comando de lógica cableada

7/25/2019 Comando de Lgica Cableada

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SISTEMAS DE CONTROL INDUSTRIAL

1 EL SISTEMA BINARIO: EL ALBEBRA DE BOOLE

1.1 FUNCIONAMIENTO DIGITAL (BINARIO) DE UN SISTEMA:

Aun en los sistemas digitales a gran escala, como computadoras, o procesadores de datos osistemas de control, los procesos son operaciones simples realizados por una gran cantidad decircuitos digitales, como son las compuertas OR, AND, NOT !iesta!les o FLIP-FLOP. Todosellos se denominan puerta ! "#r"u#t! $%"!, a "ue emplean ecuaciones del '$&era e B!!$e#como luego se demostrar$%& Esta $lge!ra 'ue ideada a mediados del siglo (I( por )& *oole comoun sistema de an$lisis matem$tico de la l+gica&

En este apunte se estudiar$ esta $lge!ra de *oole&

1.1.1 EL SISTEMA BINARIO :

Un sistema digital 'unciona en 'orma !inaria& Emplea dispositios en los "ue s+lo son posi!les dosestados& Un elemento puede tener tensi+n alta, por e-emplo, de . /, o !a-a de unos 0,1 /, peroning2n otro alor #'igura 3%&

*+

, +

F#&ura 1 : Sea$ e t#p! #ta$.

Estos dos estados se pueden designar de arias 'ormas, siendo los m$s corrientes 1+ O, a$t! oa/!, 0eraer! o a$!& La aritm4tica !inaria la manipulaci+n matem$tica de las 'uncionesl+gicas conmutaciones se mane-an m$s c+modamente con la clasi'icaci+n "ue se ale de lossignos O 3&

5ara e6plicar el sistema !inario de representaci+n de n2meros emplearemos la re'erencia del#te2a e"#2a$. En este 2ltimo, la ae e 1 se necesitan diez ci'ras7 0, 3, 1,&&& 8, para e6presarun n2mero cual"uiera& 5ara escri!ir un n2mero maor "ue 8, asignaremos un signi'icado a la

posici+n de cada ci'ra en el n2mero completo& 5or e-emplo, el n2mero 319. signi'ica7

13* 4 $ 5 167 5 17 3 5 117* 5 1

Es decir, cada d:gito de un n2mero representa una potencia de 30& El primer d:gito de la derec;a #.en este caso% es el coe'iciente de la potencia 0, el siguiente de la potencia 3 as: sucesiamente&

En el #te2a #8ar#!de representaci+n, la ae e s+lo se re"uieren dos ci'ras, el O el 3,para representar un n2mero& Las ci'ras O 3 tienen el mismo signi'icado "ue en sistema decimal,pero di'ieren en cuanto a la potencia "ue representan& As:, en el sistema !inario, la potencia es dedos en lugar de diez del sistema decimal& 5or e-emplo, el n2mero decimal 38 se escri!e en notaci+n

!inaria como 30033, a "ue7

111 4 1 5 *

7 O 5 6

7 O 5

7 1 5 1

7 1 5

4 13 7 O 7 O 7 7 1 4 19

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En la ta!la 3 se da una reducida lista de n2meros e"uialentes entre el sistema !inario el decimal&

Ta$a 1.

Un d:gito !inario #3 o 0% se denomina #t. Un grupo de arios !it "ue tengan un determinadosigni'icado es una #8!r2a"#%8 pa$ara ! "%#&!. 5or e-emplo, para representar los diez n2meros#0, 3, 1&&&, 8% 19 letras del al'a!eto, se necesitan


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AB F F#&ura : Puerta OR. 1 11 1

1 1 1

En la 'igura 1 se representa el s:m!olo normalizado de una compuerta OR #normas ANSI IEEE%,-unto con la e6presi+n *oole para tal puerta& A la derec;a se representa la ta$a e $a 0era,sistema m$s signi'icatio de representaci+n "ue se estudiar$ en el pr+6imo tema&

1.6 COMPUERTA AND :

Una puerta AND tiene dos o m$s entradas una sola salida 'unciona de acuerdo con la siguientede'inici+n7 la salida de una puerta AND estar$ en estado 3 s+lo si est$n en estado 3 todas lasentradas&

F#&ura 6 : Puerta AND.AB F 1 1 1 1 1

En la 'igura < se da el s:m!olo de la puerta AND -unto con la e6presi+n de *oole para dic;apuerta& A eces se coloca un punto #&% o una cruz #6% entre los s:m!olos para indicar la operaci+nAND& Se puede compro!ar "ue la ta!la de la erdad de dos entradas de la 'igura responde a lade'inici+n de la 'unci+n AND&

1.* COMPUERTA NOT :

Los circuitos NOT tienen una sola entrada una sola salida responden a la 8e&a"#%8 $%"adeacuerdo con la siguiente de'inici+n7 la salida de un circuito NOT tiene el estado 3 s+lo si la entradano toma el alor 3& La norma para indicar una negaci+n l+gica es un pe"ueo circulo en el punto

en "ue la l:nea de la seal se une a un s:m!olo l+gico&

A A F#&ura * : Puerta NOT.

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A eces se emplea una ap+stro'e #B% en lugar de un gui+n (-)para indicar la operaci+n NOT&

1.= EL >LGEBRA DE BOOLE :

El $lge!ra de *oole es una ;erramienta matem$tica desarrollada inicialmente con el o!-etio derepresentar las 'ormas de razonamiento l+gico, sistematizarlas pro'undizar en el conocimiento desus mecanismos& La rama de la @iloso':a "ue ;ace uso de este m4todo matem$tico es la $%"a2ate2't#"a. @ue presentada por )eorge *oole #33=39.%&

En sus 'ormulaciones originales, el $lge!ra de *oole mane-a!a aria!les "ue representa!anproposiciones "ue pod:an adoptar dos alores7 0eraer! ! a$!. Estudiando sus asociaciones sededucen lees generales so!re la eracidad o 'alsedad de procesos l+gicos "ue, !$sicamente, noson sino asociaciones de proposiciones elementales&

En 38LGEBRA DE BOOLE :

Se de'inen tres tipos de operaciones con las aria!les !ooleanas7

ADICI


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F#&ura = : Repree8ta"#%8 e puerta $%"a 2e#a8te "!8ta"t!.

Con o!-eto de isualizar estas operaciones sup+ngase "ue A * representan el estado de doscontactos de modo "ue, si alen 3, signi'ica "ue el contacto est$ cerrado? si alen O, por elcontrario, el contacto est$ a!ierto&

La 'igura = proporciona una representaci+n de las tres operaciones en 'orma de asociaciones de

contactos& La asociaci+n en paralelo representa la suma? es decir, e6istir$ continuidad entre

e6tremos de la misma si A o * alen 3& La asociaci+n en serie representa el producto puesto "ue,

para "ue e6ista continuidad de!en aler 3 A *& 5or 2ltimo, la complementaci+n se representa

!a-o la 'orma de contactos complementarios de un mismo interruptor de modo "ue, si uno est$cerrado, el complementario estar$ a!ierto iceersa&

1. TEOREMAS IMPORTANTES DEL >LGEBRA DE BOOLE :

Te!re2a 1:El resultado de aplicar cual"uiera de las tres operaciones de'inidas a aria!les delsistema !ooleano es otra aria!le del sistema este resultado es 2nico&

5ara compro!arlo no ;a m$s "ue ta!ular estas operaciones, aplicadas a todas las com!inacionesposi!les de aria!les de entrada eri'icar "ue la salida es siempre una aria!le !ooleana& /4anselas ta!las de la erdad&

Te!re2a : Le e $a #e2p!te8"#a:A 7 A 4 A

A ? A 4 A

Estas relaciones pueden demostrarse por #8u""#%8 pere"ta, es decir, escri!iendo todas lasposi!les com!inaciones de las aria!les realizando las operaci+n indicada para cada una de ellas&

Te!re2a 6: Le e $a #80!$u"#%8:

(A@)@ 4 A

=


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Te!re2a *: Le "!82utat#0a:

Respecto a la adici+n7 A 7 B 4 B 7 A

Respecto al producto 7 AB 4 BA

Te!re2a =: Le a!"#at#0a.

Respecto a la adici+n7 A 7 (B 7 C) 4 (A 7 B) 7 C 4 A 7 B 7 C

Respecto al producto7 A(B C) 4 (A B)C 4 AB C

Te!re2a 3: Le #tr#ut#0a:

Respecto a la adici+n7 A 7 B C 4 (A 7 B)(A 7 C)

Respeto al producto7 A (B 7 C) 4 A B 7 A C

Te!re2a : Le e $a a!r"#%8: A 7 AB 4 A

A (A 7 B) 4 A

E-ercicio7 Mediante inducci+n per'ecta demostrar los teoremas ., =, 9 G&

Te!re2a : Le e De M!r&a8:

AB 4 A 7 B

A7B 4 A B

La le de De Morgan se puede generalizar a m$s aria!les&

A continuaci+n se representan algunas relaciones interesantes "ue se deducen de la de'inici+n delas operaciones l+gicas de los teoremas anteriores&

a% O H A A

!% 3 J A A

c% O JA O

d% 3 H A 3

e% A H AK 3

'% A J AK O

g% Si A H * 3 A J * O, necesariamente, * AK A *K

E-ercicio7 Demostrar las relaciones anteriores&

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1. FUNCIONES EN EL >LGEBRA DE BOOLE :

Se de'ine como 'unci+n en el $lge!ra de *oole todo con-unto de aria!les relacionadas entre s: porcual"uiera de las tres operaciones "ue se ;an de'inido& Se representar$, de 'orma general, como7

F4(A,B,C,...)

E-emplos de 'unciones son las e6presiones7

F1 (A,B,C)=ABC+A B C 7A B C

F(A,B,C)=A + B( C + A )

F6 (A ,B,C,D)=A B + C( A 7B +D )

Seg2n el Teorema 3, toda 'unci+n !ooleana es tam!i4n una aria!le del sistema&

/eamos, a continuaci+n otros dos teoremas !asados en las 'unciones&

Te!re2a 9: Le e De M!r&a8 &e8era$#aa7 El complemento de una 'unci+n se o!tienecomplementando todas las aria!les "ue en ella interienen e intercam!iando las operacionesadici+n producto&

F (A + B + C +...) @ ( A B C )

Te!re2a 1: Toda 'unci+n puede descomponerse, con respecto a cual"uiera de las aria!les delas "ue depende, seg2n la siguiente relaci+n7

F(A, B, C, ...)=AF(1, B, C,...) + A F(O,B,C,...)

1.9 TABLA DE LA +ERDAD DE UNA FUNCI


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La deducci+n de la 'unci+n por medio de la ta!la de la erdad resulta sencilla& 5odemos o!tener la'unci+n por unos o por ceros&

La 'unci+n por unos ser$ igual a tantos sumandos como unos tenga la 'unci+n @& Cada sumandoestar$ 'ormado por el producto de las aria!les, en 'orma normal si alen 3 #uno% complementada

si alen O #cero%& 5or e-emplo, el producto correspondiente a la com!inaci+n 003 es el aK!Kc& Esteproducto s+lo aldr$ uno cuando e'ectiamente a 0? ! 0 c 3&

De lo dic;o se deduce "ue la 'unci+n por unosF de la ta!la de la erdad "ue se ;a representado es7

F =A B C + A B C 7A B C 7A B C 7ABC

An$logamente, la 'unci+n por cerosF ser$ igual a tantos productos como ceros tenga la 'unci+n'K& Cada producto estar$ 'ormado por la suma de las aria!les, en 'orma normal si alen O #cero% complementada si alen 3 #uno%&

La 'unci+n anterior por ceros ale7

F 4 (A+B+C)( A+ B+ C )(A+ B +C)

. REALIACI


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El primer sumando es A*, esto es un producto l+gico, para ello colocaremos una puerta AND, elresultado lo llearemos para sumarlo al 'inal& El segundo sumando es7 CK*A, Situaremos una

puerta de tipo NOT, a continuaci+n de C, con lo "ue tendremos CK, a;ora podemos ;acer unproducto l+gico de CK con el resultado del primer sumando #er 'igura 3%& El 2ltimo sumando esAK*K "ue, aplicando las lees de De Morgan, podr:a ser #A H *%K, por lo tanto, primero sumamos A

7 * despu4s negamos el resultado con la puerta NOT&

. REALIACI


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El paso siguiente es realizar la ta!la de la erdad7 a partir de las condiciones de principio, s+lotendremos "ue compro!ar cu$ndo la suma de las potencias de los motores "ue est$n 'uncionandoen cada momento es maor de 3= 7

Realizamos la 'unci+n por unos7

F 4 A@B C 7 A B@ C 7 A B C

P el circuito "ue nos realiza este automatismo ser$, mediante puertas l+gicas #'igura .%&

F#&ura * : E/e2p$! rea$#a! "!8 puerta $%"a.

P mediante diagrama de contactos #'igura =%&

F#&ura = : Eue2a e$ E/e2p$! 1 "!8 "!8ta"t!.

.6 OTRAS FUNCIONES IMPORTANTES :

Como complemento a las puertas l+gicas amos a er otras 'unciones mu importantes enelectr+nica digital "ue coniene conocer&

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F#&ura 3 : Fu8"#!8e NAND, NOR OR-ECLUSI+A.

Del teorema de De Morgan se o!tiene dos nueas 'unciones7 las 'unciones NOR NAND #@igura9 superior%&

La 'unci+n ORE(CLUSI/A #@igura 9 in'erior% de dos aria!les A * es a"uella "ue toma elalor 3 cuando una de las aria!les toma el alor 3 la otra el alor O& Se representa con un signo7 #m$s% dentro de un c:rculo& La ta!la de la erdad es la representada a continuaci+n&

6. DEFINICI


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3& Se parte de la ta!la de la erdad&

1& Se escri!e dic;a ta!la de la erdad en una de las tres 'ormas anteriores seg2n "ue la 'unci+ntenga dos, tres o cuatro aria!les #para m$s aria!les se utilizan otros m4todos%&


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luego pondr:amos AK *K? C tam!i4n ale O, seria CK? sin em!argo D ale O para el primer uno degrupo 3 para el segundo, luego no se pondr:a& En el segundo grupo A aria, no se pone? * ale 3,C ale O D tam!i4n aria, luego "uedar:a *D& De la misma 'orma en el tercer grupo tan s+loar:a *, luego "uedar:a AKC DK& La 'unci+n completa ser$7

F 4 A@B@C@ 7 B D 7 A@ C D@

E;ERCICIO: Simpli'i"ue la ta!la anterior por ceros&

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