d-1 datos y azar -estadistica

Preuniversitario D-1Matemticas PSU

Matemtica 2015Datos y Azar

Gua Terico-Prctica D-1Estadstica

Organizacin y representacin de datos, extrados desde diversas fuentes, usando histogramas, polgonos de frecuencia y frecuencias acumuladas

Anlisis de una muestra de datos agrupados en intervalos, mediante el clculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posicin (percentiles y cuartiles)

Determinacin del rango, varianza y desviacin estndar, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se estn utilizando

Empleo de elementos bsicos del muestreo aleatorio simple

ESTADSTICA DESCRIPTIVA

Es una rama de la Matemtica aplicada que nos proporciona los mtodos para realizar un estudio de un grupo de datos en cuanto a su recopilacin, clasificacin, presentacin y descripcin para poder tomar decisiones o hacer conclusiones tiles.

ETAPAS :PresentacinDescripcinClasificacinRecopilacin

Poblacin: Es un conjunto, cuyos elementos poseen alguna caracterstica comn que se quiere estudiar, ya sea de individuos, de animales, de objetos, de mtodos, de medidas, de producciones, de acontecimientos o de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas

Muestra: es un subconjunto de la poblacin, que debe ser representativa y aleatoria.

Variables Estadsticas: corresponden a caractersticas medibles y observables que se asocian a los elementos de una poblacin o muestra, se pueden clasificar en:

Variable cualitativa: Son aquellas que no toman valores numricos. Los valores que toma este tipo de variables representan categoras o cualidades

Nominal : son aquellas en las que las observaciones del atributo son clasificados en categoras y no hay ordenacin, ejemplo : estado-civil: casado , viudo , soltero, divorciado, etc Ordinal: son aquellas en que existe una relacin de orden por ejemplo: situacin econmica ( baja, media ,alta)

Variable cuantitativa: Tienen un valor expresado por un nmero real, por ejemplo: peso, temperatura, salario, etc

Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:

Discretas: Toman solo valores enteros, por ejemplo: nmero de hijos, nmero de departamentos en un edificio, etc

Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el peso, la estatura, etcEjemplosClasifica las variables en cuantitativas discretas, continuas cualitativas ordinales o nominales

a. Equipo de futbol favoritoCualitativa nominal b. Nmero de trabajadores de una empresaCuantitativa discretac. Color preferidoCualitativa nominald. Curso al que pertenece un estudianteCualitativa Ordinal e. Presin arterialCuantitativa continuaf. Nacionalidad de una personaCualitativa nominal

Ejercicios Propuestos

1. Clasifica las variables en cuantitativas discretas ,continuas cualitativas ordinales o nominales

a. Color de pelo _______________b. Nmero de habitantes de una ciudad________________c. rea de un rectngulo________________d. Valor del dlar________________e. Marca de automvil preferido________________f. Edad de una persona________________g. Grupo de sangre de una persona________________h. Masa corporal de una persona________________i. Estado civil de una persona________________j. Puntaje obtenido en la PSU________________k. Nivel de ingls de un estudiante________________l. Profesin de una persona________________m. Promedio de notas en un semestre________________n. Lugar de llegada en una maratn________________

TABLAS DE FRECUENCIAS

Una forma de presentar ordenadamente un grupo de observaciones, es a travs de tablas de distribucin de frecuencias. La estructura de estas tablas depende de la cantidad y tipo de variables que se estn analizando, siendo las ms simples las que se refieren a una variable.

EJEMPLO: Se tienen las notas de una prueba de matemtica para 1000 alumnos de enseanza media de un determinado colegio. Se resume la informacin en la siguiente tabla de frecuencia.

NOTA FRECUENCIA NOTA FRECUENCIA

1,2 1 4,2 46

1,4 2 4,4 48

1,6 3 4,6 52

1,8 8 4,8 58

2,0 15 5,0 60

2,2 18 5,2 56

2,4 19 5,4 54

2,6 22 5,6 51

2,8 25 5,8 50

3,0 26 6,0 46

3,2 28 6,2 44

3,4 31 6,4 40

3,6 35 6,6 32

3,8 38 6,8 31

4,0 45 7,0 18

En una tabla se pueden distinguir los siguientes tipos de frecuencias:

Frecuencia absoluta (f): Nmero de veces que se repite un dato en un intervalo o claseFrecuencia relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valores de la variable y el total de datosFrecuencia acumulada (F): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las frecuencias absolutas hasta la que ocupa la ltima posicinFrecuencia relativa acumulada (Fr): Es la que se obtiene sumando ordenadamente la frecuencia relativa hasta la que ocupa la ltima posicin

NOTA FREC. ABSOLUTA FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC. RELATIVA FREC RELATIVA ACUMULADA

1,2 110,0010,00

1,4 230,0020,00

1,6 360,0030,01

1,8 8140,0080,01

2,0 14280,0140,03

2,2 18460,0180,05

2,4 19650,0190,07

2,6 22870,0220,09

2,8 251120,0250,11

3,0 261380,0260,14

3,2 271650,0270,17

3,4 311960,0310,20

3,6 352310,0350,23

3,8 382690,0380,27

4,0 453140,0450,31

4,2 463600,0460,36

4,4 484080,0480,41

4,6 524600,0520,46

4,8 585180,0580,52

5,0 605780,0600,58

5,2 566340,0560,63

5,4 546880,0540,69

5,6 517390,0510,74

5,8 507890,0500,79

6,0 468350,0460,84

6,2 448790,0440,88

6,4 409190,0400,92

6,6 329510,0320,95

6,8 319820,0310,98

7,0 1810000,0181

TOTAL 1000

Nota:Si la frecuencia relativa y relativa acumulada la multiplicamos por 100, los valores obtenidos representan porcentajes, lo que facilita la interpretacin de los datos.

De esta tabla se pueden sacar conclusiones como: 45 alumnos obtuvieron nota 4,0 578 alumnos obtuvieron nota inferior o igual a 5,0 El 1,8 % de los alumnos obtuvo nota 7,0 El 31 % obtuvo nota 4.0 o inferior a sta, mientras que el 69% obtuvo una nota superior a 4,0

Para construir tablas de frecuencia con datos agrupados se debe:

Calcular el rango de la variable ( diferencia entre al mayor y el menor valor) Determinar la cantidad de intervalos (k=1+3,3log(n)) Calcular la amplitud de los intervalos (cuociente entre el rango y la cantidad de intervalos) Agregar la marca de clase a la tabla( semisuma de los valores extremos del intervalo)

Ejemplos

1. Los estudiantes del preuniversitario Paidagogos respondieron a la pregunta Cuntos hermanos tienes?, obteniendo los siguientes datos:

0,2,3,1,1,0,0,5,4,0,0,1,2,3,1,1,3,2,4,3,2,1,1,2,1,0,0,0,2,1,1,2,2,4,1,2,4,3,1 y 2a) Construir la tabla de frecuencias

xifFfrfr(%)Fr(%)

Total

b) Qu porcentaje de estudiantes tiene tres hermanos? ( 12,5%)

c) Cuntos estudiantes tienen menos de tres hermanos? ( 30)

d) Qu porcentaje de los estudiantes tiene ms de un hermano y menos de cinco hermanos? (47,5%)

2. Los siguientes datos corresponden a los puntajes obtenidos por los estudiantes del Preuniversitario Paidagogos en un ensayo de matemticas:

651,488,720,456,698,567,670,543,613,668,589,590,518,498,578,628,444,571,534,597,524,668,640,610,477,540,489,619,538 y 583

a) Cul es el rango? ( 276)

b) Si se quiere agrupar en cinco intervalos cul es la amplitud?( 56)

c) Construye la tabla de frecuencias

ClaseMarca de ClasefFfr(%)Fr(%)

Total

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media aritmtica : Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el nmero de datos.Media aritmtica para datos organizados en una tabla de frecuenciasSi los datos son: x1, x2, x3,..,xn y las frecuencias respectivas son f1, f2, f3,..,fn entonces la media aritmtica es:

Para datos agrupados en intervalos, se reemplaza el valor de la variable por el de la marca de clase del intervalo.

Observaciones:1. A veces se interpreta errneamente a la media como aquel valor que es tpico, o que se esperara que la mayora de las personas tuvieran. Esta interpretacin puede ser bastante absurda en algunos casos, por ejemplo, cuando se calcula la media de hijos en un grupo de mujeres, se obtiene que es de 2.3 nios y, obviamente, no se puede esperar encontrar una madre con exactamente 2.3 nios. Todo lo que la cifra dice, es que si dividimos el nmero total de nios de las mujeres consideradas por el nmero de mujeres, el resultado es 2.3 nios por mujer. 2. Otras veces se piensa que la media aritmtica tiene la caracterstica que la mitad de las observaciones es menor o igual que la media. Este concepto es totalmente errado en algunos casos, por ejemplo, si la distribucin es asimtrica a la derecha, como puede ser la distribucin de salarios donde hay muchas personas que ganan poco y hay pocas personas que ganan mucho, la media aritmtica resultar mucho ms grande de lo que uno esperara encontrar, si se piensa que el valor central debe ser tal que la mitad de las personas tiene un salario inferior a l y la otra mitad un salario superior. Esto se debe a la presencia de unos pocos valores excesivamente grandes que al tener demasiada influencia en el valor de la media aritmtica hacen que ella se ubique en una posicin ms extrema a la esperada. En consecuencia debera pensarse en otras medidas para evaluar un valor central con esta caracterstica.

Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que ms se repite. Si no hay un dato que tenga mayor frecuencia que otro se dice que la distribucin de frecuencia es amodal

Para datos agrupados en intervalos, se calcula de la siguiente manera.

Li: lmite inferior del intervalo modal (intervalo con mayor frecuencia absoluta)a: amplitudD1: frecuencia absoluta del intervalo modal menos la de la clase anteriorD2: frecuencia absoluta del intervalo modal menos la de la clase siguiente

Mediana (Me): Es el dato que ocupa la posicin central de la muestra cuando estos se encuentran ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra tiene un nmero par de datos, la mediana es la media aritmtica de los dos trminos centrales

Si n=impar ;Me= si n=par ; Me= Para datos agrupados en intervalos, se calcula de la siguiente manera.

Li: lmite inferior del intervalo de la mediana (intervalo en que la frecuencia absoluta acumulada es mayor que n/2)

a: amplitud

fi: frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra la medianaFi-1: frecuencia acumulada anterior del intervalo anterior al que contiene la mediana

Ejemplo

1. Un colegio necesita determinar la edad promedio de sus alumnos de cuarto medio, para esto realiza una encuesta en la que obtiene la siguiente informacin:

25 estudiantes tienen 16 aos50 estudiantes tienen 17 aos55 estudiantes tienen 18 aos10 estudiantes tienen 19 aos

Determinar:

a) La media aritmticab) La moda de las edadesc) La mediana de las edades

2.Los siguientes datos corresponden a los puntajes obtenidos por los estudiantes del Paidagogos en un ensayo de matemticas:

651,488,720,456,698,567,670,543,613,668,589,590,518,498,578,628,444,571,534,597,524,668,640,610,477,540,489,619,538 y 583

ClaseMarca de ClasefFfr(%)Fr(%)

Total

MEDIDAS DE DISPERSION

Rango: Es el diferencia entre al mayor y menor de los datos

Desviacin media: corresponde a la media aritmtica de los valores absolutos de las desviaciones de los datos. Es una medida de cuanto varan, en promedio, los datos de la muestra con respecto de la media aritmtica


n: nmero total de datosxmci: marca e clase del i-simo intervalo

N: nmero de intervalosfi: frecuencia absoluta del i-simo intervalo

Varianza: corresponde a la media aritmtica de los cuadrados de las desviaciones medias de los datos de la muestra. Se expresa en unidades cuadradas. A mayor dispersin de los datos, la varianza es mayor, y a menor dispersin, menor es la varianza.




Desviacin estndar (S): corresponde a la raz cuadrada de la varianza de los datos de la muestra y se utiliza cuando la media se ha escogido como medida de tendencia central.




Ejemplo

Ganancia mensuales en millones de pesosMesEneFebMarAbrMayJunJulAgoSepOctNovDic

Ganancia99112100100948978758791102101

a. Cul es el rango por semestreb. Calcula la desviacin media de ambos semestresc. Calcula la varianza de ambos semestres , determinando cul representa mayor variabilidad

d. Cul es la desviacin estndar de ambos semestres

MEDIDAS DE POSICION: CUARTILES, DECILES, PERCENTILES

CuartilesSon medidas de localizacin que dividen a la distribucin en cuatro partes iguales:

La obtenemos por la formula

25% 75%

Q1

50%50%

Q2

75% 25%

Q3

DecilesSon medidas de localizacin que dividen a la distribucin en 10 partes iguales:


PercentilesSon medidas de localizacin que dividen a la distribucin en 100 partes iguales:


EjemploSe pregunt la edad a un grupo de personas obteniendo la siguiente distribucin . Obtener : Q3 , D2 y P60

ClasefF

40-457

45-5015

50-5520

55-6030

60-6517

65-7012

70-759

Total

REPRESENTACIN GRFICA DE DATOS

A) PICTOGRAMAS: Se aplican a las variables de tipo cualitativo y aquellas de tipo cuantitativo que plantean comparaciones. Utilizan para su grafismo representaciones de las variables, de tamao proporcional a la frecuencia con que aparece cada uno

AsignaturaEstudiantes que la prefieren

Matemtica4

Lenguaje3

Arte2

Historia1

Total10

B) GRFICO DE SECTORES: La representacin grfica se hace por medio de un crculo, dividido en sectores de reas proporcionales a las frecuencias de la variable

C) DIAGRAMAS DE BARRAS: Se utiliza para variables discretas. Los valores de la variable aparecen, junto con su frecuencia, representados en forma de barras o segmentos, de longitud proporcional a la dicha frecuencia

D) HISTOGRAMAS: mediante un histograma se representa grficamente las distribuciones de frecuencias de variables estadsticas continuas. Se construyen rectngulos que tienen como bases cada intervalo de la variable y como alturas las respectivas frecuencias de dichos intervalos

f 16 14

12

8

6

3

29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5

Salarios en miles de $

E) POLGONOS DE FRECUENCIAS: Cada par; Variable/Frecuencia (xi,fi) da origen a un punto del diagrama cartesiano. Al unir dichos puntos por medio de una lnea poligonal, se obtiene un polgono de frecuencias

1: Si se suman las edades de 8 personas y ese resultado se divide por 8, qu se obtiene?

A) MedianaB) Media AritmticaC) ModaD) Media geomtricaE) Desviacin estndar

2: El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. Cunto pesa el quinto si la suma de los 4 primeros es 302?

A) 78B) 68C) 62D) 58E) 72

3: La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos de un colegio.Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) La moda es 17 aos. II) La mediana es mayor que la media (promedio). III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 aos.A) Slo IEdad(en aos)1516171819

Alumnos5040605020

B) Slo IIC) Slo I y IID) Slo II y IIIE) I, II y III

4: Las fichas del peso de 10 nios, marcan en promedio 20 kg. En la oficina de control se pierde una ficha y se sabe que el promedio del resto es 19 kg, cul es el peso del nio al que le perdieron la ficha?

A) 39 kgB) 29 kgC) 21 kgD) 20 kgE) 19 kg

5: El grfico circular de la figura muestra las preferencias de 30 alumnos en actividades deportivas. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s) ? I) La frecuencia relativa del grupo de ftbol es de 40%. II) La frecuencia relativa del grupo de bsquetbol es de 30%. III) La mitad del grupo no prefiri ftbol ni tenis.

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y II D) Slo II y IIIE) I, II y III

6: El grfico de la figura apareci en un peridico de una ciudad. En l se indica la preferencia por el noticiero central de cinco canales de televisin, segn una muestra aleatoria, en un ao determinado. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) De acuerdo a la muestra el noticiero central con menor probabilidad de ser visto es TV 5. II) El grfico muestra exactamente la realidad de las preferencias de los noticieros centrales de esta ciudad. III) Aproximadamente, un cuarto de la muestra no ve los noticieros centrales de estos cinco canales.

A) Slo I B) Slo II C) Slo I y II D) Slo I y III E) I, II y III

7: Si se tabularan las frecuencias de las estaturas y color de ojos de los alumnos de un curso, cul de las opciones siguientes es siempre verdadera?

A) Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del curso. B) Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que predomina. C) Con el promedio de las estaturas se determina la estatura ms frecuente. D) Con la mediana de las estaturas se determina la estatura ms frecuente. E) Con la moda del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.

8: Se pregunta a los alumnos de 4 Medio acerca de lo que ms les gusta hacer en vacaciones y sus respuestas estn en el grfico de la figura. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Al 30% de los alumnos lo que ms les gusta es chatear. II) A la mitad de los alumnos lo que ms les gusta es ver TV o jugar. III) Al 30% de los alumnos lo que ms les gusta es leer o jugar.

A) Slo II B) Slo III C) Slo I y II D) Slo II y III E) I, II y III

9: La tabla adjunta muestra la distribucin de los puntajes obtenidos por los alumnos de un curso en una prueba de matemtica. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El total de alumnos que rindi la prueba es 40. II) La mediana se encuentra en el intervalo 20 - 29. III) El intervalo modal (o clase modal) es el intervalo 30 - 39.

Intervalos de puntajeFrecuencia

10 196

20 298

30 3912

40 495

50 599

A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y III E) I, II y III

10: El grfico de la figura muestra la distribucin de las notas de matemtica de un grupo de 46 estudiantes. Cul de las siguientes opciones corresponde a los valores de la mediana y la moda, respectivamente?

A) 4 y 5B) 5 y 5C) 4,1 y 4D) 4,1 y 5E) 4 y 4,5

11: Tres cursos rindieron una misma prueba obtenindose los resultados que se indican en la tabla adjunta. Cul es el promedio total de la prueba?

A) 4,25B) 5,00C) 5,16D) 5,25E) 5,50

12: Los resultados obtenidos por un curso en una prueba de Fsica fueron: 4; 5; 6; 6; 5; 3; 4; 7; 6; 5; 4; 5; 5; 6 y 4. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La mediana es 7 II) La moda es 5 III) La media aritmtica (o promedio) es 5

A) Slo IIB) Slo IIIC) Slo I y IID) Slo II y IIIE) I, II y III

13: La tabla adjunta muestra las frecuencias (f) de las notas en la prueba de matemtica, obtenidas por los alumnos de 4 Medio de un liceo, Cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas?Notaf

3,03

3,55

4,04

4,56

5,07

5,55

6,04

6,54

7,02

Totalalumnos40

I) El 75% del curso obtuvo una nota igual o inferior a 5,5 II) La moda corresponde a la nota 5,0 III) El 15% del curso obtuvo la nota 4,5 IV) El 50% del curso obtuvo nota superior a 5.0

A) Slo II y IIIB) Slo III y IVC) Slo I, II y IIID) Slo I, II y IVE) Slo II, III y IV

14: El cuadro siguiente muestra el nmero de artculos vendidos en distintos das de la semana y uno de sus valores acumulados Cuntos artculos se han vendido en total hasta el trmino del da mircoles?DasN de artculosTotal acumulado

Lunes

Martes1216

Mircoles8

Jueves6

A) 24B) 20C) 30D) 8E) Ninguna de las anteriores

15: Una misma prueba se aplica a dos cursos paralelos. En uno de ellos, con 20 estudiantes, la nota promedio fue 6 y, en el otro, con 30 estudiantes, la nota promedio fue 5. Entonces, la nota promedio correspondiente al total de alumnos de ambos cursos es:

A) 5,7B) 5,6C) 5,5D) 5,4E) 5,3

16: El grfico de la figura representa la distribucin de las notas obtenidas por 15 nios en una prueba. Cul(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) 9 nios obtuvieron notas mayores o iguales a 5. II) La moda es la nota 5. III) La quinta parte del curso obtuvo nota inferior a 4.

A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y III E) I, II y III

17: Se compran 5 pantalones a $5.000, $8.000, $10.000, $10.000 y $15.000. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La moda es $10.000. II. La mediana es $10.000 III. El promedio es $9.600.

A) Slo I B) Slo III C) Slo I y II D) Slo I y III E) I, II y III

18: En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribucin de edades. La moda y la mediana de las edades de ese grupo son:EdadFrecuencia

135

1411

151

165

1713

moda mediana A) 16 17 B) 17 15 C) 15 17 D) 5 1 E) 17 16

19: El promedio (media aritmtica) de los nmeros 3; 2; 5; 5 y 6 es

A) 4B) 4,2 C) 5 D) 5,25 E) ninguno de los anteriores.

20: La tabla adjunta muestra la distribucin de sueldos de 45 personas de una empresa. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?TRAMONMERO DE PERSONASSUELDO EN PESOS DESDE HASTA

A35.000.000 7.000.000

B22.000.000 3.000.000

C5800.000 - 1.200.000

D15500.000 - 700.000

E13300.000 - 400.000

F7150.000 - 250.000

I) Hay exactamente 20 personas que ganan a lo menos $ 400.000 de sueldo. II) La mediana de la distribucin se encuentra en el tramo D. III) El total que se paga a las personas del tramo A es, a lo ms, $ 21.000.000. A) Slo I B) Slo II C) Slo I y II D) Slo I y III E) Slo II y III

21: Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones: 4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0 y 4,0. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Su media aritmtica (o promedio) es 4,5. II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia. III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia.

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y IID) Slo I y IIIE) I, II y III22: A dos cursos distintos se les aplic la misma prueba en iguales condiciones, obtenindose las desviaciones estndares que se muestran en la tabla adjunta. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El curso Q es el ms homogneo. II) El curso R es el ms homogneo. III) El curso Q presenta mayor dispersin en las notas.CURSOPROMEDIODESVIACIN ESTNDAR

Q4,61

R5,20,8

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo II y IIIE) Ninguna de ellas

23: El grfico de la figura, representa la distribucin de los puntajes obtenidos por un curso en una prueba. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El 40% de los alumnos obtuvo 30 puntos II) 30 alumnos obtuvieron ms de 20 puntos

III) de los alumnos obtuvo 10 puntos

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

24: La tabla adjunta muestra la frecuencia de las notas de una asignatura de un curso de 38 alumnos, cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La mediana de las notas es 4 II) La moda de las notas es 5 III) Ms de un tercio del curso obtuvo nota menor que 4

Notas1234567

Frecuencia0584984

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

25: Se ha lanzado un dado 100 veces y se obtuvo la siguiente tabla:Cara123456

Frecuencia131517162019

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El 50% de las veces se obtuvo un nmero par II) El 30% de las veces result 1 o 3 III) El 20% de las veces sali el nmero 5

A) Solo IIIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

26: Los datos de la muestra M son {5,5,5,5,5,x} ,mientras que los datos de la muestra N son {5,5,5,5,y} .Cul de las siguientes alternativas es verdadera?

A) La moda de ambas muestras depende de los valores de x y de yB) Si x=y, entonces el promedio aritmtico de M ser siempre mayor al promedio aritmtico de NC) Si x vale 0 e y vale 1, entonces el promedio aritmtico de M es menor que el promedio aritmtico de ND) No es posible obtener la mediana de ninguna de las muestrasE) Si x D) Si los elementos de A son nmeros impares consecutivos, entonces =1 E) Si los elementos de A son nmeros enteros positivos distintos entre s,entonces es mayor que cero.

36. Si a, b y c son tres nmeros enteros cuya desviacin estndar es , entonces la desviacin estndar de na, nb y nc, con n un nmero entero positivo, es

A) n2

B)

C)

D) n

E) 3n

ESTADSTICA

1234567891011121314151617181920

BAEBEDEDDACDCADEEEBE

21222324252627282930313233343536

CDDDECCCCDCACEED

preuniversitario paidagogos ohiggins 1290 concepcion fono 321185828

d-1 datos y azar -estadistica

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