LABORATORIO 7

CONSTRUCCIN DE RECTAS TANGENTES

Actividad: 1 SOBRE LA DEFINICIN DE RECTA TANGENTE

Qu es una recta tangente? Es frecuente asociar recta tangente como una recta que permanece fuera de una circunferencia, tocndola en exactamente un punto. Sin embargo, sta idea de tangente es muy limitada y no sirve como definicin de recta tangente como se ver a continuacin. Ingrese xseny = en el listado de funciones de y como Y1. Para dibujar la tangente en su calculadora grafique la funcin, y en el mismo grfico, ingrese L, r(Sketch), w(Tang) y luego el valor de x en el que desea la recta tangente, tomaremos x=1,4, finalmente para graficar la recta oprima l.

Otro modo de obtener la recta tangente es mediante la ventana q. Ingrese a dicha ventana y asegrese de estar trabajando en modo lineal (L p(SET UP) w(Line)), luego oprima Lr(SKETCH). Presione q (CLS) l. Con esto borrar todo grfico anterior. Presione w (TANG) y a continuacin oprima la tecla o. Al hacerlo estar buscando la variable correspondiente una del listado de grficos y que en este caso es Y1. Como Y1 pertenece al listado de funciones, presione r (GRAPH), q (Y) y despus 1. Aparecer en pantalla TANGENT Y1. Agregue hasta completar TANGENT Y1, 1.4 y habr descrito la sintaxis para obtener una grfica de la tangente a la curva Y1 (ahora Y1 = sen x) en el valor x = 1.4

59

Objetivos:(1) Aproximar grficamente el concepto de la razn de cambio de una

funcin(2) Planificar una estrategia para trasladar un concepto algebraico a uno

de tipo grfico(3) Deducir reglas de derivacin por mtodos empricos

En cuantos puntos corta a la curva y = sen x, la recta tangente en x = 1.4 ?- La recta tangente corta la curva y = sen x en 4 puntos.

De acuerdo a lo observado:

Es correcto definir tangente como la recta que toca a la curva en un solo punto .- No es correcto, dado que la recta como mencionamos anteriormente la corta en 4 puntos.

Es correcto asociar la tangente como una recta que permanece siempre fuera de la curva?Justifique sus respuestas.- No es correcto, dado que si una funcin presenta varias curvaturas ( por ejemplo una

funcin trigonomtrica, o polinomial de grado impar ) la recta tangente no necesariamente cortar la curva en ms de un punto.

Actividad: 2 LA RECTA TANGENTE COMO LIMITE DE RECTAS SECANTES

La nocin de tangente a una curva y = f(x) en el punto P consiste en considerar una sucesin de rectas que unen al punto P con puntos Q cercanos a P (stas rectas se llaman secantes). A medida que Q se acerca a P, las rectas secantes se aproximan a la recta tangente.

Considere la funcin:

1x21)x(f 3 = cerca de x = 1

Considere primero los puntos )21,1( y ( 2 , 3 ) pertenecientes a la funcin dada. Demuestre

algebraicamente que la ecuacin de la recta secante que pasa por dichos puntos viene dada por la

ecuacin 4x27y =

- Clculo de Pendiente mSec:

- Clculo de interseccin con eje y:

60

- Por lo tanto 4x27y =

Considere ahora los puntos )21,1( y )

1611,

23( pertenecientes tambin a la funcin f dada.

Observe que el punto )1611,

23( est ms cerca de )

21,1( que el punto ( 2 , 3 ). Demuestre

algebraicamente que la ecuacin de la recta secante que pasa por estos puntos viene dada por la

ecuacin 823x

819y =

- Clculo de Pendiente mSec:

- Clculo de interseccin con eje y:

- Por lo tanto:

Introduzca la funcin f dada y las dos funciones secantes al listado de funciones de y y obtenga una grfica simultnea de todas stas funciones, usando una ventana de visualizacin con los parmetros [ - 0.7 , 2.3 ] 0.5 ; [ -2 , 3 ] 1 para todas ellas. Observe como las rectas secantes se aproximan a una recta tangente en x = 1.

Note que la pendiente de la secante, que denotaremos msec viene dada por:

h)a(f)ha(f

a)ha()a(f)ha(f

xxyysecm

12

12 +=

+

+=

=

61

Para los puntos )21,1( y ( 2 , 3 ) : a = 1 ; h = 1 (as: a + h = 2 )

Para los puntos )21,1( y )

1611,

23( : a = 1 ; h =

21

(as: a + h = 23

)

De las ecuaciones de las secantes obtenidas en la parte (a) y (b) se tiene que las pendientes de

las respectivas secantes fueron 8

19y27

.

Ingrese ahora el siguiente programa que llamaremos MSEC en su calculadora en la ventana PRGM, que servor para calcular para calcular pendientes de rectas secantes:

A ? A Lbl1 H ? H A X

Y1=Y A + H X (Y1-Y) / H

Goto1

(Nota: Al ingresar los comandos Label y GoTo, se introduce un salto en el programa que le ir dando resultados y posteriormente le preguntar por distintos valores de H.)

Ingrese la funcin f como Y1 en el listado de y . Use el programa MSEC para completar la siguiente tabla. Qu valor tendr que introducir para el valor A solicitado en el programa?

El valor de A a introducir en el programa sera A=1, ya que esta es la coordenada de x en la cual estamos calculando la pendiente de la recta tangente.

62

H MSEC110 1,655210 1,51505310 1,5015005410 1,500150005510 1,500015610 1,5000015710 1,5

110 1,355210 1,48505310 1,4985005410 1,499850005510 1,499985610 1,4999985710 1,49999985

De la tabla anterior podr observar que las pendientes de las secantes que pasan por )21

,1( y

otro punto de la curva, van acercndose al valor 1,5, a medida que h se acerca cada vez ms a 0.

Considerando que parece razonable que la pendiente de la recta tangente en )21

,1( sea 1,5,

encuentre la ecuacin de dicha recta tangente y escrbala en la forma y = g( x ). Incorpore sta ecuacin al listado de funciones, donde ya se encuentran la funcin y las ecuaciones de las rectas secantes y obtenga un grfico simultneo.

Ingrese al SET UP (L, p) de su calculadora y active la opcin DERIVATIVE con ON. Salga con d e ingrese a la ventana y. Siguiendo el procedimiento de la actividad 1, use L SKETCH para obtener una grfica de f y su tangente en x = 1. Observe que aparecer tambin la derivada de la funcin en dicho punto, y si presiona l nuevamente, aparece la ecuacin de la recta tangente en el valor x = 1. Coincide el valor de de la pendiente en x = 1 que da la calculadora con el valor conjeturado anteriormente?

63

- Si coincide, el valor es 1,5.

Actividad: 3 LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE

Considere la funcin )x(senx)x(f pi= . El objetivo de esta actividad es conjeturar el valor de la pendiente de la recta tangente en x = 2.

Desactive o borre las otras funciones del listado dey. Ingrese la funcin dada en el listado como Y1. Elija V-WINDOW como [-3 , 3] 1 ; [-5 , 5] 1

Use el programa MSEC para completar la siguiente tabla:

H MSEC110 6,489356882210 6,313562575310 6,286316559410 6,283499363510 6,283216723610 6,283188442710 6,283185714

110 5,871322893210 6,250741057310 6,280033384410 6,282871045510 6,283153891610 6,283182158710 6,283185086

Qu obtuvo en cada uno de los pasos de la tabla?. Conjeture el valor de la pendiente de la tangente en x = 2.

- El valor conjeturado para la pendiente en x=2, es 2.

Ingrese la ecuacin de la recta tangente como Y2 en GRAPH y obtenga un grfico simultneo de la funcin y su recta tangente en x = 2. Use un V-WINDOW [-3 , 3] 1 ; [-5 , 5 ] 1.

Desactive la ecuacin de la recta tangente en el listado de y y obtenga nuevamente un grfico de la funcin dada (cercirese en el SET UP que DERIVATIVE sigue en ON). Con el grfico en pantalla, use L SKETCH TANG y ubique el cursor en x = 2. Oprima l y obtenga una grfica de la curva y la recta tangente. Observe el valor de la derivada en x = 2 y confronte lo observado con su conjetura.

64

Ingrese nuevamente al grfico y grafique la tangente de la funcin en x=2, siguiendo los mismos pasos que en la Actividad 1, y compare la derivada en dicho punto tanto como la ecuacin de la recta. Son los resultados congruentes?

- Los resultados son consistentes tanto en la derivada y en la ecuacin de la recta, tanto como con la conjetura.

Actividad: 4 FUNCIONES QUE NO POSEEN DERIVADA EN UN PUNTO

Las siguientes funciones no poseen derivada en x = 0:

x)x(f =

31

2 )x()x(g =

Obtenga el grfico de cada uno de ellos. Por qu no poseen derivadas en x = 0 ?.

- No poseen derivadas en x=0 ya que en este punto existe un vrtice. Si existe un vrtice, entonces existen infinitas rectas tangentes que pasan por l.

En la ventana y obtenga un grfico de cada uno de ellos y la tangente en x = 0.

Qu resultado da la calculadora en relacin con la derivada en x = 0?. Comente y discuta lo observado.

65

- La calculadora indica que la pendiente en x=0 es 0, lo cual est conceptualmente errneo por lo afirmado en el punto anterior.

Actividad: 5 DEDUCIENDO UNA REGLA POR UN METODO EMPIRICO

Si bien el programa MSEC nos fija el valor de A, y nos pide valores variables de H, esta vez plantearemos para este caso MSECSIN que por el contrario de MSEC, fijaremos el valor de H y usaremos el valor de A como variable.

Use el programa MSECSIN para estimar la pendiente de la tangente a la funcin y = sen x en los siguientes valores:

0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1,0 ; 1,2 ; ...........hasta 3,0

Considere 510H = para la estimacin.Por ejemplo, usted debiera deducir que la pendiente de la tangente a la curva y = sen x en el

valor x = 0 es 1, la pendiente de la tangente en el valor x = 0,2 es aproximadamente 0,98, etc. Slo considere aproximaciones de 2 dgitos. Al final usted tendr un total de 16 puntos de lo que se suele llamar la funcin derivada de sen x.

Complete la siguiente tabla:

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

1 0,98 0,92 0,82 0,69 0,54 0,36 0,17 -0,03 -0,22 -0,4 -0,58 -0,73 -0.85 -0,94 -0,98

66

Ingrese sta tabla de valores a alguno de los archivos de la ventana w como LIST1 y LIST2. Presione GRAPH y con SET seleccione GPH1 SCATTER XLIST: LIST1 YLIST: LIST2 . Salga con EXIT y oprima GPH1 para obtener finalmente un grfico de 16 puntos ingresados.

Le parece familiar la curva que pasa por esos puntos? Identifique la ecuacin de la curva que pasa por esos puntos y encontrar una regla sencilla para hallar pendientes de rectas tangentes a y = sen x.

- La curva que pasa por esos puntos parece ser y = cos x. Por lo tanto para hallar la pendiente en cualquier punto de sen(x), debo reemplazar x en cos(x).

Ingrese la ecuacin de la curva al listado de y. Obtenga un grfico de dicha curva y use L G-SOLV para hallar las imgenes de los valores del dominio que aparecen en la tabla corroborando as el grado de exactitud de los valores de la tabla.

Ingrese a TABLE y usando la ecuacin de la curva obtenga una tabla de valores. Coincide dicha tabla de valores con la obtenida por usted con el programa MSECSIN ? Si quisiera obtener una aproximacin mayor, qu debera hacer al ocupar el programa MSECSIN ?

- Existe un margen de error muy pequeo, para alcanzar un grado de exactitud, habra que fijar un H an menor que .

Actividad: 6 DEDUCIENDO OTRA REGLA POR UN METODO EMPIRICO

Repita la metodologa actividad anterior para la funcin y = cos x

67

Actividad: 7 DEDUCIENDO OTRA REGLA

Conjeture el valor de la pendiente de la tangente a la curva xey = en los valores que aparecen en la siguiente tabla:

-1,5 -1,3 -1,1 1.1 1,3 1,50,2231 0,2725 0,3328 3,0041 3,6692 4,4816

Obtenga una grfica de los datos obtenidos e identifique la curva para hallar una regla sencilla para encontrar pendientes de rectas tangentes a xey = .

- Se sigue el mismo procedimiento que en la actividad 5. Copiamos los datos en una tabla y luego se grafica. Se nota enseguida que la curva tiene un carcter exponencial, sin embargo no se sabe con certeza de qu tipo. Para ello se accede a CALC, EXP, ae^bx, y la calculadora automticamente nos dar la curva con base exponencial e que ms se asemeje al modelo.

- Note que todos los valores de a,b,r,y son prcticamente 1, y adems la curva pasa satisfactoriamente por todos los puntos como se muestra en el grfico anterior.En conclusin, la pendiente de la recta tangente de coincide con la imagen de .

68

LABORATORIO7CONSTRUCCIN DE RECTAS TANGENTES