Capítulo 9: Sistema de Partículas

Considera un sistema de partículas en una dimensión (vea figura). La coordenada xcm del centro de masa es:

2211 xmxmMxcm +=

.donde 21 mmM +=

Sistema de N partículas en 3 dimensiones

Podemos generalizar de dos partículas en una dimensión a un sistema de N partículas en tres dimensiones:

∑=++++=i

iiNNcm xmxmxmxmxmMx 332211

donde M es la masa total del sistema. Similarmente las coordenadas (ycm, zcm) son:

∑∑ ==i

iicmi

iicm zmzMymyM ,Vectorialmente tenemos

∑=i

iicm rmrM

Ejemplo:Tres pequeñas bolas A, B y C de masas 3 kg, 1 kg y 1 kg respectivamente, están conectadas por barras de masas despreciables (ver figura). Calcula las coordenadas del centro de masa.

Determinación del centro de masa usando integración

∫= dmrrM cm

Ejemplo: Calcula el centro de masa de una barra de largo L y masa M.

Calcula las coordenadas del centro de masa de un aro semicircular de radio R y masa M.

Ejemplo:Calcula el centro de masa de la figura usando argumentos de simetría y no integración.

?Px =0Cx =x

Sx R= −Pm

C S Pm m m= +

Sm

Movimiento del Centro de MasaSi derivamos la ecuacióncon respecto al tiempo tenemos

∑=++=i

ii

cm

dtrdm

dtrdm

dtrdm

dtrdM 2

21

1

∑=++=i

iicm rmrmrmrM 2211

∑=++=i

iicm vmvmvmvM 2211

∑=++=i

icm pppP 21

La cantidad p = mv se conoce como momentum lineal.

Derivando de nuevo tenemos

∑=++=i

iicm amamamaM 2211

Pero,

extiiii FFamF ,int, +==

Por lo tanto,

∑∑ +=i

extii

icm FFaM ,int,

De acuerdo a la tercera ley de Newton, las fuerzas internas ocurren en pares y por lo tanto la suma de fuerzas internas es cero. La ecuación anterior se reduce a

cmextnetai

exti aMFF ==∑ ,,

La ecuación anterior significa que el centro de masa de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa M sometida a la influencia de la fuerza externa neta resultante que actúa sobre el sistema.

Ejemplo:

Calcula la aceleración del centro de masa del sistema en la figura. ¿En qué dirección se mueve el centro de masa?

Ejemplo:Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 24.5 m/s a un ángulo de 37° con la horizontal. En el punto más alto explota en dos fragmentos de igual masa. Si un fragmento cae directamente al suelo, calcula donde cae el otro.

Conservación de Momentum LinealAnteriormente vimos que el movimiento del centro de masa está regulado por la ecuación

cmextneta aMF =,

Podemos escribir esta ecuación en términos de momentum lineal:

cm cm cmcm

dv dMv dPMa Mdt dt dt

= = =

dtPdaMF cm

cmextneta ==∴ ,

Si la fuerza externa neta sobre el sistema es cero, entonces

0cmdPdt

=

( ),constante 0cm i neta exti

P p F= = =∑La ecuación anterior se conoce como el teorema de conservación de momentum lineal.

Ejemplo:

Una caja de masa m = 6 kg se mueve en una superficie horizontal suave (cero fricción) con una velocidad v = 4 m/s en la dirección positivo x. De momento la caja explota en dos pedazos. Un pedazo de masa m1 = 2 kg se mueve con velocidad v1 = 8 m/s en la dirección positivo x. Determina la velocidad del segundo pedazo de masa m2.

m 2m 1mv

1v2v

Ejemplo:Un petardo colocado adentro de un coco seco de masa M explota y rompe el coco en tres pedazos (ver figura). El coco está inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal suave (cero fricción). Después de la explosión, el pedazo C, de masa 0.3M sale con una velocidad vfC = 5 m/s. Calcula (a) la velocidad del pedazo B, el cual tiene masa 0.2M, (b) la velocidad del pedazo A.

0 .3M

2v

0 .2 M

0 .5 M