DERIVADAS

RECTAS TANGENTES A UNA CURVA f(x)

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

CONCEPTOS

¿Cómo se halla la tangente a una curva?

RECTAS TANGENTES/ DERIVADAS

Descartes (Siglo XVII)

“El problema de hallar la tangente

a una curva es no sólo el problema

más útil y más general que conozco,

sino que pudiera desear conocer....”

ISAAC NEWTON, 1642-1727

Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716

Newton no había publicado sus hallazgos en el cálculo diferencial e integral, obtenidos

alrededor de los años 1665 y 1666, sí había presentado algunos de sus manuscritos a

sus amigos. De Analysi, por ejemplo, se lo había dado a Barrow en 1669, quien se lo

había enviado a John Collins.

Leibniz estuvo París en 1672 y en Londres en 1673 y estuvo en contacto con gente

que conocía la obra de Newton. Publicó su obra matemática en 1684.

RECTA SECANTE A UNA CURVA

m = f(b)-f(a)

b-a

x

yf(x)

ba

f(b)

f(a)

RECTA TANGENTE A UNA CURVA

x

y f(x)

a

f(a)

Recta tangente a la curva f(x) en el

punto x=a

m =???????

RECTA TANGENTE A UNA CURVA

RECTA TANGENTE A UNA CURVA

Donde h tiende a cero...

x

y f(x)

a

f(a)

f(a+h)

a+h

h

f(a)h)f(amtang

h

f(a)h)f(alimm

0htang

Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x)

en el punto x=a

PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

A UNA CURVA EN UN PUNTO x=a

h

f(x)h)f(xlimm

0htang

Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x)

en un punto x cualquiera perteneciente al dominio de f(x)

PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

A UNA CURVA EN UN PUNTO X CUALQUIERA

PROBLEMA

1

1xf(x)

A) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) dada en el punto x=8, y determina la ecuación de esta tangente

PROBLEMA

1

PROBLEMA

2

x

1xf(x)

Halle la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto x

= -3

DEFINICIÓN DE DERIVADA

h

f(5)h)f(5limm

0htang

f ’(5)=

h

f(x)h)f(xlimm

0htang

f ’(x)=

PUNTO

CONCRETO

Ej: 5

PUNTO

CUALQUIERA

)f(x)(dx

df(x)' f NOTACIÓN. D

2xf(x)

Halla la derivada en cualquier punto de la función dada por:

x2(x)' fxf(x) 2

NOTA

Si f´(c) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=c

3 21-xf(x)

NO EXISTE DERIVADA (TANGENTE)

EN EL PUNTO X=0

PROPOSICIÓN

Ninguna función es derivable en los puntos “picudos”

Puede tener dos tangentes (derivadas)

+ tangente a la derecha

+ tangente a la izquierda

c

y=|x-c|+a

x

x

x

e

e1

1

1

1f(x)

NO EXISTE DERIVADA (TANGENTE)

EN UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD

PROPOSICIÓN

Si f(x) es derivable en un punto x=a, entonces es continua en

ese punto

NOTA: el recíproco NO es cierto!

PROBLEMA

¿En qué puntos del dominio la función representada puede ser?:

• a. ¿Derivable?

• b. ¿Continua pero no

derivable?

• c. ¿Ni continua ni

derivable?

-- 33

F(x)F(x)

3311

xx

-- 33

F(x)F(x)

3311

xx

SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN

NECESIDAD DE HALLAR EL LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0….

Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.

REGLAS DE DERIVACIÓN

REGLAS DE DERIVACIÓN

1'

0'4

1(x)'f :entoncesx,f(x)Si

0(x)'f :entoncesk,f(x)Si

x

REGLAS DE DERIVACIÓN

21

21

43

45

1nn

2

1'

3'

5'

nx(x)'f :entonces,xf(x)Si

xx

xx

xx

REGLAS DE DERIVACIÓN

Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex

Si f(x) = Lx, entonces f ´ (x) = 1/x

(4x)’ = 4x L4

(log6

x)’ = (1/x)/L6

REGLAS DE DERIVACIÓN

x2cos

1' xtg

xcos(x)'gsenxg(x)

senx(x)'fcosxf(x)

Regla del múltiplo constante K ,de la forma: g(x) = K . f(x)

xLx

xx

1')(

123·4'4x

Kf´(x)(x)g'

Kf(x)g(x)

223

Regla de la suma algebraica de funciones:

x

x1

cos'Lxsen(x)

(x)g'(x)' fg(x))'(f(x)

:g(x)yf(x)Sean

Regla del producto de funciones:

xxx exxee 22 2'x

(x)g'f(x)g(x)(x)f'g(x))'(f(x)

:g(x)yf(x)Sean

Regla del cociente de funciones:

22

2

'

1

11

1

11

'1

g(x)

(x)g'f(x)g(x)(x)f'

g(x)

f(x)

:g(x)yf(x)Sean

x

Lxx

x

Lxxx

x

Lx

Regla de la composición (Regla de la Cadena):

)22·()2(x2')2(x)2(x2

'3'')2(x

222

1'·

1')L(u')L(x

(x)'u · (u)'f(f(u(x))'

:u(x)yf(x)Sean

22222

2332

222

xxxx

uuux

xx

xx

xu

u

Ejemplos

675)( 2 xxxf

Sean las funciones:

710' xfdx

df

1651034)( 256 xxxxxf

5201524' 45 xxxf

Ejemplo

)413)(58()( 22 xxxxf

)26)(58()413)(516(' 22 xxxxxf 2323 130208206564208 xxxxx

2064195416 23 xxx

Ejercicios propuestos

)3)(4()( 2xxxf

)2)(4()3)(1(' 2 xxxf

22 283 xxx

383 2 xx

Derivada de un producto de varios factores

)()()()( xhxgxkxf

dx

dhxgxkxh

dx

dgxkxhxg

dx

dk

dx

df)()()()()()(

Ejemplo

)5)(2)(3()( xxxxf

)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1(' xxxxxxfdx

df

)2)(3()5)(3()5)(2( xxxxxx

)236()32)(5( 2xxxxxx

)56()25)(5( 2xxxx 22 56251025 xxxxx

31203 2 xx

Ejemplo

2354

)(xx

xf

223

)3)(54()23)(4('

x

xxf

223

)1512(812'

x

xxf

223

7

x

Ejercicio propuesto

11168

)(2

xxx

xf

2

2

)1(

)1)(1168()1)(616('

x

xxxxf

2

22

)1(1168161616

xxxxxx

2

2

)1(10168

xxx

Ejercicio propuesto

11

)( 3

3

xx

xf

23

2332

)1(

)3)(1()1(3'

x

xxxxf

23

2525

)1(3333

xxxxx

23

2

)1(6

xx

Ejemplo

2)45()( xxf

)5)(45(2' xf

)45(10 x

4050 x

Ejemplo

367)( 2 xxxf

6143672

1' 2

12

xxxf

2

12 367

37

xx

x

367

372

xx

x

2

12 367)( xxxf

367)( 2 xxxf

2

12 367)( xxxf

Ejemplo

)3()( 2 xxsenxf

12)3cos(' 2 xxxf