ciclo de nivelación 2016

8/18/2019 Ciclo de Nivelación 2016

1/19

Ciclo de Nivelación 2016 – N1

ESTADISTICA

APLICADATema: Probabilidades. Propiedades

El Cálculo de Probabilidades nos permite calcular el grado defabilidad o error de las conclusiones obtenidas mediante inerenciaestadística.

La probabilidad mide o cuantifca la incertidumbre que tenemos sobreel resultado de un experimento aleatorio

Fenómenos y e!e"imen#os alea#o"iosUn experimento es determinista cuando existe un conjunto decircunstancias que, antes de su ejecucin, determinancompletamente su resultado.

Un experimento es aleatorio si no podemos predecir su resultado deantemano!

"e conocen pre#iamente $ con exactitud los posibles resultados delexperimento. Es imposible saber su resultado antes de su reali%acin.

"e puede repetir indefnidamente, en las mismas condicionesiniciales, obteniendo resultados distintos

S$cesos

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados delexperimento aleatorio, lo denotamos por E.

Ejemplo! Experimento, lan%ar dado, E& '(,),*,+,,-

Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Un suceso elemental es un elemento del espacio muestral. Ejemplo!/lan%ar dado0, sale un seis, 1& '-

Un suceso compuesto es un conjunto de sucesos elementales.Ejemplo! /lan%ar dado0, sale un n2mero par 3& '),+,-

El suceso seguro es el que siempre ocurre al reali%ar el experimentoE. Ejemplo! /lan%ar dado0 E& '(,),*,+,,-

El suceso imposible es el que nunca ocurre como resultado delexperimento 4. Ejemplo! /lan%ar dado0 sale un 5


2/19

P"o!iedades de la !"o%a%ilidad

(. P/1c0 & (6P/10

Ejemplo. "e sabe que la probabilidad de curar la leucemia inantil esde (7*. Por lo tanto, la probabilidad de que no se cure la enermedadserá de ( 6 ( 7 * & ) 7*

). P /40 & 8

Ejemplo. Consideramos el experimento de lan%ar un dado. Laprobabilidad de obtener 9 en una cara es igual a cero

*. "i 1: 3 ;P/10 < P/30

Ejemplo. En el experimento anterior, sea 1 el suceso obtener unn2mero ma$or que +, $ 3 obtener un n2mero ma$or que )

+. P /1 =30 & P /10 =P /1 >30

Ejemplo. ?En el experimento anterior, sea 1 el suceso obtener unn2mero menor que $ 3 el suceso obtener un numero par@

. P/1A30 & P/10BP/306P/1>30

Ejemplo. En una poblacin el + de las personas son daltnicas, el(D ipertensas $ el 8. daltnicas e ipertensas. FCuál es laprobabilidad de que una persona sea daltnica ipertensaG


3/19

E&e"cicios !"o!$es#os

(. FLa probabilidad de que al sacar una carta al a%ar de un naipeinglHs /) cartas0, ella sea un as esG

). Calcula la probabilidad de no obtener IJIKI "EJ" al lan%ar

cuatro dados.*. lan%ando monedas. FMallar la probabilidad de obtener crucesG

+. FCalcula la probabilidad de obtener tres CU1NO" al lan%ar tresdadosG

. Un ( de los pacientes atendidos en un ospital sonipertensos, un (8 son obesos $ un * son ipertensos $obesos. FQuH probabilidad a$ de que elegido un paciente ala%ar sea obeso o ipertensoG

Tema: Ristribucin de Probabilidades

Una distribucin de probabilidad indica toda la gama de #alores quepueden representarse como resultado de un experimento si Hste selle#ase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un e#ento se realice en eluturo, constitu$e una erramienta undamental para la prospecti#a,puesto que se puede diseSar un escenario de acontecimientos uturosconsiderando las tendencias actuales de di#ersos enmenos

naturales Noda distribucin de probabilidad es generada por una #ariable/porque puede tomar dierentes #alores0 aleatoria x /porque el #alortomado es totalmente al a%ar0, $ puede ser de dos tipos!

'A(IA)LE ALEAT*(IA DISC(ETA +,-

Porque solo puede tomar #alores enteros $ un n2mero fnito de ellos.Por ejemplo!

T ariable que nos defne el n2mero de alumnos aprobados en la

materia de probabilidad en un grupo de +8 alumnos /(, ) ,*V los+80.


4/19

POPJER1RE" RE UI1 1OJ13LE 1LE1NOJ1 RJ"COEN1 /T0

p/xi0W( Las probabilidades asociadas a cada uno de los #alores quetoma x deben ser ma$ores o iguales a cero $ menores o iguales a (.

E p/xi0 & ( La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada unode los #alores que toma x debe ser igual a (. EXEYPL

Para #ariable aleatoria discreta

Nenemos una moneda que al lan%arla puede dar slo dos resultados! ocara /80, o cru% /80.

La siguiente tabla nos muestra los posibles resultados de lan%ar dos#eces una moneda!

'A(IA)LE ALEAT*(IA C*NTIN.A +,-

Porque puede tomar tanto #alores enteros como raccionarios $ unn2mero infnito de ellos dentro de un mismo inter#alo. Por ejemplo!

x es la ariable que nos defne la concentracin en gramos de platade algunas muestras de mineral /(+.D gr, ().(, (8.8, +).*, (.8, (D.+,(9.8, )(.8, )8.D, V, n0

P(*PIEDADES DE .NA 'A(IA)LE ALEAT*(IA DISC(ETA +/,

p/x0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los #alores que tomax deben ser ma$ores o iguales a cero. Rico de otra orma, la uncin

de densidad de probabilidad deberá tomar solo #alores ma$ores oiguales a cero.

El área defnida bajo la uncin de densidad de probabilidad deberáser de (.

E"PEO1IZ1 Y1NEY1NJC1 1LO E"PEO1R

El #alor esperado de una ariable 1leatoria T es el promedioponderado de todos los #alores posibles de la misma. RIode lospesos son las probabilidades asociadas con los #alores.

Para calcular el #alor esperado de una #ariable aleatoria por sucorrespondiente probabilidad $ luego sumar los tHrminos resultantes.


5/19

La esperan%a matemática o #alor esperado de una #ariable aleatoriatiene sus orígenes en los juegos de a%ar, debido a que losapostadores deseaban saber cuál era su esperan%a de ganarrepetidamente un juego, por lo tanto, el #alor esperado representa lacantidad de dinero promedio que el jugador está dispuesto a ganar o

perder despuHs de un n2mero grande de apuestas.

E/x0 & [ & E x /x0

1OJ1IZ1

Es un promedio ponderado de las de las des#iaciones al cuadrado.

arian%a & E / x \ [ 0] / x0

RJ"NOJ3UCJ^I 3JIYJ1LLa distribucin 3inomial es un caso particular de probabilidad de#ariable aleatoria discreta, $ por sus aplicaciones, es posiblemente lamás importante.

Esta distribucin corresponde a la reali%acin de un experimentoaleatorio que cumple con las siguientes condiciones!

1l reali%ar el experimento slo son posible dos resultados! el suceso1, llamado Hxito, $ el suceso 3, llamado racaso.

1l repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente delos resultados obtenidos anteriormente.

La probabilidad del suceso 1 es constante, es decir, no #aría de unaprueba del experimento a otra.

En cada experimento se reali%an n pruebas idHnticas.

Nodo experimento que tenga estas características se dice que sigue elmodelo de la distribucin 3inomial o distribucin de 3ernoulli.

En general, si se tienen n ensa$os 3ernoulli con probabilidad de Hxito

p $ de racaso q, entonces la distribucin de probabilidad que lamodela es la distribucin de probabilidad binomial $ su regla decorrespondencia es!

Ronde!

P/T0& es la probabilidad de ocurrencia del e#ento

p & es la probabilidad de Hxito del e#ento /en un intento0


6/19

q & es la probabilidad de racaso del e#ento /en un intento0 /se defnecomo q & ( = p0

T & ocurrencia del e#ento o Hxitos deseados

n & n2mero de intentos

EXEYPL FCuál es la probabilidad de obtener exactamente ) caras allan%ar una misma moneda - #ecesG Ronde!

P/T0& Probabilidad de que ocurra el e#ento

p & /8.0

q & /se defne como q & ( = p0 /8.0

T & )

n & -1l sustituir los #alores en la rmula obtenemos!

RJ"NOJ3UCJ^I RE PJ""I

La distribucin de PJ""I es tambiHn un caso particular deprobabilidad de #ariable aleatoria discreta, el cual debe su nombre a"imHon Renis Poisson /(5D(\(D+80, un rancHs que la desarroll apartir de los estudios que reali% durante la 2ltima etapa de su #ida.

Es 2til cuando tratamos con cantidades de ocurrencia de un e#ento alo largo de un inter#alo de tiempo o espacio especifcado.

Esta distribucin se utili%a para describir ciertos procesos.

Características!

En este tipo de experimentos los Hxitos buscados son expresados porunidad de área, tiempo, pie%a, etc!

\ _ de deectos de una tela por m)

\ _ de a#iones que aterri%an en un aeropuerto por día, ora, minuto,etc.

\ _ de bacterias por cm) de culti#o


7/19

\ _ de llamadas telenicas a un conmutador por ora, minuto, etc,etc.

\ _ de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x Hxitos por unidad detiempo, área, o producto, la rmula a utili%ar sería!

donde!

p/T0 & probabilidad de que ocurran x Hxitos, cuando el n2meropromedio de ocurrencia de ellos es 7

7& media o promedio de Hxitos por unidad de tiempo, área o productoe & ).5(D /base de logaritmo neperiano o natural0

T & #ariable que nos denota el n2mero de Hxitos que se desea queocurra

Ma$ que acer notar que en esta distribucin el n2mero de Hxitosque ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente ala%ar $ que cada inter#alo de tiempo es independiente de otrointer#alo dado, así como cada área es independiente de otra áreadada $ cada producto es independiente de otro producto dado.

EXEYPL

"i un banco recibe en promedio - ceques sin ondo por día, Fcuálesson las probabilidades de que reciba, a0 cuatro ceques sin ondo enun día dado, b0 (8 ceques sin ondos en cualquiera de dos díasconsecuti#osG /e& ).5(D)D(D)D0

Oesol#iendo para !

a0 x & +` 7 & - ceques sin ondo por día

Comprobando /sustitu$endo en la rmula0!


8/19

Por lo tanto, la probabilidad de que el banco reciba cuatro ceques sinondo en un día dado es de 8.(**D* /(*.*90

RJ"NOJ3UCJ^I IOY1L

La distribucin normal es tambiHn un caso particular de probabilidad

de #ariable aleatoria continua, ue reconocida por primera #e% por elrancHs 1braam de Yoi#re /(--5\(5+0. Posteriormente, Carlriedric Kauss /(555\(D0 elabor desarrollos más proundos $ormul la ecuacin de la cur#a` de aí que tambiHn se le cono%ca,más com2nmente, como la campana de Kauss. La distribucin deuna #ariable normal está completamente determinada por dosparámetros, su media /[0 $ su des#iacin estándar /_9-*`0. Conesta notacin, la densidad de la normal #iene dada por la ecuacin!

que determina la cur#a en orma de campana que tan bienconocemos.


9/19

Existen dos ra%ones básicas por las cuales la distribucin normalocupa un lugar tan prominente en la estadística !

Niene algunas propiedades que la acen aplicable a un gran n2merode situaciones en la que es necesario acer inerencias mediante la

toma de muestras.La distribucin normal casi se ajusta a las distribuciones derecuencias reales obser#adas en mucos enmenos, inclu$endocaracterísticas umanas, resultados de procesos ísicos $ mucasotras medidas de interHs para los administradores, tanto en el sectorp2blico como en el pri#ado.

Propiedad!

Io importa cuáles sean los #alores de [ $ _9-*` para una

distribucin de probabilidad normal, el área total bajo la cur#asiempre es (, de manera que podemos pensar en áreas bajo la cur#acomo si ueran probabilidades. Yatemáticamente es #erdad que!

1proximadamente el -D de todos los #alores de una poblacinnormalmente distribuida se encuentra dentro de ( des#iacinestándar de la media.

1proximadamente el 9. de todos los #alores de una poblacinnormalmente distribuida se encuentra dentro de ) des#iacionesestándar de la media.

1proximadamente el 99.5 de todos los #alores de una poblacinnormalmente distribuida se encuentra dentro de * des#iacionesestándar de la media.

Oelacin entre el área bajo la cur#a de distribucin normal de

probabilidad $ la distancia a la media medida en des#iacionesestándar.


10/19

Estas gráfcas muestran tres ormas dierentes de medir el área bajola cur#a normal. "in embargo, mu$ pocas de las aplicaciones quearemos de la distribucin normal de probabilidad implican inter#alosde exactamente /más o menos0 (, ) * des#iaciones estándar apartir de la media. Para estos casos existen tablas estadísticas que

indican porciones del área bajo la cur#a normal que están contenidasdentro de cualquier n2mero de des#iaciones estándar /más o menos0a partir de la media.

1ortunadamente tambiHn podemos utili%ar una distribucin deprobabilidad normal estándar para encontrar áreas bajo cualquiercur#a normal. Con esta tabla podemos determinar el área o laprobabilidad de que la #ariable aleatoria distribuida normalmenteestH dentro de ciertas distancias a partir de la media. Estas distanciasestán defnidas en tHrminos de des#iaciones estándar.

U" RE L1 N13L1 RE RJ"NOJ3UCJ^I IOL1Y RE PO313JLJR1RIOY1L "N1IR1O

Para cualquier distribucin normal de probabilidad, todos losinter#alos que contienen el mismo n2mero de des#iaciones estándara partir de la media contendrán la misma raccin del área total bajola cur#a para cualquier distribucin de probabilidad normal. Esto aceque sea posible usar solamente una tabla /1pHndice Nabla (0 de ladistribucin de probabilidad normal estándar.


11/19

El #alor de % está deri#ado de la rmula!

En la que!

x & #alor de la #ariable aleatoria que nos preocupa.

[ & media de la distribucin de la #ariable aleatoria.

o & des#iacin estándar de la distribucin.

% & n2mero de des#iaciones estándar que a$ desde x a la media dela distribucin. /el uso de % es solamente un cambio de escala demedicin del eje ori%ontal0

Ristribucin normal que ilustra la comparacin de los #alores de % $las des#iaciones estándar

EXEYPL.

Partiendo de la misma premisa, [ & 88 $ 8` & (88. FCuál es laprobabilidad de que un candidato elegido al a%ar se tome entre 88 $-8 oras en completar el programa de entrenamientoG


12/19

"i buscamos Z&(. /refHrase a la tabla0, encontramos unaprobabilidad de 8.+**).

Por lo tanto, la probabilidad de que un candidato escogido al a%ar

requiera entre 88 $ -8 oras para terminar el programa deentrenamiento es de 8.+**)


(. Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad deuna empresa elHctrica, inspecciona una muestra al a%ar de (8alternadores de un lote. "i el )8 de los alternadores del lote estándeectuosos. Cuál es la probabilidad de que, en la muestra,a0 ninguno estH deectuoso,b0 uno salga deectuoso,c0 al menos dos salgan deectuosos

d0 más de tres estHn con deectose0 no más de tres estHn con deectos.

). La probabilidad de que un ombre acierte en el blanco es (7+. "idispara (8 #eces Fcuál es la probabilidad de que acierte exactamenteen tres ocasionesG

*. En una urna a$ *8 bolas, (8 rojas $ el resto blancas. "e eligeuna bola al a%ar $ se anota si es roja` el proceso se repite,de#ol#iendo la bola, (8 #eces. FCalcular la media $ la

des#iacin típicaG

+. Los reportes de crímenes recientes indican que *.) de los robosde #eículos motori%ados ocurren cada minuto en estadosunidos. "uponga que la distribucin de los robos por minutopuede calcularse con la distribucin de probabilidad de poisson.Fcalcule la probabilidad de que ocurran cuatro robosexactamente en un minutoG

. La probabilidad de tener un accidente de tráfco es de 8,8)cada #e% que se #iaja, si se reali%an *88 #iajes, Fcuál es la

probabilidad de tener * accidentesG


13/19

Tema! Yuestreo $ Ristribuciones Yuestrales

La comprensin del concepto de la distribucin de muestreo esundamental para el correcto entendimiento de la inerencia

estadística.

Una distribucin de la poblacin es la distribucin de la totalidad delas medidas indi#iduales de una poblacin, en tanto que unadistribucin muestral es la distribucin de los #alores indi#idualesincluidos en una muestra.

En contraste con estas distribuciones de medidas indi#iduales, unadistribucin de muestreo se refere a la distribucin de los dierentes#alores que una estadística muestral, o estimador, podría adoptar enmucas muestras del mismo tamaSo.

1sí, aunque por lo general disponemos 2nicamente de una muestraaleatoria o subgrupo racional, reconocemos que la estadísticamuestral particular que determinamos, como la media o mediana dela muestra, no es exactamente igual al respecti#o parámetro de lapoblacin.

Yás a2n, el #alor de una estadística muestral #ariará de una muestraa otra, a causa de la #ariabilidad del muestreo aleatorio, o error de

muestreo. sta es la idea en la que se apo$a el concepto de que todaestadística muestral es de eco un tipo de #ariable cu$a distribucinde #alores está representada por una distribucin de muestreo.

Dis#"i%$ción m$es#"al de medias

Una distribucin muestral de medias o una distribucin en elmuestreo de la media se defne como el conjunto de todas las mediasque se pueden calcular en todas las muestras posibles que se puedenextraer, con o sin reempla%o, de una determinada poblacin. Paradetectar las relaciones a que nos emos reerido, partiremos de un

ejemplo con una poblacin pequeSa.

edia

Es el promedio aritmHtico de las medias del conjunto de datos` $a seade la poblacin o de la muestra

'a"iana


14/19

Es el promedio de la suma de los cuadrados de las des#iaciones. "eentiende por des#iacin la dierencia de una media respecto a lamedia

Como puede #erse, la #arian%a es una medida de dispersin. Jndica,en promedio, quH tan alejados están los datos respecto de la media.

Desviación #!ica o es#3nda"

Es la raí% cuadrada de la #arian%a.

Por simplicidad, en las expresiones anteriores se acostumbra suprimirel subíndice i, así como los límites de las sumatorias!


(. ConsidHrese una poblacin en la que se estudia unacaracterística T que sigue una distribucin normal de media

& () $ #arian%a & (-. "e pide!a0 Probabilidad de que un elemento de esa poblacin, elegidoal a%ar, tenga la característica superior a (+. b0 ConsidHrese una muestra aleatoria de tamaSo n & 9. FCuáles la probabilidad de que la media muestral T tenga un #alorsuperior a (+G

). En un ser#icio de atencin al cliente, el tiempo de espera astarecibir atencin es una #ariable normal de media (8 minutos $des#iacin típica ) minutos. "e toman muestras aleatorias del

tiempo de espera de los clientes que llegan un día concreto. "epide!a0 FCuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera deuna muestra de ) clientes no supere los 9 minutosGb0 FCuál es la distribucin de la media muestral, si se tomanmuestras aleatorias de -+ clientesG Especifcar sus parámetros.

*. La edad a la que contraen matrimonio los ombres de la ciudadde lima es una #ariable aleatoria que se puede aproximar poruna distribucin normal de media * aSos $ des#iacin típica de aSos. "e elige aleatoriamente una muestra de (88 ombres.

"ea T la media muestral de la edad de casamiento. a0 FCuálesson la media $ la #arian%a de TG


15/19

b0 FCuál es la probabilidad de que la edad media de casamientode la muestra estH comprendida entre *- $ *5 aSosG

+. La duracin de las baterías de un determinado modelo detelHono m#il tiene una distribucin normal de media *+,

oras $ des#iacin típica -,9 oras. "e toma una muestraaleatoria simple de *- telHonos m#iles.a0 FCuál es la probabilidad de que la duracin media de lasbaterías de la muestra estH comprendida entre *) $ **, orasGb0 F de que sea ma$or de *D orasG

. En cierta poblacin umana, la media muestral T de unacaracterística se distribu$e mediante una distribucin normal.La probabilidad de que T sea menor o igual que 5 es 8,D $ lade que T sea ma$or que D8 es 8,8+. Mallar la media $ la

des#iacin típica de T . /NamaSo muestral n & (880.

Tema: Estimacin Estadística de la Yedia

El inter#alo de confan%a, para la media de una poblacin, con unni#el de conian%a de ( 6 , siendo T la media de una muestra detamaSo n $ h la des#iacin típica de la poblacin, es!

El error máximo de estimación es:

Cuanto ma$or sea el tamaSo de la muestra, n, menor es el error.

Cuanto ma$or sea el ni#el de conian%a, (\, ma$or es el error.

NamaSo de la muestra


16/19

"i aumentamos el ni#el de confan%a, aumenta el tamaSo de lamuestra.

"i disminuimos el error, tenemos que aumentar el tamaSo de lamuestra.

Ejemplo!

El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a losclientes sigue una le$ normal con media desconocida $ des#iacintípica 8, minutos. Para una muestra aleatoria de ) clientes seobtu#o un tiempo medio de ,) minutos.

(.Calcula el inter#alo de confan%a al ni#el del 9 para el tiempomedio que se tarda en cobrar a los clientes.

).Jndica el tamaSo muestral necesario para estimar dico tiempomedio con un el error de 8, minutos $ un ni#el de confan%a del9.

n 4 5


(. En una encuesta se pregunta a (8.888 personas cuántos libroslee al aSo, obteniHndose una media de libros. "e sabe que lapoblacin tiene una distribucin normal con des#iacin típica ).a0 Malla un inter#alo de confan%a al D8 para la mediapoblacional.

b0 Para garanti%ar un error de estimacin de la mediapoblacional no superior a 8,) con un ni#el de confan%a del 9, Fa cuántas personas como mínimo sería necesarioentre#istarG

). "e supone que la recaudacin diaria de los comercios de unbarrio determinado es una #ariable aleatoria que se puedeaproximar por una distribucin normal de des#iacin típica *)Deuros. "e a extraído una muestra de (88 comercios de dicobarrio, obteniHndose que la recaudacin diaria media asciende

a ()+D euros. Calcula!


17/19

a0 El inter#alo de confan%a para la recaudacin media con unni#el de confan%a del 99 .b0 El tamaSo muestral mínimo necesario para conseguir, con unni#el de confan%a del 9 , un error en la estimacin de larecaudacin diaria media menor de ()5 euros.

*. "e quiere conocer la permanencia media de los pacientes de unospital, con el fn de estudiar una posible ampliacin delmismo. "e tienen datos reeridos a las estancias, expresada endías, de D88 pacientes, obteniHndose los siguientes resultados!x & D,( días` s & 9 días. "e pide obtener un inter#alo deconfan%a del 9 para la estancia media.

+. Una muestra aleatoria simple de ) estudiantes responde a untest de inteligencia, obteniendo una media de (88 puntos. "e

sabe por experiencia que la #ariable ?inteligencia de todos losestudiantes@ es normal con una des#iacin típica igual a (8,pero se desconoce la media. FEntre quH límites se allará la#erdadera inteligencia media de todos los estudiantes, con unni#el de confan%a de 8,99G

. Una muestra aleatoria de tamaSo (88, extraída de unapoblacin normal de #arian%a D(, presenta una media muestraligual a (8.

i0Calcular un inter#alo de confan%a del 98 para la mediapoblacional.

ii0 Calcular un inter#alo de confan%a del 9 para la mediapoblacional $ compararlo con el anterior.

iii0 "i se quiere tener una confan%a del 9 de que suestimacin se encuentra a una distancia máxima de (,) de la#erdadera media poblacional, Fcuántas obser#acionesadicionales deben tomarseG

Tema: Estimacin Estadística de la Proporcin

"i en una poblacin, una determinada característica se presenta enuna proporcin p, la proporcin p, de indi#iduos con dicacaracterística en las muestras de tamaSo n, se distribuirán seg2n!

Jnter#alo de confan%a para una proporcin


18/19

El error máximo de estimacin es!

Ejemplos

En una ábrica de componentes electrnicos, la proporcin decomponentes fnales deectuosos era del )8. Nras una serie deoperaciones e in#ersiones destinadas a mejorar el rendimiento seanali% una muestra aleatoria de 88 componentes, encontrándoseque 98 de ellos eran deectuosos. FQuH ni#el de confan%a debe

adoptarse para aceptar que el rendimiento no a surido #ariacionesGp & 8.) q & ( \ p &8.D p& 987 88 & 8.(D

E & 8.) \ 8.(D & 8.8)

P (zα/2 > 1.12) = 1 − P (z α/2 ≤ 1.12) = 1 − 0.8686 = 0.1314

0.8686 - 0.1314 = 0.737

Nivel de confianza: 73.72%

E&e"cicios !"o!$es#os(0 El -8 de una poblacin de )8 888 abitantes tiene los ojos

oscuros. "i elegimos al a%ar 8 personas de esa poblacin, Fcuáles la probabilidad de que a$a menos de *8 personas con losojos oscurosG

)0 Un examen de (88 preguntas admite como respuesta en cadauna de ellas dos posibilidades, #erdadero o also. "i un alumnocontesta al a%ar, calcula la probabilidad de que acierte más de-8 respuestas.

*0 El 5 de los pantalones de una determinada marca salen con

alg2n deecto. "e empaquetan en caja de D8 para distribuirlos


19/19

por dierentes tiendas. FCuál es la probabilidad de que en unacaja a$a más de (8 pantalones deectuososG

+0 En una urna a$ * bolas rojas, ) blancas $ #erdes. "acamosuna bola, anotamos su color $ la de#ol#emos a la urna. "irepetimos la experiencia 8 #eces, Fcuál es la probabilidad de

sacar roja en más de )8 ocasionesG0 En una moneda deectuosa, la probabilidad de obtener cara es

de 8,D-. "i acemos tandas de +8 lan%amientos!a0 FCmo se distribu$e la proporcin de caras en esas tandasGb0 FCuál es la probabilidad de que la proporcin de caras en unatanda sea ma$or de 8,-G

Tema: Prueba de Miptesis para la Yedia

ciclo de nivelación 2016

Documents