Cálculo Integral.

Dr. MsI. Alonso Álvarez Olivo

Historia del CalculoLos principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVIII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez que se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

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Integral DefinidaLa integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función y el eje x. Tiene signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos

Ejemplo

Si f es la función constante f(x)=3, entonces la integral de f entre 0 y 10 es el área del rectángulo limitado por las rectas x=0, x=10, y=0 e y=3. El área corresponde al producto del ancho del rectángulo por su altura, por lo que aquí el valor de la integral es igual a 30.

Integral

b

a

dxxfI )(

Area entre la curva y el eje, desde a hasta b

Integral definida

Integración de Riemann

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración.

Aproximaciones a la integral de f(x) entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo)

1i

11i

,/)(

)(lim

ii

n

iii

n

xxxxfSup

xxS

Sumas Superior e Inferior (Riemann)

1

11

,/)(

)(lim

iii

n

iiii

n

xxxxfInf

xxS

Integrable según Riemann

)(lim)(lim1

1i1

1i

n

iii

n

n

iii

nxxxx

SS

SSdxxfb

a

)(

Integración de Riemann

n

iiii

n

b

a

xxxfdxxf0

1 ))((lim)(

Ejemplos

a b

La función f(x)=5, es derivable según Riemann en [a,b]

abxx

xxxxS

n

iii

n

n

iii

n

n

iii

n

5)(lim5

)(5lim)(lim

11

11

11i

abxx

xxxxS

n

iii

n

n

iii

n

n

iii

n

5)(lim5

)(5lim)(lim

11

11

11i

abdxSSb

a

55

EjemplosLa función f(x)=x, es derivable según Riemann en [0,b]

b

Función de Dirichlet

Ixsi

Qxsixf

,,...,0

,,...,1)(

RRf :

La función f no es integrable según Riemann, se puede integrar con Lebesgue

Teorema Fundamental del CálculoEl teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales.

Entonces F ′(x) = f(x).

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Propiedades del Integral

Integrales Impropias

Ejemplo

1

)/1( dxx

Calcular el siguiente integral en función del parámetro

Solución :

1,,1

11,,

si

si

Integral Indefinida

Si F(x) es una primitiva (antiderivada) de f(x) (F’(x)=f(x)), se define

kxFdxxf )()(

(El Integral Indefinido de una función es una familia de funciones)

Métodos de Integración (Sustitución)

dttgtgfdxxf )(')]([)(

dxx

x

dxxxsen

3

4

)3)ln(2(

)cos().(

Ejemplos:

Métodos de Integración (Por partes)

dxxgxfxgxfdxxgxf )().(')().()(').(

dxx

dxxsen

)ln(

)(2

Ejemplos:

Caso Curioso ¿?

)(,10

)).(/1()).(/1()./1( 2

dxxxxxdxx

dxx

1

Realizando una Integración por partes con f(x)=1/x, y g’(x)=dx, tenemos:

Calculo de Áreas

xy

xy

2

Calcular el área de la figura limitada por las curvas:

Desde 0 hasta 1

3/132/3

)(1

0

32/31

0

2

xxdxxx

Solución:

3/132/3

)(1

0

32/31

0

2

xxdxxx

Derivación e IntegraciónLas propiedades (algebra) de las derivadas o de los integrales (Riemann) no se transmiten a las series infinitas

11

)()(nn

n xfdx

dxf

dx

d

11

)()(n

nn

n dxxfdxxf ?

?

Ejercicios

• Calculo de integrales por definición• Aplicación del Teorema fundamental del calculo• Ejercicios de Calculo de Integrales• Aplicaciones del Integral