
a) Flujos incompresibles y sin rozamiento
Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la energía mecánica total
de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de
corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la
dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de
las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los
efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la
presión disminuye. Este principio es importante para predecir la fuerza de sustentación de un
ala en vuelo.
Ecuación de continuidad: (para flujo estacionario e incompresible, sin fuentes ni sumideros, por
evaluarse a lo largo de una línea de corriente).
1) Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos:
A1.v1 = A2.v2 = cte.
Recordar que p = F/A F = p.A
Flujo de volúmen: (caudal).
= A .v [m3/s]
Ecuación de Bernoulli: (principio de conservación de la energía) para flujo ideal (sin fricción).
p/ = energía de presión por unidad de masa.
g.h = energía potencial por unidad de masa.
v2/2 = energía cinética por unidad de masa.
Ecuación de Bernoulli para flujo en reposo: v1 = v2 = 0
p1 + .g.h1 = p2 + .g.h2
b) Flujos viscosos: movimiento laminar y turbulento
Los primeros experimentos cuidadosamente documentados del rozamiento en flujos de baja
velocidad a través de tuberías fueron realizados independientemente por Poiseuille y por
Hagen. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones matemáticas
se debió a Navier e, independientemente, a Stokes, quien perfeccionó las ecuaciones básicas
para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Navier-Stokes, y son tan complejas que sólo se pueden aplicar a flujos sencillos. Uno de ellos
es el de un fluido real que circula a través de una tubería recta.
El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí, porque parte de la energía mecánica total se
disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo
largo de la tubería. Las ecuaciones sugieren que, dados una tubería y un fluido determinados,
esta caída de presión debería ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos
demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades mayores, la
caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad.
Este problema se resolvió cuando Reynolds demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso
en tuberías. A velocidades bajas, las partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo
laminar), y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas. A
velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo
turbulento), en una forma que ni siquiera en la actualidad se puede predecir completamente.
Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un
único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds. Si el número de
Reynolds (que carece de dimensiones y es el producto de la velocidad, la densidad del fluido y
el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido) es menor de 2.000, el flujo a
través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son mayores a 3000 el flujo es
turbulento. El concepto de número de Reynolds es esencial para gran parte de la moderna
mecánica de fluidos.
Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones
calculadas, y su análisis depende de una combinación de datos experimentales y modelos
matemáticos; gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada a
una mejor formulación de la turbulencia. Puede observarse la transición del flujo laminar al
turbulento y la complejidad del flujo turbulento cuando el humo de un cigarrillo asciende en aire
muy tranquilo. Al principio, sube con un movimiento laminar a lo largo de líneas de corriente,
pero al cabo de cierta distancia se hace inestable y se forma un sistema de remolinos
entrelazados.
Ecuación de Bernoulli para flujo real (con fricción)
H0 = perdida de energía por rozamiento desde 1 hasta 2.
c) Flujos de la capa límite
Los flujos pueden separarse en dos regiones principales. La región próxima a la superficie está
formada por una delgada capa límite donde se concentran los efectos viscosos y en la que
puede simplificarse mucho el modelo matemático. Fuera de esta capa límite, se pueden
despreciar los efectos de la viscosidad, y pueden emplearse las ecuaciones matemáticas más
sencillas para flujos no viscosos.
La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de las alas de los aviones
modernos y del diseño de turbinas de gas y compresores.
d) Flujos compresibles
El interés por los flujos compresibles comenzó con el desarrollo de turbinas de vapor por el
británico Parsons y el sueco Laval. En esos mecanismos se descubrió por primera vez el flujo
rápido de vapor a través de tubos, y la necesidad de un diseño eficiente de turbinas llevó a una
mejora del análisis de los flujos compresibles. El interés por los flujos de alta velocidad sobre
superficies surgió de forma temprana en los estudios de balística, donde se necesitaba
comprender el movimiento de los proyectiles.
Uno de los principios básicos del flujo compresible es que la densidad de un gas cambia
cuando el gas se ve sometido a grandes cambios de velocidad y presión. Al mismo tiempo, su
temperatura también cambia, lo que lleva a problemas de análisis más complejos. El
comportamiento de flujo de un gas compresible depende de si la velocidad de flujo es mayor o
menor que la velocidad del sonido.
El sonido es la propagación de una pequeña perturbación, u onda de presión, dentro de un
fluido. Para un gas, la velocidad del sonido es proporcional a la raíz cuadrada de su
temperatura absoluta. La velocidad del sonido en el aire a 20 °C (293 Kelvin en la escala
absoluta), es de unos 344 metros por segundo. Si la velocidad de flujo es menor que la
velocidad del sonido (flujo subsónico), las ondas de presión pueden transmitirse a través de
todo el fluido y así adaptar el flujo que se dirige hacia un objeto. Por tanto, el flujo subsónico
que se dirige hacia el ala de un avión se ajustará con cierta distancia de antelación para fluir
suavemente sobre la superficie. En el flujo supersónico, las ondas de presión no pueden viajar
corriente arriba para adaptar el flujo. Por ello, el aire que se dirige hacia el ala de un avión en
vuelo supersónico no está preparado para la perturbación que va a causar el ala y tiene que
cambiar de dirección repentinamente en la proximidad del ala, lo que conlleva una compresión
intensa u onda de choque. El ruido asociado con el paso de esta onda de choque sobre los
observadores situados en tierra constituye el estampido sónico de los aviones supersónicos.
Frecuentemente se identifican los flujos supersónicos por su número de Mach, que es el
cociente entre la velocidad de flujo y la velocidad del sonido. Por tanto, los flujos supersónicos
tienen un número de Mach superior a 1.
2.3.3 APLICACIONES
La ecuación de la energía y de la cantidad de movimiento se aplica de manera diferente, si se
hace correctamente, ellas describirán el flujo con idénticos grados de exactitud. Sus principales
diferencias se encuentran en su estructura: mientras la ecuación de la cantidad de movimiento
es vectorial y engloba fuerzas tales y condiciones externas –sin tomar en cuenta los cambios
internos de energía- la ecuación de la energía es por el contrario escalar y toma en cuenta los
cambios internos de energía y no las fuerzas totales y condiciones externas.
En muchos casos, de una de las dos ecuaciones es suficiente para el análisis de un problema;
la elección entre ellas depende que sean las fuerzas totales o la energía del flujo la que se
necesita en la solución. En otros casos, por el contrario, la naturaleza del problema es tal que
resulta necesario usar las dos ecuaciones simultáneamente para utilizar la opción correcta.
En general, cualquiera que sea el sistema de ecuaciones por usar, este se deberá plantear
entre secciones finales con direcciones de frontera permanentes definidas, es decir, entre ellas
secciones de la conducción en los que se conozcan con exactitud los valores de la energía de
posición, de presión y de la velocidad y, por lo mismo0 la energía total.
UNIDAD III: HIDRÁULICA EXPERIMENTAL
3.1 MODELOS HIDRAÚLICOS
La Hidráulica, hoy en día una ciencia básica de la ingeniería, estuvo durante mucho
tiempo basada en resultados empíricos obtenidos de anteriores obras hidráulicas. Con el
desarrollo paulatino de teorías y técnicas desarrolladas tanto en modelos reducidos como en
modelos matemáticos, ha cambiado esta orientación empirista. Como muchas veces una
descripción matemática de los fenómenos hidráulicos es muy complicada o imposible al menos
por ahora, dado el estado del conocimiento humano, se hace necesaria la experimentación en
modelos hidráulicos a escala reducida, los que además son útiles para la calibración de los
modelos matemáticos.
El modelo hidráulico es una ayuda importante para el diseño de las obras hidráulicas
difíciles de analizar por medio de un modelo matemático, siempre y cuando el diseño de un
modelo reducido sea correcto, está bien operado y los resultados sean interpretados con
sentido crítico.
El objetivo final de una investigación en un modelo hidráulico es mejorar las situaciones
desfavorables existentes en el prototipo (la estructura hidráulica al tamaño natural), o ayudar en
el diseño de obras hidráulicas para encontrar una solución, sin riesgos de fallas completas o
parciales, de las obras que se van a construir.
Los costos de la investigación en modelos hidráulicos reducidos no suben más del
0.75% del costo del proyecto de la realidad, y casi siempre la ejecución del modelo justifica su
mismo valor por disminución de los riesgos en la ejecución u operación de la obra, por
ganancia de tiempo en la ejecución de la misma, por la comprensión que proporciona del
funcionamiento del prototipo, o por las valiosas recomendaciones que pueden surgir para su
diseño.
En cuanto a la situación del Laboratorio de la Facultad de minas en el campo de
investigación, se cuenta con los elementos materiales fundamentales, ya sea en aquél o en
otros de la sede, cuando se requieran aparatos de medida muy complejos, la investigación pura
dependería en gran parte de la calidad y de la mística de los técnicos que hagan parte del
laboratorio, y de la relación que exista entre ellos y los técnicos dedicados a la práctica
profesional, pues esos últimos pueden señalar las necesidades.
Con respecto a la investigación aplicada: dependería en gran parte del estímulo y
oportunidades de trabajo que se den al laboratorio (como elemento que relaciona a la
Universidad con la sociedad), de las entidades oficiales, semioficiales y de las firmas de
ingenieros dedicados a las prácticas de la ingeniería, tanto en el diseño como en la
construcción.
3.1.1 SIMILITUD
Uno de los notables descubrimientos de Newton fue la Ley de la Gravitación Universal,
según la cual si dos cuerpos tienen masa, cuando están cerca uno del otro hay una fuerza de
atracción entre ellos. Así, por ejemplo, la tierra atrae a la luna y el sol a la tierra. Para estos
propósitos, lo importante de esta ley es que nos indica, en primer lugar, que la fuerza entre los
cuerpos depende de la distancia entre ellos. No da lo mismo tener dos cuerpos muy cercanos
uno del otro que muy separados. Mientras mayor sea la distancia entre los cuerpos menores,
será la fuerza entre ellos, ya que ha medida que las distancia entre dos cuerpos sea mayor,
menor será el efecto que uno ejerza sobre el otro.
3.1.2 LEYES DE SIMILITUD
En segundo lugar, la ley de la gravitación universal nos indica cómo depende la fuerza
de la distancia de un metro y la fuerza tiene determinado valor. Si la distancia entre estos
mismos cuerpos aumenta al doble, o sea a 2m, entonces la fuerza disminuye a la cuarta parte.
Si la distancia aumenta el triple, o sea a 3m, la fuerza disminuye a la novena parte, etc.
La cuarta parte de la fuerza es igual a ¼; pero 4 es igual a 22, o sea, 2 elevado a la
potencia 2; por lo que la cuarta parte es igual a ½ 2.
La novena parte de la fuerza es igual a 1/9; pero 9 = 32, o sea, 3 elevado a la potencia
2; por lo que la novena parte es igual a 1/32, etc. En consecuencia: si la distancia aumenta 3
veces, la fuerza disminuye 1/32 veces; si la distancia aumenta 4 veces, la fuerza disminuye
1/42veces, etc.
Esto último se expresa diciendo que la disminución del valor de la fuerza es como el
cuadrado de la distancia. En forma abreviada, usando lenguaje matemático lo anterior se
expresa diciendo que la fuerza depende en forma inversamente proporcional al cuadrado de
loa distancia. Inversamente quiere decir que al aumentar la distancia disminuye la fuerza.
Ahora bien, si en lugar de haber considerado la distancia en la escala de metros la
hubiéramos tomado en la escala de kilómetros, la forma en que varía la fuerza con la distancia
no cambia, sigue disminuyendo en razón al cuadrado de la distancia. Si se toma una escala de
miles o de millones de kilómetros (como ocurre en el caso del sistema planetario), la
dependencia de la fuerza con la distancia sigue siendo la misma. Por tanto, como el mismo
comportamiento ocurre sin importar la escala, éste fenómeno es auto similar.
Existen otros fenómenos en la naturaleza en los que la dependencia de la distancia no
es como el cuadrado, que acabamos de considerar, sino que dependen de otra potencia.
Además, puede ocurrir que la fuerza no disminuya al aumentar la distancia. Por ejemplo,
podemos considerar un resorte: si este se estira sabemos entonces que ejerce una fuerza que
trata de regresarlo su posición original (se dice de equilibrio). Mientras mayor sea la distancia
que se estire, mayor será la fuerza que el resorte ejerza. Lo mismo ocurre cuando se
comprime, mientras mayor sea la distancia en que se comprima, mayor será la fuerza que
ejerza.
Además, resulta que: si la distancia aumenta al doble, la fuerza aumenta al doble; si la
distancia aumenta a triple, la fuerza aumenta a triple; etc.
O dicho de otra manera: si la distancia aumenta dos veces, la fuerza aumenta 2 veces,
si la distancia aumenta 3 veces, la fuerza aumenta 3 veces, etc.
Vemos ahora que el 2, o el 3, son 21 y 31, respectivamente, cantidades elevadas a la potencia
1.
En este caso vemos que la fuerza aumenta como la distancia. Usando lenguaje
matemático se abrevia esta información diciendo que la fuerza es proporcional a la primera
potencia de la distancia. En este caso también hay auto similitud.
Hemos hablado de la relación entre las fuerzas y distancias. Sin embargo, en muchos
fenómenos alguna cantidad depende de una variable (no necesariamente la distancia), ya sea:
inversamente, lo que quiere decir que al aumentar el valor de la variable disminuye el valor de
la cantidad, o bien en forma proporcional, lo que quiere decir que al aumentar el valor de la
variable aumenta el valor de la cantidad.
Además, la dependencia entre la cantidad y la variable de la que depende puede
usarse por medio de alguna potencia, que no necesariamente tiene que ser siempre ni 2 (como
en la ley de la gravitación universal) ni 1 (como en el resorte). Puede ser como otro valor
numérico, ya sea entero o no.
Cuando la dependencia de una cantidad de su variable es como la que acabamos de
explicar se dice que el fenómeno está regido por una ley de potencias. En todos estos casos
existe la auto similitud.
3.2 ORIFICIOS Y COMPUERTAS
Considere un recipiente lleno en un líquido, en cuya pared lateral se ha practicado un
orificio de pequeñas dimensiones (en comparación con su profundidad H) y cualquier forma,
además de un área A. El orificio desgasta un gasto Q cuya magnitud se desea calcular, para lo
cual se supone que el nivel del agua en el recipiente permanece constante por el efecto de la
entrada de un gasto idéntico a la que sale; o bien porque pose un volumen muy grande.
Además, el único contacto con el líquido y la pared debe ser alrededor de una arista afilada
como se muestra en la figura. esto es, el orificio es de pared delgada. Las partículas de liquido
en la aproximada del orificio se mueve aproximadamente en dirección al centro del mismo, de
modo que, por efecto de su inercia, la deflexión brusca que sufren produce una contracción del
chorro, la cual se alcanza a la sección 2A se le llama contraída y tiene una área Ac inferior al
área A del orificio. En ella las velocidades de las partículas son prácticamente uniformes y con
un valor medio V.
3.2.1 ECUACIÓN GENERAL DE ORIFICIOS
Suponiendo un plano de referencia que coincida con el centro de gravedad del orificio,
la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 de una vena liquida,
además de considerar despreciable la velocidad de llagada al orificio, co0nduce a la expresión;
Donde se ha despreciado el desnivel entre los centros de gravedad del orificio y la
sección contraria. De aquí se obtiene
(3.2.1)
La ecuación llamada de Torricelli y puede obtenerse de la ecuación de Bernoulli entre
dos puntos: uno dentro del recipiente y otro en el centro de gravedad de la sección contraída.
Esto es, la ec .(3.2.1) indica que la velocidad sigue una ley parabólica con la profundidad y en
este caso la velocidad media V, se calcula con la profundidad media del orificio y corresponde
al centro de gravead, no obstante que las velocidades de las partículas arriba de este punto
son menores y, abajo, mayores. Esto tendrá por supuesto mayor valides a medida que la
sección transversal, no horizontal, del orificio sea mucho menor que la profundadas H del
mismo. Es además, los resultados obtenidos de la ec. . (3.2.1) concuerda con lo obtenido
experimentalmente solo si se corrigen, mediante un coeficiente Cv llamado de velocidad, en la
forma:
(3.2.2)
Donde Cv, coeficiente sin dimensiones muy aproximo a 1, es de tipo experimental y
además corrige el error no considerar la ec. (3.2.1), tanto la perdida de energía , como los
coeficientes a1 y a2.
Si el área de la sección contraída se calcula en términos de la del orificio, por medio de
un coeficiente Cc llamada de contracción (también condiciones), en la forma;
Ac = CcA
El gasto descargado por el orificio es entonces
Q = (3.2.3)
O bien con Cd =CvCc (coeficiente de gasto), el gasto se le calcula finalmente con la
ecuación general de un orificio de pared delgada, a saber;
Q = (3.2.4)
Conviene calcular que las ecuaciones anteriores se considerado H como el desnivel
entre la superficie libre y el centro de gravedad del orificio. Esto resulto de suponer que era
despreciable la velocidad de llegada del orificio y la presión sobre la superficie libre
corresponde a la atmosférica. Cuando ello no acontece, H corresponde a la energía total; esto
es, a la suma de la profundidad del orificio, de la carga de velocidad de llegada y de la carga
de presión sobre la superficie del agua:
(3.2.5)
3.2.2 COEFICIENTE DE VELOCIDAD, CONTRACCIÓN Y GASTO, EN
ORIFICIOS DE PARED DELGADA.
Semiesfera de radio R, traza la figura cuya dirección es radial al centro de la
semiesfera. Los coeficientes de velocidad, contracción y gasto, de un orificio, son básicamente
experimentales. Sin embargo en teoría es posible encontrar la magnitud del coeficiente de
gasto para un orificio circular a partir de la ecuación de la cantidad del movimiento aplicada
sobre un volumen de control limitado por la frontera del chorro en contacto con el aire. La
sección contraída y, dentro del recipiente, por una superficie semiesférica del radio igual al del
orificio como en la fig. para hacer lo anterior, se designa como V1la velocidad de una partícula
sobre la la superficie de la semiesfera vale:
(3.2.6)
Y corresponde a la sección contraída;
(3.2.7)
De la ecuación de continuidad se obtiene
V1 = V
Sustituyendo en esta ecuación a las Eccs. (3.2.6) y (3.2.7) resulta que
V1 = CcV (3.2.8)
Para aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento es necesario conocer la
velocidad media sobre la semiesfera en la dirección del escurrimiento. La componente paralela
al eje del orificio de las velocidades V1, sobre la superficie de la semiesfera, vale V1 ; es
decir, que la variación es según una ley cosenoidal como se muestra en la figura de este modo,
la media de las componentes de la velocidad, sobre la superficie semiesférica, se obtiene por la
igualación del volumen cilíndrico con el volumen encerrado
por la superficie de ley cosenoidal, o sea
Y con cos
Entonces
La integración conduce al resultado siguiente:
Finalmente, se tiene que
(3.2.9)
Sustituyendo la ec. (3.2.8) en la (3.2.9) resulta:
(3.2.10)
Por lo tanto, es posible evaluar los coeficientes que intervienen en la ecuación de la
cantidad de movimiento. Por luna parte, el coeficiente para la sección contraída vale 1, pues
se supone que la distribución de la velocidad coincide con la media; sin embargo, el coeficiente
para la semiesfera tiene un valor distinto de 1 y resulta de una ecuación a saber;
(3.2.11)
De la figura 3.3.6,dA=2 r dr y además
Con esta expresión y considerando la ec. 3.2.8 el valor es:
Y la ecuación (3.3.10) resulta entonces que
(3.2.12)
Es necesario conocer la fuerza que impulsan al volumen de agua limitado por la
sección contraída y la sección de la esfera; en un punto E sobre la semiesfera actúa la presión
p. la ecuación de Bernoulli para una línea de corrientes se aplica en este punto, es
Si se acepta que la carga H es muy grande en comparación con el radio del orificio, puede
entonces desprenderse z y, por tanto, sobre la semiesfera la presión sera constante y de valor:
Por lo cual la componente en la dirección del movimiento del empuje o fuerza total,
sobre la superficie de la semiesfera, es
(3.2.13)
En la sección contraída actúa la presión atmosférica, por lo que la fuerza sobre dicha
sección será cero. La masa del líquido descargada a través del orificio es
La cual se acelera desde la velocidad media Vs sobre la semiesfera, expresada por la
ecuación (3.2.10), hasta la velocidad media V en la sección contraída. Así, de acuerdo con las
ecuaciones (3.2.8),(3.2.10), (3.2.12) y (3.2.13), la ecuación de la cantidad de movimiento se
expresa como sigue:
Por otra parte, la ec.(3,2,2)se tiene que
Con lo que resulta:
O bien, eliminando la carga de velocidad, se tiene que
Por tanto:
Debido a que Cc debe ser menor que 1, la raíz valida en esta ecuación en la
correspondiente al signo negativo del radial; así, se se obtienen la ecuación
(3.2.14)
En la tabla 3.2.1 se presentas los valores de Cc y Cd calculados de la ec. (3.2.14), diferentes
valores de Cv y la definición de Cd.
TABLA 3.2.1 COEFICIENTES DE GASTO DE LE ECUACUPON 3.2.14
1 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95
0.586 0.60 0.615 0.631 0.647 0.664
0.586 0.594 0.603 0.612 0.621 0.631
Mediante un análisis dimensional se comprueba que los coeficientes de velocidad, contracción
gasto, son funciones exclusivamente del numero de Reynolds. De acuerdo con los resultados
de diferentes investigaciones ,para orificios circulares subvalores tienen la variación mostrada
en la figura 3.2.4 se no observa que para números de reynolds Re 105, los coeficientes ,
y son independientes de dicho numero y adquieren los valores constantes siguientes:
= 0.99
= 0.605
= 0.060
Por definición de coeficiente de contracción, para un orificio circular se obtiene que
(3.2.15)
Y con = 0.605,D= 1.285 ; o bien, = 0.778D
Cuando se trata de orificios rectangulares de poca altura loa coeficientes , y
son prácticamente los mismos en la figura 3.2.4. en este caso (en lugar de D) en el numero de
Reynolds se utiliza la mínima dirección a del orificios en la ecuación (3.2.4) corresponde a su
área A = ab (b es la dimensión máxima del orificio ).
Los resultados de la figura 3.2.4 son validos siempre que se tenga una contracción
completa, que se logra si la distancia entre los cuantos del orificio y las fronteras del recipiente
(pared lateral, fondo o superficie libre) es por lo menos 3D en orificios circulares, o 3a en
orificios rectangulares.
3.2.3 Y 3.2.4 APLICACIÓN DE ORIFICIOS Y COMPUERTAS
PERDIDA DE ENERGÍA
Si al establecer la ecuación de Bernoulli para deducir su ecuación (3.2.1), se incluye el término
de perdida de energía, entonces,
Por otra parte, la ecuación (3.2.2), resulta
Que, substituida en la ecuación anterior, da
(3.2.16)
La ecuación (3.2.16) indica que la perdida de energía es proporcional a al carga de
velocidad media a la sección contraída. El coeficiente de perdida K no tiene dimensiones y es
función solo del coeficiente de velocidad siguiente:
(3.2.17a)
Así, para = 0.99, K= 0-02. de la ecuación (3.2.17a) se tiene también que:
(3.17b)
El perfil de la trayectoria del chorro queda determinado por una ecuación.
COMPUERTAS
Una compuerta consiste en una placa móvil, plana o curva, que al levantarse permite graduar la
altura del orificio que se va descubriendo, ala vez que controlar la descarga producida. El
orificio generalmente se hace entre el piso de un canal y el borde inferior de la compuerta, por
lo que su ancho coincide con el del canal; en estas condiciones el flujo puede considerarse
bidimensional.
El gasto de una compuerta y las características hidráulicas de su descarga se puede
conocer a partir del estudio de una red de flujo obtenida por cualquiera de los métodos
propuestos.
La red de flujo de la compuerta plana en la figura permite explicar con claridad la
contracción que experimenta el chorro descargado por el orificio de altuta , hasta alcanzar un
valor en una distancia L en la que las líneas de corriente se vuelven horizontales y tiene
por ello una distribución hidrostatica de presiones. Debido al fenómeno de contracción con el
piso, se produce una perdida de carga que influye en el calculo del gasto. La carga de
velocidad con que llega el agua en el canal, agua arriba de la compuerta, tiene mayor
importancia a medida que la relación disminuye.
En el canto interior de la compuerta las líneas de corrientes tienden a unirse y es ahí donde la
velocidad adquiere su máximo valor. Debido a la curvatura de las líneas de corriente en gran
presión actúa sobre la línea de intersección del plano de la compuerta, razón por la cual se
tiene una velocidad pequeña.
Para obtener la ecuación que proporcione al gasto, aquí se considera el caso mas general de
una compuerta plana, con una inclinación respecto a la horizontal como se muerta en la
figura y un ancho b la inclinación es equivalente a la del tangente en el labio de la
compuerta radial. De la figura 6.12, y con = 90° incluye en el caso de la compuerta vertical de
la figura 6.11.se establece la ecuación de la energía entre una sección 1, agua arriba, en la
compuerta y la sección contraída a saber:
(3.22)
COMPUERTA: Puerta movible que se coloca en las esclusas de los canales y en los portillos
de las presas de río para detener o dejar pasar las aguas.
Las compuertas son equipos mecánicos utilizados para el control del flujo del agua y
mantenimiento en los diferentes proyectos de ingeniería, tales como presas, canales y
proyectos de irrigación. Existen diferentes tipos y pueden tener diferentes clasificaciones,
según su forma, función y su movimiento.
Las diferentes formas de las compuertas dependen de su aplicación, el tipo de
compuerta a utilizar dependerá principalmente del tamaño y forma del orificio, de la cabeza
estática, del espacio disponible, del mecanismo de apertura y de las condiciones particulares
de operación.
Aplicaciones:
Control de flujos de aguas
Control de inundaciones
Proyectos de irrigación
Crear reservas de agua
Sistemas de drenaje
Proyectos de aprovechamiento de suelos
Plantas de tratamiento de agua
Incrementar capacidad de reserva de las presas
Compuertas Planas Deslizantes
Se les llama compuertas deslizantes pues para su accionar se deslizan por unos rieles
guías fijos. Puede ser movida por diferentes tipos de motores.
Estas compuertas pueden ser de acero estructural, madera y en caso de pequeñas
cabeza de hierro, el espesor y el material de la compuerta dependerá de la presión del agua y
el diseño de los sellos. Al trabajar a compresión estas compuertas tienen buenas adaptaciones
a los sellos presentando pequeñas fugas.
Este tipo de compuertas han sido utilizadas para todo tipo de cabezas, pero resultan
ser más económicas para pequeñas cabezas y tamaños moderados pues necesitan grandes
fuerzas para ser movidas.
Compuertas Planas de Rodillos
Las compuertas planas de rodillos están diseñadas especialmente para controlar el
flujo a través de grandes canales donde la economía y la facilidad de operación sean dos
factores preponderantes. Son denominadas compuertas de rodillos ya que están soportadas
en rodillos que recorren guías fijas y generalmente tienen sellos de caucho para evitar
filtraciones a través de los rodillos. Los rodillos minimizan el efecto de la fricción durante la
apertura y el cierre de las compuertas, como consecuencia de estos se necesita motores de
menor potencia para moverlas. Pueden ser diseñadas para abrirse hacia arriba o hacia abajo.
Estas compuertas son muy versátiles ya que pueden diseñarse tanto para trabajar bajo
presión en una o ambas caras simultáneamente. Generalmente son de sección transversal
hueca, para disminuir la corrosión e infiltraciones son rellenadas con materiales inertes como el
concreto.
Compuertas Radiales (Taintor)
Las compuertas radiales se construyen de acero o combinando acero y madera.
Constan de un segmento cilíndrico que está unido a los cojinetes de los apoyos por medio de
brazos radiales. La superficie cilíndrica se hace concéntrica con los ejes de los apoyos, de
manera que todo el empuje producido por el agua pasa por ellos; en esta forma sólo se
necesita una pequeña cantidad de movimiento para elevar o bajar la compuerta. Las cargas
que es necesario mover consisten en el peso de la compuerta, los rozamientos entre los cierres
laterales, las pilas, y los rozamientos en los ejes.
Con frecuencia se instalan contrapesos en las compuertas para equilibrar parcialmente
su peso, lo que reduce todavía más la capacidad del mecanismo elevador.
La ventaja principal de este tipo de compuertas es que la fuerza para operarlas es
pequeña y facilita su operación ya sea manual o automática; lo que las hace muy versátiles.
Compuertas Flap o Clapetas
Llamadas también clapetas, formadas por un tablero articulado en su arista de aguas
arriba que puede abatirse dando paso al agua. Estas compuertas se abren automáticamente
por un diferencial de presión aguas arriba y se cierran cuando el nivel aguas abajo supera el
nivel aguas arriba o cuando el nivel aguas arriba alcance el nivel deseado de almacenamiento.
Existen compuertas clapeta de contrapeso, en las que los tableros se mantenían en su
posición elevada por medio de un puntal, hasta que la sobre elevación del nivel del agua les
hacía bascular sobre el extremo superior del puntal; también las hay sin contra peso que son
recomendadas para aquellos casos de poca altura de agua y gran luz de vano.
Compuertas Ataguía
Están compuestas de vigas separadas colocadas unas sobre otras para formar un
muro o ataguía soportado en ranuras en sus extremos. La separación de las pilas de apoyo
depende del material de las vigas, de la carga que obre en ellas, y de los medios que se
disponga para manejarlas, es decir, para quitarlas y ponerlas.
Compuertas Mariposa
Las compuertas tipo mariposa son utilizadas para controlar el flujo de agua a través de
una gran variedad de aberturas. Aunque pueden ser utilizadas para controlar el flujo en ambas
direcciones la mayoría de las instalaciones sólo las utilizan para controlar el flujo en una
dirección.
Con las compuertas mariposa es posible tener una máxima cabeza de energía en
ambos lados de la compuerta. La cabeza estática se mide desde el eje horizontal de apertura
de la compuerta. La mayoría de estas compuertas son instaladas en sitios con baja cabeza de
presión (menor a 6 metros). Las secciones transversales de este tipo de compuertas
normalmente son cuadradas o rectangulares; las secciones circulares no son muy comunes ya
que estas se utilizan en válvulas mariposa. Son ideales cuando hay poco espacio disponible ya
que al girar respecto a un eje, no es necesario disponer de espacio para levantarlas y allí se
puede ubicar el mecanismo de apertura. Estas pueden ser utilizadas como reguladoras de
flujo, pues al rotar la hoja cambia el tamaño de la abertura y se regula el caudal que fluye a
través de ella.
Compuertas Caterpillar (Tractor)
Son también conocidas como Compuertas de Broome, en honor a su inventor. Este tipo
de compuertas son utilizadas tanto para altas como para bajas cabezas de presión. Han sido
utilizadas con cabezas hasta de 200 pies en varios proyectos hidroeléctricos y de control de
inundaciones.
Ambos extremos de la compuerta están equipados con orugas que facilitan su
desplazamiento a lo largo de ranuras paralelas a los lados de la compuerta. Las orugas se
mueven alrededor de la compuerta mientras la compuerta es movida. Este tipo de compuertas
es movido por medio de cables de acero tirados por motores, lo que facilita su operación bajo
diferentes condiciones de flujo.
Compuertas Cilíndricas
Las compuertas cilíndricas consisten en cilindros sólidos de acero (generalmente)
abiertas en ambos extremos, que funcionan por el balance de las presiones de agua en las
superficies interior y exterior. Este tipo de compuertas generalmente son levantadas por medio
de cables o máquinas hidráulicas; como la presión del agua siempre se encuentra balanceada,
el único peso que debe ser movido es el equivalente al peso propio de la compuerta.
Mecanismos Complementarios
Por sus grandes dimensiones, peso y cargas que deben soportar, las compuertas
deben ser movidas por sistemas mecánicos (eléctricos, hidráulicos, manuales). Estos sistemas
pueden ser de gran variedad y su utilización depende de múltiples factores tales como espacio
disponible, cargas transmitidas a la estructura y por supuesto el tipo de compuerta que deben
mover. Los sistemas más comunes son: pórticos, puentes grúa, vigas de alce, servomotores,
contrapesos y malacates.
Se deben incluir mecanismos adicionales como: marcos, sellos, rieles, fuentes de potencia,
dispositivos de transporte y sistemas de control para garantizar su buen funcionamiento
COMPUERTAS PROYECTO HIDROELÉCTRICO PORCE II
Compuertas Para la Captación
Las compuertas serán utilizadas para el cierre de las aducciones de la estructura de
captación, para efectuar la inspección y el mantenimiento del túnel o de las válvulas de
admisión de las turbinas en la casa de máquinas. Las compuertas serán operadas por medio
de grúas polar y una viga de alce. Se utilizaran cinco compuertas del tipo tablero plano de
construcción soldada y con membrana y sellos en su cara de aguas abajo. Dotada de ruedas
principales, ruedas guía y soporte tipo ballesta para ayudar en el sellado.
Debido a que existe una diferencia entre el nivel del pozo de la captación y el nivel del
embalse, se crea una diferencia de presión originando fuerzas sobre la compuerta, fuerzas que
deberán ser absorbidas durante el cierre por las ruedas principales.
Características Generales
Ancho: 3.45m
Altura: 4.10m
Presión de Diseño: 241 kPa
Fuerza de Cierre: Cierra por su propio peso bajo condiciones de presión
desbalanceada (el peso de la compuerta deberá ser al menos un 50% superior a las fuerzas
estimadas que se oponen al cierre).
Fugas: < 0.08 l/s
Compuertas Radiales para el Vertedero
Se utilizaran dos compuertas radiales sin solapa (laterales) y dos compuertas radiales
con solapa (centrales) para el vertedero, fabricadas de acero de construcción soldada. Las
cuatro compuertas serán operadas hidráulicamente con tendencia a la apertura con
contrapesos. La compuerta y la solapa deberán ser mantenidas cerradas por medio de
servomotores que impedirán la acción de apertura del contrapeso y la acción de apertura de la
presión del agua en la solapa (las solapas se abren por su propio peso). Es posible cerrar la
compuerta y la solapa mediante condiciones desbalanceadas de presión.
Características Generales
Ancho: libre entre pilas: 11m
Altura: 14m
Radio de la membrana: 14m
Fugas: < 1l/s por metro lineal
Presión de Diseño: La equivalente al nivel máximo del embalse.
Compuerta Auxiliar del Vertedero
Se utiliza una compuerta auxiliar para los cuatro azudes del vertedero. La compuerta es del
tipo ataguía (stoplogs, 12 secciones horizontales) de acero de fabricación soldada. Esta sirve
para cerrar cualquiera de los cuatro azudes del vertedero, para operar durante la inspección o
mantenimiento de la compuerta radial. Será operada por un carro grúa y una viga de alce, y
cerrará por su propio peso bajo presiones equilibradas. La apertura se efectuará con presiones
balanceadas por medio de un sistema de “bypass” instalado en las pilas intermedias.
Características Generales
Ancho: libre entre pilas: 11m
Altura: 13.80m
Fugas: < 2l/s por metro lineal
Presión de Diseño: Condiciones normales de operación.
Compuerta de Ruedas para la Aducción de la Descarga de Fondo
Se utiliza una compuerta de ruedas con actuador hidráulico para cerrar la aducción de la
descarga de fondo. Operará bajo condiciones de presión equilibradas y cerrará bajo su propio
peso (normalmente cerrada).
Características Generales
Ancho: 2500mm
Altura: 3200mm
Fugas: < .08 l/s
Presión de Diseño. Correspondiente al nivel máximo del embalse.
Otras Compuertas Utilizadas
· Compuerta Deslizante para la Descarga de Fondo
· Compuerta Radial para la Descarga de Fondo
COMPUERTAS Y VERTEDEROS
Son estructuras de control hidráulico. Su función es la de presentar un obstáculo al libre
flujo del agua, con el consiguiente represamiento aguas arriba de la estructura, y el aumento de
la velocidad aguas abajo.
Existen diferentes tipos de vertederos que se clasifican de acuerdo con el espesor de la
cresta y con la forma de la sección de flujo. En el primer caso se habla de vertederos de pared
delgada, vertederos de pared gruesa y vertederos con cresta en perfil de cimacio. En el
segundo se clasifican como vertederos rectangulares, trapezoidales, triangulares, circulares,
parabólicos, proporcionales, etc.
Un caso particular es el vertedero lateral, el cual se instala en una de las paredes de un
canal para derivar hacia otro canal o para descargar excesos de agua.
Las compuertas a su vez se clasifican como deslizantes y radiales.
Los esquemas y las ecuaciones particulares de los diferentes tipos de estructuras se
encuentran en los Manuales de Hidráulica y en los textos que se presentan en las Referencias,
al final del artículo.