GEOMETRÍA EN EL PLANO

Introducción. Vectores. Producto escalar de vectores libres. Ecuaciones de la recta. Incidencia y paralelismo. Problemas métricos. La circunferencia.

INTRODUCCIÓN.

El nombre. Breve historia. El presente. Nuestro tema. Un reto.

VECTORES.

Vectores fijos en el plano. Equipolencia de vectores fijos. Vectores libres en el plano.

Propiedad fundamental de los vectores libres. Operaciones con vectores libres. Combinación lineal de vectores libres.

OPERACIONES CON VECTORES LIBRES.

Suma de vectores libres.

Diferencia de vectores libres.

Producto de un número real por un vector.

1 2 1 2 1 1 2 2, , ,a a b b a b a b

1 2 1 2 1 1 2 2, , ,a a b b a b a b

1 2 1 2· , · , ·a a a a

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.

Dependencia e independencia de vectores. Base y dimensión de un espacio de vectores. Coordenadas de un vector respecto de una bas

e. Estudio analítico de los vectores y las

operaciones. Estudio analítico de los puntos.

COORDENADAS.

Coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de sus extremos.

Coordenadas del punto medio de un segmento.

 

1 1 2 2,AB b a b a ��������������

1 1 2 2,2 2

a b a bM

PRODUCTO ESCALAR.

Producto escalar.

Interpretación geométrica del producto escalar.

Propiedades del producto escalar. Expresión analítica el producto escalar.

 

· · , , si y no son nulos.·

0, si ó son el vector

nulo.

u v cos u v u vu v

u v

EXPRESIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR.

Expresión analítica del producto escalar.

Expresión analítica del módulo de un vector.

Coseno del ángulo de dos vectores.

 

1 1 2 2· · ·a b a b a b

2 21 2a a a

1 1 2 2

2 2 2 21 2 1 2

· ·,

·

a b a bcos a b

a a b b

LA RECTA.

Ecuaciones de la recta. Ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas

y ecuación continua. Ecuación general, ecuación explícita, ecuación punto pe

ndiente. Ecuación segmentaria y ecuación normal.

 

E. VECTORIAL, PARAMÉTRICAS Y CONTINUA.

Ecuación vectorial: : · ,r x a tu t

Ecuaciones paramétricas: 1 1

2 2

·: ,

·

x a tur ty a tu

Ecuación continua: 1 2

1 2

:x a y aru u

E. GENERAL, EXPLÍCITA Y PUNTO-PENDIENTE.

Ecuación general: : 0r Ax By C Ecuación explícita: :r y mx n

Ecuación punto-pendiente: 2 1:r y a mx a

E. SEGMENTARIA Y NORMAL.

Ecuación segementaria: : 1x yra b

Ecuación normal: : · 0rnxa

INCIDENCIA Y PARALELISMO.

Posiciones relativas de dos rectas. Haz de rectas.

HAZ DE RECTAS.

H a z d e r e c t a s d e v é r t ic e 0 0,P x y .

0 0

0

,y y m x x m

x x

H a z d e r e c t a s p a r a le la s a la r e c t a r . ,y m x k k

PROBLEMAS MÉTRICOS.

Perpendicularidad. Ángulo de dos rectas. Distancia.

Entre dos puntos. Entre un punto y una recta. Entre dos rectas.

ÁNGULO DE DOS RECTAS.

2 2 2 2

· ' · ',

· ' '

A A B Bcos r s

A B A B

DISTANCIA.

Distancia. Entre dos puntos.

Entre un punto y una recta.

Entre dos rectas.

2 2

2 1 2 1,d A B x x y y

1 1

2 2,

Ax By Cd P r

A B

2 2

',

C Cd r s

A B

CIRCUNFERENCIA.

Definición y ecuación. Posiciones relativas de una recta y una

circunferencia. Posiciones relativas de dos circunferencias. Potencia de un punto respecto a una circunferencia. Eje radical de dos circunferencias. Centro radical de tres circunferencias.

 

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.

  2 2 2x a y b r

2 2 2 2 22 2 0x y a x b y a b r

2 2 0x y D x E y F

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA.

2 2cPo t P d r

2 2 20 0cPo t P x a y b r

2 20 0 0 0cPo t P x y D x E y F

EJE RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS.

1 2 1 2 1 2 0D D x E E y F F