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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”

EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II

Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS

61 [email protected], [email protected], [email protected].

Ejercicios de Aplicación de la derivada con rectas tangentes y normales

1) Dadas las funciones ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=−=2

1)(1)( xSenxyxxf πϕ Hallar )1(´)1(´

fϕ

0(1)f´(1)´

0´(1)2π

cos2π

´(1)2xπ

cos2π

(x)´2π

2xπ

cos(x)´

1(1)f´1f´(x)

=

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=⇒−=

ϕ

ϕϕϕϕ

2) ¿Qué ángulo forma con el eje ox las tangentes a la curva 2xxy −= en el punto cuya abscisa es x = 0?

45ºθ(1)arctgθ1θtg0xpara2x.1θtgθtgtgm

2x1m2x1y´ tg

=⇒=⇒=⇒=−=⇒=

−=⇒−=

3) ¿Qué ángulos forman con el eje de Abscisas, al cortarse con este en el origen de coordenadas las sinusoides xSybexSenya 2)) == ?

,4363ºθtg(2)Arcθ2θtgCos(0)2tgθ

Cos(2x)2θtgCos(2x)2tgmCos(2x)2y´(2x)Senyb)

45ºθ(1)arctgθ1θtg0Cosθtg0x(0,0)ptox;Cosθtgxcosy´xSenya)

=⇒=⇒=⇒=

=⇒=⇒=⇒=

=⇒ =⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=

4) ¿Qué ángulo forma con el eje de abscisas al cortarse con éste en el origen de coordenadas la tangentoide xtgy = ?

º451)0(22 =⇒=⇒=⇒=⇒= θθθθ tgSectgxSectgxtgy

5) Determinar el coeficiente angular de la tangente a la curva 0733 =−−+ xyyx en el punto (1,2). (Definimos mtg= k coeficiente angular)

yxxyyxyyyyx +−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=⇒=−−+ 2323´0´´2323

111

12)2(3

22)1(323

23´)2,1(.

23

23´

−=⇒

−

+−=⇒

−−

+−===⇒

−−

+−= kk

xx

yxktgmyPtoSust

yx

yxy





6) Determine el valor de la primera derivada de la función ( )ax

0

Be1IxI −+

=)( en

X=0, Donde 0I , B y A son constantes.

( ) ( )AxAxAx eABBeIxIBeIxI −−−−

− −+−=′⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

21

1)(1)( 00

( ) ( ) ( )220

0

2Ax

Ax

B1

ABI(0)I´

Be1

eABI(0)I´

Be1

eABII´(x) 000

+=⇒

+=⇒

+=

−

−

7) Hallar el punto de la curva 211x

y+

= cuya ecuación de la recta tangente es

paralela al eje oy.

( ) ( )1:1)0(0:

)1,0(1)0(001

21

2´

:existe 0y si ox, eje al paralela es tag recta La

22

=⇒+−=

⇒=⇒=⇒=+

−⇒+

−=

=′

yLxyL

pfxxx

xx

y

tgtg

8) Encontrar el punto de la parábola 4123 2 ++= xxy cuya recta tangente forma

un ángulo 4π

con el eje x.

,0)61

p(041

61

261

361

y61

x126x

1dxdy

14π

TgTg θdxdy

Pero,2;6xdxdy

41

2x3xy

2

2

−⇒=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇒−=⇒=+

=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=+=⇒++=

9) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva 153 2 +−= xxy en el punto (2,3).

775)2(6)2(56 =⇒=−=′⇒−=′ mfxy 10) Sea T la tangente a la parábola y = x2 en (3,9). Hallar el punto en que T corta al eje y.

9.- en y eje el corta T90969)3(6:6)3´(2´

⇒−=⇒=⇒−=⇒+−==⇒=

yxsixyxyLyxy

tg





11) Una recta que pasa por el punto (0, 54) es tangente a la curva 3xy = Hallar el punto de tangencia.

)27,3(32754)3(3)()(

54)()(),(54)(

)(54)54,0()(Re:

32323

11

−−⇒−=⇒−=⇒+=⇒=′⇒=

+′=⇒+′=

′=−⇒∈⇒−=−⇒

tg

tgtgtg

ptoaaaaaaafaaf

aafaftgptoesbapsixxfy

xxfylpxxmyyTgctalsea

12) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es horizontal si: a) f(x)= x2-3x+2 b) f(x)= x3-6x+5

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⇒=−=

=′

41

,23

:41

229

49

23

23

032)´()

0)(

esPtoElfxxxfa

xfsihorizontalestgLa

)524,2(52452622)2(2

2063)´() 2

++−=+−=⇒=

±=⇒=−=

PtofxSi

xxxfb

13) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es horizontal si:

xxxfb

xxxfa

−=

−=

4)();

9)()

{ }9)9(

90)´(

)9(9

)9(9)´()

2

22

−∈∀≠−

⇔=

−=

−+−

=

IRxx

xf

xxxxxfa

Luego, f no tiene tangentes horizontales.

{ }40)4(

4)4(

4)´() 22 −∈∀≠−

=−

+−= IRx

xxxxxfb

Luego, f no tiene tangentes horizontales.





14) Hallar los puntos en que las tangentes a la curva 202123443 +−+= xxxy sean paralelas al eje de abscisas.

( ) ( )

2 23 2´ 12 12 24 ´ 12 2 12 2

( ) 0

20 12 2 12 0 0

2 2 0 2 1 0

2 0 2; 1 0 1.

(0) 20

y x x x y x x x m x x xtgtg m Como son paralelas al eje de las abscisas f xtg

x x x x x

x x x x

x x x xSust en la funciónf pto

θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − ⇒ = + − ⇒ = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

′= =

⎛ ⎞= + − ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − = ⇒ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = ⇒ = − − = ⇒ =

= ⇒ (0, 20); ( 2) 12 ( 2,12); (1) 3 (1, 3)f pto f pto− = ⇒ − = − ⇒ −

15) Demostrar que las curvas 02325 =−+− yxyxy y 02352 =++ yxxy se interceptan en ángulo recto en el origen.

Nota: Para que dos curvas se intercepten en ángulo recto en un punto se debe

cumplir que 2

11

mm −= siendo m1 y m2 las pendientes de las curvas en el punto

considerado; por parte:

02́222́

2322́5

01́32233451́2

=−−+−

=−−++

yxxyyyy

yyxxxy

52

)0,0(´2;

25

)0,0(´2

2235

22´2;

322

223345´1

=−==

−+

+=

−

+−=

yy

xy

yxy

yx

yxxy

16) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es vertical si:

22)();2)1()() 3 2 +−=+−= xxfbxxfa

La gráfica tiene tangente verticales en x = a si f´(a) no existe.

a) Dom. (f) = IR 3 13

2)´(−

=x

xf

Si x =1 entonces f´(x) no existe. Por lo tanto, en x =1 la gráfica de f tiene una tangente vertical.





[[ +∞−= ,2)() fDomb 22

1)´(+

−=x

xf

Si x =-2 entonces f´(x) no existe. Por lo tanto, en x =2 la gráfica de f tiene tangente vertical. 17) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es vertical si:

xxfbxxfa =−= )()36)() 2 La gráfica tiene tangente vertical en x =a si f´(a) no existe.

[ ]22 36

)(362

2)´(6,6)()

x

xxf

x

xxffDoma

−=′⇒

−−=⇒−=

Si 6±=x entonces f´(x) no existe. Por lo tanto, en 6±=x la gráfica de f tiene una tangente vertical.

[[ +∞= ,0)() fDomb x

xf2

1)´( =

Si x =0 entonces f´(x) no existe. Por lo tanto en x = 0 la gráfica de f tiene una tangente vertical. 18) Determine los puntos en los cuales la recta tangente a: 32 34 +−= xxy es horizontal. La tangente es horizontal si y´(x) = 0

)1621

,32

(1621

23

)3,0(30

23

00)64(064´ 223

ptoyxptoyx

xxxxxxy

=⇒==⇒=

=∨=⇒=−⇒=−=

19) Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva 342 23 −−+= xxxy en el Punto (-2,5)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

11 1 1 1

22 2´ 3 4 4 3 4 4 ( 2) 3 2 4 2 4 2 0

5 0

2 0

y y m x x R y y x x Rtg tg Nmtg

y x x m x x m mtg tg tgy Rtgx RN

− = − − = − −

= + − ⇒ = + − ⇒ − = − + − − ⇒ − =

− =

+ =





20) Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la parábola xy = en el punto cuya abscisa es 4=x

41

42

1

2

1

2

1´ =⇒=⇒=⇒= tgtgtg mm

xm

xy

Sustituimos el valor de 4=x en la parábola para saber el punto de contacto:

( )

( ) ( ) 01844424

411

2:

044484441

2:

)2,4(24

=−+⇒−−=−⇒−−=−

=+−⇒−=−⇒−=−

=⇒=

yxxyxyNR

yxxyxytgR

Pyy to

21) Determine el punto P de la gráfica de 4x2y −= , para el que su recta Tangente pase por el origen.

( ) )2,4(24)4(244242

4242:

42)0(

42

10

42

1'42

2Ptoyyxxxxx

x

xxIgualamos

x

xyx

xy

xyxy

=→−==⇒=−⇒=−

−=−

−=⇒−

−=−⇒

−=⇒−=

22) Sea 4910)( 2 −+= xxxf encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva

en el punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

59,

51 .

522

13:59

513

1359

51

13:

59

51

139620

51

´920)´(

−=⇒−−=⇒−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒+=

xyLxyxyL

ffxxf

23) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva )87()2( 235 −+−= xxxxy en el punto (-1, -2).

1311211112)1(1111)1´()2)(114()87)(65(´ 35224

−−=⇒−−−=⇒−+−=−=−⇒−++−+−=

xyxyxyyxxxxxxxy





24) En que punto la recta tangente a 32 23 +−= xxy en (2,3); corta al eje y.

)5,0(5054)2(434)2(43 2

−⇒−=⇒=−=⇒−=−⇒=′⇒−=′

cpyxxyxyyxxy

25) Usando derivada encontrar el vértice de la parábola .842 −+= xxy En el vértice de la parábola, la recta tangente a la gráfica tiene pendiente cero.

Luego, el vértice de la parábola es (-2,-12).

26) Escribir la ecuación de la recta tangente y de la normal a la hipérbola x

y 1=

en el punto cuya abscisa es 21

−=x .

44

:41

44:2214:4

21´1´ 2

−=⇒=

−−=⇒−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⇒−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇒−=

xyLm

xyLxyLyx

y

NN

tg

12)2(8)2(4)2()2(

20420´2

−=−−−+−=−

−=⇒=+⇒=

yy

xxy





27) Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva 3 1−= xy en

el Punto (1,0).

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) N

tg

tgtg

Rxxxyxy

Ryxy

mmx

yxy

0110110110

010113

1)1(13

1´131´

3 23 2

3/2

=−⇒+−=⇒−−=−∞⇒−∞−

=−

=⇒−∞=−

∞=⇒−

==−

=⇒−= −

28) Hallar el punto en que la recta tangente al gráfico de 4)( 3 += xxf en (1,5) se intercepta con ella nuevamente.

235)1(3:5)1(;3)1´(3)´(

(1,5) punto elen f a tangenteRecta2 +=⇒+−=⇒==⇒= xyxYLffxxf

Intersección de f con L

210)1)(2)(1(0)2()1(023423 233

−==⇒=−+−=−+−⇒=+−⇒+=+

xyxxxxxxxxxxx

4)2(2 −=−⇒−= fxSi ; Luego, el punto es (-2, -4)





29) En que punto de la curva: 22 xxyx −=+ la recta tangente a la curva es bisectriz del primer cuadrante.

xdxdy

xdxdy

xxxyx 4121222 −=⇒−=+⇒−=+

Sea (a, (a)) el punto de la curva, donde la tangente es bisectriz del primer cuadrante. Sea xyL =: , la recta tangente a la curva (ya que, L divide en dos ángulos iguales, el primer cuadrante) entonces 0141 =⇒=− aa

Luego, 0020)0( 2 =−=y Por lo tanto, el punto es (0,0)

30) Probar que la recta tangente a: xxxy ++−= 24 2 en (1,2) es también tangente a la curva en otro punto; encontrar dicho punto. Recta tangente: 1)1´(144´ 3 =⇒++−= yxxy Luego, la recta tangente a la curva en el punto (1,2) es: L: 1:2)1( +=⇔+−= xyLxy Intersección de la recta con la curva:

)0,1(01)2,1(21110)1(01221 2222424

−=⇒−==⇒=±=⇒=⇒=−⇒=−+−⇒++−=+

tgtg pyxpyxxxxxxxxxx





31) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 3y x= − que es perpendicular a la recta .0436 =−− yx

( )( )

[ ]

( )

1/ 2

2 2

1 13 ´ 3 ´2 2 3

6 3 4 0 2 4 / 3 21

21 1 2 3 2 3 1 3 1 3 1 4

2 2 313 4 3 1 (4,1)2

11 4 2 22

recta

y x y x yx

x y y x m

Como es perpendicular a la recta tg mtg

x x x x xx

Sust x en la ec y x y y y Pto m

y x y x

−= − ⇒ = − ⇒ =−

− − = ⇒ = − ⇒ =

−⇒ =

− ⎡ ⎤/ /= ⇒− − = ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − = ⇒ =⎣ ⎦−

= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = −

− = − − ⇒ − =− + 4 2 6 0x y Rtg⇒ + − =

32) Hallar la ecuación de la recta tangente y una ecuación de la recta normal a la

curva ( ) 3/416−= xy que es perpendicular a la recta 021

38

=−+ xy

38

83

163

83031660

63616

=⇒−=⇒+−=⇒=−+⇒=−+

tgrecta mmxyyxxy

( ) ( ) [ ] ( )[ ]( )

( )

( ) N

tg

Ryxxyxy

Ryxxyxy

pyyxx

xxtmyxy

0200837231288248316

0144381928483243816

)16,24(16162424168

1621634

38´16

34´

3/4

33/133/13/1

=−+⇒+−=−⇒−−

=−

=+−⇒−=−⇒−=−

⇒=⇒−=⇒=⇒−=

−=⇒−=⇒=⇒−=





33) Calcular la ecuación de la recta tangente y una ecuación de la recta normal

a la curva x

y 1= , que es paralela a la recta 062 =−+ yx .

( ) ( ) Ntg

tcta

RyxxyRyxxy

Ptoyx

yxxxx

mmxyxyyxx

yx

y

0121210321211

)1,1(:1111222

121

213

226062

2

1´1

33

3

Re3

=−−⇒−=−=−+⇒−−=−

⇒=⇒=⇒=⇒=⇒−=−⇒−=−⇒

=−=⇒+−

=⇒+−

=⇒=−+−⇒=

34) ¿En qué punto la tg a la parábola 372 +−= xxy es paralela a la recta 035 =−+ yx ?

)3,1(3.1275725

)(535035

7272´

Re

−⇒−=⇒=⇒=+−⇒−=−

=⇒−=⇒+−=⇒=−+

−=⇒−=

ptoySustxxx

paralelasMmmxyyx

xtgmxy

ctatgrecta





35) Determine los puntos en la curva 31)(

++

=xx

xf donde la recta normal es

paralela a la recta de la ecuación 529 =+ yx y determine la ecuación de la recta tangente en dichos puntos.

921

92:

35)6(

92)6´(

35,6

31

92:

31)0(

92)0(

31,0

35,6

35)6(6

31,0

31)0(0

600)6(

9969)3(29

2)3((//)

)´(1

129

25

29529

)3(2)´(

)3(13)´(

222

22

+=⇒=−=−⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+=⇒==′⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⇒=−⇒−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⇒=

−==⇒=+

=++⇒=+⇒−=+

−⇒=−

=

⇒−

=⇒−

=⇒+−

=⇒=+

+=⇒

+−−+

=

xyLfyfpara

xyLfyfpara

pfxSipfxSi

xvxxx

xxxxmxf

m

mmmxyyx

xxf

xxxxf

rectan

tgnrecta





36) Determine el o los puntos donde la gráfica de la relación 54622 +−=+ yxyx tiene tangentes paralelas a la recta 4+= xy .

xyyx

yxy

xmmsi

mxyycony

xdxdy

xdxdyy

dxdy

dxdyyxyxyx

tgrecta

recta

−=⇒=−

+=−⇒=+

−⇒=

=⇒+=−≠+

−=

−=+⇒−=+⇒+−=+

1222

4226142

26recta la a paralela es l

14 242

26

26)42(4622546

tg

22

1165)5,6(:

101)1,0(:)5,6(56;)1,0(10

600)6(20122

5446215)1(46)1(

546 x)-1(x, punto el

2

2222

22

+=⇒−=+⇒−

+=⇒−=−⇒−−=⇒==⇒=

=∨=⇒=−⇒=−

++−=+−+⇒+−−=−+

+−=+∈

xyxypR

xyxypRpyxpyx

xxxxxx

xxxxxxxxx

yxyx

tg

tg

toto





37) ¿En qué punto de la curva 32 2xy = la tangente es perpendicular a la recta 0234 =+− yx ?

( )( )

32124)

81(

43

161

161,

81

161

2561

2561

5122

812.

8/100812

1624212232

343:(*)

431;

34

3240234:

(*)2

3233´26´6´22

3

3

43222

3233

2

3

23

222232

+−=⇒−

−=+⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

±=⇒±=⇒±=⇒±=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±=

=∧=⇒=−

=⇒=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⇒=−⇒=

−

−=⇒−==⇒

+=⇒=+−

=⇒±=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=

xyxyPto

yyyyySust

xxxx

xxxxxxx

xeclaenSust

mmmmxyyxL

x

xmxyyxm

yxy

yxyxyyxy

tgrectatgrecta

tgtg

32524)

81(

43

161

161,

81 +−

=⇒−−

=−⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ xyxyPto





38) Determine la ecuación de la tangente a la curva yxyx −=+ cuya pendiente es .21

1698

815

21

83

.83,

815

23

.49

2332

324122412)12(2

21

1212

´21

1212

´´12

`1

−=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−

==⇒=−⇒−=+

=+⇒=+⇒=+

=+−+⇒++=−+⇒++=−+⇒

=++

−+=⇒=⇒

++

−+=⇒−=

++

xyxy

yxyxyxyxcurvalaDe

yxyxyx

yxyxyxyxyxyx

yxyx

ymyxyx

yyyx

ytg

39) Determine la ecuación de la tangente y la normal a la curva xyyx −=+2

sabiendo que la normal en x = 3 es de pendiente .21

−

( )

( ) ( ) 749192932192

932

221

3.12

2´

2

2

=⇒=+⇒−+=++⇒=−+

++

=⇒−==⇒−+

++=

yyyyy

y

mmxparayx

yxxy tgn

( )

( ) .2

173

21

7:.

,12327:

+−=⇒−−=−

+=⇒−=−

xyxyL

xyxyL

N

tg





40) Determine si la recta tangente a la curva 13642 232 +−=+− xxxy en el punto

(2, -1) es una de las normales a la curva xxy 312 −=− .

12

62.82.6)1,2(

2686

686213642

22

2232

−=−

−−=−⇒

−−=

−=+−⇒+−=+−

dxdy

yxx

dxdy

xxdxdy

yxxxy

luego, la recta tangente a la curva 13642 232 +−=+− xxxy es:

1:;1)2(: 11 +−=−−−= xyLxyL tgtg

3:1)2(:

134)2(323231

22

2

−=⇒−−=

=−=⇒−=⇒−=−⇒−=−

xyLxyLdx

dyxdxdyx

dxdyxxy

tgtg

Luego: tgtg LL 21 ⊥ , ya que el producto de sus pendientes es -1. Por lo tanto, L1tg es

normal a la curva xxy 312 −−=−





41) Calcule la pendiente de la recta Tangente a la curva Ovalos de Cassini

( ) 4222222 bxa4ayx =−++ en el punto ( )22, , cuando a = 2 y 6b =

( )( )( )( ) ( )

( )( )

( )( )

52

)2(522

22

252

252

2104

24016

2408064

)10(24)10(864

22224

)2(2)2()2(42)2(8

448'

48'22

08'222

222

2222

222

2222

2222222

2222

−=⇒

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⇒

−=⇒

−=⇒

−=⇒

−=

−=⇒

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−

=⇒++

++−=

++−=++

=−+++

TgTg

TgTgTgTg

TgTg

mm

mmmmm

mmayxy

ayxxxay

ayxxxayyayx

xayyxayx

42) Determine las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la curva

2yb

xa

mm

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

en el punto (a, b).

2 ln

' '

' ' ''

' 0

mm m

m

m m

mm

a b aSea z aplicar Lnz mLna mLnxx y x

z m a mzz x x x

b w ny b mySea w Lnw mLnb mLny wy w y y y

a m my b mSustituirx x y y

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⇒ = ⇒ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⇒ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= ⇒ = − ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

'

' ' ' '

m

m

m m

m m

a my x xy b

y

a m a m mby bbx x a a ay PtoTg y y y

m abb mmby

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠





( )

( )

( )

1 1

2 21 1

2 2 2 22 2

: ( )

2 2

1: ( )

tg Tg

NTg

bL y y m x x y b x a ay ab bx baa

bay bx ba ba ay bx ba y x aa

aL y y x x y b x a by b ax am b

ax a b a b aby ax a b y y xb b a

− = − ⇒ − = − − ⇒ − = − +

= − + + ⇒ = − + ⇒ = − −

− = − − ⇒ − = − ⇒ − = −

⎛ ⎞− + −= − + ⇒ = ⇒ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

43) Determine las ecuaciones de la recta Tangente y de la recta normal a la

curva xsenxey x += − en el origen.

2xy)1x(x

Tgm1

1yy:NL

2xy)1x(xTgm1yy:tgL

2tgmy'1sen(0)cos(0)(0,0)tgP

1cosy'1cos

)()(

0ey'

senxxexesenxey'xsenxey xxxx

−=⇒−=−

=⇒−=−

==⇒−⇒

=→

++−++−=

=

⇒+= −−−−





44) Determine la ecuación de la recta Tangente a la curva xxy =)cos( en el

punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

32

21 π, .

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]πππππ

ππππππ

ππππππ

ππππ

ππ

π

πππ

23323

343

323

34

323

323

34

32

33

32

33

34

32

33

33

32

33

33

34

32

36)33(4

3)33(

34

21

3)33(4

32

3)33(4

'

43

333

'

43

331

'

23

21

23

321

'

321

3321

'3

2,21

)()(1

'

1)(')(1')()(cos

+++−

=⇒++++−

=

++++−

=⇒+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−=⇒+

++

+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−=−⇒=

+−=⇒

−−

=

−−=⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

=−−⇒=+−⇒=

xyxy

xyxy

xyxy

xymyy

yysen

senyTgPto

yxsenxyxseny

y

xysenxyyxysenyxyyxsenxxy

Tg





45) Hallar la ecuación de la recta normal a la curva )(ln xxy = que es paralela a la recta 0332 =+− yx .

( ) ( )2

5ln

25ln2ln23

32

1)ln(1

32

1)ln(111)ln(

2/52/52/52/5

ln 25

25

−−−− −=⇒=

=⇒=⇒−

=⇒+=−

=+

−⇒=⇒⇒=

+−

=⇒−=⇒=+=′

−−

eyeeey

xxx

xmmLlaaparalelaesestaperom

xm

mmmxy

x

rectaNNrecta

Ntg

Ntg

( ) ( )

( ) ( ) 2/52/52/52/52/5

2/52/52/5

619

32

25

32

25

1251

25

1ln1

−−−−−

−−−

−=⇒−−=⇒−−+−

−=

−−+

−=

exyeexyeexy

eexe

y

46) Encontrar una ecuación para cada una de las rectas que pasan por el punto

(-1,-2) y son tangentes a la curva 31

+−

=xx

y .

2

2

2

2

2

2

2211

22

)3(1482

)3(1812244

)3()3(2)1(4

2)3()1(4)1(

)3(42)(

)3(4

)3()1()3(

31

+−−−

=⇒+

−−−+=⇒

++−+

=

−+

+=⇒+

+=+⇒−=−

+=′⇒

+−−+

=′⇒+−

=

xxxy

xxxxy

xxxy

xxyx

xyxxMyy

xy

xxxy

xxy

tg





Se iguala con la curva dada

1451451452

142102

56102

)11()1(410010

01110148233

1482)3()1()3(

148231

21

222

22

2

−−=⇒+−=⇒±−=

±−=⇒

±−=⇒

−±−=

=++⇒−−−=−−+

−−−=+−⇒+

−−−=

+−

/

xxx

xxx

xxxxxxx

xxxxx

xxxx

Ahora calculamos las pendientes y las rectas:

2)142(

)1(4)142(

)1(42

)142(4

)3145(4

2)142(

)1(4)1()142(

42

)142(4

)3145(4

)3(4

22

2222

22

21212

−−−

+=⇒

−−

+=+

−−=⇒

+−−=

−+−

+=⇒+

−=+

+−=⇒

++−=⇒

+=

xyxy

mm

xyxy

mmx

mtg

47) Demuestre que la curva xxy 25 += , no tienen tangentes horizontales.

tgmxyxxy =+=′⇒+= 252 45

Representa una expresión general para las pendientes de todas las rectas tangentes a la curva. Si suponemos la existencia de tangentes horizontales debería cumplirse que

0)( =′ xf

ℜ∃/−=⇒−=⇒−=⇒=+ / / 444 444

52

52

52025 xxxx

La curva no tiene tangentes horizontales.





48) Encuentre los puntos del círculo 122 =+ yx para los que la pendiente de la recta tangente vale -2.

xyyxym

yxyyyxyx tg =⇒−=−⇒−=′=⇒

−=′⇒=′+⇒=+ 222022122

51

5115141)2( 222222 ±=⇒=⇒=⇒=+⇒=+ yyyyyyy

Sustituyendo en la ecuación xy =2

552

51,

52

52

552

51,

52

52

+−=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

−−=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

xyPtox

xyPtox





49) Calcular la ecuación de la recta tangente a la parábola pxy 22 = en el punto

de su gráfica ),( 00 yxP .

20000

200

00000

0

000

2

)()(

),(

22222

ypxpxyypxpxyyy

pxpxyyyxxypyy

ypMyxpuntoelen

ypy

ypypyypxy

tg

+−=⇒−=−

−=−⇒−=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=

=′⇒=′⇒=

2000 ypxpxyy +−=

Pero la parábola en el Pto

.)Re.(22),(

00

00002000

TgctaEcpxpxyypxpxpxyypxyesyx

+=+−=⇒=

50) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva xy xy 242 = en el punto (4, 2).

( )( )

( )2ln2142ln41)2,4(

,4ln24

2ln12´)2(ln22)4(ln442 2

++

=⇒

++

=⇒+=′+′

tgtg

y

xxxyy

mp

yyxyxyyyy

( ) ( ) ( )( ) .

2ln21442ln41

42ln2142ln41

2:+

++=⇒−

++

=−x

yxyLtg

51) Calcular la ecuación de la recta tangente a una elipse 12

2

2

2

=+by

ax

en el

punto de su gráfica ),( 00 yxP .

tgmya

xbyya

xbyyyaxb

bayyaxb

byy

ax

by

ax

=−

=′⇒//−

=′=′+

=′+

⇒=′

+⇒=+

2

2

2

222

22

22

222

2

2

2

22022

0220221

Ecuación de la recta tangente:

02

20

0011 ),()(yabx

myxPtoxxmyy tg−

=⇒⇒−=−





2

20

2

20

20

20

22

20

2

22

220

22

20

220

2

20

2220

200

2220

20

20

20

2

02

002

00

2

20

0 )()()(

by

ax

axx

byy

baya

babx

babxx

bayya

yabxxbxyyabxxbxyayya

xxxabyyyaxxyabx

yy

+=+⇒/

/+/

/=

/

/+

/

/

+=+⇒+−=−

−−=−⇒−−

=−

/

/

Pero; en el ),( 00 yxP la elipse es 12

20

2

20 =+

by

ax

Entonces: 120

20 =+

axx

byy Ecuación de la recta Tg a la elipse.

52) Determine las ecuaciones de la tangente y normal a la curva kyx =+ en

el punto .169,

161 22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ kk

.8

1331

161

31

169:

,413

1613

169:

.31,3

161

169

´022

1

222

222

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−

=⇒−=−=

−=⇒=′

+

kxykxkyL

kxykxkyL

mk

km

psustalxy

yy

yx

N

tg

Ntg

tg

53) Encuentre la abscisa al origen de la recta tangente a la curva nxy = en el

punto ),( 00 yxP 1

0−=′ nnxy , en el punto nxyyx 0000 ),( =⇒

nnnn

n

xxxnxyxxnxyy

xxnxyy

001

001

00

01

00

)()(

)(

+−=⇒−=−

−=−−−

−

La abscisa en el origen significa que 0=y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⇒≠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−=⇒−=⇒−=⇒−

−=−

−=−⇒+−=

/

//

−−

−−

nnxxxpara

nxx

nx

xxxnxx

xxnx

xxx

xx

xx

nxx

xxxxxnx

n

n

n

n

n

n

n

nnn

1011

)(0

000

000

0

001

0

001

0

00

10

0000

10





54) Demuestre que ninguna recta puede ser tangente a la curva 2xy = en dos puntos diferentes. Suponemos que existe una recta tangente a la curva en dos puntos diferentes

),(),( 111000 yxPyyxP se debe demostrar que .10 xx =

Para :0P

)1.()(2)(2

;)(22200000

20

2000000

´0

Ecxxxxyxxxxy

xyperoxxxyyxy

+−=⇒−=−

=−=−⇒=

Para :1P

)2.()(2)(2

)(22211111

21

1111´1

Ecxxxxyxxxxy

xxxyyxy

+−=⇒−=−

−=−⇒=

Las ecuaciones de las tangentes y de la curva son satisfechas por ambos puntos.

012

01

2010

21

20010

21

0)(

02)(2

xxxx

xxxxxxxxx

=⇒=−

=+−⇒+−=

Ninguna recta Tg a la curva lo es en dos puntos diferentes, cualquier recta Tg, solo lo es un punto.

55) Hallar la ecuación de la parábola Cbxxy ++= 2 , que es tangente a la recta )1,1(ptoelenyx = .

121011

.1211

2)1()1(2)1()1,1(tan

22´

+−=

=⇒+=⇒++=

−=⇒+=⇒=⇒=

+=⇒+==

+=⇒+=

xxy

ccbcbparábolalaentgdeptoSust

bbmxyrectalaDe

bmbmptoelencurvalaagenteesxyrectalaComo

bxmbxy

recta

tgtg

tg





56) Determine los valores de las constantes a, b y c en la ecuación de la curva cbxaxy ++= 2 si ésta pasa por (1,0) y además la recta 84 −−= xy es tangente

en ella (-1, -4).

57) Determinar los puntos de la curva 542 22 +−+= xxxy en que la tangente es horizontal. La tangente es horizontal si y´(a) = 0

2 2´ 3 4 4 (́ ) 0 3 4 4 0

4 16 48 4 8 2 26 6 3

y x x y a a a

a a

= + − ⇒ = ⇔ + − =

− ± + − ±= = = ⇒ = −

Si 27595

324

322

32

32

32 23

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= yentoncesa

Si 135)2(4)2(2)2()2(2 23 =+−−−+−=−−= yentoncesa

Los puntos son )13,2(,2759,

32

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

58) Determine , tal que la recta 35 −= xy sea tangente a la curva

baxxy =−− 3 en el punto (1,2)

5235,2,3:

Ec-4b-2a-1en x curva la a tangentees dada recta la Como4m8--4xyDe 2)(4)1()1()1(

0)1()1()1()(

23

recta

22

122

−+=⇒−===

=+⇒=−=⇒=⇒+=′

−=+−⇒+−+−=−

=++⇒++=⇒++=

xxycbaecuacionesdeSistema

baxxfEccbacbaf

Eccbacbafcbxaxxf





12;

12)1(2)2,1(

25353´1.3´03´

3

33

223

−=−−

=⇒−−⇒=−−

=⇒=+⇒=+=⇒=+=⇒=−−⇒=−−

xxyLuego

bbaxxycurvalaenpuntoelSustituir

aamayxSustaxyaxybaxxy

recta

59) Determine , , tal que las curvas cxbxybxaxy ++=+=− 6,532 32 tengan una recta tangente común en el punto (1, -1)

63´63´6)

34´34´34´532)23

2

+=⇒+=⇒++=

+=⇒+=⇒=−⇒+=−

bybxycxbxyii

baybaxybaxybxaxyi

Luego: Las derivadas deben ser iguales y el punto (1, -1) pertenece a las curvas

cxbxybxaxy ++=+=− 6,532 32

4733761

3633236236235321

23463463

3

2

1

−=⇒−=+−⇒−=⇒−=+⇒++=−

−=⇒=−−⇒=⇒=−−⇒=−−⇒+=−−

=⇒=⇒+=+

ccbsicbeccb

bbasiababecba

aaecbab





60) Determinar un punto ),( baP en la curva de ecuación 112

−−

=xxy , tal que la recta

tangente a la curva en dicho punto forma con los ejes coordenados un triángulo en el primer cuadrante de área 25/2 con a>1.

( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒==⇒=

==⇒−±

=⇒=+−⇒−=++−−

=−

+−−⇒=

−+−−

⇒=⇔=

−−−+

=⇒=

+−−=⇒=⇒−−

+−−

−=

−−

=⇒−

−=⇒⇒−

=−

+−−=

4,23;4

32)3,2(;32

23,2

448497067255122

5)1(

)1()12(25)1(

)1()12(25225

2:

)1()1()12(0

)1()12(0112)(

)1(1:

112)(),(;

)1(1)´(),(

)1(1

)1(1222´)

22

2

2

2

2

222

PbaSiPbaSi

aaaaaaaaaa

aaaa

aaaaxyxytriángulodelárea

aaaayxsi

aaaxysiaaax

ayL

aabayenbap

aaybap

xxxxyi

tg

61) Usando derivada muestre que en una línea circunferencia de centro (h, k) y radio (r) 222 )()( rkyhx =−+− , la recta tangente en el punto (a, b) con (h, k). Solución:

Sea L la recta que une (a, b) con (h, k), entonces khxhakbyL +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

= )(: .

a.- Si b=k entonces las rectas tangentes en el punto (a, k) son perpendiculares al eje x. Pero, (a, k) pertenece a la circunferencia, entonces:

rhahrarkkha −=+=⇒=−+− ;)()( 222 Luego, x=r + h, x=h-r son perpendiculares y a la recta L: y=k, tangente a la circunferencia. b.- Si b ≠ k

2 2 2( ) ( ) 2( ) 2( ) 0

( , )

dyx h y k r x h y kdx

dy x h dy a b a hdx y k dx b k

− + − = ⇒ − + − =

− −= − ⇒ = −

− −

Luego, la recta tangente a la circunferencia en el punto (a, b) es:

baxkbhay +−

−−

−= )(

Es perpendicular a L ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−−

−−

− 1.hakb

kbha





62) Determine el valor de la constante C en la ecuación

,)1()1(ln 3 cxyxy =−+++ sabiendo que la recta tangente a dicha curva en

1+= ex tiene pendiente ( ).

31

++−

=eem

Derivando la ecuación de la curva se obtiene ( )

( ) ( )411+−

+−=

yxyxy y

sustituyendo de acuerdo a la información suministrada, queda

( ) ( )( ) ,

31

411

++

−=+

++−ee

yeye

Cuya solución es y = e – 1.

Haciendo ahora las correspondientes sustituciones de los valores de x, y

en la ecuación dada .42 += eC

63) Determine los valores de las constantes a y b en la ecuación ba

bxay

−+=

22

si la curva tiene tangentes horizontales en .311 =−= yyx

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0.0;1,1113113

130130031

10101

101

)(0´´

22

2222222

31

91

23122

91

2222222

222

22

2222

2

2

2

2

=⇒=±=⇒=⇒+±=−⇒+=−

+=⇒=+−⇒=+

+−⇒==

+=⇒=+−⇒=+

+−⇒=−=

=⇒−

−−=⇒

−+

−=

babaaaaa

aabaaba

aabmyxsust

aabaaba

aabmyxsust

eshorizontalTgmxax

xaaxbyxa

bxay

tg

tg

tg

pero ambos valores carecen de sentido, pues tendríamos y = 0.





64) Determine los valores de las constantes a y b en la ecuación

,2cos xbxsenay += sabiendo que la recta 23

=y es tangente a ella en .6π

=x

Al evaluar en 6π

=x , la ecuación dada, queda a + b = 3. Derivando y

usando el hecho de que la tangente tiene pendiente cero, se tiene: .0222cos´ =−⇒−= baxsenbxay

Resolvamos ahora el sistema .1,202

3==⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−=+

baba

ba

65) Determine los valores de las constantes a y b en la ecuación

0933 =−+ xybyax si la recta normal en (2,1) está dada por .013154 =−+ yx

Sustituyendo las coordenadas del punto de tangencia en la ecuación de la curva

obtenemos .188 =+ ba De la ecuación de las normal se desprende que la

pendiente de la tangente es .45

Derivando implícitamente la ecuación de la curva

dada y usando las coordenadas del citado punto

.4251645

643

643´ =+⇒=

−−

⇒−

−= ba

ba

bay Resolviendo el sistema

correspondiente a las dos ecuaciones obtenidas, resulta a = b = 2. 66) Determine los valores de a, b, y c en la ecuación cbxaxy 23 ++= , usando los hechos de que la recta y = 2x es tangente a ella en el punto (1,2) y la curva pasa por el (-1,6).

3 2 2 2

1

2 3

4

' 3 2 2 ' 2 2 3 2(1,2) 2 3 2

. 2 61 2 2 3 2 2 3 2

3.(2 ) 6 3 3 3

4 3

rectay ax bx c y ax bx como m y ax bxptoTg a b EcSustituir los puntos dados en la curva a b c Ec a b c EcDelasecuaciones y a b a b

a b c a b c

b c Ec

= + + ⇒ = + = ⇒ = ⇒ = +

⇒ = += + + = − + +

= + = +− = + + ⇒ − = − − −

− =− −





5

2 3 2 4 56 2 .( 4 3 ) 8 2 68 2 2 8 2 2 8 2 2

0 4 04 2

De las ecuaciones y a b c De las ecuaciones ya b c b c b cb c Ec b c b c

c cb a

= + += − + + − = − − ⇒ − = − −= + = + = +

= − ⇒ == = −

67) Determine los valores de las constantes a, b, c y d si la curva

dcxbxaxy +++= 23 pasa por los puntos (1,2) y (2,2); además la recta 043 =−− yx , es tangente a ella en el punto (0,-4).

223

123

2)1()1()1(2)2,1(

.2482)2()2()2(2)2,2(

EcdcbadcbaPto

EcdcbadcbaPto

dadacurvalaenpuntoslosSustituir

+++=⇒+++=⇒

+++=⇒+++=⇒

Derivar cbxaxy ++= 23' 2 de la recta dada buscamos la pendiente:

343043 =⇒−=→=−− mxyyx

Sustituir en la derivada cbxax ++= 233 la curva es Tg a recta en x =0, entonces

3)0(2)0(33 2 =⇒++= ccba sustituir en el )4,0( −Pto en la curva:

633331241244)3(4048048

3124320482482464824)3(2482

4)0()0()0(4

4

43

42

31

23

=⇒=+−⇒=+−=⇒−=−=−−=+−

=+⇒=+

=+⇒−+=→−++==+⇒++=⇒−++=⇒−++=

−=⇒+++=−

bbbaEclaenSustaabbababa

EcyEclasDeEcbababaEclaDe

EcbabababaEclaDeddcba





68) Determine el valor de la constante a en la ecuación de la curva axay −−= 2

sabiendo que la recta 045453 =−−+ yx es tangente a ella en el punto de abscisa x = 3.

( )

49)3(43949595)(9

535353)('

53

45

35

543)('2

2)('

222222

2222

2

22

=⇒=⇒==⇒=−⇒=−

−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⇒−=−−⇒

−

−=

−⇒=

−=

+=⇒+

=−

−=⇒−

−=

aaxperoaxaxxxax

xaxxaxax

xxfm

xyxyrectalaDeax

xxfax

xxf





69) La recta 02 =−+ yx , es tangente en el punto (1,1) a la curva de ecuación

.0bxyayx 55 =−+ Determine los valores de las constantes a y b.

20)1)(1()1)(1(1:

155)1,1(55

551)('1202

55'0'550)'(55

44

4

4

4

44444

=⇒=−+

=⇒+−=+−⇒⇒+−=+−

−+−

=−⇒=−=⇒+−=⇒=−+

−+−

=⇒=−−′+⇒=+−′+

bbcurvalaenadevalorelypelsust

abbaPSustbyxbxay

bxaybyxxfmxyyxrectalaDe

bxaybyxybxybyyayxxyybyayx

tg

tg

70) Encontrar el valor de “a” en la curva 3

3

++

=ax

axy . Sabiendo que la recta

tangente a la curva en 1=x es paralela a la recta .022 =+− xy

.6

10810002

409103

09182122921812292)3(2

)3(922

)3(9221

)3(9222

)3(92´

)3(93´

)3()()3(3´

22

222222

2

2

2

2

2

223

2

222

2

2322

2

32

posibleadeValora

acbbaa

aaaaaaaaaaa

aaa

aaaxen

axaxaxmm

max

xaaxyax

aaxxaxyax

aaxaxxy

tgrecta

tg

∃/⇒−±1−

⇒−±−

⇒=++

=−+−++⇒++−=++⇒++−=+

+++−

=⇒+

−+=⇒=

+−+

=⇒==

=+

+−=⇒

+−−+

=⇒+

+−+=

71). Encontrar el valor de “a” en la curva 2

2

2

2

xaa

xa

y−

+= ; para que la recta

tangente en 1=x sea horizontal.

)(2;00)2(02121)1(1)1(22

0)1(

2210)(

220

)(22´))2()((2´)(

222222

2

22

22

2

3

2

22

2

3

22223212222

adeValoresaaaaaaaaaaaa

aaaxen

xaxa

xam

xaxa

xayxxaaxayxaaxay

tg

==⇒=−⇒=−⇒+−=⇒−=⇒−=

⇒=−

+−⇒==−

+−⇒=

−+

−=⇒−−−+−=⇒−+= −−−−





72) Determine el valor de la constante C en la ecuación ( ) xce y −=−1ln , sabiendo que la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa x = 3 tiene

pendiente .21

−=m

( )

3c3cLn(1)3c1)Ln(23c1Ln2eLn:EclaenSust

Ln2yLn2yLne2ye

2y2eyeye12yeye

ye121y'

21m

,ye

ye1y'ye1y'ye11ye

y'ye1

=⇒−=⇒−=−⇒−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=→=→=

=+−→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−⇒

−=−⇒=−=

−=→−=→−=

−⇒⇒−=−

pero

mlaCalcularxcLn tgye

73) Determine el valor de la constante c en la ecuación xcsenxxy cos++= si se sabe que toda recta tangente a la gráfica de y es de pendiente 1.

1cos

coscoscoscos1' 011

=⇒=⇒=→⇒

−+= =⇒−=⇒−+=⇒

CTgmPeroTgxCCx

senxxCxCxxy senxsenxsenxCsenxC

θ

74) Determine el valor de la constante K en la ecuación klyyxx =−+− )1(4)1(ln 22

Si la recta tangente a dicha curva en x = e, tiene pendiente .2em −= .

[ ] [ ]

( ) ( )2

222

22

22

2242

'

42

4441122)1(24)1(4'

0'4)1('42)1(20')1('42)1(2

LnxxLnyeemy

LnyLnxxy

LnyLnxxyxLnxxLnyy

yLnyyxLnxxy

yyLnyyxxxLnxx

−=−⇒−

==

−=′⇒

+−+−−

=′⇒−−−=+−

=+−++−⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+−

( )

222222222

2

2

54)12(4)12()1(4)1(

2848484

8)4()(2(2)4(

eeeeeeeeeee

eeeeee

kkkkLnLn

yLnyLnyLnyLny

LnyLnLnyexComo

=⇒=+⇒=−+−⇒=−+−

=⇒=⇒=⇒=→−

=

−=−⇒−=−⇒=

−





75) La recta 12

−=πy , es tangente a la curva xbsenxaxy cos++= en el punto

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −1

2,

2ππ . Determine los valores de las constantes a y b.

12

122

cos22

12

122

cos2

1cos

cos10)(0cos1)('

−=⇒=−−⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⇒−=−

−+=⇒=⇒−+=

aasena

curvalaenSust

senbxaxsenxbxa

senxbxahorizontalrectamsenxbxaxf

ππππππ

πππ

76) Hallar las ecuaciones de las tangentes a 52169 22 =+ yx que sean paralelas a

la recta 189 =− yx .

18 9 9 1 918 32 ´ 0 ´ ´32 16 8 8

9 9 1 2 28 16 8 16

tgx x xx yy y y y my y

x x y x x yy y

− − −+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

/ −/⇒ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

Sustituyendo en la ecuación 52169 22 =+ yx

( ) ( )2 2 2 2 2 2 29 2 16 52 9 4 16 52 36 16 52 52 52

1 2 2 ( 2,1) (2, 1)

y y y y y y y

y Sustituyendo en x y x Pto Pto

− + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

= ± = − ⇒ = ± − −

0268918988)2(891

)1,2(

0268918988)2(891

)1,2(

=−−⇒−=+⇒−=+

−

=+−⇒+=−⇒+=−

−

yxxyxy

Pto

yxxyxy

Pto





77) Hallar los puntos de las tangentes horizontales y verticales de

27164 22 =++ yxyx

( ) ( )( )

( )yxyxy

yxyxyyxyxy

yyxyyxyyxyyx

1622´

162222´42324´

0´32´4420´32´)(42

++−

=++/−

=−−=+=

=+++⇒=+++

Tangentes Horizontales 0´=⇒ y

( ) ( ) yxyxyxyxyx

=−⇒−−⇒=+−⇒++−

=2

20216220

Los puntos de intersección de la recta 2xy = con la curva dada son los puntos de

Tg .

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−±=⇒±=⇒=

=+−⇒=+−⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

23,3

23,33

327273

2742274

162

4272

162

4

212

2222

22

2

PtoPtoxxx

xxxxxxxxxx

Tangentes verticales. Hacemos el denominador igual a cero para la primera derivada.

( )

( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−==⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=⇒−=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⇒

±=⇒±=⇒±=⇒=⇒=⇒

=−⇒=+−⇒=+−+−

−=⇒−=⇒=+⇒++−

=

43,6

43,66

4386

438

43

169

4827

48272748

273280271632642716848

816201621622´

21

22

2222222

PPxxxx

yyyyy

yyyyyyyyy

yxyxyxyxyxy





59).Calcule el valor de K en la ecuación Κ+−= xxy 85 2 sabiendo que la recta 12 −= xy es tangente a ella.

4)1(8)1(5)1,1(11)1(2

181022810'2 =Κ⇒Κ+−⇒⇒=⇒−=⇒

=⇒−=⇒=⇒−=

sustPyyrectalaenSust

xxmxy

tg

recta

Por favor a los lectores espero su valiosa colaboración, en la revisión de los mismos y hacerme llegar las sugerencias y correcciones necesarias a las direcciones electrónicas publicadas.

Gracias.

Dámaso Rojas

Octubre 2007

ejercicios de aplicación de la derivada con rectas ...galeon.com/damasorojas/iiderivadas.pdf ·...

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