calculo guia
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I N T R O D U C C I Ó N
Joven Bachiller: Como parte de las acciones de mejora para fortalecer el nivel académico de nuestros estudiantes, el Colegio de Bachilleres, pone a disposición, para estudiantes, directivos, padres de familia y docentes la “Guía de estudios y la autoevaluación”, con la finalidad de que puedan acceder, verificar, clasificar y retroalimentar los contenidos que serán evaluados en cada una de las asignaturas al final de cada semestre. La guía de estudios y la autoevaluación, están diseñadas pensando exclusivamente en Ti, para que te prepares adecuadamente para la presentación del examen semestral. Este cuadernillo contiene la guía de estudio y la autoevaluación correspondiente a la asignatura de sexto semestre: Cálculo Diferencial e Integral II.
INSTRUCCIONES Para contestar la guía de estudios y autoevaluación de los Exámenes Semestrales:
1) Lee cada una de las unidades y los contenidos temáticos que se te presentan.
2) Desarrolla los temas y elabora los ejercicios que se te indican.
3) Contesta la autoevaluación y refuerza los conocimientos que obtuviste a lo
largo del semestre, para que puedas obtener éxito en la evaluación semestral.
4) Si durante el desarrollo de los temas o al contestar la autoevaluación,
tienes algunas dudas, busca y solicita la ayuda de tu profesor, coordinador de asignatura o compañero de clases para aclararlas antes de presentar el Examen Semestral en la fecha programada.
Si te interesa conocer esta información de forma más amplia, la puedes consultar en la página del Colegio en la dirección: www.cobachbc.edu.mx Los pasos para acceder a ella son:
1. Entra a la página del Colegio. 2. Da clic en Alumnos. 3. Da clic en Semestrales. 4. Da clic en Guías de Estudio para Exámenes Semestrales. 5. Entra al Semestre que cursas. 6. Selecciona el documento que desees bajar, imprimir o revisar.
“Desarrolla hábitos de estudio y obtendrás buenos resultados en tu desempeño académico”
1
GUÍA DE ESTUDIO DEL EXAMEN SEMESTRAL
Curso: Cálculo Diferencial e Integral II
Unidad 1: Integral Indefinida. 1. Resolución de integrales de funciones algebraicas.
Identificar la secuencia y fórmula correcta para la resolución de la Integral Indefinida de una
función algebraica sencilla de la forma ( )∫ dxxf , de una lista dada.
Identifica la secuencia y fórmula correcta para la resolución de la Integral Indefinida de una
función algebraica sencilla de la forma ( ) ( )[ ]∫ + dxxgxf , de una lista dada.
Secuencia para la resolución de cuatro integrales indefinidas de funciones algebraicas tales como ( )242 +− xx .
Secuencia para la resolución de cuatro integrales indefinidas de funciones algebraicas tales
como ( ).3,, 23 23 etcxxx , se pueden considerar diferentes exponentes para la literal, coeficientes numéricos enteros ó fraccionarios y el grado máximo del radical tres.
Secuencia para la resolución de cuatro integrales indefinidas de funciones algebraicas tales
como ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−− 232
32 3,,, xxxx .
Secuencia para la resolución de cuatro integrales indefinidas de funciones algebraicas formadas por términos con exponentes enteros positivos, negativos y radicales
2. Antiderivada de una función.
La definición correcta de la antiderivada de una función. Identificar la antiderivada de una función sencilla.
3. Resolución de integrales de funciones trascendentes.
Identificar la secuencia correcta para la resolución de integrales indefinidas de una función trigonométrica (seno, coseno ó tangente).
Secuencia correcta para la resolución de integrales indefinidas de una función exponencial. Secuencia correcta para la resolución de integrales indefinidas de una función logarítmica.
4. Obtención de integrales definidas en diversas funciones.
Secuencia correcta para la resolución de la integral definida de funciones algebraicas sencillas
de la forma ( ) ∫b
adxxf
Secuencia correcta para la resolución de la integral definida de funciones algebraicas sencillas
de la forma [ ]∫ ++b
adxcbxax2
Secuencia correcta para la resolución de la integral definida de funciones algebraicas sencillas
de la forma ∫b
adxxf )(
Secuencia correcta para la resolución de la integral definida de funciones algebraicas sencillas
de la forma ∫b
a
senxdx Secuencia correcta para la resolución de la integral definida de funciones algebraicas sencillas
de la forma ∫b
a
xdx e
2
Unidad 3: Métodos de Integración. 5. Uso del método de integración por sustitución o cambio de variable, para el
cálculo de integrales.
Procedimiento correcto de una integral indefinida de una función algebraica de la forma
∫ duaun
Integral indefinida de una función algebraica de la forma ∫ duua n
Procedimiento correcto del cálculo de la integral indefinida por el método de cambio de variable. Integral indefinida por el método de cambio de variable.
6. Uso del método de integración por partes, para el cálculo de integrales.
integral indefinida de un producto de funciones (una función algebraica con una función trigonométrica).
Integral indefinida de un producto de funciones (una función algebraica con una función exponencial ó una función algebraica con una función logarítmica).
Unidad 4: Aplicaciones de la Integral. 7. Cálculo del área bajo la curva.
Identificar gráficamente el área bajo una función. Identificar el desarrollo correcto del cálculo del área bajo una función. Identificar el desarrollo correcto para el cálculo del área entre dos funciones.
8. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución, usando el método del Disco. Fórmula: V = ( )[ ]∫
b
adxxf 2π
Identificar gráficamente el sólido de revolución generado por una función. Identificar el desarrollo correcto del cálculo de volumen de un sólido en revolución generado
por una función
3
AUTO EVALUACIÓN DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
INTRUCCIONES
1. Ejemplos de preguntas para que visualices y comprendas la forma en que se te
puede cuestionar en el examen sumario.
2. Contesta está autoevaluación que te servirá como reforzamiento del
conocimiento que adquiriste durante el semestre.
3. Califica tu autoevaluación formando equipos con tus compañeros para que se de
una coevaluación. Ver nota.
4. Verifica las respuestas con la ayuda de tu profesor.
5. En aquellos contenidos donde no hayas logrado el éxito acude con tu profesor
para que te apoye y puedas lograr ese conocimiento.
Nota:
Coevaluación: Esta es una forma de evaluación en donde todos participan a
diferencia de la autoevaluación que es uno mismo el que evalúa sus conocimientos
y reflexiona sobre ellos. Mientras en este proceso pueden participar todos los
alumnos que conforman un equipo.
En el aprendizaje colaborativo es muy importante este tipo de evaluación ya que
entre todos evalúan el comportamiento y participación que tuvieron entre ellos, de
esa manera el alumno puede comparar el nivel de aprendizaje que cree tener y el
que consideran sus compañeros que tiene, para de esta forma reflexionar sobre su
aprendizaje.
4
Unidad 1: Integral Indefinida. 1. Identifica el desarrollo correcto para obtener la integral indefinida. ∫ dxx45
A) B) C) D)
cx
dxx
+=
= ∫5
45
cx
dxx
+=
= ∫
35
53
4
cx
dxx
+=
= ∫3
4
20
5
cx
dxx
+=
= ∫
45
54
4
2. Identifica el desarrollo correcto para el cálculo de la integral. ∫ −− dxxx )853( 2
A) B)
cxxx
dxxdxdxx
+−−=
−−= ∫ ∫ ∫8
25
8532
3
2
cxx
dxxdxdxx
+−−=
−−= ∫ ∫ ∫853
853 2
C) D)
cxx
dxxdxdxx
+−−=
−−= ∫ ∫ ∫8
25
8532
3
2
cxxx
dxxdxdxx
+−−=
−−= ∫ ∫ ∫85
85323
2
3. Identifica el desarrollo correcto para el cálculo de la integral dxx∫ 5 3 A) B) C) D)
cx
cx
dxx
+=
+=
= ∫
8558
5 8
58
53
cx
cx
dxx
+=
+=
= ∫
8338
3 8
38
35
cx
cx
dxx
+=
+=
= ∫
4554
5 4
54
53
cx
cx
dxx
+=
+=
= ∫
3553
5 3
53
53
4. Identifica el desarrollo correcto para el cálculo de la integral dxxdx∫ 2
A) B) C) D)
cx
cx
dxx
+−=
+−
=
=−
−∫
11
1
2
cx
cx
dxx
+=
+=
=−
−∫
1
1
2
cx
cx
dxx
+−=
+−
=
=−
−∫
3
3
2
31
3
cx
cx
dxx
+−=
+−
=
=−
−∫
2
2
2
21
2
5
5. Identifica el desarrollo correcto para el cálculo de la integral dxxx
x∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+ 2
3
32
A) B)
cxx
x
cxxx
dxxdxxdxx
+−−=
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=
−+=
−
−∫ ∫ ∫
32
32
4
2313
24
32
34
23
14
21
23
cxx
x
cxxx
dxxdxxdxx
+−−=
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=
−+=
−
−∫ ∫ ∫
32
92
4
2333
24
32
3
3
4
23
34
21
23
C) D)
cxx
x
cxxx
dxxdxxdxx
++−=
+−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=
−+=
−−
−∫ ∫ ∫
232
4
2113
24
32
4
21
14
21
23
cxx
x
cxxx
dxxdxxdxx
+−−=
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=
−+=
−
−∫ ∫ ∫
32
323
2313
23
32
32
23
12
21
23
6. Identifica la definición correcta del concepto de la antiderivada de una función. A) A una función F se le llama antiderivada de una función f, en un intervalo I, si F’(x) = f(x) para todo valor de X en el intervalo. B) A una función F se le llama antiderivada de una función f, en un intervalo I, si F’’(x) = f(x) para todo valor de X en el intervalo. C) A una función F se le llama derivada de una función f, en un intervalo I, si F’(x) = f(x) para todo valor de X en el intervalo.
D)) A una función F se le llama antiderivada de una función f, en un intervalo I, si f’(x) = F(x) para todo valor de X en el intervalo.
7. Identifica la antiderivada de la función ( ) 23xxf =
A) B) 3x3
3x C) D) x6 36x
8. Identifica el desarrollo correcto para el cálculo de la integral. ∫ xdx3cos2 A) B) C) D)
cxsen
xdx
+=
= ∫3
32
3cos2
cxsen
xdx
+=
= ∫32
3cos2
cxsen
xdx
+−=
= ∫3
32
3cos2
csenx
xdx
+=
= ∫
32
3cos2
9. Identifica el desarrollo correcto para el cálculo de la integral. ∫ dxe x33 A) B) C) D)
ce
dxex
x
+=
= ∫3
33
ce
dxex
x
+=
= ∫3
3
3
3
ce
dxex
x
+=
= ∫
3
33
3
ce
dxex
x
+=
= ∫3
3
9
3
6
10. Identifica el desarrollo correcto para el cálculo de la integral. utilizando
la siguiente fórmula ∫ xdx2ln2
∫ +−= cuuuudu lnln A) B) C) D)
cxxx
xdx
+−=
= ∫22ln2
2ln2
cxxx
xdx
+−=
= ∫2ln
2ln2
cxxx
xdx
+−=
= ∫22ln
2ln2
cxxx
xdx
++=
= ∫22ln2
2ln2
Unidad 2: Integral Definida. 11. Identifica la secuencia correcta para calcular el valor de la integral definida.
∫5
1
2dxx A) B) C) D)
( ) ( )
3124
31
35
333
5
1
3
=
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
x
( ) ( )
3124
35
31
333
5
1
3
−=
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
x
( ) ( )
1221
25
222
5
1
2
=
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
x
( )
3125
35
33
5
1
3
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
x
12. Identifique la secuencia correcta para calcular el valor de la integral definida. ( )∫− −+
1
2
2 2 dxxx A) B) C) D)
29
223
1
2
23
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
−
xxx
29
223
1
2
23
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
−
xxx
49
223
2
1
23
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
−
xxx
215
22
1
2
23
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
−
xx
13. Identifique la secuencia correcta para calcular el valor de la integral definida.
∫4
0
32 dxx A) B) C) D)
5264
522
4
0
5
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
x
5264
522
0
4
5
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
x
564
52
4
0
5
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
x
[ ]264
224
05
=
= x
14. Identifique la secuencia correcta para calcular el valor de la integral definida
∫π
0senxdx
A) B) C) D)
[ ]2
cos 0
=−= πx [ ]
0cos 0
=−= πx [ ]
2cos 0
−== πx [ ]
2cos 0
== πx
15. Identifique la secuencia correcta para calcular el valor de la integral definida
∫2
0dxex
A) B) C) D)
[ ]12
20
−=
=
eex [ ]
2
02
1 eex
−=
= [ ]2
20
eex
=
= [ ]2
02
eex
−=
=
7
Unidad 3: Métodos de Integración. 16. Identifique la secuencia correcta para calcular la integral indefinida, utilizando el
método de sustitución ó cambio de variable ( )∫ + dxxx 32 1 A) B) C) D)
( ) cx
cu
duu
++
=
+=
= ∫
81
8
2
42
4
3
( ) cx
cu
duu
++
=
+=
= ∫
41
442
4
3
( ) cx
cu
duu
++
=
+=
= ∫
61
6
2
32
3
3
( ) cx
cu
duu
++
=
+=
= ∫
213
23
2
22
2
3
17. Identifique la secuencia correcta para calcular la integral indefinida, utilizando el
método de sustitución o cambio de variable ∫ − dxxx 2232 A) B) C) D)
( )c
x
cu
duu
+−
−=
+−=
−= ∫
323
3
2
32
23
21
( )c
x
cu
duu
+−
−=
+−=
−= ∫
623
6
4
32
23
21
( )c
x
cu
duu
+−
=
+=
= ∫
323
3
2
32
23
21
cx
cu
duu
+−
=
+=
−=
−
∫
2
21
21
231
2
18. Identifique la secuencia correcta para calcular la integral indefinida, utilizando el
método de sustitución o cambio de variable ∫ dxxsenx23 A) B) C) D)
cx
cu
dusenu
+−=
+−=
= ∫
2cos23
cos23
23
cx
cu
dusenu
+−=
+−=
= ∫
2cos21
cos21
2
cx
cu
dusenu
+=
+=
= ∫
2cos23
cos23
23
cxcu
senudu
+−=
+−=
= ∫
2cos3cos3
3
19. Identifique la secuencia correcta para calcular la integral indefinida, utilizando el
método de integración por partes ∫ xdxx cos A) B) C) D)
cxxsenx
senxdxxsenx
++=
−= ∫cos
cxxsenx
senxdxsenx
++−=
+−= ∫cos
csenxxx
xdxxx
+−=
−= ∫cos
coscos
cxxsenx
senxdxxsenx
+−=
−= ∫cos
20. Identifique la secuencia correcta para encontrar la integral indefinida, utilizando
el método de integración por partes ∫ dxxe x2 A) B)
cexe
dxexe
xx
xx
+−=
−= ∫22
22
41
21
21
21
cexe
dxexe
xx
xx
+−=
−= ∫22
22
21
C) D)
cexe
dxexe
xx
xx
++−=
+−= ∫22
22
41
21
21
21
cexe
dxexe
xx
xx
+−=
−= ∫22
22
21
21
21
21
8
Unidad 4: Aplicaciones de la Integral. 21. Identifica la gráfica que corresponde a el área limitada bajo la curva de la función , el eje “x” entre y 2xy = 1=x 3=x
A)
B)
C)
D)
22. Identifica el desarrollo correcto del cálculo del área limitada bajo la curva de la
función 24 xx , el eje “x” y entre 1y −= =x y 3=x A) B)
( )
2
3
1
32
3
1
2
322
32
4
u
xx
dxxx
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−∫
( )
2
1
3
32
1
3
2
322
32
4
u
xx
dxxx
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−∫
C) D)
( )
2
3
1
32
3
1
2
314
32
4
u
xx
dxxx
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−∫
( )
2
3
1
32
3
1
2
374
32
4
u
xx
dxxx
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
−∫
9
23. Identifica la gráfica que corresponde al área limitada entre las funciones 2xy = y
2+= x yA) B)
C)
D)
24. Identifica el desarrollo correcto para calcular el área limitada entre las funciones 22 x y y −= xy =
A)
( )
B)
( )
2
1
2
23
1
2
2
29
232
2
u
xxx
dxxx
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=
−−
−
−∫
2
2
1
23
2
1
2
23
232
2
u
xxx
dxxx
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=
−−
−
−∫
( )
C)
2
2
1
23
2
1
2
611
232
2
u
xxx
dxxx
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=
−−∫
D)
( )
2
1
2
32
1
2
2
29
32
2
2
u
xxx
dxxx
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
+−
−
−∫
10
25. Identifica la gráfica correspondiente al volumen del sólido de revolución
generado al hacer girar alrededor del eje “x” la función 21
xy = , entre 0=x y .2=x
26. Identifica el desarrollo correcto para calcular el volumen de sólidos de
revolución al hacer girar alrededor del eje x, la función xy = , entre 0=x y .3=x
A) B)
A) B)
( )
3
9
3
3
0
3
3
0
2
uV
x
dxxV
π
π
π
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
= ∫ ( )
V
3
9
3
3
0
3
3
0
2
uV
xV
dxxV
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
= ∫
( )
C) D)
3
29
2
3
0
2
3
0
uV
xV
dxxV
π
π
π
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
= ∫ ( )
[ ]3
27
30
3
3
0
2
uV
xV
dxxV
π
π
π
=
=
= ∫
11