En clase de fsica y qumica es frecuente que un alumno que est resolviendo un problema numrico pregunte por el nmero de decimales que debe escribir como resultado de una operacin aritmtica. Tambin es frecuente que, ante la duda, presente un resultado final como3,0112345 10-6, es decir, escriba todos los decimales que la calculadora le ofrece. El principal objetivo que se plantea este artculo es recordar las reglas que permiten cumplir con una correcta utilizacin de las cifras significativas de un nmero cuando se realizan operaciones matemticas, pero tambin, puestos a conocer dichas reglas, analizar la idoneidad de las mismas respecto de la propagacin de errores. Finalmente, una vez cumplidos estos objetivos, se explican las estrategias a seguir, respecto de la utilizacin de cifras significativas, en la resolucin de problemas de fsica o qumica. La presentacin del resultado numrico de una medida directa, por ejemplo, de la longitud de una mesa, tiene poco valor si no se conoce algo de la exactitud de dicha medida. Una de las mejores maneras de trabajar consiste en realizar ms de una medida y proceder con el tratamiento estadstico de los datos para establecer as un resultado con un buen lmite de confianza. El procedimiento seguido en el registro de medidas en un laboratorio debe ir por este camino, con un tratamiento estadstico que genere un lmite de confianza superior al 90%, aunque lo ms normal es que ste sea del 68%, correspondiente a la desviacin estndar absoluta. Ahora bien, fuera del laboratorio (y en ocasiones dentro) lo ms comn es utilizar el llamadoconvenio de cifras significativas.Cifras significativas. Definicin. Las cifras significativas de un nmero son aquellas que tienen un significado real y, por tanto, aportan alguna informacin. Toda medicin experimental es inexacta y se debe expresar con sus cifras significativas. Veamos un ejemplo sencillo: supongamos que medimos la longitud de una mesa con una regla graduada en milmetros. El resultado se puede expresar, por ejemplo como:Longitud (L) = 85,2 cmNo es esta la nica manera de expresar el resultado, pues tambin puede ser:L = 0,852 mL = 8,52 dmL = 852 mmetc

Se exprese como se exprese el resultado tiene tres cifras significativas, que son los dgitos considerados como ciertos en la medida. Cumplen con la definicin pues tienen un significado real y aportan informacin. As, un resultado comoL = 0,8520 mno tiene sentido ya que el instrumento que hemos utilizado para medir no es capaz de resolver las diezmilsimas de metro.Por tanto, y siguiendo con el ejemplo, el nmero que expresa la cantidad en la medida tiene tres cifras significativas. Pero, de esas tres cifras sabemos que dos son verdaderas y una es incierta, la que aparece subrayada a continuacin:L = 0,852mEsto es debido a que el instrumento utilizado para medir no es perfecto y la ltima cifra que puede apreciar es incierta. Cmo es de incierta? Pues en general se suele considerar que la incertidumbre es la cantidad ms pequea que se puede medir con el instrumento, aunque no tiene por qu ser as pues puede ser superior a dicha cantidad. La incertidumbre de la ltima cifra tambin se puede poner de manifiesto si realizamos una misma medida con dos instrumentos diferentes, en nuestro caso dos reglas milimetradas. Por extrao que pueda parecer no hay dos reglas iguales y, por tanto, cada instrumento puede aportar una medida diferente. Quedando claro que la ltima cifra de la medida de nuestro ejemplo es significativa pero incierta, la forma ms correcta de indicarlo (asumiendo por ahora que la incertidumbre es de 1 mm), esL = 0,852 0,001 mNo obstante, lo ms normal es omitir el trmino 0001y asumir que la ltima cifra de un nmero siempre es incierta si ste est expresado con todas sus cifras significativas. Este es el llamadoconvenio de cifras significativasque asume quecuando un nmero se expresa con sus cifras significativas, la ltima cifra es siempre incierta.Asumiendo que cualquier problema de fsica o qumica de un libro de texto nos muestra las cantidades con sus cifras significativas, debemos saber expresar el resultado de las operaciones que hagamos con dichos nmeros con sus cifras significativas correspondientes. Es lo que veremos ms adelante pues antes es necesario ampliar conceptos y establecer procedimientos.Reglas para establecer las cifras significativas de un nmero dado.Regla 1.En nmeros que no contienen ceros, todos los dgitos son significativos.Por ejemplo:3,14159 seis cifras significativas 3,14159

5.694 cuatro cifras significativas 5.694

Regla 2.Todos los ceros entre dgitos significativos son significativos.Por ejemplo:2,054 cuatro cifras significativas 2,054

506 tres cifras significativas 506

Regla 3.Los ceros a la izquierda del primer dgito que no es cero sirven solamente para fijar la posicin del punto decimal y no son significativos.Por ejemplo:0,054 dos cifras significativas 0,054

0,0002604 cuatro cifras significativas 0,0002604

Regla 4.En un nmero con dgitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.Por ejemplo:0,0540 tres cifras significativas 0,0540

30,00 cuatro cifras significativas 30,00

Regla 5.Si un nmero no tiene punto decimal y termina con uno o ms ceros, dichos ceros pueden ser o no significativos. Para poder especificar el nmero de cifras significativas, se requiere informacin adicional. Para evitar confusiones es conveniente expresar el nmero en notacin cientfica, no obstante, tambinse suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos.Por ejemplo:1200 dos cifras significativas 1200

1200, cuatro cifras significativas 1200,

Regla 6.Los nmeros exactos tienen un nmero infinito de cifras significativas. Los nmeros exactos son aquellos que se obtienen por definicin o que resultan de contar un nmero pequeo de elementos. Ejemplos:-Al contar el nmero de tomos en una molcula de agua obtenemos un nmero exacto: 3.-Al contar las caras de un dado obtenemos un nmero exacto: 6.-Por definicin el nmero de metros que hay en un kilmetro es un nmero exacto: 1000.-Por definicin el nmero de grados que hay en una circunferencia es un nmero exacto: 360

Notacin cientfica de un nmero. La notacin cientfica representa un nmero utilizando potencias de base diez. El nmero se escribe como un productoA 10nsiendoAun nmero mayor o igual que uno y menor que 10, ynun nmero entero. La notacin cientfica se utiliza para poder expresar fcilmente nmeros muy grandes o muy pequeos. Tambin es muy til para escribir las cantidades fsicas puessolo se escriben en notacin cientfica los dgitos significativos.Un nmero en notacin cientfica se expresa de manera que contenga un dgito (el ms significativo) en el lugar de las unidades, todos los dems dgitos irn despus del separador decimal multiplicado por el exponente respectivo. Ejemplos: Distancia media Tierra-Luna = 384.000.000 m Distancia media Tierra-Luna = 3,84 108m (tres cifras significativas) Radio del tomo de hidrgeno = 0,000000000053 m Radio del tomo de hidrgeno = 5,3 10-11m (dos cifras significativas) Velocidad de la luz en el vaco = 299.792,458 km/s Velocidad de la luz en el vaco = 2,99792458 108km/s (9 cifras significativas) G = 0,000000000066742 Nm2/kg2 G = 6,6742 10-11Nm2/kg2(5 cifras significativas)Cifras significativas en clculos numricos. Cuando se realizan clculos aritmticos con dos o ms nmeros se debe tener cuidado a la hora de expresar el resultado ya que es necesario conocer el nmero de dgitos significativos del mismo. Teniendo en cuenta que los nmeros con los que operamos son los mejores valores de las cantidades que se hayan medido,no es admisible que se gane o que se pierda incertidumbre mientras que se realizan operaciones aritmticascon dichos nmeros. Se pueden establecer algunas sencillas reglas cuya aplicacin intenta cumplir con esta condicin aunque no siempre se consigue. Analizaremos tres situaciones: realizacin de sumas y diferencias; productos y cocientes; logaritmos y antilogaritmos.Cifras significativas en sumas y diferenciasRegla 7.En una suma o una resta el nmero de dgitos del resultado viene marcado por la posicin del menor dgito comn de todos los nmeros que se suman o se restan. Por tanto, en una adicin o una sustraccin el nmero de cifras significativas de los nmeros que se suman o se restan no es el criterio para establecer el nmero de cifras significativas del resultado. Por ejemplo: (a) 4,3 + 0,030 + 7,31 = 11,64 11,6 (b) 34,6 + 17,8 + 15 = 67,4 67 (c) 34,6 + 17,8 + 15,7 68,1 En los ejemplos(a)y(c)el menor dgito comn a los sumandos es la dcima (primer decimal), por tanto el resultado debe venir expresado hasta dicho decimal. En el ejemplo(b)el menor dgito comn a los tres sumandos es la unidad, por tanto el resultado debe venir expresado hasta la unidad. Analicemos con ms profundidad las consecuencias de la aplicacin de la regla 7. De partida, se suele asumir que es incierto en una unidad el ltimo dgito de cada nmero que interviene en una operacin. As, la mayor de las incertidumbres en los ejemplos(a)y(c)es 0,1. En el ejemplo(b)la mayor de las incertidumbres en los sumandos es 1. Son esas tambin las incertidumbres en los resultados? En principio es comn asumir dichas incertidumbres pero es sencillo comprobar que esto no siempre es cierto como veremos a continuacin. Segn la teora de propagacin de errores la incertidumbre del resultado de una combinacin lineal como la siguiente

es

dondea,b, son las incertidumbres absolutas dea, b, Para poder aplicar esta expresin las medidasa, b,...,deben ser independientes y sus errores, aleatorios. En los ejemplos anteriores las incertidumbres seran:(a)(b)(c) Luego, al aplicar el convenio de cifras significativas la tendencia sera asumir que la incertidumbre del resultado en el caso(c)es de 0,1 cuando en realidad es del doble.Cifras significativas en productos y cocientesRegla 8.En un producto o una divisin el resultado debe redondearse de manera que contenga el mismo nmero de dgitos significativos que el nmero de origen que posea menor nmero de dgitos significativos. Por tanto, a diferencia de la suma o la resta, en la multiplicacin o la divisin el nmero de dgitos significativos de las cantidades que intervienen en la operacin s es el criterio a la hora de determinar el nmero de dgitos significativos del resultado. Por ejemplo:(a)(b)(c) En los tres ejemplos expuestos el menor nmero de cifras significativas de los diferentes factores que intervienen en las operaciones es dos: se trata concretamente del nmero 24 en los ejemplos(a)y(b)y del nmero 0,25 en el ejemplo(c). Por tanto los resultados se deben redondear a dos cifras significativas. Analicemos de nuevo con mayor profundidad las consecuencias de la aplicacin en este caso de la regla 8. Si, segn el convenio de cifras significativas, asumimos que es incierto en una unidad el ltimo dgito de cada nmero que interviene en cada operacin, las incertidumbres absolutas y relativas son las que aparecen en la tabla n 1. Tabla 1.NmeroIncertidumbreIncertidumbre relativa

(a)2411/24

4,520,011/452

100,00,11/10000

(b)2411/24

4,020,011/402

100,00,11/10000

(c)3,141590,00001-

0,250,011/25

2,3520,0011/2352

En el caso(c)3,14159 representa al nmero , que se puede tomar con un nmero de decimales suficiente para que no sea precisamente este nmero el que determine las decisiones a tomar respecto a las operaciones en las que interviene.Segn la teora de propagacin de errores la incertidumbre del resultado de una expresin como la siguiente:

es

dondex, y, son las incertidumbres absolutas dex, y, Adems,x, y, , son las incertidumbres relativas en tanto por uno dex, y, Al igual que ocurra en el caso de la suma o diferencia, para poder aplicar esta expresin las medidasx, y, deben ser independientes y sus errores, aleatorios. En los ejemplos anteriores, teniendo en cuenta los datos de la tabla n 1, las incertidumbres de los resultados seran: (a) q = 1,0848 00417599 = 0,0453 0,04 (b) q = 0,9648 0,0417755 = 0,0403 0,04 (c) q = 0,4618 0.08 = 0,0369 0,04Es decir, en los tres ejemplos la incertidumbre en el resultado est en el dgito correspondiente a la centsima, aunque en ningn caso el valor de dicha incertidumbre sea la unidad. Segn estos resultados los ejemplos(b)y(c)s estn bien redondeados a dos cifras significativas, pero el ejemplo(a)no lo est ya que debera redondearse a tres cifras significativas (1,08 en lugar de 1,1).Cifras significativas en logaritmos y antilogaritmosRegla 9.En el logaritmo de un nmero se deben mantener tantos dgitos a la derecha de la coma decimal como cifras significativas tiene el nmero original.Regla 10.En el antilogaritmo de un nmero se deben mantener tantos dgitos como dgitos hay a la derecha de la coma decimal del nmero original. Veamos unos ejemplos con logaritmos de base 10:(a) log 3,53 = 0,5477747 0,548 (b) log 1,200 10-5= - 4,9208188 - 4,9208 (c) Anti log 8,9 = 108,9= 7,94328 108 8 108(d) Anti log 8,900 = 108,9= 7,94328 108 7,94 108En el ejemplo(a)el nmero de cifras significativas del nmero 3,53 es de tres y, por tanto, el nmero de decimales que tiene su solucin es tres. El nmero del ejemplo(b)tiene cuatro cifras significativas y su logaritmo se expresa con 4 decimales. En cuanto a los antilogaritmos de los ejemplos(c)y(d), el primero tiene una sola cifra decimal y su solucin se expresa con una cifra significativa; el segundo tiene tres cifras decimales y tres son las cifras significativas del resultado. Con objeto de analizar cmo es la precisin de los resultados expresados por aplicacin de las reglas 9 y 10, en la tabla n 2 se recogen las incertidumbres absolutas y relativas de los nmeros de partida Tabla 2.NmeroIncertidumbreIncertidumbre relativa

(a)3,530,011/353

(b)1,200 10-510-81/1200

(c)8,9 0,11/89

(d)8,9000,0011/8900

Como vemos, como se ha venido haciendo hasta ahora, se asume que la incertidumbre absoluta de los nmeros de partida est en el ltimo dgito y en una unidad de dicho dgito. Segn la teora de propagacin de errores, para un conjunto de medidas independientes,x, y,, w,cuyos errores o incertidumbres absolutas sonx, y,..., w,y que son utilizadas para calcular la magnitudqde forma queq = f(x, y,, w)entonces, si los errores son aleatorios, el error deqes la suma en cuadratura De esta expresin general derivan las expresiones utilizadas en los casos anteriores. En el caso que nos ocupa, empezaremos por los logaritmos:

dondex y xson, respectivamente, las incertidumbres absoluta y relativa en tanto por uno dex. As, en los ejemplos anteriores, teniendo en cuenta los datos de la tabla n 2 tenemos que las incertidumbres de los resultados expresados son: (a) q = 0,00123 0,001 (b) q = 0,0003619 0,0004Vemos que en el ejemplo(a)la incertidumbre est en el tercer decimal que es precisamente hasta donde se ha redondeado el resultado. En el ejemplo(b)habra que redondear hasta la dcima de millar, como se ha hecho en realidad al aplicar la regla 9. En el caso de los antilogaritmos:

Teniendo en cuenta los datos de la tabla n 2, las incertidumbres en los resultados de los ejemplos(c)y(d)son: (c) q = 1,829 108 2 108 (d) q = 1,829 106 2 106 Por tanto la ltima cifra incierta en el ejemplo (c) es la centena de milln y en el ejemplo (d) la unidad de milln, siendo correcta la aplicacin de la regla 10.---------------Conclusin Como hemos visto, el convenio de cifras significativas no es del todo satisfactorio. As, la realizacin de operaciones aritmticas con cifras significativas hace que en ocasiones aumente la incertidumbre respecto a lo esperado, que es considerar en una unidad la incertidumbre del ltimo dgito de un nmero. Es claro que este aumento de la incertidumbre ser tanto mayor cuanto mayor sea el nmero de operaciones que encadenemos y, por tanto, sera conveniente determinar el valor de la incertidumbre si se quiere estar seguro de conocer la progresin del error cometido en las operaciones realizadas. Incluso, tal como se ha visto en algn caso, la omisin de este estudio para la simple aplicacin de las reglas aqu establecidas puede llevarnos a la prdida de cifras significativas.

Redondeo de nmeros La aplicacin prctica de las reglas anteriores ha requerido del redondeo[1]de nmeros para ofrecer el resultado con el nmero de cifras significativas estipulado. Es decir, en el proceso de redondeo se eliminan los dgitos no significativos de un nmero, pero siguiendounas reglas que se deben aplicar al primero de los dgitos que se desea eliminar.Regla 11.Si el primer dgito que se va a eliminar es inferior a 5, dicho dgito y los que le siguen se eliminan y el nmero que queda se deja como est. Por ejemplo, los siguientes nmeros se han redondeado a 4 cifras significativas:1,4142136 1,4142136 1,414 2,4494897... 2,4494897... 2,449Regla 12.Si el primer dgito que se va a eliminar es superior a 5, o si es 5 seguido de dgitos diferentes de cero, dicho dgito y todos los que le siguen se eliminan y se aumenta en una unidad el nmero que quede. Por ejemplo, los siguientes nmeros se han redondeado a cuatro cifras significativas: = 3,1415927 3,1415927 3,1422,6457513... 2,6457513... 2,646Regla 13.Si el primer dgito que se va a eliminar es 5 y todos los dgitos que le siguen son ceros, dicho dgito se elimina y el nmero que se va a conservar se deja como est si es par o aumenta en una unidad si es impar. Por ejemplo, los siguientes nmeros se han redondeado a cuatro cifras significativas: 61,555 61,555 61,56 2,0925 2,0925 2,092Esta ltima regla elimina la tendencia a redondear siempre en un sentido determinado el punto medio que hay entre dos extremos. Es importante destacar aqu que cuando se establece la funcin de redondeo en una calculadora normalmente sta no aplica la regla 13, es decir, si un nmero cumple la condicin dada en dicha regla, la calculadora aumentar en una unidad el ltimo dgito del nmero que quede de eliminar las cifras no significativas (es decir, la calculadora aplica en este caso la regla 12).Aplicacin a clculos en problemas En los libros de texto de fsica o qumica lo ms normal es realizar clculos con datos cuya precisin viene indicada slo por el convenio de cifras significativas. As, si se deseara conocer la incertidumbre del resultado de un problema concreto se debern aplicar las tcnicas analizadas anteriormente. En cualquier caso, el resultado que se obtenga slo debe contener dgitos significativos. Una prctica comn en la resolucin de problemas es mantener al menos un dgito de ms durante los clculos para prevenir el error de redondeo (dgito de reserva). Al trabajar hoy da con ordenadores y calculadoras se puede trabajar con ms de un dgito de reserva, tantos como la calculadora pueda ofrecer, siendo importante hacer el redondeo despus de que se hayan acabado los clculos.Ejemplo.En un procedimiento de contrastado de una disolucin de cido clorhdrico con hidrxido de bario se valoraron 50,00 mL exactamente medidos de disolucin de HCl que necesitaron 29,71 mL de Ba(OH)20,01963 M para alcanzar el punto final, usando indicador verde de bromocresol. Determinar la molaridad del HCl.Solucin.Recojamos en primer lugar los datos que se dan:-Volumen de disolucin de HCl -Volumen de disolucin de Ba(OH)2-Molaridad de disolucin de Ba(OH)2El proceso de neutralizacin cido-base es el siguiente:2 HCl + Ba(OH)2 BaCl2 + 2 H2OVeremos primero los clculos de forma terica. En primer lugar se puede conocer el nmero de moles de Ba(OH)2necesarios para neutralizar el HCl:

La relacin estequiomtrica dada por el proceso de neutralizacin cido-base nos permite conocer el nmero de moles de HCl neutralizados:

Conocido el nmero de moles de HCl y el volumen en el que se encontraban al inicio, su molaridad ser:

Por tanto,

Con los nmeros ser:

Analicemos ahora las cifras significativas con las que hay que expresar el resultado. Si observamos el clculo final slo hay multiplicaciones y divisiones, por tanto, debemos redondear el resultado de manera que contenga el mismo nmero de cifras significativas que el factor que menos cifras significativas tenga. Como los nmeros2y1que hay en la expresin (moles de HCl y de Ba(OH)2) son nmeros exactos, no entran en este cmputo siendo pues los volmenes de HCl y de Ba(OH)2los que limitan el resultado a 4 cifras significativas. Por tanto,

Ahora bien, podramos estimar la incertidumbre de este resultado? Estimemos primero las incertidumbres de las medidas experimentales.-Volumen de disolucin de HCl La incertidumbre en esta medida depender del aparato que se haya utilizado para su medida. En principio pensaremos que la medida de los 50 mL ha requerido de un solo enrase y, por tanto, la incertidumbre absoluta est en 0,01 mL y la relativa es de

-Volumen de disolucin de Ba(OH)2El volumen de Ba(OH)2se habr medido con una bureta. La posicin del nivel de lquido se puede estimar en una buena bureta en 0,02 mL. Pero en la valoracin la cantidad de Ba(OH)2requiere de una lectura inicial y otra final, es decir (vase cifras significativas en sumas y diferencias), la incertidumbre absoluta ser

y la incertidumbre relativa

-Molaridad de disolucin de Ba(OH)2La incertidumbre de la molaridad de la disolucin de reactivo es, segn el dato ofrecido de 0,00001 M. La incertidumbre relativa es

Segn hemos visto, cuando las medidas son independientes y sus errores aleatorios la incertidumbre en el resultado se puede estimar segn la siguiente expresin

cuyo resultado es

Es decir, la molaridad del HCl se puede expresar como

siendo la incertidumbre relativa

[1]El proceso simple de cortar un nmero por un dgito determinado sin tener en cuenta los dgitos que le siguen (sin redondear) se denominatruncamiento. Por ejemplo, truncar el nmero a la diezmilsima sera:3,14159273,1415

BibliografaLa consulta de las pginas web referidas en la bibliografa se realiz el 06/01/2010.Clculos de Qumica Analtica.7 Ed.Hamilton, L. F.; Simpson, S. G. y Ellis, D. W. Editorial McGraw-Hill 1989.Cifras significativas. La medida y su correcta expresin.Ayala Velzquez, M. D. Departamento de Fsica. Universidad Autnoma Metropolitana Unidad Iztapalapa, Mxico D.F.[http://docencia.izt.uam.mx/dav/MetodoExperII/]Errores en las medidas.Departamento de Fsica Aplicada, Grupo de Escuela Nutica, Universidad de Cantabria. [http://www.optica.unican.es/fisicaNAUTICA/practicas.htm]Experimentacin en Qumica.Departamento de Qumica Fsica Analtica, Universidad de Oviedo.[http://www.uniovi.es/QFAnalitica/trans/ExpquimDimas/experimentacion.pdf]Fundamentos de Qumica Analtica.4 Ed.Skoog, Douglas A.; West, Donald M. y Holler, J. Editorial Revert 1996.Prcticas de fundamentos fsicos de la Ingeniera: teora de errores y presentacin de resultados.Rodrguez Quintero, N. Departamento de Fsica Aplicada I, Escuela Universitaria Politcnica, Universidad de Sevilla. [http://euler.us.es/~niurka/clases.html]Tcnicas Experimentales en Fsica General, curso 2003-04. Ziga Romn, J. Departamento de Fsica Atmica, Molecular y Nuclear, Universidad de Valencia. [http://www.uv.es/zuniga/tefg.htmEste artculo se finaliz el 26 de mayo de 2010en Villanueva del Arzobispo, Jan (Espaa)Autor: Felipe Moreno Romerofresenius1@gmail.comhttp://www.escritoscientificos.es