4 repaso curso calculo rapido

7/17/2019 4 Repaso Curso Calculo Rapido

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CAPITULO IV

REPASO

Este capítulo es un repaso y un resumen conciso de lo que ha apren-dido. Las demostraciones y explicaciones detalladas dadas en los trescapítulos anteriores, no se van a repetir aquí; en lugar de eso, se danlas referencias de los párrafos apropiados. A diferencia del resto del libro,este capítulo no tiene preguntas, así que se puede leer de principio a fincomo un texto ordinario, excepto que quiera usted referirse a discusionesanteriores.

Repaso del Capítulo 1. PRELIMINAR

Sección 1. FUNCIONES (párrafos 1 - 13)

Un conjunto es una colección de objetos, no necesariamente objetosmateriales-descritos de tal manera que no haya duda si un objeto en particular pertenece o no al conjunto. El conjunto puede describirse me-diante una lista o por una regla.

Si cada elemento del conjunto A, está asociado' exactamente con unelemento del conjunto B, entonces esta asociación se llama una función

de A a B. Al conjunto A se le llama dominio de la función. (Comentariosacerca de otra definición de función, se dan en el apéndice Bl, pági-na 272.)

Si un símbolo, tal como x se usa para representar cualquier elementodel conjunto A (el dominio de la función) se llama la variable inde-

pendiente. Si el símbolo y representa el elemento del conjunto B asociadomediante la función con el elemento x, llamamos a y la variable depen-

diente.Una forma de especificar una función es escribiendo detalladamente

la asociación entre todos los elementos correspondientes de los dos con- juntos. Otra forma es dar una regla para encontrar la va~iable dependienteen términos de la independiente. Así, por ejemplo, una función asociandola variable independiente t con la variable dependiente S, puede especi-ficarse por

S =212 + 6/ .

243



244 Repaso

A menos que otra cosa se especifique, consideremos que la variableindependiente puede tomar el valor de cualquier número real, por lo quela variable dependiente será también un número real.

Generalmente, representamos una función con una letra como f. Si la

variable independiente es x, la variable dependiente y asociada por la fun-ción f se escribe frecuentemente como f(x), que se lee "f de x". Se pue-

den usar otros símbolos, tales como z = H ( v) .

Sección 2. GRAFICAS (párrafos 14 - 22)

Una forma conveniente de representar una función es trazando unagráfica, como se indica en los párrafos 15 - 18. Los ejes de coordenadasmutuamente perpendiculares se intersectan en el origen. El eje horizontalse llama eje horizontal o eje x. El eje vertical se llama eje vertical oeje y. El valor de la coordenada x de un punto se llama abscisa y el valor de la coordenada y se llama ordenada.

La función constante resulta de la asociación de un número fijo contodos los valores de la variable independiente x. La función del valor absoluto está definida por

Ix l = x s i x .2 : O .

I x l = -x s i x < O .

Sección 3. FUNCIONES LINEALES Y CUADRATICAS

(párrafos 23 - 39)

Una ecuación de la forma y =mx + b donde m y b son constantes,se llama lineal debido a que su gráfica es una línea recta. La pendientede una función lineal está definida por

pendiente = y 2 - Y 1 =Y 1 - Y 2 •

X2-Xl x1-x2

De la definición se ve fácilmente que la pendiente de la ecuación linealanterior es m. (Párrafo 29.)

Una ecuación de la forma y = ax2 + bx + c donde a, b y c son cons-tantes, se llama ecuación cuadrálÍca. Su gráfica se llama parábola. Los

valores de x para y = O satisfacen ax2 + bx + e = O Y se llaman lasraíces de la ecuación. No todas las ecuaciones cuadráticas tienen raíces

reales. La ecuación ax2 + bx + c = O tiene dos raíces dadas por



Capítulo 1. Preliminar 245

Sección 4.

x =- b ± V b2 - 4ac

2a

TRIGONOMETRIA (párrafos 40 - 73)

Los ángulos están medidos en grados o radianes.

ej e x

360°1 rad =--.

217

Las funciones trigonométricas estándefinidas de acuerdo con la figura.

Las definiciones son

Un círculo está dividido en 360 grados iguales. El número de radian es

de un ángulo es igual a la longitud del arco subtendido dividido entrela longitud del radio (párrafo 42). La relación entre grados y radianes es

ej e y

Fig. 138

sen eos ()=~T

tan

1 T

see () =---=-

eos () x

1 xeot ()=-- =-

tan () y

1 T

ese () =---= -.

sen () y

Aunque r =V x2 + y2 es siempre positivo, x y y pueden ser pOSItIVOS

o negativos y las cantidades de arriba pueden ser positivas o negativasde acuerdo con el valor de (j. A partir del teorema de Pitágoras se vefácilmente (párrafo 56) que

Los senos y cosenos de la suma de dos ángulos se dan por:

sen (() + e p ) = sen () eos e p + eos () sen e p

eos (() + 4 » = eos () eos e p - sen () sen e p .

Las funciones trigonométricas inversas designan el ángulo para el cual

la función trigonométrica tiene un cierto valor. Así, la función trigo-nométrica inversa a y = sen (j es (j = arcsen y, que se lee "arco seno de y"

y significa el ángulo cuyo seno es y. El arccos, etc., se definen en formaanáloga.



246 Repaso

Sección 4. LOGARITMOS y EXPONENCIALES(párrafos 74-96)

Si a se multiplica por si misma, como aaa . . . m veces, el pro-ducto se escribe am o Además, por definición a-"" =1/ a m o Por tanto

Si bn =a, b se llama la raíz enésima de a y se escribe b =al / n ,

Si m y n son enteros

ami" = (a1/")m,

El significado de exponentés puede extenderse a números irracionales(párrafo 84) Y las relaciones anteriores también son aplicables conexponentes irracionales, así (a'") b =abx, etc.

La definición de log. x (logaritmo de x de base 10) es

x = 1010g x

las siguientes importantes relaciones se aplican a los logaritmos (párra-

fo 91)

log(ab) = log(a) + log(b)

log(a/b) = log(a) - log(b)log(a") =n log(a).

El logaritmo de x de base r se escribe como log,x y está definido

por

las tres relaciones entre logaritmos de a y b son aplicables para loga-ritmos de cualquier base, siempre y cuando se use la misma base paratodos los logaritmos en cada ecuaciÓn, Los logaritmos de x de base e



Capítulo 11.Cálculo Diferencial 247

y 10 pueden relacionarse mediante

logloxlogex =--- =2.303 loglox

log loe (párrafo 223)

Repaso del Capítulo 11. CALCULO DIFERENCIAL

Sección 1. LIMITES (párrafos 97-115)

Definición de 1m Umite: Sea f(x) definida para toda x en un inter-valo en la vecindad de x =a, pero no necesariamente en x =a. Si existeun número L tal que para cada número positivo E corresponda un nú-

mero positivo 8 tal que

I { (x) - L I < ( considerando que O < I x - a I < 8

decimos que L es el limite de f(x) cuando x se acerca a a y se escribe

lim {(x) = L.x -+a

La manipulación algebraica normal puede efectuarse con los límitesc;omo se indica en el apéndice A2; Así

lim [F (x) + G (x)] = lim F (x) + lim G (x). x~a x ....•a x-+a

y

Dos límites trigonométricos son de

lim sen () = 1()-+o ()

particular interés (apéndice

lim _ l_ -_ c _ o _ s_ () = O .

()-+o ()

A3) :

El límite siguiente es tan importante en el cálculo; que se le ha dado

un. <lombre especial e, y está explicado en el párrafo 109 y en el,ApéndiceAS: .

e = lim (l + x)I/X = 2.71828 .X -+0

Sección 2. VELOCIDAD (párrafos 116-145)

Si la función S representa la distancia desde un punto fijo a unmóvil con velocidad variable sobre una línea recta, la velocidad mediav, entre los tiempos 11 y t 2 está dada por

52-SIV=---

12 - ti

mientras que la velocidad instantánea, v, (párrafo 133) en el tiempo ti



248 Repaso

es v = limt2 ...•t 1

Esto es igual a la pendiente de la curva S, en el tiempo ti, trazada entérminos del tiempo (párrafo 131). A menudo es conveniente escribir

S2 - SI =DS Y t2 - ti =11t, así

v = lim ~S.~t ...•o ~t

Sección 3. DERIVADAS (párrafos 146-159)

Si Y = ¡(x), la rapidez de cambio de y con respecto a x es

11y 11)' lim -. El lim - se llama la derivada de y con respecto a x y

11x~O 11x 11x~O 11x

. dyse escnbe -. (algunas veces se escribe y'). Así

dx

dy =

dxlim ~y =

~x ...•o ~xlim Y2 - Y I

lim

dyes la derivada de y con respecto a x. La derivada - es igual a la pen-

dx

diente de la curva de y trazada en términos de x.

Sección 4. GRAFICAS DE FUNCIONES Y DE SUS

DERIVADAS (párrafos 160-169)

A partir de la gráfica de una función podemos obtener la pendientede la curva en varios puntos y trazando una nueva curva con las pendien-tes, se puede determinar la forma general y el comportamiento de laderivada. Para ver ejemplos pase a la sección 4.

Secciones 5-8 DIFERENCIACION (párrafos 170-244)

A partir de la definición de derivada se puede obtener un cierto nú-mero de fórmulas para la diferenciación. Examinaremos aquí sólo unejemplo; el método es típico. Sean 11 y v variables que dependen de x.

d(uv)--=

dxlim

~x ...•o

~ (uv)--=

~xlim

~x ...•o

(u + ~u)(v + ~v) - uv

~x



d(uv)--= lim

dx l!i.x->o

Capítulo 11.Cálculo Diferencial 249

uv + ul!i.v+ vl!i.u + l!i.ul!i.v- uv

l!i.x

=u l. l!i.v1m -+v

l!i.x->0 l!i.x

l!i.ulim - + lim

l!i.x->o l!i.x l!i.x->o

l!i.ul!i.v

l!i.x

dv du= u - + v - + O .

dx dx

las relaciones importantes que debe recordar, se han puesto en lalista siguiente. Hay una lista más completa en la tabla 1, página 293.En estas expresiones, u y v son variables que dependen de x, w dependede u, que a su vez depende de x, a y n son constants. los ángulosestán medidos en radianes.

(párrafo)

da = O

dxd

(ax) =adx

dxn

n-l-= llX

dx

d du dv(u+v)=-+-

dx dx dx

d dv du(uv)=u- + v-

dx dx dx

d u 1 du dv- (-)= -[v- -u-]dx V v2 dx dx

dw dw du-=-

dx du dx

dsenx---= cos x

dx

d cos x---=-sen x

dx

d In x 1--=-

dx x

172

174

180

186

189

202

194

210

211

230



250 Repaso

de x

x--= edx

(párrafo) 239

En la lista anterior, e = 2.71828 .... y In x es el logaritmo na-tural de x definido por In x =log.x.

Funciones más complicadas, pueden diferenciarse en forma normal,aplicando varias reglas de la tabla 1 sucesivamente. Así

d dx3 dx2 2 d sen 2x_(x3 + 3x2 sen 2x) =-- +3--sen 2x + 3x ----dx dx dx dx

3 2 6 2 3 2 d sen 2x d (2x)= x + x sen x + x ----- - __

d(2x) dx

= 3x2 + 6x sen 2x + 6x2 cos 2x.

Sección 9. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR (párrafos 245-252)

dySi diferenciamos - con respecto a x, el resultado se llama la segun-dx

d2 yda derivada de y con respecto a x y se escribe - En esta forma,

dx2

la enésima derivada de y con respecto a x es el resultado de diferenciar dny

y n veces sucesivamente con respecto a x y se escribe _ d x "

Sección 10. MAXIMOS y MINIMOS (párrafos 253-264)

Si f(x) tiene un valor máximo o mínimo para un cierto valor de x

d . d d f

(R ..entonces su eflva a - es cero para esa x. estflcclOnes para estedx

d2f enunciado se dan en la página 154). Si además, dx

2 < O , f(x) tiene

d 2f un máximo. Por otro lado, sí - > O , f(x), tiene un mínimo en este

dx2

punto.

Sección 11. DIFERENCIALES (párrafos 265-275)

Si x es una variable independiente y y = f(x), la diferencial dx de x

es igual a un incremento X 2 - Xl, donde Xl es el punto de interés. Ladiferencial dx puede ser positiva o negativa, grande o pequeña, como se



Capítulo 111.Cálculo Integral 251

desee. Por tanto, dx, como x es una variable independiente. La diferen-

cial dy está definida por la regla siguiente

dydy = (-) dx.

dx

. Aunque el significado de la derivada d y , es lim ~y se v e del pá-

dx ~x~O ~x

rrafo anterior que podemos interpretada como la razón de dos diferen-

ciales dx y dy. Como se explicó en los párrafos 268 y 269, dy no es lo

mismo que ~y , aunque.

lim dy = 1.dx=/'t..x~ o /'t..y

Las fórmulas de diferenciación pueden escribirse fácilmente en tér-

minos de diferenciales. Así, si. y = X "

d (xn)dy =d(xn) =-- dx =nxn-1 dx.

dx

Una relación útil que se da implícitamente con la notación diferen-

cial y se discute posteriormente en el apéndice A9 es

dx = l/(dy).

dy dx

Repaso del Capítulo III - CALCULO INTEGRAL.

Sección 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA (párrafos 289-301)

dF(x)Supongamos que --- = f(x).

dx

Entonces F(x) se llama la integral indefinida de f(x). Este enunciado

puede escribirse simbólicamente en la forma

F(x)= {/(x)dx.

La ecuaoon se lee "F(x) igual a la integral indefinida de f(x)." La

función f(x) que se integra, se llama el integrando. Ya que la derivada de

una constante es cero, cualquier constante arbitraria puede agregarse a

una integral indefinida y la suma sigue siendo la integral indefinida de

la misma función f (x). Además, dos integrales indefinidas de una

función dada, pueden diferir únicamente por una constante (párrafo

296 y apéndice A9).



252

Sección 2. INTEGRACION (párrafos 302-325)

Las integrales indefinidas pueden encontrarse frecuentemente, bus-

cando una expresión tal que, cuando se deferencia, nos da el integrando

Así, del resultado anterior

tenemos que

d cos x

dx =- sen x

J sen x dx =- cos x + c.

Empezando con las derivadas conocidas de la tabla 1, se puede hacer

una lista útil de integrales. Tal lista se da en el párrafo 307 y por con-

veniencia se ha repetido en la tabla 2 de la página 295. Pueden obte-

ner las fórmulas más importantes, de las expresiones de diferenciación

de la tabla 1. Integrales más complicadas se pueden encontrar en tablas

más completas, tales como las que se dan en las referencias de la pá-

gina 284.

Frecuentemente se necesitan usar varios procedimientos diferentes

para obtener una integral. En este ejemplo usaremos un cambio de va-

riable, procedimiento asociado con la fórmula 19 de la tabla y la fórmula

10 para la integración del seno (párrafo 313)

1 1

r sen 3 x dx =- r sen 3x d(3x) =-- cos 3x + c.. 3 . 3

Sección 3. EL AREA BAJO UNA CURVA (párrafos 326-346)

Sea A (x) el área entre la curva f(x) el eje x y las líneas verticales

en a y x. Se ve que

d A (x) _ f(x). (párrafo 333)dx

Si F (x) es la integral indefinida de f (x) tal que

F(x) = J f(x) dx,

entonces (párrafos 340 y 344)

A (x) = F(x) - F(a) = F(x) 1 : = J f(x) dx 1 :donde por definición F(x) I~= F(b) - F(a).



Capítulo 111.Cálculo Integral 253

Sección 4. INTEGRALES DEFINIDAS (párrafos 347-365)

Otra manera de expresar el área bajo una curva f(x) entre x = a

y x =b se puede encontrar dividiendo el área en franjas estrechas pa-

ralelas al eje y, cada una de área f(x;) D ,X , y sumando las franjas. En

el límite, corno el ancho de cada franja tiende a cero, la suma se aproxima

al área bajo la curva. Así (párrafo 352)

n

A = lim ~ {(Xi) !"ix.!"ix ...•o i= 1

Este límite es tan importante que se le han dado un símbolo y nombre

especiales. Se llama la integral definida y se transcribe ¡b {(x) dx.a

De aquí, por definición

(b {(x) d x = lim ~ {(xi) !"ix. Ja !"ix ...•o

Como resultado de lo anterior, se ve que

A = L b ((x) dx.

Sin embargo, hemos visto que el área puede encontrarse en términos

de la integral indefinida.

F.(x) = ¡((x) dx,

y

A = F(b) - F(a) = F(x) 1 : = r {(x) dx 1 : ·

Por lo tanto, igualando las dos expresiones para el área A, tenemos el

valor de la integral definida en términos de la integral indefinida.

L b ((x) dx = F(x) 1 : = r {(x) dx 1 : ·

Este resultado se llama frecuentemente el Teorema Fundamental del

Cálculo Integral.



eje x

254 Repaso

Sección 5. APLICACIONES DE LA INTEGRACION

(párrafos 366-380)

Si conocemos v(t), la velocidad de una partícula como una función

del t, podemos obtener la posición de la partícula como una función del

tiempo por integración. Sabemos que

d Sv=-

dt

así

dS =v dt

SI mtegramos ambos miembros de la ecuación desde el punto inicial

(t = t o , S = O) al punto final (t} S), tenemos

S =(t v dt.Jto

Sección 6. INTEGRALES MULTIPLES (párrafos 381-399)eje y

Y2(%)

éB1 y¡(%): :

I

a % b

Fig. 139

Consideremos el área indicada, encerrada por la curva, en la cual

y depende de x como Y 2 (X ) en la parte superior de la fIgura y como

Yl (x) en la parte inferior. Entonces, el área encerrada A está dada por

A = lim Ix I lim Iy t1y 1 t1xt1x -+0 t1y -+0

Una integral de esta forma se llama integral doble que es un caso

particular de una integral múltiple. Para encontrar el valor de las inte-

grales múltiples, debe tenerse especial cuidado de seleccionar los lími-

tes correctamente. Así, Y l y Y 2 los límites para integrar a y, son los va-

lores máximo y mínimo de y para una cierta x.



Capítulo 111.C ál c u lo In t eg r al 2 55

Resultando que Y 1 y Y 2 en general dependen de x y consecuentemente

se introducen en el integrando para la integración con respecto a x.

En forma análoga, (párrafo 390) si g(x, y) es una variable que de-

pende de x y y, podemos encontrar el valor de una integral múltiple de

la forma

G =fab

[ f : 1 2 g (x, y) dy ] dx.

El procedimiento es directo: se encuentran los límites de cada una de

las integrales, se lleva a cabo la integración sobre y, considerando a x

como constante en g(x, y). A continuación se hace la integración sobre

x. Este procedimiento se puede aplicar fácilmente a cualquier número

de variables.

Sección 7. CONCLUSION (párrafos 400-403)

Ya ha terminado. ¡Felicidades! No necesita hacer nada más paraacabar este libro. Sin embargo, si no ha visto todas las demostraciones

del apéndice A, le aconsejamos los vea ahora. Quizá también quiera

estudiar algunos de los tópicos adicionales del apéndice B. Finalmente,

si quiere un poco más de práctica, debe tratar de resolver los problemas

de repaso que €mpiezan en la página 285.

iBuena suerte!

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