calculo vectorial guia unidad5 cvectorial-p44

1

CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 5

GUIA DE APRENDIZAJE

UNIDAD 5 : ANÁLISIS VECTORIAL

Objetivos específicos

Representar campos vectoriales en R2 y R3.

Obtener el campo gradiente de un función escalar.

Comprender el significado de campo vectorial conservativo y su relación con la función potencial.

Obtener la divergencia, rotacional y laplaciano de un campo vectorial

Aplicar propiedades simples de un operador nabla.

Evaluar integrales de línea a lo largo de una simple trayectoria

Aplicar integrales de línea para calcular el trabajo de un campo de fuerzas

Aplicar el teorema de Green en el plano para ejemplos simples

Evaluar integrales de superficie y de flujo sobre superficies simples

Aplicar el teorema de la divergencia de Gauss a problemas simples

Aplicar el teorema de Stokes para trayectorias simples

1. PREREQUISITOS :

Los temas necesarios para esta unidad son :

Magnitud y gráfica de vectores en R2 y R3

Rectas y planos

Curvas de nivel y superficies de nivel

Identificación y grafica de curvas en 2D.

Identificación de superficies y sus gráficas

Trazas y secciones de una superficie

Parametrización de curvas en el plano y en el espacio

Funciones vectoriales

Integrales dobles

Integrales triples

2. MATERIAL DE APOYO

Libro de texto: STEWART J., “Cálculo de Varias Variables: Trascendentes tempranas”, Editorial Cengage

Learning , Séptima edición, México, 2012.

Tabla de derivadas e integrales

Software matemático

Calculadora con CAS

3. ACTIVIDADES ESPECÍFICAS

Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase.

Elaboración de las respuestas de los ejercicios propuestos de la guía, justificación de cada etapa del

2


desarrollo de ejercicios.

Análisis sobre resultados de los ejercicios desarrollados. 4. METODOLOGÍA DE TRABAJO

El docente durante la clase definirá los conceptos necesarios para el desarrollo de la guía. Para lo cual es

imprescindible que el estudiante analice la teoría con anterioridad usando el texto recomendado por el

Docente.

Los estudiantes organizan grupos (dependiendo del número de estudiantes por curso) para desarrollar

los ejercicios propuestos de la guía

El docente solucionará las dudas referentes a la guía y orientará su desarrollo.

5. ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)

Realizar los siguientes ejercicios para la siguiente sesión como preparación para el estudio de la unidad 4 sobre integrales múltiples. Esta tarea extraclase será evaluada con el fin de medir el nivel de conocimientos de los temas necesarios como prerrequisitos de la unidad 5. Además se le recuerda revisar la parte teórica de la unidad 5. 5.1 Identifique y grafique las siguientes ecuaciones en R3

a) x = 3

b) 4x – y + 2z = 4

c) x=2+3t , y =2 – t , z = 2t 5.2 Trace algunas curvas de nivel de la función dada y obtenga su gradiente .

𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑦

𝑥2 + 𝑦2

5.3 Describa las superficies de nivel de la función y representarlas gráficamente.

ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 + 4

5.4 Para la siguiente curva, hallar una función vectorial de acuerdo al sentido de orientación que se recorre la curva (arco de parábola) y determine su longitud de arco.

x

y

3


5.5 Utilizando ecuaciones paramétricas, dibujar una semielipse con a = 3, b = 2, centro C(2,2) y el eje mayor horizontal. Halle y trace el vector tangente unitario en el punto de intersección con el eje “y”. 5.6 Determinar ecuaciones paramétricas , para la curva cerrada formada por una semiparábola, una recta inclinada y una recta horizontal como se ve en la siguiente gráfica.

5.7 Describa mediante una función vectorial:

a) La recta que pasa por los puntos (1,2,-1) y (3,12,11)

b) La curva intersección del paraboloide y= x2 + z2 y el plano y = 4 5.8 Empleando integrales dobles, calcular el área de la región limitada por:

5.9 Calcular ∬ 𝑥𝐷

𝑦𝑑𝐴, donde D es la región comprendida entre la elipse 𝑥 2 + 2𝑦 2 = 1 y la circunferencia 𝑥 2 +

𝑦 2 = 1 en el primer cuadrante.

5.10 Determine el volumen del sólido comprendido entre las esferas 𝑆1: 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 + 𝑧2 = 4 y 𝑆1: 𝑥2 +(𝑦 + 1)2 + 𝑧2 = 4

5.11 Grafique la región en el primer octante limitada por la superficie Z=4-X2-Y2 y determine su volumen

5.12 Determine el volumen de la región comprendida dentro de la semiesfera 2216 YXZ y del cilindro

X2+Y2=1, limitado debajo por el plano Z=0. 6. REVISIÓN DE CONCEPTOS

6.1 CAMPOS VECTORIALES EN R2 Y R3

En general un campo vectorial en R2 es una función F que asigna un vector bidimensional a puntos del

plano (x, y) cuyo dominio es un conjunto de puntos en 𝑅2 y su rango es un conjunto de vectores en 𝑉2, la

forma de representarlos gráficamente es dibujar la flecha que representa al vector F(x, y) que inicia en los

puntos del dominio (x, y) es necesario saber que la magnitud de vector y la dirección reflejan la dirección y

magnitud de un campo vectorial estos parámetros dependen de las funciones componentes del campo

vectorial, los campos vectoriales representados en función de sus componente se los puede expresar de la

siguiente manera:

x

y

4


𝑭(𝒙, 𝒚) = ⟨𝑀(𝑥, 𝑦), 𝑁(𝑥, 𝑦)⟩

𝑭 = 𝑀𝑖 + 𝑁𝑗

Una de las maneras de reconocer un campo vectorial es observar si se los representa con la letra F, otra

forma de hacerlo es observando si la función depende de otras funciones componentes y estas a su vez

dependen de una o más variables, caso contrario se trata de una función escalar.

De igual forma un campo vectorial en R3 es una función que a cada punto del espacio(x, y, z) que pertenece al

dominio le asigna un vector tridimensional F(x, y, z) de igual manera un campo vectorial se lo puede

identificar ya que está formado por funciones componentes las mismas cuyo dominio es el dominio del

campo vectorial, así como las componentes de un campo vectorial determina la magnitud y dirección del

mismo, un campo vectorial puede expresarse en función de sus componentes de la siguiente manera:

𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒊 + 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒋 + 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒌

El dominio de un campo vectorial tanto en R2 y R3 se lo puede determinar analizando el dominio de las

funciones componentes, esto puede determinar de igual forma la continuidad de un campo vectorial (un

campo vectorial es continuo en su dominio)

Ejemplo1

𝑭 =𝑥

𝑥2 + 𝑦2𝒊 −

𝑦

𝑥2 + 𝑦2𝒋

Si analizamos M y N determinamos que el dominio es : 𝐷{𝑥2 + 𝑦2 ≠ 0}

Ejemplo 2 Muestre en una figura las representaciones que tiene su punto inicial en (x, y), de los vectores del

campo vectorial: jxiyyxF

),(

Donde x = ± 1 o x = ± 2, y y = ± 1 o y = ± 2

𝑟 (x, y) = xi + yj �⃗�(x, y) = -yi + xj

El vector de posición 𝑟 cuyo punto terminal está en (x, y).

Entonces :

𝑟 • �⃗� = (xi + yj)*(-yi + xj) = -xy + xy= 0

lo que se obtiene de r y F son perpendiculares, la representación de F en los puntos (x, y) la cual es tangente a las

curvas de nivel (circunferencias con centro origen y radio k )

222

2222)(,

kyx

kyxxyyxF

5


Ejemplo 3 Sea r = xi + yj +zk el vector de posición de un punto (x, y, z); se dice que un campo vectorial F es un

campo de variación inversa al cuadrado de la distancia si :

ur

czyxF

2

),,(

Donde c es un escalar y u es un vector unitario que tiene

la misma dirección que r y está dado por rr

u

1

6.1.1 ROTACIONAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

Se define 𝜵𝒇 como el gradiente de alguna función escalar 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) y genera un campo vectorial gradiente :

𝜵𝒇(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝜕𝑓

𝜕𝑥𝒊 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦𝒋 +

𝜕𝑓

𝜕𝑧𝒌

Sea F una función vectorial en tres dimensiones dada por 𝑭 ⃗⃗⃗⃗ (x, y, z) = M (x, y, z)i + N (x, y, z)j + P(x, y, z)k

Donde M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región; el rotacional de F está dado por

Campo vectorial del tipo de variación inversa al

cuadrado o gravitacional.

6


rot �⃗�=

Ahora obtenemos rot �⃗� como un determinante :

que �⃗�(x, y, z) = M (x, y, z)i + N (x, y, z)j + P(x, y, z)k tal que Suponga

M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región. La divergencia de F se denota por div F, o por F

, y está

dado por :

z

P

y

N

x

MFFdiv

Ejemplo 4 Calcule divergencia y rotacional del siguiente campo vectorial:

222

222

2

222

232

23

,,

6134

23

,,

yzxe

xzyz

yzxy

ex

zyxFFdiv

kxyzjiyxyz

xzyyzxe

zyx

kji

zyxFrot

x

x

x

6.1.2 CAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCIÓN POTENCIAL

Se dice que un campo vectorial F es un campo vectorial conservativo si es el gradiente de una función escalar, es

decir si

),,(),,( zyxfzyxF

para una función f (potencial)

kxzyyzjxiezyxF x )2(3,, 222

.ky

M

x

Nj

x

P

z

Mi

z

N

y

P

F

P

z

N

y

M

x

kji

FFrot

)(

7


),,( kz

fj

y

fi

x

fzyxF

Teorema : Sea F = Mi + Nj + Pk, donde M, N y P son continuas junto con sus derivadas parciales de primer orden

en un conjunto abierto y conexo D, que además es simplemente conexo. Entonces F es conservativo (F = f

) si y solo si rot F = 0; es decir, si y solo si

y

P

z

N

x

P

z

M

x

N

y

M

,,

En particular, en el caso de dos variables, donde F = Mi + Nj es conservativo si y solo si

y

P

z

N

x

P

z

M

x

N

y

M

,,

Ley de conservación de la energía, si una partícula se mueve de un punto a otro en un campo vectorial de fuerza

conservativo, entonces la suma de las energías potencial y cinética permanece constante, es decir, la energía total

no cambia (se conserva).

Ejemplo 5 Determinar si el campo vectorial kxyzjxzyseniyzxyxF

)2()2)(()2)(cos(),( es

conservativo. Si lo es hallar su función potencial correspondiente.

22cos),,(

,22

)2(,,

,2cos)2(,,

,2)2(cos,,

2

2

2cos:

2

2

zxyzyxsenzyxf

yxlxyzz

dzxyzzyxf

zxhxyzydyxzsenyzyxf

zygxyzxsendxyzxzyxf

xyzf

xzysenf

yzxfpotencialf

z

y

x

Ejemplo 6 Considere el campo de velocidad v(x, y, z)= - wyi + wxj, w > 0. Observe que v es perpendicular a r= xi

+ yj, y que 22 yxwv . Así, v describe un fluido que gira (como un sólido) en torno del eje z con velocidad

angular constante w. Muestre que div v = 0 y rot v = 2wk.

8


wk

kwwji

wxwx

zyx

kji

FFrot

kjiFFdiv

yxwv

yjxiv

wxjwyizyxv

2

)(00

0

0

000*

),,(

22

Ejemplo 7 Un objeto de masa m, que gira en una órbita circular con velocidad angular constante w, está sujeto a la

fuerza centrifuga dada por

�⃗�(x, y, z)= m w2 (xi + yj + zk)

Determinar una función potencial para el campo �⃗�

6.2 INTEGRALES DE LINEA

Una forma de generalizar la integral definida dxxfb

a

)( reemplazando el conjunto [a, b] sobre el cual integramos

por conjuntos de dimensión dos y tres. Esto nos conduce a las integrales dobles y triples. Una generalización muy

distinta se obtiene reemplazando [a, b] por una curva C en el plano xy. La integral resultante dsyxfc

),( se

conoce como una integral de línea, pero sería más adecuado llamarla integral de curva.

Sea C una curva plana suave; es decir, sea C dada en forma paramétrica por

x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b

donde x´ y y´ son continuas y no se anulan simultáneamente en (a, b).

9


Teorema de evaluación para integrales de línea; si una curva C esta dad por x = g(t), y = h(t); a ≤ t ≤ b, y f (x, y) es

continua en una región D que contiene a C, entonces

dtththtgfdyyxfiii

dttgthtgfdxyxfii

dtthtgthtgfdsyxfi

b

ac

b

ac

b

ac

)(´))(),((),()(

)(´))(),((),()(

)()())(),((),()(2,2,

La parametrización de una curva C induce una orientación: positiva (indicada C), la correspondiente a t creciente

y negativa la opuesta (indicada – C)

𝑎) ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)

−𝑐

𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑐

𝑑𝑥

𝑏) ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)

−𝑐

𝑑𝑦 = − ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑐

𝑑𝑦

𝑐) ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)

−𝑐

𝑑𝑠 = − ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑐

𝑑𝑠

Interpretaciones de la integral de línea :

Si 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 , entonces la integral ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 𝐶

representa el área de una cortina que tiene como base la curva

“C” y la altura en un punto (x,y) de la curva es 𝑓(𝑥, 𝑦)

Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 de un alambre entonces la integral ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 𝐶

representa la masa del alambre .

Si 𝑓(𝑥, 𝑦)=1 entonces la integral ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 𝐶

representa la longitud de la curva .

Ejemplo 8 Evalúe la integral de línea :

10


dyxyxdxxy 324 2

si la curva C consiste del segmento de recta de (-3, -2) a (1, 0) y el arco del primer cuadrante de la circunferencia x2 + y2 = 1 de (1, 0) a (0, 1), recorrida en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.

Paramétricamente línea recta : x = 1 + 2t -2 ≤ t ≤ 0

y = t

2642648

22

136

21318

2132122)21(4

324

0

2

0

2

2

0

2

2

2

ttt

dttt

dtttttt

dyxyxdxxy

Arco de circunferencia en el primer cuadrante, las paramétricas correspondientes :

x = cos t 0 ≤ t ≤ 1/2π

y= sen t

2

0

22

2

0

222

2

0

232

2

0

2

2

cos3)(cos6cos2(

)cos31cos2cos4(

cos3cos2cos4

coscos3cos2)(cos4

324

dtsenttttsent

dtsentttsenttsent

dtsenttttsent

dttsenttttsentsent

dyxyxdxxy

x

y

11


25

126324

1122

cos22

2

2

0

33

dyxyxdxxy

ttsentsen

Ejemplo 9 Determine la masa de un alambre con la forma de la curva y = x2 entre (-2, 4) y (2, 4) si la densidad

está dada por δ(x, y) = k │x│

52.11

)12

1

12

17(2

)12

)14((2

412

)2()1(2

22

23

2

0

232

2

0

2

2

0

22

2

k

tk

dtttk

dtttk

dsxkm

t

ty

tx

6.2.1 INTEGRALES DE LÍNEA DE CAMPOS VECTORIALES

Trabajo : Es la integral de línea con respecto a la longitud de arco de la componente tangencial a la fuerza.

Sean C una curva regular en el espacio, T un vector unitario tangente a C en (x,y,z), y F la fuerza que actúa en

(x,y,z). El trabajo W realizado por la partícula a lo largo de C es

𝑊 = ∫ 𝐹 ∙ 𝑇𝑑𝑠 = ∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑟

𝑐𝑐

Donde 𝒓 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 es el vector desplazamiento

Ejemplo 10 Dado el siguiente campo vectorial �⃗� = (𝑥2 + 𝑦)𝑖 − (𝑥 + 1)𝑦𝑗 el cual representa un campo de fuerzas

x

y

12


a) Reproduzca usando software matemático la representación grafica del campo vectorial para 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3 .

b) Sea C1 el segmento de recta que une el punto A (0,0) con B (2,0)

C2 el segmento de recta que une el punto B (2,0) con C (2,2)

Sin efectuar cálculos indique si el trabajo realizado por el Campo F para trasladar una partícula desde A hasta B es positivo o negativo (explique). ¿Es positivo el trabajo realizado por el campo sobre C2?Justifique.

Solo con observar el grafico podemos notar que él y trabajo desde A hasta B es positivo ya que esta

en los vectores del campo de fuerza está en la misma dirección de la trayectoria C1. Por otro lado el trabajo desde B hasta C es negativo ya que el campo de fuerza está en sentido más

o menos perpendicular al sentido de C2.

c) Calcule el trabajo realizado por F para trasladar una partícula desde A hasta B por C1 y desde B a C por C2. ¿Coincidió con lo conjeturado en a)? ¿Cuál es el trabajo realizado sobre C= C1+ C2?. Parametrización de curvas : C1: x=t , y=0 0≤t≤2 C2: x= 2 , y=t 0≤t≤2

𝑊1 = ∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑟

𝑐

𝑊1 = ∫((𝑡2 + 0)𝑖 − (𝑡 + 1) ∗ 0𝑗) ∙ (1𝑖 + 0𝑗)𝑑𝑡

2

0

𝑊1 = ∫(𝑡2𝑖 + 0𝑗)

2

0

∙ (1𝑖 + 0𝑗)𝑑𝑡

𝑊1 = ∫ 𝑡2𝑑𝑡 =8

3

2

0

13


𝑊2 = ∫((22 + 𝑡)𝑖 − (2 + 1) ∗ 𝑡𝑗) ∙ (0𝑖 + 1)𝑑𝑡

2

0

𝑊2 = ∫((4 + 𝑡)𝑖 − 3𝑡𝑗)

2

0

∙ (0𝑖 + 1𝑗)𝑑𝑡

𝑊2 = ∫ −3𝑡𝑑𝑡 = −6

2

0

𝑾 = 𝑊1 + 𝑊2 =8

3− 6 = −

𝟏𝟎

𝟑

¿La integral de línea de un campo vectorial F a lo largo de C cambia con la orientación de C?

∫ �⃗� ∙ 𝑑𝑟 = − ∫ �⃗� ∙ 𝑑𝑟𝑐−𝑐

Porque el vector unitario tangente T es reemplazado por su negativo cuando C es

reemplazado por –C.

¿Cuál es la relación entre las integral de línea del campo vectorial F y las integrales de línea de los campos escalares correspondientes a las funciones componentes? La relación es:

∫ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�𝑐

= ∫ 𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 + 𝑃𝑑𝑧 𝑐

donde �⃗� = 𝑀𝒊 + 𝑁𝒋 + 𝑃𝒌

Ejemplo 11 Calcular la masa de un resorte que tiene la forma de la hélice circular: 𝑟 = [𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡] con 0 ≤ t ≤ 6π, si el material tiene una densidad ρ(x,y,z) = 1+z.

𝑟´(𝑡) = [−𝑠𝑒𝑛(𝑡), cos(𝑡) , 1]

𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 + 𝑧

𝜌(𝑡) = 1 + 𝑡

𝑚 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑐

𝑑𝑠 = ∫ 𝜌(𝑡)|𝑟´(𝑡)

𝑒

|𝑑𝑡

𝑚 = ∫ (1 + 𝑡)|[−𝑠𝑒𝑛(𝑡), cos(𝑡) , 1]|6𝜋

0

𝑑𝑡

𝑚 = ∫ (1 + 𝑡) [√(−𝑠𝑒𝑛(𝑡))2

+ (cos(𝑡))2 + (1)2]6𝜋

0

𝑑𝑡

𝑚 = ∫ (1 + 𝑡)[√2]6𝜋

0

𝑑𝑡

𝑚 = ∫ √2 + 𝑡√26𝜋

0

𝑑𝑡

𝑚 = 𝑡√2 +𝑡2

2√2 |

6𝜋 0

= 277.89

6.3 INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA

Sea C una curva uniforme definida por la función vectorial r(t), a < t < b. Sea f la función derivable de dos o tres

variables cuyo vector gradiente ∇𝑓 es continuo en C. Entonces:

14


∫ ∇𝑓 ∙ 𝑑𝑟

𝑐

= 𝑓(𝑟(𝑏)) − 𝑓(𝑟(𝑎))

Suponga que F es un campo vectorial que es continuo en una región conexa abierta D. Si ∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑟𝑐

es

independiente de la trayectoria en D, entonces F es un campo vectorial conservativo en D, Es decir existe una

función f tal que . ∇𝑓 = �⃗�.

La integral de un campo vectorial es independiente de la trayectoria cuando sus campos vectoriales son conservativos. Teorema : sea F (x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j continuo en una región abierta y conexa D, y sea C una curva regular

parte por parte en D con extremos A(x1, y1) y B(x2, y2). Si F (x, y) = ),( yxf , entonces

y) (x,f y1) f(x1,-y2) (x2, f

dr F dy y) (x, N dx y) (x, M

)2,2(

)1,1(

c

y2) (x2,

y1) (x1,

yx

yx

Si un campo vectorial de fuerza F es conservativo, entonces el trabajo realizado a lo largo de la trayectoria C de A

a B es igual a la diferencia de potencias entre A y B.

Ejemplo12 : Considere el siguiente campo vectorial �⃗� = 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦)𝑖 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦)𝑗

a) ¿Se puede asegurar que el campo es conservativo? ¿Por qué?

𝜕(2𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦))

𝜕𝑦= 2cos (2𝑥 + 𝑦)

𝜕(𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦))

𝜕𝑥= 2cos (2𝑥 + 𝑦)

Es conservativo por:

𝜕𝑀

𝜕𝑦=

𝜕𝑁

𝜕𝑥

b) Dada la siguiente integral ∫ 𝐹 ⃗⃗⃗⃗𝐶

∙ 𝑑𝑟 en la cual �⃗� es el campo vectorial dado y C está formada por 2

segmentos de línea y un cuarto de circunferencia. El primer segmento une los puntos (π,0) y (2,5), el segundo segmento comienza en (2,5) y termina en (5π,0), luego el arco se extiende desde este punto hasta (0,5π).

¿Que métodos conoce para calcular la integral dada?. ¿Cuál considera más conveniente en este caso ?. Efectúe el cálculo de la integral.

15


Como es un campo vectorial conservativo realizamos los cálculos independientes de su trayectoria para no complicar mucho el cálculo.

Se obtiene la función potencial del campo de fuerza:

�⃗� = 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦)𝑖 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦)𝑗

1) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦)

2) 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦)

𝜕𝑓

𝜕𝑥= 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦) 𝑓 = − cos(2𝑥 + 𝑦) + 𝑔(𝑦)

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦) 𝑓 = − cos(2𝑥 + 𝑦) + ℎ(𝑥)

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 , 𝑔(𝑦) = 0 𝑦 ℎ(𝑥) = 0

La función potencial es :

𝒇(𝒙, 𝒚) = −𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙 + 𝒚)

Calculo de la integral:

∫ �⃗� ∙ 𝑑𝑟

𝑐

= [−𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙 + 𝒚)](0,5𝜋)

(𝜋, 0)

∫ �⃗� ∙ 𝑑𝑟

𝑐

= cos(2𝜋) − cos(5𝜋) = 1 − (−1) = 2

6.4 TEOREMA DE GREEN

En esta parte se desarrolla el Teorema de Green, el cual permitió modelar diversas situaciones en el marco de las

teorías de electricidad, magnetismo y el análisis de fluídos.

16


Se dice que la curva es cerrada si r (a) = r (b). C se dice que es una curva simple, si r es inyectiva en (a,b), es

decir, si r(t1) ≠r (t2).

Para comprender mejor se ha tomado como convenio, para las curvas cerradas la orientación positiva se define

como el sentido antihorario.

El teorema de Green vincula integrales de línea e integrales dobles.

Sea C una curva regular parte por parte y cerrada simple, orientada positivamente, y sea R la región del plano acotada por C y su interior. Si M y N son dos funciones continuas que tienen primeras derivadas continuas en una región abierta D que contiene a R, entonces:

dAy

M

x

NNdyMdx

RC

El teorema de Green se puede extender a regiones que no son simplemente conexas, es decir, que tiene "agujeros" como la que se muestra en el dibujo.

La frontera de esta región está formada por dos curvas cerradas simples. La orientación que se debe tomar en cada trozo de la frontera es aquella que deja la región a la izquierda: la curva de fuera con sentido antihorario mientras que para la curva interior se toma el sentido horario.

Ejemplo 13 Verifique el teorema de Green para el campo vectorial dado y la región dada ¿Cuál de los 2 métodos es más conveniente?

�⃗�(𝑥, 𝑦) = [𝑦2 cos(𝑥) , 𝑥2 + 2𝑦𝑆𝑒𝑛(𝑥)]

𝜕𝑁

𝜕𝑥= 2𝑥 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝜕𝑀

𝜕𝑦= 2𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥)

17


∬ (𝜕𝑁

𝜕𝑥−

𝜕𝑀

𝜕𝑦)

𝑅

= ∫ ∫(2𝑥 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 2𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥))𝑑𝐴

= ∫ ∫ 2𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥

= ∫ ∫ 2𝑥3𝑥

0

2

0

𝑑𝑦𝑑𝑥

= ∫ 2𝑥𝑦 |3𝑥

0

2

0

𝑑𝑥

= ∫ 6𝑥22

0

𝑑𝑥 = −6𝑥3

3|2 0

= 16

Ejemplo 14 Calcule el trabajo realizado por F = 2yi-3xj, al mover un objeto en torno al asteroide:

3

3

3

2

3

2

ayx

c

NdyMdx

𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠3(𝑡) 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 3(𝑡)

𝑑𝑥 = −3𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠2(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 3𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 2(𝑡) cos(𝑡) 𝑑𝑡

𝑊 = ∫ [2𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 3(𝑡)(−3𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠2(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑡)) − 3𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠3(𝑡)3𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 2(𝑡) cos(𝑡)]𝑑𝑡2𝜋

0

𝑊 = −𝑎2 ∫ 6𝑠𝑒𝑛(𝑡)cos5(𝑡) + 9𝑠𝑒𝑛5(𝑡) cos(𝑡) 𝑑𝑡 = 02𝜋

0

𝜕𝑀

𝜕𝑦= 2

𝜕𝑁

𝜕𝑥= −3

x

y

18


𝑊 = ∫ ∫ −5(𝑎

23−𝑥

23)

32

0

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑎

0

6.4.1 Área de una región (paramétricas)

Ejemplo 15 Aplique el teorema de Green para calcular el área de una región plana D limitada por un arco de la curva x=t – sen(t), y = 1 – cos(t).

𝐴 =1

2∫ 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥

𝑐

=1

2∫ (𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡))(sin (𝑡))𝑑𝑡 − (1 − cos(𝑡))(1 − cos(𝑡))𝑑𝑡

0

2𝜋

=1

2∫ (𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑡)) − (1 − cos(𝑡))2𝑑𝑡

0

2𝜋

=1

2∫ 𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 2𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 2 𝑑𝑡

0

2𝜋

=1

2[𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 𝑡 cos(𝑡) + 2𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 2𝑡]

0

2𝜋=

1

2(2𝜋 + 4𝜋) = 3𝜋

6.5 INTEGRALES DE SUPERFICIE

x

y

19


Una integral de superficie se caracteriza por ser una integral doble de una función de 3 variables sobre una

superficie generalizada, donde la región G es la superficie dada por la gráfica de ),( yxfz donde (x,y) varía

sobre el rectángulo R en el plano xy. Sea P una partición de R en n subrectángulos Ri, esto produce una

partición correspondiente de la superficie Gen n partes Gi,

En la figura anterior se elige un punto de muestra ii yx , en R y sea ),(,,,, iiiiiii yxfyxzyx el punto

correspondiente de Gi, entonces se define como la integral de superficie mediante la siguiente expresión.

n

i

iiiiP

G

SzyxgdSzyxg1

0,,lim,,

Donde iS es el área de Gi, finalmente R es el conjunto cerrado y acotado por el plano xy.

Para evaluar una integral de superficie la definición no es suficiente, se necesita una manera práctica de evaluar

una integral de superficie, lo cual se presenta el siguiente :

Si G es una superficie dada por ),( yxfz , donde ),( yx esta en R, si f tiene derivadas parciales de primer

orden continuas y )),(,,(),,( yxfyxgzyxg es continua e R entonces

dydxffyxfyxgdSzyxgG R

yx 1)),(,,(),,( 22

6.5.1 Integrales de superficie de campos vectoriales

Aquí solo se consideran superficies de dos lados de modo que tenga sentido hablar de un fluido que fluye través

de la superficie de un lado a otro, como si la superficie fuese una pantalla.

Además se supone que la superficie es suave, lo que significa que tiene un vector normal unitario N que varía en

forma continua. Siendo G tal superficie suave con dos lados, y se supone que se sumerge en un fluido con un

Ri

x

z

y

R

Gi z = f(x,y)

20


campo de velocidad continuo ),,( zyxF si S es el área de una pequeña parte de G, entonces F casi es

constante ahí, y el volumen V del fluido cruza este pedazo en la dirección del vector normal unitario N es.

SNFV

Lo cual se tiene que el flujo a través de G es :

G

dSNFFlujo

Si G es una superficie suave con dos lados, dada por ),( yxfz , donde ),( yx esta en R, sea N el vector

normal unitario hacia arriba . Si f tiene primeras derivadas parciales continuas y F=Mi + Nj + Pk es un campo

vectorial continuo, entonces el flujo de F a través de G está dado por :

dxdyPNfMfdSnFG G

yx Flujo

Ejemplo 16 Evaluar la integral dSzxyG

, donde G es la parte del plano 32 zyx contenida en el

primer octante sobre el plano “xy” .

En este caso z = 3+ y – 2x = f(x,y), fx = -2 fy = 1 , xyxyzyxg 23),,(

G

x

dydxxyxydSzxy 2/3

0

32

0

22 11)2()23(

2/3

0

32

0

22

22

32

6 dxxyy

yxy

x

n F

S

X

Y

Z

21


2/3

0

22

)32(22

)32()32(3

2

)32(6 dxxx

xx

xx

32

645

2

)32)(1(6

2/3

0

2

dxxx

Ejemplo 17 Calcular el flujo hacia arriba de kxjyiF 9 a través de la parte de la superficie esférica G

determinada por :

229),( yxyxfz , 40 22 yx

El campo vectorial F es una corriente de flujo que se encuentra en la dirección del eje positivo.

𝑧2 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2

2𝑧𝜕𝑧

𝜕𝑥= −2𝑥 𝑓𝑥 =

𝜕𝑧

𝜕𝑥= −

𝑥

𝑧

2𝑧𝜕𝑧

𝜕𝑦= −2𝑦 𝑓𝑦 =

𝜕𝑧

𝜕𝑥= −

𝑦

𝑧

22


g

dSNFFlujo

=

R

dAz

yx

z

xy 9)(

= R

dA )2(99 2

= 36 unidades cúbicas

Ejemplo 18 Evaluar el flujo para el campo vectorial zkyjxiF

a través del parte G el paraboloide

221 yxz que está arriba del plano xy, considerando a N como el vector normal hacia arriba.

221),( yxyxf

xy

z

(2.00,2.00,0.00)

(-2.00,-2.00,3.00)

xy

z

(1.00,1.00,0.00)

(-1.00,-1.00,1.00)

23


xf x 2 yf y 2

zyxPNfMf yx 22 22

222222 1122 yxyxyx

G R

dxdyyxdSNF 221

2

0

1

0

2

2

31 rdrdr

Ejemplo 19 Calcule la masa y el centro de masa de un embudo delgado con forma de cono 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 ,

1 ≤ z ≤ 4 y densidad de masa (masa por unidad de área) dada por la función ρ = 10 – z .

1 ≤ 𝑟 ≤ 4 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝑚 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑺

𝑑𝑠

𝑚 = ∬ (10 − 𝑧)

𝑺

𝑟√2𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

𝑚 = √2 ∫ ∫ (10 − 𝑟)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃4

1

2𝜋

0

𝑚 = √2 ∫ 5𝑟2 −𝑟3

3|4 1

𝑑𝜃2𝜋

0

𝑚 = √2 ∫ 54𝑑𝜃2𝜋

0

= 108𝜋√2

Centro de Masa

�̅� = �̅� = 0 → 𝑃𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎

𝑧̅ =1

𝑚∬ 𝑧

𝑆

𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠

x

y

z

(4.00,4.00,1.00)

(-4.00,-4.00,4.00)

24


𝑧̅ =1

108𝜋√2√2 ∫ ∫ 𝑟(10 − 𝑟)𝑟

4

1

2𝜋

0

𝑑𝑟𝑑𝜃

𝑧̅ =1

108𝜋∫ (

10𝑟3

3−

𝑟4

4)

4

1

2𝜋

0

𝑑𝜃

𝑧̅ =1

108𝜋∫

585

4

2𝜋

0

𝑑𝜃

𝑧̅ =65

24

Centro de Masa (0, 0,65

24)

6.5.2 Integrales de flujo en forma paramétrica

Si F es un campo vectorial continuo definido sobre una superficie orientada S con un vector unitario normal n,

entonces la integral de superficie de F sobre S es

∬ �⃗� ∙ 𝑑𝑆

𝑆

= ∬ �⃗� ∙ �⃗⃗⃗� 𝑑𝑆

𝑆

También se representa como:

∬ �⃗� ∙ 𝑑𝑆

𝑆

= ∬ �⃗� ∙ (𝑟𝑣⃗⃗⃗ ⃗ × 𝑟𝑢⃗⃗⃗⃗ )𝑑𝐴

𝐷

Ejemplo 20 Evaluar el flujo para el campo vectorial zkyjxiF

a través de la parte del paraboloide

221 yxz que está arriba del plano xy, considerando a N como el vector normal hacia arriba. Aplicar

fórmula de paramétricas.

𝑟 = [𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑡), 1 − 𝑢2]

0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑢 ≤ 1

𝑟𝑢 = [𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑠𝑒𝑛(𝑡), −2𝑢]

𝑟𝑡 = [−𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑡), 0]

x y

z

25


𝑟𝑢 × 𝑟𝑡 = |

𝑖 𝑗 𝑘

cos (𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑡) −2𝑢

−𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑡) 0| = [2𝑢2 cos(𝑡) , 2𝑢2𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑢]

𝐹 = [𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑡), 1 − 𝑢2]

∬ 𝐹 ∙ (𝑟𝑣 × 𝑟𝑢)𝑑𝐴

𝐷

∬[𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑡), 1 − 𝑢2] ∙

𝐷

[2𝑢2 cos(𝑡) , 2𝑢2𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑢]𝑑𝑢𝑑𝑡

∫ ∫ (2𝑢3 + 𝑢 − 𝑢3)𝑑𝑢𝑑𝑡𝟏

𝟎

𝟐𝝅

𝟎

=𝟑𝝅

𝟐

El resultado se lo puede interpretar como un caudal, flujo de calor y flujo eléctrico, según sea la aplicación.

6.6 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS.

Sea

kPjNiMF un campo vectorial tal que M, N y P tienen primeras derivadas parciales continuas en

un sólido Q con frontera S, si N

denota el vector normal unitario, entonces, el flujo de

F a través de una

frontera de una región cerrada en el espacio tridimensional es la integral triple de su divergencia sobre la región.

dVFDivdSNFQS

Ejemplo 21 : Sea E la región en R3 acotada por la superficie 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 y el plano z = 1 , aplique el teorema de la

divergencia para calcular la siguiente integral ∬ (𝑦𝑖 + 𝑥𝑗 + 𝑧2�⃗⃗�) ∙ 𝑑𝑆𝑆

, con “S” orientada hacia el exterior.

�⃗� = 𝑦𝑖 + 𝑥𝑗 + 𝑧2�⃗⃗�

div�⃗� = 2𝑧

26


𝑧 = 𝑥2+𝑦2 , 𝑧 = 1

𝑥2 + 𝑦2 = 1

𝑧 = 𝑟2

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝑟 ≤ 1

∬ (𝑦𝑖 + 𝑥𝑗 + 𝑧2�⃗⃗�) 𝑑𝑠𝑆

= ∭ div𝐹

𝐸𝑑𝑉=∭ 2z

𝐸𝑑𝑉

∫ ∫ ∫ 2𝑧1

𝑟2𝑑𝑧

1

0

𝑟2𝜋

0

𝑑𝑟𝑑𝜃

∫ ∫ 𝑧2 |1

𝑟2

1

0

𝑟2𝜋

0

𝑑𝑟𝑑𝜃

∫ ∫ (1 − 𝑟4)1

0

𝑟2𝜋

0

𝑑𝑟𝑑𝜃

∫𝑟2

2−

𝑟6

6

2𝜋

0

|1 0

𝑑𝑟𝑑𝜃

∫1

3

2𝜋

0

𝑑𝜃 =2𝜋

3

6.7 TEOREMA DE STOKES

Sea S la superficie, C una curva cerrada suave por partes y N

vector normal,

kPjNiMF es un

campo vectorial donde M , N y P tienen primeras derivadas parciales continuas en S y su frontera C. Si T

denota el vector tangente unitario a C, entonces: La integral de línea de la componente tangencial de F a lo largo de C recorrida una vez en la orientación positiva es igual a la integral de superficie sobre S de la componente normal de rot F.

dSNFrotdsTFSC

)(

x

y

z

(1.00,1.00,0.00)

(-1.00,-1.00,1.00)

27


El teorema de Stokes relaciona una integral de superficie sobre una superficie S con una integral de línea alrededor de la curva frontera de S, que es una curva en el espacio.

Ejemplo 22 Aplicar el teorema de Stokes siendo :

kzjyixF 222; S es el hemisferio

221 yxz

y N

es el vector normal superior.

tx cos ; senty

; 0=z

kjsentitr cos

dtkjtisentrd )0cos(

CSC

rdFdSNFrotdsTF )(

2

0

22 ).(cos.cos dtttsensentt

2

0

33cos tsent

0

x

y

z

(1.00,1.00,0.00)

(-1.00,-1.00,1.00)

28


Ejemplo 23 Sea S la parte del paraboloide 𝑧 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2 para 𝑧 ≥ 0, sea C la traza de S en el plano 𝑥𝑦.

Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial �⃗� = 3𝑧𝑖 + 4𝑥𝑗 + 2𝑦𝑘.

𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 − (9 − 𝑥2 − 𝑦2) = 𝑧 − 9 + 𝑥2 + 𝑦2

�⃗⃗⃗� =∇𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)

‖∇𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)‖=

2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 𝑘

√4𝑥2 + 4𝑦2 + 1

𝑟𝑜𝑡�⃗� = ||

𝑖 𝑗 𝑘𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧3𝑧 4𝑥 2𝑦

|| = 2𝑖 + 3𝑗 + 4𝑘

∬ 𝑟𝑜𝑡𝐶

�⃗� ∙ 𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑑𝑆 = ∬4𝑥 + 6𝑦 + 4

√4𝑥2 + 4𝑦2 + 1𝑆

𝑑𝑆


�⃗� ∙ 𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑑𝑆 = ∬ (4𝑥 + 6𝑦 + 4𝑅

)𝑑𝐴


�⃗� ∙ �⃗⃗⃗�𝑑𝑆 = ∫ ∫ (4𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 6𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 + 4)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = 36𝜋3

0

2𝜋

0

7. EJERCICIOS y PROBLEMAS PROPUESTOS 7.1 Realizar las siguientes ejercicios aplicando software matemático para todas las gráficas y cálculos.

x

y

z

(3.00,3.00,0.00)

(-3.00,-3.00,9.00)

29


LIBRO – STEWART séptima edición

EJERCICIOS

Seccion 16.1 6,16,28,35

Seccion 16.2 8,11,27,34,40,43,48

Seccion 16.3 1,11,15,19,35

Seccion 16.4 3,10,13,18,23

Seccion 16.5 10,12,31,37

Seccion 16.7 15,42,44,45,47

Seccion 16.8 3,10,14,17,18

Seccion 16.9 7,12,18,20

7.2 Problemas de aplicación adicionales

1) La fuerza ejercida en el origen por una carga eléctrica sobre una partícula cargada, en el punto (x,y,z) ,

con un vector de posición 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 es �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘𝑟 /|𝑟|3 donde k es una constante . Determine el trabajo que se lleva a cabo, conforme la partícula se mueve :

a) A lo largo de una recta desde (2,0,0) hasta (2,1,5) b) A lo largo de la cubica alabeada 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑡2, 𝑧 = 𝑡3 desde (0,0,0) a (2,4,8).

2) Hallar el trabajo realizado al mover una carga de +2 coulumbs a lo largo de la trayectoria indicada en la

figura , si el campo eléctrico es �⃗⃗� = 2𝑦2 𝑖 − 4𝑥3 𝑗

3) La superficie cónica 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 4, tiene una densidad constante k . Evalúe el centro de masa y el momento de inercia alrededor del eje z.

4) Calcular la carga contenida en el hemisferio 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 20 , 𝑧 ≥ 0 si el campo eléctrico es

�⃗⃗� = 𝑥 𝑖 + 𝑦𝑗 + 2𝑧 𝑘 ( Utilice ley de Gauss)

x

y

30


8. OBSERVACIONES ESPECIALES

Revise los conceptos vistos en clase y el material subido al AVAC. Desarrollar todas las actividades, los ejercicios propuestos en esta guía y los recomendados por el

docente. Los talleres en clase pueden desarrollarse con grupos de 2 o 3 estudiantes Utilice software matemático para ayuda con las gráficas de los ejercicios. Ante cualquier duda, pregunte a su profesor y asista a las tutorías

calculo vectorial guia unidad5 cvectorial-p44

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