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Aplicaciones

de las tangentes ¿Por qué las tangentes?

Los conceptos de crecimiento o decrecimiento de una magnitud o de una función o de convexidad y

concavidad de una curva, no necesitan del hecho de que la función en la que se estudien tenga derivada.

Esos conceptos son previos a la limitación de que la función, la curva, tenga derivada y segunda derivada

en todos sus puntos., son conceptos que existieron antes de que la derivada asomara su cabeza el siglo

XVII. Por supuesto los conceptos no se definieron tal y como los estudiamos ahora hasta mucho después.

Crecimiento

Si una magnitud se derivada de otra, decimos que la primera es creciente respecto de la segunda si un

aumento de esta, conlleva el de la otra. Es decir, mantienen la desigualdad entre sus valores.

En una bombona de butano, a mayor temperatura se obtiene una mayor presión (y explota); en un globo

aerostático el aumento de la temperatura provoca el aumento del volumen de globo (y lo hace flotar):

magnitudes crecientes, Pero al disminuir el tamaño de un globo lleno de agua, aumenta la presión (y lo

hace estallar): magnitudes decrecientes.

La tangente a una curva proporciona información sensible de la función que de otro modo sería muy difícil

de obtener. Veamos a continuación cómo podemos analizar el crecimiento a través de las pendientes de

las tangentes. En lo que sigue, supondremos que las funciones tienen derivada en los puntos adecuados

Por una pista de esquí pueden hacerse dos recorridos uno ascendente y otro descendente dependiendo

de si la altura de la pista en la que nos encontramos, aumenta o disminuye mientras pasa (aumenta) el

tiempo, y nos movemos.

Cuando subimos por una cuesta aumentamos nuestra altura, mientras que cuando la bajamos

descendemos la altura a la que nos encontramos. En el primer caso la pendiente que debemos ascender

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decimos que es positiva, mientras que al bajar

la pendiente de la cuesta es negativa, así que

podía haberse denominado al revés, pero fue

de esta manera. ¿Será sólo por casualidad? No.

Los ciclistas de montaña temen los repechos

porque en ellos la pendiente aumenta, lo que

no sería correcto si la pendiente fuese negativa.

Cuando llegamos a la cima de una montaña,

exactamente en la cima, cualquier

desplazamiento que hagamos será para bajar

(estamos en la cúspide) y evidentemente

cuando estamos en la cima estamos en la

horizontal que está a máxima altura de la

montaña, pero obviamente ni ascendemos ni

descendemos, así que debemos aceptar que

estamos en horizontal. Del mismo modo cuando bajamos por una ladera hasta alcanzar el rio que circula

por el valle, iremos “pendiente abajo” (no nos cuesta esfuerzo), pero cuando lleguemos al río en el valle, al

punto más bajo del mismo, no estaremos subiendo ni bajando y de nuevo estaremos en la horizontal.

Este símil sencillo nos proporciona un criterio sencillo para saber cuándo una función es creciente y cuando

es decreciente.

Si la función f es creciente en el intervalo I, y recuerda, tiene tangente en todos sus puntos,

entonces en cada uno de los puntos de su gráfica la tangente debe tener pendiente POSITIVA, es

decir formar un ángulo entre 0º y 90º.

En cambio, si f es decreciente en el intervalo I, entonces en todos los puntos de la curva la

tangente debe tener pendiente NEGATIVA, es decir formar un ángulo entre 90º y 180º.

Además, hemos observado que cuando alcanzamos la cima de la montaña o la sima del valle,

nuestra pendiente será horizontal, es decir forma un ángulo de 0º con la horizontal.

Si tenemos en cuenta que la derivada de una función en un punto nos proporciona exactamente los

valores de la pendiente de la curva, podemos enunciar la siguiente proposición:

Proposición

Si la función f es estrictamente creciente en el intervalo I, y tiene tangente en todos los puntos, del intervalo,

entonces la derivada es POSITIVA en todos los puntos de dicho intervalo.

Si la función f es estrictamente decreciente en el intervalo I, y tiene tangente en todos los puntos, del

intervalo, entonces la derivada es NEGATIVA en todos los puntos de dicho intervalo.

Si la función f tiene un máximo o un mínimo en un punto interior de ese intervalo I, entonces la derivada

en ese punto es 0.

Así estudiando las pendientes de las rectas tangentes podemos determinar el crecimiento de una

función y localizar los puntos de tangente horizontal, que son candidatos a ser máximos o mínimos. Y

recuerdo que estudiar rectas (tangentes) es más fácil que estudiar curvas (gráficas).

Definición

La inclinación de una curva en un punto es la pendiente de la recta tangente a ella (sea eso lo que sea).

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Curvatura

La curvatura es un concepto muy complejo que trata de

explicar cómo pueden ser las curvas según la forma que

tengan de curvarse. En el mundo cotidiano, esta experiencia

la tenemos cuando nos expresamos: por ejemplo, decimos

que me “ha salido un chichón” o que “la pared tiene una

panza”. Todos tenemos la intuición de que la forma en la

que se curva una pelota es hacia fuera, mientras que una

palomitita de bádminton se curva hacia dentro. Las ideas

parecen claras, pero los términos que utilizamos para

referirnos a esta propiedad generan confusión en nuestra

vida cotidiana: una cueva es una región convexa para un

matemático, pero la gente dice que una cueva es cóncava.

Hablamos de la concavidad de los ojos para referirnos a los

espacios craneales donde se insertan los globos oculares.

Esos huecos son regiones convexas, no cóncavas para un

matemático.

Ahora nos referimos a la concavidad y convexidad de una

curva en un intervalo I.1

Esta función es convexa y creciente.

Observa que las pendientes de las rectas azul, roja y verde son crecientes.

La curva anterior y la siguiente, son convexas. Observa que los puntos B, C y A de la gráfica tienen

abscisas crecientes. Y observa que las pendientes de las rectas tangentes aumentan de B a C y de C a

A. Es decir, las pendientes de las rectas tangentes son crecientes en el intervalo I en el que la función es

convexa. Por tanto, la función f ’ es creciente en el intervalo.

Y por tanto la derivada de la derivada, (si es que existe) será positiva. Los valores de f ’ aumentan al

aumentar . No se debe confundir la convexidad con el crecimiento. Se pude ser convexa y decreciente.

1 Se reduce la definición a un intervalo porque son los conjuntos convexos habituales de la recta real. Para la definición general se

necesita un dominio convexo.

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Esta función es convexa y decreciente.

Cuidado. Las pendientes de las rectas azul, roja y verde son crecientes porque son números

negativos.

Las dos gráficas representadas a continuación son en cambio, cóncavas. Observa que los puntos A, B, y

C de la gráfica tienen abscisas crecientes. Y observa que las pendientes de las rectas tangentes disminuyen

de A a B y de B a C. Es decir, las pendientes de las rectas tangentes son decrecientes en el intervalo

I en el que la función es cóncava. Por tanto, la función f ’ es decreciente en el intervalo.

Esta función es cóncava y creciente.

Observa que las pendientes de las rectas azul, roja y verde son decrecientes.

Aplicaciones de las tangentes

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Esta función es cóncava y decreciente.

Cuidado. Las pendientes de las rectas azul, roja y verde son decrecientes porque son números

negativos.

Y por último la gráfica representada a continuación es endiablada. Observa lo que sucede en todo

intervalo I que contenga al origen de coordenadas. La función tiene un comportamiento anómalo

porque los puntos C, A, y B de la gráfica tienen abscisas crecientes. Pero observa que las pendientes de

las rectas tangentes disminuyen de C a A, y aumenta de A a B o de C a B. No respeta la inclinación de

las pendientes, el aumento de la abscisa. Es decir, las pendientes de las rectas tangentes son

crecientes/decrecientes en el intervalo I. No es cóncava ni convexa: en el origen de coordenadas cambia

el signo de la curvatura. Por ello sucede este comportamiento.

Ahora, las pendientes de las rectas tangentes son decrecientes si tomamos intervalos del tipo

I = (k, 0).

Pero las pendientes de las rectas tangentes son crecientes si observamos intervalos del tipo I = (0, k).