contraste de hipotesis para la media
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CONTRASTE DE HIPÓTESIS.
El contraste de hipótesis o la prueba de decisión estadística permite comprobar ciertas afirmaciones que realizamos acerca de una población, referidas a sus parámetros o a la forma en que se distribuye; en nuestro caso lo haremos sobre la media µ
Definición.
TEST ESTADÍSTICO.Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y
significativa, extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el valor de un parámetro desconocido de esa población.
HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS.
Las hipótesis estadísticas son proposiciones acerca de parámetros de la población (media, proporciones, varianza, diferencia de medias, etc.) o de su distribución. Cuando llevamos a cabo una prueba estadística, estamos trabajando con una hipótesis nula, que simbolizaremos por H0. Junto a esta, consideramos la hipótesis alternativa, opuesta a la anterior, que queda simbolizada por H1.
Veamos en qué consiste cada una de ellas:
• Hipótesis nula ( H 0). Establece una hipótesis que provisionalmente se considera como verdadera.
• Hipótesis alternativa ( H 1). Toda hipótesis nula va acompañada de una hipótesis alternativa, la cual afirma el supuesto contrario de la hipótesis nula.
Puesto que cada una de estas hipótesis afirma lo contrario que la otra es incompatible que ambas sean ciertas. Por tanto, si llegamos a la conclusión de que la hipótesis nula no se cumple, podemos afirmar que se cumple la hipótesis alternativa y viceversa.
Ejemplo:Hace cinco años se realizó una prueba de conocimientos a la totalidad de los soldados de un
reemplazo. El resultado fue una media µ=102 puntos y una desviación típica σ = 11 . Este año se les ha pasado el mismo test a una muestra de 400 soldados y la media muestral ha sido 101=x .
¿Podemos suponer que no ha habido cambios en los conocimientos de los soldados en estos cinco años y que, por tanto, las diferencias observadas son frutos del azar?
CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA.
El proceso que se sigue para contrastar un hipótesis respecto a la media, a través de una muestra es el siguiente:
1) Establecer la hipótesis nula, H0. En ella supondremos que la media, µ, es igual al valor 0µ .
00 : µµ =H
Establecer la hipótesis alternativa H1 01 : µµ ≠H
2) Se establece el nivel de confianza, 1 - α, o el correspondiente nivel de significación, α.
Determinar la zona de aceptación de H0. Que es el intervalo de confianza
+−
nz
nz
σαµσ
αµ ·
2
,·
2
00
Que cumple que la probabilidad encerrada en él es : 1 - α
ασαµσ
αµ −=
+<<− 1·
2
·
2
00n
zxn
zp
3) Se extrae la muestra, y se calcula la media muestral.4) Si el valor de la media x de la muestra está dentro del intervalo, se acepta la hipótesis nula
H0 y en caso contrario se rechaza, admitiendo la hipótesis alternativa H1. La zona de rechazo se denomina región crítica.
Un contraste de hipótesis no establece la verdad de la hipótesis, sino un criterio de aceptación de la misma y la decisión se toma a partir de una muestra y con un determinado nivel de significación
Ejemplo anterior de los soldados:Hace cinco años se realizó una prueba de conocimientos a la totalidad de los soldados de un
reemplazo. El resultado fue una media µ=102 puntos y una desviación típica σ = 11 . Este año se les ha pasado el mismo test a una muestra de 400 soldados y la media muestral ha sido 101=x .
¿Podemos suponer que no ha habido cambios en los conocimientos de los soldados en estos cinco años y que, por tanto, las diferencias observadas son frutos del azar? . Vamos a poner un nivel de significación α = 1%.
1) Establecer la hipótesis nula, H0. En ella supondremos que la media, µ, es igual al valor 0µ .H0: µ=102
Establecer la hipótesis alternativa H1 H1: µ ≠102
2) Definir la ley de probabilidad de la población y de la muestra, que en nuestro caso es la ley de distribución normal.
X?? )55'0,102()400
11,102( NNX ==
Se establece el nivel de confianza, 1 - α = 99% → Zα/2 =2’575
Determinar la zona de aceptación de H0. Que es el intervalo de confianza
)42'103,58'100()400
11575'2102(·
2
,·
2
00 =⋅±=
+−
nz
nz
σαµσ
αµ
3) Se extrae la muestra, y se calcula la media muestral = 101
4) Como 101 está dentro de la zona de aceptación: (100’58 , 103’42) se acepta la Hipótesis Nula, es decir se mantiene su media de puntuación µ=102 .
Si hubiese caído fuera de la zona de aceptación se hubiese rechazado H0 y se hubiese aceptado H1 .
Otro ejemplo:Se cree que el cociente intelectual medio de los estudiantes de una universidad es 113, con una
desviación típica de 7. Para contrastar la hipótesis, se extrae una muestra de 180 estudiantes y se obtiene en estos estudiantes un cociente intelectual medio de 115. ¿Podemos aceptar la hipótesis con un nivel de significación del 5 %?.
Hipótesis nula, 113:0 =µH .
Hipótesis alternativa, 113:1 ≠µH .Como el tamaño de la muestra es superior a 30, las medias muestrales se distribuirían (si la
hipótesis fuese cierta) según una ley
180
7,113N .
La región de aceptación al nivel de confianza del 95 % es
+−
180
7·96.1113,
180
7·96.1113 = ( )02.114,98.111 .
En la muestra hemos obtenido una media de 115, que no pertenece a la región de aceptación sino que pertenece a la región crítica. Por tanto, con un nivel de confianza del 95 % rechazamos la hipótesis nula, y aceptamos la alternativa, es decir, no podemos dar por bueno que el cociente intelectual medio de los alumnos de esa universidad sea de 113.
Hacer ejercicio 1) de la página 315
Hacer los ejercicios de la página 323: 1 – 2- 3
s3 Se sabe por experiencia que el tiempo obtenido por los participantes olímpicosde la prueba de 100 metros, en la modalidad de decathlon, es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con media 12 segundos y desviación típica 1,5 segundos.Para contrastar, con un nivel de significación del 5%, si no ha variado el tiempo medio en la última Olimpiada, se extrajo una muestra aleatoria de 10 participantes y se anotó el tiempo obtenido por cada uno, con los resultados siguientes, en segundos:13 12 11 10 1111 9 10 12 11a) ¿Cuáles son la hipótesis nula y la alternativa del contraste?b) Determina la región crítica.c) Realiza el contraste.d) Explica, en el contexto del problema, en qué consiste cada uno de los errores del tipo I y II.
CONTRASTES BILATERALES Y UNILATERALES.
Las hipótesis nula y la hipótesis alternativa deben ser mutuamente excluyentes y complementarias, y el contraste de hipótesis puede ser bilateral o unilateral.
• Cuando la región crítica se sitúa a ambos lados de la zona de de aceptación de la hipótesis nula se denomina contraste bilateral o contraste de dos colas.
α/2 α/2
2
αz− 2
αz
HIPÓTESIS:
01
00
:
:
µµµµ
≠=
H
H
Región de aceptación:
+−
nz
nz
σµσµ αα ·,·2
0
2
0
Región de rechazo o crítica:n
zxn
zxσµσµ αα ·o·
2
0
2
0 +≥−≤
Observación.Cuando la desviación típica poblacional no sea conocida, y la muestra sea suficientemente grande
podremos utilizar la desviación típica de la muestra o, en su caso, la que indique la hipótesis.
Cuando la región crítica se sitúa en una de las dos colas, se denomina contraste unilateral o contraste de una cola.
CONTRASTE UNILATERAL DERECHO. La región crítica se sitúa en el lado derecho. α
zα
HIPÓTESIS:
01
00
:
:
µµµµ
>≤
H
H
Región de aceptación:
+∞−
nz
σµ α ·, 0
Región de rechazo:
∞++ ,·0
nz
σµ α
Observación.Es importante hacer notar que al quedar la región crítica en una sola cola, determinamos αz , con la
condición ( ) αα −=< 1zZp .Regla Nemotécnica si ponemos la hipótesis H0 con “≤” el lado en el que cae la µ esta el ±∞ , es el
lado donde cae la región de aceptación.
CONTRASTE UNILATERAL IZQUIERDO. La región crítica se sitúa en el lado izquierdo.
α
-zα
HIPÓTESIS:
0101
0000
::
::
µµµµµµµµ
<<≤≥
HH
HóH
Región de aceptación:
∞+− ,·0
nz
σµ α
Región de rechazo:
−∞−
nz
σµ α ·, 0
Ejemplo:El peso de los pollos de una granja es una distribución normal de media 2.6 kg y desviación típica
0.5. Se experimenta un nuevo tipo de alimentación con 50 crías. Cuando se hacen adultos se les pesa y se obtiene una media de 2.78 kg. Vamos a contrastar la hipótesis de que el peso medio de la población no aumenta con un nivel de significación del 1 %.
Hipótesis nula: 6.2:0 ≤µH
Hipótesis alternativa: 6.2:1 >µH
Como el nivel de confianza es del 99 %, ( ) 99.0=< αzZp , de donde se obtiene que 33.2=αz . Y,
por tanto, la región de aceptación es:
+∞−
50
5.0·33.26.2, , o sea, ( )76.2,∞− . Ahora comprobamos
que el valor obtenido mediante la muestra queda en la región crítica, fuera de la región de aceptación, y por esto, rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa con un nivel de significación del 1 %. Es decir, aceptamos que la población aumentará de peso con la nueva alimentación utilizada en la granja.
Hacer ejercicio 2) de la página 316
Hacer ejercicios 9 – 10 -11
ERRORES EN EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS.
Al aplicar un test estadístico, podemos cometer dos tipos de errores.
ERROR DE TIPO I . Se comete cuando la hipótesis nula es verdadera y, como consecuencia del contraste, se rechaza.
ERROR DE TIPO II . Se comete cuando la hipótesis nula es falsa y, como consecuencia del contraste, se acepta.
Naturalmente, al aplicar el test ignoramos si cometemos error o no lo cometemos. Lo que si podemos hacer es intentar evaluar la probabilidad de cometer error de uno u otro tipo y diseñar el experimento de modo que dichas probabilidades de error se reduzcan al máximo.
Ejemplo:Las estaturas de las alumnas de COU eran, en 1990, de media 167 cm y desviación típica 7 cm.
Emitimos la hipótesis de que las actuales alumnas de 2º de Bachillerato tienen la misma media. Vamos a contrastar la hipótesis mediante una muestra de tamaño 60 y con un nivel de significación del 0.1.
Hipótesis nula: 167:0 =µH
Hipótesis alternativa: 167:1 ≠µH
La región de aceptación sería: ( )49.168,51.165Si al extraer la muestra obtenemos una media de 168.72 cm, rechazamos la hipótesis nula. Pero
podemos estar equivocados. Es decir, podemos cometer un error de tipo I.Si al extraer la muestra obtenemos una media de 168.12 cm, aceptamos la hipótesis nula. Si
estuviéramos equivocados se cometería un error de tipo II.
PROBABILIDAD DE COMETER UN ERROR DE UN TIPO U OTRO.
La probabilidad de cometer error de tipo I es precísamente α , el nivel de significación, pues si la hipótesis es verdadera, nos exponemos a rechazar el α · 100 % de las medias muestrales. Esta probabilidad no depende del tamaño de la muestra.
La probabilidad de cometer un error de tipo II depende del verdadero valor de µ y del tamaño de la muestra. Si suponemos que se comete un error de tipo II, y si µ es el verdadero valor de la media y µ0 el que le atribuimos mediante la hipótesis nula, estos valores son distintos.
Veamos este cuadro resumen:
Hacer ejercicio 8- 12 – 19 -20 de la página 324 -325
