calculo i (temas 1, 2, 3, 4)

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

1/54

Apuntes de

CALCULO INFINITESIMAL

Curso 2010-2011

Ricardo Vidal

September 20, 2010

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

2/54

2

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

3/54

Contenido

Presentacion 5

1 O corpo dos numeros reais 71.1 Introduccion axiomatica de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Propiedade arquimediana, consecuencias . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Intervalos enR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Valor absoluto enR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Introduccion axiomatica de N. Principio de induccion . . . . 14

2 O espacio vectorial normado Rn 17

2.1 Espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Productos interiores ou escalares . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Topoloxa usual en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1 Posicion dun punto respecto de un conxunto . . . . . 24

2.4.2 Conxuntos abertos e pechados . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.3 Conxuntos acotados. Teorema de Bolzano-Weirstrass . 28

2.4.4 Conxuntos compactos, conexos e convexos . . . . . . . 29

3 Sucesions en R e en Rn 31

3.1 Operacions con sucesions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Sucesions converxentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Propiedades das sucesions converxentes en R . . . . . . . . . 34

3.4 Operacions con sucesions converxentes en Rp . . . . . . . . . 363.5 Sucesions monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.6 Subsucesions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.7 Sucesions de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.8 Lmites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.9 Lmites de oscilacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.10 Calculo practico de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.10.1 Criterio de Stolz. Aplicacions . . . . . . . . . . . . . . 41

3

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

4/54

4 CONTENIDO

4 Series de numeros reales 43

4.1 Operacions con series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 Series de terminos non negativos . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.1 Series xeometricas e armonicas . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Criterios de converxencia para series de terminos non negativos 494.4 Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5 Converxencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Bibliografa 53

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

5/54

Presentacion

En este texto recollemos a informacion teorica da materia CALCULO I,materia cuatrimestral do primeiro curso do grado de enxeneiro industrial,comun as distintas especialidades. Esta materia ten asignados 6 creditos

ECTS e os contidos previstos son os habituais en un primeiro curso de calculoinfinitesimal. Non ocultamos que os obxetivos que nos propuxemos resul-tan moi ambiciosas tendo en conta o numero de creditos asignados, peroquixemos facer unha presentacion que non cercenase demasiado os temaspresentados e que lle permitan os alumnos interesados ir un pouco m aisala dos mnimos esixibles. Incluimos nestas notas moitas demostracions, encontra da moda actual de suprimir todalas demostracions alegando falta detempo. Creemos que a demostracion de un resultado permite entendelo contoda profundidade e ademais e a forma mais axeitada de instruir o alumnono uso do lenguaxe matematico.

Estos apuntes complementaranse con uns boletns de problemas, nonincluidos, que se desenrolaran nas clases practicas, combinando o uso dapizarra e do ordenador mediante o uso o program MATLAB.

5

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

6/54

6 CONTENIDO

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

7/54

Tema 1

O corpo dos numeros reais

A nocion de conxunto, como obxetos ben definidos, comenzou a utilizarse enmatematicas a finais do seculo XIX. Esta idea intuitiva que todo o mundo tensuxire certas operacions elementais con conxuntos: union, intersecion, difer-encia,... A utilizacion de estas operacions e fundamental en diversas teorasmatematicas e nas suas aplicacions. Por este motivo a linguaxe conxuntistae basica para o estudio e a investigacion cientfica e nas aplicacions tecnicas.

Conven advertir que a teora de conxuntos non e tan simple como nunprincipio podiamos pensar, Lembremos as paradoxas de Bertran Russel: Obarbeiro que barbea a todos os que non se barbean a s mesmos. Quenesson os elementos deste conxunto de persoas? Mais concretamente o mesmo

barbeiro e ou non, un elemento deste conxunto? Esta paradoxa e outrasmoitas formuladas o inicio do desenrolo da teora de coxuntos puxo de man-ifesto a necesidade de precisar con sumo cuidado os conceptos definidos.

Para introducir os numeros reais empezaremos polos numeros naturais,que en palabras de Dedekind, creounos deus e o demais elaborouno o home(posteriormente faremos unha introduccion axiomatica dos numeros natu-rais)

N ={1, 2, 3, 4, . . .}dende o punto de vista alxebraico os numeros naturais presentan dificul-

tade para a resolucion de ecuacions do tipoa + x= b si b < a. Pretendemosampliar este conxunto a outro maior, os numeros enteiros (Z), donde asecuacions do tipo anterior tenan solucion.

Z ={N} {0}{n|n N}O par (Z, +) ten estructura alxebraica de grupo abeliano, pero presenta

carencias similares as dos numeros naturais, agora respecto da multipli-cacion, as ecuacions do tipo ax = b non tenen solucion en Z si b non e

7

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

8/54

8 TEMA 1. O CORPO DOS NUMEROS REAIS

multiplo de a. Coa finalidade de solventar as ecuacions do tipo anterior

extendemos os numeros enteiros os racionais

Q ={ab1|a Z, b N}(Q, +, .) ten estructura alxebraica de corpo conmutativo e en el todalas

ecuacions do tipo a + bx= c tenen solucion.

Podemos representar os numeros racionais nunha recta, fixados douspuntos 0 e 1, a calquer outro numero racional correspondelle un unico puntona recta, pero o recproco non se verifica, podese probar que a lonxitudeda hipotenusa de un triangulo rectangulo de catetos unidade non se poderepresentar por un numero racional, este problema podese formular alxe-

braicamente: a ecuacion x2

= 2 non ten solucion en Q. A razon ultimadeeste problema e que en Q non todolos conxuntos acotados superiormentetenen unha mnima cota superior.

1.1 Introduccion axiomatica de R

Introduciremos os numeros reais de xeito axiomatico. Chamaremosnumerosreais a un conxunto, que denotaremos por R, dotado dunha estructuraalxebraica de corpo conmutarivo, provisto de un orden total, compatiblecoa estructura alxebraica, na que todo conxunto acotado supeiormente tena

supremo.

(R, +.) e corpo conmutativo.

(R, ) e un conxunto ordenado con un orden total. Verifica1. Reflexiva aa.2. Antisimetrica ab, b aa = b.3. Transitivaab, b cac.4. Totala, b R ab oba.5. Compatible

(a) Suma ab, c R a + cb+c.(b) Productoab, 0 cacbc.

Presentamos a continuacion a propiedade de completitude. Considere-mos no conxunto ordenado (R, ): AR,a, b, c R. Definimos:

1. c e cota superior de A siac, a A.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

9/54

1.1. INTRODUCCION AXIOMATICA DER 9

2. b e cota inferior de A si ba, a A.

3. A e acotado superiormente si ten algunha cota supeior e acotado in-feriormente si ten algunha cota inferior. A e acotado si e acotadosuperiormente e inferiormente.

4. Si AR acotado superiormente diremos que sR e supremo de A,notamos s = sup(A), si:

(a) s e cota superior de A.

(b) si s

e outra cota superior de A enton ss .5. Si A R acotado inferiormente diremos que i R e nfimo de A,

notamos i = inf(A), si:

(a) i e cota inferior de A.

(b) si i

e outra cota inferior de Aenton i i.

Proposicion 1.1.0.1 En (R, ) todo conxunto acotado inferiormente tennfimo.

Demostracion: Sexa A R acotado inferiormente.Consideramos A ={x R| xA}.A e acotado superiormente, por ser A acotado inferiormente.Por definicion de Rs= sup(A).E facil ver ques= inf(A).

Proposicion 1.1.0.2 En (R, ) o supremo dun conxunto acotado superi-ormente e unico.

Demostracion: Sexa A R suponamos que s1 e s2 son supremos deA. Verificanse:

1. por ser s1 supremo e s2 cota superior, tense que s1s2.2. por ser s2 supremo e s1 cota superior, tense que s2s1.

De (1) e (2) deducimos que s1 = s2.

Proposicion 1.1.0.3 En (R,

) o infimo dun conxunto acotado inferior-

mente e unico.

Demostracion: Analoga a da proposicion anterior, proponse como ex-ercicio.

Notese que enQa propiedade do supremo non se verifica como exemploconsideramos o conxunto C={1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, . . .}, que esta aco-tado superiormente, pero o seu supremo como conxunto de numeros reais e

2 que non e racional.Consideramos en (R, ),A R, m , M R. Diremos que:

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

10/54


1. M e o maximo de A, M=max(A), siM=sup(A) e MA.

2. m e o mnimo de A, m= min(A), sim = inf(A) e m A.Como exemplo podemos proponer o calculo do supremo, infimo, maximo

e mnimo, de existiren, dos seguintes conxuntos:

1. A={x R|x= 1/n,n N}2. A={x R|1x

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

11/54

1.2. PROPIEDADE ARQUIMEDIANA, CONSECUENCIAS 11

Corolario 1.2.0.6

xR, 0< x, n N|1/n < xDemostracion: Tomese y = 1 na propiedade arquimediana.Este corolario proba que non existe o menor numero real positivo.

Corolario 1.2.0.7

x, y R, x < y,rQ|x < r < yDemostracion: Podemos suponer que x >0,

ademas y x >0, enton

n

N

|1/n

y

x

Como x >0, 1/n > 0, kN|0< x < kn .Suponamos que ok dado na desigualdade anterior e optimo esto e

k 1n

x

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

12/54


1.3 Intervalos en R

Diremos que un subconxunto I R e un intervalo si x, yI, x < z < yzI. Consideramos cinco tipos de intervalos.

1. [a, b] ={x R|a xb}

2. [a, b) ={x R|a x < b}, (a, b] ={xR|a < x b}

3. (a, b) ={x R|a < x < b}

4. [a, ) ={x R|a x

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

13/54

1.4. VALOR ABSOLUTO ENR 13

1.4 Valor absoluto en R

Valor absoluto e unha aplicacion

||: R R

definida do xeito seguinte|x|= max{x, x}Vemos a continuacion algunhas propiedades da funcion valor absoluto.

Proposicion 1.4.0.10 A funcion valor absoluto verifica:

1.|x|= 0x = 02.

|x

|=

|x

|3.|xy|=|x||y|4.|x| c cx c5.|x| x |x|6.|x + y| |x| + |y|Como consecuencia da proposicion anterior temos as seguintes propiedades

Corolario 1.4.0.11 .

1.|ni=1 xi| ni=1 |xi|2.|x y| |x| + |y|3.||x| |y|| |x y| |x| + |y|

Mediante o valor absoluto podemos introducir a distancia usual en R.No proximo tema proporemos o valor absoluto en R como primeiro exemplode norma.

O longo de todo o curso necisitaremos resolver ecuacions e inecuacionsnas que intervena o valor absoluto, e pois necesario que o alumno domine aresolucion de este tipo de problemas. Proponemos a continuacion algunhosexercicios do tipo que nos encontraremos en outros captulos.

Resolver as seguintes inecuacions:

1.|x 3|< 12.|x 2| + |x 3| 43.|x 2| |x + 3| 0

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

14/54


1.5 Introduccion axiomatica de N. Principio de

induccion

Ainda que empezamos o captulo eludindo unha introduccion formal dosnumeros naturais, facendo uso de unha cita de Dedekind, afrontamos agoraeste problema. Introducimos os numeros naturais mediante os axiomas dePeano.

1. Ax1.N|1 N2. Ax2.: N N (operador seguinte) inxectiva esto e:

(n) =(m)

n = m ou equivalentementen

=m

(n)

=(m).

3. Ax3.n N|(n) = 14. Ax4. Axioma de induccion.

SiS N, S=, 1 Sverificando que sinS(n)S. EntoncesS= N.

O axioma 4 permitenos introducor a demostracion por induccion, moieficaz para resolver satisfactoriamente algun tipo de problemas, proponemoscomo exemplo o seguinte.Probar que se verifica a seguinte identidade

nj=1

1j(j+ 1)

= nn + 1

=P(n)

Probaremolo por induccion:

1. Probamos que a propiedadeP(n) se verifica para n = 1

P(1) =1

j=1

1

j(j+ 1)=

1

1(1 + 1)=

1

2

2. Suponamos que a propiedade se verifica para n, esto eP(n) e certa, e

probaremos que de esta siguese que P(n+ 1) tamen se verifica

n+1j=1

1

j(j+ 1)=

nj=1

1

j(j+ 1)+

1

(n + 1)(n + 2)=

n

n + 1+

1

(n + 1)(n + 2)=

n(n + 2) + 1

(n + 1)(n + 2)=

n + 1

n + 2

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

15/54

1.5. INTRODUCCION AXIOMATICA DEN. PRINCIPIO DE INDUCCION15

Probamos as que S ={n N|P(n)se verifica} coincide con N. Polo

tanto a propiedade P(n) verificase para todo numero natural n.Proponemos a continuacion, como exercicio, algun problema mais de estetipo.

1. Probar que se verifica

nj=1

j2 =n(n+ 1)(2n + 1)

6 =P(n)

2. Probar que se verifica

nj=1

j3

=n(n+ 1)

22

=P(n)

3. Probar que se verifica a seguinte identidade paran >1

nk=1

k!k= (n + 1)! 1 =P(n)

Presentamos agora o principio de induccion completa:

SiS N, S=, 1 Sverificando que si

kSkn(n)S.

EntoncesS= N.

Tanto o principo de induccion como o de induccion completa admitenunha version restrinxida, no senso de que o primeiro elemento que verificaa propiedadePnon ten por que ser o 1 senon que pode ser calquer n0 N.As o conxunto solucion sera S ={n N|n n0}. O ultimo exercicioproposto o conxunto solucion e o formado por todolos naturais maiores ouiguis a 2.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

16/54


7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

17/54

Tema 2

O espacio vectorial normado

Rn

En este captulo vamos a introducir o marco no cal traballaremos o longodo curso. Referimonos o espacio vectorialRn, no que definiremos algunhasestructuras que nos permitan caracterizar a proximidade e as definir osconceptos de lmite, continuidade, diferenciabilidade e outros.

2.1 Espacios metricos

Sexa X un conxunto non valeiro. Unha metrica ou distancia en X e unha

aplicacion d: X X Rverificando:

1. d(a, b) = 0a = b2. d(a, b) = d(b, a),a, b X3. d(a, c) d(a, b) +d(b, c),a ,b ,c XO par (X, d) denominamolo espacio metrico. As metricas toman sempre

valores non negativos como se proba na seguinte proposicion.

Proposicion 2.1.0.12 En un espacio metrico(X, d)Verifcase:d(a, b) 0,a, bX.Demostracion:

0 =d(a, a) d(a, b) + d(b, a) = 2d(a, b) d(a, b) 0

.Como primeiros exemplos de distancias proponemos:

17

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

18/54

18 TEMA 2. O ESPACIO VECTORIAL NORMADORN

1. En R,d : R R R definida comod(a, b) =|b a|.

2. Sexa Xun conxunto non valeiro, consideramosd: X X R d(a, b) = 1 sia =b e cero en outro caso.

E facil comprobar que as duas aplicacions anteriores verifican os axiomasde metrica e polo tanto (R, ||) e (X, d) son espacios metricos. Posteriormentedaremos mais exemplos de espacios metricos.

2.2 Espacios normados

Sexa Vun espacio vectorial real. Unha norma en V e unha aplicacion

: V Rverificando

1.x= 0x = 02.x= x, R,x V3.x + y x + y,x, yVDenominamos espacio normado o par (V, ).

Si V fose un espacio vectorial sobre C definimos a norma sobre V de

xeito analogo cambiando unicamente o axioma (2) por

x=||x, C,xV

donde||denota o modulo de .Damos agora exemplos de espacios vectoriales normados.

1. O valor absoluto en R e unha norma en R.

2. En Rn definimos as seguintes normas:

(a)(x1, x2, . . . , xn)1=|x1| + |x2| + + |xn|, norma 1(b)

(x1, x2, . . . , xn)

= max

{|x1

|,|x2

|, . . . ,

|xn

|}, norma infinito

(c)(x1, x2, . . . , xn)p =n

k=1 |xk|p1/p

, p1, norma p, si p = 2denominase norma euclidea.

E facil probar que tanto o valor absoluto como as normas 1 e infinito sonnormas en R e enRn respectivamente, esto e, que verifican os axiomas denorma. Non e inmediato probar que as normasp, sip e distinto de 1, verif-ican os axioms de norma, en particular o axioma (3), que no caso p= 2 e adesigualdade de Cauchy-Schwarz e no caso xeral a desiualdad de Minkowski,

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

19/54

2.2. ESPACIOS NORMADOS 19

que prescisaremos mais tarde. Os axiomas (1) e (2) son iguais de f aciles de

probar en todolos exemplos propostos.

Vemos a continuacion algunhas propiedades da norma.

Proposicion 2.2.0.13 En todo espacio vectorial normado (V, ) verifi-canse:

1.x= x, x V2.|x y| x y x + y, x, y V

Demostracion:

1. x= 1x=| 1|x =x2. (a)x y x + y x + y

(b) Verificanse:

i.x=x y+y x y + y x y x yii. Analogamentey x x y

Das duas desigualdades anteriores deducimos:

|x y| x y

Proposicion 2.2.0.14 Todo espacio vectorial normado e un espacio metrico.

Demostracion: Sexa (V, ) un espacio vectorial normado. definimos:

d: V V Rmediante a formulad(x, y) =y x.

Probaremos que d verifica os axiomas de distancia:

1. d(x, y) = 0 y x= 0x = y2. d(x, y) =y x=x y= d(y, x)3. d(x, y) =

y

x

=

y

z+ z

x

y

z

+

z

x

=

d(z, y) +d(z, x) = d(x, z) +d(z, y)

Polo tanto (V, d) e un espacio metrico.As as normasp inducen as distacias dp en Rn. Consideramos x =

(x1, . . . , x2) e y= (y1, . . . , y2) e temos

1. d1(x, y) =y x1=|y1 x1| + + |yn xn|2. d(x, y) =y x = max{|y1 x1|, . . . , |yn xn|}

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

20/54


3. d2(x, y) =y x2= (|y1 x1|2 + + |yn xn|2)1/2

4. dp(x, y) =y xp= (|y1 x1|p + + |yn xn|p)1/p, p 1E interesante ver a interpretacion xeometrica das distancias dp para n= 2e n = 3.A proposicion anterior proba que toda norma induce unha metrica, obvia-mente o recproco non se verifica. Unha metrica pode ser definida sobre unconxunto sin ningun tipo e estructura alxebraica e a norma esta definidasobre un espacio vectorial. Pero si unha metrica, definida sobre un espaciovectorial, e homoxenea, d(x, y) = d(x, y), e invariante por traslacions,d(x, y) = d(x +z, y +z),x,y ,z, define unha norma en ese espacio mediantex= d(x, 0) e esta norma determina a metrica de partida.

2.3 Productos interiores ou escalares

Un producto interior ou escalar en un epacio vectorial real V e unha apli-cacion

:V V Rverificando:

1. < x, x >0,xV2. < x, x >= 0x= 03. < x, y >=< y,x >,x, yV4. < x, y+z >=< x, y >+ < x, z >,x,y ,zV5. < x, y >= < x, y >, R,x, yV

Tamen podemos definir un producto interior sobre un espacio vectorial com-plexo adaptando convintemente os axiomas.Vexamos alguns exemplos de productos interiores.

1. En R o producto usual e un producto interior.

2. En Rn o producto usual definido

=ni=1

xiyi

Teorema 2.3.0.15 Sexa V un espcio vectorial real e un productointerior enV. Definimos a aplicacion:

: V Rmediantex=< x, x >1/2. Verifcanse:

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

21/54

2.3. PRODUCTOS INTERIORES OU ESCALARES 21

1. e unha norma sobreV

2. Desigualdade de Cauchy-Schwarz< x, y > |< x, y >| xy,x, yV ademais tense(a)|< x, y >|=xy y = x(b) < x, y >=xy y = x, 0

Demostracion:

1. Probaremos queverifica os axiomas de norma(a)x=< x, x >1/2= 0< x, x >= 0x= 0(b)x=< x, x >1/2=|| < x, x >1/2=||x(c) Suponamos que se verifica a desigualdade de Cauchy-Schwarz,

que probarenos mais adiante.

x + y2 =< x + y, x +y >=< x, x >+2< x, y >+ < y, y >

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

e as temosx +y x + y.2. Consideramosx, yV fixos e R arbitrario. Tense

0 xy2

=< xy,xy >=< x, x >+2 < x, y >+2

< y, y >=P()

Pe un polinomio en de grao dousSix=yP()= 0, R o discriminante e negativo esto e

= 4< x, y >2 4< x, x >< y, y >< y, y >

Polo tanto|< x, y >|2=< x,x >< y, y >

As|< x, y >|=xy

Ademais si x= y, >0

< x, y >=< y, y >= < y, y >=y2 =yy = xy

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

22/54


Corolario 2.3.0.16 A2 e unha norma enRn, procede do producto inte-

rior usual.En virtude da desigualdade de Cauchy-Schwrz temos

xy < x, y > xy

as six=y= 1 tense que < x, y >[1, 1]. Definimos o angulo queforman os vectores x e y mediante a fomula cos() =< x, y > e en xeral sixe y son vectores non nulos

cos() =< x, y >

xy

O seguinte resultado, a regra do paralelogramo, caracteriza as normasque proceden de un producto interior, para ver a sua demostracion podeseconsultar [4]

Teorema 2.3.0.17 Sexa(V, )un espacio vectorial normado.A procede dun producto interior si e so si verifica:

x + y2 + x y2 = 2(x2 + y2),x, yV

(Regra do paralelogramo).

O corolario anterior proba que a norma 2 procede do product interiorusual en Rn, facendo uso da regra do paralelogramo podemos comprobarque a norma 2 e a unica normap que procede de un producto interior.

Presentamos agora a identidade de Parseval, unha importante propiedadedos espacios vectoriales con prodcto interior da que se sigue o teorema dePitagoras.

Proposicion 2.3.0.18 Sexa (V, ) un espacio vectorial normado verifi-cando a regra do paralelogramo. Verifcase:

x1, . . . , xnV, < xi, xj >= 0i=j ni=1

xi2 =ni=1

xi2

A demostracion proponse como exercicio para o lector.

Corolario 2.3.0.19 Teorema de PitagorasPara un triangulo rectangulo de catetosa eb e hipotenusah verifcase:

h2 =a2 +b2.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

23/54

2.4. TOPOLOXIA USUAL ENRN 23

Demostracion:

Consideramos en (R2

, 2) vectores x e y tales quex2

2 =a

2

,y2

2 = b

2

e< x, y >= 0As temos, en virtude da identidade de Parseval

h2 =x +y22=x22+ y22= a2 + b2.

Rematamos a seccion enunciado as desigualdades de Holder e Minkowskifundamentais no Calculo.

Teorema 2.3.0.20 Sexanx, y Rn, p, q R, 1< p, q

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

24/54


3. Esfera de centrox0 e radio r

Sr(x0) ={yX|d(y, x0) =r}

Proponemos os seguintes exercicios para o lector:

1. Determinar as esferas e as bolas abertas e pechadas de centro x0 eradio ren (R, | |)

2. Determinar as esferas e as bolas abertas e pechadas de centro x0 eradio ren (Rn, p) con p= 1, 2, e n = 2, 3.

2.4.1 Posicion dun punto respecto de un conxuntoConsideramos, en (Rn, p) con p = 1, 2, , A Rn, x0 Rn, r R+.Definimos:

1. x0 e un punto interior de A si

r >0|B(x0, r) A

Denotamos

A=I nt(A) ={x Rn|xe punto interior deA}Notese que

AA.

2. x0 e un punto exterior de A si

r >0|B(x0, r)Ac

Denotamos E xt(A) ={x Rn|xe punto exterior deA}Notese que ext(A)Ac.

3. x0 e un punto fronteira deA si

(a) B(x0, r) A=,r R+(b) B(x0, r) Ac =,r R+

DenotamosF r(A) ={x Rn|x e punto fronteira deA}Verificase queRn =rA Ext(A) F r(A) union disxunta.

4. x0 e un punto adherente ou clausura de Asi

B(x0, r) A=,r R+

Denotamos A={x Rn|x e punto aderente ou clausura deA}Verificase que A A e F r(A) A.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

25/54


5. x0 e un punto aillado de A si

r >0|B(x0, r) A={x0}

Denotamos Ais(A) ={xRn|x e punto aillado deA} Verificase queAis(A)A.

6. x0 e un punto de acumulacion de A si

(B(x0, r) \ {x0}) A =,r R+

Denotamos A

=

{x

Rn

|xe punto de acumulacion deA

}.

Verificase queA

A e A= A

Ais(A).Probar que un punto x0 de un conxuntoA e interior, fronteira, exterior,

de acumulacion, ou clausura en (Rn, p) si e so si o e en (Rn, q), paracalquera que sexan 1 p, q . En particular tense que toda bola psempre conten algunha bolaq.

Proposicion 2.4.1.1 ParaARn verifcase

A=

AF r(A).

Demostracion:

x A r >0, B(x, r) A =Esto implica que se verifican unha das duas seguintes opcion excluintes

1.r >0, B(x, r) Ax A

2.r >0, B(x, r) AB(x, r) Ac =

de aqu e da hipotese siguese quexF r(A).

SixF r(A) r >0, B(x, r) A= x ASix AxAx A.

Union disxuntaSix A r0, B(x, r0)AB(x, r) Ac =,r > r0x F r(A).

Tamen se verifica que A = A F r(A), pero en este caso a union nonsempre e disxunta.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

26/54


2.4.2 Conxuntos abertos e pechados

En esta seccion traballaremos en (Rn, p) con p = 1, 2, ainda que asdefinicions e resultados poden extenderse a calquer espacio vectorial nor-mado e incluso a calquer epacio metrico. Destacar tamen que a restricionque plantexamos sobre as normas p son superfluas, os resultados seran osmesmos para calquer norma p ou para calquer outra norma, a razon e sim-plemente porque a norma 2 e a norma usual ou euclidea e en (Rn e as normas1 exeralmente simplifican os calculos.

Diremos que un conxuntoA en (Rn, p) e aberto si A =

A.

As bolas abertas son conxuntos abertos e, en particular, os intervalos

abertos son conxuntos abertos.

Vemos a continuacion algunhas propiedades que verifican os conxuntosabertos.

Proposicion 2.4.2.1 En(Rn, p) verifcanse1. Rn e son conxuntos abertos.2. SiA1 eA2 son conxuntos abertos. EntonA1 A2 e aberto.3. Si{Ai}iI e unha familia de conxuntos abertos. EntoniIAi e aberto.

Demostracion:

1. Obvio.

2. Si XA1 A2 enton(a) xA1 aberto logor1 > 0, B(x, r1)A1(b) xA2 aberto logor2 > 0, B(x, r2)A2

Tomandor = min{r1, r2}, de (a) e (b) segueseB(x, r) A1A2e polotantox e punto interior de A1 A2. Como x e arbitrario, probamos,que todo punto de A1 A2 e interior e as A1 A2 e aberto.

3. Si x iIAi i0I|x Ai0como Ii0 e abertor >0|B(x, r) Ai0 iIAi,as x e punto interior deiIAi e polo tantoiIAi e aberto.

Diremos que un conxuntoF en (Rn, p) e pechado si Fc e aberto.

Os conxuntos pechados verifican propiedades complementarias, en algunsentido, as dos conxuntos abertos.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

27/54


Proposicion 2.4.2.2 En(Rn, p) verifcanse

1. Rn e son conxuntos pechados.2. SiF1 eF2 son conxuntos pechados. EntonF1 F2 e pechado.3. Si{Fi}iI e unha familia de conxuntos pechados.

EntoniIFi e pechado.A demostracion deixase como exercicio para o lector.

Notese que en xeral a intersecion infinita de abertos non e aberto etampouco e pechada a union infinita de pechados como mostran os seguintesexemplos.

1.{An = (1/n, 1 + 1/n)}nN e unha familia de conxuntos abertos.Verifcase

nNAn = [0, 1]que e pechado e non aberto.

2.{Fn= [1/n, 1]}nN e unha familia de conxuntos pechados. Verifcase

nNFn = (0, 1]

que non e pechado.

Na seguine proposicion damos algunhas caracterizacions dun conxuntopechado.

Proposicion 2.4.2.3 En(Rn, p) un conxuntoF e pechado si e so si ver-ifica alguna das seguintes preposicions.

1. F r(F)F.2. F = F.

3. SiF F.

Notese que un conxunto pode non ser aberto nin echado, e que o feitode que un conxunto non sexa aberto non implica que sexa pechado e recip-rocamente non pechado non implica aberto.

Si X e un conxunto e unha coleccion de subconxuntos de X, X,verificando:

1. X e son elementos de .2. Si A1 e A2 estan en . EntonA1 A2 esta en .

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

28/54


3. Si{Ai}iI e unha familia de elementos de .

EntoniIAi e un elemento se .decimos que e unha topoloxa en Xe o par (X, ) e un espacio topoloxico.

En (Rn, p) ={A Rn|A =

A} e unha topoloxa en Rn e as o par(Rn, ) e un espacio topoloxico. Notese que non depende da norma pelexida e mais calquer norma en Rn induce a mesma topoloxa, , que de-nominaremos topoloxa usual ou euclidea en Rn.

No proximo captulo veremos como en Rn as normas, as distancias ouos conxuntos abertos permitennos caracterizar a proximidade e con eladefinir o concepto de lmite.

2.4.3 Conxuntos acotados. Teorema de Bolzano-Weirstrass

Diremos que un conxunto Een (Rn, ) e acotado si e so si verifica

supx,yE

x y0, EB[0, R]Notese que en (R, ||) a definicion de acotado que acabamos de dar co-

incide coa dada no captulo 1 como un conxunto acotado superiormente einferiormente. Si A

R acotado superiormente e inferiormente, ten por

tanto supremo s e infimo i. Consideramos m = (s+ i)/2 e R = sm,verifcaseAB[m, R] e asAe acotado coa definicion dada en esta seccion.O recproco probase de xeito analogo.

Chamamos paraleppedo aberto en Rn o producto denintervalos abertosen R

P= (a1, b1) (a2, b2) (an, bn)Analogamente denominamos paraleppedo pechado en Rn o producto de nintervalos pechados en R

P = [a1, b1]

[a2, b2]

[an, bn]

Os paraleleppedos abertos son conxuntos abertos e os pechados son conx-untos pechados.

Unha sucesion de paraleleppedos{Pn}nN dise encaixada si verifica

PnPn+1,n N

Presentamos a continuacion o teorema do encaixe de Cantor.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

29/54


Teorema 2.4.3.2 Si{Pn}nN e unha sucesion de paralaleppedos pecha-

dos, acotados e encaixados, entonnNPn=.A demostracion e semellante a do teorema dos intervalos encaixados.

Os puntos de acumulacion de un conxunto xogan un papel importanteno estudio topoloxico de un espacio. E inmediato ver que un conxuntofinito non ten puntos de acumulacion, as para que un conxunto tena pun-tos de acumulacion ten que ser necesariamente infinito, pero esta condicionnecesaria non e suficiente, hai conxuntos infinitos que non tenen puntos deacumulacion, por exemplo Z e infinito pero Z

=, a clave de este feito eque Z non e acotado.

O teorema de Bolzano-Weirstrass, que enunciamos a continuacion, dacondicions suficientes para que un subconxunto de Rn tena algun punto deacumulacion.

Teorema 2.4.3.3 Todo subconxunto infinito e acotado en Rn ten polomenos un punto de acumulacion.

A demostracion fundamentase no teorema dos paraleleppedos encaixa-dos.

As condions dadas no teorema de Bolzano-Weirstrass son suficientes peronon necesarias as Q e non acotado en R e Q

= R.

O teorema de Bolzano-Weirstrass non se verifica en Q si consideramoso conxunro C ={1, 1.4, 1.41, 1.414, . . .}, acotado en Q e en R, os puntosde acumulacion de C en R e C

={2} pero o conxunto dos puntos deacumulacion deC en Q e valeiro.

2.4.4 Conxuntos compactos, conexos e convexos

O marco de traballo de este curso sera, como xa dixemos anteriormente,o espacio vectorial normado (Rn, ), aqu diremos que un conxunto K ecompacto si e pechado e acotado, facendo un uso implcito do teorema de

Heine-Borel.

Si E e un subconxunto de Rn, unha separacion de E e un par de con-xuntosA, B verificando

1. Ae B son abertos.

2. EA B3. A B=

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

30/54


4. E A= =E B

NotaremosA|B separacion de E.

Diremos que un subconxuntoEde Rn e conexo si non existe A|B sepa-racion de E.

E facil ver que N, Q, I son conxuntos non conexos e quee os conxuntosunitarios son conexos. Veremos tamen, mais adiante, que Rn e conexo.

O seguinte resultado caracteriza os conexos en R.

Proposicion 2.4.4.1 SiC e un subconxunto deR non valeiro verifcase:

C e conexo si e so siC e un intervalo.

En Rn denominamos segmentode extremosx e y a

L[x, y] ={z Rn|z= tx+ (1 t)y, t [0, 1]}

Notese que os segmentos, o igual que os intervalos, son conxuntos conexos.

Diremos que un conxuntoC e convexo six, yC, L[x, y] C.

En un espacio vectorial normado as bolas, abertas ou pechadas, sonconxuntos convexos, as como todo o espacio.

Proposicion 2.4.4.2 Todo conxunto convexo e conexo.

Como Rn e convexo, e polo tanto conexo. En Rn os unicos conxuntosabertos e pechados son o valeiro e o total.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

31/54

Tema 3

Sucesions en R e en Rn

Definimos sucesion de numeros reais como unha aplicacion

x: NR

notaremos x(n) = xn e denominamolo temino n-eximo da sucesion.Usualmente identificamos unha sucesion co conxunto imaxen da aplicaciondotado do orden inducido polo de Nesto e o primeiro elemento e a imaxe do1, o segundo a imaxe do 2 e as sucesivamente{x1, x2, . . . , xn, . . .}={xnR|n N}ou simplemente, por economa,{xn}.

O concepto de sucesion de numeros reais, as definido, permitenos ex-

tendelo a sucesions en Rp, de xeito natural, como unha aplicacion

x: N Rp

e notaremos igualmente x(n) = xn = (x1n, x

2n, . . . , x

pn), donde o su-

perindice indica a coordenada correspodente do vector xn e o subindiceindica o orden do termino correspondente da sucesion.

En xeral podemos definir o concepto de sucesion en calquer conxunto Cnon valeiro como unha aplicacion

x: N

C

e notaremosx(n) =xn o temino n-eximo da sucesion. Igualmente iden-ticamosx con{xn}.

Vexamos algun exemplo de sucesion.

1. En R{2, 4, 6, . . .}={2n|n N}2. En R2 {(1, 1), (2, 4), (3, 9), . . .}={(n, n2)|n N}

31

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

32/54

32 TEMA 3. SUCESIONS ENR E ENRN

3. En R3 {(1, 2, 2), (2, 3, 4), (3, 4, 6), . . .}={(n, n + 1, 2n)|n N}

4. Sucesions no conxunto C={a, b}: x={a , a , a , . . .},y ={a , b , a , b , . . .}.

Diremos que duas sucesions x ={xn} e y ={yn} son iguais si xn =yn,nN.

3.1 Operacions con sucesions

Sexan{xn}e{yn}duas sucesions en Rp definimos

1. suma de sucesions{xn} + {yn}={xn+ yn}

2. Producto{xn} {yn}={< xn, yn >}={xn yn}que e unha sucesionen R.

Sexan{xn} unha sucesion en Rp e{tn} unha sucesion en R definimos asucesion producto

{tn} {xn}={tn xn}que e unha sucesion en Rp.

3.2 Sucesions converxentes

Si{xn} e unha sucssion en Rp e x0 e un punto de Rp. Decimos que{xn}converxe a x0 ou que x0 e o lmite de{xn}, e notamos{xn} x0 oulimn xn = x0 si

>0,N N|n > N,xn x0< ou equivalentemnte, en t erminos da metrica inducida pola norma

>0,N N|n > N, d(xn, x0)< ou en terminos de bolas

>0,N N|n > N, xnB(x0, ).en terminos de abertos

Vx0,NV N|n > NV, xnVx0.dondeVx0 denota un aberto que conten a x0.

Esto indica que todolos terminos da sucesion estan na bola de centrox0e radio (abertoV) a partir de un certo indice N (NV) en adiante.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

33/54

3.2. SUCESIONS CONVERXENTES 33

Notese que anda que podemos definir unha sucesion en calquer conx-

unto non valeiro para falar de converxencia necesitamos algunha estructuraen ese conxunto (norma, metrica, topoloxa,...) que nos permita caracterizara proximidade dos terminos da sucesion o lmite.

No caso particular p= 1, en R, tomando como norma o valor absolutoescribimos a converxencia como sigue

>0,N N|n > N,|xn x0|<

Proposicion 3.2.0.3 Si{xn} e unha sucesion converxente enRp o lmitee unico.

Demostracion: Suponamos que{xn} ten dous lmites distintos x0 e x

0.Sexa r=x0 x0> 0, verifcanse:

1. Por serx0o lmite de {xn} para= r/2, N|n > N, xn B(x0, r/2)

2. Por serx

0o lmite de {xn} para = r/2, N

|n > N, xn B(x0, r/2)

Sexa M= max{N, N}. De (1) e (2) tense que

n > M, xn B(x0, r/2) B(x0, r/2)

Pero B(x0, r/2) B(x0, r/2) = o cal e imposible.Logo de existir o lmite debe ser unico.

Unha sucesion{xn} en Rp dise acotada sii e cotado o conxunto{xnRp|nN} siiM R+|xnB[0, M], n N

Proposicion 3.2.0.4 Toda sucesion converxente enRp e acotada.

Demostracion: Suponamos que{xn} x0, verifcase

= 1> 0,N1 N|n > N1,xn x0< 1

Temos as que

xn

< 1 +

x0

,

n > N1

Sexa M= max{x1, x2, . . . , xN1, 1 + x0}, Verifcase

xn B[0, M], n Ne polo tanto{xn} e acotada.

O recproco da proposicion anterior non se verifica, consideramos a sucesion{xn= (1)n} que e claramente acotada e non converxente.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

34/54


Veremos a continuacion que os problemas de converxencia de sucesions

enRp

podense reducir a problemas de converxencia enR

.

Si{xn} e unha sucesion en Rp, escribindoa en coordenadas

{xn= (x1n, x2n, . . . , xpn)}

determina p sucesions de numeros reais{x1n}, {x2n}, . . . , {xpn} que denomi-namos sucesions coordenadas. Recprocamente dadasp sucesions de numerosreais consideramos unha sucesion en Rp que tena por sucesions coordenadasas sucesions de partida. Verificase a seguinte relacion entre o lmite de unhasucesion e os lmites das suas sucesions coordenadas.

Teorema 3.2.0.5 Sexa{xn} unha sucesion enRp

, e{xi

n}, i = 1, 2, . . . , pas suas sucesions coordenadas. Verifcase

{xn} x0 {xin} xi0,i= 1, 2, . . . , p

Demostracion: Probaremos a implicacion en (Rp, ).Por hipotese{xn} x0 esto e

>0,N N|n > N,xn x0 <

xn x0= max{|x1n x10|, |x2n x20|, . . . , |xpn xp0|}<

As temos

>0,N N|n > N,|xin xi0|< ,i= 1, 2, . . . , p

Esto e{xin} xi0,i= 1, 2, . . . , p

Deixase como exercicio para o lector.Notese que o concepto de converxencia e topoloxico, podese escribir enterminos de abertos, e duas normas en Rp inducen a mesma topoloxa, de-finen os mesmos abertos, polo tanto e lcita a eleccion da norma infinito na

demostracion anterior.

3.3 Propiedades das sucesions converxentes en R

Proposicion 3.3.0.6 Regra do sandwichSi{xn} x0,{yn} x0 e{zn} e unha sucesion verificando:xnznyn,n N. Enton{zn} x0.Demostracion: Por hipotese verifcanse:

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

35/54

3.3. PROPIEDADES DAS SUCESIONS CONVERXENTES ENR 35

1.

> 0,N1

N|n > N1

, xn(x0 , x0+ )2.

>0,N2 N|n > N2, yn(x0 , x0+)

3.

xnznyn,n N

De (1), (2) e (3) tomando N= max{N1 , N2 } tense que

>0,NN

|n > N, zn(x0 , x0+)e polo tanto{zn} x0.

Proposicion 3.3.0.7 Si{xn} x0, a < x0 ex0< b verifcanse:

1.Na N|n > Na, xn > a

2.Nb N|n > Nb, xn< b

Demostracion: Demostraremos (1), a proba de (2) e analoga.Como

{xn

} x0 e a < x0

Na N|n > Na, xn(a, x0+ 1)

e polo tanro xn> a,n > Na.

Proposicion 3.3.0.8 Si{xn} x0,{yn} y0 exnyn,nN. Entonx0y0.

Demostracion: Suponamos que a proposicion non se verifica, esto e x0 >y0. Tomamos = (x0 y0)/2> 0 e temos, por hipotese:

1.N1 N|n > N

1 , xn(x0 , x0+ )

2.N2 N|n > N2 , yn(y0 , y0+ )

De (1) e (2) tomando N= max{N1 , N2 }temos que

n > N, yn < xn

que esta en contradicion coa terceira hipotese da proposicion.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

36/54


3.4 Operacions con sucesions converxentes en Rp

Proposicion 3.4.0.9 Si{xn} x0,{yn} y0 enRp. Enton{xn +yn} x0+y0.

Demostracion: Por hipotese temos:

1. >0,N1 N|n > N1,xn x0< /2

2. >0,N2 N|n > N2 ,yn y0< /2

Consideramos N= max{N1 , N2 }. Sin > N verifcase:

xn+yn(x0+y0)=xnx0+yny0 xnx0+yny0< /2+/2 =e de aqu siguese a tese.

Enunciamos, sin demostrar, os seguintes resultados,que o lector podetratar de probar por si mesmo.

Proposicion 3.4.0.10 Si{xn} x0 enR e{yn} y0 enRp.Enton{xn yn} x0 y0 enRp.

Corolario 3.4.0.11 Verifcanse:

1. Si{xn} x0 e{yn} y0 enR. Enton{xn yn} x0 y0 enR.2. Si{yn} y0 enRp e R. Enton{yn} y0.3. Si{xn} x0 e{yn} y0 enRp. Enton{xn yn} x0 y0 enRp.

Proposicion 3.4.0.12 Si{xn} x0 enR e xn= 0, n N e x0= 0.Enton{ 1xn} 1x0 .

Proposicion 3.4.0.13 Si{xn} x0 enRp. Enton{xn} x0.

3.5 Sucesions monotonas

Diremos que unha sucesion de numeros reais {xn} e monotona crecente (de-crecente) sixn xn+1(xnxn+1) e diremos que e estrictamente monotonacrecente (decrecente) si as desigualdades son estrictas.

Estas sucesions verifican o seguinte resultado, o que nos referimos comoteorema das sucesions monotonas, que establece, para este tipo de sucesions,a equivalencia entre acotacion e converxencia.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

37/54

3.6. SUBSUCESIONS 37

Teorema 3.5.0.14 Verificanse:

1. Si{xn} e mon otona crecente (ou estrictamente) verifica{xn} converxe si e so si{xn} esta acotada superiormente.

2. Si{xn} e mon otona decrecente (ou estrictamente) verifica{xn} converxe si e so si{xn} esta acotada inferiormente.

Demostracion: Faremos a demostracion de (1), a de (2) e analoga. Xa esta probado para calquer sucesion. Como{xn} esta acotada superiormente existex0 = sup{xn}.Probaremos que x0 e o limite de{xn}.Por definicion de supremo

>0, x0

non e cota superior de

{xn

}e polo

tanto, por ser{xn} monotona crecente temos queN N|n > N, xn > x0

ademais comox0 e o supremo de{xn} e cota superior e verifica xnx0 0,N N|n > N, xn (x0 , x0+ )

esto proba que{xn} x0.

3.6 Subsucesions

Si{xn} e unha sucesion en Rp, esto e, unha aplicacion x : N Rp, esexa k : N N e unha aplicacion estrictamente crecente (verifica m 0,N N|p, q > N,xp xq< A sucesion{xn} e de Cauchy si a partir de un ndice en adiante dous

terminos arbitrarios estan tan proximos entre si como queiramos.

E inmediato comprobar a seguinte proposicion.

Proposicion 3.7.0.17 Toda sucesion converxente e de Cauchy.

O reciproco da proposicion anterior en xeral non e certo en calquer espa-cio vectorial normado ou metrico, como pon de manifesto o seguinte exemplo.

Consideremos a sucesion de numeros racionais {1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, . . .}que como sucesion de numeros reais converxe a

2 e pola proposicion an-

terior e de Cauchy, esta sucesion de Cauchy en R tamen e de Cauchy en Q(as distancias entre os seus terminos considerados como numeros reais e amesma que si os consideramos como numeros racionais), pero como sucesionen Q non converxe.

Esta diferencia entre sucesions de Cauchy e converxentes en Rm non seda como proba o seguinte resultado conocido como criterio de converxenciade Cauchy.

Teorema 3.7.0.18 EnRm unha sucesion converxe si e so si e de Cauchy.

A demostracion pode verse en [4].

Os espacios nos que as sucesions de Cauchy coinciden coas sucesionsconverxentes denomnanse completos (Rm). Si en un espacio temos unhasucesion de Cauchy que non converxe esta detecta realmente un oco enese espacio, dende ese punto de vista os espacios completos son os que nontenen ocos.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

39/54

3.8. LIMITES INFINITOS 39

3.8 Lmites infinitos

Diremos que unha sucesion de numeros reais e diverxente e notamos limn xn = (ou) si

M R,NM N|n > NM, xn> M(resp xn < M)Diremos que unha sucesion oscila si non converxe nin diverxe.

Proposicion 3.8.0.19 Si{xn}e{yn}son duas sucesions de numeros reais.Verifcanse:

1.{xn} x0, x0 R e{yn} () {xn+yn} ()2.{xn} x0, x0> 0 e{yn} () {xnyn} ()3.{xn} () e{yn} () {xn+yn} ()A demostracion e un exercicio facil para o lector.

Outras operacions tenen como resultado indeterminacions do tipo: 0,0/0,/ou que analizaremos con mais detalle nas clases practicas.

3.9 Lmites de oscilacion

Si{xn} e unha sucesion de numeros reais decimos que x0 e lmite de os-cilacion de{xn} si existe unha subsucesion de{xn}con lmitex0. Denota-mos por LO{xn} o conxunto dos lmites de oscilacion de{xn}.

Un lmite de oscilacion pode ser finito ou infinito.

Verfcase que LO{xn} =.

E facil ver que LO{xn}={x0} {xn} x0, donde x0 pode ser finitoou infinito.

Si{xn} e unha sucesion en R definimos:

1. Lmite superior de{xn} e notamos lim supn xn = max LO{xn}.2. Lmite inferior de{xn} e notamos lim infn xn = min LO{xn}.

Notese que ainda que unha sucesion{xn} pode non ter lmite sempreten lmite superior e lmite inferior.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

40/54


Podemos clasificar as sucesions en funcion do conxunto dos lmites de

oscilacion segundo especificamos a continuacion:1. Converxente siLO{xn}={x0}, x0 R2. Diverxe siLO{xn}={x0}, x0=ou x0=3. Oscila si LO{xn} e non unitario (ten mais de un elemento).

3.10 Calculo practico de lmites

Duas sucesions de numeros reais{xn} e{yn} dinse equivalentes e notamos{xn} {yn}si

limn

xn

yn= 1

Enunciamos a continuacion o principio de sustitucion.

Proposicion 3.10.0.20 O lmite de unha sucesion, converxente ou diver-xente, non varia si na expresion do seu termino xeral sustituimos algun dosseus factores ou divisores por outro equivalente.

Demostracion: Suponamos que{xn} {yn}e que limn znyn = z0,temos

z0 = limn

znyn = limn

znynxnyn

= limn

znxn.

A proposicion anterior non se verifica para sumandos.

Damos a continuacion algunhas equivalencias importantes:

1. Si{xn} 0 enton{xn} {log(1 +xn)}.2. Si{xn} 1 enton{xn 1} {log(xn)}.3. Si{xn} 0 enton:

(a){xn} {sin(xn)}.(b){xn} {tan(xn)}.(c){1 cos(xn)} {x2n/2}.

4.{

aknk + ak

1n

k1 +

+a1n + a0} {

aknk

}.

5.{log(aknk +ak1nk1 + + a1n +a0)} {log(nk)},ak > 0.6. Si{an} a, a = 0 enton{an} {a}.7. Formula de Stirling{n!} {nn

2n

en }.Como exemplo probaremos: limn(n n

a n) = log(a), a >0

limn(n n

a n) = limn n( n

a 1)limn n log(a1/n) = log(a).

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

41/54

3.10. CALCULO PRACTICO DE LIMITES 41

3.10.1 Criterio de Stolz. Aplicacions

Enunciamos a continuacion o criterio de Stolz, de gran utilidade para ocalculo de l mites de formas indeterminadas do tipo / ou 0/0 e doque se siguen outras regras tamen de gran utilidade como son os criteriosda media aritmetica, xeometrica e da raiz.

Proposicion 3.10.1.1 Verificanse:

1. Si{xn} e{yn} son duas sucesions de numeros reais tal que{yn}e estrictamente monotona crecente (decrecente) e limn yn =(limn yn = ) verificando

limn

xn xn1yn yn1

=

Entonlimn

xnyn

=.

2. Si{xn} e{yn} son duas sucesions de numeros reais tal que{yn}e estrictamente monotona crecente (decrecente) e limn yn = 0 =limn xn verificando

limn

xn xn1yn yn1 =

Enton limn

xnyn

=.

A demostracion pode verse en [3]

Corolario 3.10.1.2 Criterio da media aritmeticaSi{xn} x0limn x1+x2++xnn =x0, x0 finito ou infinito.Demostracion: Aplicamos o criterio de Stolz as sucesions an = x1+ x2+ +xn e bn= n e obtemos

limn

x1+ x2+ +xnn

= limn

xn

1

=x0.

Corolario 3.10.1.3 Criterio da media xeometricaSi{xn} x0, xn > 0,nNlimn nx1 xn = x0, x0 finito ouinfinito.

Demostracion:

Da hipotese sguese que limn log(xn) = log(x0) (si x0 R)).Aplicamos logaritmos o lmite de partida, usando que o logaritmo conmutaco lmite, e temos

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

42/54


limn log( n

x1 xn) = limnlog(x1) +

+ log(xn)

n limn

log(xn) = log(x0)

e as obtemos a tese.

Como exemplo calculamos o lmite limnn

n!

limn

n

n! = limn

n

1 2 n = limn

n=

Corolario 3.10.1.4 Criterio da raizSi{xn} x0, xn >0,nN verificando limn xnxn1 =x0, x0 finito ouinfinito. Enton tense

limn

n

xn = x0

Demostracion: Aplicamos o criterio da media xeometrica a sucesion{an}definida como sigue a1= x1 e an =xn/xn1 si n >1.Por hipotese existe limn xnxn1 = limn an =x0 e polo tanto

x0 = limn

n

a1 an = limn

n

x1 x2

x1 xn

xn1=

limn

n

xn

Aplicar o criterio anterior para calcular os lmites: limn n

n e limn n

a, a >0.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

43/54

Tema 4

Series de numeros reales

Ata agora todas as sumas que consideramos constaban de un numero finitode sumandos. En este captulo estudiaremos sumas con un numero infinito enumerable de sumandos que denominamos series. Veremos que propiedadesdas sumas finitas siguen conservando as series.

Sexa{xn} e unha sucesion de numeros reais, a partir de ela, definimosunha nova sucesion{sn} como sigue

sn = x1+ x2+ + xnque denominaremos sucesion de sumas parciais, asn chamamoslle suma

parcial n-exima.

Chamamos serie de numeros o par formado polas sucesions ({xn}, {sn})e que usualmente notaremos

n=1

xn

Diremos que a serie ({xn}, {sn})

n=1 xn converxe, diverxe ou oscilasegundo sexa converxente, diverxente ou oscilante a sucesion de sumas parci-ais {sn}, analizar a que colectivo de estos pertence unha serie denominamoloestudiar o seu caracter. No caso de ser converxente diremos que o seu lmite

(s0) e a suma da serie e notaremos

n=1

xn = s0

As os problemas de series escribmolos en terminos de sucesions, polotanto, para o estudio de series seranos de gran importancia os conecementosadquiridos no captulo anterior.

43

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

44/54

44 TEMA 4. SERIES DE NUMEROS REALES

Vexamos alguns exemplos de series

1.{xn = 0}enton{sn= 0}e n=10 = 0.2.{xn = 1}enton{sn= n} e

n=11 =.

3.{xn = 1/2n}enton{sn= 1/21(2n+1

11/2 } e

n=112n = 1.

4.{xn = (1)n}entonsn =1 sin = 2p + 1 esn = 0 si n = 2pe a serien=1 xn e oscilante.

Enunciamos a continuacion unha primeira propiedade de series moi in-tuitiva ainda que a sua demostracion e un tanto laboriosa.

Proposicion 4.0.1.5 Si en unha serie introducimos ou suprimimos un numerofinito de sumandos o seu caracter non varia.

4.1 Operacions con series

Sexan

n=1 xn e

n=1 yn duas series de numeros reais e sexa R defin-imos

1. Suma de series

n=1 xn+

n=1 yn =

n=1(xn+yn)

2. Producto de unha serie por un escalar

n=1 xn=

n=1 xn

Vemos a continuacion como se comportan respecto de estas operacions.

Proposicion 4.1.0.6 Sexan

n=1 xn e

n=1 yn duas series de numerosreais e sexa, R. Verifcanse:

1. Si

n=1 xn e

n=1 yn converxen, con sumass0 et0 respectivamente.Enton

n=1 xn+

n=1 yn converxe e ten por sumas0+ t0.

2. Si

n=1 xn diverxe (oscila) e = 0. Enton

n=1 xn diverxe (os-cila).

3. Si

n=1 xn converxe e

n=1 yn diverxe (oscila). Enton

n=1 xn+

n=1 yn diverxe (oscila).

Demostracion: Daremos unicamente a demostracion de (1), as demaisson analogas.

Consideramos

n=1 xn ({xn}, {sn}),

n=1 yn ({xn}, {tn}), deno-tamos

n=1

xn+n=1

yn =n=1

(xn+yn) =n=1

zn({zn}, {wn})

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

45/54

4.1. OPERACIONS CON SERIES 45

donde

zn =z1+ +zn= (x1+y1)+ +(xn+yn) =x1+ +xn+y1+ +yn = sn+tnAs como, por hipotese,{sn} s0e {tn} t0tense que {wn} x0+y0,

esto e

n=1

(xn+ yn) =s0+ t0.

Presentamos agora o criteriode converxencia de Cauchy, unha caracte-rizacion da converxencia de unha serie, que se sigue do criterio homonimopara sucesions.

Proposicion 4.1.0.7 A serie

n=1xn converxe si e so si verifica

>0,N N|n > N,k N,|xn+1+ +xn+k|< Demostracion:

n=1 xn converxa si e so si{sn}) converxe si e so si{sn}) e de Cauchysi e so si verifica

>0,N N|n, m > N,|sm sn|< Podemos suponer que m > ne ask N|m= n +k.

Tense que

|sn+k sn|=|xn+1+ +xn+k|e de aqu obtemos a tese.

O criterio de converxencia de Cauchy afirma que unha serie converxesi e so si a suma das suas colas en valor absoluto e tan pequena comoqueiramos con tal de tomalas a partir de un ndicen, suficientemente grande,en adiante.

Do criterio de converxencia de Cauchy extraemos unha condicion nece-saria de converxencia que enunciamos a continuacion.

Corolario 4.1.0.8 Si a serien=1 xn converxe enton

{xn

} 0.

Demostracion: Tomese k = 1 na proposicion anterior.

As a serie

n=12n+17n3 non converxe xa que{xn} 2/7= 0.

Esta condicion necesaria non e suficiente como mostra o seguinte exem-plo

n=11n , veremos mais adiante que esta serie diverxe e a sucesion do seu

termino xeral converxe a cero.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

46/54


4.2 Series de terminos non negativos

Unha serie

n=1 xndise de terminos non negativos (STNN) sixn0,nN e dise de terminos positivos (STP) si xn> 0,n N.

Si

n=1 xn e STNN enton a sua sucesion de sumas parciais{sn} emonotona crecente. Esta observacion e de gran axuda para o estudio dasSTP e mais xeneralmente para as STNN. Presentamos a continuacion unhapropiedade das STNN que se sigue de forma inmediata da observacion an-terior.

Proposicion 4.2.0.9 Si

n=1 xn e unha STNN verifica

n=1 xn converxe (diverxe) si e so si{sn}esta acotada superiormente (non

e acotada superiormente).Ademais, no caso e ser converxente tense

n=1

xn = sup{sn}

Da proposicion anterior siguese que as STNN converxen ou diverxen,segundo a suas sucesions de sumas parciais esten acotadas superiormente ounon e polo tanto nunca oscilan.

Presentamos a continuacion criterios de comparacion para o estudio docaracter de STP ou mais xeneralmente para STNN.

Proposicion 4.2.0.10 Criterio de comparacionSexan

n=1 xne

n=1 yn duas STNN verificandoxnyn, n N. Te nense:

1. Si

n=1 yn converxe enton

n=1 xn converxe.

2. Si

n=1 xn diverxe enton

n=1 yn diverxe.

Demostracion:

Si denotamos por{sn} e{tn} as suas respectivas sucesions de sumasparciais. Verifcase

sn = x1+ + xny1+ + yn =tnde aqu temos

n=1 yn converxe si e so si{tn} esta acotada superior-

mente e polo tanto{sn} tamen esta acotada superiormente e equivalente-mente

n=1 xn converxe.

A demostracion de (2) e analoga.

Corolario 4.2.0.11 1. Si

n=1 xn e

n=1 yn son duas STNN e R+verificandoxnyn,nN. Tenense:

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

47/54

4.2. SERIES DE TERMINOS NON NEGATIVOS 47

(a) Si

n=1 yn converxe enton

n=1 xn converxe.

(b) Sin=1 xn diverxe entonn=1 yn diverxe.

2. Si

n=1 xn e unha STNN e

n=1yn e unha STP ek1, k2 R+verificandok1xn/ynk2,n N. Tense:

n=1

xn converxe (diverxe) n=1

yn converxe (diverxe)

A demostracion e inmediata e deixase como exercicio para o lector.

Proposicion 4.2.0.12 Criterio de comparacion por paso o lmite

Sexann=1 xn unha STNN en=1 yn unha STP verifcanse:

1. Si limn xnyn =c, c = 0, c R entoncesn=1

xn converxe (diverxe) n=1

yn converxe (diverxe)

2. Si limn xnyn = 0 entonces:

(a) Si

n=1 yn converxe

n=1xn tamen converxe.

(b) Si

n=1 xn diverxe

n=1 yn tamen diverxe.

3. Si limn

xn

yn=

entonces:

(a) Si

n=1 yn diverxe

n=1 xn tamen diverxe.

(b) Si

n=1 xn converxe

n=1 yn tamen converxe.

Demostracion:

Prebaremos (1), as demais probanse de xeito analogo.

Como limn xnyn =c >0 verificase

N0 N|n > N0, c2

1 entonn=1x

n

converxe.2. Si 1 enton

n=1 xn converxe.

2. Si limn n(1 xn+1xn )< 1 enton

n=1 xn diverxe.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

50/54



O lector pode aplicar os criterios anteriores as series armonicas e xeometricasde TNN e analizar as conclusions.

Os criterios de converxencia para STNN son aplicables para series determinos non negativos a partir de un certo ndice N0 estudiando o caracterda serie

n=N0

xn que e STNN e xa conocemos que as series

n=N0xn e

n=1 xn tenen o mesmo caracter.

Os criterios de converxencia para STNN son aplicables tamen a series determinos negativos estudiando o caracter da serie

n=1 xn que e STNN e

xa conocemos que as series n=1 xn e n=1xn tenen o mesmo caracter.

Finalmente os criterios de converxencia para STNN son aplicables, enxeral, a series de terminos con signo constante a partir de un certo ndiceN0 estudiando o caracter da serie

n=N0

xn que e STNN ou unha STNP ereducimos o problema a un dos apartados anteriores.

A pesar de esta xeneralizacion non todolas series son de este tipo, haimoitas series que tenen terminos positivos e negativos a partir de calquerindiceN0 fixado. Na seguinte seccion estudiamos un caso moi particular deeste ultimo tipo de series.

4.4 Series alternadas

Chamamos serie alternada a unha serie do tipo

n=N0

(1)nxn, xn >0, n N

O criterio de Leibnitz, que enunciamos a continuacion, da unha condicionsuficiente de converxencia para as series alternadas e acota o erro que come-temos o aproximar a suma da serie pola suma parcial n-exima.

Proposicion 4.4.0.7 Para a serie alternada

n=1(1)nxn verifcase:1. Si{xn} e mon otona decrecente e converxe a cero enton

n=1(1)nxn

converxe.

2. Si a serie anterior e converxente e denotamos pors a sua suma tenseque

|sn s|< xn+1.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

51/54

4.5. CONVERXENCIA ABSOLUTA 51


A serie armonica

n=11n e diverxente, como xa dixemos anteriormente,

pero a serie alternada

n=1(1)n1n converxe, aplicando o criterio de Leib-nitz. Si denotamos por sa sua suma verifcase

|s 1000n=1

(1)n1n

|< 11001

As, para este tipo de series, ainda que desconozcamos o valor exacto dasuma podemos calcular unha aproximacion sua tan precisa como queiramos.

4.5 Converxencia absoluta

Non todalas series pertencen a algun dos tipos estudidos anteriormente.Para estudiar o caracter de series que non estan en ningun tipo anteriorintroducimos un novo concepto.

Decimos que unha serie

n=1 xn e absolutamente converxente si con-verxe a serie

n=1 |xn|, que denominamos serie de valores absolutos.

Notese que a serie

n=1 |xn| e unha STNN e polo tanto podemos apli-carlle criterios de converxencia para STNN.

O seguinte resultado da unha relaccion entre a converxencia e a converx-encia absoluta.

Proposicion 4.5.0.8 Toda serie absolutamente converxente e converxentee ademais verifica

|n=1

xn| n=1

|xn|

Demostracion:

Para demostrar esta propiedade faremos uso do criteriode converxencia

de Cauchy.

Por hipotese temos que a serie de valores absolutos converxe, e polo tantoverifica o criterio de converxencia de Cauchy

>0,N N|p, q > N,||xp+1| + + |xq||< esto implica

>0,N N|p, q > N,|xp+1+ + xq|

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

52/54


e polo tanto a serie

n=1 xn verifica o criterio de converxencia de Cauchy e

as converxe.

Ademais tense que

|Mn=1

xn| Mn=1

|xn|,M N

e tomando lmites obtemos o segundo resultado que enunciamos.

Notese que o recproco da proposicion anterior non se verifica como probao seguinte exemplo:A serie

n=1(

1)n/n converxe, en virtude do criterio de Leibnitz, pero a

sua serie de valores absolutosn=11/ndiverxe.

Notese tamen que si unha serie

n=1 xn verifica que a sucesion{xn} ede signo constante a partir de un certo ndiceN0 tense que converxe si e sosi e absolutamente converxente.

Decimos que unha serie e condicionalmente converxente si converxe peronon e absolutamente converxente.

Gustarianos introducir os conceptos de reordenacion e asociacion determinos en series para rematar o capitulo co teorema de Riemann, pero

resultanos imposible, por razons de tempo.

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

53/54

Bibliografa

[1] Apostol, T. M. Analisis matematico. Reverte (2a ediccion), 1989.

[2] Burden, R. L.,Faires R. L., Analisis numerico. Tomson (6a ediccion),

1998.

[3] Burgos, J. Calculo infinitesimal de una variable. McGRAW-HILL (2a

ediccion), 2007.

[4] Burgos, J.Calculo infinitesimal de varias variable. McGRAW-HILL (2a

ediccion), 2008.

[5] Galindo, F., Sanz, J., Tristan, L.Calculo infinitesimal en una variablereal. Thomson, 2008.

[6] Galindo, F., Sanz, J., Tristan, L. Calculo infinitesimal en varias vari-able. Thomson, 2005.

53

7/25/2019 Calculo I (TEMAS 1, 2, 3, 4)

54/54

calculo i (temas 1, 2, 3, 4)

Documents