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MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS

GEOMETRÍA Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”

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VECTORES EN EL ESPACIO

Un s i stema de c oordenadas t r id imens ional se construye t razando un eje Z, perpendicu lar en e l or igen de coordenadas a los e jes X e Y .

Cada punto v iene determinado por t res c oordenadas P(x , y , z ) . Los e jes de coordenadas determinan t res p lanos coordenados: XY, XZ e YZ . Estos p lanos coordenados d iv iden a l espac io en ocho reg iones l lamadas oc tantes , en e l pr imer octante las t res coordenadas son pos i t ivas .

1.-VECTOR EN EL ESPACIO Un vector en el espacio es cua lquier segmento orientado que t iene su origen en un punto y su extremo en e l o t ro .

2.-COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO S i l as coordenadas de A y B son: A(x 1 , y 1 , z 1) y B(x 2 , y 2 , z 2)

Las coordenadas o componentes del vecto r 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ son las

coordenadas del ext remo menos las coordenadas de l o r igen.

𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏, 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏, 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏) Ejemplo: Determinar la componentes de los vectores que se pueden t razar e l t r iángulo de vért i ces A(−3, 4 , 0) , B(3, 6 , 3) y C(−1, 2 , 1) .

3.-MÓDULO DE UN VECTOR: |𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|

El módulo de un vector es la longitud de l segmento o r ientado que lo def ine.

E l módulo de un vector es un número s iempre posit ivo y so lamente e l vector nulo t i ene módulo cero .

3.1.Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Ejemplo: Dados los vectores �⃗⃗� = (𝟑, 𝟏, −𝟏) y �⃗� = (𝟐, 𝟑, 𝟒) , ha l lar los módulos de �⃗⃗� y �⃗� ·

3.2.-Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

;

4.-DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos es igua l a l módulo del vector que t iene de ext remos d i chos puntos.

Ejemplo: Ha l lar la distancia entre los puntos A(1, 2 , 3) y B(2, 3 , −1) o e l módulo del

vector𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.



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5.-VECTOR UNITARIO

U n v e c t o r u n i t a r i o t ie n e d e m ó d u l o l a u n i d a d . L a n o r m a l i z a c i ó n d e u n ve c t o r c o n s i s t e e n a s o c i a r l e o t r o v e c t o r u n i t a r i o , d e l a m i s m a d i r e c c i ó n y s e n t i d o que e l ve c t o r d a d o , d i v i d i e n d o c a d a c o m p o n e n t e d e l v e c t o r p o r s u m ó d u l o .

6.-OPERACIONES DE VECTORES EN EL ESPACIO

a) Suma de vectores : P a r a s u m a r do s v e c t o r e s s e s u m a n s u s r e s pe c t i v a s c o m p o n e n t e s .

;

Ejemplos:

1) Dados �⃗⃗� =(2, 1 , 3) , �⃗� =(1, −1, 0) , �⃗⃗� =(1, 2 , 3) , ha l lar e l vector �⃗⃗� =2 �⃗⃗� + 3 �⃗� − �⃗⃗� . �⃗⃗� = (4, 2 , 6) + (3, −3, 0) − (1, 2 , 3) = (6, −3, 3)

2) Dados los vectores �⃗⃗� = (𝟐, 𝟒, 𝟓)y �⃗� = (𝟑, 𝟏, 𝟐), ha l lar e l módulo de l vector �⃗⃗� − �⃗� .

;

P r o p i e d a d e s d e l a s u m a d e v e c t o r e s :

A s o c i a t i v a + ( + ) = ( + ) +

C o n m u t a t i v a + = +

E l e m e n t o n e u t r o + =

E l e m e n t o o p u e s t o + ( − ) = b) Producto de un número real por un vector

E l p r o du c t o d e u n n ú m e r o r e a l k p o r u n v ec t o r �⃗⃗� e s o t r o v e c t o r : 𝐤 · 𝐮⃗⃗ ⃗⃗

D e i g u a l d i r e c c i ó n q u e e l v e c t o r �⃗⃗� y d e l m i s m o s e n t i d o q u e e l ve c t o r �⃗⃗� s i k > 0 o d e s e n t i d o c o n t r a r i o d e l ve c t o r �⃗⃗� s i k < 0 .

D e m ó d u l o l a s c o m p o n e n t e s d e l ve c t o r r e s u l t a n t e s e o b t i e n e n m u l t i p l i c a n d o p o r k l a s c o m p o n e n t e s d e l v e c t o r ( k u 1 , k u 2 , k u 3 ) .

P r o p i e d a d e s d e l p r od uc t o d e un n úm e r o p o r u n v e c t o r

A s o c i a t i v a : k · ( k ' · �⃗⃗� ) = ( k · k ' ) · �⃗⃗�

D i s t r i b u t i v a r e s p e c t o a l a s u m a d e v e c t o r e s : k · ( �⃗⃗� + �⃗� ) = k · �⃗⃗� + k · �⃗�

D i s t r i b u t i v a r e s p e c t o a l o s e s c a l a r e s : ( k + k ' ) · �⃗⃗� = k · �⃗⃗� + k ' · �⃗⃗�

E l e m e n t o n e u t r o : 1 · �⃗⃗� = �⃗⃗�

Ejemplo: Dado 𝐯 ⃗⃗⃗ =(6, 2 , 0) determinar �⃗⃗� de modo que sea 3 �⃗⃗� = �⃗� . So l : �⃗⃗� =𝟏

𝟑�⃗� = (𝟐,

𝟐

𝟑, 𝟎)



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DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASES 1.-COMBINACIÓN LINEAL

U n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e d o s o m á s v e c t o r e s e s e l v e c t o r q u e s e o b t i e n e a l s u m a r e s o s v e c t o r e s m u l t i p l i c a d o s p o r s e n d o s e s c a l a r e s .

C u a l q u i e r v e c t o r s e p u e d e p o n e r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e

o t r o s q u e t e n g a n d i s t i n t a d i r e c c i ó n . . E s t a c o m b i n a c i ó n l i n e a l e s ú n i c a .

2.-VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES

D e f i n i c i ó n 1 : V a r i o s v e c t o r e s l i b r e s d e l p l a n o s e d i c e q u e s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i , a l m e n o s , u n o d e e l l o s s e p u e d e e x p r e s a r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s d e m á s . E n c a s o c o n t r a r i o , s e d i c e q u e s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .

D e f i n i c i ó n 2 : V a r i o s ve c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e nd i e n t e s s i e x i s t e u n a c o m b i n a c i ó n l i ne a l d e l o s v e c t o r e s c o n a l g ú n c o e f i c i e n t e n o n u lo q u e s e a i g u a l a l v e c t o r c e r o .

S i t o d o s l o s c o e f i c i e n t e s ( a 1 = a 2 = … = a n = 0 ) s o n c e r o , l o s ve c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s . L o s v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s , e n t r e s í , t i e n e n d i s t i n t a d i r e c c i ó n y s u s c o m p o n e n t e s no s o n p r o p or c i o n a l e s .

C o n s e c u e n c i a : T r e s ve c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i |

𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑

𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑

𝒘𝟏 𝒘 𝒘𝟑

|= 0

T r e s ve c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s s i : |

𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑

𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑

𝒘𝟏 𝒘 𝒘𝟑

|≠ 0

2.1.-Propiedades

a ) D o s v e c t o r e s l i b r e s d e l p l a n o �⃗⃗� = ( u 1 , u 2 , u 3 ) y �⃗⃗� = ( v 1 , v 2 , v 3 ) s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i s u s c o m p o n e n t e s s o n p r o p o r c i o n a l e s .

�⃗⃗� = 𝒌𝒗 ⃗⃗ ⃗ ⟹ ( u 1 , u 2 , u 3 ) = ( k v 1 , k v 2 , k v 3 ) ; 𝒖𝟏

𝒗𝟏=

𝒖𝟐

𝒗𝟐=

𝒖𝟑

𝒗𝟑= 𝒌;

P o r t a n t o , d o s ve c t o r e s a l i n e a d o s y / o p a r a l e l o s ( p r o p o r c i o n a l e s ) s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s .

b ) D o s v e c t o r e s n o a l i n e a d o s s o n L i n e a l m e n t e I n d e p e n d i e n t e s .

c ) D o s o m á s v e c t o r e s c o p l a n a r i o s ( e s t á n o p e r t e n e c e n a l m i s m o p l a n o ) s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s . S i n o s o n c o p l a n a r i o s s o n L i n e a l m e n t e I n d e p e n d i e n t e s .

Ejemplo:

1 ) D e t e r m i n a r l o s va l o r e s d e k p a r a q u e s e a n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s l o s v e c t o r e s �⃗⃗� =(𝟑, 𝐤, −𝟔), �⃗� = (−𝟐, 𝟏, 𝐤 + 𝟑) y �⃗⃗� = (𝟏, 𝐤 + 𝟐, 𝟒). 2 ) E s c r i b i r �⃗⃗� c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e �⃗⃗� y �⃗⃗� , s i e n d o k e l va l o r c a l c u l a d o . L o s ve c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e nd i e n t e s s i e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z q u e f o r m a n e s n u l o , e s d e c i r q u e e l r a n g o d e l a m a t r i z R ( A ) < 3 .

;

;

http://www.vitutor.com/analitica/vectores/vectores_dependientes.html




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; Ejemplo:

1 . E s t u d i a r s i s o n l i n e a l m e n t e d e p e nd i e n t e s o i n d e p e n d i e n t e s l o s ve c t o r e s : �⃗� = ( 2 , 3 , 1 ) , 𝑣 = ( 1 , 0 , 1 ) , �⃗⃗� = ( 0 , 3 , − 1 )

a ( 2 , 3 , 1 ) + b ( 1 , 0 , 1 ) + c ( 0 , 3 , − 1 ) = ( 0 , 0 , 0 )

R ( M ) = 2 ; n = 3 S i s t e m a c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n ad o .

E l s i s t e m a t i e n e i n f i n i t a s s o l u c i o n e s , p o r t a n t o l o s ve c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s .

4.-BASES

T r e s v e c t o r e s �⃗⃗� , �⃗⃗� , 𝒘 ⃗⃗⃗⃗ n o c o p l a n a r i o s , c o n d i s t i n t a d i r e c c i ó n f o r m a n u n a b a s e , s i c u a l q u i e r

v e c t o r d e l e s p a c i o v e c t o r i a l 3 s e p u e d e p o n e r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e e l l o s .

�⃗� = 𝐚�⃗⃗� + 𝐛�⃗� + 𝐜�⃗⃗� L a s c o o r d e n a d a s d e l v ec t o r r e s p e c t o a l a b a s e s o n : �⃗� = (𝐚, 𝐛, 𝐜)

4 . 1 . B a s e o r t o g o n a l

S i l o s v e c t o r e s d e l a b a s e s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í , e n t o n c e s l a b a s e e s o r t o g o n a l .

4 . 2 . B a s e o r t o n o r m a l

U n a b a s e e s o r t o n o r m a l s i l o s v e c t o r e s d e l a b a s e s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í , y a d e m á s t i e n e n s o n v e c t o r e s u n i t a r i o s ( m ó d u l o 1 ) .

𝐵 = { �⃗� , �⃗� , 𝐤 ⃗⃗ ⃗}; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐢 = (𝟏, 𝟎, 𝟎); 𝐣 = (𝟎, 𝟏, 𝟎); 𝐤 = (𝟎, 𝟎, 𝟏); |𝐢 | = |𝐣 | = |𝐤 | = 𝟏; 𝐢 ⊥ 𝐣 ⊥ 𝐤

E s t a b a s e f o r m a d a p o r l o s v e c t o r e s {𝐢 , �⃗� , 𝐤 } s e d e n o m i n a b a s e c a n ó n i c a .

E j e m p l o :

2 . ¿ P a r a q u é va l o r e s d e a l o s v e c t o r e s �⃗⃗� = (𝟏, 𝟏, 𝟏), �⃗� = (𝟏, 𝐚, 𝟏) y �⃗⃗� = (𝟏, 𝟏, 𝐚) f o r m a n u n a b a s e ?

; a 2 + 1 + 1 - a - a - 1 ≠ 0 ; a 2 - 2 ª + 1 ≠ 0 ; ( a - 1 ) 2 ≠ 0 ; P a r a a ≠ 1 , l o s v e c t o r e s f o r m a n u n a b a s e .

http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/rouche.html



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APLICACIONES DE VECTORES A PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

1.-DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL ESPACIO L a d i s t a n c i a e n t r e d o s p u n t o s e s i g u a l a l m ó d u l o d e l

ve c t o r q u e t i e n e d e e x t r e m o s d i c h o s pu n t o s .

d(P,Q)= |𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)

𝟐 + (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏)𝟐

2.-COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Sean A (x 1 , y 1 , z 1 ) y B (x 2 , y 2 , z 2) los ext remos de un segmento, e l punto medio de l segmento v iene dado por:

; Ejemplo

D a d o s l o s p u n t o s A ( 3 , − 2 , 5 ) y B ( 3 , 1 , 7 ) , h a l l a r l a s c o o r d e n a d a s d e l p u n t o m e d i o d e l s e g m e n t o q u e d e t e r m i n a n .

3.-COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO

S e a n A ( x 1 , y 1 , z 1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) y C ( x 3 , y 3 , z 3 ) l o s v é r t i c e s d e u n t r i á n g u l o , l a s c o o r d e n ad a s d e l b a r i c e n t r o s o n :

E j e m p l o S e a n A = ( 2 , 1 , 0 ) , B = ( 1 , 1 , 1 ) y C = ( 4 , 1 , − 2 ) l o s vé r t i c e s d e u n t r i á n g u l o . D e t e r m i n a r l a s c o o r d e n a d a s d e l b a r i c e n t r o .

4.-PUNTOS ALINEADOS

T r e s p u n t o s A ( a 1 , a 2 , a 3 ) , B ( b 1 , b 2 , b 3 ) y C ( c 1 , c 2 , c 3 ) e s t á n a l i n e a d o s :

a ) s i e s t á n e n u n a m i s m a r e c t a , y p o r t a n t o e l r a n g o d e l o s v e c t or e s d e t e r m i n a d o s p o r e l l o s e s 1 .

b ) O s i l o s ve c t o r e s 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ s o n p a r a l e l o s ( o p r o p o r c i o n a l e s ) , e s d e c i r :

𝒃𝟏 − 𝒂𝟏

𝒄𝟏 − 𝒃𝟏=

𝒃𝟐 − 𝒂𝟐

𝒄𝟐 − 𝒃𝟐=

𝒃𝟑 − 𝒂𝟑

𝒄𝟑 − 𝒃𝟑

Ejemplo Comprobar si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) están a l ineados .

;

; Por tanto, los puntos no están a l ineados.

5.-PUNTO SIMÉTRICO

Si A’ (a’, b’, c’) es el punto simétrico de A(a, b, c) respecto del punto P(p, q, r), entonces P es el punto medio del segmento

𝐀𝐀′̅̅ ̅̅ ̅, es decir:

𝒑 =𝒂 + 𝒂′

𝟐 ; 𝒒 =

𝒃 + 𝒃′

𝟐; 𝒓 =

𝒄 + 𝒄′

𝟐



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6.-PUNTOS COPLANARIOS

D o s o m á s v e c t o r e s s o n c o p l a n a r i o s s i s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s , y p o r t a n t o s u s c o m p o n en t e s s o n p r opo r c i o n a l e s y s u r a n g o e s 2 .

D o s o m á s p u n t o s s o n c o p l a n a r i o s , s i l o s v e c t o r e s d e t e r m i n a d o s p o r e l l o s t a m b i é n s o n c o p l a n a r i o s .

Ejemplo

1 . C o m p r o b a r s i l o s p u n t o s A ( 1 , 2 , 3 ) , B ( 4 , 7 , 8 ) , C ( 3 , 5 , 5 ) , D ( − 1 , − 2 , − 3 ) y E ( 2 , 2 , 2 ) s o n c o p l a n a r i o s .

L o s p u n t o s A , B , C , D y E s o n c o p l a n a r i o s s i :

; ;

;

; L o s p u n t o s A , B , C , D y E n o s o n c o p l a n a r i o s .


http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/rango.html



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PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL. APLICACIONES

1. PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar de dos vectores es un número real que resul ta al multipl icar e l producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman .

1.1. Expresión anal í t ica del producto escalar

Ejemplo:

H a l l a r e l p r o d u c t o e s ca l a r d e d o s ve c t o r e s c u y a s c o o r d e n a d a s e n u n a b a s e o r t o n o r m a l s o n : ( 1 , 1 / 2 , 3 ) y ( 4 , − 4 , 1 ) .

( 1 , 1 / 2 , 3 ) · ( 4 , − 4 , 1 ) = 1 · 4 + ( 1 / 2 ) · ( − 4 ) + 3 · 1 = 4 − 2 + 3 = 5

1.2. Expresión anal í t ica del módulo de un vector

Ejemplo: H a l l a r e l va l o r d e l m ó d u l o d e u n ve c t o r d e c o o r d e n a d a s �⃗� = ( − 3 , 2 , 5 ) e n u n a b a s e

o r t o n o r m a l . So l : |�⃗⃗� | = √(−𝟑)𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟓𝟐 = √𝟑𝟖

1.3. Expresión anal í t ica del ángulo de dos vectores

𝐜𝐨𝐬𝛂 = �⃗⃗� · �⃗�

|�⃗⃗� | · |�⃗� |=

…

…

D e t e r m i n a r e l á n g u l o q u e f o r m a n l o s ve c t o r e s : �⃗⃗� = (1, 2 , −3) y �⃗⃗� = (−2, 4 , 1) .

;

1.4. Vectores ortogonales o perpendiculares

D o s v e c t o r e s s o n o r t o g o n a l e s - s o n p e r p e n d i c u l a r e s - s i s u p r o d u c to es c a l a r e s 0 .

�⃗⃗� · �⃗� = 𝐮𝟏𝐯𝟏 + 𝐮𝟐𝐯𝟐 + 𝐮𝟑𝐯𝟑 = 𝟎

Ejemplo: C a l c u l a r l o s va l o r e s d e x e y p a r a q u e e l ve c t o r ( x , y , 1 ) s e a o r t o g o n a l a l o s ve c t o r e s ( 3 , 2 , 0 ) y ( 2 , 1 , − 1 ) .

; ;

1.5. Propiedades del producto escalar

I . C o n m u t a t i v a : �⃗⃗� · �⃗� = �⃗� · �⃗⃗� I I . A s o c i a t i v a : k · ( �⃗⃗� · �⃗� ) = (𝐤 · �⃗⃗� ) · �⃗� I I I . D i s t r i b u t i v a : �⃗⃗� · (�⃗� + �⃗⃗� ) = �⃗⃗� · �⃗� + �⃗⃗� · �⃗⃗� I V . E l p r o d u c t o e s c a l a r d e u n v e c t or n o n u l o p o r s í m i s m o s i e m p r e e s p o s i t i v o :

�⃗⃗� ≠ 𝟎 ⟹ �⃗⃗� · �⃗⃗� > 0



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1.6. Interpretación geométrica del producto escalar

E l p r o d u c t o d e d o s ve c t o r e s n o n u l o s e s i g u a l a l m ó d u l o d e un o d e e l l o s p o r l a p r o y e c c i ó n d e l o t r o s o b r e é l .

𝐜𝐨𝐬𝜶 =𝑶𝑨′

|�⃗⃗� |; 𝑶𝑨′ = |�⃗⃗� | · 𝐜𝐨𝐬𝛂; �⃗⃗� · �⃗� = |�⃗� | · 𝐎𝐀′

OA' es la proyecc ión de l vector �⃗⃗� sobre �⃗� , que lo denotamos como:

𝐏𝐫𝐨𝐲�⃗⃗� �⃗⃗� =�⃗⃗� ·�⃗⃗�

|�⃗⃗� |

Ejemplo:

D a d o s l o s ve c t o r e s �⃗⃗� = (𝟐, −𝟑, 𝟓) 𝐲 �⃗� = (𝟔, −𝟏, 𝟎) ha l l a r :

1 . L o s m ó d u l o s d e �⃗⃗� y �⃗� : ; 2 . E l p r o d u c t o e s c a l a r d e �⃗⃗� y �⃗� e s : �⃗⃗� · �⃗� = 𝟐 · 𝟔 + (−𝟑)(−𝟏) + 𝟓 · 𝟎 = 𝟏𝟓

3 . E l á n g u l o q u e f o r m a n : 𝑪𝑶𝑺(�⃗⃗� · �⃗⃗� ̂) =𝟏𝟓

√𝟑𝟖·√𝟑𝟕= 𝟎, 𝟒; (�⃗⃗� · �⃗⃗� ̂) = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 (𝟎, 𝟒) = 𝟔𝟔, 𝟒𝟐º

4 . L a p r o y e c c i ó n d e l v e c t o r �⃗⃗� s o b r e �⃗� :

5 . L a p r o y e c c i ó n d e l v e c t o r �⃗� s o b r e �⃗⃗� : 6 . E l va l o r d e m p a r a q u e l o s v e c t o r e s 𝐮⃗⃗ ⃗ = (𝟐, −𝟑, 𝟓) y �⃗� (𝐦, 𝟐, 𝟑) s e a n o r t o g o n a l e s . S o l : 2 m - 6 + 1 5 = 0 ; m = - 9 / 2 1.7. Cosenos Directores

E n u n a b a s e o r t on o r m a l , s e l l a m a n c o s e n o s d i r e c t o r e s d e l ve c t o r �⃗⃗� = ( x , y , z ) , a l o s c o s e n o s d e l o s á n g u l o s q u e f o r m a e l v e c t o r �⃗⃗� c o n l o s ve c t o r e s d e l a b a s e .

Ejemplo: Determinar los cosenos directores de l vector (1 , 2 , −3).

2. PRODUCTO VECTORIAL

E l p r o d u ct o v e c t o r i a l d e d o s v e c t o r e s e s o t r o v e c t o r c u y a d i r e c c i ó n e s p e r p e nd i c u l a r a l o s d o s v e c t o r e s y s u s e n t i d o s e r í a i g u a l a l a va n c e d e un s a c a c o r c h o s a l g i r a r d e �⃗⃗� a �⃗⃗� . S u m ó d u l o e s i g u a l a :

|𝐮 ⃗⃗ ⃗𝐱 �⃗� | = |�⃗⃗� | · |�⃗� | · 𝐬𝐞𝐧𝛂

E l p r o du c t o v e c t or i a l s e p u e d e e x p r e s a r m e d i a n t e u n d e t er m i n a n t e :



-9-

Ejemplos: 1) Ca lcu lar e l producto vectorial de los vectores de �⃗� =(1, 2 , 3 ) y de 𝑣 =(−1, 1 , 2) .

2) Dados los vectores �⃗⃗� = (𝟑,−𝟏, 𝐤) y �⃗� = (𝟏, 𝟏, 𝟏), ha l lar e l producto vectorial de d i chos

vectores. Comprobar que e l vector ha l lado es ortogonal a �⃗⃗� y �⃗� .

;

E l producto vector ia l de �⃗⃗⃗� x �⃗⃗� es or togonal a los vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� . 2.1.Área del PARALELOGRAMO

G e o m é t r i c a m e n t e , e l m ó d u l o d e l p r o d uc t o v e c t o r i a l d e d o s ve c t o r e s c o i n c i d e c o n e l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o q u e t i e n e p o r l a d o s a e s o s ve c t o r e s .

𝐀 = |�⃗⃗� | · 𝐡 = |�⃗⃗� | · |�⃗� | · 𝐬𝐞𝐧𝛂 = |�⃗⃗� 𝐱 �⃗� | Ejemplo:

D a d o s l o s ve c t o r e s d e �⃗� = (3, 1, −1) y 𝑣 = (2, 3, 4), h a l l a r e l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o q u e t i e n e p o r l a d o s l o s v e c t o r e s d e �⃗⃗� y �⃗⃗� ·

; 2.2.Área de un TRIÁNGULO

U n t r i á n g u l o e s l a m i t a d d e u n p a r a l e l o g r a m o , p o r t a n to , s u ár e a s e r á :

𝐀 =𝟏

𝟐|�⃗⃗� 𝐱 �⃗� |

Ejemplo:

D e t e r m i n a r e l á r e a d e l t r i á n g u l o c u y o s vé r t i c e s s o n :

A ( 1 , 1 , 3 ) , B ( 2 , − 1 , 5 ) y C ( − 3 , 3 , 1 ) . P o r t a n t o : 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝟏, −𝟐, 𝟐) y 𝐀𝐂⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−𝟒, 𝟐, −𝟐)

; �⃗⃗� = (0,−6,−6);

;

2.3.Propiedades de l Producto Vectorial

I . A n t i - c o n m u t a t i va : �⃗⃗� x �⃗⃗� = - �⃗⃗� x �⃗⃗�

I I . H o m o g é n e a : 𝝀 ·( �⃗⃗� x �⃗⃗� ) = ( λ ·�⃗⃗� ) x �⃗⃗� = �⃗⃗� x(𝝀 · 𝒗)⃗⃗⃗⃗

I I I . D i s t r i b u t i va : �⃗⃗� x ( �⃗⃗� + �⃗⃗⃗� ) = �⃗⃗� x �⃗⃗� + �⃗⃗� x �⃗⃗⃗�

I V . E l p r o d u c to v e c t o r ia l d e d o s v e c t o r e s / / e s i g u a l a l v e c t o r n u l o . �⃗⃗� x 𝒖′⃗⃗ ⃗= 0

V . E l ve c t o r “ p r o d u c t o v e c t o r i a l ” �⃗⃗� 𝒙 �⃗⃗� e s p e r p e n d ic u l a r a c a d a ve c t o r , a �⃗⃗� y a �⃗� .



-10-

3. PRODUCTO MIXTO

E l p r o d u c to m i x t o d e lo s ve c t o r e s �⃗⃗� , 𝒗 ⃗⃗ ⃗ y �⃗⃗⃗� e s i g u a l a l n ú m e r o q u e r e s u l t a d e e f e c t u a r �⃗⃗� · (�⃗⃗� 𝒙 �⃗⃗⃗� ) [ e l p r o d u c t o e s c a la r d e l p r i m e r v e c t o r p o r e l p r o d u c t o v e c to r i a l d e l o s o t r o s d o s ] .

E l p r o du c t o m i x t o s e r e p r e s e n t a p o r [ u , v , w ] .

E l p r o d u c to m i x t o d e 3 v e c t o r e s e s i g u a l a l d e t e r m i n a n t e q u e t i e n e p o r f i l a s l a s

c o o r d e n a d a s d e d i c h o s ve c t o r e s r e s p e c t o a u n a b a s e o r t o n o r m a l .

Ejemplo: C a l c u l a r e l p r o d uc t o m i x t o d e l o s ve c t o r e s :

;

3.1. Propiedades del producto mixto

a ) E l p r o d uc t o m i x t o n o va r í a s i s e p e r m u t a n c i r c u l a r m e n t e s u s f a c t o r e s , p e r o c a m b i a d e s i g n o s i é s t o s s e t r a s p o n e n .

b ) S i 3 v e c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e nd i e n t e s , e s d e c i r , s i s o n c o p l a n a r i o s , e l p r od u c t o

m i x t o v a l e 0 .

3.2. Volumen del PARALELEPÍPEDO

E l | va l o r a b s o l u t o | d e l p r o d u c to m i x t o r e p r e s e n t a e l v o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o c uy a s a r i s t a s s o n 3 ve c t o r e s q u e c o n c u r r e n e n u n m i s m o vé r t i c e .

E j e m p l o : H a l l a r e l v o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e do f o r m a d o p o r l o s ve c t o r e s :

;

3.3. Volumen de un TETRAEDRO

E l v o l u m e n d e un t e t r ae d r o e s i g u a l a 𝟏

𝟔 d e l p r od u c t o m i x t o , e n va l o r ab s o l u t o .

Ejemplo: O b t e n e r e l v o l u m e n d e l t e t r a e d r o c u y o s vé r t i c e s s o n l o s p u n t o s : A ( 3 , 2 , 1 ) , B ( 1 , 2 , 4 ) , C ( 4 , 0 , 3 ) y D ( 1 , 1 , 7 ) .

;

;

;



-11-

LA RECTA EN EL ESPACIO

1.- ECUACIONES DE LA RECTA

S e a P ( x 0 , y 0 , z 0 ) e s u n p u n t o d e l a r e c t a “ r ” y �⃗⃗� = ( a ,

b , c ) s u v e c t o r d i r e c t o r , e l v e c t o r 𝐏𝐗⃗⃗⃗⃗ ⃗ t i e n e i g u a l d i r e c c i ó n q u e �⃗⃗� , l u e g o e s i g u a l a �⃗⃗� m u l t i p l i c a d o p o r u n e s c a l a r :

𝐏𝐗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝛌 · �⃗⃗� (𝐱 − 𝐱𝟎, 𝐲 − 𝐲𝟎, 𝐳 − 𝐳𝟎) = 𝛌 · (𝐚, 𝐛, 𝐜)

O b s e r va n d o l a f i g u r a , u n a r e c t a e n e l e s p a c i o q u e d a d e t e r m i n a d a p o r u n p u n t o d e e l l a P ( x 0 , y 0 , z 0 ) y u n ve c t o r d i r e c t o r �⃗⃗� = (𝐚, 𝐛, 𝐜).

T a m b i é n q u e d a r á d e t e r m i n a d a p o r d o s p u n t os A y B , d o nd e u n pu n t o s e r á e l A o e l B y e l ve c t o r d i r e c t o r

p o d r á s e r �⃗⃗� = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗

EC U A C I Ó N D E L A R EC T A : L o s d i s t i n t o s t i p o s d e e c u a c i o n e s q u e p o d e m o s e s t a b l e c e r a p a r t i r d e s u c a r á c t e r ve c t o r i a l :

I) Ecuación VECTORIAL :

(x,y,z)= (x0 , y0 , z0)+𝝀 · (𝒂, 𝒃, 𝒄)

I I) Ecuaciones PARAMÉTRICAS: 𝐫 ≡ {

𝐱 = 𝐱𝟎 + 𝛌𝐚𝐲 = 𝐲𝟎 + 𝛌𝐛𝐳 = 𝐳𝟎 + 𝛌𝐜

; ∀𝜆 ∈ ℜ

I I I) Ecuación CONTINUA: 𝐫 ≡𝐱−𝐱𝟎

𝐚=

𝐲−𝐲𝟎

𝐛=

𝐳−𝐳𝟎

𝐜

IV) Ecuación GENERAL o IMPLÍCITA : L o h a c e m o s a p a r t i r d e l a E c u ac i ó n C o n t i n u a , r e s o l v i e n d o d o s i g u a l d a d e s y o r d e n a n d o l a s v a r i a b l e s , q u e d a n d o :

{𝐀𝐱 + 𝐁𝐲 + 𝐂𝐳 + 𝐃 = 𝟎

𝐀′𝐱 + 𝐁′𝐲 + 𝐂′𝐱 + 𝐃′ = 𝟎

c o m o i n t e r s e c c i ó n d e d o s p l a n o s , d o n d e 𝐧𝟏⃗⃗ ⃗⃗ = (𝐀, 𝐁, 𝐂) y 𝐧𝟐⃗⃗ ⃗⃗ = (𝐀′, 𝐁′, 𝐂′) s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s n o r m a l e s d e l o s p l a n o s .

Notas a tener en cuenta en relación a la ecuación General de la recta

a ) O b t e n c i ó n d e l v e c t or d i r e c t or d e un a r e c t a a p a r t i r d e l a e c u a c i ón g e n e r a l :

E l ve c t o r d i r e c t o r e s p e r p e n d i c u l a r a l o s v e c t o r e s n o r m a l e s d e l o s p l a n o s , l o c a l c u l a m o s a p a r t i r d e l p r o d u c t o ve c t o r i a l :

|𝐢 𝐣 𝐤

𝐀 𝐁 𝐂𝐀′ 𝐁′ 𝐂′

| = (𝐚, 𝐛, 𝐜) = �⃗⃗� (𝐯𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫 𝐝𝐢𝐫𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚)

b ) P a s a r d e l a e c u a c i ó n G e n e r a l a l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s : B a s t a c o n r e s o l ve r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s f o r m a d o e n l a e c u a c i ó n g e n e r a l , o r d e n a n d o l a s s o l u c i o n e s , p u e s t o q u e e s u n s i s t e m a c o m p a t i b l e i n d et e r m i n a d o .

c ) O b t e n e r u n p u n t o de l a r e c t a : F i j a m o s e l va l o r d e u n a d e l a s i n c ó g n i t a s , p . e . z = 0 , y r e s o l ve m o s e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s r e s u l t a n t e o b t e n i e n d o , p . e . , e l va l o r d e l a s o t r a s d o s i n c ó g n i t a s , x e y .



-12-

Ejemplo:



-13-



-14-

3 . H a l l a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s , e n f o r m a c o n t i n u a e i m p l í c i t a d e l a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o A = ( − 1 , 2 , 1 ) y c u y o ve c t o r d i r e c t o r e s �⃗� = ( 4 , 5 , - 1 ) .

; ; ; ;

4. H a l l a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s , e n f o r m a c o n t i n u a e i m p l í c i t a d e l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s A ( 1 , 0 , 1 ) y B ( 0 , 1 , 1 ) .

C a l c u l a m o s s u v e c t o r d i r e c t o r : 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝟎 − 𝟏, 𝟏 − 𝟎, 𝟏 − 𝟏) = (−𝟏, 𝟏, 𝟎)

; ; ;

5. Sea r l a recta de ecuac ión:𝐫 ≡𝐱−𝟏

𝟏=

𝐲

𝟐=

𝐳−𝟏

𝟑

¿Pertenecen a r los puntos A(0,−2,−2) y B(3, 2 , 6)?

;

6. Dada la recta: 𝑟 ≡ {2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 0

. Ha l la r l as ecuaciones de la recta en fo rma cont inua y

paramétr ica .

C a l c u l a m o s e l ve c t o r d i r e c t o r d e l a r e c t a : |𝑖 𝑗 𝑘2 1 11 −1 −2

|=(1,-5,3); u=(1, -5,3)

Ca lcu lamos un punto de la recta r: z=0, y=0, x=0, e l punto A(0,0,0)

Ecuac ión cont inua: ;Ecuac iones paramétr i cas:



-15-

EL PLANO EN EL ESPACIO

1.- ECUACIÓN DE UN PLANO EN EL ESPACIO

Un plano queda determinado por un punto

P y dos vectores (o 3 puntos, o 2 puntos y un vector) con distinta dirección.

Para que el punto P pertenezca al plano el

vector 𝑷𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tiene que ser coplanario con �⃗⃗� y �⃗⃗� .

𝑷𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝝀�⃗⃗� + 𝝁�⃗⃗�

ECUACIONES DEL PLANO: 1.1. Ecuación vectorial: sustituyendo en la expresión vectorial por las coordenadas correspondientes:

(x-x0,y-y0,z-z0)= ·(u1,u2,u3)+·(v1,v2,v3)

(x,y,z)=(x0,y0,z0)+ ·(u1,u2,u3)+·(v1,v2,v3)

1.2.Ecuaciones paramétricas del plano: Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

(x,y,z)=(x0+u1++v1 ,y0+u2+v2 ,z0+u3+v3) Esta igualdad se verifica si:

{

𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝝀𝒖𝟏 + 𝝁𝒗𝟏

𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝝀𝒖𝟐 + 𝝁𝒗𝟐

𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝝀𝒖𝟑 + 𝝁𝒗𝟑

1.3.Ecuación general o implícita del plano: Un punto está en el plano π si t iene solución el sistema:

{

𝒙 − 𝒙𝟎 = 𝝀𝒖𝟏 + 𝝁𝒗𝟏

𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝝀𝒖𝟐 + 𝝁𝒗𝟐

𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝝀𝒖𝟑 + 𝝁𝒗𝟑

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas y · Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

|

𝒙 − 𝒙𝟎 𝒖𝟏 𝒗𝟏

𝒚 − 𝒚𝟎 𝒖𝟐 𝒗𝟐

𝒛 − 𝒛𝟎 𝒖𝟐 𝒗𝟑

| = 𝟎

Desarrollamos el determinante y obtenemos la ecuación general de plano :

Ax+By+Cz+D=0

2. Vector normal El vector �⃗⃗� = (𝑨, 𝑩, 𝑪) es un vector normal al plano, es

decir, perpendicular al plano . Por tanto, el vector normal y un vector, cualquiera, del plano siempre son perpendiculares y su producto escalar será nulo.

Si P(x0 , y0, z0) es un punto del plano, el vector 𝑷𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝐱 −𝒙𝟎, 𝐲 − 𝒚𝟎, 𝐳 − 𝒛𝟎) es perpendicular al vector �⃗⃗� y, por tanto, el

producto escalar 𝑷𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ · �⃗⃗� = 𝟎: De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano , a partir de un punto y un vector normal .

(𝐱 − 𝒙𝟎, 𝐲 − 𝒚𝟎, 𝐳 − 𝒛𝟎) · (𝑨,𝑩, 𝑪) = 𝟎 𝑨(𝐱 − 𝒙𝟎) + 𝐁(𝐲 − 𝒚𝟎) + 𝐂(𝐳 − 𝒛𝟎) = 𝟎

Ax+By+Cz+D=0



-16-

1.5. Ecuación canónica o segmentaria del

plano Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c),

la ecuación canónica viene dada por:

𝒙

𝒂+

𝒚

𝒃+

𝒛

𝒄= 𝟏

Donde 𝒂 =−𝑫

𝑨 , 𝒃 =

−𝑫

𝑩 , 𝒄 =

−𝑫

𝑪

Ejemplos

1) Ha l lar las ecuaciones paramétricas e impl íc i tas de l p lano que pasa por e l punto A(1, 1, 1) y t iene como vectores d i rectores a �⃗� = (1,−1,1) y 𝑣 = (2,3,−1).

{

𝑥 = 1 + 𝜆 + 2𝜇𝑦 = 1 − 𝜆 + 3𝜇𝑧 = 1 + 𝜆 − 𝜇

; |𝑥 − 1 𝑦 − 1 𝑧 − 1

1 −1 12 3 −1

| = 0 ; -2x+3y+5z-6=0

2) Ha l lar las ecuaciones paramétricas e impl íc i tas de l p lano que pasa por los puntos A(−1, 2 , 3) y B(3, 1 , 4) y cont iene a l vector �⃗� =(0,0,1) .

{𝑥 = −1 + 4𝜆𝑦 = 2 − 𝜆

𝑧 = 3 + 𝜆 + 𝜇; |

𝑥 + 1 𝑦 − 2 𝑧 − 34 −1 10 0 1

| = 0; x+4y-7=0

3) Ha l lar las ecuaciones paramétricas e impl íc i tas de l p lano que pasa por los puntos A(−1, 1 , −1), B(0, 1 , 1) y C(4, −3, 2) .

;

{𝑥 = −1 + 𝜆 + 5𝜇

𝑦 = 1 − 4𝜇𝑧 = −1 + 2𝜆 + 3𝜇

; |𝑥 + 1 𝑦 − 1 𝑧 + 1

1 0 25 −4 3

| = 0;8x+7y-4z-3=0

4) Sea e l p lano de ecuaciones paramétricas : {

𝑥 = 1 + 𝜆 + 𝜇𝑦 = 1 − 𝜆 + 2𝜇𝑧 = 4𝜆 − 3𝜇

. Se p ide comprobar s i

l os puntos A (2, 1 , 9 /2) y B(0, 9 , −1) pertenecen a l p lano.

Ha l lamos la ecuac ión de l p lano: |𝑥 − 1 𝑦 − 2 𝑧

1 −1 41 2 −3

| = 0; -5x+7y+3z-9=0

-5 ·2+7·1+3·9/2 -9≠0 A; -5 ·0+7·9+3(-1)-9≠0B;

5) Ha l lar la ecuación segmentaria de l p lano que pasa por los puntos A(1, 1 , 0) ,

B(1, 0 , 1) y C(0, 1 , 1) .

;

|𝑥 − 1 𝑦 − 1 𝑧

0 −1 1−1 0 1

| = 0 ; -x-y-z+2=0

Div id iendo por −2 obtenemos la ecuación segmentaria : 𝒙

𝟐+

𝒚

𝟐+

𝒛

𝟐= 𝟏

6. Hal lar la ecuac ión de la recta r , que pasa por e l punto (1, 0 , 0) y es perpend icu lar a l p lano x – y – z + 2 = 0 .



-17-

Por ser la recta perpend icu lar a l p lano, e l vector normal de l p lano, �⃗⃗� = (𝟏, −𝟏,−𝟏), será

e l vector d i rector de la recta que pasa por e l punto (1, 0 , 0) .

7. Hal lar la ecuación del plano que pasa por e l punto A(2, 0 , 1) y cont iene a la recta de ecuac ión:

De la ecuac ión de la recta obtenemos e l punto B y e l vector �⃗⃗� .

;



-18-

POSICIONES RELATIVAS

1. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

1.1. Rectas definidas por sus ecuaciones implícitas

Si: r(A) = rango de la matriz de los coeficientes .

r'(A’)= rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de dos rectas vienen dadas por la siguiente tabla:

Posición r(A) r'(A’)

Cruzadas 3 4

Secantes 3 3

Paralelos 2 3

Coincidentes 2 2

1.2. Rectas definidas por un punto y un vector

Si la recta r viene determinada por A(x1 , y1 , z1) y �⃗⃗� =(u1,u2,u3) y la recta s por

B(x2 ,y2,z2) y �⃗⃗� =(v1,v2,v3), la posición relativa de r y s viene dada por la posición

de 𝑨𝑩,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ �⃗⃗� y �⃗⃗� .

a) Si 𝒖𝟏

𝒗𝟏=

𝒖𝟐

𝒗𝟐=

𝒖𝟑

𝒗𝟑 hay dos posibilidades:

a.1. Rectas coincidentes si

𝒙𝟐−𝒙𝟏

𝒖𝟏=

𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒖𝟐=

𝒛𝟐−𝒛𝟏

𝒖𝟑 .

a.2. Rectas paralelas si

𝒙𝟐−𝒙𝟏

𝒖𝟏≠

𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒖𝟐 𝒐

𝒙𝟐−𝒙𝟏

𝒖𝟏≠

𝒛𝟐−𝒛𝟏

𝒖𝟑

b) Si 𝒖𝟏

𝒗𝟏≠

𝒖𝟐

𝒗𝟐≠

𝒖𝟑

𝒗𝟑 hay otras dos posibilidades:

b.1. Rectas secantes si

|

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏

𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑

𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑

| = 𝟎

b.2.Rectas que se cruzan si

|

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏

𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑

𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑

| ≠ 𝟎.



-19-

Ejemplos

Hallar la posición relativa de las rectas r y s.

1.

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

Comparamos los rangos

Las dos rectas se cruzan.

2.

;

Las dos rectas son secantes .




-20-

2. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO

1. La recta viene definida por dos planos secantes

Sean la recta:𝒓 ≡ {𝑨𝟏𝒙 + 𝑩𝟏𝒚 + 𝑪𝟏𝒛 + 𝑫𝟏 = 𝟎𝑨𝟐𝒙 + 𝑩𝟐𝒚 + 𝑪𝟐𝒛 + 𝑫𝟐 = 𝟎

y el plano 𝝅 ≡ 𝑨𝟑𝒙 + 𝑩𝟑𝒚 + 𝑪𝟑𝒛 + 𝑫𝟑 = 𝟎.

Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:

Si: r(A) = rango de la matriz de los coeficientes A.

r(A’)= rango de la matriz ampliada A’.

Las posiciones relativas de la recta y el plano vienen dadas por la siguiente tabla:

Posición r(A) r(A’)

Recta contenida en el plano 2 2

Recta y plano paralelos 2 3

Recta y plano secantes 3 3

2. La recta viene definida por un punto y un vector

Sea una recta definida por el punto A y el vector �⃗⃗� y un plano cuyo rector normal es �⃗⃗� . Las posiciones relativas de la recta y el plano son:

Posición �⃗⃗� · �⃗⃗� A

Recta contenida en el plano = 0

Recta y plano paralelos = 0

Recta y plano secantes ≠ 0

Recta contenida en el plano Recta y plano paralelos

Recta y plano secantes



-21-

Ejemplos

Hallar la posición relativa de la recta y el plano:

1.

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

Comparamos los rangos

Sol: La recta y el plano se cortan en un punto .

2.

Sol: La recta está contenida en el plano.




-22-

3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

Dados los planos:

{𝝅𝟏 ≡ 𝐀𝐱 + 𝐁𝐲 + 𝐂𝐳 + 𝐃 = 𝟎

𝝅𝟐 ≡ 𝐀′𝐱 + 𝐁′𝐲 + 𝐂′𝐱 + 𝐃′ = 𝟎 .

Y sean: r(A) = rango de la matriz de los coeficientes A. r(A’)= rango de la matriz ampliada A’.

Las posiciones relativas de dos planos vienen dadas por la siguiente tabla:

Posición r(A) r(A’)

Secantes 2 2

Paralelos 1 2

Coincidentes 1 1

Ejemplos

1. Estudiar la posición de los siguientes planos:

; ; |1 13 −1

| ≠ 0; 𝑟(𝐴) = 2; 𝑟′(𝐴′) = 2

Como él sistema es compatible indeterminado, los dos planos son secantes , es

decir, se cortan en la recta:

; ;


;

Sol: Los dos planos son paralelos .


;

Sol: Los dos planos son coincidentes .



-23-

4. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

Dados los planos:{

𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1𝑧 + 𝐷1 = 0𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2𝑧 + 𝐷2 = 0𝐴3𝑥 + 𝐵3𝑦 + 𝐶3𝑧 + 𝐷3 = 0

Y sean:

r(A)=r rango de la matriz de los coeficientes A.

r(A’)=r’ rango de la matriz ampliada A’.

Las posiciones relativas de los tres planos vienen dadas por la siguiente tabla:

POSICIÓN DE LOS PLANOS R(A) R(A’) RELACIÓN DE LOS

COEFICIENTES

1. Planos secantes en un punto 3 3

2.1 Planos secantes dos a dos.

2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante 2 3

3.1 Planos secantes y distintos

3.2 Dos planos coincidentes y uno secante 2 2

4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos

4.2 Planos paralelos y dos coincidentes 1 2

5. Planos coincidentes. 1 1

1. Planos secantes en un punto

r=3, r'=3

2.1 Planos secantes dos a dos.

r = 2, r' = 3

Los tres planos forman una

superficie prismática.

2.2 Dos planos paralelos y el

tercero secante

r = 2, r' = 3

Dos filas de la matriz de los

coeficientes son proporcionales.

3.1 Planos secantes y distintos

r = 2, r' = 2

3.2 Dos planos coincidentes y uno

secante

r = 2, r' = 2

Dos filas de la matriz ampliada son

proporcionales.



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4.1 Planos paralelos y distintos

dos a dos

r = 1, r' = 2

4.2 Planos paralelos y dos

coincidentes

r = 1, r' = 2

Dos filas de la matriz ampliada son

proporcionales.

5. Planos coincidentes

r = 1, r' = 1

Ejemplos

Hallar la posición relativa de los planos:

1.

;

Sol: Los tres planos son secantes dos a dos y forman una superficie

prismática.

2.

;

Sol: Los tres planos se cortan en un punto.

3.



-25-

;

;

Sol: El segundo y tercer plano son coincidentes y el primero es secante a

ellos, por tanto los tres planos se cortan en una recta.

4.

;

;

Sol: El primer y segundo plano son coincidentes y el tercero es paralelo a

ellos.



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Ejemplos



-27-

HAZ DE PLANOS

1. HAZ DE PLANOS PARALELOS

Dos planos son paralelos si los coeficientes A, B y C (de

x, y, z respectivamente) de sus ecuaciones son

proporcionales; pero no lo son sus términos independientes.

Todos los planos paralelos a uno dado admiten una

ecuación de la forma:

Ax+By+Cz+k=0, k

Ejemplo

Hallar el plano que pasa por el punto (3,−1,2) y es paralelo a x+2y-3z-5=0.

2. HAZ DE PLANOS SECANTES DE EJE “r”

Se llama haz de planos secantes de eje r al conjunto de todos los planos que contienen a la recta r .

Si r viene definida por sus ecuaciones implícitas:

La ecuación del haz de planos de eje r viene dada por la igualdad:

(Ax+By+Cz+D)+k·(A’x+B’y+C’z+D’)=0

La expresión del haz de planos secantes nos permite hallar la ecuación de un plano que pasa por un punto y por la intersección de otros dos.

Ejemplo

Hallar en la ecuación del plano que pasa por el punto P(3, 2,−3) y pertenece al haz

de planos de eje en la recta:

Solución:

Hacemos que el punto P



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Ejemplos



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ÁNGULO ENTRE RECTAS Y PLANOS

1.ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS El ángulo que forman dos rectas es igual al ángulo agudo determinado por los vectores directores

de las rectas. Teniendo en cuenta el producto escalar: �⃗� · 𝑣 = |�⃗� | · |𝑣 | · cos 𝛼

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son ortogonales , es decir: r s �⃗⃗� · �⃗⃗� =

𝟎 u1·v1+u2·v2+u3·v3=0

Ejemplos

Hallar el ángulo que forman las rectas:

1.

;

2.

;

;

3.

;



-30-

2. ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS El ángulo formado por dos planos es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales

de dichos planos. Siendo los vectores normales: 𝒏𝟏⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑨𝟏, 𝑩𝟏, 𝑪𝟏) 𝑦 𝒏𝟐⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑨𝟐, 𝑩𝟐, 𝑪𝟐)

Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son ortogonales , es decir:

1 2 𝒏𝟏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ · 𝒏𝟐⃗⃗ ⃗⃗ = 𝟎 A1·A2+B1·B2+C1·C2=0

Ejemplo: Hallar el ángulo que forman los planos :

;

3. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO

El ángulo que forman una rectar , y un plano , es el

ángulo formado por r con su proyección r ' ortogonal sobre . El ángulo que forman una recta y un plano es igual al

complementario del ángulo agudo que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano.

Si la recta r y el plano son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del

plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes s on proporcionales.



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Ejemplos

1. Determinar el ángulo que forman la recta y el plano x+y-1=0.

;

2. Hallar el ángulo que forman la recta y el plano2x-y+3z+1=0.

;

;

3. Obtener el ángulo formado por el plano y la recta siguientes:

;



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DISTANCIA ENTRE RECTAS Y PLANOS

1. DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA La distancia de un punto , P, a una recta , r , es la menor de la

distancia desde el punto a los infinitos puntos de la recta. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el

punto hasta la recta .

𝒅(𝑷, 𝒓) =|𝒖𝒓⃗⃗ ⃗⃗ 𝒙 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|𝒖𝒓⃗⃗ ⃗⃗ |

Ejemplos

1. Hallar la distancia desde el punto P(1,3,−2) a la recta .

;

2. Hallar la distancia desde el punto P(1,2,3) a la recta .

;

2. DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS La distancia de una rectar , a otra paralelas, es la

distancia desde un punto A cualquiera de r a s .

𝒅(𝒓, 𝒔) = 𝒅(𝑨, 𝒔) =|�⃗⃗� 𝒙 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|�⃗⃗� |



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3. DISTANCIA ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN

La distancia entre dos sectas que se cruzan se mide sobre la perpendicular común .

Sean (A, �⃗⃗� ) y (B, �⃗⃗� ) [punto, vector director] las determinaciones lineales de las rectas r y s.

Los vectores 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗� 𝑦 𝒗⃗⃗ ⃗ determinan un paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las dos rectas r y s .

El volumen de un paralelepípedo es V=Ab·h .

Teniendo en cuenta el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores y el área de la base es el producto vectorial de los vectores directores de las rectas, la altura, es decir, la distancia entre los dos puntos es igual a:

𝒅(𝒓, 𝒔) = 𝒉 =𝑽

𝑨𝒃=

|[𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗� , �⃗⃗� ]|

|�⃗⃗� 𝒙 �⃗⃗� |

Ejemplo: Hallar la mínima distancia entre las rectas :

A(-8,10,6), �⃗� =(2,3,1); B(1,1,1), 𝑣 =(-1,2,4) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗=(9,-9,-5)

;

;

4. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

La distancia de un punto , P, a un plano, es la menor de la distancia (mínima) desde el punto a los infinitos puntos del plano.

Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano .

Sean P(x0,y0,z0) y Ax+By+Cz+D=0

𝐝(𝐏, 𝛑) =|𝐀𝐱𝟎 + 𝐁𝐲𝟎 + 𝐂𝐳𝟎 + 𝐃|

√𝐀𝟐 + 𝐁𝟐 + 𝐂𝟐

Ejemplo

1. Hallar la distancia del punto P(3, 1, −2) a los planos 12x+y-z+1=0 y 22y-3=0 .

;

2. Hallar la distancia del punto Q(5, 5, 3) al

plano .

;



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5. DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS 1) Para calcular la distancia entre dos planos paralelos , se halla la distancia de un punto cualquiera

de uno de ellos al otro.

2) También se puede calcular de esta otra forma: 1 Ax+By+Cz+D1=0; 2 Ax+By+Cz+D2=0

𝒅(𝝅𝟏, 𝝅𝟐) =|𝑫𝟏 − 𝑫𝟐|

√𝐀𝟐 + 𝐁𝟐 + 𝐂𝟐

Ejemplo: Calcular la distancia entre los planos 12x-y-2z+5=0 y 24x-2y-4z+15=0 .

Los dos planos son paralelos. Transformamos la ecuación del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector

normal.

;



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ÁREAS Y VOLÚMENES

1.-ÁREAS DE PARALELOGRAMOS Y TRIÁNGULOS

Ejemplos



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En esta actividad puedes calcular el área de un triángulo y el volumen de un tetraedro.

2.-VOLUMEN DE PARALELEPÍPEDOS Y TETRAEDROS

Ejemplos

http://www.vadenumeros.es/actividades/distancias-areas-volumen.htm



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2.1.1. Rectas cruzadas. Calcular la perpendicular común

vectores en el espacio - · pdf fileprofesor: fernando ureña matemáticas 2º...

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