Alonso Fernández Galián

- 1 -

TEMA 4: VECTORES EN EL ESPACIO

El estudio de la geometría en el espacio es análogo al de la geometría en el plano. En particular,

los vectores constituyen una herramienta básica que, por ejemplo, nos permite operar con

coordenadas.

4.1 COORDENADAS DE PUNTOS Y COORDENADAS DE VECTORES

Para situar puntos en el espacio debemos fijar tres ejes de

coordenadas: es decir, tres rectas no coplanarias con

intersección común que, por comodidad tomaremos

perpendiculares dos a dos. La intersección de los ejes de

coordenadas se denomina origen de coordenadas, y se denota

por O.

Si las coordenadas de P son x, y y z escribimos ),,( zyxP .

Coordenadas de un vector. Un vector es un segmento orientado. Si el vector u tiene como

origen el punto A y como extremo B escribimos ABu =

.

Las coordenadas de un vector se obtienen restando a las

coordenadas de su extremo las coordenadas de su origen. Es

decir, dados 1 2 3( , , )A a a a y 1 2 3( , , )B b b b , el vector ABu =

tiene

coordenadas:

1 1 2 2 3 3( , , )AB b a b a b a= − − −

Equivalencia de vectores. Dos vectores son equivalentes cuando

tienen igual módulo, dirección y sentido o, equivalentemente,

cuando tienen las mismas coordenadas.

AB CD= 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , )b a b a b a d c d c d c − − − = − − −

Un vector cualquiera puede representarse, mediante un vector

equivalente a él, tomando como origen cualquier punto del plano. Es

por esto por lo que se dice a veces que los vectores son libres.

Operaciones con vectores. Igual que en el plano, en el espacio hay dos operaciones básicas con

vectores, la suma y el producto por escalares, que se definen de manera obvia.

Suma: Producto por escalares:

vu

+ = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3) ),,( 321 uuuu =

•Ejemplo: Dados los puntos )4,0,2( −A y )2,1,3(−B , calcular las coordenadas de los

vectores AB y BA .

( ) ( )6,1,5)4(2,01,23 −=−−−−−=AB y ( ) ( )6,1,524,10),3(2 −−=−−−−−=BA

Notemos que se trata de vectores opuestos.

Matemáticas II

- 2 -

La base canónica. Los vectores se representan habitualmente tomando como origen el origen

de coordenadas, de manera que sus coordenadas coinciden con las coordenadas de su extremo.

Se denomina base canónica a los vectores unitarios determinados

por los ejes. Se denotan por i

, j

y k

. El vector de coordenadas

1 2 3( , , )u u u u= se expresa en la base canónica como

1 2 3u u i u j u k= + +

Comprobación de si tres puntos están alineados. Para comprobar si los puntos A, B y C están

alineados basta observar si los vectores AB y AC son linealmente dependientes:

A, B y C están alineados AB y AC son l.d. ABAC = para algún ℝ

Por ejemplo, dados los puntos )5,3,1(−A , )1,1,3( −B y )4,0,5( −C se tiene:

ABACAC

AB==

−

−=

−

−=

−−=

−−=5,15,1

6

9

2

3

4

6

)9,3,6(

)6,2,4(

Como los vectores AB y AC son proporcionales (l.d.), los puntos están alineados.

Nota: En lugar de AB y AC se pueden usar, por ejemplo, AB y BC .

El módulo de un vector. Según el teorema de Pitágoras, la proyección del vector

),,( 321 uuuu =

sobre el plano x-y tiene longitud:

2 2

1 2u u u = + .

Utilizando de nuevo el teorema de Pitágoras obtenemos:

( )222 2 2 2 2 2 2 2

3 1 2 3 1 2 3u u u u u u u u u= + = + + = + +

Despejando u deducimos finalmente:

2 2 2

1 3 3u u u u= + +

Distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos A y B es igual al módulo del vector

que los une, AB .

•Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos )0,1,3( −A y )5,2,1( −B .

( ) 2 2 2, (1 3) (2 1) ( 5 0) 38d A B AB= = − + + + − − = u.l.

•Ejemplo: Calcular el módulo del vector )4,3,1( −=u

:

2 2 21 ( 3) 4 26u = + − + =

Tema 4: Vectores en el espacio

- 3 -

4.2 EL PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar de vectores es una de las herramientas fundamentales de la geometría

analítica, pues permite, entre otras cosas, calcular ángulos y estudiar la perpendicularidad.

Definición: Se define el producto escalar de los vectores ),,( 321 uuuu =

y ),,( 321 vvvv =

como:

332211321321 ),,(),,( vuvuvuvvvuuuvu ++==

Propiedades del producto escalar. El producto escalar cumple las siguientes propiedades:

1. (Conmutativa) Dados los vectores u

y v

se cumple:

uvvu=

2. (Asociativa con escalares) Dados los vectores u

y v

, y el escalar se cumple:

)()( vuvu=

3. (Distributiva) Dados los vectores u

, v

y w

se cumple:

wuvuwvu

+=+ )(

Nota (el módulo de un vector): Al calcular el producto escalar de un vector ),,( 321 uuuu =

consigo mismo obtenemos: 23

22

21 uuuuu ++=

Observemos que tomando la raíz cuadrada se obtiene el módulo de u

. Es decir, el módulo del

vector u

puede escribirse como:

u u u=

Expresión geométrica del producto escalar. El producto escalar de

dos vectores no nulos es igual al producto de sus módulos por el

coseno del ángulo que forman:

cosu v u v =

Demostración: Consideremos la siguiente figura:

Aplicando el teorema del coseno obtenemos:

2 2 2 2 22 cosu v u v u v − = + −

•Ejemplo: Calcular el módulo del vector )5,1,2(=u

:

2 2 2(2,1, 5) (2,1, 5) 2 1 5 30u u u= = = + + =

•Ejemplo: Calcular el producto escalar de )0,3,2( −=u

y )2,1,5(=v

.

7201)3(52)2,1,5()0,3,2( =+−+=−= vu

Matemáticas II

- 4 -

Por otro lado ( ) ( )2

u v u v u v− = − − . Así:

( ) ( )2 2 2

2 2u v u v u v u u u v v v u u v v− = − − = − + = − +

Igualando ambas expresiones obtenemos:

2 2 2 22 2 cosu u v v u v u v − + = + −

Simplificando esta igualdad obtenemos la fórmula que buscábamos.

Interpretación geométrica del producto escalar. Sea v

la proyección ortogonal de v

sobre u

.

De la figura se deduce que cosv v = . Así:

cosu v u v u v = =

Es decir, el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por el módulo

de la proyección del otro sobre él.

Ángulo de dos vectores. De la expresión geométrica del producto escalar se deduce la siguiente

expresión para el coseno del ángulo que forman los vectores u

y v

:

cosu v

u v

=

Perpendicularidad. Sean u

y v

dos vectores no nulos y sea el ángulo que forman. De la

expresión geométrica para el producto escalar, cosu v u v = , se deduce:

u

y v

son perpendiculares 00cosº90 === vu

Es decir, dos vectores son perpendiculares si y sólo si su producto escalar es nulo:

vu

⊥ 0= vu

•Ejemplo: Comprobar si los vectores )3,1,2( −=u

y )2,2,4( −=v

son perpendiculares.

=−−=−−= 0628)2,2,4()3,1,2(vu

u

y v

son perpendiculares ( vu

⊥ )

•Ejemplo: Calcular el ángulo que forman los vectores )1,0,1(=u

y )1,1,1(=v

.

Sea el ángulo que forman u

y v

. El coseno de es:

2 2 2 2 2 2

(1, 0,1) (1,1,1) 1 0 1 2 6cos

(1, 0,1) (1,1,1) 361 0 1 1 1 1

u v

u v

+ += = = = =

+ + + +

Por tanto, el ángulo que forman u

y v

es:

º353

6arccos

=

Tema 4: Vectores en el espacio

- 5 -

4.3 EL PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial de ),,( 321 uuuu =

por ),,( 321 vvvv =

es el vector que se obtiene

desarrollando formalmente el siguiente “determinante”:

321

321

vvv

uuu

kji

El producto vectorial de u

por v

se denota por vu

(o en algunos textos por vu

). Así:

kvv

uuj

vv

uui

vv

uu

vvv

uuu

kji

vu

21

21

31

31

32

32

321

321 +−==

O, escrito en coordenadas:

−=

21

21

31

31

32

32,,

vv

uu

vv

uu

vv

uuvu

Propiedades del producto vectorial. A partir de las propiedades de los determinantes se

deducen las propiedades del producto vectorial:

1. (Anticonmutativa) Para cualquier par de vectores u

y v

se cumple que:

vuuv

−=

2. Para cualquier par de vectores u

y v

, y cualquier número real ℝ se cumple que:

( ) ( )vuvu

= y ( ) ( )vuvu

=

3. (Distributiva) Para cualesquiera tres vectores u

, v

y w

se cumple que:

( ) wvwuwvu

+=+ y ( ) wuvuwvu

+=+

4. El producto vectorial de dos vectores no nulos es 0 si y sólo si los vectores son linealmente

dependientes. Es decir, si u

y v

son dos vectores no nulos, se tiene que:

uvvu

== 0 para algún ℝ

5. El producto vectorial de dos vectores es perpendicular a ambos. Es decir, dados u

y v

,

vuu

⊥ y vuv

⊥

De aquí se deduce que el producto escalar de u

o de v

por vu

es nulo:

( ) 0

= vuu y ( ) 0

= vuv

•Ejemplo: Calcular el producto vectorial de )4,1,2(−=u

por )3,0,2( −=v

.

kjikji

kji

vu

223

02

12

32

42

30

41

302

412 −+−=−

+−

−−

−=

−

−=

Escrito en coordenadas: )2,2,3( −−= vu

Matemáticas II

- 6 -

Interpretación geométrica del producto vectorial. En términos geométricos, el producto

vectorial de u

por v

es el vector vu

que tiene:

-Módulo: El producto de los módulos de u

y v

multiplicado por el seno de ángulo que forman:

sen u v u v =

-Dirección: La recta perpendicular al plano determinado por u

y v

.

-Sentido: El determinado por la regla de la mano derecha. Es decir, rotemos u

hasta v

por el

camino más corto,

(a) si hemos rotado en sentido antihorario, vu

apunta “hacia arriba”.

(b) si hemos rotado en sentido horario, vu

apunta “hacia abajo”.

Aplicación al cálculo de áreas. Calculemos el área del paralelogramo que tiene por lados a los

vectores u

y v

. De acuerdo con la figura, esta área es:

paralelogramoA u h=

Como sen h v = , tenemos que:

paralelogramo sen A u v =

Pero esta expresión es precisamente el módulo del producto vectorial de u

y v

. Así:

paralelogramoA u v=

Consecuentemente, el triángulo que tiene por lados

a los vectores u

y v

tiene área:

triángulo

1

2A u v=

•Ejemplo: Calcular el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores )2,2,1(=u

y

)3,1,5(=v

.

El producto vectorial de u

por v

es:

)9,7,4(974

315

221 −=−+== kji

kji

vu

Por tanto, el área pedida es:

2 2 24 7 ( 9) 146 12,08A u v= = + + − = u.s

Tema 4: Vectores en el espacio

- 7 -

4.4 EL PRODUCTO MIXTO

Se define el producto mixto de los vectores u

, v

y w

(en ese orden) como:

( )wvuwvu

=,,

Expresión analítica del producto mixto. Es fácil comprobar que el producto mixto de los

vectores ),,( 321 uuuu =

, ),,( 321 vvvv =

y ),,( 321 wwww =

viene dado por:

( )

321

321

321

,,

www

vvv

uuu

wvuwvu ==

Propiedades del producto mixto. Veamos las principales propiedades del producto mixto:

1. Si un vector es combinación lineal de los otros, el producto mixto es cero. Por ejemplo:

0,, =+ vuvu

2. En particular, si hay dos vectores iguales, el producto mixto es cero. Por ejemplo:

0,, =vvu

3. Si un vector se escribe como suma de dos, el producto mixto también se escribe como una

suma, con un sumando por cada vector. Por ejemplo:

wvuwvuwwvu +=+

,,,,,,

4. Si un vector se multiplica por un escalar, el producto mixto también queda multiplicado por

ese escalar. Por ejemplo:

wvuwvu

,,,, =

5. Si intercambiamos dos vectores, el producto mixto cambia de signo. Por ejemplo:

wvuwuv

,,,, −=

•Ejemplo: Calcula el producto mixto de )5,2,1(=u

, )3,0,1(−=v

y )1,1,2( −−=w

.

El producto mixto de los vectores u

, v

y w

es:

1832125

112

301

521

,, =+−+=

−−

−=wvu

•Ejemplo: Calcular el producto mixto de )5,2,1(=u

, )3,0,1(−=v

y )1,1,2( −−=w

.

El producto vectorial de v

por w

es:

)1,5,3(53

112

301 =++=

−−

−= kji

kji

wv

Así, el producto mixto de u

, v

y w

es:

( ) 185103)1,5,3()5,2,1(,, =++=== wvuwvu

Matemáticas II

- 8 -

Interpretación geométrica del producto mixto. El

valor absoluto del producto mixto de los vectores u

,

v

y w

es igual al volumen de paralelepípedo definido

por estos vectores:

wvuV

,,pedoparalelepí =

Demostración: Consideremos la siguiente figura:

Según vimos, el área de la base es el producto vectorial de v

por w

:

base v w=

Sea el ángulo que forman u

y wv

. La altura del paralelepípedo viene dada por:

cosh u =

(se toma el valor absoluto porque wv

puede tener sentido contrario al representado en la

figura). Así, el volumen del paralelepípedo es:

paralelepípedo cosV base h u v w = =

Pero este valor es precisamente el valor absoluto del producto escalar de u

por wv

. Así:

( ) wvuwvuV

,,pedoparalelepí ==

Un paralelepípedo se divide en seis tetraedros iguales. Así, el

volumen del tetraedro es:

wvuV

,,6

1tetraedro =

•Ejemplo: Calcular el volumen del paralelepípedo formado por los vectores )3,1,2(−=u

)1,1,1(−=v

y )0,2,2(=w

.

El producto mixto de u

, v

y w

es:

64626

022

111

312

,, −=+−+−=−

−

=wvu

Por lo tanto, el volumen pedido es:

66,,pedoparalelepí =−== wvuV

u.v.

Tema 4: Vectores en el espacio

- 9 -

ANEXO: ESPACIOS VECTORIALES

Mediante el concepto de espacio vectorial se generalizan las propiedades de la suma y del

producto por escalares de los vectores libres para aplicarlas a contextos no geométricos.

Propiedades. Es fácil ver que la suma y el producto por escalares satisfacen las siguientes

propiedades.

P1. uvvu

+=+ (conmutativa).

P2. ( ) ( )wvuwvu

++=++ (asociativa).

P3. uuu

=+=+ 00 (elemento neutro).

P4. ( ) ( ) 0

=+−=−+ uuuu (elemento opuesto).

P5. ( ) ( )uu

= (asociativa para escalares).

P6. uu

=1 (elemento unidad).

P7. ( ) vuvu

+=+ (distributiva).

P8. ( ) uuu

+=+ (distributiva).

Estas propiedades caracterizan la “estructura algebraica” de las operaciones entre vectores

libres, en el sentido de que cualquier otra propiedad se deduce de ellas.

Espacios vectoriales. Hay otros conjuntos en los que las operaciones ‘suma’ y ‘producto por

escalares’ satisfacen estas propiedades. A estos conjuntos se les denomina espacios vectoriales.

Es decir:

Se denomina espacio vectorial a un conjunto en el que estén definidas dos operaciones (suma y

producto por escalares) que satisfacen las propiedades P1-P8.

De esta forma, los elementos de un espacio vectorial son objetos que algebraicamente se

comportan igual que los vectores libres del plano y del espacio. Por analogía se les denomina

también vectores.

Ejemplos: Veamos varios ejemplos de espacios vectoriales.

1.) El conjunto de vectores libres del espacio, 3V , es un espacio vectorial. Igualmente, el

conjunto de vectores libres del plano, 2V , también es un espacio vectorial.

2.) El conjunto n de n-uplas de números reales para un n dado es un espacio vectorial.

3.) El conjunto de matrices de un orden dado, m n , es un espacio vectorial. Se suele denotar

por ( )m nM .

4.) El conjunto de sucesiones de números reales, /n nna a= , es un espacio vectorial.

5.) El conjunto de polinomios de grado menor o igual que n para un n dado es un espacio

vectorial. Se denota habitualmente por ( )nP .

6.) Dado un intervalo real ,a b , el conjunto de funciones reales cuyo dominio es ,a b es

un espacio vectorial. También lo es, por ejemplo, el conjunto de funciones continuas sobre

,a b .

El hecho de que todos los ejemplos anteriores sean espacios vectoriales nos permite, por

ejemplo, hablar de combinaciones lineales o de dependencia lineal en todos ellos.

Matemáticas II

- 10 -

Bases de un espacio vectorial. Se denomina base de un espacio vectorial a un conjunto de

elementos (‘vectores’) que son linealmente independientes entre ellos y tales que cualquier otro

elemento del espacio vectorial es combinación lineal suya. Por ejemplo, el conjunto 2 31, , ,x x x

es una base del espacio de polinomios de grado menor o igual que 3.

El concepto de base permite definir las coordenadas de un vector de un modo más general a

como lo hemos hecho en el texto.

Bases de V3. Se denomina base de espacio a un conjunto de tres vectores linealmente

independientes (es decir, no coplanarios), 321 ,, eeeB

= .

Dada una base 321 ,, eeeB

= , cualquier vector u

del espacio puede expresarse de manera

única como una combinación lineal de sus elementos:

332211 eueueuu

++=

Los coeficientes 1u , 2u , 3u son las coordenadas de u

en la base 321 ,, eeeB

= .

Bases ortonormales. Una base 321 ,, eeeB

= se denomina ortonormal si:

(i) Sus elementos son perpendiculares (u ortogonales) entre sí:

21 ee

⊥ 31 ee

⊥ 32 ee

⊥

(ii) Sus elementos tienen módulo 1:

11 =e

12 =e

13 =e

El producto escalar. Veamos como se calcula el producto escalar de dos vectores en una base

cualquiera 321 ,, eeeB

= . Sean u

y v

como sigue:

332211 eueueuu

++= y 332211 evevevv

++=

El producto escalar de u

y v

es:

( ) ( ) +++=++++= 313121211111332211332211 eevueevueevueveveveueueuvu

333323231313323222221212 eevueevueevueevueevueevu++++++

Esta expresión puede escribirse sintéticamente como:

( )

=

3

2

1

332313

322212

312111

321

v

v

v

eeeeee

eeeeee

eeeeee

uuuvu

En particular, si la base 321 ,, eeeB

= es ortonormal la matriz del producto escalar es la

identidad y obtenemos la expresión del producto escalar que ya conocíamos:

( ) 332211

3

2

1

321

100

010

001

vuvuvu

v

v

v

uuuvu ++=

=

Tema 4: Vectores en el espacio

- 11 -

Coordenadas de puntos y vectores

1. Calcula en cada caso las coordenadas del vector AB .

(a) ( )2,3,5 −A y ( )4,2,1B .

(b) ( )7,4,0 −A y ( )4,5,5 −B .

2. Dados los puntos ( )0,0,1A , ( )0,1,2 −B , y ( )1,0,0C , encuentra el punto D tal que CDAB = .

3. Escribe el vector ( )9,5,2−=v

como combinación lineal de los vectores ( )3,0,1=a

,

( )1,1,2−=b

y ( )1,2,4 −=c

,

4. Comprueba en cada caso si los puntos están alineados:

(a) ( )1,1,1A , ( )1,0,2B y ( )1,2,0C . (b) ( )3,2,1A , ( )1,4,2B y ( )1,1,1C .

5. Calcula el módulo de los siguientes vectores:

(a) ( )3,2,3 −=u

. (b) ( )2,5,3−=v

. (c)

=

5

2,0,3w

.

6. Encuentra un vector unitario con la misma dirección que ( )4,0,7=u

.

7. Calcula la longitud del segmento de extremos ( )1,0,4 −A y ( )1,3,0 −B .

El producto escalar de dos vectores

8. Dados los vectores ( )8,5,3 −=u

, ( )3,4,1 −−=v

y ( )5,3,3 −−=w

calcula:

(a) vu (b) wu

(c) wv

9. Calcula el ángulo que forman los vectores ( )5,3,2 −=u

y ( )0,1,6 −=v

.

10. Calcula el ángulo que forman los vectores ( )4,1,3 −−=u

y ( )5,1,2 −−=v

.

Ortogonalidad

11. Indica cuáles de los siguientes vectores son perpendiculares a ( )1,1,5 −=u

:

( )3,4,2 −=v

( )7,3,2 −=w

( )10,0,2 −−=t

¿Son perpendiculares entre ellos?

12. Calcula x e y sabiendo que el vector ( )1,, yx es perpendicular a los vectores ( )0,2,3 y

( )1,1,2 − .

13. Encuentra un vector perpendicular a ( )4,3,2=u

y ( )5,3,1 −−=v

que tenga módulo 1.

EJERCICIOS DEL TEMA 4

Matemáticas II

- 12 -

14. Encuentra un punto P situado en el eje z de manera que el vector PQ , con ( )1,3,2−Q , sea

ortogonal al vector ( )5,6,1−=v

.

El producto vectorial de dos vectores

15. Calcula el producto vectorial de los vectores ( )2,0,1−=u

y ( )1,1,2 −=v

, y comprueba que

el resultado es perpendicular a ambos vectores.

16. Dados los vectores ( )6,1,3=u

y ( )2,4,3 −=u

, comprueba que uvvu

−= .

17. Calcula el área del paralelogramo formado por los vectores ( )5,1,2=u

y ( )1,3,2=v

.

18. Calcula el área del triángulo de vértices ( )5,1,3 −A , ( )1,0,2B y ( )4,2,3C .

19. Dados los puntos ( )1,2,2A , ( )2,5,3B y ( )2,0,1−C , calcula el cuarto vértice del

paralelogramo ABCD y el área de éste.

El producto mixto

20. Calcula, aplicando la definición, el producto mixto de los vectores ( )4,1,3=u

, ( )0,1,2=v

y ( )1,2,1 −=w

.

21. Dados los vectores ( )1,2,1=a

, ( )2,1,3 −=b

y ( )0,1,4 −=c

, calcula los productos mixtos

[ cba

,, ] y ],,[ bca

.

22. Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores ( )0,1,2=u

,

( )1,2,3=v

y ( )0,1,0=j

.

Selección de Ejercicios de PAEG - EvAU

_____________________________________________________________________________

23. (PAEG. Junio. 2010-2011. uclm). Dados los puntos de coordenadas ( )0,1,0A , ( )1,2,3B ,

( )0,2,1C y ( ),1,1D k , donde k :

a) Determina el área del triángulo de vértices A, B y C.

b) ¿Para qué valores del parámetro k el tetraedro cuyos vértices son A, B, C, y D tiene un

volumen de 5 u3?

24. (EvAU. Junio. 2017-18. uclm). Dados los vectores ( )0,1,1u = , ( )1,1, 1v = − y ( )2,0,3w = :

a) Determina el valor de tal que el vector u v− sea perpendicular a w .

b) ¿Son linealmente dependientes los vectores u , v y w ? Razona la respuesta.

25. (EvAU. Julio. 2018-2019. Extraord. uclm. apartado a). Dados los vectores ( )1,0, 2u = − − ,

( ), ,1v a b= y ( )2,5,w c= , halla razonadamente el valor de a, b y c para que los vectores u y v

sean ortogonales y para que el vector w sea igual al producto vectorial de u y v .