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Apuntes de Geometría Curso 2019/2020

1

BLOQUE DE GEOMETRÍA 1. VECTORES EN EL ESPACIO.

Un vector fijo es un segmento orientado. Se representa por AB . El punto A es el origen, y el punto B, el extremo.

Las características de un Vector AB :

a) El módulo: es su longitud. Se representa por AB .

b) La dirección: es la dirección de la recta que lo contiene. Dos vectores tienen la misma dirección si están situados sobre la misma recta o rectas paralelas.

c) El sentido: es el que va del origen al extremo. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Un vector libre es un vector fijo

ABv =

que representa a todos los vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, es decir, a todos

los vectores equipolentes. 1.1 Coordenadas cartesianas de un vector.

Recordemos: El vector a

es combinación lineal de los vectores u

, v

y w

si existen

números reales x , y , z tales que: wzvyuxa

++=

( ) ( ) ( ) 1,0,0,0,1,0,0,0,1 ==== kjiB

es una base ortonormal porque sus

vectores son perpendiculares dos a dos y de módulo 1. Cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.

Un sistema de referencia del espacio está formado por un punto O y una base B . El

sistema de referencia más sencillo del espacio es el formado por el origen de

coordenadas ( )0,0,0O y la base canónica:

( ) ( ) ( ) ( ) 1,0,0,0,1,0,0,0,1;0,0,0 === kjiO

Las coordenadas cartesianas del vector v

en la base kjiB

,,= son los

coeficientes de los vectores kji

,, que generan el vector v

. Si se tiene que

kzjyixv

++= , las coordenadas de v

son ( )zyx ,, .

Ejercicio 1: Dados ( )2,0,1 −=u

, ( )1,4,3 −=v

, ( )3,1,1−=w

y ( )9,5,8=x

; calcula el valor de a , b y c para

que: wcvbuax

++= .

Ejercicio 2: Estudia si ( )9,15,6−=a

se puede expresar como combinación lineal de ( )2,1,3 −=u

,

( )1,3,4 −=v

y ( )1,5,2−=w

.

1.2 Dependencia e independencia lineal de vectores.

Definición: Un conjunto de vectores 1v

, 2v

, 3v

, …, nv

es linealmente dependiente si alguno de ellos es

combinación lineal de los restantes, es decir, si 112211 ... −−+++= nnn vvvv

con 1 , 2 , …, 1−n

números reales.

Definición: Los vectores 1v

, 2v

, 3v

, …, nv

son linealmente independientes cuando no son linealmente

dependientes.

El rango de un conjunto de vectores 1v

, 2v

, 3v

, …, nv

es el máximo número de esos vectores que forman un

subconjunto linealmente independiente. De ahí se deduce que n vectores dados serán linealmente

independientes si y sólo si su rango es igual a n . En particular, tres vectores ( )321 ,, uuuu =

, ( )321 ,, vvvv =

y ( )321 ,, wwww =

serán linealmente independientes si su rango es 3 , es decir, si: 0

333

222

111

wvu

wvu

wvu

.


2

Ejercicio 3: Sean los vectores ( )0,1,01 =v

, ( )1,1,22 −=v

y ( )1,3,23 −=v

:

a) ¿Son los vectores 1v

, 2v

y 3v

linealmente dependientes?

b) ¿Para qué valores de a el vector ( )2,3,4 −+a puede expresarse como combinación lineal de los vectores 1v

, 2v

y 3v

?

1.3 Vector de posición.

El vector de posición de un punto P es el que nace en el origen de coordenadas

( )0,0,0O y tiene su extremo en el punto P . Las coordenadas del vector de posición

coinciden con las del punto P .

Ejemplo: El vector de posición del punto ( )4,3,2 −P es ( )4,3,2 −=OP .

1.4 Coordenadas de un vector definido por dos puntos.

El vector definido por dos puntos ( )111 ,, zyxA y ( )222 ,, zyxB es el que se obtiene al restar al vector de

posición del extremo OB el vector de posición del origen OA .

OAOBAB −= Sus coordenadas son ( )121212 ,, zzyyxxAB −−−=

Ejemplo: Dados los puntos ( )1,4,3A y ( )3,5,2−B , calcula analítica y gráficamente el

vector AB .

( ) ( )2,1,513,45,32 −=−−−−=AB

Ejercicio 4: Dados los puntos ( )1,0,0A , ( )1,0,1 −B , ( )2,1,0 −C y ( )0,2,1D ;

demostrar que los cuatro puntos no son coplanarios (no están en el mismo plano).

Ejercicio 5: Dados los puntos ( )2,1,3 −A y ( )1,2,1−B , calcula analítica y gráficamente los vectores AB y BA

¿Qué relación hay entre los dos vectores? 1.5 Centros de gravedad. a) Punto medio de un segmento. El punto medio de un segmento se calcula haciendo la semisuma de las coordenadas de los extremos; es decir, dado

el segmento de extremos ( )111 ,, zyxA y ( )222 ,, zyxB , el punto medio es:

+++

2,

2,

2

212121 zzyyxxM .

b) Baricentro de un triángulo.

Dado el triángulo de vértices ( )111 ,, zyxA , ( )222 ,, zyxB , ( )333 ,, zyxC , el baricentro es el centro de

gravedad del triángulo y se calcula sumando las coordenadas de los vértices y dividiendo entre 3 . Se representa

por G .

++++++

3,

3,

3

321321321 zzzyyyxxxG

c) Centro de gravedad de un tetraedro. Las coordenadas del centro de gravedad de un tetraedro vienen dadas por la fórmula siguiente:

+++++++++

4,

4,

4

432143214321 zzzzyyyyxxxxG

2. OPERACIONES CON VECTORES. 2.1 Operaciones básicas con vectores.

2.1.1Suma y resta de vectores. Para sumar y restar analíticamente vectores, se suman o se restan sus coordenadas. Para sumar geométricamente vectores, se traslada uno sobre el extremo del otro, y la suma es el vector que tiene como origen, el origen del primero, y como extremo, el extremo del segundo. Para restar geométricamente dos vectores, se le suma al primero el opuesto del segundo.


3

Ejemplos:

a) ( )4,3,2 −=u

y ( )1,4,5−=v

( )5,1,3−=+ vu

b) ( )5,3,2=u

y ( )1,4,3−=v

( )4,1,5 −=−vu

2.1.2 Producto de un número por un vector.

Para multiplicar analíticamente un número por un vector, se multiplica el número por las coordenadas del vector. Para multiplicar geométricamente un número por un vector, se lleva el vector sobre sí mismo tantas veces como indique el número.

Ejemplo:

( )4,3,2=v

( )8,6,42 =v

Ejercicio 6: Si ( )1,2,1 −A y ( )9,6,3B , halla las coordenadas del punto C sabiendo que CACB 3−= .

2.1.3 Determinación de puntos en el espacio.

Para determinar puntos en el espacio, se aplican las operaciones con vectores a los vectores de posición. Ejemplo: Las coordenadas de tres vértices consecutivos de un paralelogramo son

( )5,1,3 −A , ( )4,2,5 −−B

y ( )3,4,3−C . Halla el

vértice D .

El vector BCOAOD +=

Como ( )1,6,2 −=BC entonces

( ) ( ) ( )4,5,51,6,25,1,3 =−+−=OD

2.2 Operaciones que permiten medir en el espacio (longitudes, áreas, volúmenes y ángulos).

2.2.1 Producto escalar. El producto escalar de dos vectores es el número que se obtiene al multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo

que forman. cos= vuvu

Propiedades:

a) El producto escalar de un vector por sí mismo es un número real positivo o cero. 0vv

b) uvvu=

c) ( ) ( ) ( )vkuvukvuk

== k

d) ( ) wuvuwvu+=+

Consecuencias que se derivan:

▪ Si dos vectores tienen la misma dirección

y mismo sentido: vuvuvu

== 0cos

y distinto sentido: vuvuvu

−== 180cos

▪ Dos vectores no nulos son perpendiculares (u ortogonales) si y sólo si su producto escalar es cero.

vu

⊥ 0=vu

siendo 0u

y 0v

▪ Desigualdad de Cauchy-Schwarz: vuvu


4

Aplicaciones del producto escalar:

Módulo de un vector: Sea v

un vector no nulo cualquiera del espacio. Si efectuamos el producto escalar de u

por

sí mismo, obtenemos: 22

10cos vvvvvv

=== ; entonces: vvv+=

Un vector unitario tiene de módulo uno. Para hallar un vector unitario en la dirección del vector ( )321 ,, vvvv =

,

se dividen sus coordenadas por el módulo de v

:

=

v

v

v

v

v

vu 321 ,, .

Ángulo que forman dos vectores: vu

vuvu

=

,cos

Para cada valor de a , tal que 11 − a , existen dos ángulos cuyo coseno vale a :

a=cos y ( ) a=−º360cos . Consideraremos que el ángulo entre los dos

vectores es el menor de estos.

Expresión analítica del producto escalar (en una base ortonormal):

El producto escalar de dos vectores ( )321 ,, uuuu =

y ( )321 ,, vvvv =

es la suma del producto de sus

coordenadas: 332211 vuvuvuvu ++=

Interpretación geométrica del producto escalar:

Dados dos vectores u

y v

, no nulos, la proyección de v

sobre u

, voyu

Pr , es el cateto, que

sigue la dirección de u

, del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es v

.

Análogamente, uoyv

Pr ,

proyección de u

sobre v

:

El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él:

= uvu

voyu

Pr = vvu

uoyv

Pr

Ejercicio 7: Halla el producto escalar de los vectores ( )2,3,5 −=u

y ( )4,1,2=v

.

Ejercicio 8: Calcula el ángulo que forman los vectores ( )2,3,1−=u

y ( )5,1,4=v

.

Ejercicio 9: Calcula el valor de k para que el vector ( )ku ,4,7=

sea perpendicular al vector ( )6,1,2 −−=v

.

Ejercicio 10: Sea el vector ( )5,2,3 −=v

.

a) Calcula su módulo b) Halla un vector unitario en la dirección de v

c) Halla otro vector unitario en la dirección de v

.

Ejercicio 11: Se sabe que un vector del espacio es kzjiv

+−= 124 . Determina los valores posibles de la coordenada

z sabiendo que 13=v

.

Ejercicio 12: Calcula un vector unitario ortogonal al vector ( )1,0,2 −=v

.

2.2.2 Producto vectorial.

El producto vectorial de dos vectores, u

y v

,es otro

vector que se representa por vu

x y que tiene las

siguientes características: Módulo: es el producto de los módulos por el seno

del ángulo que forman: senvuvu =

x .

[ es el menor ángulo entre los vectores]

Dirección: es perpendicular al plano determinado por los

vectores u

y v

.

Sentido: avanza en el sentido de avance de un tornillo que

rota de u

hacia v

.


5

Expresión analítica (en una base ortonormal):

El producto vectorial de dos vectores ( )321 ,, uuuu =

y ( )321 ,, vvvv =

se obtiene desarrollando el siguiente

determinante por los adjuntos de la primera columna:

kvu

vuj

vu

vui

vu

vu

vuk

vuj

vui

vu

22

11

33

11

33

22

33

22

11

x +−==

por tanto,

−=

22

11

33

11

33

22,, x

vu

vu

vu

vu

vu

vuvu

En la práctica, el desarrollo del determinante se hace mentalmente, y se escriben directamente las componentes del vector.

Ejercicio 13: Calcula el producto vectorial de los vectores: a) ( )2,1,3 −=u

y ( )5,2,4=v

.

b) ( )0,1,1−=u

y ( )1,1,1=v

. c) ( )1,0,1=u

y ( )0,1,1−=v

.

Ejercicio 14: Halla un vector perpendicular a los vectores siguientes: ( )0,1,2 −=u

y ( )2,1,5 −=v

Propiedades del producto vectorial:

a) 0 x

=uu para cualquier vector u

.

b) u

es paralelo a v

0 x

=vu

c) uvvu

x x −=

d) ( ) ( ) ( )vkuvukvuk

x x x == k

e) ( ) wuvuwvu

x x x +=+

Ejercicio 15: Sean dos vectores a

y b

perpendiculares. Si 3=a

y 4=b

, calcula ( ) ( ) x baba

−+ .

Interpretación geométrica del producto vectorial:

Área del paralelogramo: El área del paralelogramo definido por dos vectores es el módulo del producto vectorial.

Área del paralelogramo ACABABCD x =

Área del triángulo: El área del triángulo formado por dos vectores es un medio del módulo de su producto vectorial.

Área del triángulo ACAB x 2

1=

Ejercicio 15: Calcula el área del triángulo ABC tal que: ( )1,2,1A , ( )0,1,1−B y ( )1,1,2C

2.2.3 Producto mixto.

El producto mixto de tres vectores, u

, v

y w

, es el número que se obtiene al realizar el producto escalar del

primer vector por el producto vectorial de los otros dos. Se representa por wvu

, , y es:

( )wvuwvu

x , , =

Expresión analítica (en una base ortonormal):

El producto mixto de tres vectores ( )321 ,, uuuu =

, ( )321 ,, vvvv =

y ( )321 ,, wwww =

viene dado por el

valor del siguiente determinante:

333

222

111

, ,

wvu

wvu

wvu

wvu =


6

Ejercicio 16: Calcula el producto mixto de los vectores:

a) ( )3,2,1 −=u

, ( )1,1,4=v

y ( )6,2,5 −=w

b) ( )1,0,1 −=u

, ( )0,1,2 −=v

y ( )2,1,1−=w

Propiedades: Como ( )wvuwvu

, , det , , = , todas las propiedades del producto mixto se deducen de las

propiedades de los determinantes.

a) wvu

, , = uwv

, , = vuw

, , = uvw

, ,− = wuv

, ,− = vwu

, ,−

b) 0 , , =wvu

u

, v

, w

son linealmente dependientes o coplanarios.

c) xyzwvux =

z ,y , wvu

, ,

Interpretación geométrica del producto mixto: Volumen del paralelepípedo:

El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores AB , AC y AD ,

es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores.

Volumen del paralelepípedo , , ADACAB=

Volumen del tetraedro: El volumen del tetraedro es la sexta parte del volumen del

paralelepípedo V , , 6

1ADACAB= , ya que un paralelepípedo se descompone

en 6 tetraedros con idéntico volumen.

Ejercicio 17: Halla el volumen

del tetraedro definido por los puntos: ( )2,0,1 −A ,

( )5,1,3B , ( )0,3,4−C y ( )3,2,6 −−D .

Ejercicio 18: Dados los vectores ( )1,1,2 −=u

,

( )1,5,3−=v

y ( )2,,4 kw=

, calcula el valor de

k para que el volumen del paralelepípedo definido por

dichos vectores sea igual a 26 unidades cúbicas.

Ejercicio 19: El volumen de un tetraedro es de 5 unidades cúbicas. Si tres de sus vértices se encuentran en los

siguientes puntos: ( )1,1,2 −A , ( )1,0,3B y ( )3,1,2 −C ; halla las coordenadas del vértice D sabiendo que está

en el eje Y .

3. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO.

3.1 Punto y vector: Conocido un punto ( )321 ,, aaaA y un vector director ( )321 ,, vvvv =

(Un vector director de una recta es cualquier vector que está en la recta o es paralelo a ella)

ECUACIÓN DE LA RECTA EJEMPLO ( )4,2,5 −A ( )1,4,3−=v

Ecuación vectorial

vtax

+= con t IR

( ) ( ) ( )321321 ,,,,,, vvvtaaazyx +=

( ) ( ) ( )1,4,34,2,5,, −+−= tzyx

con t IR

Ecuaciones paramétricas

+=

+=

+=

33

22

11

con ;

tvaz

ttvay

tvax

IR

+=

+−=

−=

tz

tty

tx

4

con ;42

35

IR

Ecuación continua

3

3

2

2

1

1

v

az

v

ay

v

ax −=

−=

− 4

4

2

3

5−=

+=

−

−z

yx

Ecuaciones implícitas

=++

=++

DzCyBxA

DCzByAx

=+

=+

173

14 34

zx

yx

Es importante reconocer con facilidad los ejes cartesianos. En forma implícita, son las intersecciones entre x=0, y=0, z=0.


7

3.2 Conocidos dos puntos ( )321 ,, aaaA y ( )321 ,, bbbB

“Dos puntos distintos de IR3 determinan una recta y sólo una que los contiene”

Se toma uno de los puntos A o B , y, como vector director, el vector

AB .

Para pasar de una ecuación a otra hay que hallar un punto y un vector director. Si nos dan las ecuaciones implícitas, se resuelve el sistema y se hallan dos soluciones particulares. Es muy importante tener soltura para pasar de una ecuación a otra. IMPORTANTE: Un punto está en una recta si y sólo si verifica su ecuación.

Ejercicio 20: Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por el punto ( )0,1,1−A y un vector director es

( )2,1,1−=v

.

Ejercicio 21: Halla la ecuación de la recta, de todas las formas posibles, que pasa por los puntos ( )1,4,3 −A y

( )5,2,1−B .

Ejercicio 22: Escribe la ecuación continua de la siguiente recta:

=−−

=+−

52

4

zyx

zyx

Ejercicio 23: Se consideran las rectas:

=−+

=−

0

3 :

zyx

yxr y

=−

=−

72

4 :

yx

zxs Halla la ecuación continua de la

recta que contiene al punto ( )2,1,2 −P y cuyo vector director es perpendicular a los vectores directores de las

dos rectas anteriores.

Ejercicio 24: En el espacio se da la recta definida por los dos puntos ( )3,2,1 y ( )2,6,1− . Halla el valor del

parámetro k para que el punto ( )kkk 3,2, pertenezca a dicha recta.

4. ECUACIONES DEL PLANO EN EL ESPACIO.

4.1 Punto y dos vectores: Conocido un punto ( )321 ,, aaaA y dos vectores directores ( )321 ,, uuuu =

y

( )321 ,, vvvv =

(Dos vectores directores de un plano son dos vectores paralelos al plano e independientes entre sí)

ECUACIÓN DEL PLANO EJEMPLO ( )2,4,3 −A , ( )1,2,1 −=u

y

( )5,3,4=v

Ecuación vectorial

++= ,con vuax

IR

( ) ( ) ( ) ( )321321321 ,,,,,,,, vvvuuuaaazyx ++=

( ) ( ) ( ) ( )5,3,41,2,12,4,3,, +−+−=zyx

Ecuaciones paramétricas

++=

++=

++=

333

222

111

, ;

vuaz

vuay

vuax

IR

+−=

++−=

++=

5 2

, ;324

4 3

z

y

x

IR

Ecuación general o implícita

0=+++ DCzByAx 0655913 =−−− zyx

4.2 Conocidos tres puntos no alineados ( )321 ,, aaaA , ( )321 ,, bbbB y ( )321 ,, cccC

“Tres puntos no alineados de IR3 determinan un plano y sólo uno que los contiene”

Se toman un punto A , B o C y dos vectores directores AB

y AC . Los planos cartesianos son x=0, y=0, z=0.


8

4.3 Punto y vector normal: Conocido un punto ( )321 ,, aaaA y un vector normal al

plano ( )CBAn ,,=

(Un vector normal a un plano es un vector perpendicular a dicho

plano). Realizando el producto vectorial de los vectores directores obtenemos un vector normal al plano.

Se toma el punto A y se eligen dos vectores perpendiculares al vector normal e independientes entre sí, de esta forma, esos vectores serán vectores directores del plano. Ejercicio 25:

a) Calcula un vector normal al plano de ecuación:

+−=

++−=

++=

5 2

, ;324

4 3

z

y

x

IR

b) Calcula un vector normal al plano de ecuación: 4352 =+− zyx

c) Halla la ecuación general del plano que pasa por el punto ( )5,3,2 −A y un vector normal es

( )4,1,6 −−=n

.

Ejercicio 26: Halla el plano que pasa por los puntos ( )1,2,1A , ( )5,0,2B y ( )6,1,3 −C .

Ejercicio 27: Halla las ecuaciones paramétricas del plano cuya ecuación general es 03 =−−+ zyx .

Ejercicio 28: Halla la ecuación general del plano paralelo a las rectas: zyxr =+= 1 : y

−=

=

+=

1

2

32

:

z

y

tx

s y que

pase por el origen de coordenadas. 4.4 Determinación de una recta que pasa por un punto y corta a otras dos rectas (o se apoya en ellas). Procedimiento: Se determinan dos planos: uno que contiene a la recta r y al punto A y otro que contiene a la recta s y al punto A. La intersección de ambos planos es la recta que nos piden.

Ejercicio 29: Halla la ecuación de la recta que corta a las rectas: zyxr =+= 1 : y

−=

=

+=

1

2

32

:

z

y

tx

s y que pase

por el origen de coordenadas. 5. POSICIONES RELATIVAS EN EL ESPACIO. 5.1 Posición relativa de dos rectas en el espacio. Conocido un punto y un vector director de cada una de las rectas:

:r

Sea ( )321 ,, aaaA un punto de esta recta

Sea ( )321 ,, uuuu =

un vector director

:s

Sea ( )321 ,, bbbB un punto de esta recta

Sea ( )321 ,, vvvv =

un vector director

para estudiar la posición relativa de las dos rectas r y s , se estudia la dependencia lineal de los vectores:

( )332211 ,, abababAB −−−= , ( )321 ,, uuuu =

y ( )321 ,, vvvv =

que es lo mismo que estudiar el rango de la matriz:

−−−

=

321

321

332211

vvv

uuu

ababab

M


9

Pueden darse los siguientes casos:

El rango de M es 1 El rango de M es 2. Pueden darse dos casos: El rango de M es 3

Las coordenadas de los tres vectores son proporcionales.

Las coordenadas de los vectores directores son proporcionales.

1 Rango321

321=

vvv

uuu

Las coordenadas de los vectores directores no son proporcionales.

2 Rango321

321=

vvv

uuu

Los tres vectores son independientes y, por lo tanto, las rectas no están en el mismo plano.

Las dos rectas son coincidentes.

Las rectas son paralelas (las dos rectas no tienen puntos comunes pero están contenidas en el mismo plano).

Las rectas son secantes (las dos rectas se cortan en un solo punto).

Las rectas se cruzan (las dos rectas no tienen puntos comunes, ni están contenidas en el mismo plano).

Ejercicio 30: Estudia la posición relativa de las rectas:

a) 2

2

3

32 :

−=

−

−=−

zyxr

3

1

5

5

2

5 :

−

−=

−

+=

− zyxs

b) ( ) ( ) ( )2,1,10,1,1,, : tzyxr +−= 2

1

1

1

1

1 :

−=

−

−=

− zyxs

c)

=+−+

=+−+

0132

02 :

zyx

zyxr

=++

=+−+−

0

0222 :

zyx

zyxs

Ejercicio 31: Considera las rectas 2

543 :

−=−=−

zyxr y

21

4

2

5 :

mzyxs

−=

−

−=

−

− donde m IR .

Estudia, según los valores del parámetro m , las posiciones relativas de las dos rectas.

5.2 Posición relativa de una recta y un plano en el espacio. Supuesto conocido los siguientes datos de la recta r y del plano :

:r

Sea ( )321 ,, aaaA un punto de esta recta

Sea ( )321 ,, vvvv =

un vector director

=++ : DCzByAx

Sea ( )CBAn ,,=

un vector normal

para estudiar la posición relativa de la recta y el plano, se calcula el producto escalar nv .

Pueden darse los siguientes casos:

0=nv

nv

⊥ ; se pueden dar dos casos: 0nv

Si el punto A Si el punto A v

no es perpendicular a n

La recta está contenida en el plano. La recta es paralela al plano. La recta y el plano son secantes.


10

Ejercicio 32: Halla la posición relativa de estas rectas y planos. Si se cortan, averigua el punto de corte.

a) 4

12

2

1 :

−

−=+=

− zy

xr 1132 : =−+ zyx

b)

=+−

=++

012

022 :

zx

yxr 03 : =+−+ zyx

Ejercicio 33: Halla el valor de a para el que la recta

=−+

=+−

252

12 :

zyx

zyxr y el plano 01 : =++− zyax

sean paralelos. 5.3 Posición relativa de dos planos en el espacio.

Dados los planos 0 : =+++ DCzByAx y 0 : =+++ DzCyBxA pueden darse

tres casos:

D

D

C

C

B

B

A

A

=

=

=

D

D

C

C

B

B

A

A

=

=

B

B

A

A

o

C

C

A

A

Los planos son coincidentes Los planos son paralelos

Los planos son secantes. Se cortan en una recta. Las ecuaciones implícitas de una recta representan la intersección de dos planos.

Ejercicio 34: Estudia la posición relativa de los planos 35 : =++ zyx y 132 : =+− zyx .

Ejercicio 35: Se considera el plano 42 : =++ azayx y la recta

=−+

=++

32

22 :

zyx

zyxr

a) Determina los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos.

b) Para 2=a , calcula la recta que pasa por ( )1,0,1 −P , es paralela al plano y se apoya en la recta r .

5.4 Posición relativa de tres planos en el espacio. Para determinar la posición relativa de tres planos en el espacio estudiamos el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos.

DCzByAx =++ :

DzCyBxA =++ : →

DzCyBxA =++ :

=

D

D

D

CBA

CBA

CBA

M *


11

Rango M =3 Rango *M =3 S.C.D.

Los tres planos se cortan en un punto.

Rango M = 2

Rango *M =3 S.I.

Ninguno de los planos es paralelo a otro. Los tres planos se cortan dos a dos formando una superficie prismática.

→

Dos planos son paralelos y el otro los corta.

Rango *M = 2 S.C.I.

Los tres planos no son coincidentes y se cortan en una recta. Pertenecen a un haz de planos.

Dos planos son coincidentes y el otro los corta en una recta.

Rango M =1

Rango *M = 2 S.I.

Los tres planos son paralelos y distintos dos a dos. Pertenecen a un haz de planos.

Dos planos son coincidentes y el otro es paralelo a ellos y distinto.

Rango *M =1 S.C.I. Los tres planos son coincidentes.

Ejercicio 36: Determina la posición relativa de los planos:

02 : =+−+ zyx

05222 : =+−+ zyx

0 : =++− zyx

Ejercicio 37: Determina el valor de k para que los planos 32 : −=−+ zyx , 106 : −=−+ zkyx ,

132 : =+− zyx , se corten en una recta.

Ejercicio 38: Estudia si existe algún punto que pertenezca a la vez a los tres planos siguientes. Calcula los puntos en

común (si existe). 0 : =+− zyx yz 2 : =

−+=

++=

+=

22

1

1

:

z

y

x


12

6. HAZ DE PLANOS. 6.1 Haz de planos paralelos.

Si nos dan un plano de ecuación general 0=+++ DCzByAx los

planos paralelos al mismo son de la forma: 0=+++ kCzByAx ,

k ya que todos ellos tienen el mismo vector normal ( )CBAn ,,=

.

Se llama haz de planos paralelos al conjunto de planos paralelos a uno dado. El haz de planos queda determinado por un plano cualquiera del mismo.

Su ecuación es: 0=+++ kCzByAx , k IR.

Ejercicio 39: Halla la ecuación del plano que pasa por el punto ( )1,1,1A y es paralelo al plano

0553 =−+− zyx .

6.2 Haz de planos secantes. Si dos planos dados por sus ecuaciones se cortan en una recta r y un tercer plano pasa por esa misma recta, entonces las soluciones comunes de los dos primeros planos lo son también del tercero, luego éste es combinación lineal de ellos y se puede escribir que:

( ) ( ) 0=+++++++=+++ DzCyBxAsDCzByAxtDzCyBxA

(para 0=s se obtiene el primer plano y para 0=t , el segundo)

Análogamente, la ecuación de cualquier plano que pase por la recta intersección tiene las mismas soluciones.

Se llama haz de planos secantes al conjunto de planos que pasan por una recta que se llama arista del haz. El haz queda determinado por dos planos distintos del mismo. Su ecuación es:

( ) ( ) 0=+++++++ DzCyBxAsDCzByAxt , st , IR.

Dividiendo la ecuación entre t obtenemos otra expresión de la ecuación:

( ) ( ) 0=+++++++ DzCyBxAkDCzByAx siendo t

sk = .

Ejercicio 40: Halla la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y contiene la recta determinada por los planos

=−−

=−++

02 :

0 1 :

yx

zyx

Ejercicio 41: Halla la ecuación del plano que pasa por el punto ( )3,0,2P y por la recta dada por la ecuación

3

23

2

1 −=+=

− zy

x.

Ejercicio 42: Calcula el plano que contiene a la recta

=+−+

=−+−

043

012 :

zyx

zyxr y es paralelo a la recta

43

1

2

1-x : −=

+= z

ys .


13

E C U A C I O N E S P A R T I C U L A R E S Q U E S E D E B E N C O N O C E R

E J E S

D E

C O O R D E N A D A S

Eje X Eje Y Eje Z

Punto ( )0,0,0O ( )0,0,0O ( )0,0,0O

Vector director

( )0,0,1=i

( )0,1,0=j

( )1,0,0=k

Ecuaciones de los ejes de coordenadas

Vectorial ( ) ( )0,0,1,, tzyx = ( ) ( )0,1,0,, tzyx = ( ) ( )1,0,0,, tzyx =

Paramétricas

=

=

=

0

;0

z

ty

tx

IR

=

=

=

0

;

0

z

tty

x

IR

=

=

=

tz

ty

x

;0

0

IR

Implícita

=

=

0

0

z

y

=

=

0

0

z

x

=

=

0

0

y

x

R E C T A S P A R A L E

L A S

A L O S

E J E S D E

C O O R D E N A D A S

Paralela al eje X Paralela al eje Y Paralela al eje Z

Punto ( )321 ,, aaaA ( )321 ,, aaaA ( )321 ,, aaaA

Vector director

( )0,0,1=i

( )0,1,0=j

( )1,0,0=k

Ecuaciones de rectas paralelas a los ejes de coordenadas

Vectorial ( ) ( ) ( )0,0,1,,,, 321 taaazyx +=

( ) ( ) ( )0,1,0,,,, 321 taaazyx +=

( ) ( ) ( )1,0,0,,,, 321 taaazyx +=

Paramétricas

=

=

+=

3

2

1

;

az

tay

tax

IR

=

+=

=

3

2

1

;

az

ttay

ax

IR

+=

=

=

taz

tay

ax

3

2

1

; IR

Implícita

=

=

3

2

az

ay

=

=

3

1

az

ax

=

=

2

1

ay

ax


14

P L A N O S

C O O R D E N A D O S

Plano XY Plano XZ Plano YZ

Punto ( )0,0,0O ( )0,0,0O ( )0,0,0O

Vectores directores

( ) ( )0,1,0 ;0,0,1 == ji

( ) ( )1,0,0 ;0,0,1 == ki

( ) ( )1,0,0 ;0,1,0 == kj

Ecuaciones de los planos coordenados

Vectorial ( ) ( ) ( )0,1,00,0,1,, +=zyx

( ) ( ) ( )1,0,00,0,1,, +=zyx

( ) ( ) ( )1,0,00,1,0,, +=zyx

Paramétricas

=

=

=

0

, ;

z

y

x

IR

=

=

=

z

y

x

, ;0 IR

=

=

=

z

y

x

, ;

0

IR

Implícita 0=z 0=y 0=x

P L A N O S P A R A L E L

O S

A L O S

P L A N O S C O O R D E N A D O S

Paralelo al plano XY Paralelo al plano XZ Paralelo al plano YZ

Punto ( )321 ,, aaaA ( )321 ,, aaaA ( )321 ,, aaaA

Vectores directores

( ) ( )0,1,0 ;0,0,1 == ji

( ) ( )1,0,0 ;0,0,1 == ki

( ) ( )1,0,0 ;0,1,0 == kj

Ecuaciones de planos paralelos a los planos coordenados

Vectorial ( ) ( )

( ) ( )0,1,00,0,1

,,,, 321

++

+= aaazyx

( ) ( )

( ) ( )1,0,00,0,1

,,,, 321

++

+= aaazyx

( ) ( )

( ) ( )1,0,00,1,0

,,,, 321

++

+= aaazyx

Paramétricas

=

+=

+=

3

2

1

, ;

az

ay

ax

IR

+=

=

+=

3

2

1

, ;

az

ay

ax

IR

+=

+=

=

3

2

1

, ;

az

ay

ax

IR

Implícita 3az = 2ay = 1ax =


15

7. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL ESPACIO.

La distancia entre dos puntos ( )321 ,, aaaA y ( )321 ,, bbbB es el módulo del vector

( )332211 ,, abababAB −−−=

( ) ( ) ( ) ( )233

2

22

2

11, abababABBAd −+−+−==

8. DISTANCIA A UNA RECTA EN EL ESPACIO. 8.1 Distancia de un punto a una recta.

La distancia de un punto P a una recta r es la longitud del segmento

perpendicular PP a la recta r tal que rP .

Cál

culo

de

su e

xpre

sió

n

Sea ( )321 ,, pppP y

3

3

2

2

1

1

v

az

v

ay

v

axr

−=

−=

− y calculemos ( )rPd ,

Área del paralelogramo = base · altura Área del paralelogramo =

vAP

x

Base = v

Altura = ( )rPd ,

vAP

x = v

· ( )rPd ,

( )rPd , =v

vAP

x

8.2 Distancia entre dos rectas.

Si las dos rectas son coincidentes

( ) 0, =srd

Si las dos rectas son paralelas

Se halla un punto P en la 1ª recta y se calcula: ( ) ( )sPdsrd ,, =

Si las dos rectas se cortan

( ) 0, =srd

Si las dos rectas se cruzan La distancia entre dos rectas r y s

que se cruzan es la menor de las distancias que hay entre dos puntos, uno de cada recta. La recta que pasa por estos puntos es perpendicular a ambas rectas r y s .

Volumen del =

área · altura

paralelepípedo base

Volumen paralelepípedo = ,, vuAB

Área de la base = vu

x

Altura = ( )srd ,

( )srd , =

vu

vuAB

x

,,

Ejercicio 43: Halla ( )rPd , siendo ( )5,3,2 −P y 32

6

4

1 zyxr =

−

+=

−

Ejercicio 44: Halla la distancia del punto ( )2,3,1−P a la recta

=+=−32123

:zxyx

r


16

Ejercicio 45: Halla el punto de la recta 2

111 −=−=− zyxr tal que equidista de los puntos ( )1,0,1A y

( )0,2,1B .

Ejercicio 46: Halla la distancia entre las rectas

=+=−32123

:zxyx

r y 43

1

2: −=

+= z

yxs

Ejercicio 47: Halla el punto de la recta

+=−=

=

21 ; 3

zyx

r IR cuya distancia al punto ( )2,0,1P es 5 .

Ejercicio 48: Dada la recta

=−−=+

012

0yx

zyr y la recta 31

2+−=−= zy

xs calcula la distancia entre

las dos rectas. 9. DISTANCIA A UN PLANO EN EL ESPACIO. 9.1 Distancia de un punto a un plano.

La distancia del punto ( )321 ,, pppP al plano

0: =+++ DCzByAx es la longitud del segmento perpendicular

PP al plano , tal que P . Viene dada por:

( )222

321,

CBA

DCpBpApPd

++

+++=

9.2 Distancia de una recta a un plano.

Si la recta está contenida en el plano

Si la recta es paralela al plano Si la recta corta al plano

( ) 0, =rd ( ) ( ) ,, Pdrd = ( ) 0, =rd

9.3Distancia entre dos planos.

Si los dos planos son coincidentes Si los dos planos son paralelos Si los dos planos se cortan

( ) 0, =d ( ) ( ) = ,, Pdd ( ) 0, =d

Ejercicio 49: Halla la distancia que hay desde el punto ( )3,1,4 −P al plano 07532 =−+− zyx

Ejercicio 50: Calcula la distancia que hay entre la recta zyx

r −=−

+=

−

4

5

3

2 y el plano

091076 =+−+ zyx

Ejercicio 51: Calcula la altura trazada desde el vértice D del tetraedro determinado por los puntos ( )0,0,2A ;

( )2,3,1−B ; ( )1,4,1 −−C y ( )0,0,0D .


17

9.4 Plano bisector. El plano bisector de dos planos es el plano que divide el ángulo diedro formado por los dos planos en dos diedros iguales. Tiene la propiedad de que sus puntos equidistan de los dos planos dados. Existen dos planos bisectores y ambos son perpendiculares. Se calculan con la

fórmula =++

+++

222

321

CBA

DCpBpAp

222

321

'''

''''

CBA

DpCpBpA

++

+++

Ejercicio 52: Calcula el plano bisector de los planos 522 =−+ zyx y 0348 =−+− zyx

10. ÁNGULOS EN EL ESPACIO. 10.1 Ángulo formado por dos rectas.

sr sr r y s se cortan r y s se cruzan

Ángulo = º0 Ángulo = º0 vu

vu

= cos

el ángulo menor que forman

vu

vu

= cos

s es una recta paralela a s

que se corta con r

10.2 Ángulo formado por una recta y un plano.

r r r corta a

Ángulo = º0 Ángulo = º0

nv

nvsen

=

es el menor ángulo formado por v

y

n

r es la proyección de la recta r sobre el plano

es el complementario a


18

10.3 Ángulo formado por dos planos.

y se cortan

Ángulo = º0 Ángulo = º0 nn

nn

=

cos

es el menor ángulo formado por dos rectas secantes y

perpendiculares, respectivamente, a cada uno de los planos.

Ejercicio 53: Halla el ángulo que forman las rectas

−=−=+=

3

52

zty

txr y z

yxs −=

−

+=

−

7

1

3

4

Ejercicio 54: Halla el ángulo que forman la recta 3

1

1

1

2

4

−

+=

−

+=

−

zyxr y 0753 =++− zyx

Ejercicio 55: Halla el ángulo que se forma entre los planos 022 =+−+ zyx y

=+−=++=

33

23

zyx

Ejercicio 56: Dadas las rectas

−==+−

1

02z

yxr y

=−−=

05

2zy

xs determina su posición relativa y en

caso de cortarse, determina el ángulo que forman. 11. PERPENDICULARIDAD EN EL ESPACIO.

Rectas perpendiculares

[ sr ⊥ el ángulo que forman es

de º90 ]

Recta y plano perpendiculares

[ ⊥r el ángulo que forman es de

º90 ]

Planos perpendiculares

[ ⊥ el ángulo que forman es

de º90 ]

El producto escalar de sus vectores directores es cero.

La recta es paralela al vector normal al plano.

El producto escalar de los vectores normales es cero.

Ejercicio 57: Halla el valor de k para que las rectas 2

1

4

3

5

2

−

−=

+=

−

zyxr y

−−=+=

+−=

tztkty

txs

2 ; 5

23 IR ,

sean perpendiculares.

Ejercicio 58: Justifica por qué la recta zyx

r =−

+=

+

1

4

2

1: y el plano 07224: =++− zyx son

perpendiculares.


19

11.1 Recta que CORTA PERPENDICULARMENTE a otras dos. Se llama perpendicular común de dos rectas cruzadas a la recta que corta perpendicularmente a cada una de ellas. Procedimiento 1:

1º. Se hallan los vectores directores u

y v

de las rectas r y s .

2º. El vector director de la recta perpendicular será vun

x = .

3º. La ecuación de la recta se da como intersección de dos planos:

El plano que contiene a la recta r y a n

.

El plano que contiene a la recta s y a n

.

Procedimiento 2:

1º. Se busca el punto genérico de las rectas r y s , poniendo ambas en paramétricas con parámetros diferentes. Estos puntos los llamaremos P y Q.

2º. El vector director de la recta perpendicular será PQ

(estará en función de dos parámetros).

3º. Este vector tiene que ser perpendicular a u

y v

. Podemos hacerlo, o bien calculando el producto escalar con ambos, o bien

imponiendo que sea paralelo a vun

x =

Ejercicio 59: Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a las rectas

1

131

−

+=−=−

zyxr y

2

4

4

42

−=

−=−

zyxs

12. PROYECCIONES ORTOGONALES.

Proyección ortogonal de un

punto P sobre una recta r

Proyección ortogonal de un punto

P sobre un plano

Proyección ortogonal de una recta r sobre un plano

Es otro punto Q que pertenece

a la recta y tal que el vector PQ

es perpendicular al vector director de la recta.

Es un punto Q que pertenece al

plano y tal que el vector PQ es

perpendicular a los vectores directores del plano.

Es una recta s que está contenida en

el plano y tal que el plano que

contiene a las dos rectas es perpendicular al plano .

Nota: También se puede calcular esco-giendo dos puntos de la recta, calculando su pro-yección ortogonal sobre

el plano y, posteriormente, hallando la recta que pasa por las proyecciones.


20

Ejercicio 60: Determina la proyección ortogonal de ( )0,0,0P sobre la recta 1

32

1:

−=−=

− zy

xr .

Ejercicio 61: Determina la proyección ortogonal de ( )0,0,0P sobre el plano 0232: =−+− zyx .

Ejercicio 62: Determina la proyección ortogonal de la recta 1

32

1:

−=−=

− zy

xr sobre el plano

0232: =−+− zyx .

13. PUNTOS SIMÉTRICOS.

13.1 Simetría respecto de un punto. El simétrico del punto P respecto del punto M es el punto P tal

que M es el punto medio del segmento PP . 13.2 Simetría respecto de una recta. El simétrico del punto

P respecto de la recta r es el punto P tal que la recta s que pasa por P y P es

perpendicular a la recta r , y el punto de intersección de las rectas r y s es el

punto medio del segmento PP .

Para hallar el punto P se sigue el siguiente procedimiento: 1º. Se halla el plano perpendicular a la recta r que pase por el

punto P .

2º. Se halla el punto M de intersección de la recta r con el plano .

3º. Se aplica que el punto M es el punto medio del segmento

PP . 13.3 Simetría respecto de un plano.

El simétrico del punto P respecto del plano es el punto P tal que la recta

r que pasa por P y P es perpendicular al plano y el punto de intersección

de las rectas r y el plano es el punto medio del segmento PP .

Para hallar el punto P se sigue el siguiente procedimiento: 1º. Se halla la recta r perpendicular al plano que pase por el

punto P .

2º. Se halla el punto M de intersección de la recta r con el plano .

3º. Se aplica que el punto M es el punto medio del segmento

PP .

Ejercicio 63: Halla el punto simétrico P del punto ( )5,3,2 −−P respecto del punto ( )1,1,3 −M .

Ejercicio 64: Halla el punto P simétrico del punto ( )5,3,2 −−P respecto de la recta

32

2

5

8−=

+=

− z

yxr

Ejercicio 65: Halla el punto P simétrico del punto ( )4,4,3 −P respecto del plano 09232 =−+− zyx


21

13.4 Plano mediador

Dados dos puntos, P y P , existe una recta r respecto de la cual son

simétricos. Esa recta pasa por el punto medio del segmento PP y es

perpendicular a PP . Hay infinitas rectas respecto de las cuales dos puntos

fijados son simétricos. Dados dos puntos, P y P , existe un único plano

respecto del cual son simétricos. Ese plano contiene al punto medio del

segmento PP y es perpendicular a PP .

Ejercicio 66: Si los puntos ( )5,0,1P y ( )3,2,3 −P son simétricos, halla una recta y el plano respecto de los

cuales dichos puntos son simétricos. EJERCICIOS SELECTIVIDAD 2015 Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6


22

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

Ejercicio 11

Ejercicio 12

2014 Ejercicio 13


23

Ejercicio 14

Ejercicio 15

Ejercicio 16

Ejercicio 17

Ejercicio 18

Ejercicio 19

Ejercicio 20


24

Ejercicio 21

Ejercicio 22

Ejercicio 23

Ejercicio 24

2016 Ejercicio 25

Ejercicio 26


25

Ejercicio 27

Ejercicio 28

Ejercicio 29

Ejercicio 30

Ejercicio 31

Ejercicio 32

Ejercicio 33


26

Ejercicio 34

Ejercicio 35

Ejercicio 36

2013 Ejercicio 37

Ejercicio 38

Ejercicio 39

Ejercicio 40


27

Ejercicio 41

Ejercicio 42

Ejercicio 43

Ejercicio 44

Ejercicio 45

Ejercicio 46

Ejercicio 47


28

Ejercicio 48

bloque de geometrÍa 1. vectores en el …apuntes de geometría curso 2019/2020 1 bloque de...

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