7/17/2019 Derivada Parcial

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1.2 Derivada Parcial

En matemática, una derivada parcial  de una función  de

diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables

manteniendo las otras constantes. Las derivadas parciales son útilesen cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f  respecto a la variable x  se

representa como f/ x (donde es una d redondeada conocida como

el símbolo de la derivada parcial!

"uando una magnitud A es función de diversas variables ( x , y , z ,...!, es

decir#

$l reali%ar esta derivada obtenemos la pendiente de dic&a

función A paralela al e'e de la incógnita respecto a la cual se &a &ec&o

la derivada.

$nalíticamente el gradiente  de una función es la máximapendiente de dic&a función en la dirección ue se eli'a. )ientras visto

desde el algebra lineal, la dirección del gradiente nos indica &acia

donde &ay mayor variación en la función.

Hallar las derivadas parciales de cualquier orden.

E'emplos

*. +ea f ( x, y, z !  x - y  xz  − y - z -. Las derivadas parciales de estafunción son#

∂f/ ∂x - xy  z ,

∂f/ ∂y  x - − - yz -,

0f/ 0% x%-

 1 - y-

%.

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-. "onsidera el volumen V  de un cono2 3ste depende de la altura h del

cono y su radio r  de acuerdo con la fórmula

La derivada parcial de V  respecto a r  es

2

y describe la velocidad de cambio con ue el volumen de un cono

cambia si su radio varía y su altura se mantiene constante. Laderivada parcial respecto a h es

y representa la velocidad de cambio con ue el volumen cambia si su

altura varía y su radio se mantiene constante.

. 4tro e'emplo tiene ue ver con el área A de un círculo, aunue 5ste

sólo depende del radio r  del círculo de acuerdo con la fórmula

La derivada parcial de A respecto a r  es

6. 4tro e'emplo, dada la función

la derivada parcial de A respecto de x  es#

)ientras ue con respecto de y  es#

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7otación

8ara el siguiente e'emplo, f  será una función en x , y  y z .

9erivadas parciales de primer orden#

9erivadas parciales de segundo orden#

9erivadas cru%adas de segundo orden#

9e:nición formal y propiedades

"omo las derivadas en una variable, las derivadas parciales están

de:nidas como el límite. 9onde U es un subcon'unto abierto de Rn y

f  # U → R una función.

9e:nimos derivada parcial de f  en el punto a  (a*, ..., an! ∈ U

con respecto a la i;5sima variable x i como#

<ncluso si todas las derivadas parciales existen en el

punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. +in

embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a  y

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son continuas, entonces la función es diferenciable y continua cerca

de a . En este caso, f  es una función "*.

$ su ve%, la derivada parcial puede verse como otra función

de:nida en U  y derivarse parcialmente. +i todas sus derivadas

parciales existen y son continuas, llamamos a f  una función "-2 en

este caso, las derivadas parciales (llamadas cru%adas! puede ser

intercambiadas por el teorema de "lairaut.

En R2, si se cumple lo ya dic&o, se asegura ue#

Diferencia total. 

+e llama incremento total de una función en un punto

a la diferencia donde y son

incrementos arbitrarios de los argumentos.

+e llama diferencial total  de la función a la siguiente

expresión (si la función es diferenciable! (si la función no

es diferenciable esta expresión no tiene ningún signi:cado!.

=na función se dice ue es diferenciable en el punto si el

siguiente límite existe y es cero.

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Establecer la diferencia total para resolver problemas deerror.Condiciones necesarias de diferenciabilidad:

•

+i la función es diferenciable en un punto, entonces escontinua en ese punto.

• +i la función es diferenciable es un punto, entonces

existen las derivadas parciales  y en ese punto.

(Los recíprocos de estos teoremas no son ciertos!.

Condiciones sucientes de diferenciabilidad:  +i las derivadas

parciales son continuas en un punto, entonces la función es

diferenciable en ese punto, pero si las derivadas parciales no son

continuas, entonces no podemos asegurar nada.

Cálculos aproimados:  La diferencial de una función se puede

puede utili%ar como aproximación del incremento.

2

E!emplo

"alcula la diferencial total de la siguiente función#

 

"oluci#n:

>allamos las derivadas parciales#

2

8or consiguiente#

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