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Tangentes, Velocidad, y Derivadas

La Recta Tangente como límite de rectas secantesRectas tangentesAproximaciones lineales de las funcionesVelocidadLa razón de cambio

Introducción a la derivación: Tangentes. derivadas y velocidad.

La tangente como límite de las recta secantes

El problema básico de la derivación es el de calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función f en un punto x0.

El punto clave , que permite calcular la pendiente de la recta tangente, consiste en que la tangente se puede calcular como el límite de las secantes, como se muestra en el dibujo.

x0 x0+h

f

Una recta secante corta a la gráfica de una función f en dos o más puntos. Así, la figura de la izquierda muestra los puntos de corte correspondientes a la gráfica en x=x0 y x=x0 + h.

Así, cuando h tiende a 0, la secante se aproxima a la tangente en el punto (x0,f(x0)).


Pendientes de rectas secantes

La pendiente de una recta secante que corta la gráfica de una función f dada, en los puntos de abscisas x=x0 y x=x0 + h y puede calcularse fácilmente a partir de la figura de abajo.

x0 x0+h

f

h

f(x0+h)

f(x0) f(x0+h)- f(x0)

Cuando h tiende a 0, la secante se aproxima a la tangente de la gráfica f en el punto (x0,f(x0)).

0 0

La pendiente de la recta secante

f f es

x h x

h


1

1

Tangentes(1)

EjemploEjemplo Hallar la pendiente de la recta tangente de la gráfica de la función x2 en el punto (1,1).

Definición 1Definición 1 La tangente a la gráfica de la función f en el punto (x0,f(x0)) es la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente viene dada por:

(Supuesto que dicho límite exista y sea finito).

0 0

0

ff lim

h

x h x

h


Tangentes(2)

2 20 0

0 0

ff 1 1 lim lim .

h h

x h x h

h h

2 2 2 2 2

0 0

2

0 0

1 1 1 2 1 lim lim

2 lim lim 2 2.

h h

h h

h h hh h

h hh

h

ConclusiónConclusión

La ecuación de la recta tangente esy-1=2(x-1), ej,

y=2x-1.

1

1

EjemploEjemplo

SoluciónSolución La pendiente por definición es:

Puede hallarse fácilmente dicho límite desarrollando el cuadrado:

Hallar la pendiente de la recta tangente de la gráfica de la función x2 en el punto (1,1).


Aproximaciones lineales de las funciones

Las siguientes gráficas expresan , en diferentes escalas, la gráfica de la función x2 y su recta tangente en el punto (1,1).

0.77<x<1.270.5<x<1.5-1<x< 2 0.9<x<1.1

ConclusiónConclusión Cerca del punto de tangencia, la recta tangente se aproxima muy bien a la función. Cuanto más cerca estemos del punto de tangencia, nuestra aproximación será mejor.


Velocidad (1)Si f(t) expresa la distancia en kilómetros y un tren ha circulado durante un tiempo t, t>0.

Sea h>0. La distancia que el tren ha recorrido en el intervalo de tiempo [t0, t0+h] es f(t0+h)-f(t0).

La velocidad media durante ese intervalo de tiempo es: (f(t0+h)-f(t0))/h.

La velocidad del tren en el tiempo t=t0 se calcula hallando el límite cuando h tiende a 0 .

Estima la velocidad del tren en t=t0.

SoluciónSolución

ProblemaProblema

ConclusiónConclusión La velocidad del tren en t = t0 es

0 0

0

fflim .h

t h t

h


Velocidad (2)Galileo realizó experimentos que le permitieron descubrir la gravedad. Para sus experimentos, dejó caer objetos desde la Torre de Pisa.

El piso superior de la torre (por encima de donde se encuentran las campanas y desde la cual los objetos se dejaron caer) tiene una altura de 48 metros.

Siendo la ecuación del movimiento de un objeto en caída libre s=f(t)=4.9t2, halla la velocidad a la cual el objeto choca con el suelo cuando éste se deja caer desde el piso superior de la torre.

EjemploEjemplo


Velocidad (3)

Primero hallaremos la velocidad del objeto en un tiempo t=t0. Por consiguiente obtendremos:

2 2 2 20 0 0 0

0 0

0 00

4.9 2 4.9 4.9 2 lim lim

lim4.9 2 9.8 .

h h

h

t ht h t ht h

h ht h t


SoluciónSolución

ProblemaProblema

2 20 0 0 0

0 0

ff 4.9 4.9lim limh h

t h t t h t

h h

Velocidad en un

tiempo t0


0 0La velocidad del objeto en un tiempo es 9.8 / .t t t m s


Velocidad (4)

Altura de la torre Espacio recorrido en su caída

Sabemos que la velocidad del objeto en caída libre en un tiempo t = t0 es 9.8t0 (m/s).

Para hallar el tiempo que tarda el objeto en alcanzar el suelo, tenemos que despejar t en la siguiente ecuación:

48 = 4.9t2.

Se obtiene un tiempo t 3.13 segundos. Sustituyendo en la fórmula anterior obtenemos:


Solución (continuación)

Solución (continuación)

ProblemaProblema

El objeto alcanza el suelo con una velocidad de 30.7 m/s = 68.67 millas por hora=110.52 km por hora



La derivada y la razón de cambio

DefiniciónDefinición

En los ejemplos anteriores, hallamos el límite 0 0ff x h x

h

Escribiendo x = x0 + h se obtiene:

donde x = x-x0 es el cambio de x, y f(x0) = f(x) – f(x0) es el correspondiente cambio para hallar los valores de la función.

0 0 0 0

0

ff ff fx h x x x x

h x x x

El cociente f(x0)/ x es la razón de cambio de la función en el intervalo [x0, x0+ x], y el límite de las razones de cambio cuando x 0, es la derivada de la función f en el punto x0.


La derivada y la razón de cambio

DefiniciónDefinición El límite es la derivada de la función

f en el punto x0.

0

0

flimx

x

x

Esta definición implica que el límite debe existir, por lo que se concluye que la función f es derivable en el punto x0.

Claramente se observa que si f es derivable en x0, f tiene que ser continua en x0. Sin embargo, la continuidad no implica la derivabilidad. x0

La función que se muestra en la figura es continua en x = x0 , sin embargo, no es derivable porque la gráfica de la función no tiene una única recta tangente en x.

La tangente no es única


Aplicaciones de la derivada

Dependiendo de la situación, las derivadas de las funciones se utilizan, por ejemplo, para hallar:

1. La pendiente de la recta tangente.

2. La velocidad de un objeto.

3. El índice de crecimiento de una inversión bancaria.

4. La rapidez con la que un objeto se enfría o se calienta.

5. La tasa de crecimiento o decrecimiento de una población.


Cálculo en una variableAutor: Mika Seppälä

Traducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa

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