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Introducción TeóricaTransformación Wavelet y análisis MultirresoluciónDescomposición Wavelet Discreta Multirresolución

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Descomposición Wavelet Discreta sobre FPGAImplementación con filtros FIR recursivos

Andrés L. Di Donato1

[email protected] de Procesamiento Digital

Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Buenos Aires

15-08-13 / Simposio Argentino de Sistemas Embebidos

Andrés L. Di Donato Wavelet sobre FPGA


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1 Introducción TeóricaEfectos del muestreoAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier

2 Transformación Wavelet y análisis MultirresoluciónAnálisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta

3 Descomposición Wavelet Discreta MultirresoluciónConceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos

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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier

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Teorema del muestro IImplicancias en la resolución temporal.

RT = 1/Fs (1)



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Teorema del muestro I.I

La Resolución temporal está condicionada por lafrecuencia de muestreo.El teorema de Nyquist únicamente plantea una condiciónde mínima para poder recuperar la señal original sin errorempleando un filtro pasabajos ideal.Muchas aplicaciones requieren una resolución temporalmuy superior a la frecuencia de Nyquist.Una frecuencia de muestreo alta mejora la resoluciónespectral.



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Teorema del muestro IIImplicancias en la resolución espectral.

Resp = Fs/N (2)



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Teorema del muestro II. IImplicancias en la resolución espectral.

La Resolución espectral está condicionada por lamemoria disponible y la frecuencia de muestreo. Siconsideramos que se toman N muestras cada Tssegundos, concluimos que la Resolución espectralmejora cuando aumenta el tiempo deadquisición total.Una frecuencia de muestreo alta empeora la resoluciónespectral.



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Teorema del muestreo IIIRelación de compromiso.

El producto entre resolución espectral y temporal esconstante.Afinar la ventana aplicada mejora la resolución temporal,pero equivale a acotar el tiempo de adquisición y por lotanto empeora la resolución espectral. La única alternativaes una relación de compromiso.



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Análisis de Fourier en señales No-EstacionariasImplicancias en la resolución temporal/frecuencial.

F(ω) =

∫ ∞−∞

f(t) eiωt dt (3)

La Transformación de Fourier no contiene informacióntemporal.Se puede evidenciar la existencia de ciertas componentesen el tiempo, pero no su localización.



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Señales no estacionariasAnálisis de Fourier para una señal no estacinaria en frecuencia.



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Señales no estacionarias II

Observamos que las componentes frecuenciales nopermanecen durante toda la duración de la señal, sino queestán perfectamente localizadas en el tiempo.La Transformada de Fourier informa sobre su existencia,pero nada nos dice acerca de su localización temporal.



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Localización temporal - Uso de la STFTShort Time Fourier Transform para una señal no estacionaria en frecuencia.

F(ω,τ) =

∫ ∞−∞

f(t)ω(t−τ) e−iωt dt (4)

Una posibilidad consiste en particionar en aplicar unaventana a la señal, desplazando esta ventana en eltiempo, y calcular la transformada de Fourier en cada casointervalo.Esto introduce en el análisis de Fourier una tercer variable:el tiempo.La señal pasa a estar representada en tres dimensiones:tiempo, frecuencia y amplitud.



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Limitaciones de la STFT



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STFT - Gráficos tiempo-frecuencia



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Limitaciones de la STFTImplicancias en la resolución temporal/frecuencial.

El producto entre resolución espectral y temporal siguesiendo constante.Afinar la ventana aplicada mejora la resolución temporal,pero equivale a acotar el tiempo de adquisición y por lotanto empeora la resolución espectral. Se cae nuevamenteen una relación de compromiso.



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Limitaciones del análisis de Fourier

A modo de resumen, son dos los inconvenientes que sebuscan mejorar. . .

Problemas en la localización temporal de componentesespectrales.Relación de compromiso entre Resolución espectral ytemporal.



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Análisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta

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Conceptos del análisis multirresolución

Busca compatibilizar resolución temporal y espectralsimultáneamente.El concepto esencial es análizar la misma señal paradiferentes resoluciones temporales/espectrales.Para las frecuencias altas, es crucial mantener una buenaresolución temporal, pues las componentes de altasfrecuencia suelen ser impulsivas y por lo tanto aparecendurante intervalos de tiempos breves.Para las frecuencias bajas, es crucial mantener una buenaresolución espectral, pues para una cierta resoluciónespectral (valor absoluto) el error relativo es muy grandesobre las bajas frecuencias. A la vez, la localizacióntemporal de las componentes de baja frecuencia es masdifusa, y no es necesaria tanta precisión.



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Transformación Wavelet Continua - Definición formal

C(τ,s) =

∫ ∞−∞

f(t)Ψ∗τ,s(t) dt (5)

A la señal original, se le aplica una ventana llamadaWavelet madre.La Wavelet madre se desplaza en el tiempoLa Wavelet madre sufre además un cambio de escala:concepto análogo a la inversa de la frecuencia. (Bajafrecuencia, alta escala y viceversa).



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Wavelet madre

Ψ∗τ,s(t) =1√|s|

Ψ( t−τs ) (6)

La Wavelet madre Ψ es una función matemática quecumple con ciertos requisitosLa Wavelet madre sufre además un cambio de escala:concepto análogo a la inversa de la frecuencia. (Bajafrecuencia, alta escala y viceversa).



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Wavelets madre más comunes



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Variación de escala



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Definición de la Transformación Wavelet Discreta

Definición formal:

C[j , k ] =∑nεZ

f [n]Ψj,k [n] (7)

Puede pensarse como una discretización de latransformación Wavelet contínuaLa transformación pasa a calcularse como una sumatoriaLa expresión anterior corresponde a la llamadaDescomposición Wavelet. El proceso de volver a obtenerla señal original a partir de los valores transformados sedenomina Reconstrucción WaveletEl desplazamiento de la Wavelet no se realiza en formacontinua, sino muestra a muestra.



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Cambio de escala

La escala de la Wavelet no evoluciona en forma contínuasino en pasos discretosEs común que la escala evolucione duplicando el anchode la ventana. Se llama a esto escala diádica.



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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos

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Descomposición Wavelet Discreta Multirresolución

yHP [k ] =∑

n

x [n] · g[2k − n]yLP [k ] =∑

n

x [n] · h[2k − n] (8)

Permite realizar la descomposición en forma eficiente paraun sistema digital, permitiendo también su reconstrucción.El algoritmo se basa en dos aspectos fundamentales:

La separación de la señal en dos bandas de frecuencia:"baja frecuencia" o coeficiente y "alta frecuencia" detalleempleando filtros digitales pasabajos y pasaaltos de mediabanda respectivamente.El análisis para diferentes frecuencias de muestreo,empleando diezmado de muestras.



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Bloque fundamental



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Filtros digitales empleados

Se trata de filtros de media banda (frecuencia de corteubicada en la mitad de la frecuencia de Nyquist.El análisis para diferentes frecuencias de muestreo,empleando diezmado de muestras. Se utilizará una escaladiádica implementando un diezmado por dos.El retardo de grupo que introducen es constante, puntoimportante para no distorsionar la morfología de la señalen el tiempo.Por lo anterior, el kernel de implementación tiene simetríapar respecto al centro.Los filtros se originan a partir de la Wavelet Madre elegida.



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Niveles de descomposición

La banda de baja frecuencia puede volver adescomponerse, generando así nuevos niveles dedescomposición. El diezmado limita la cantidad de nivelesmáxima.



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Implicancias del diezmado

El diezmado por dos implica bajar a la mitad la frecuenciade muestreoLo anterior mejora la resolución espectral, reduciendo laincertidumbre en frecuencia.La resolución temporal es óptima en alta frecuencia,mientras que la resolución espectral es óptima en bajafrecuencia.El diezmado por dos limita el número máximo de nivelesde descomposiciónLa información de la señal queda definida por los detallesy el último coeficiente.



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Escala diádica



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Materiales

Realizado sobre un kit Digilent Atlys - Xilinx Spartan 6Se utiliza un banco de filtros como bloque básico



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Wavelet utilizada

Se elige la Wavelet de Meyer.

Los filtros se obtienen utilizando la toolbox de Wavelets deMATLAB:

[low,high]=wfilters(‘dmey’, ‘d’);



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Aritmética elegida

Se trabajó con aritmética de punto fijo.Cuantizando la respuesta con 16 bits, observamos que labanda detenida se mantiene por debajo de los 80dB.



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Librería FPHDL

Para implementar la aritmética de punto fijo se utilizó lalibrería Fixed Point HDL.Esta librería define los tipos de datos sfixed (signedfixed point) y ufixed (unsigned fixed point) útiles para lasoperaciones de aritmética de saturación.



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Implementación de los filtros FIR

Como se mencionó anteriormente, los filtros derivados dela Wavelet madre tienen simetría par respecto de sucoeficiente central.La simetría permite utilizar una estructura derivada de laDF1, que permite reducir a la mitad la cantidad demultiplicadores utilizados.Si la longitud del filtro es impar, el valor central no se sumacon ningún otro.



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Implementación de los filtros FIR - Topologías



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Implementación de los multiplicadores

Los multiplicadores se generaron a partir de IP cores deXilinxSe utilizaron multiplicadores a coeficientes constantes,pues no se requiere variar el kernel.Si la longitud del filtro es impar, el valor central no se sumacon ningún otro.En esta implementación para realizar el diezmadosolamente se "descartan" las muestras que no importan,inhibiendo el clock de la etapa siguiente.



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Interfaz de comunicación

La comunicación se realiza empleando la interfaz deprogramación USB 2.0 del kitLa misma se reconfigura para que el dispositivo sea vistopor un host como un dispositivo que acepta transferenciade tipo bulk.Luego de que el kit es reenumerado por el host, es posibleenviar y recibir datos de él desde el host a través del busUSB.En esta implementación para realizar el diezmadosolamente se "descartan" las muestras que no importan,inhibiendo el clock de la etapa siguiente.



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Diagrama en bloques



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Transitorios del filtro

La decisión sobre qué acción tomar sobre los transitoriosde entrada y salida del filtro depende de cada aplicaciónen particular.En este caso se optó por descartar el transitorio deentrada y salida.



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Velocidad

La velocidad máxima teórica lograda con esta síntesisalcanzaría los 60MHz/byte, es decir 30MSa/segLa comunicación USB 2.0 limita esta velocidad



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Ocupación de la FPGA

El factor crítico de la implementación es la cantidad deLook up tables (LUT’s) utilizadasLa ocupación obtenida fue del 19%



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Señales de prueba

La validación de los resultados se realizó comparando losresultados con una simulación MATLABEl error obtenido se mantuvo dentro de lo esperable parala precisión aritmética elegida.



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Aplicación

Prueba sobre imágenes satelitales.Se busca analizar el régimen de lluvias a partir de lavariación del nivel de agua registrado en imágenessatelitales de lagunas.La descomposición permitirá obtener conclusiones acercade las variaciones diarias, estacionales e interanuales delrégimen de lluvias de la región.



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Mejoras

Implementación polifásica del filtro para el diezmado pordos.Analizar otras topologías de filtros más eficientes.Evaluar alternativas de la interfaz de comunicación.


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